Analogia fisikarien sormenean

Bernoulliren jariakina eta Pauliren esklusioa

Jakintza-arloa: Filosofia

Egilea: ALAIN ULAZIA MANTEROLA

Urtea: 2013

Zuzendaria: JESUS M. LARRAZABAL ANTIA

Unibertsitatea: UPV/EHU

ISBN: 978-84-8438-495-3

Aurkibidea

I. Hitzaurrea..........................................................................................................................................3

II. Analogia eta sormena.......................................................................................................................5 1. Ikuspegi historikoa analogiaz.........................................................................................................9 2. Sormenaren bidezidorrak eta abdukzioa.......................................................................................12 3. Jarduerez gorpuztutako matematika eta eskemak.........................................................................16 4. Analogia prozesu sortzailean.........................................................................................................22 5. Orokorpena eta abstrakzioa xede ..................................................................................................29 6. Inbariantza eta simetrien heuristika...............................................................................................30

III. Bernoulliren jariakina ..................................................................................................................36 1. Hydrodynamicaren oinarriak.........................................................................................................40

1.1. Lehen analogia nagusia, aitzin-eredua edo probokatzailea ..................................................41 1.2. Kalkulurako analogia igorlea: Jariakinen abiadurak edukiontzitik isurtzerakoan.................46 1.3. Higidura orokorra hodietan zehar .......................................................................................49 1.4. Likido baten isurketa edukiontziaren azpialdetik .................................................................51

2. Analogia eta irudien arteko elkarrekintzak ..................................................................................53 2.1. Diagramak: korronte-lerroak.................................................................................................53 2.2. Analogia ebaluatiboa motus intestines aztertzerakoan..........................................................55

3. Hidrauliko-estatika ..................................................................................................................60 3.1. Danielen gogo-esperimentua ................................................................................................60 3.2. Bernoulliren Teorema lehenbizikoz adierazia ......................................................................62

4. Ondorioak......................................................................................................................................67 5. Johannen formalizazioa Hydraulican ..........................................................................................68

5.1. Kalkulurako analogia igorlea translazio bidez ......................................................................68 5.2. Zirimolaren irudia..................................................................................................................69 5.3. Bernoulliren Teoremaren azken formulazioa. Barne presioa. .............................................72

6. Ondorioak ....................................................................................................................................76

IV. Pauliren esklusioa mekanika kuantiko zaharrean.........................................................................78 1. Mekanika kuantikoaren aitzinamendu harrigarria.........................................................................78

1.1. Historia laburra......................................................................................................................80 2. Bohrren eredua eta esklusio araua Mekanika Kuantiko Zaharrean...............................................81

Espektro.........................................................................................................................................81 2.1.Espektrotik egitura atomikora.................................................................................................81 2.2. Nukleo analogiko igorlea ala eredu esplikatzailea................................................................84 2.3. Printzipio analogiko bat ardatz: korrespondentzia printzipioa..............................................86

3. Gogo eskema baten aurrerapena? ................................................................................................88 3.1. Zenbaki kuantiko erdi-osoen misterioa..................................................................................89 3.2.“Mugapen ez-mekanikoa”?.....................................................................................................94 3.3. Ukapena porrot gisa .............................................................................................................96 3.4. Aldebikotasunetik esklusio arauraino....................................................................................98 3.5. Esklusioaren gogo eskema eta spin birakariaren heresia.....................................................102

4. Irudikagarritasunarekiko Pauliren jarreraz .................................................................................105 5. Ondorioak....................................................................................................................................107

V. Pauliren esklusioa mekanika kuantiko berrian.............................................................................110 1. Mekanika Kuantiko Zaharretik Berrira.......................................................................................110

1.1. Esklusioa eta uhin-funtzio antisimetrikoak..........................................................................114 1.2. Pauliren ekuazioa: spinoreak eta spin-matrizeak ...............................................................117 1.3. Noetherren teorema inbariantzen aplikaziorako..................................................................123

1

1. 2. Osziladore harmonikoaren kuantizazioa: igotze eta jaiste eragileak eta bigarren kuantizazioaren metodoa............................................................................................................................................127

2.1. Elektrodinamika kuantikotik eremuen teoria kuantikora....................................................132 3. Diracen elektroiaren ekuazioa, spinaren jatorria eta zulo teoria ...............................................139

3.1. Katakresia partikulen fisikan...............................................................................................144 3.2. β desintegrazioko neutrinoa eta zulo teoriaren kontrako artikulua......................................146

4. Spin-estatistika teoremaren frogapenerantz................................................................................151 5. Ondorioak....................................................................................................................................154

Eranskinak ..............................................................................................................................158

VI. Erreferentziak.............................................................................................................................161

2

I. Hitzaurrea

Fisikariek darabiltzaten gogo ereduen eraikuntzan analogia zertan den jakin nahi da lan honetan. Adibide historiko ezberdinetan analogiak ereduarekiko zein rol bete duen aztertzea izango da gauza. Rol diodanean ikuspegi funtzionalista hartu nahi dut aintzakotzat, ereduaren eraikuntzan analogia mota ezberdinek betetzen duten funtzioaz ariko naiz eta. Horrela bada, ereduarekiko funtzioa eta rola izango da analogiak sailkatzeko irizpidea, eta azterketa hau esplikazio onena bilatzen duen arrazoiketa marko abduktiboaren baitan garatuko da. Ex nihilo edo eureka gisa argitzen diren ideiez baino, hainbat mugapen enpiriko eta teorikoren barnean elkar eragiten duten tresna heuristikoen ekarpen gisa emana dator sormena. Tresna horietako bat izango da analogia, eta beste baliabide heuristikoekin nola kooperatzen duen ikustea gure xedea.

Hainbat adibide historiko laburrez ilustraturik sormenaren eta analogiaren irizpide orokor hauek ezarriko dira tesiaren lau zatietako lehenengoan. Beste hiru zatietan bereziki aukeratu diren kasu historikoak landuko dira, jariakinen mekanikari eta mekanika kuantikoari lotuak. Zergatik aukeratu dira fisikaren arlook? Bai jariakinen mekanikak eta bai mekanika kuantikoak, beraien genesian, ohiko fisika newtondarraren problemek eskaintzen ez zuten iruditegi berria garatu behar izan zutelako. Analogien bitxitegi izan ziren bi arloak garaiko fisikariek iturri analogiko berritzaileak asmatu, eraiki edo topatu behar izan zituzten heinean.

Halaz, tesiaren bigarren zatian Bernoulliren Teorema ezaguna agertu zenean Daniel eta Johann Bernoullik idatzitako funtsezko bi obrak izango dira aztergai: Hydrodynamica eta Hydraulica. Puntu ezberdin anitz lantzen dituzte bi obrek, batez ere lehenengoak, eta ardatza Bernoulliren Teorema izango den arren, fluidoek aurkezten dituzten askotariko fenomenoak eta hauetaz pentsatzeko kontzeptuak lantzeko balio duten analogia ugari topatu dira. Esaterako, presioaren isotropia da garrantzizko kontzeptu horietako bat.

Ondorengo bi kasuetan sartzen da mekanika kuantikoa. Izan ere, tesiaren hirugarren eta laugarren zatian Pauliren Esklusio Printzipioaren jarraipen historikoa burutzen da. Bi kasu ezberdin gisa aztertzea deliberatu da, izaera ezberdina baitauka esklusioak mekanika kuantiko zaharrean eta mekanika kuantiko berrian. Mekanika kuantiko zaharraren testuinguru espektroskopikoan konfigurazio elektronikoa baldintzatzen duen debeku arau bat baino ez da, eta berriaren mekanika-matrizialaren eta eremuen teorika kuantikoaren baitan soilik lortzen du printzipio gisako estatus nomikoa.

Gauzak honela, Bohrren eredu atomikoaren sorrerari buruz arituko gara hirugarren kasuaren hasieran bertan iradokitzen baitira, nahiz eta formalki ez izan lehenbizikoz, fisikaren iruditegia errotik aldatuko zuten berrantolaketa eta kontaketa eskemak. Mugapen ez-mekaniko 'misteriotsuen' artean mamitu zen esklusioaren eta egoera okupatuaren ideia, eta honek maila axiomatikoa hartu zuen analogiarekin kooperatu zuen izaera eskematikoaz. Esklusio arauak, hala eta guztiz ere, ez zeukan adiera fisikorik eta datu espektrometrikoak azaltzeko zerabilten preskripzio fenomenologiko bat baino ez zen.

3

2.Laugarren eta azken zatian esklusio araua printzipio bilakatzen da. Egoera-funtzio

antisimetrikoak Pauliren araua betetzen zuten partikula sistemei deskribapen matematikoa eskaini zien partikula identikoen bereizezintasunaren altzoan. Horrela sartu zen Esklusio Printzipioa eremuen teoria kuantikoan Pauliren matrize aljebrak, osziladore harmonikoaren kuantizazioak eta beste analogia operatibo batzuek eskaintzen zuten metodoaren bidez. Izaera manipulatiboa zuten analogia hauen azken emaitza handia izan zen spin-statistika konexioa, unibertsoko bi partikula motak eta hauen antolakuntza estatistikoa lotzen dituen teorema. Hor erdietsi zuen Esklusio Printzipioak fisikako printzipio unibertsalen gorentasuna.

Ohikoa da horrelako ikerketa baten amaieran azken ondorioak ateratzea. Nik beste bide bat hartu dut. Ondorioak zati tematiko bakoitzaren amaieran jarri ditut eta, horrela, ezin bada ondorioen ondorioak aurkeztu amaierako errepikapen gisa edo. Hori bai, ondorioen garrantzia kasu bakoitzaren testuinguruan neurtu behar da, ez nahitaez luzapenaren arabera.

Ondorioak ondorio, aurrekariak dira ezinbesteko, eta halakoa da adierazi nahi diedan esker ona: Urkamendiko eta Andikoetxekoei, gurasoei sortu eta hazi nindutelako, anaiaren determinazioari, Lolesi argitasunagatik, Enetzen egoskorkeriari, Jesus Mariren laguntza sistematikoari, eta baita Baba lau-hankakoari ere, idatzi bitartean hankak epeldu dizkidalako.

4

II. Analogia eta sormena

Sormenari estuki lotzen dio analogia euskal aditz batek. Antzeman aditza, 'igarri' edo 'asmaturen' sinonimoa da. Arazo bati antz ematea edozein problema ebazpenetan gakoa den ideia otutzea da. Eta aditz honen esanahiak, interesgarriki, erabat bat egiten du analogiaren muinarekin, antzekotasunarekin. Halatan, euskaraz pentsamendu maila abstraktua onartzen diogu, ez baikenituzke baztertuko honako esaldiak problema matematiko abstraktu batekin ezinean gabiltzanean: “ezin dut ezer antzeman buruketa honetan”, “Antzik eman al diozu Rubicken kuboari?”. Honenbestez, galdera hau sortzen da: pentsamendu analogikoa sormen prozesu abstraktuenetan agertzeko kapaz da, ala ez? Galdera gazduna hau, askorentzat analogiak pentsamendu primitibotik harago ez baitu ezer ekarri zientzia garatu duen pentsamendu abstraktuarentzat.

Ezkortasun honi analogiaren definiziotik bertatik erantzun dakioke. Sormenaren esparruan analogia bi eiteren arteko antzekotasuna adieraztea baino gehiago da. Antzekotasun erlazioak, mapping ere deituak, zentzu bat dauka, iturritik iturakoa, ituan argitzea nahi den problemarentzat ideia berri bat, soluzio bat, dakarkigulako iturritik. Iturritik itura doan propietate baten transferentzian dago gakoa. Horregatik ez da nahastu behar analogia metaforarekin, bere horretan duen polisemiagatik hain nahasgarria denarekin.

Metafora terminoa literaturan usu erabili ohi da, eta analogia biologia edo gramatika bezalako zientzietan. Honela bada, bi eiteren arteko antza adieraztean, antzekotasuna nolakoa den arabera, bata edo bestea erabiltzeko joera dago. Analogia antzekotasuna estrukturala eta doia denean erabiltzen da, azterbide zientifikoari lotuagoa denean. Beraz, fisikaren kasuan, zilegiago dirudi analogiaz hitz egiteak esperientziak eta zehaztasun matematikoak antzekotasun konexioen gain ezartzen duten mugapena zorrotzagoa eta estuagoa den heinean. Blackek (1993, 30 or.) bere “elkarrekintza metafora” deskribatzean metafora oro hondoratutako eredu baten punta dela esan zuen. Nolabait, metafora punta bada, ereduaren baitan analogia hondorago legokeena litzateke, beste fenomeno, teoria nahiz aitzin-ereduetatik transferitzen den estruktura errebelatzeko lain sakonduta.

Baina kontuz: metaforak ez du analogia ziurtatzen, ezta estruktura definitua duen eredurik ere. Metaforan ez dago analogiak daukan oinarri konparatiborik, 'tertium comparationis' delakoa. Fisikan adibideak ugari dira, teoria hainbat pilatzen dituzten fenomeno konplexuetan bereziki. Egungo fisika modernoak aztertzen dituen fenomenoetan teoria ezberdinek argitzen dituzten azpi-eredu desberdinez osatutako eredu ahalik koherenteena eratu nahi izaten da. Horko metafora asko

5

ez dira inondik ere eraikitzaileak eta estrukturalak, neurri batean baliabide erretorikoak dira. Eta ez dute analogiarik inplikatzen. Lente grabitatorioena da adibide ona: fenomenoaren kausak esplikatzerakoan ez dago sakoneko analogiarik optikaren eta erlatibitate orokorraren artean. Beraz, analogiak ez du zerikusirik metaforarekin, eta sormen prozesu bat aztertzerakoan analogia izan behar da, bere horretan, ikuspegi berriak dakartzan eta ereduaren eraikuntzan funtzio bat betetzen duen heinean, azterketa gaia.

Honela bada, zorrotzak izanda, estruktura bat duten erlazio multzoen transferentzia da analogiarekin gauzatutakoa. Erlazioetaz eta hauen transferentziaz, hots, analogiaz, jarduteko ikuspegi egokia eskaintzen du kategorien teoriak. Erlazioa binarioa denean (bi kategorietako bi objektu lotzen dituen erlazioa) morfismoa deitzen zaio kategorien teorian, aldiz, objektu multzoen arteko erlazio multzoentzat diagramak izango ditugu. Zehazki, A kategoria bateko objektuen arteko erlazioen (morfismoa) B kategoriarako transferentzia F funktoreak ezartzen du:

MorA A1, A2Mor B F A1 , F A2 ;

eta mailaketa bat egiten da transferentzia honen izaeraren arabera1. Transferentzian zehar kontserbatzen eta islatzen dena sailkatzeko bidea ematen digu bereizketa honek. Halaz, kategoria teoriaren baitan,

(def) F funktore batek propietate bat kontserbatzen duela esaten da baldin eta, propietate horixe A kategoriako objektu, morfismo edo diagrama batek edukita ere, objektuaren, morfismoaen ala diagramaren funktorearen meneko irudiak propietate horixe daukanean B kategorian; era berean, analogiak propietate bat kontserbatuko du itura iturriko propietate bat transferitzen duenean. (def) F funktoreak propietate kategorial bat islatzen duela esaten da baldin eta, funktorearen meneko objektu, morfismo edo diagrama baten irudiak B kategorian propietate hori izanik, objektu, morfismo edo diagrama horrek propietate horixe duenean A kategorian; halaber, analogiak propietate bat islatuko du aztertzen ari garen itu fenomenoko propietate bat iturrian ere badagoenean.

Egun, esperimentu kognitiboen diseinuan iraultza txiki bat gertatzen ari den honetan, kategorien teoriak eskaintzen dituen bereizketa kualitatibook interesgarriak izan daitezkeela nabarmendu behar da. Orain arte erabili diren teoria probabilistiko eta estatistiko kuantitatiboetatik aldentzea da gaur egungo joera, eta psikologia kognitiborako eredu matematiko berriak proposatzea. Analogiaren azterketarako balioko luke, akaso, funktoreen mailaketa honek. Eredu matematiko kualitatibootan murgilduko ez naizen arren, analogiaren azterketa probabilistko zurrun horretatik aldentzeko joera izango du lan honek ere.

