UNIVERSIDAD DE CORDOBAASIGNATURA MATEMATICAS FINANCIERASIng. Mg. Ramiro Antonio Marrugo Gonzalez

ANUALIDADES

Las anualidades ocupan un lugar especial en el estudio de las matemáticas financieras, ya que la mayoría de la financiación comercial de activos como electrodomésticos, equipos de producción, vivienda, etc. se rigen por este sistema. Una Anualidad, llamada también series uniformes o rentas uniformes es un conjunto de pagos iguales y periódicos en un periodo de tiempo determinado. De otra manera, se llaman Anualidades a toda sucesión de pagos o recibos fijos hechos a intervalos iguales de tiempo y que ganan interés compuesto. Son casos de anualidades el pago de sueldos, arriendos, pensiones escolares etc. mientras no cambien de valor durante algún tiempo.

La utilidad de las anualidades se aprecia cuando se compra un equipo financiado y conociendo el número de cuotas y la tasa de interés que media se necesita calcular el valor de cada cuota o anualidad. O cuando el almacén le indica el número de cuotas a cancelar y las anualidades (cuotas), calcular la Tasa Efectiva que esta mediando, recuerde que es ésta la que mide el verdadero valor del crédito. En fin, son muchas las situaciones de la vida diaria que se pueden presentar y que usted aprenderá a manejar, y de seguro se llevará muchas sorpresas que lo pondrán a reflexionar. Aunque las anualidades pueden ser vencidas, anticipadas, diferidas y perpetúas, en este módulo sólo se trabajarán las dos primeras.

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEAN UNA ANUALIDAD Todos los pagos deben ser iguales Todos los pagos deben ser periódicos Todos los pagos son llevado al principios (valor presenta) o al final de la serie (valor futuro), a la misma

tasa, a un valor equivalente, es decir, la anualidad debe tener un valor presente equivalente a un valor futuro.

El número de pagos debe ser igual al número de períodos.

ANUALIDADES VENCIDASEs aquella en que los pagos se hacen al final del período, tales como salarios de los empleados, cuotas en el pago de un electrodoméstico, entre otros. Su comportamiento se aprecia en el siguiente flujo.

Con la fecha focal en el momento cero se plantea la ecuación de valor de la siguiente manera.

Multiplicando por (1+i) ambos lados de la ecuación, se tiene:

Simplificando miembros en el segundo miembro

Restándole la primera ecuación Simplificando:

P

A A A

0

Factorizando: entonces: De donde

Valor presente en función de la anualidad

Generalizando:

Observe que en la ecuación hay cuatro variables, que como en la expresión del interés compuesto, hay que conocer tres para calcular una cuarta. De esta ecuación se pueden despejar la anualidad A, el número de períodos n y la tasa de interés i.

Ejemplo: Un equipo de riego se compró dando una cuota inicial de $500.000 y 18 cuotas mensuales iguales de $150.000. Si la agencia cobra el 2% mensual sobre el saldo, calcular el valor de equipo.

A = $150.000 i = 2% n = 18 P = ?

MODE 1 SHIFT AC 150.000 +/-PMT 2 i% 18 n COMP PV 2.248.804.69

Ejemplo: Calcular el valor de contado de un equipo de ensilaje que financiado se puede adquirir de la siguiente forma: cuota inicial equivalente al 30% de su valor de contado y 12 cuotas mensuales de $120.000. La tasa de interés de financiación es del 24% MV.

1 2 3 18

P

0

500.000 150.000 150.000 150.000 150.000

Fórmula para calcular un valor presente equivalente P a una serie de pagos iguales y periódicos, conocido el número de pagos n, el valor de cada pago A y la tasa de interés i.

1 2 3 12

P

0

0.3P 120.000 120.000 120.000 120.000

P = $1.812.915.64

MODE 1 SHIFT AC 120.000 +/-PMT 2 i% 12 n COMP PV/ 0.7 1.812.915.64

Valor de la cuota en función del valor presente

Conocidos el valor presente P, la tasa de interés i y el número de pagos n calcular el valor de la cuota.

Ejemplo: Una parcela cuesta de contado $25.000.000 y se propone comprar entregando la mitad y el saldo en cuatro cuotas trimestrales iguales. El vendedor exige una Tasa del 26.25% EA. Calcular el valor de las cuotas (Anualidades) con base en la tasa nominal equivalente con capitalización trimestral.

