anexo 1. clases

RAMV. 1

VARIACIONES PROPORCIONALESRAZONES

PROPORCIONESPORCENTAJES

RAMV. 2

RAZONES• Una razón es una comparación que se establece mediante Cuociente

o División• Una razón la podemos escribir de dos formas:

• o también

• En ambos casos se lee “a” es a “b”

ba

ba :

RAMV. 3

Términos de una razón

• Los términos de una razón se denominan:

• Antecedente• Consecuenteb

a

Nota: Es importante el orden de nombramiento en una razón.

RAMV. 4

Significado

• Decir que en un curso los hombres y las mujeres están en la razón “DOS ES A TRES” (2:3) respectivamente, significa que:

Por cada dos Hombres hay tres mujeres en el curso.

RAMV. 5

Como resolver un problema relativo a razones

Problema:• Don Luis tiene tres nietos: Ángel, Juan y Mario,

cuyas edades son 12, 8 y 6 años respectivamente.• Además posee una bolsa con 130 dulces, los

cuales va a repartir entre sus nietos.• La repartición no la hará en partes iguales, sino en

la misma razón que están las edades de sus nietos.• Al repartirlos de esta manera. ¿Cuántos dulces

recibe cada uno?.

RAMV. 6

SOLUCIÓN

• Como los dulces serán repartidos en la razón 12:8:6 (razón entre las edades de cada nieto), debemos formar 26 grupos o “montoncitos” de dulces (12+8+6=26)

• Ahora veremos cuántos dulces debe tener cada “montoncito” , para ello dividimos el total de dulces por la cantidad de grupos que formamos

• 130:26=5• Esto quiere decir que cada grupo tendrá 5 dulces

RAMV. 7

AHORA BIÉN

• Ángel tiene 12 años, por lo tanto recibirá:• 12*5=60 dulces• Juan tiene 8 años, por lo tanto recibirá:• 8*5=40 dulces• Mario tiene 6 años, por lo tanto recibirá• 6*5=30 dulces

• Si compruebas 60+40+30=130 dulces que tenía la bolsa

RAMV. 8

Razones Equivalentes

• Dos razones son equivalentes, cuando expresan la misma comparación

• Así por ejemplo, las razones • son equivalentes• Ambas expresan la misma comparación

• Cada 3 Azules Cada 6 Azules

• Hay 4 rojos Hay 8 Rojos

y..........43

86

RAMV. 9

Como encontrar razones equivalentes

• Para encontrar razones equivalentes a una razón dada, podemos hacerlo por:

• A) Amplificación

• B) Simplificación

RAMV. 10

A) POR AMPLIFICACIÓN

Amplificando por 2

Amplificando por 3 Amplificando por 4

52

104

156

208

52

RAMV. 11

B) Por Simplificación

Simplificando por 2

• Simplificando por 3

Simplificando por 4

2412

126

84

63

RAMV. 12

PROPORCIONES

• Una proporción es una igualdad de dos razones equivalentes

• Una proporción la podemos anotar de dos maneras:

• o también:

En ambos casos de lee “a” es a “b” como “c” es a “d”

dc

ba

dcba ::

RAMV. 13

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN

• Los términos de una proporción se denominan de la siguiente manera:

Extremos

Medios

dcba ::

RAMV. 14

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES

• En toda proporción se cumple que, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Por ejemplo, en la proporción:Se cumple:

dc

ba

cbda **

610

35

10*36*5 3030

RAMV. 15

Aplicando la propiedad fundamental, se puede encontrar

el término desconocido de una proporción

8,48

3x

x388,4

*______

24

______

8,4x

5

RAMV. 16

Algunas propiedades de las proporciones

• Para una proporción se cumplen las siguientes propiedades, entre otras:

• 1) Intercambiar los extremos

dc

ba

abcd

_____ = ______

RAMV. 17



• 2) Intercambiar los medios

dc

ba

abcd

_____ = ______

RAMV. 18



• 3a) Componer

dc

ba

abcd

________ = _________

bac

RAMV. 19



• 3b) Componer

dc

ba

abcd

________ = _________

bac

d

RAMV. 20



• 4a) Descomponer

dc

ba

abcd

________ = _________

bac

RAMV. 21



• 4b) Descomponer

dc

ba

abcd

________ = _________

bac

d

RAMV. 22



• 5) Componer y Descomponer a la vez

dc

ba

abcd

________ = _________

bac

d

RAMV. 23

Aplicaremos todas las propiedades vistas, para la siguiente proporción

1220

35

RAMV. 24

1) Intercambiar los extremos


• 1) Intercambiar los extremos

1220

35

532012

_____ = ______

3*2012*5 6060

RAMV. 25

Intercalar los medios


• 2) Intercambiar los medios

1220

35

532012

_____ = ______

3*2012*5

6060

RAMV. 26



• 3a) Componer

1220

35

532012

________ = _________

3520

2032

58

32*520*8

160160

RAMV. 27



• 3b) Componer

1220

35

532012

________ = _________

3520

12

1232

38

32*312*8

9696

RAMV. 28



• 4a) Descomponer

1220

35

532012

________ = _________

3520

208

52

8*520*2

4040

RAMV. 29



• 4b) Descomponer

1220

35

532012

________ = _________

3520

12

128

32

8*312*2

2424

RAMV. 30



• 5) Componer y Descomponer a la vez

1220

35

532012

________ = _________

3520

12

832

28

32*28*8

6464

RAMV. 31

CLASES: 26 JULIO 2016

Contenidos1. Razones y Proporciones

1.1 Definiciones: razón y proporción1.2 Teorema fundamental de la proporciones1.3 Serie de Razones1.4 Proporcionalidad directa1.5 Proporcionalidad inversa1.6 Proporcionalidad compuesta.

1.7 Proporción directa y función lineal 1.8 Función lineal y afín

1. Razones y proporciones

• Razón: Es la comparación entre dos cantidades cualesquiera.Su notación es: a

b ó a : b

y se lee: “a es a b”

1.1 Definiciones

a : antecedente, b : consecuente

Nota: Es importante el orden de nombramiento en una razón.

Por lo tanto:

= 9,94…179.45018.051

Densidad Poblacional =

Km2 viven aproximadamente 10 personas.

Ejemplo:La razón entre “población” y “superficie”, se conoce como Densidad Poblacional. Por ejemplo, la población de la ciudad de Concepción es de 179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051 km2.(Según los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadística).

En cada

• Proporción: Es la igualdad de dos razones:

ba

d= c ó a : b = c : d

y se lee: “ a es a b como c es a d ”

Además, a y d : extremos

c y b : mediosEjemplo:

43

20= 15

1.2 Teorema fundamental de las proporcionesEl producto de los medios es igual al producto de los extremos.

ba

d= c ad = bc

ad = bca : b = c : d

Ejemplo 1:

4

5

20= 25

Es una proporción ya que 5∙20 = 4∙25 = 100

Ejemplo 2:La razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número de dulces que tiene su hermano es 2 : 3.Si Agustín tiene 12 dulces, ¿cuántos dulces tiene su hermano? Solución:Si x es el número de dulces del hermano, entonces:

Dulces de Agustínx 3

= 2

x12

3= 2

2x=36x=18

Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces.

1.3 Serie de razonesEs la igualdad de 2 o más razones.

ba =

dc =

fe = ……… = k

21 =

42 =

63 = ……… = 0,5=

84 =

105

ó

a : c: e: … = b : d: f : …

Ejemplo 1:

k: valor de la razón o constante de proporcionalidad k IR

(Valor de la razón)

Ejemplo 2:a : b : c = 3 : 5 : 6

a + b + c = 42

Si , determinar a, b y c.

Solución: a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces: Si

=5

b =6

c = k3

a

Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k

Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42

14k = 42k = 42

14

k = 3

Por lo tanto: a = 9, b = 15 y c = 18

(Constante de proporcionalidad)

40

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

RESOLVER EN PIZARA.

TRABAJO EN CLASE.

41

PROPORCIÓN DIRECTA• Observemos la siguiente tabla de valores

• En primer lugar, cuando la variable X aumenta, la variable Y también aumenta.

• Segundo, si efectuamos los cuocientes entre los valores de Y con los respectivos valores de X, obtenemos:

• Siempre se obtiene un mismo valor (CONSTANTE)

X 2 3 5 6 7 8

Y 3 4,5 7,5 9 10,5 12

5,123

5,135,4

5,155,7

5,169

5,175,10

5,1812

RAMV. 42

Cuando esto ocurre, es decir:

• 1) Si al aumentar la variable X, la variable Y, también aumenta.