Formalizazio eta nozio matematikooi gehiegi erreparatu gabe eta kasu partikular bakoitza xeheki aztertu gabe, eredu zientifikoen sorkuntzan analogiak izan duen funtzioa aztertzean defendatzaile sutsuenek sormen prozesuaren errestrikziotzat hartu dute analogia, hau da, ikerketa programaren elementu kognitibo zentral eta iraunkortzat. Analogia oinarrizkotzat zuen muturreko ikuspegi honek aurkako erreakzio gogorrak izan ditu, analogia eredu sorkuntzan ohiko ezaguerak oroitzen dituen mekanismo murritz bat bihurtzerainokoak. Nagelek (1961, 114 or.) ohiko iturri batekiko analogia kontsideratu zuen zientzialarien jardunarentzat. Bere aburuz, teoria zahar eta berri

1 Morfismoen arteko mapping hau, A kategoria barneko objetu guztientzat surjektiboa denean betea edo full deritzo funktoreari; hau da, helburuko morfismo bakoitzari gutxienez jatorriko kategoriaren morfismo bat badagokio; leihala edo faithful mapping hori injektiboa denean; hau da, ez dituenean inoiz jatorrizko bi elementu desberdin helburuko elementu berarekin lotzen; eta ordezkatzailea edo representative B kategoriako objektu ororentzat (B) A kategoriako objektu bat (A) dagoenean, non B eta FA isomorfoak diren.

6

baten arteko analogia ez zen sinpleki azkenari zukua ateratzeko laguntza bat, baizik eta hainbat zientzialarik lortu nahi zuten xede bat. Alta, analogia hau kontu handiz tratatu beharrekoa zela nabarmendu zuen, izan ere, ohiko eredu bat “tranpa intelektual” bat izan liteke. Halaber, Hempelek (1965, 434 or.) analogia “ohiko den horretarako murrizpen”1 gisa zekusan, eta hau eragozpentzat zuen.

Ikuspegi kamutsak dira hauek. Lehenik, mekanika newtondarra ezohikoa gogoan hartzeak sortu zuela oroitarazi behar da, hots, ilargiaz gaindiko eremu zerutiarra hartu zuen iturri analogikotzat egunerokoa dena azaltzeko, alegia, ilargipeko ohiko fisika deskribatzeko; beraz, ez da egokia analogia ohikorantz eginiko sinplifikaziotzat hartzea. Bigarrenik, eredu zientifiko baten parte izateaz gain, analogia domeinu berrietan iturria hartzen duen irudipen bat ere izan daiteke. Adibidez, Einsteinek efektu fotoelektrikoan erakutsi zuen uhin gisa pentsatua izan zena partikula bat ere izan zitekeela; horrenbestez, De Broglierentzat zentzuzkoa izan zen kontrabideko inferentzia burutzea partikula gisa pentsatua dena uhintzat ere har zedin, materia-uhinen existentzia iradokitzeraino. Agi denez, inferentzia analogiko mota hau edozeinen eskura dago, fisikaz ezer asko jakin gabe ere. Beste kontu bat da ideiok matematikoki formalizatzea.

Analogia genesi teorikoan ohikoa den ideia batera doan murrizpentzat, edo oro har kanpo errestrikziotzat, hartzean dago akatsa. Nire tesiaren arabera, gogo jarduna analogiak eredu eraikuntzari barrutik eragingo balio bezala aztertu behar da. Beste elementu kognitiboekin, datu enpirikoekin eta nagusi den marko teorikoarekin nola elkarrekiten duen aztertu behar da, fase ezberdinetan sormena elikatzeko duen modua analizatzeko. Honek analogiaren garrantzia modu neurtuagoan aztertzeko bidea emango digu, kasu bakoitzean analogia zehatz bat garrantzitsua noiz eta nola den erabakitzeko aurkera emango diguna. Beraz, aitzinamendu zientifikoan analogiak bere ekarria egiten dio sormen prozesuari, baina ez ditu kanpotik honen gainean baldintza iraunkor batzuk ezartzen filosofoen betiko justifikazio testuinguruak bilatzen duen gisan.

Izan ere, justifikazio eta deskubrimendu testuinguruen bereizketa filosofiko klasikoaren baitan kokatzen da neurri handi batean aurkariek analogia ohikorako murrizpentzat jotzearen arrazoia. Justifikazio ikuspegiaren nagusitzak analogia sormen prozesuaren muga gisa begiratu izan du, eta segituan alboratu, ez baitu tajuzko frogapen baterako bermerik eskaintzen formalki. Baina noiztik frogatzen dira fisikan gauzak azken milimetroraino? Deskubrimendu testuinguru dinamikoagoan, non bidegurutzeko kale-edo-baleko esperimenturik kontenplatzen ez den, eredua puntualki norabide progesibo batera eraman lezake analogiak, baina baita ebaluatiboki funtzionatuz posizio teoriko bati berme epistemiko bat eman ere. Berme horrek justifikazio ahul bat dakar, baina justifikazio balorea du azken finean zientzialariak abantzu teorikoarekiko duen konfiantzan.

Ohikoa den horretara egindako murrizpenak irudizko/tekniko bereizketaz errestrikzio izaera galtzen du Panditek (1983) emandako erantzunean. Bi ohikotasun mota bereizten ditu: teoria bat ohikoa izan daiteke betiko zentzuan, hots, irudizko ereduetan oinarritua denean; edo ohikoa izan daiteke zentzu teknikoan, hots, nagusi den ildo zientifikoaren legeetan eta arauetan oinarritua denean. Hots, bi gogo faktore suma daitezke argumentu analogiko batean: faktore bat irudimena izango da eta bestea teoria-teknika ezaguera. Irudimena, analogiak iruditegi batekin konektatzeko ahalmena, izan liteke 'ohikorako murrizpen' etiketa gainditzeko sormen dimentsioa lekarkeena, pentsalari bakoitzak, dituen berezitasunen arabera, ezagun zaizkion irudi oso bereziak izan baititzake buruan.

Izatez, fisika klasikoan Panditen bereizketa ez da garrantzizkoa, eredu mekanikoak eta fisika klasikoaren teknikak berariaz baitira irudikagarritasun handikoak. Fisika modernoak, alabaina, garbi erakusten du teoria bat pentsalariarentzat ohikoa izan daitekeela zentzu teknikoan, baina inondik

1 Reduction to the familiar

7

inora ere ez irudizko zentzuan. Xelebrea da Weinbergek (1992, 66 or.), mekanika kuantikoaren zailtasunetan barna, fisika abandonatu zuen ikasle bizkor batez dioena bereizketa honen amildegiaz ohartzeko: “fisika kuantikoa ulertzen ahalegindu zen”1.

Teknikoki menperatuak dauzkazun adierazpen matematikoak ohiko pentsamoldeez ezin irudikatzeak erotu egin dezake bat. Fisika modernoa, bere espazio ez-euklidearraz eta probabilitate uhinez, amildegi horren ertzean dago. Horiek horrela, fisika modernoan errepresentazio bisualen erabilera zaharkitutzat jo izan da. Honek tentsio interesgarri bat sortzen du, irudizko analogiaren eta isomorfismoen zorroztasun estrukturalaren artean. Egin kontu paradoxari: fisika modernoko irakaskuntza liburu hedatuenek irudikagarritasun ezaren tesia errepikatzen dute euren irakaspenak azaltzeko makina bat irudi darabilten arren. Ezer justifikatzeko balio ez duten arren momentuko sormenari eta ulermenari ezinbesteko ekarpena egiten diote irudi eta diagrama hauek. Gogo ereduari, esplikatzeko ahala duenari, barne ekarpena egiten diote nola irudiek hala analogiek.

Izan ere, eredua eta analogia ere inondik inora ezin dira nahastu. Domeinu teoriko batetik fenomeno edo arazo batera dagoen zubi gisa analogiarekin parekatu ohi den arren, ereduak, analogiak ez bezala, ahalmen esplikatiboa osatu egiten du. Eredua zenbaitetan aingura analogiko sendo baten inguruan gorpuztua egon arren analogia hutsa baino askoz gehiago da, beste hainbat iturri dituena eta konplexuagoa. Beraz, zer da analogia ereduarekiko? Analogiak zentzu diadikoa, bi osagaikoa, dauka, kasu analogotik (iturritik) itu kasura baitoa. Ereduarekiko duen harremanean, hala eta guztiz ere, erlazio triadiko bat bezala ikustea komeni da analogiaren zerizana. Ikuspegi honetan, iturri analogiko bat edo aingura bat abiapuntu gisa erabilia da, beste elementu batzuen artean, eredu bat eraikitzeko. Adibidez, pilota klasikoen talkatik abiatuta (iturria) talka molekularraren eredua eraikitzen da, zeinak naturan behatutako presioa bezalako fenomenoak (itua) esplika ditzakeen. Noski, talka molekularraren ereduak pilota talken iturritik haraindi dauden osagaiak batzen ditu, tenperatura handitzean partikulen abiadura eta talka kopurua azkartuko dela dioena, etab. Iturri-itu-eredu hirukote hau argi nabarmenduko da elektroiaren Larmorren maiztasunaren kasuan (Pauliren esklusioa, 2.5 atala), non 'gorputz birakari-elektroi' analogian prezesio fenomenoa transferituko den eredu kuantikoa irudi klasiko hau baino askoz konplexuagoa izan arren. Konplexutasun honetan garrantzizkoa da, mekanika klasikoaren baitako formulazio abstraktuenak, hau da, mekanika analitikoak, problema klasikoen konfigurazio konkretutetatik aparte mekanika kuantikoari damaion funtsa. Hor egikaritzen da eredua, lotura analogikoaren gainetik, lotura hori premisa abstraktuagoez justifikatzen duelako.

Ereduak iraganbide bat jartzen du orduan, iturrikoa iturantz transferitzeaz gain bertako fenomenoa esplikatu ahal izateko. Halako eredu bat ez dago axiomatetatik deduzitua, ez erregulartasun enpirikoetatik induzitua ere. Gehiago da iturri ezberdinez osatutako eraikin bat, itu fenomenoa esplikatu ahal izateko espreski diseinatua. Harrek (1961), Nersessianek (2002) eta Clementek (1989) argi bereizi nahi izan dute analogiaren aingura kontzepzioa eta sormen prozesu landu bat medio lortzen den azken eredua. Baina historikoki ez da beti hala gertatu.

1. Ikuspegi historikoa analogiaz

Sorkuntza zientifikoari dagokion ideien historia aberatsa eta anitza izan da. Muturreko bi joera egon dira aniztasun honen mugaldean: hipotesi eraketa hainbat behaketa enpirikoren orokortzearen gain jasotako formazio induktibo tai gabea da (adibidez, Carnap); edo hipotesiak ez-enpirikoki eratuak dira super-arrazonamendu mota bat edo Eureka mekanismo bat medio (adibidez, Polyani). Eskuan

1 Most physicists use quantum mechanics every day in their working lives without needing to worry about the fundamental problem of its interpretation. Being sensible people with very little time to follow up all the ideas and data in their own specialties and not having to worry about this fundamental problem, they do not worry about it. A year or so ago, while Philip Candelas (of the physics department at Texas) and I were waiting for an elevator, our conversation turned to a young theorist who had been quite promising as a graduate student and who had then dropped out of sight. I asked Phil what had interfered with the ex-student’s research. Phil shook his head sadly and said, «He tried to understand quantum mechanics.»

8

dugun ikerketa honek bitarteko ikuspegi bat garatu nahi du, ez hain muturrekoa eta konplexuagoa. Kontuan hartu behar da azken mendean filosofia klasikoak burutu duen lanak, bereziki Poperri esker, hipotesi formazioaren eta sorkuntzaren izaeraren auzia baztertu egin duela eraketan baino atentzio gehiago ipiniaz ebaluazioan. Aipatu den bezala, justifikazio testuinguruak alboratu egin du deskubrimendu aspektua. Hala ere, orain, hainbat zientzialari eta filosofok arrazonamendu analogikoaren eginkizuna nabarmendu egin du eureka eta indukzioaren nahiz justifikazio eta deskubrimenduaren bitartean.

Historikoki, egungo azterketa kognitiboei bide eman dien ezagutzaren ikuspegia epistemologia pragmatikoa izan da. XX. mende hasieran aurki daitezke elementu pragmatiko hauek ezagutzaren filosofian, positibismo logikoan, Poincaréren konbentzionalismoan, edota mekanika kuantikoaren Kopenhageko interpretazioan. Filosofia honek zientzia kognitiboaren lanak dominatzen ditu orain ere. Epistemologia pragmatikoaren arabera, ezagutza ingurua ahalik eta sinpleen irudikatu behar duten ereduz osatua dago (Quine 1969). Ez dago eredu erabatekorik, hots, kontraesankor irudi dezaketen arren eredu diferenteen existentzia paraleloa onartu egin behar da. Aukeratutako eredua ebatzi beharreko problemaren araberakoa da horrela. Problema ebazpen ahalik sinpleenak eta iragarpen testagarriak eman beharko dira. Ereduok nondik datozen edo non dauden jakitea ez da garrantzizkoa: azpi-ereduak elkartuz, datu enpirikoak kale-edo-baleka probatuz, eta jarraibide heuristiko eta intuitiboak identifikatuz ereduak nola eraikitzen diren aztertzea da xedea.

Ikuspegi pragmatiko honetaz aparte, zientzia kognitiboaren sorrera konputagailuarekiko analogiak piztu zuen arren, paradoxikoki, analogia bera denbora luzez alboratua izan du ikerketa kognitiboak. Analogiaren ikuspegi modernoa eratzen lagundu zuten, hasiera batean, Hessena (1966) gisako lanek, non analogiak zientzian duen rola aztertzen zuen honen deskubrimendurako eta aldaketa kontzeptualerako indarra azpimarratuz. Bi analogia mota desberdintzen zituen Hessek: analogia formala eta analogia materiala. Lehen kasuan, erlazio axiomatiko eta deduktibo berdinek elkarlotzen dituzte antzeko sistemen subjektu eta objektuak (iturria eta itua). Hemen, erlaziook ekuazio berdinez dira deskribatuak, gogorra da halaz analogia, zirkuitu elektriko osziladorearekin eta penduluaren ekuazioekin gertatzen den gisan. Aitzitik, analogia materialean sistemen arteko antzekotasun fisikoa dago tartean, mekanika newtondarra obedituz igualtsu jokatzen duten gas molekulen eta billar bolen arteko analogian bezala.

Hessen lan aitzindaria hor egonik ere, denbora luzez zientziaren sormenean duen zeregina aztertu beharrean analogiari buruzko ikerketa gehienak lau terminoko analogia-problemetara mugatu ziren, adimen testetan erabiltzen diren gisakoetara; adibidez, sagarra sagardoari badagokio, mahatsa zeri dagokio? Test hauek gaindituta, 1980 inguruan adimen artifizialeko eta psikologiako hainbat proiektu ikuspegi zabalagoz janzten hasi ziren. Adimen artifiziala aztertzen zutenak arrazonamenduan eta ikasketan analogia konplexuek zuten bitartekotza aintzat hartu zuten. Ikerlariok esperientziak arrazonamenduan duen zeregina aztertzeari ekin zioten eta arrazonamendua, ikasketa, eta oroimenaren arteko erlazioak behatzeari, “case-based” edo kasu-bidezko arrazonamendua delakoa bideratuz (Kolodner, 1993). Arau-bidezko arrazonamenduaren kontrara, kasu-bidezko arrazonamenduak epe-luzeko memorian gorderiko kasuak errekuperatzeari eta egokitzeari ematen zion garrantzia problema berrientzat soluzioak bilatzerakoan.

Psikologian, Gentner (1983) zientziako eredu mentaletan eta analogietan lan egiten hasi zen. Analogiaren gakoak, giltzarri ziren antzekotasunak, domeinuen barneko erlazioen artean kokatzen ziren gehiago (adb., hidrodinamika eta elektrizitatea), objektuen detaileetan, ezaugarrietan edo antzekotasun literaletan baino. Bere estruktura-mapping teorian analogiak domeinuen arteko mapping estrukturala topatzea suposatzen duela zioen. Mapping hau paralelismo estrukturalak (lotutako elementuen arteko korrespondentzia biunibokoak eta konsistenteak) eta sistematikotasunak (lehentasun inplizitu bat ematen zitzaien goi-ordenako erlazioez gobernatutako sistema elkarlotuak) gorpuzten zuten.