P = $25.000.0000 CI = $12.500.000 TEA = 26.25% n = 4 Trimestre A = ?

MODE 1 SHIFT AC 4 SHIFT APR 26.25 =24.00 ÷ 4 = 6.00% Trimestral

A = $3.403.201.56

Ejemplo: Se tiene un crédito de $8.000.000 para pagarlo en 15 cuotas mensuales de $300.000 más dos cuotas extras en los meses 5 y 10. Si la operación se realiza a una tasa del 3% mensual, calcular el valor de las cuotas extras.

Fórmula para calcular el valor de la anualidad A, conocido el número de pagos n, el valor presente P y la tasa de interés i.

1 2 3 4

25.000.000

0

12.500.000 X X X X

X = $2.749.986.26

Valor futuro de una anualidad vencidaSe trata en esta forma de calcular el monto o valor futuro de toda la serie de pagos iguales y periódicos realizados. Comúnmente se cree que este valor se obtiene multiplicando el número de cuotas o anualidades por su valor individual, lo que conlleva a desconocer el valor del dinero en el tiempo, ya que entre cuotas está mediando un interés, que por lo demás es compuesto. Analicémoslo mediante el siguiente flujo.

Pero Entonces De donde

Ejemplo: Antonio Pérez adquiere una póliza de capitalización durante un año, cancelando una cuota al final de cada mes de $150.000. Si la entidad aseguradora le reconoce intereses del 1.5 mensual, cuanto tendrá al final del tiempo y cuál fue la TEA de la inversión?

A = $150.000 n = 12 Meses i = 1.5% mensual F = ?

F =$1.956.181.71

TEA = 19.56%

MODE 1 SHIFT AC 150.000 +/-PMT 1.5 i% 12 n COMP FV 1.956.181.71MODE 1 SHIFT AC 1.5 x 12 = 18 12EFE 18 = 19.56% EA

En el siguiente cuadro desarrollado en Excel, se aprecia la evolución de los depósitos

Mes Depósito Intereses Depósito mas

interesesTotal

acumulado1 150.000,00     150.000,00 2 150.000,00 2.250,00 152.250,00 302.250,00

31

3210

AA A

F=?

Fórmula para calcular el valor futuro F de un conjunto de anualidades A, conocido el número de períodos n y la tasa de interés i.

12420

F=?

150.000 150.000 150.000 150.000

3 150.000,00 4.533,75 154.533,75 456.783,75 4 150.000,00 6.851,76 156.851,76 613.635,51 5 150.000,00 9.204,53 159.204,53 772.840,04 6 150.000,00 11.592,60 161.592,60 934.432,64 7 150.000,00 14.016,49 164.016,49 1.098.449,13 8 150.000,00 16.476,74 166.476,74 1.264.925,87 9 150.000,00 18.973,89 168.973,89 1.433.899,75

10 150.000,00 21.508,50 171.508,50 1.605.408,25 11 150.000,00 24.081,12 174.081,12 1.779.489,37 12 150.000,00 26.692,34 176.692,34 1.956.181,71

Cálculo del tiempo de negociaciónEs el número de cuotas necesarias para amortizar una obligación o para completar una inversión.

Ejemplo: Una deuda de $1.000.000 se debe cancelar con cuotas mensuales iguales de $100.000 cada una. Si la tasa de interés cobrada es del 36% capitalizable mensualmente, con cuántos pagos se cancela la deuda?

P = $1.000.000 i = 36% MV A = $100.000 n = ?

12 Meses

MODE 1 SHIFT AC 100.000 +/-PMT 3 i% 1.000.000 PV COMP n 12.07 Meses

Ejemplo: En cuanto tiempo se paga una deuda de $3.150.000 pagando mensualidades de $50.728.26 a una tasa de interés del 18% MV. P = $3.1500.000 i = 18% MV A = $50.728.26 n = ?

Meses

MODE 1 SHIFT AC 50.728.26+/-PMT 1.5 i% 3.150.000 PV COMP n 180 Meses

Cálculo de la tasa de interésEste es el caso más interesante y preocupante por ser, a través de la financiación, como se adquieren la mayoría de los bienes familiares. En casi todos los casos, los vendedores no le informan al cliente la tasa de

interés que está mediando en el negocio, pese a estar expresado en la Ley, pagando el cliente intereses efectivos exorbitantes.