• 2) Los cuocientes entre los respectivos valores de las variables es siempre el mismo.

• Diremos que las variables son: DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.Al valor de los cuocientes, se le llama

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

43

Gráfica de una proporción directa

• Si efectuamos la gráfica de los valores de la tabla, tenemos:

X 2 3 5 6 7 8Y 3 4,5 7,5 9 10,5 12

RAMV. 44

Podemos concluir que:

• La gráfica de una Proporción directa, es una Línea recta que pasa por el origen.

RAMV. 45

PROPORCIÓN INVERSA• Observemos la siguiente tabla de valores

• En primer lugar, cuando la variable X aumenta, la variable Y disminuye.

• Segundo, si efectuamos los productos entre los valores de Y con los respectivos valores de X, obtenemos:

• Siempre se obtiene un mismo valor (CONSTANTE)

X 2 4 5 8 10 16

Y 4 2 1,6 1 0,8 0,5

82*4 84*2 85*6,1 88*1 810*8,0 816*5,0

RAMV. 46

Cuando esto ocurre, es decir:

• 1) Si al aumentar la variable X, la variable Y, disminuye.

• 2) Los productos entre los respectivos valores de las variables es siempre el mismo.

• Diremos que las variables son: INVERSAMENTE PROPORCIONALES.Al valor de los PRODUCTOS, se le llama

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

RAMV. 47

Gráfica de una proporción inversa

• Si efectuamos la gráfica de los valores de la tabla, tenemos:

X 2 4 5 8 10 16Y 4 2 1,6 1 0,8 0,5

RAMV. 48

Podemos concluir que:

• La gráfica de una Proporción inversa, es una Curva llamada Hipérbola, con los ejes como Asíntotas.

RAMV. 49

Como Resolver un problema relativo a Proporciones

• Para resolver un problema relativo a proporciones siga los siguientes pasos:

• 1) Lea comprensivamente el problema e identifique los datos relevantes.

• 2) Anote los datos en columnas, de modo que cada columna posea sólo datos del mismo tipo.

• 3) Represente con una x, el dato desconocido.• 4) Determine si las variables están relacionadas

mediante proporción directa, o inversa.

RAMV. 50

Como Resolver un problema relativo a Proporciones

• 5a) Si los datos están relacionados directamente, plantee una proporción con ellos tal como se encuentran en las columnas.

• 5b) Si los datos están relacionados inversamente, primero invierta una de las columnas y luego plantee la proporción .

• 6) Encuentre el término desconocido de la proporción.• 7) Dé la respuesta en forma escrita

RAMV. 51

Ejemplo 1. Proporción directa

• Doña Juanita, el Sábado se levantó temprano y a las 9 de la mañana estaba camino a la feria con su amiga Marta, doña Juanita, entre otras cosas compró tres kilos y medio de limones y gastó en esta compra $980. ¿Cuánto pagó la señora Marta si compró tres kilos de los mismos limones?.

RAMV. 52

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros,¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

RAMV. 53

Ejemplo 2. Proporción inversa

Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera:

RAMV. 54

Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro

amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera:

• Las variables involucradas en el problema son número de personas que pintan el dormitorio y tiempo que demoran en pintarlo.

• Con lo anterior tenemos que completar nuestra tabla de valores.

• Podemos deducir que si hay más personas ayudando a realizar el trabajo.

• Demoramos menos tiempo en realizarlo.• Por lo tanto es una proporción Inversa.

N° Personas

Tiempo

2 6

3 x

RAMV. 55

Carlos y Daniel están pintando un dormitorio, cuando terminan se dan cuenta que demoraron 6 horas exactas en realizar el trabajo, Carlos pregunta a Daniel; ¿Cuánto habríamos demorado si nos hubiera ayudado nuestro

amigo Esteban?. Para responder a esta pregunta procedemos de la siguiente manera:

• Por lo tanto, invertimos una de las columnas de la tabla, y formamos la proporción.

• El valor de x, se obtiene al resolver:• Es decir, el valor de x es: • Si les hubiera ayudado su amigo Esteban habrían

demorado 4 horas en pintar el dormitorio.

N° Personas

Tiempo (hrs.)

2 6

3 x 632 x

32*6

x312

4x

RAMV. 56

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18hombres para realizar el mismo trabajo?

Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días.¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

1.6 Proporcionalidad compuestaEs aquella en que intervienen más de dos variables inversamente proporcionales y/o directamente proporcionales.Ejemplo:

Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros se necesitan para pavimentar 5 km en 10 días?

N° de obreros Kilómetros de camino N° de días20 2 5

x 5 10

En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables (la incógnita y las otras variables):

•Obreros (O) – longitud del camino (L): están en proporcionalidad directa (entre más obreros, más km de camino se pavimentarán), por lo tanto:

5220

x

Obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa (entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino), por lo tanto:

51020

x

xx*x*x*

*x

2520500202520

252020

5510220

Respuesta: Se necesitan 25 obreros para pavimentar 5 km en 10 días.

En un juzgado trabajan 4 estudiantes de Derecho con una carga de 6 horas diarias durante 5 días, han leído 240 casos. ¿Cuántos días necesitarán trabajar 3 estudiantes si trabajan 8 horas diarias para leer 300 casos?

EJEMPLO 3. Tres motores iguales funcionando 6 horas necesitan 9000 litros de agua para refrigerarse. ¿Cuántos litros de agua necesitarán 5 motores funcionando 8 horas?

EJEMPLO 4: Tres obreros trabajando 8 horas diarias realizan un trabajo en 15 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer el trabajo 5 obreros trabajando 9 horas?

RAMV. 60

Tres grifos llenan un depósito de 10 m3 en 5 horas. ¿Cuánto tardarán en llenar un depósito de 8 m3 dos grifos iguales a los anteriores? RESP. 6 HORAS

Con 12 kilos de pienso 9 conejos comen durante 6 días. ¿Cuántos días tardarán 4 conejos en comerse 8 kilos de pienso? RESP. 9 DIAS.

Dos amigas juntan 1,20 y 1,80 dolares que tenían para comprarun paquete de pergaminas de una serie de dibujos animados. Elpaquete contiene 120 pergaminas. ¿Cómo deben repartírselas de forma justa?

RAMV. 61

EJERCICIOS TRABAJO EN CLASES: CALCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION.

Conociendo tres términos cualesquiera de una proporción, es siempre posible calcular el cuarto término, basándonos en las propiedades ya explicadas.

a) 12 : 15 = 26 : x b) b) 3,6 : x = 54 : 17c) 16 ; 21 = 20 : x d) x : 9,4 = 0 : 23e) 2½ : x = 1¼ : 4 ¾f) ( 3 – x ) : 8 = ( 5 – x ) : 6g) ( x + 8 ) : 4 = ( x + 3 ) : 9

RAMV. 62

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS.- deber proyecto de aula1. ¿Cuánto valen 850 ladrillos a $ 19.000 el mil?2. Una gruesa de lápices ( 144 unidades ) cuesta $

6.800 ¿Cuánto cuestan 450 lápices?3. ¿Cuánto cuestan 4 camisetas a $ 16.000 la

docena?4. ¿Cuánto valen 75 sobres a $ 2.800 el ciento?5. ¿Cuánto cuestan 27 duraznos a $ 480 la

docena?

RAMV. 63

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES INVERSAS.- deber proyecto de aula

1. 7 obreros hacen un trabajo en 15 días. ¿En qué tiempo lo harían 21 obreros en igualdad de condiciones?

2. 3 llaves llenan un estanque en 7 horas. ¿En qué tiempo lo llenarían 5 llaves iguales?

3. 20 hombres concluyen una obra en 6 días. ¿En que tiempo lo terminarían 5 hombres?

4. 6 jóvenes tardan 8 días en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardaría un joven?

5. Un estanque se llena en 16 horas con un caudal de 15 litros por segundo. ¿Cuántos l/seg habría que echarle para que se llenara en 12 horas?

64

PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES DIRECTAS E INVERSAS.- deber proyecto de aula

1. 5 m de elástico valen $ 800. ¿Cuánto valen 8 m del mismo elástico?2. 3 litros de aceite valen 3.120. ¿Cuánto valen 4 litros?3. Para hacer un trabajo en 4 días se ocupan 9 hombres. ¿Cuántos

hombres lo harían en un día?4. 12 m de género valen $ 18.000.¿Cuántos m podré comprar con $

45.000?5. Los lados de un rectángulo están en la razón 1 : 2. Si el lado menor

mide 2,3 cm. Calcula la longitud del otro lado y el perímetro.6. Con 18 kg de cemento se pueden preparar 100 kg de concreto.