9

Garai honetan, Holyoak eta bere kolaboratzaileek ere ikertu zuten analogiaren funtzioa problema-ebazpenean, zeinak pragmatikak analogian duen eginkizun indartsua seinalatu zuen, xedeen eta testuinguruaren eginkizuna nabarmenaraziz analogiaren interpretazioan. Analogiak kategoria berriak sor ditzakeela erakutsi zuten, kasu arteko harremana korrespondentzia estruktura batera abstraituz. Abstrakzio honek lekarke fisikariek hainbeste bilatzen duten legeen orokorpena. Ikuspegi honetan, Holyoak eta Thagardek (1995) analogiaren “multiconstraint theory” edo mugapen anitzeko teoria garatu zuten, non antzekotasunak, paralelismo estrukturalak eta faktore pragmatikoek errestrikzio gisa elkar ekiten duten interpretazio bat taxutzeko.

Bide honetan, 1980az ezkero, zenbait zientzialari kognitiboren esfortzuak analogiari buruzko hainbat puntu adostea ekarri du. Honen arabera, pentsamendu analogikoaren prozesua zenbait azpi-prozesutan bana daiteke. Hau litzateke adostasun zabala duen zirriborroa:

-Arrazonamendu normal batean, epe-luzeko oroimen batean gorderiko kasu analogo gailen bat edo gehiago atzitu behar dira lehenengo, edo asmatu ere bai batzutan. Asoziazioz edo asmakuntzaz sortu beharko da iturria. -Ondoren, analogia ezagun bat (iturria) itura proiektatu behar da, alegia, mapping bat ezarri behar da, elkarrekiko korrespondentzia sistematikoak identifikatzeko eta elkarren arteko antzekotasuna ebaluatzeko. Konparaketa honetan xehetzen da analogiaren benetako muina, itua eta iturriaren bitartean egon behar den 'tertium comparationis' hori.-Mapping honek inferentzia analogikoak egitea ahalbidetzen du ituari buruz, ulermenean hutsuneak betetzeko ezagutza berriak sortuz.-Honen ondoren, inferentziok ebaluatu eta egokitu egin behar dira ituaren beharrizanak konplitzeko. Honela, ikasi egin dezakegu kategoria, orokorpen eta ulerpen berriak sortu izanagatik.

Horrela bada, orain gutxira arte arrazonamendu analogikoaren inguruko estudioak iturri analogikoa oroimen iraunkorrean asoziazioz atzitzeagatik nabarmendu dira. Hala, kasu analogoak ohikoak, ezagunak, dira eta errekuperaturiko kasu analogoak berariaz ez du garapenik behar. Finean, erlazio analogikoaren ebaluazioa erlazio estrukturalen mapping zuzenaz gauzatua da, orokorpen kategoriak dakartzaten ordena altuko erlazioak kontuan hartuta, erlazioen arteko erlazioez alegia. Laburrean: inferentzia analogikoan lehenetsitako baldintzapena pentsalariari aurkezturiko analogia estatikoetan oinarritzen da, espontaneo eta transformagarrietan bainoago.

Horiek horrela izanda ere, oraintsu Clementek (2008) prozesu gehigarriak identifikatu ditu adituen arrazonamendu analogikoetan. Jatorrizko analogia espontaneoak transformatuak izan daitezke eta iturri analogikoaren eraikuntza bat gauza daiteke ituaren eraldaketa bat medio. Horrela, asmaturiko iturri analogikoen eraikuntza zaindua eta landua ohikoa da pentsamendu sortzailean. Are gehiago, sarritan badaude iturri analogikoaren ulerpena hobetzeko bestelako ahaleginak, adibidez bigarren hedapen analogia baten bidez egindakoak, zeina, aurrenekoa bezalaxe, eraiki, diseinatu edo asmatu egin behar den. Halaz, Clementen erako berme sortzaile horren baitan, iturri analogikoa premisa mailara jaso daiteke.

Axiomatizazioaren aurrekari diren ezagutza zati hauek izen desberdinak jaso izan dituzte, abdukzioa esaterako (Peirce 1931). Peirceren metodologia zientifikoan abdukzioa, hipotesi eraikuntza, aieruak, dira lehen etapa. Gero etorriko da dedukzioa hipotesi hauetatik egina, eta azkenik, deduzitutakoa esperimentalki testatzean baieztatzen diren kasu partikularrek indukzioz orokorpen zenbait zehaztuko dituzte. Lehen etapa sortzaile horretan, abdukzioan, antzekotasun nahikoa jarri zuen oinarritzat Peircek aieruak egiteko, zein ezin den errazki analizatu propietate multzo hutsen arabera. Kognizioaren ikertzaileek goi-mailako erlazioetan jarri duten jauzia legoke

10

hor eta aieru bakoitzak bere barne-diseinuan duen berezitasuna. Hala ere, falibilista izan arren, Peirce ez zen inoiz epistemologikoki ezkorra izan; halaxe zioen bere lehen arrazoimen printzipio sarri aipatuak: “Ez blokeatu ikerketa bidea!”1. Hipotesi-eraikuntzari eta irudimenari bidea irekitzen dion jarrera da hau, bete-betean neure egiten dudana.

Jarrera hau gehixeago findu du Clementek (2008, 328 or.), eta hiru ezaugarri behatu ditu bere ustetan abdukzioa garatzen ari den pentsalariarengan: subjektuaren arrazonamenduan ziurtasun falta bat dago; analogiaz aktibaturiko eskemetan izan dezakete euren jatorria ereduaren elementuek; eta ez dago arrazonamendu silogistikorik subjektuaren esaldietan. Beraz, abdukzioan badira behatutako fenomenoarekin batera elkar ekiten duten aitzin ezagutza-eskemak eredu hipotetikoa eraikitzeko analogiaz aktibatuta.

Hauez gain, badaude antzekotasun estrukturalen hautematean hurbilpen klasikoetatik harago jauzi bat egin duten beste teoria modernoak, Lakoff eta Nuñezena (2000) kasu. Hurbilpen klasikoarekin bateragarria izan arren, aipatu beharrekoa da “metafora kontzeptuala” ardatz duen teoria kognitibo honek ontologikoki dakarren ekarpen gehigarria. Lakoffentzat mappinga ez da adierazpen berritzaile soil bat, gogoaren sistema kontzeptualaren parte baizik. Domeinu-arteko mapping bat ematen da baina pentsamendauren baitako sistema kontzeptualean bertan. Bere tesiaren arabera, sistema fisiko bati buruzko ideia abstraktu bat esperientzia eta irudi konkretuetan oinarrituta dago gure egitura kognitiboan, hots, matematika oro gorputzetikoa da. Mac Laneren ideia aitzindariak daude ikuspegi honen muinean, non matematikaren adar bakoitzaren jatorria jendearen ohiko jarduera kultural batekin lotzen den. Nire tesiak ere, eskema deituko ditudan jardueratiko edo gorputzetiko primitibo kontzeptualok aintzat izango ditu oinarritik.

Gentnerren eta enparauen ikuspegian, bestalde, hurbilpen enpirikoagoa hartzen da egiaztapen esperimentalaz teoria kognitibo formal bat osatzeko. Hauek mekanismo kognitiboaz ez dute galdetzen berariaz, gogo barneko kontzeptuek ez dute axolarik, analogiaren gogo eredu egiaztagarriak eraikitzen dituzte soilik (Holyoak eta Thagard 1995, Brophy eta Schwartz 1998, Paatz et al. 2004). Halere bateragarriak dira bi ikuspegiak, eta bietan ondorio nagusia berbera da pedagogikoki eta heuristikoki: analogia garrantzitsua da sorkuntzan kontzeptu berriak asmatzeko aurretiko ezagutzak iturri gisa diharduelako.

Ikuspegi historiko hauen artean argiro kokatu behar da garatzen ari naizen tesia: azterketa gaia sormena da, ikuspegi kognitibotik, ez epistemologia klasikotik. Epistemologo klasikoen hizkuntzan hitz eginda, deskubrimendu testuinguruak garrantzia gehiago izango du justifikazioarenak edo esposizioarenak baino. Analogiak sormen prozesuaren pautetan nola eragiten duen aztertzea da gauza, nola funtzionatzen duen gogo jardunean. Eta berriki zientzia kognitiboaren ikuspegi klasikoari eman zaion erantzuna berriz ere nabarmendu egin behar da hemen: asmatutako iturri analogiko eraldagarriaren sormen ahalmena pentsalariari aurkeztutako “hiruko erregela” erako analogia estatikoen aurrean.

2. Sormenaren bidezidorrak eta abdukzioa

Sormenaz prozesu gisa hitz egitean beti jarri behar izaten da abiapuntu bat nondik norakoa marraztu ahal izateko. Honegatik esan ohi da prozesu bat bottom-up dela behaketa esperimentaletatik abiatzen denean, eta top-down aurretiko ezagutzatik datorrenean. Metodo zientifikoak egiazkotasun bermerik izango badu bottom-up joera iraunkor bat mantendu behar duela irakatsi digute, datu enpirikoak beti gogoan izango dituen jarrera bat. Baina fisikari baten sormen prozesuak beti ikuspegi enpiriko bati eusten dio, ala? Beti horrek uneoro esan nahi badu, erantzuna ezezkoa da klarki. Izan ere, sormenaren denbora eskalan dago gakoa. Asteetako edo hilabeteetako denboraldian, datu esperimental berrien ausentzian, artikulu zientifiko ortodoxoetan lausoki

1 Do not block the path of inquiry!

11

nabarmen daitezkeen ez-enpiriko deituriko gogo prozesu anitz gertatzen dira. Hizkera zientifiko zurruna ez darabilten testuetan, ahozko jardunean, hitzaldietan, eskutitzetan, nabarmenagoak dira prozesuok. Zentzu honetan, adibide bikain dira lan honetako bi kasu azterketak: jariakinen mekanikako terminoak zehazki definitzeke zeuden garaiko Bernoulliren testua, eta fisika deserrotu zuen iraultza kuantikoaren baitan, eskutitz eta hitzaldi eztabaidatsuen artean, Pauliren printzipioak izan zuen eboluzioa.

Galdera bikoiztu egiten da bottom-up joeratik kanpo edo datu enpirikoen faltan agertu ahal diren gogo prozesuentzat: pentsalariak arrazonamendu ez-formalik ba al darabil bere komunitateak identifikatu duen itu problema bat, fenomeno anomalo bat edo teoria nagusiaren errore bat, ebazteko? Ez hori bakarrik, jada gogoan daukan eredu baten ebaluazio prozesurik gauzatzen al du test esperimental tradizionalik gabe? Ikuspegi sortzailetik, ereduaren eraldakuntzari dagokionetik, garrantzia handiko galderak dira hauek. Zaila baita eredu baten eraberritzea enpirikoki ulertzea eta asmakuntza kreatiboa bazter uztea enumerazio bidezko indukzio batek ordezkatuta. Aurretiko ezagutza eskemek eragin indartsua izan ohi dute bottom-up joeraren kontra. Izan ere, maiz top-down joera hain da indartsua ezen behaketa jarraibideak eurak ere iradokitzen baitituen. Kasuan kasu ikusi beharko da zeharka etorri ahal diren deliberazio ez-enpirikoek zein neurritan eta nola eraberritzen duten eredua eta ea behaketa jarraibide berriak ezartzera ere ailegatzen diren. Edo eraberritu beharrean, dagoena nola defenditu eta iraunarazten duten.

Eraberritze/iraunarazte dikotomia honetan muturreko bi estrategia heuristiko nabarmendu izan dira zientzialarien baliabide intelektual eta teknologikoen erabileran. Kuhnen estrategian ikerketa espezialitate bat definitzen duen paradigma baten osagaiei buruzko erabateko adostasunak gidatu behar du praktika zientifikoa. Desadostasunak gaizki ikusiak daude. Adostasunak komunitatea problema batean edo gutxi batzuetan aritzea ahalbidetzen du, eta lanaren banaketa produktiboago bat lortzea. Ez da berrikutza esanguratsurik iradokitzen inoiz komunitate barnetik, ideia eta ildo esperimental berriak asmatzeko esfortzu gutxi egiten da paradigmaren erreinupean. Baina adostasunak desegiten hasten dira ezusteko anomalia enpirikoak agertzean. Hauek eragiten dituzte paradigma aldaketa historikoak. Paradigma hautsi aurretik ikerlariak heuristika enpiriko eta teorikoen multzo bat bere egiten du, eta pentsatzeko eta komunikatzeko hizkuntza zehatz bat darabil. Baina hor ixten du bere gogamena, eta anomalia gogorren bat aurkezten bazaio ez dago prest soluzioak behar duen ikuspegi berri bat sortzeko. Top-down joera indartsua baten baitan bildua dago pentsalaria, sormenak esparru horretan konbergitzen du, eta prozesu tenporal gisa moteldua, gelditua, dagoela dirudi.

Muturrean, Feyerabendek kritikatu zuen Kuhnen estrategia. Bere aburuz, aldioro teoria alternatiboak eta praktika berritzaile anitzak martxan eduki behar dira une hartan nagusi den teoria hankaz gora jarriko duten ebidentziak deskubritze aldera. Berez, bottom-up joera indartu nahi da pentsalariarengan. Pluralismo honetan ikerketa ildo alternatiboen garapena bultzatu beharko da, baita ildo ortodoxoak arrakasta duen sasoietan ere. Komunitate zientifikoa prest dago beti praktika ortodoxoa haustera datozen erroreei erantzuteko. Baliabideak modu irekian kudeatzen dira, hots, zientzialariek euren diziplinaren mugaldeak nola barrutik hala kanpotik marrazten dituzte. Zientzia aitzineratu nahi duten gogo prozesuek lar azeleratuak dirudite. Sormena azkartu eta dibergitu egiten da. Baina kostua argia da, zientzialarien ahalegina, denbora eta baliabide mugatuekin, ibilbide motzeko ikerbideetan alferrik gal daitekeelako. Nolabaiteko iragazkin batek derrigorra dirudi zientziaren kudeaketarako.

Muturron artean hainbat estrategia heuristiko deskriba daitezke. Baina denentzat badaude ideia komun batzuk. Argi laga behar da ezerezetik, ex nihilo, ez dagoela ezer sortzerik, beti behar da lehengaia, bai top-down (printzipio teoriko batzuetatik), bai bottom-up (ebidentzia esperimentaletatik), edo zeharka arrazonamendu ez-formaletik, analogiatik etab., ekarri beharko dena. Printzipio teoriko hutsek ere, ebidentzia esperimentalik gabe edo jarraibide mugatu batzuk

12

segitzen dituzten praktika esperimentalez, bere soilean gutxi egin dezakete sorkuntzan. Alderantziz ere, ildo esperimental anitz eta anarkiko batek datu asko ekarri arren lan teorikoa urtu dezake. Oreka batekin ikusi behar da top-down, bottom-up, eta zeharka osatzen den eragina.

Une jakin bateko sorkuntzak aurreko gogoeten eta praktiken emaitza izan diren elementu teoriko nahiz esperimentalak aintzat izan beharko ditu, hots, hiru eraginen menpean gogoeta kreatiboa aldakuntza, eraberritze edo prozesu lez aztertu behar da. Gogoaren baitako prozesua da azterketa gaia, eta ez egoera mental estatiko bat. Prozesu bat da sormena, jario bat, bere horretan estruktura baten jabe den eta batasun bat eratzen duen egoera zerrenda bat dimentsio tenporal ekidinezin batean zehar. Eta hor ere oreka bat behar da prozesuaren abiadan, sormena dibergituz gogoa gehiegi azkartzen duen anarkismo epistemikoaren eta sormena moteltzen duen konbergentzia paradigmatikoaren artean.

Honela, eurekaz edo ex nihilo ezagutza lortzen den une argitsua modu neurtuagoan eta prozesu gisa dakusan sormenaren ikuspegia bilatzen da. Hurrenez hurren datozen arazoen aurrean soluzio zorrotz bat emateaz ari gara, bide berriak ere ireki ditzakeen ikuspegi berri bat dakarrenaz. Zorroztasuna da, beraz, niretzat sormen prozesu egoki bati hobekien begiratzen dion kualitatea, argitasuna baino. Estruktura teorikoaren artikulazio bat aitzin-suposatuko da beti, hots, estrukturok ezingo dira ab initio argitara eman, etengabe zorroztu eta xehetu egin beharko direlako aurkikuntza berrietara moldatzeko. Azken helburua fenomeno anomaloa, arazo sortzailea, errore teoriko bat azaleratzen duena, esplikatzea izango da, eta helburu honek ezarriko du mugapen heuristiko nagusia, ez teoria nagusiaren baitako koherentziaren bilaketak edo justifikazio erabatekoarenak. Finean, azken xedea behatutakoa ahalik eta hobekien esplikatzea baino ez da.