El cálculo de la tasa de interés en las anualidades se convierte en la Tasa Interna de Retorno TIR de la negociación, es decir aquella tasa exacta en la cual ni se queda debiendo dinero pero tampoco se paga demás.

Su cálculo se hace por el método de ensayo y error, y se convierte en el procedimiento más dispendioso en las matemáticas financieras, es por ello que el manejo de la calculadora financiera o de la computadora es imprescindible para este tipo de cálculos.

Ejemplo: Un vehiculo que vale de contado $30.000.000 y se va a financiar de la siguiente forma: una cuota inicial del 30% de su valor y 36 cuotas mensuales iguales de $961.879.68. Calcular la tasa de interés cobrada. P = $30.000.000 CI = 30% = $9.000.0000 i = ? A = $961.879.68 n = 36

Ecuación de valor

La Tasa es la que hace la ecuación igual a cero

Se escoge una tasa tentativa de 3.5% y se aplica a la ecuación

T1 = 1.482.621.08 > 0

Ahora se escoge una tasa tentativa de 2.8% y se aplica a la ecuación

T1 = -

640.942.10 < 0

Entonces la tasa cobrada está entre 3.5% y 2.8%, estando más cerca de ésta último por acercarse más a cero.

Interpolando mediante el siguiente racionamiento se tiene:

Literalmente NuméricamenteSi el 3.5% hace la función positiva Si el 3.5% 1.482.621.08Qué tasa hace la función igual a cero? i 0Si el 2.8% la hace función negativa Si el 2.8% - 640.942.10

La relación existente entre los valores de la izquierda debe ser igual que los valores de la derecha, entonces:

0 36353433654321

961.879.69

21.000.000

i = 3.00%

Como se pudo apreciar el método de ensayo y error es bastante dispendioso para calcular tasas de interés, aunque sigue siendo valedero. Es por ello que se recomienda echar mano a herramientas más modernas como la calculadora financiera y la computadora para desarrollar esos cálculos, cuyos procedimientos se explican a continuación.

MODE 1 SHIFT AC 961.879.68+/-PMT 21.000.000 PV 36 n COMP i% 3.00% Mensual

En Excel: construya el flujo de caja e ingrese a la función por medio de Fx; seleccione TIR y dé aceptar; selecciones el flujo de fondos elaborado e insértelo en el cuadro de valores (automáticamente se hace) y dé aceptar nuevamente para que aparezca el valor de la tasa.

ANUALIDAD CON INTERÉS GLOBAL

Este sistema suspicaz de cobrar los intereses a los clientes en la financiación de electrodomésticos principalmente, se convierte en el abuso mas descarado en el comercio, ya que los intereses se cobran sobre el valor total de la deuda y no sobre los saldos insolutos, es decir, no se reconocen los abonos o amortizaciones que hace el cliente para efectos de la liquidación de los intereses. Miremos a través de un ejemplo cómo evoluciona el crédito en esta forma y cómo crecen los intereses cobrados, hasta presentar un valor totalmente diferente al indicado en la negociación.

Ejemplo: Se adquiere un electrodoméstico y se quedan debiendo $1.200.000 para ser pagados en 6 cuotas iguales a una tasa de interés del 3% mensual.

Cálculo de anualidad a interés global

De otra forma:

La Anualidad tiene dos componentes: Amortización (200.000) e intereses (36.000)

EVOLUCIÓN DEL CRÉDITONº Cuota Interés Amortización Saldo0 1.200.0001 236.000 36.000 200.000 1.000.0002 236.000 36.000 200.000 800.0003 236.000 36.000 200.000 600.0004 236.000 36.000 200.000 400.0005 236.000 36.000 200.000 200.0006 236.000 36.000 200.000 0

Observe como a pesar de ir bajando la deuda a partir de la segunda cuota, los intereses se mantienen en $36.000 lo que conduce a su crecimiento en términos reales, superiores en la práctica a los pactados en el contrato. Miremos igualmente su evolución.

EVOLUCIÓN DE LOS INTERESESNº Interés Tasa de interés % Saldo insoluto0 1.200.0001 36.000 3.00 1.000.0002 36.000 3.60 800.0003 36.000 4.50 600.0004 36.000 6.00 400.0005 36.000 9.00 200.0006 36.000 18.00 0

Nótese que sólo en el primer mes se cobra el interés pactado , de allí en adelante

empiezan a crecer progresivamente. Para calcular el verdadero interés pagado hay que hacerlo por el método de ensayo y error o con la ayuda de la calculadora financiera.