¿Cuántas toneladas podemos preparar con una tonelada de cemento?7. Un terreno de 250 m2 vale 3.750.000. ¿Cuánto costará otro terreno

similar que mide 28 m de fondo por 10 m de ancho?8. Una casa de 9,5 m de alto, proyecta una sombra de 12,4 m. ¿Qué altura

tiene otra casa que a la misma hora proyecta una sombra de 39,75m?

65

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA. Deber proyecto de aula

1. Alimentar a 12 animales durante 8 días cuesta $ 8.000. ¿Cuánto costará alimentar a 15 animales durante 5 días?

2. Se tienen 2 máquinas iguales para revelar fotos . Funcionando durante 5 horas revelan 1.200 fotos al día. ¿Cuántas fotos podrán revelar 6 máquinas iguales a la anterior, pero funcionando 7 horas?

3. 6 cajas de tarros de conservas de 8 tarros c/u valen $ 2.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de12 tarros c/u?

4. 12 operarias confeccionan 192 abrigos en 20 días de 8 horas de trabajo. ¿Cuántas horas deben trabajar diariamente 18 mujeres para confeccionar 270 abrigos en 25 días?

66

PORCENTAJES• Un porcentaje es una razón de consecuente

1oo.

• Esto quiere decir que un porcentaje es una comparación que se establece en relación a cada 100 unidades.

• El símbolo utilizado para porcentaje es %.

67

PORCENTAJES

• Según lo anterior podemos afirmar que:

• 5 % = • Significa 5 de cada 100

• 12 % =

• Significa 12 de cada 100

1005

10012

RAMV. 68

Porcentajes• Un porcentaje lo podemos expresar de distintas

formas: • Como una razón

• Como una fracción • irreductible

• Como un decimal

%1210012

10012 4:

4: 253

100:1210012 12,0

69

Porcentajes

• Existen algunos porcentajes que se pueden calcular rápidamente, en forma mental

• El 50%• Para calcular el 50% de un número basta con

calcular la mitad del número• El 50% de 34 es • El 50% de 18 es• El 50% de 72 es• El 50% de 5 es

17936

5,2

70

Porcentajes


• El 25%• Para calcular el 25% de un número debemos

calcular la mitad, de la mitad del número• El 25% de 60 es • El 25% de 18 es• El 25% de 2 es• El 25% de 84 es

15

5,45,0

21

71

Porcentajes


• El 75%• Para calcular el 75% de un número debemos calcular

primero el 25% y luego el resultado multiplicarlo por 3• El 75% de 40 es • El 75% de 8 es• El 75% de 120 es• El 75% de 6 es

306905,4

72

EN General

• Si quiero calcular el t% de n, procedo:

nt *100 100

*nt

73

Como resolver un problema que involucre porcentajes

• Todo problema relativo a porcentajes, se le debe dar un tratamiento de proporcionalidad directa, por lo tanto se debe proceder como explicamos anteriormente, pero además debemos tener presente la siguiente consideración:

• Al anotar los datos en columnas, al total de los casos, debemos hacerle coincidir el 100%

74

Ejemplo 1

• En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca. Si los alumnos becados son 43.

• ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?

75

En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca. Si los alumnos becados son 43.¿Cuántos alumnos tiene el colegio?

• Anotamos los datos en columnas, de modo de asignar al total, el 100%

• En este caso, no conocemos el total de alumnos, (x), por lo cual a la x, le asignamos el 100%

• Al plantear la proporción y resolverla tenemos:

• Por lo tanto el colegio tiene 860 alumnos

Alumnos %

43 5

x 100

100543

x 5

100*43x

54300

x 860x

RAMV. 76

Ejemplo 2

• En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica?

RAMV. 77

En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica?

• Como se observa al leer comprensivamente el problema, el total de los casos corresponden a los 120 operarios, por lo cual a dicha cantidad, debemos asociarle el 100%. De esta manera, tenemos la siguiente tabla.

• Con dichos datos planteamos y resolvemos la proporción:

Operarios %

120 10018 x

78

En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica?

• Por lo tanto, los 18 operarios, representan el 15% de los 120 trabajadores.

Operarios %

120 10018 x

x100

18120

120100*18

x1201800

x12180

x 15x

anexo 1. clases

Art & Photos