Esplikazio egokia bilatzen duen izaera transformatzaile hau, Peirceren ekarpena komentatu denean azaldu denez, abdukzio deritzonarekin lotzen da bete-betean. Hots, esplikazio posible onena nahi duen arrazonamendua da pentsalariarengan garatuko dena. Filosofo batzurentzat (Harre 1986, McMullin 1992) abdukzioa da zientzia egikaritzen eta gauzatzen duen inferentzia. Teoria-menpekotasuna azpimarratzen duen Boyden (1984) argumentua da abdukzioaren alde eman den ezagunena eta abdukzioaren defendatzaileek bere egin dutena. Esperimentuen diseinurako, datuak lortzeko, nahiz aurkako hipotesien artean aukeratzeko erabiltzen diren metodoak teoria-menpekoak dira erabat, zientzilari komunitateari ohikoak eta ia zalantzagabekoak zaizkionak. Adibidez, Boydek behatu duenez, diseinu esperimental bat faktore nahasgarrietatik babestu behar dutenean zientzailariek jada onartuak dauden teoriak mugapen gogortzat hartzen dituzte. Eta harrigarria hau da: metodologia honek sinesgarritasun handia damaio zientzialariari teoria ikaragarri zehatzak eta instrumentalki geroz eta egokiagoak garatzen dituzte eta. Onartu egin behar da, Boyden ustez, metodologia zientifikoaren fidagarritasun hau nagusi diren teoriak nahiko egiatiak direlako lortzen dela. Eta teoria hauetara gehienetan arrazonamendu abduktiboaz iristen direnez, abdukzioa inferentzia arau fidagarri bat izan behar da.

Abdukzioa ikurtzat duten halako testuetan topa daitezkeen adibideak, baita fisikaren historiakoak ere, behatutakoarentzat esplikazio on bat bilatu nahi duen arrazonamendua ilustratzera datoz. Etsenplu moduan Neptunoren aurkikuntza historikoa jarri ohi da maiz. Hemeretzigarren mendearen hasieran Uranoren, zazpigarren planetaren, orbita Newtonen legeek iragartzen zutenetik desbideratzen zela aurkitu zuten. Newtonen lege ordura arte ukaezinak abandonatzeak ez zirudien esplikazio on bat, eta bi astronomok artean aurkitzeke zegoen zortzigarren planeta baten existentzia iradoki zuten. Non egon behar zen planeta berri hori grabitazio legeagatik Uranoren desbideraketa hura esplikatzeko? Iragarpen ausarta egin eta hantxe topatu zuten planeta berria. Honen eraginak esplikazio bikaina zekarren Newtonen grabitazioaren ordura arteko arrakasta enpirikoa are gehiago emendatzen zuelako.

13

Thompson fisikari ingelesak ere abdukzioz arrazonatu zuen bere garaiko izpi katodikoak kargatutako partikula sortak ote ziren determinatzeko. Izpi katodikoek elektrizitate negatiboa zekartenez, eremu magnetiko baten pean izpien portaera izpien ibilbidean higitzen ziren negatiboki kargatutako partikulena bezalakoa zen. Ondorioa halabeharrezkoa zen, Thompsonek “ezin zuen ondorio honetatik ihes egin”: izpi katodikoak karga negatiboa zeramaten materia partikulez osatuak zeuden. Ondorio hau ez zen eratortzen logikoki datu esperimentaletatik, baina ia ukaezina zen Thompsonek zekienarekin esplikazio hoberik asmatu ezin zuen heinean.

Hansonek (1983) Newtonen grabitazio legea jartzen du adibidetzat abdukzioa, edo berak deritzon gisan "erretrodukzioa" defendatzeko. Metodo Hipotetiko-Deduktiboa (H-D) defendatzen dutenek honela analizatzen dute grabitate legearen garapena: 1) Lehenengo H hipotesia ezartzen da: unibertsoko edozein bi partikularen artean erakarpen indar bat badago beraien arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala dena; 2) Eratorri hemendik (Principiaren arabera) Keplerren eta Galileoren legeak; 3) Keplerren eta Galileoren legeei dagokien adibide partikularrek bat egiten dute behatutakoarekin; 4) Ondorioz, H egiaztatua da. Hauxe da H-D teorialari ortodoxoek metodo euklidearrarekiko analogiaz hainbat urtean defendatu izan zuten jarrera.

Eta honi kontrajartzen dio Hansonek bere ikuskera, Aristotelek eta Peircek dioten legez harriduran duena bere abiapuntua eta anomalia harrigarri hori esplikatzea nahi duena: 1) Keplerrek aurkikuntza harrigarri bat egin zuen: orbita planetario guztiak eliptikoak dira; 2) Baina orbita hori ez litzateke harrigarria izango baldin eta, beste lege ezagun batzuk gehituta1, grabitatearen lege distantziarekiko alderantzizko bat balego. Keplerren lehenengo legea zuzenean eratorri ahalko litzateke, eta hipotesiak azaldu ahalko luke baita zergatik orbitak eliptikoak diren eta bertan planetak zergatik higitzen diren abiadura ez-uniformeaz ere; 3) Beraz, eta azkenik, badago arrazoi on bat hipotesi hau harago garatzeko, hots, onartuz gero Keplerren legea esplika dezakeen hura bezala. Eta sekuentzia hau piztu duena egoera problematiko bat da, zerbait harrigarria, esplikatu beharra dagoen anomalia pizgarri bat. Pauliren esklusioa aztertzeko bidean ikusiko denez, abdukzioaren estruktura hau argia da baita Bohrren eredu atomikoaren genesian ere, non analogia planetarioa, korrespondentzia printzipioa, eta Balmerren formula bezalako arau enpirikoak aintzat hartuta Zeeman efektuak distortsionatzen duen espektro atomikoa esplikatu nahi den. Anomalia problematiko honek, aurreko Bohrren eredua bertan behera uzten duen bidegurutzeko esperimentu bat suposatu gabe, baina aurretiko eredu honekiko lehian, zabaldu zion bidea Pauliren pentsamendu ildoari eta esklusioaren lehen arauari.

Halakoetan, Bohrren 'aldebikotasun' edo Zweideutigkeit delakoarekin ikusiko denez, komunitatean adostutako printzipioak, konbentzional deituak, ez dira ukatzen faltsazionismoaren esperimentu erabakiorren bitartez, baizik eta apurka agortuz, ezin dutelako ezer berririk esplikatu. Hots, nagusi diren ereduen eta konbentzioen esplikazio ahalmenak behin eta berriz porrot egiteak dakar ukapena. Printzipioa osorik egon daiteke esperimentalki errefutaezina delako, baina zertarako balio du? Esplikazioetan porrot egin badu, baztertu egin behar da. Printzipio zaharra ukatzeko aukera ebidentzia esperimentala esplotatuz gertatuko da noski, zeina printzipioa kontraesateko kapaz izan gabe ere alternatiba bat iradokitzeko egokia izango den. Kasu honetan, sistema periodikoen teoria eta inbariantzak atomoarekiko iturri analogikotzat hartzeari irismen esplikatiboa agortu zitzaion, eta halaxe sartu zuen Bohrrek aldebikotasunaren mugapen ez-mekaniko misteriotsua premisa berri gisa. Berdintsu gertatuko da Diracen zulo teoriarekin ere, Paulik hasieratik deitoratu zuen teoria irudimentsuarekin.

1 Hansonek (1983, 61 or.) Newtonen aipu ezezagun bat aipatzen du (Additional manuscipts 3968, No. 41, bundle 2), non grabitatea ilargiaren orbitara hedatzea pentsatzen ari zelarik, Keplerren legea ezezik globo batek esferaren gainazala 1/r2 erara presionatzen zuela ere kontuan izan zuen. Guretzat oso interesgarria da hau: globoaren presio indarra iturri analogikotzat darabil Keplerren legearekin batera abdukzioa osatu eta grabitate legea 'deduzitzeko'.

14

Ohar bedi adibideotan azken ondorioa ez dela beharrezko egia bat dedukzioan bezala, non egiazko premisek egiazko ondorioa ziurtatzen duten. Gainera, bi premisekin deduziturikoa hirugarren premisa bat gehitzean kontraesankorra izan daiteke abdukzioz. Hots, premisa multzo baten azpimultzo batetik dedukzioz lortutakoa ez da zertan egia beharrezkoa izan gainerantzeko premisak abduktiboki kontuan hartuz gero. Abdukzioak, dedukzioak ez bezala, monotonotasuna ez duela betetzen esaten dute logikariek. Monotonotasunik ezean dedukzioaren top-down, premisa-ondorio, joera zurrun errestriktiboa hausten du (Antoniou 1997).

Indukzioarekin ere ezin da nahastu abdukzioa, sarri hala egiten den arren. Batek esan ahal du Thompsonen izpiek esperimentalki beti portaera jakin bat daukatenez indukzioz ondoriozta daitekeela izpia kargadun partikula sorta bat baino ez dela, izpi guztiak hala portatzen baitira. Mila martiztar tontokeriak egiten ikusi eta martiztar oro burmuin motzekoa dela esatean bezala dihardugu. Hor ez dago indukziorik, esplikatzeko nahia dago inplizituki, behaturikoa esplikatzeko modu onena izpiak partikula direla edo martiztarra berez motza dela petsatzea baita. Indukzioa eta abdukzioa, biak, dedukzioak eskatzen duenetik haraindi joanagatik (premisak diren modukoak direlako), indukzioak ez du barne hartzen kontsiderazio esplikatiborik. Indukzioak soilik naturan behatutako jarraibide estatistikoei egiten die so, azalpenik bilatu gabe. bottom-up joera erabatekoa da hau, zeharka edo legeetatik elikatu gabe errestrikzio bat ezartzen duena.

Honela bada, abdukzioan printzipio teorikoetatik, top-down nahi baldin bada, eta ebindentzia esperimentaletatik, bottom-up, errestrikzio bat ezartzen da, hau da, informazio oro kontuan hartzen da prozedura abduktiboarentzat. Mugapen bat ezartzen dute kanpotik genesi teorikoaren gainean. Aldiz, ideia ez-enpirikoak eta ez-formalak puntualki, denbora-eskala laburretan, egiten ditu bere ekarpenak barnetik. Hor kokatzen da analogiaren parte hartzea. Behaketak esplikatu nahi dituen eta teoria nagusiekin konsistentea izan nahi duen ereduak zeharka eta noizbehinka jasoko ditu analogiaren baten eraginak, edo prozesu ahul deritzoten edozeinenak.

Newell eta Simonek (1972) erabili zuten termino hau problema ebazpen heuristika orokorrago eta anpliatiboago bat zerabilten prozesuak deskribatzeko. Konparazioz, gogortzat zituzten prozesuek esparru partikular bateko problema batean aplikatzeko medio espezializatuak eskaintzen zituzten. Algoritmo estandarrok problema zehatza aska zezaketen. Horrela begiratuta, analogia beti hartu izan da prozesu ahultzat, gogo-esperimentuak, ebaluazio ez-enpirikoa, eta ezagutza estruktura intuitiboen eta irudien erabilera bezalatsu. Askorentzat, izaera informal, zehazgabe, eta gutxi gorabeherakoagatik apaingarri metaforiko edo bitarteko pedagogiko bat soilik izan liteke analogia. Eta zenbaitentzat ahuldade inportanteena dena, prozesu dibergenteegia da analogia: asma daitekeen analogia kopurua potentzialki hain da handia ezen gogamena aukera baliogabeetan barna nekatzen den soluzioetara konbergitu ezinda. Irudimena ere ahultzat dute hainbatek, errepresentazio ez-konkretuak egiteko abildadea mugatua iruditzen baitzaie, baita une batean irudika daitekeen informazio espaziala ere.

Aztertuko diren kasuetan analogiak eta beste prozesu ahulek ereduari euren ekarria egiteko nola elkarrekiten duten aztertzea izango da garrantzizkoa. Aipatutako ahultasuna aintzat izanda dilema bat dirudien arren, abdukzioarekiko sormen ekarpen batzuk prozesu ahulen koalizioek bultza ditzaketela suposatuko da. Halatan, prozesu ahulen artean, analogiaz gain, irudikapena eta irudimenarekin lotutako gogo-esperimentua izango dira lan honetan identifikatu beharreko jarduerak, hauekin batera osatutako bilguneetan analogiak daukan funtzionamendua ulertzeko. Bilgune eta barne elkarrekintzok dira azterketa kasuetan aurkitu beharrekoak, banan-bana dituzten ahuldadeak gaindi baititzakete elkarrekin.

Abdukzioari barnetik eragiten dion faktore honetan, metodo ahulen elkarrekintzatik datorren zeharkako ekarpen horietan analogia eta irudien arteko harremana da aipatzekoa, jada aurreratu denez. Harreman hau garrantzizkoa dela ikusiko da aurrerantzean, hizkuntzalaritza kognitiboan

15

esaten den gisan irudi eskema bat egon baitateke analogia eta iruditegi baten atzean, edota pentsamendua ainguratzen duen irudi bat ager baitaiteke analogiak aktibatuta. Baina, berriro diot, irudi eskema bat iturritzat duen analogia ez da, batzuek “metafora kontzeptual” estatusa ematen diotenean moduan, sormen prozesuaren nukleo epistemikoa izango. Izatez, eskema, kasuan kasu, modu, garrantzia eta pauta desberdinez dator analogiarekin uztartzera eta prozesu abduktiboari ekarpena egitera.

3. Jarduerez gorpuztutako matematika eta eskemak

Galileok naturaren hizkuntza matematika zela esan zuenean bere garaitik begiratuta bete-betean asmatu zuela ozen nabarmendu behar da. Fisika modernoa ikusi besterik ez dago, matrizeekin, spinoreekin, adiera fisiko zuzenik ez duten objektu abstraktuekin, naturaren esparru batzuen portaera zehazki iragartzeko ahalmenaz. Egun, derrigorrez, fisikan sormena aztertzeko matematikaren zerizanaz galdetu behar da. Zein oinarri dauzka matematikak eta nondik datorkio natura deskribatzeko aplikagarritasun harrigarri hori? Sormenaren barne faktore ahul horiek, analogia eta irudimena, ulertzeko gakoak eman litzake matematikak.

Matematikaren oinarrien ikuspegirik zabalduenak matematika multzo teorian eta, arrazonamenduari dagokionean, logikan oinarritzen dela dio. Baina badago ikuspegi alternatiborik. Guretzat kontzepzio alternatibo interesgarrienetakoa Saunders Mac Lanerena da, Ameriketako matematikari ospetsuenetako bat izan zena. Mac Laneren ustez, multzo teoriapeko oinarriek giltzarria den galdera bat erantzun gabe uzten dute: Zergatik dauzka matematikak dituen bezalako adarkadurak? Bere ustez (Mac Lane, 1981), multzo teoriapeko fundazioek ez dute egokiro deskribatzen zeintzuk diren eraiki beharreko estruktura matematiko gailenak. Halako hainbat estruktura eraiki litezke a priori multzo teoriatik abiatuta.

Mac Lanerentzat kuestio hau zentrala da matematikaren edozein fundazio ezartzeko. Ez da gainera galdera erraz bat. Ideia hau aurreratzen du balizko erantzunaren muinean: ez dugu erantzuna soilik forma matematikoaren arabera bilatu behar, matematikak giza jardueretan eta kulturan duen zeregina ere kontuan hartu behar da. Matematikaren adarren eta hauen estrukturen izaera ez dator multzo teoriapeko eraikin artifizial batetik, baizik eta hauek betiko giza jarduerekin eta ideia matematiko sinpleekin duten erlaziotik. Matematika ez da mundu platoniko ukiezin bat, jendearen ekinbide errealak iturritzat dituen sistema formal bat baizik. Analogiak, batzuentzat hain gogo prozesu ahula denak, ekintza, jarduera eta esperientzia horiek har ditzake iturritzat formalizazio matematiko abstraktuenaren abiapuntuan. Ondorioz, matematika oro da, azken finean, errealitate fisikoari lotutako zerbait. Ondorengo giza jardueren zerrenda ematen du Mac Lanek, bakoitzari matematika zati bat legokiokeelarik:

• kontzatzea: aritmetikari eta zenbaki teoriari.