MODE 1 SHIFT AC 236.000+/-PMT 1.200.000 PV 6 n COMP i% 4.94% MensualMODE 1 SHIFT AC 4.94 X 12 = 59.33 12 EFE 59.33 = 78.45% EA

En este mismo orden se puede calcular el valor presente P en la liquidación de intereses por sistema global, de la siguiente manera:

También se puede calcular el valor del interés pactado, más no pagado, en una serie de anualidades conociendo el valor presente y el número de períodos.

De donde

Para calcular el número de períodos se tendría:

Triste caso de la vida real 1: Don Rogelio adquirió una motocicleta Yamaha RX 100 cuyo precio de contado era de $3.750.000, con una cuota inicial de $1.000.000 y 18 mensualidades de $235.778 cada una. Que tasa de interés global, real y efectiva anual pagó el cliente?

P = $2.750.000 n = 18 A = $235.778 i = ?3.750.000

1.000.000

1 2 3 4 18

235.778

Interés global conociendo la anualidad A, el valor presente P y el número de períodos n

Número de períodos n en Interés global conociendo la anualidad A, el valor presente P y la tasa de interés i.

Valor presente P a Interés global conociendo la anualidad A, la tasa de interés i y el número de períodos n

Interés global = 3.00%

MODE 1 SHIFT AC 235.000+/-PMT 2.750.000 PV 18 n COMP i% 4.99% MensualMODE 1 SHIFT AC 4.99 x 12 = 59.88 12 EFE 59.88 = 79.38% EA

TEA= 79.38%

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una casa vale $75.000.000 de contado y la entregan con una cuota inicial del 35% de éste valor y mensualidades vencidas durante 12 años al 14.00% Capitalizable mensualmente ¿cuánto vale la mensualidad? R/ $700.599.45

2. Una deuda de $2.500.000 se paga por cuotas trimestrales vencidas al 18% TV durante 6 años, ¿cuánto vale la trimestralidad? R/ $172.467.57

3. ¿Cuánto hay que consignar al final de cada mes durante 5 años, en una entidad financiera que paga el 15% EA si la capitalización es mensual, para acumular $6.000.000? R/ $69.500.18

4. Almacén LA ESTACA vende maquinas de picar pasto con cuota inicial de $300.000 y 12 cuotas de $200.000. Si se carga intereses del 24% con capitalización mensual, hallar el valor de contado. R/ $2.415.068.24

5. Calcular el valor futuro y valor presente de las siguientes anualidades.a) $200.000 semestrales durante tres años al 32% anual capitalizable semestralmente. R/ F $1.795.495.4

y P $736.947.18b) $500.000 anuales durante 5 años al 30% capitalizable anualmente. R/ F $4.521.550 y P $1.217.784.88

6. El propietario de una casa tiene las siguientes alternativas:

a) Venderla hoy de contado por $44.500.000b) Arrendarla por 400.000 mensuales vencidos durante tres años, cuando la espera vender en $36.800.000 R/ Primera opción

7. Usted desea comprar una nevera bajo las siguientes alternativas, con tasa de interés del 3% mensual:

a) A crédito con cuota inicial de $350.000 más 12 cuotas mensuales vencidas de $150.000b) De contado por $1.750.000 R/ Segunda opción

8. En cuanto tiempo se paga una deuda $3.150.000, pagando mensualidades vencidas de $50.728.26 al 18% capitalizable mensualmente. R/ 15 años

8. En cuanto tiempo se acumula un capital de $7.702.885.6 consignando trimestralmente $100.000 al 15.75%EA R/ 9 años 3 meses

9. Un televisor SHARP de 29” tiene un valor de contado de $809.000 y financiado lo entregan con una cuota de $123.400 y 11 cuotas de $111.060. Que tasa de interés global y real se paga en la negociación? R/ 7.11% mensual y 11.12% Mensual Calcular la tasa real por el método de ensayo y error probando con tasas del 10% y del 12%

10. Un computador Pentium IV, DD de 80 Gigas, memoria 216, monitor de 15” y escritorio, vale de contado $1.750.000. Si se quisiera cancelar en 8 cuotas, con de interés global del 3.5%, cuánto serían el valor de cada una. Cuál es la tasa de interés real pagada y la EA. Construya la evolución del crédito y de los intereses. R/ $280.000 Tasa real 5.84% y 97.61%EA