• neurtzea: zenbaki errealei, kalkuluari, analisiari

• taxutzea: geometriari, topologiari

• eraikitzea: simetriari, talde teoriari

• begiz jotzea: probabilitateari, neurketa teoriari, estatistikari

• higitzea: mekanikari, kalkuluari, dinamikari

• kalkulatzea: aljebrari, analisi numerikoari

• frogatzea: logikari

• elkartzea: talde teoriari, konbinatoriari

Jarduera anitzok ez dira inolaz ere erabat bananduak; konplexuki elkarreragiten dute euren artean. Mac Lanerentzat sistema matematikoek sakonean dauden jatorrizko giza jardueren propietateak

16

'kodifikatzen' dituzte. Adibidez, zinematikako ekuazioek errotazioaren eta translazioaren ideia intuitiboak kodifikatzen dituzte. Ikuspegi honetan matematika formala da bai, baina ez sinpleki 'formalistikoa', harago doa: matematikak aztertutako formak giza jardueretatik eratortzen dira eta jarduerok ulertzeko erabiltzen.

Hortaz, matematikaren adarkadurak diren bezalakoak dira giza jardueretan eta hauei lotutako gogo eskemetan dutelako euren jatorria, eta baita bermea ere. Eta giza jarduera hauetako bakoitzak bere egitura eskematiko orokorra dauka, hainbat azpi-egituraz edo 'oinarrizko ideiaz' eratua. Matematikak hauetatik jaiotako eskemak eta saretzen dituzten erlazio sistemak jite erabat zorrotzean deskribatzen ditu. Beraz, ikuspegi honetan, matematika giza jarduera ohikotik eta hauen bidez garatzen dugun ulermentik dator. Hots, Mac Lane ekintzarekin lotutako oinarri kognitiboak behar direla aldarrikatzen ari da. Zientzialari kognitiboek irudi eskema deritzotenek Mac Lanek aipatzen dituen jardueren antz handia dute. Adibidez, kognitibistentzat matematikako multzoak CONTAINER (EDUKITZAILE) dira pentsalariaren buruan, eta funtzio matematikoak DIRECTED LINK (LOTURA ZUZENDUAK). Izatez, Mac Lane beraren matematikaren fundazioa 'gezi' gisa aurkezten dituen funktore izeneko eskema batzuekin hasten da. Gisa honetan, zientzialari kognitiboek, Mac Lanek jarduerekin antzera, beste hainbat irudi eskema zerrendatzen dituzte oinarrizko ideia matematikoekin lotuta1.

Hipotesi kognitiboa ezarria dago: matematikako oinarrizko ideiak ohiko jarduera gizatiarren eta hauekin loturiko kognizioaren oinarrizko kontzeptuen, hots, eskemen arabera uler daitezke Mac Laneren jarraipena den ikuspegi honetan. Matematikaren psikologiaz honek ekar lezakeenaz kanpo (eta ez da gutxi), matematikarentzat fundazio bat eskaintzeko erabil daitezke funtsezko kontzeptu kognitibook. Alimaleko xede hau aparte lagata eta matematika puruenaren fisikotasuna bera ere nabarmenduta, fisikariek darabilten matematikan analogia eta irudi eskemen kidetza aztertuko da. Erakutsiko da arrazonamendu ez-proposizional heuristikoki indartsu bat ezkutatzen dutela elkarrekin. Jarduera eta irudi eskemak aintzat hartuta, galdera ez da izango nola ulertzen den matematika, baizik eta zergatik funtzionatzen duen matematikak mundu errealean eta nola egiten duen hori fisikan integratzen denean.

Ohartu, gure ikuspegian eta honek galderari iradokitzen dion erantzunean, fisika matematikoa ez dela matematika aplikatu bat, baizik eta matematika beraren zutabeetan kokatzen dela. Kontestu honetan objektu matematikoen idealtasuna gisa honetako galdera zehatzen itzalpean desagertzen da fisikarekiko: nolatan bat egiten dute mekanika newtondarraren kalkulu formalek benetako gorputzen higidurekin? Zergatik egiten dute bat simetria talde posible batzuen eratorpen formalek, adibidez Lierenek, mikrokosmosean topatu diren partikula n-koteekin (hirukote, zortzikote...)? Edo nik aztertuko ditudan kasuetara hurbilduta:

-Bernoullik presioari buruzko kontzeptu intuitiboa, burutzen ari zen jarduera esperimentalekin eta ohiko eskemen lotua, nola landu zuen bere teorema famatura iristeko eta Bernoulli erlazioa matematizatzeko?-Eguzki sistemaren irudi orbitala zein neurritan izan zen, askotan saldu izan digutenez, Bohrren eredu atomikoaren iturri analogiko funtsezkoa, baldin eta Bohrrentzat korrespondentzia printzipioa bazen bere arrazonamenduaren gakoa?

1 korrespondentzia- LINK; jarraitasuna- PATH; berdintasuna- BALANCE; eragilea- AGENT; eragiketa- CHANGE TO ANOTHER ENTITY; periodikotasuna, ziklikoa- CIRCLE, DIRECTION; identitate elementua (1 x a = a)- AGENT CAUSING NO CHANGE; zero elementua (0 x a=a)- AGENT CAUSING CHANGE TO AGENT ITSELF. Inglesez utziko ditut oinarrizko kontzeptu kognitiboak, edo irudi eskemok, zientzilari kognitiboek darabiltzaten terminoetan. Munta honetako zutarri kognitibo batek edo, hobeki esanda, berau egiteko ahaleginak merezi duen terminologia batasuna errespetatzea da kontua.

17

-Nola da posible espektrometria arrunt enpiriko baten emaitzak ulertzeko agertutako esklusioarena bezalako arau fenomenologiko bat spin-estatistika teoremaren sofistikazio matematikoaren baitan naturako funtsezko printzipio bihurtzea?-Diracek sartutako uhin-funtzioen errepresentazio antisimetrikoak, eremuen teoria kuantikoa garatzeko giltzarria izan zenak, zein iturri kognitibotatik edan zuen? Eta sortze eta deusezte eragileek?

Hau da, egin beharreko galdera ez da soilik matematikak zergatik funtzionatzen duen, baizik eta zergatik funtzionatzen duen futzionatzen duen fenomeno partikularrarentzat. Hortik dator kasuan kasuko azterketen beharra. Erantzuna ezin da soilik izan matematika mundu errealean dagoela. Honek ez luke azalduko matematikaren adar berdinak, esaterko ekuazio diferentzialenak, zergatik funtzionatzen duen gorputzen dinamikarako eta harrapakari-harrapakin animali populazioen azterketarako, eta ez, adibidez, naturan behatutako simetriak ezaugarritzeko. Platonismoarentzat ideala partikularrean egikaritzen da. Baina galdera bestelakoa izan behar da: zein ideal zein partikularretan da egikaritzen? Platonen ikuspegiak ez ditu parekatzen matematikaren adarrak eta fenomenoak, zein adar zein fenomenori dagokion.

Ikuspegi berri honetan ez dago esentzia hutsik edo idealik. Esperientziak eta giza jarduerak izan behar du abiapuntua. Jo dezagun matematika giza sistema kontzeptualaren gainean eraikitzen dela, gizon-emakumeek eta haurrek esperientziak barneratzeko darabilten gogo sistema arruntaren gainean. Gauzak horrela, denboraren poderioz zientzialari komunitateko kideek euren eguneroko kontzeptuen araberako fenomeno beraren ulerpen konsistentea izango lukete. Kontzeptu kognitibo arruntok matematikaren oinarria ere badirenez, misterioa desagertu egiten da. Noski, honek ez digu esaten zergatik existitzen diren erregulartasunak munduan. Esaten digun gauza bakarra da ezen, gizakiek konsistenteki behaturiko eta giza kontzeptu funtsezkoez ulertutako erregulartasunak dagokion matematikaz ezaugarritu ahalko direla.

Hortaz, ez legoke ezer harrigarririk matematika soilak fisikan duen arrakastan. Ezta mekanika kuantikoaren garapeneko zenbait etapa 'misteriotsutan' ere. Behaketa zintzo, zorrotz eta arduratsuak denbora luzean fenomenoaren ulermena dakar, eguneroko terminoetan gainera. Beste gauza bat da hau lortu duen komunitatearen isolamendua eta garatzen duen hizkera propioa, urteetan landua. Beste gauza bat da ere guzti honen formulazio matematiko sendoa. Talde lan gogor bat eta oinarrizko gaitasun kognitiboak, batzutan bereziki elkarlotuak eta landuak baina inoiz ez superboteretsuak, dira matematikaren arrakastaren arrazoia. Motzean, honela laburtzen du Mac Lanek (1981, 467 or.) gure egingo dugun tesia:

Matematikaren izaerari buruzko gure tesia honela formulatu behar litzateke: Matematikak giza esperientziaren eta munduaren aspektuen eredu formal desberdinen eraikuntzaz dihardu. Bestalde, honek esan nahi du matematika ez dela hondoko errealitate platonikoren bati buruzko zuzeneko teoria bat, munduaren aspektu formalei buruzko zeharkako teoria bat baizik (edo errealitateari buruzkoa, halakorik baldin badago). Bestetik, gure tesiak matematikak eredu aniztasun adigarri bat dakarrela nabarmentzen du. Esperientzia bera matematikoki hainbat modutan modela daiteke.1

Honebestez, betiko forma/eduki dikotomiak ez du balio, matematikak estudiatzen dituen formak ez baitira eduki fisikoaren kontra definitzen. Izan ere, forma hauek gure gorputzak munduan parte hartzen duen modutik datoz, eta gainera esperientzia ulertzeko darabiltzagu. Formak berak zuzenki dakar edukia bera. Gorpuztutako formak dira, errealitatearekin ekitean gure gorputzak bereganatzen dituen eskemetatik datozenak, ez forma platoniko ideal ukiezinak. Horrela bada, Mac Lanerentzat

1 Our thesis as to the nature of mathematics might be formulated thus: Mathematics delas with the construction of a variety of formal models of aspects of the world and human experience. On the ther hand, this means that mathematics is not a direct theory of some underlying Platonic reality, but rather an indirect theory of formal aspects of the world (or of reality, if there is such). On the one hand, our thesis emphasizes that mathematics involves a considerable variety of models. The same experience can be modeled mathematically in more than one way.

18

matematika ez dago eredu handi baten barnean edo sistema axiomatiko bakar baten menpean, munduaren eredu anitz tratatzen ditu eta berau ulertzeko hainbat modu eskaintzen. Aniztasun honen muinean daude jarduera edo gogo eskemak, forma matematikoari edukia damaiotenak. Zentzu honetan argigarria da Cambridge Dicitionary of Englishek 'eskematikoa' nola definitzen duen: "zerbait ulertzen laguntzeko honen forma eta ezaugarri nagusiak, sarri marrazki eran, erakusten dituena"1. Mac Lanerentzat ideia eskematikoak dira matematikaren sorburuak.

Baina nola idenfitikatu ideia bat oinarrizko eskema bat den ala ez? Hizkuntzalaritza kognitibotik esaten digute gogo eskemek adierazpide kultural eta linguistiko anitzak dituztela. Ikusiko da nola zenbaki kuantikoei atxiki ohi zaien elektroiz beteteko "gelaxkaren" irudian aulki jokoan bezalako okupazio edo esklusio eskema bat dagoela atzean. Edo matematikarekin lotuago dauden irizpideei begiratuta, eskema batek, egiaz oinarrizkoa bada, fisikan ezezik matematikan ere bere garapenak izan behar ditu. Hots, eskema batek maiz estatus axiomatikoa izan ohi du matematikan nahiz fisika matematikoan. Esklusioaren kasuan hau ere argia da: matematikariek "usategi printzipioa" deitu ohi diote kaioletan ez kabitzeagatik kanpoan geratzen diren usoen esklusio horri. Gainera, Esklusio Printzipioa debeku printzipio bat da, erlatibitate printzipioa bezala. Halakoek berez hartu ohi dute karga axiomatiko bat sistema teorikoaren barruan.

Zientzialari kognitiboek darabilten terminologiara jota Mac Laneren ideiara asko hurbil gaitezke. Hauek eskema diotenean objektuen (edo objektuen irudien) gain diharduen hitzik gabeko interpretazioaz eta ekintzarako kontrol-egituraz ari dira. Honi buruzko ikerketa enpirikoari dagokionez, eskola batzuk pertzepzio eskema goiztiarren asimilazio eta egokitzapen prozesuak dokumentatuak dituzte haurren portaera aztertzean. Hauen arabera, egoera berrietara egokitzeko pertzepzio eskemek duten malgutasuna gazte-gaztetako gogo egituretan badago jada. Egokitzeko ahalmen hau Piagetengandik hasita hainbatek aipatu dute, eta paradoxikotzat jo izan da hainbatetan. Eskemak nolabait une horretako kontestuaren berezitasunetara egokitzeko ahala duen iruditegia sorrarazten du. Baina aplikagarritasun zehatz hau eskemak berariaz, gogoan dagoen konfigurazio bat izaki, detaile espezifikorik ez daukalako gertatzen da. Horra hor paradoxa: gogoaren baitako konfigurazio abstraktua izan arren, konkretua ere bada, objektu konkretuen irudietan eragiten duelako. Hau ez litzateke harritzekoa izan behar: gorputz mugimenduetan eta intuizio kinestesikoetan ohiko gauza konkretuetarako darabiltzagun ekintza eskemak ere orokorrak dira, egoera berrietarako ez baitira batere moldakaitzak

Paradoxa honen baitan, diagrama bitartez eginiko frogapen geometrikoen justifikazio arazoarekin lotua dago eskemen konbentzimendu ahalmena. Diagrama konkretu batekin ateratako ondorioak ezin daitezkeela orokor diote batzuk, eta ondorioz, diagramak medio, ezin daitekeela justifikazio teorikorik lortu. Giaquintok (2007, 146 or.) ondo ematen dio buelta, geometriako eta zenbakien teoriako errepresentazio diagramatikoak medio, teorema orokorrak frogatu ezinaren argumentuari. Giaquintoren irudi errepresentazioak, Châteletentzat bezala, bitartekariak, informazio garraiobideak dira, eta hauek eskainitako baliabide kontzeptualak, modu ez ortodoxoan, baina halere frogatzeko erabil daitezke. Problemaren mugapenen barneko kasu bat bera ere ez baztertzeko iruditegi zaindu bat burutzen denez, pentsamendu mota ez-enpiriko hau sinesgarria izan daiteke. Berme onargarriz, infinitu kasu barneratzen dituen teorema orokor bat eraikitzeko bide bat izan daiteke.

Matematikatik atera eta alderdi fisikoagora iraganda, psikologoek intuizio fisiko deritze jarduera edo irudi eskema hauetatik jaiotzen diren ideiei. Intuiziook egindako iragarpenak gertaera espezifiko baten oroipena baino orokorragoak izan ohi dira, eta pentsalariak bere kasa, kanpo ebaluaziorik gabe, garatzen ditu intuizioari buruz sinesteko irizpideak. Konbentzimendu iturri dira Giaquintoren marrazkia bezalaxe. Finean, intuizioa objektuen arteko erlazioari edo objektuen

1 Schematic: showing the main form and features of something, usually in the form of a drawing, which helps people to understand it.

19

manipulazioari buruzko ezagutza subjektibo bat da. Intuiziookin pentsalariek garatzen dituzten gogo prozesuei 'irudi simulazio' deitu izan die batzuk, jarduera bati lotutako gogo eskema aktibatu eta irudi sekuentzia bat prozesatzen delako gogamenean. Sekuentzia honetan hiru azpiprozesu seinalatu izan dira: lehenengo, objektu baten asimilazioa suertatu behar da intuizioaren aplikaziorako aintzinbaldintzetan oinarrituta; bigarrenik, ekintza modulatu eta egokitu egin behar da objektu partikularrarentzat balekoa izan dadin; eta hirugarrenik, iragarpenak sortzen dira ekintzaren emaitzei buruz.

Jo dezagun burdinezko haga bat okertzeko behar den indarraz hausnartu nahi dela. Ohiko pentsalari baten sekuentzia intuitiboa hau litzateke: i) burdinezko haga asimilatzeko eta aitzinbaldintza egokiak izan ditzan pareta batetik horizontalki ateratzen dela suposatzen da, eta luzeagoa edo motzagoa izan daitekeela; ii) okertzearen jarduera eskema martxan jartzen da eta okertzeko egin beharreko esfortzua haga luzeagoa edo motzagoa den arabera modulatu behar dela ohartzen da subjektua; iii) hortaz, laster iragar daiteke haga zenbat eta luzeagoa izan orduan eta errazago oker daitekeela hau. Ikusten denez, subjektuak ez du okertzearen eskemaz inongo erreferentziarik egin eta justifikaziorik eman beharrik, intuizioa arrazonamenduaren abiapuntu ebidentea da beretzat. Eta edozein subjektuk, hagaren disposizio partikular hau sekula ikusi gabe ere, egin lezake iragarpen hau aipatu irudi simulazioaz. Hots, jarduera eta irudi eskemek primitibo kontzeptualak dirudite gure gogoan, eta halaxe konsideratzen ditu pentsalariak ere. Gure kasuei begiratuz, Diracek esklusio printzipioa betetzen duten sistementzat funtzio antisimetrikoaren notazioa garatzean bereizezintasunaren intuizioa nola erabiltzen duen interegarria izango da zentzu honetan. Bereizezintasunaren ideia eta honi asoziatutako berrantolaketa eskemaz aurreko sekuentzia jartzen da martxan esklusio printzipioa espektroskopiaren kanpotik iragartzeko.

Honelako beste hainbat etsenplurekin erakus daitekeenez arrazonamendu plausible edo onargarrian parte hartze ahaltsua dute halako gogo-esperimentuek eta irudi simulazioek. gogo-esperimentuok, balio enpirikorik izan ez arren, konbentzimendu iturri dira sarri, pertzepzio-ekintza eskemek arazo fisikoari buruz pentsatzeko ahala dakarren irudi simulazio bat sortzeko gaitasuna dutelako, hau da, eskema ibilgarriak (“runnable schema”) jartzen dituztelako martxan, hagaren okertzearena bezalakoak. Ohiko esperientziarekiko duten koherentziagatik, arrazonamendu espaziala aktibatzeagatik, eta intuizioa edo ezagutza inplizitua eskeman txertatzeagatik izan ohi dira konbentzimendu iturri. Ikusiko denez, eskema ibilgarriok kreatiboki elika dezakete eredua analogia baten baitatik, edota ebaluatiboki erabil daitezke, ereduaren ahalmen esplikatiboa edo koherentzia testatzeko. Hagaren etsenpluak izaera arrunt intuitiboa dauka, hots, giza sistema pertzeptual-motoreari ezaguna zaion ekintza bat da finean, egingo diren kasu azterketak ez bezala. Hauxe zen fluidoekin eta mekanika kuantikoarekin bilatzen nuen puntuetako bat, itxuraz, objektu etereo eta lausoon artean, ohiko intuizio fisikoen helduleku kognitiborik gabe aurkitzen delako pentsalaria. Izan ere, izaera intuitibo mekanizista ebidentea ez den fenomeno batean pentsalariak nola atxikitzen dio irudikagarritasuna fenomeno multzo bat esplikatu nahi duen ereduari? Fluidoetan eta mekanika kuantikoan iruditegirik edo irudi simulaziorik ez dagoela suposatzeak asko iluntzen du esparruotako sormenaren auzia. Edozein gaitan funtsezko irudi eskemarik gabe ezer kreatiborik abiatzeak gaitza dirudi. Hau frogatzera datorren adibide ederra izango da Johann Bernoulliren "zirimolaren kontenplazioa", zirimolaren eskemak intuizio fisiko hagitz argigarri bat jarriko duelako martxan hodi zabal batetik esturanzko trantsizioan.

Kuestio honen erantzuna hondorago bilatu behar da. Gauza bat da hagarena bezalako gogo irudia eta honi buruz garaturiko irudi simulazioa, eta beste bat irudion errepresentazioa, maiz diagrama deitzen zaiona. Diagrametan problemarentzat gailenak diren objektuaren ezaugarriak soilik marrazten dira eta esparru ez-mekanizistetan ere agertzen dira. Ag denez, badago diagrama marrazten duen pentsalariaren gogamenean arrazonamendua ekonomizatzeko joera bat, problemaren konfigurazioa irudi eta jarduera eskemen arabera kodifikatzeko nahi bat. Marrazturikoaren atzean, gogamenean, irudia beste maila batean birfintzen dela dirudi. Praktikan, errepresentaziook adierazpen sinboliko diskretuen aurrean abantailak erakusten dituztela defenditu

20

izan dute, tartean Larkin eta Simonek (1987). Hauen ustez, diagramek informazio inplizitua modu irakurterraz batez azaleratzen dute inferentzia pertzeptualak ere erraztuz. Ez da harritzekoa, zentzu honetan, gogo eskemek maiz marrazki forma hartzea jendeari zerbait ulertzen laguntzeko. Izan ere, diagramen laguntzaz problema ebazpenerako gakoetaz segituan ohar gaitezke soluziobidean elkarrekiten duen informazio gailena leku batean biltzen duelako eta honek bilaketa lanak arintzen dituelako. Ezaugarri orokor hauek Châteletek (2000) fintasunez diagramei egokitzen dizkien funtzioak aurreratzera datoz: funtzio alusiboa, inplikatzailea eta berraurkiarazlea.

Alde batetik, diagramek intuizio matematikorako espazioa kreatzen dute. Alusio teknika gisa ikusten du Châteletek hau eta aipamen garrantzitsu bat egiten: fisika matematikoaren filosofia batek ezin du ignoratu formalismoaren aurretik dagoen praktika sinboliko hau, intuizioaren "zabalkunde eta kondentsazio praktika" hau. Alusioa, izendatu gabe gauzei erreferentzia egitea (oraindik izenik ez dutelako), diagramez maiz gauzatuko den funtzioa da, Daniel Bernoulliren lan aintzindariko korronte-lerroetan egiaztatuko denez. Izan ere, irudiak ez dira estatikoak, baizik eta birtualtasuna proiektatzen dute errepresentatu nahi duten espazioan. Hots, errealak izan gabe efektu bat produzitzeko birtutea dute. Faradayren iraultza indar-lerroak bigarren mailako figura ordezkagarritzat hartu beharrean "espazioa zirikatzeko akuilutzat" hartu zituenean etorri zen. Lerrook ez dira ez 'errealak', ez 'artifizialak', ez dituzte benetako indarrak matematizatzen. Ez dute geometrikoa dena fisikoa denaren gainean eusten, ideia bat ordezkatzen dute izatez. Bernoulliren korronte-lerroak ere ibilbide fisiko baten ideia ordezkatzen dute, ‘mugimendu efektua’ produzitzen dute.

Diagramek inplikaziorako estrategia bisual bat ere badakarte. Paperaren hondoan marrazturiko mugalde batek, adibidez, konsideratzea erabaki dugun edozer inpregnatzen du aldez aurretik. Beraz, kasualki, problema bat askatu nahian gabiltzanean problemaren diagrama hasieran taxutu dugun moduak bakarrik ikuspegi erabakigarri bat ekar liezaguke soluziobiderako. Hau da, diagramek iradokitzeko ahala dute, iradokigarriak dira oso. Halaber, Châteleten ustez, diagramak, tarteko garraiobide kontzeptual gisa, ez dira soilik errekuperagarriak, berraurkiarazleak ere badira. Beste idazkuntza teknologia batzuen bitartekari izanik, hau da, lengoaia sinbolikoaren eta irakurlearen bitartean egonik, sinbologia ezberdinetan planteaturiko problemen arteko loturak azalera ditzakete. Modu honetan, diagrama batek zeinu gisa dakarren kontzeptu fisiko bat berraurkitzeko ahalmen kasik instantaneoa oso garrantzitsua da, ez soilik irakaslearen arbeleko komunikaziorako, baita pentsalariaren sormen blokeatua biziki birkokatzeko ere. Daniel Bernoulliren 1.2 ataleko abiadura-azalera diagramak oso ondo ilustratzen du guzti hau analogia batekin harreman berezia izateaz gain.

Baina irudi errepresentazio batek zeinu gisa duen izatea ez da beti diagramatzat hartzen, irudizko zeinuak, ikonoak, modu mailakatuan sailkatu izan direlako maiz. Halatan, semiotikan ikonoentzat 'irudia-diagrama-metafora' mailaketa egin izan da, kanpo atributuen antzekotasun erabatekotik barne-paralelismo sakonagoetara doana. Bi terminotako mailaketa sinpleagoa eginda, nik kanpo-irudia edo bere horretan irudia deituko diot lehenari eta, metafora termino lausoa baztertuta, barne-irudia edo diagrama bigarrenari. Diagrametako barne-irudietan objektuen arteko erlazioak izango dira zeinuaren elementuak, kategorien teorian morfismoak edo diagramak definitzen diren antzera, edota zientzalari kognitiboek goi-ordenako erlazio deritzotenen gisan. Adibideak askotarikoak dira. Matematikako adierazpenek eurek ere, matrizeek edo ekuazio sistemek esaterako, paperean duten konfigurazioaz zeinu diagramatiko bat eratzen dute hauek idazten ari den pentsalariarentzat. Matrizeak, zutabe eta errenkadetan, edo diagonalizazioa gisako manipulazioetan indar heuristiko handiko izaera diagramatikoaren jabe dira.

Kanpo-irudiei dagokienez, zenbait analogiak ituko fenomenoak azalduko dituen eredu esplikatiboarekin erlazio ikoniko indartsua dutela erakutsiko da, atributuen arteko mapping zuzena ezartzen duena. Analogia hertsiok kreatiboki ezer berririk ezin dezaketela ekar dirudien arren,

21

ekarpen eraberritzaileen abiapuntua izan daitezke. Hau da, lehenbiziko kanpo-irudi batetik edo analogia hertsi batetik abiatuta iturri-itu harreman diagramatiko sakonago bat xehetu ahalko da zenbaitetan. Are gehiago, irudi simulazioetan ere irudi hertsien transformazioak gertatzen dira gogoan, eta hauen bidez arrazonatzen da. Genesi teorikoan daukaten zentraltasun kognitiboagatik aingura analogiko deitu izan zaie halako irudiei. Oro har, analogia eta ikonoen arteko erlazio hau kasu azterketetan identifikatu eta aztertzeko gaia izango da, eta halakorik topatzean analogiaren funtzio ikonikoaz hitz egingo da, hots, analogiak irudi bat edo diagrama bat transferituko du iturritik. Harreman hauek bistaratzea garrantzitsua izango da kasu azterketetan, baita ikonoen baitan kanpo-irudi ala diagrama mailaketa gogoan izatea ere.

4. Analogia prozesu sortzailean

Problema-ebazpen teoriaren ikuspegitik, analogiak pentsalariaren problema-errepresentazioan aldakuntza bat dakarrela esan daiteke. Honela begiratuta, analogia meta-eragile bat da, hasierako problema konfigurazioaren barnetik baino kanpotik diharduena. Hots, kanpotik errestrikzio berri bat ezartzen duela dirudi. Haatik, ezarritako aldakuntza hau berezia da oso. Problema ebazpenetan ohiko pauso kreatiboak "bertikalak" direla esaten da, adibiderako, pentsalaria matrize edo ekuazio gisako errepresentatazioez abstrakzioa bilatzen ari denean. Aldiz, pentsalaria kasu analogora doanean "horizontalki" mugitzen dela diote, problema-errepresentazio berria abstrakzio maila berean dagoelako. Jauzi kreatiboa nabaria da: pentsalariaren arreta problema diferente batera doa, ez problema beraren bertsio abstraktuago batera. Hautsi egin behar dira jatorrizko problema kontsideratzean eraikitako suposizioak, abstrakzio maila altuagoko indar errestriktiboa eduki ez arren, egiaz meta-eragile bat izan gabe ere, eragin determinantea izan ahal duen abiapuntua ezartzekotan.

Analogiaren iturria ezarri eta gero, inferentzia analogikoa gauzatutakoan, itu problemaz aparte dagoen domeinu honetara joan eta handik ekartzen dugu soluziobidea. Paradoxikoki, lehenbizi problematik ‘urrundu’ egiten gara joan garen lekutik soluzioa transferitzeko asmoz. Ikuskera honetan, ohikoa da analogiak terminologiari dagokionez ‘urrutikotzat’, edo aurkako zentzuan, 'gertukotzat' hartzea. Honela, analogia hertsi edo oso gertukoak baztertu egin izan dira sormenari dagokionean, ordena altuko erlazioen arteko paralelismoak, barne-irudietakoak, izaten ei direlako jauzi kreatiboa dakartenak. Hala eta guztiz ere, adibide ezberdinekin froga daiteke pentsalari bat itu problemarekiko oso antzekoa den analogia batetik abiatuta eta honen apurkako transformazioa medio soluzio on bat transferitzera ailega daitekeela. Arestiko izaera sortzailearen baitan berme gehigarri bat eskaintzen dute adibideok.

Bertikalki zintzilika dauden bi malgukien problema eredugarria da analogia hertsien arrakastaz ohartzeko (Clement 1981). Biak berdinak dira, luzera, material eta espira kopuru berberaz eginak, baina bata bestea baino zabalagoa da. Bietan pisu berbera zintzilikatuz gero zein luzatuko da gehiago? Otutzen zitzaien ideia oro ozen esateko eskatuta pentsalarien arrazonamenduak grabatu zituen Clementek, eta analogia arrunt interesgarriak topatu ere bai. Batek zigi-zaga plano berean eraikitako malgukiek zer egingo luketen pentsatu zuen. Beste batek, arrakasta handiagoz, espirak zirkularrak beharrean hexagonalak balira zer gertatuko zen hausnartzeari ekin zion. Bi kasuetan analogiaren iturriak malguki orijinalarekin antz handiegia duela dirudi inferentzia interesgarri bat gauzatzeko. Gentnerren hitzetan "antzekotasun literala" leukakete, eta iturria eta itua hain gertukoak izatean ez lirateke kapaz izango goi-ordenako erlazioak, abstrakzio maila iradokigarri bat, azaleratu eta soluziobide egoki bat ekartzeko. Baina Clementek behatutako pentsalariaren kasuan, espira hexagonalen itxurazko "gertukotasunak" helizearen erresistentzia-mekanismo nagusia den tortsio ideiaz jabetzeko balio izan zuen. Arrakasta erabatekoa izan zen, aldagai eta erlazio kausal berri bat topatu baitzuen. Gure kasuetara begira, Daniel Bernoulliren Hydrodynamica eredugarria da zentzu honetan, konfigurazio esperimental konkretu bat ardatz hartuta, honen transformazio txikiak medio, aldaera esperimental anitz

22

proposatzen baititu, maiz soilik gogo-esperimentu gisa ebatziak. Analogia gertukook, aldaera multzoa osatzen dutenek, gidatzen dute Danielen sormena.

Gainera, adibide honek ohar garrantzitsu bat uzten du beste esparru batean, kasu analogoaren sorreraren inguruan, hain zuzen. Ohiko ikuspegian kasu analogoa, iturria, asoziazioz sortzen da aurkezturiko problemak zerbait ezaguna oroitarazten diolako pentsalariari. Pentsalariaren oroimenean jadanik zegoen ezagutza estruktura bat atzitu egiten da honela. Baina ikuspegi honek ezin du esplikatu inola ere espira hexagonala gisako gertuko analogia baten kasua. Espira hexagonala ez da oroimenean gordea dagoen zerbait, pentsalariak asmatu egiten du, diseinatu, ituko espira transformatuz. Pentsalariak ez du soilik analogia erlazio berri bat sortzen, kasu analogoa bera ere sortzen du, oroimenean jadanik dauden elementu batzuen konposizio berri bat delako, bere osotasunean oroimenean aurretiaz inoiz atxiki gabekoa, ituaren transformazioa medio eraikia.

Salbuespen garrantzitsuok aintzat hartu behar badira ere, maiz analogiaren iturriak itxuraz ituaren ezaugarriekin zerikusirik ez duen ideia batean hartzen du gorputza. 'Urruneko analogia' horrek aitzinamendu bat jasaten du lan teorikoaren ondorioz, harik eta azken analogia sistematikoago bat, abstrakzio maila handiagokoa, erdietsi arte. Haserako iturri 'urrun' horrek ikono izaera duenean kanpo-irudi maila izan ohi du, eta sobrako atributuak iragaztean bihurtzen da diagrama. Orduan, analogiaren pausokako xeheketa landu bat gertatzen da. Adibide ona da egun osziladore harmoniko multzotzat jotzen den eremu elektromagnetikoaren historia. Osziladore harmonikoetara iristeko gurpil eta poleetatik hasi eta malgukietatik pasa zen eremu elektromagnetikoaren irudikapena, zurrunbiloen eta gurpilen periodikotasun hori geratu zen arte osziladorearen azken gogo produktuan:

i) Eremu elektromagnetikoa gurpil, polea eta fluido multzo bat bailitzan portatzen da. 1865ean Maxwellek On Physical Lines of Force idatzi zuen. Bertan fenomeno elektromagnetikoak zurrunbilo molekularren jariakin sistema baten antzekoak zirela zioen. Artikulu berean, Helmholtz fluido lerroen eta lerro magnetikoen arteko antzekotasunak ikertzen ari zela aipatzen zuen, “analogia fisiko bat bailitzan”. 1860ko Britainian aparatu mekaniko eraikigarrietan oinarritutako irudizko ereduak ohikoak ziren, eta halaxe, gailu mekanikoen konposizio ugarietan sormena barreiatzea normala zen. Zubi bat zegoen analogiaren erabileran: jariakina zen magnetismoaren iturri analogikoa, eta jariakinarentzat gailu mekanikoak jartzen ziren iturri gisa, gailuak eta elektromagnetismoa lotuz. Gailuok aukeren gehiegikeria eskaintzen zuten baina. Esan nahi da ezen, fluidoen portaera konplexuen eta fenomenologia zabalaren eta eraiki zitekeen edozein gailu mekanikoren arteko analogia behartzeak itzal esplikatibo ahula zekarrela fenomeno magnetikoetan (ikus Nersessian 2002).

ii) Gorputz beltzaren erradiazioa gorputzaren barne-paretetako elektroiak malgukietan dauden partikula kargatuak bailiran azter daiteke. 1900eko Plancken gorputz beltzaren erradiazioaren azterketan esentziala izan zen osziladore harmoniko sinplearen eredua. Termodinamikatik lortu zuen bere erradiazio lege famatuari oinarri atomista bat eman nahi izan zion. Nola sortzen zuten erradiazioa gorputzaren barne-paretetako elektroiek? Hauek kargadun osziladore harmonikotzat hartzea erabaki zuen. Elektroia malguki bati lotuta egongo zela inork sinesten ez zuen arren eredu on bat suertatu zen, osziladore harmonikoaren ekuazio diferentziala erraz ebatz daiteke eta. Orokortze honek lehen baino kategorizazio ahalmen handiagoa dakar, jostailu mekaniko soil batek gorputz beltzaren erradiazio elektromagnetikoa azaltzen zuelako materia-erradiazio elkarrekintzaren baitan. Hots, gailu mekanikoen aukera zabala oszilatzen ari den malguki bat bakarrik bihurtzen da, ez dago polearik, sokarik, edo gurpilik, nahikoa da osziladorearen irudia.

23

iii) Eremu elektromagnetikoa osziladore harmoniko multzo bat bailitzan portatzen da. Bohrren eredu atomikoan eta Heisenbergen teoria kuantikoan agertu ziren berriro osziladore harmonikoak. Ildo honetan, gaur egun elektroi osziladorea eremuen teoria kuantikoaren gakoa dela esan daiteke. Maxwellen gurpilak eta poleak osziladore harmonikoaren estruktura matematikoak ordezkatu ditu, irismen teoriko zabalagoa eta sakonagoa eskaintzen duen heinean. Gainera, tratamendu hau gorputz beltza baino askoz ere fenomenologia zabalagora hedatzen da: atomoen konfigurazio elektronikoan, erradiazioaren barne-egituran eta materia-erradiazio elkarrekintzan darabilte, baina baita partikula azpiatomikoen sortze eta deusezte prozesuetan ere. Osziladore harmonikoa, ongi axiomatizatutako sistema gisa, elektroiak, fotoiak eta hauen arteko elkarrekintza ezezik beste kategoria bat ere, partikula eta prozesu azpiatomikoena, barne hartzeko gauza da Pauliren esklusioaren kasu azterketan ikusiko denez.

Eredua elikatzen duen analogiaren iturriaren xehetze hau, progresio historiko gisa, sarri seinalatu izan da zientzian, baita pentsamendu zientifikoaren planoan ere. Lloydek (1966) Polarity and Analogy liburuan antzinako pentsamendu greziarraren baitako bi argumentazio mota nagusiok aztertu zituen, pentsamendu aitzin-zientifikoa mamitzen ari zen aro garrantzitsu batean hain zuzen ere. Argumentu analogikoei dagokien azken ondorioetan garbi azaltzen du 'metafora figuratibotik' analogiaren logika zainduago baterako eboluzioa, eta honen garrantzia antzinateko greziarren ikerbiderako (419 or.):

Filosofia greziarra garatu ahala, kosmosa osotasuntzat zuten kontzepzioak adierazteko eta fenomeno natural ilunen azalpenak iradokitzeko analogien erabileran zeuden problemetako batzuk agertu ziren: irudi kosmologikoen estatusaren ideia argiagoa lortu zen, eta analogia inferentzia gisa analizatu zen esplizituki. Baina logikaren eta analogiaren ezagutzan egin ziren aurrerapenak erabakigarriak eta nabariak ziren bitartean, praktikan honek ez zuen ekarri analogiaren erabilera bat bera ere abandonatzea, soilik analogien aplikazio apur bat arduratsuagoa ekarri zuen idazle jakin batzuen aldetik. Argumentu analogiko esplizituak denbora luzean zehar erabili ziren, kasu onenean ere limurtzaileak zirela nabarmendu eta askoz geroago. Platonek azalpen figuratiboak frogapenen aldean behe-mailakoak zirela onartu bazuen ere, berak eta beste hainbatek kontzepzio kosmologikoak erruz erabiltzen segi zuten. Azkenik, Aristoteles zenbait aspektutan bere aurrekariak baino kritikoagoa zen arren, zientzia naturaletan duen erabileraz analogiak gai askotan fenomeno ilunak argitzeko metodo arras inportantetzat, ia ezinbestekotzat, luzez eutsi zion bereari laugarren mendeaz geroztik.1

Beraz, agi denez badago analogia 'urrun', 'figuratibo', 'irudizko' batetik analogia 'inferentzial', 'logikaren baitako', 'arduratsu' batera eginiko aitzinamendua pentsamendu zientifikoaren sorreran ere. Finean, sormen prozesu arrakastatsu baten baitan analogiak izan beharko lukeen bilakaera ikusi nahi da interpretazioa historiko hauetan, ahaztu gabe, iturri analogiko oso antzeko batek ere, ituarekiko gertukoa den batek, detaile bat azalera dezakeela pauso kreatibo egokia pizteko. Nola kasu gertukoan hala kasu urrunekoan, baina beti ere kasuan kasu, analogiak sormenarekiko bete duen funtzioa aztertzea izango da gauza interpretaziook orokorregiak suerta ez daitezen. Analogiaren ezaugarriak eta funtzioa xehe aztertuta hitz egin ahal izango da iturri-itu erlazioaz eta honek sormenari eginiko ekarriaz.

1 As Greek philosophy developed, some of the problems involved in the use of analogies to express conceptions of the cosmos as a whole and to suggest accounts of obscure natural phenomena: a clearer idea of the status of cosmological images was achieved, and analogy was explicitly analysed as a mode of inference. But while the advances in the knowledge of the logic of analogy are clearcut and decisive, in practice these did not lead to the abandonment of any particular use of analogy, only to a slightly more cautious application of analogies on the part of certain specific writers. Explicit analogical arguments continue to be both used and misured long after it was first pointed out that they are at best persuasive. While Plato acknowledged that figurative accounts are inferior to demonstrations, he and many others continued extensively in expressing cosmological conceptions. Finally, while Aristotle is, in certain respects, more critical in his use of analogies in natural science than most of his predecessors, analogy remained an extremely important, indeed an indispensable, method of elucidating obscure phenomena in many fields of inquiry long after the fourth century.

24

Aurreko puntuetan seinalatutako ideiak tarteko analogia motak irizpide ezberdinen arabera bereiz daitezkeela ohartu behar da. Arestiko 'urruntasun/gertutasun' irizpidea dago batetik iturri-itu antzekotasun mailaren edo biek konpartitzen dituzten azaleko ezaugarrien arabera. Hor, azaleko hainbat propietate berdintsuak dituzten analogia hertsien kasua ere kreatiboki aintzat hartzekoa dela nabarmendu da, zigi-zaga edo hexagono erako espirak legez. Bestetik, iturriari buruzko ezagutza indarraren irizpidea aipatu da: ezagutza hau gogorra denean oroimenean gordetako informazio ezaguna darabil pentsalariak; iturriari buruzko ezagutza ahula ere izan daiteke baina, konposizio edo transformazio bidez moldatutako eta asmatutako kasu analogo bat eraikitzen delako, zeinari buruz aurretiko ezagutzarik ez den gordetzen espira hexagonalean bezala. Honela bada, antzekotasun maila eta iturriari buruzko ezagutza inferentzia egin baino lehen, analogiaren lehen fase ebaluatiboan eta sortzailean lagungarri gerta daitezkeen irizpideak dira.

Halaber, inferentziaren azken faseak ere eskaintzen du irizpiderik. Analogia ezberdina da transferitutakoaren abstrakzio mailaren arabera. Material irudikatu konkretua, gurpil eta poleak gisakoa, transferi daiteke magnetismoaren fenomenora, edo egitate ez-konkretu bat eraman daiteke, elementu erlazional bat, osziladore harmonikoa bezalakoa. Ikusi da aitzinamendua eta progreso zientifikoa analogiaren xehetze batekin lotu izan dela sarritan, itura daramagunaren abstrakzio maila handituko lukeen eta zientzialariak bilatzen duen ideien iragazte batekin. Irizpidea abstrakzio mailaren baitan areago zorroztuz, hemen kokatuko litzateke kategorien teoriako funktoreentzat lehen atalean aipatu den sailkapena ere.

Haatik, gauza bat da analogia motak analogia beraren eraikuntzaren barne faseetan, hots, iturriaren sorkuntzan, iturri-itu erlazioaren ebaluaketan edo ondorengo transferentzian bereiztea, eta beste afera bat arrunt desberdina analogiak sormenarekiko betetzen duen funtzioaren arabera aztertzea. Aurrerapen gisa, esan behar da Bernoulliren eta Pauliren kasu azterketetan sormenarekiko rol desberdinak identifikatu direla. Igorlea, probokatzailea, aitzin-ereduarena, manipulatiboa eta zubi analogia deitu ditut, hurrenez hurren:

• Analogia sinpleenek iturria proposatu, iturri-itu erlazioa sortu, eta dagokion propietatearen transferentzia burutzen dute soilik, ez dute haraindiko ekarpenik egiten. Transferitzeaz, igortzeaz, analogia bere horretan osatzeaz bakarrik arduratzen direnez, igorle deituko diet hauei, gutxieneko honetara mugatzen baita daukaten rola. Daniel eta Johann Bernoulliren kasuan kalkulu hutserako asmatuak izan ziren analogia igorle argiak topatu dira, 'lau terminoko analogiatik' inferitzen den 'laugarren proportzionala', eta 'geruza translazioa' gisakoak. Ez dira metaforak, transferitutakoa ongi xehetua dago edozein analogiatan bezala, baina transferitutako horrek proportzionaltasun arau ebidente bat dauka muinean. Transferitutako arau hori konplexuagoa denean, ondo formalizatu eta axiomatizatutako teoria baten gisako estruktura bat, analogia formal deituko dut, igorlea izanik ere teoria oso bat aplikatzen zaiolako errealitatearen esparru berri bati. Adibidez, Hamilton-Jacobiren kalkulu bariazionala mekanika kuantikoan aplikatzean analogia formal bat burutzen da partikula kuantikoek klasikoekin zerikusirik ez izan arren formalismo hamiltondarra hertsiki igortzen baita mundu kuantikora. Ez dago harago doan osagai esplikatiborik proiekzio honetan. Beste adibide garrantzitsu bat osziladore harmonikoarena da, ongi ezaguna den eta erabat axiomatizatua dagoen sistema gisa, beronen kuantizazioa, hasieran formalki eta gero xeheago, operatiboki, eremuen teoria kuantikoa eraikitzeko oinarria izan zela ikusiko baita.

• Identifikatutako gainontzeko ezaugarri gailenek ekarpen esplikatiboa bereganatzen dute, eta tertium comparationisa xehetu behar izaten dute. Esaterako, zenbaitetan analogiak irudi edo jarduera eskema bat aktibatzen duela ikusi da. Probokatzailea deituko diot halako analogia bati bere funtzioa arrazonamenduan eskema berri bat martxan jartzea delako. Hots, pentsalariak arazoari irtenbide bat emateko analogiak kontsideratzerakoan badaki iturriak barnean izan dezakeen eskema bat baliagarri suerta liezaiokeela itura transferitzeko. Johann Bernoulliren kasuan zurrunbiloaren analogiak zirkulazio eta bulkada eskema aktibatzen duela ikusiko da uraren korronte-lerroetan

25

zeharko azelerazioa esplikatzeko. Pauliren kasuan, esklusioaren ideia bera analogia planetarioak eta orbiten arteko jauziaren ideiak aktibaturiko eskema bat dela defendituko da, kontaketa nahiz berrantolaketa eskema bat pizten duena, lehenbizi Bohrren eraikuntza printzipioaren barnean, bukaeran esklusioaren edo egoera okupatuaren ideia eskematikoa egikaritzeko.

• Ikuspegi bat iraunarazten badu eta pentsamenduaren abiapuntuan nagusi den eredu batentzat zentrala baldin bada, sormen prozesuan aingura bat ezartzen du analogiak fenomeno batzuk esplikatzeko. Helduleku funtzio hau betetzen duenean analogia aitzin-eredu rola betetzen ari dela esango dut. Aitzin-eredu funtzioa duen analogiarekin pentsalariak badaki problema espazioa honen baitan zedarritzen dela baliabide heuristikoen aprobetxamendu hobea eta konbergentzia lagunduz. Adibidez, Huygensen partikula multzoentzat jaitsiera erreala eta igoera potentziala deskribatzen zen erak Bernoulli semearentzat aurretiko eredu bat eta aingura bat eskaintzen zuela ikusiko da partikula multzo eta fluidoaren arteko analogian. Baina kontuz ibili behar da analogiari aitzin-eredu baten rola eman eta erabateko zentraltasuna aitortzearekin. Esaterako, Bohrren ereduan beti aitzin-eredu indartsutzat jo izan den analogia planetarioa korrespondentzia printzipioa deituriko beste printzipio analogiko bat baino askoz zeharkakoagoa dela erakutsiko da, hots, hasieratiko eredu bat eskaini arren beste kooperatzaile heuristiko bat baino ez dela. Antzera gertatzen da Larmorren maiztasunarekin loturiko elektroiaren prezesio irudiarekin: kalkuluak eta gero, a posteriori asoziatzen den analogia bat da. Asoziatu diot, ez baitago ekarpen kreatiborik edo asmakuntzarik eraiki egin zela esateko. Rol eta iturriaren bat-bateko ezarpen honek figura literario bat oroitarazi diote batzuei: Katakresia. Katakhresis-ek abusatzea esan nahi du grezieraz. Hizkuntzalaritzan katakresia izen zehatz bat ez daukan zerbaiti erreferentzia egiteko erabiltzen den figura erretorikoa da, hitz ezagun bati adiera figuratiboa ematean datzana. Adibidez, ‘jostorratzaren begia’ adierazpidean ‘begia’ da zuloaren adiera figuratibora transferitzen dena, aurpegitik jostorratzera doan abusuzko mapping analogiko batez. Hor dago katakresiaren abusua, jostorratz bat aurpegi baten antzekoa izan daitekeela pentsatzean. Jo dezagun genesi teorikoaren etapa bat non ideia bati buruz ezin den eztabaidatu une horretan existitzen den terminologiaz. Halako kasuetan katakresi zeregina har dezake termino horri erreferentzia egiten dion analogia batek. Boydek dioenez (1993, 485 or.), halakoetan analogiek ezinbesteko partaidetza dute ikerketa zientifikoaren tresneria linguistikoan. Halako analogiak “teoriaren osagaitzat” dauzka, teoria barnetik osatzen dutelako, soilik deskriptiboak izan gabe. Modu honetan, teoriaren osagai den analogiak “sarbide epistemikoa” eskaintzen du ikerketa gaira edo itura. Fisikari komunitatearen barneko funtzio erretoriko edo komunikatiboaz harago goaz horrela, fisikariaren sormen prozesuari helduleku bat eskaini ahal diolako halako figura batek, teknika erretoriko nahiz izaera analogikodun iturri sendo gisa, hau da, aitzin-eredu gisa. Ikusiko den adibide garbi bi dira ekuazio erlatibistako energia negatiboa esplikatzeko garaturiko Diracen zulo teoria eta fisika nuklearra. Bi arazoetaz pentsatu ahal izateko ekarri zuten fisika atomikotik jauzi erradiatiboaren irudia. Prozesu nuklearrak ulertzerakoan, hasieran Heisenbergek izan zuen ideiak abusuzkoa zirudien arren, hari horri tiraka Hideki Yukamaren mesoia topatu zen azkenean. Energia mailen arteko elektroiaren jauzia eta fotoiaren igorpena gogoan garatu zuen Fermik β desintegrazioko neutrinoaren igorpen teoria ere. Katakresitzat jo daitezke biak.

• Beste batzutan, zeinu ikonikoak barne-irudi maila abstraktuenean daudenean, paperaren gaineko sinboloen manipulazioa pauso analogoak medio gauzatzen dela topatu da. Hots, prozesua da analogoa, eta horregatik deituko diet deskribapen matematikoa formalizatzea xede duten halako analogiei manipulatiboak edo operatiboak. Halakoetan pentsalariak fenomenologia baten inguruan dagoen matematika axiomatizatzea nahi izaten du abstrakzio edo orokorpen indartsuago baten bila eta maneiu sinbolikorako jarraibide bat eskaintzen dien analogien bidez. Ikusiko dira adibide konplexuagoak, osziladore harmonikoaren kuantizazioa heldulekutzat hartzen duen eremuen bigarren kuantizazioaren prozedura gisakoak. Halakoetan pentsalariak abstrakzioa edo orokorpena bilatuko du pauso analogoak medio, hots, analogia metodologiko bat ezarriko du. Heinsenbergen matrize mekanikan eta de Broglieren uhin-partikula dualtasunean ere gida metodologiko bat eskaintzen da maneiu matematikorako mekanika analitikotik eta uhin optikatik. Ildo honetan

26

topatuko den analogia operatibo nabarmenena osziladore harmonikoaren igotze eta jaiste eragileen eraikuntzaren eta eremuen teoria kuantikoaren baitako sortze eta deusezte eragileen artekoa izango da. Bestetsutan, manipulatiboki berriz ere, fisikaren baitan kontaketa edota berrantolaketa eskema bezalako ikuspegi berri bat pizten denean (ikus Bohrren 'mugapen ez-mekanikoa') dagokion matematikak maneiu sinboliko berriak jartzen ditu proban, kale-edo-baleka baldin bada ere. Kasuotan ez dago analogia operatiborik, baina analogia batek proboka lezake abdukzio operatiboari bide emango dion eskema eta jokaleku berritzailea.

• Ituarekiko iturri 'urrun' edota konkretu bat sortzen den kasuan, bien arteko harremana hobeto ulertzeko zubi lana egiten duen tarteko beste kasu analogo bat sar daiteke. Halatan, arrazonamenduan abiapuntua den analogiari, esaterako aitzin-eredu rola duenari, alderdi berriak gehitzen joanez gero, akumulazioz, hornitu egiten da apurka hasierako iturria. Ereduaren aplikazio eremua zabaldu egiten du honelako zubi analogia batek. Batzutan irudizko lerrokatze gisa funtzionatzen dute, lehenbiziko iturriaren, ereduaren, printzipioen edo ituaren arteko ezaugarriak lotuz gero. Bestetsutan, aurreko analogia ebaluatzeko eta hobeto ulertzeko baino ez dira erabiltzen hedadura kontzeptual bat erdietsiz. Helburu ebaluatiboez, hasierako esperimentu batean oinarri hartuta aldaera esperimental ezberdinak asmatzen dira maiz, Daniel Bernoullik "jolas hidraulikoekin" egin zuen gisan. Analogia nagusi baten tertium comparationis delakoaren edo mappingaren ebaluazio fasean hasierakoaren hedadurak diren azpi-analogiak ager daitezke Johann Bernoulliren presio isotropoaren genesian bezala (4.3 atala). Orokorpena nahiz abstrakzioa bilatzen duten ohiko sormen prozesuetan topa daitezke hauek, orain ikusiko den Newtonen kanoiarenak bezalakoetan. Ildo honetan, batzutan arrazonamendua limitera eramaten da, hedapen analogien sekuentzia produzitzeko gakoa den aldagai jarraitu bat limitera eroanda. Muturreko kasu honek aurretiko kasuak ebaluatzeko eta pentsalariarengan arreta indartze bat eragiteko balio duela ikusi da, gogo simulazioan edo irudikatutakoan duen konfiantza sendotzen duen heinean. Ikuspegi honetan, trantsizio jarraitu horretako kasu partikular bakoitza aurrekoaren analogiatzat har daitekeela defendatzen dute batzuk, eta limiterako arrazonamendua arrazonamendu analogikotzat har daitekeela zentzu honetan. Fluidoei buruzko problema sinpleenetan nahiz Bernouliren Teoremaren azken formulazioan agertuko da hau, Danielek markatzaile kognitibo gisa bere gogo-esperimentuko zulodun tapoia darabilenean adibidez. Izan ere, arreta indartze hau, bere soilean analogia aintzat hartu gabe, gertaera kognitibo garrantzitsua da, markatzaile eran edo aurrekari operatibo ebidente gisa piz baitaiteke. Finean, arrazonamenduaren sorburutzat jarri den harridura litzateke arretaren jatorria, analogiaren erabileraren kasuan lehen pausoa, iturri baten proposamena, ekar dezakeena. Gainera, bestela ere, arreta indartzea oso garrantzitsua da abstrakzio prozesuan, eta bereizi egin behar da analogia operatiboa medio garaturiko abstrakziotik (Mac Lane 1986, 437 or.).

Amaitzeko, aurrera bedi rol hauek sormen prozesuan pentsalaria aurkitzen den fasearen arabera, bi funtzio ezberdin bete ditzaketela behatu dela: ereduaren baitan zerbait berria produzitzen duenean sortzailea izango da, eta ebaluatzailea jada sortutakoa bere horretan berrikusi eta balioztatu nahi duenean. Ziklo sortzaile-ebaluatiboa gauzatu behar da sormen prozesuan zehar, enpirikoki nahiz metodo ez-enpirikoez, akaso ez-formaki, analogiaren batekin. Beraz, analogiaren kasuan zera da interegarriena, agertzen denean ea zikloaren zein fasetan agertzen den, eta ea nola murgiltzen den fase horretan bere ekarpena egitera. Sormena generazio hutsarekin bakarrik lotzeko joera dagoen arren, pauso berritzaile bakoitzak ezinbestekoa du oinarri irmo bat berriro beste pauso bat eman eta aurrera egiteko, prozesu gisa hartuta ebaluazioa sorkuntza bezain parte baita sormenean.

Sormen zikloaren araberako funtzioak dira biok, ez rolek berariaz duten izaera bat, nahiz eta hauetako batzuk baduten batez ere bietako funtzio bat euren gain hartzeko joera. Zubi analogiak, adibidez, maizenik fase ebaluatiboan agertzen dira berrikusi nahi den ereduaren hedapenak proposatzen dituztelako hauek proban jartzeko. Analogia probokatzaileek, aldiz, izaera nagusiki

27

sortzailea dute, problemari heltzeko edo gainditu nahi den anomalia esplikatzeko ikuspegi desberdinak proposatzen dituztelako irudi eskema berriak aktibatuta. Haatik, kasuan kasu ikusi beharko da rol batek sormen fasearekiko duen funtzioa nolakoa den.

Hauxe da sormenaren tempus laburrenean, denbora-eskala txikiko sorkuntza-ebaluazio zikloetan, analogiak betetzen duen funtzio eta rolei buruz kasu azterketetatik egin den zerrenda. Baina teoria baten eboluzioa denbora-eskala handietan kontsideratu eta eboluzio hori laburki deskribatu nahi denean fisikariaren sormenak, finean, xede garrantzitsu bat baduela ohartuko gara. Izan ere, fisikariak beti bilatzen du, bere xede gorena horretan zentratzen baita, ahalik eta orokorpenik zabalena eta abstrakziorik zorrotzena.

5. Orokorpena eta abstrakzioa xede

Jakina da fisikarien xede gorena unibertsoko legeen batasuna erdiestea dela, hots, naturako fenomeno guztiak esplikatuko dituen teoria bat lortzea erabateko orokorpenaz. Jakina da ere jarduera intelektual abstraktua aitortzen zaiola fisikariaren lanari, fenomeno konkretu oro barnebilduko duen lege goren abstraktuaren xerka dabilela orokorpen erabateko hura gauzatzeko. Alabaina, pentsalariaren xede gisa maiz orokorpenaz eta abstrakzioaz bereizketarik gabe hitz egiten den arren, komeni da biak leunki bada ere bereiztea, batez ere analogiari dagokionean. Orokorpen batek aurreko kasu oro kasuon propietate nagusiez jabetzen den ikuspegi komun baten baitan bildu nahi ditu. Abstrakzio batek aurreko kasuen aspektu zenbait bereiztea eta hauek ebatzi nahi den problemarentzat estrainioak diren aspektuetatik askatzea du helburu. Beraz, abstrakzioak kontzeptu matematiko "abstraktuago" edo zuhurragoen menpeko deskribapenetara garamatza (Mac Lane 1986, 434-438 or.).

Egungo fisika matematikoan analogiak zenbaitetan rol manipulatiboa deritzodana hartzen duela seinalatu da lehen. Rol honen baitan orokorpenaren eta abstrakzioaren presentzia zalantzagabekoa izango da, horixe izango baita maneiu sinbolikoekin lortu nahi dena. Manipulazio sinbolikoarekiko pauso analogoak medio gertatzen den orokorpenean teoria orokorrago batek aurreko kasuekiko paraleloki egiten du aurrera, kasuok ordezkatu edo barnebildu gabe. Matematikan makina bat dira halako adibideak, zenbaki errealen, zenbaki konplexuen, eta kuaternioen arteko paralelismoa adibiderako. Eremuen teoria kuantikoan esklusio printzipioak nola parte hartzen duen aztertzean ere analogiaz kateaturiko orokorpen prozedurak identifikatuko dira.

Rol manipulatiboak ezezik zubi analogiak ere badu orokorpena gidatzeko ahalmena. Honen inguruko adibide aski ezaguna da 'Newtonen kanoia'. Lur azaletik geroz eta indar handiagoz jaurtitako gorputzen higidurak orduan eta orbitalagoak direla irudikatuz, Newtonek lurreko jaurtigaien higidurarekiko analogiaz ulertu zuen zeruko gorputzena. Lur eta zeruko higidura legeen batasuna lortu zuen bide horri jarraiki. Analogiaren egiturak ongi argitzen du Newtonen sorkari hau:

Analogia: lurreko jaurtigaien higidura zeruko gorputzenaren parekoa da.

Estruktura:1. Lurreko jaurtigai bati abiadura geroz eta handiagoak eman dakizkioke (abiaduraren jarraitasunagatik).2. Abiadura zehatz batera iristean jaurtiketaren irismena ludia inguratzera iritsiko da. 3. Beraz, jaurtigaiaren higidura lurra orbitatzen duen gorputz zerutiar baten antzekoa izango da.4. Horrela, lurreko eta zeruko gorputzen higidura legeak berdinak dira.

28

Beraz, ilargia lurrak erakarrita erori egiten da bere orbitan aurrera doan heinean, eguneroko objektu bat legez. Newtonen aieru ausartaren arabera ilargiaren lurraren inguruko biraketak eta sagarraren erorketak mekanismo kausal bera zuten. Principia obra ezagunean zubi analogiak zerabiltzan azken analogia hau osatzeko. Analogiaren barne egituran aipatu erara, jaurtigaia geroz eta urrunago iritsarazten da harik eta antipodetara iritsi arte, edo zergatik ez, planetari buelta eman eta gure gainetik pasa arte. Edo harik eta lurraren inguruan orbita bat osatu arte. Jaurtiketa kasuotako bakoitza zubitzat har daiteke sagarra bertikalki erortzen uzten dugun kasuaren eta ilargiaren orbitaren kasuaren artean. Bietan grabitateak egiten dio bultza objektuari. Hainbat zubi analogia errenkadan ipinita trantsizio leun bat burutzen da erorketa bertikaletik mugimendu orbitalera. Zubi analogien trantsizio leun honek analogiaren ebaluazio mota ez-enpiriko eta ez-formal bat eratzen du, hala eraiki ahal izanez gero hipotesi analogikoari sinesgarritasuna dakarkiona. Berme honek sostengatzen du orokorpena.

Haatik, beste prozesu mota bat da, orokorpenetik banandu beharrekoa, analogia medio garaturiko abstrakzioa ezartzen duena. Bi teoria desberdinen arteko paralelismo batek bien hondoan espezifikotasun ahulagoa duen teoria bat aurkitu behar dela iradokitzen duenean gertatzen da hau. Adibidez, zenbaki eta funtzioen kasuan, sakonean bat bihurtzen dituen Galoisen teoriaren arabera, ohiko eragileen bidez (batuketa, kenketa, biderkaketa, zatiketa) definitutako zenbaki edo funtzio sistemek arau aljebraiko berberak segitzen dituzte. Ikusten denez, abstrakzioak eraman zuen Galois bere teoria garatzera.

Abstrakziotik begiratuta, Newtonen kanoiak transformazio kontserbatu edo inbariantza bat bistaratzen du 'sagar/ilargi' analogia itxuraz urrunaren azterketarentzat. Newtonen arrazonamendua ulertzeko modua inbariantzaren ikuspegi honetan jar daiteke, benetan garatu zuen gogo prozesuari gehiegi atxiki gabe: jaurtigaiaren hasierako abiadura horizontala apurka-apurka emendatzeaz pentsatzeak aldagai kontrolatua eskaintzen duen inbariantza bat mantentzen du muinean, grabitatearen azelerazio aldaezina hain zuzen ere. Sagarraren erorketaren eta ilargiaren orbitaren tarteko zubien bidez transferitzen du analogiak grabitatearen lege aldaezina lurretik zerura, hau unibertsal bihurtuz eta erabateko orokorpena lortuz. Sagarraren erorketaz eta ilargiaren orbitaz zeudekeen teoria konkretuak, lurraren erakarpen ideia bategatik paraleloak zitezkeenak, bietan kontserbatzen den propietate batek, lege abstraktu batek batzen ditu. Horixe da abstraitutakoa, gainerakotik apartatu eta gailentzat nabarmentzen den aspektua. Inbariantzaren ikuspegi hau behartuz gero, orokorpenaz baino gehiago abstrakzioaz hitz egin daiteke adibide honetan, Newtonen gogo jardun orijinalak klarki ororkorpena bilatu bazuen ere.

Nire bi kasu azterketetei dagokienez, Bernoulliren sormenean orokorpenerako joera nabarmenagoa izango da, eta Pauliren eta bere kideenean abstrakziorakoa. Izan ere, fisika esperimentala denean orokorpenak abstrakzioa baino prozedura ohikoagoa dirudi, eredu kuantitatiboa oraindik xehetzeke dagoelako eta esperimentuetatik induzitutako jarraibide kualitatiboak ideia orokor baten baitan biltzea nahi delako. Bestela gertatzen da fisika matematikoagoaz ari garenean, abstraitutako aspektuak bilatzen baitira axiomatizazio zurrun bat egikaritzeko eremuen bigarren kuantizazioko trukaketa/antitrukaketa erlazioekin bereziki ikusiko denez. Arestian aipatutako analogiaren xehetzea dakar gogora honek, nahiz eta denbora-eskala zabaleko begiradok lilura arriskutsuak sortzen dituztela ez den ahantzi behar. Adibidez, trukaketa/antitrukaketa erlazioetaraino iristeko osziladore harmonikoaren kuantizazio kasuak xehetze eta ebaluazio fase anitz iragan beharko ditu, Poissonen bracketen eta hamiltondarraren eboluzioaren formulazio klasikoa zalantzan jartzeraino. Hau esan nahi da denbora-eskalaren aferaz: historikoki, fisikariek teoriaren ulermenerako garrantzitsutzat dituzten pauso zehatzak aztertu behar dira.

6. Inbariantza eta simetrien heuristika

29

Inbariantzak edo kontserbazio-eskemak ez dira kasu partikular batean ausaz aipatzekoak, bereziki aipatu beharreko tresna heuristikoak dira, eta harremana ere berezia dute analogiarekin. Hawkingen 'unibertso/izar' analogiak ezartzen du adibide eredugarri bat abstrakzio prozedura burutzen duen inbariantza baten aplikazioaz. Joan den mendeko 60. eta 70. hamarkaden artean Penrosek eta Hawkingek, beste batzuekin batera, erlatibitate teorian lan egin zuten izarren eboluzioari begira. Erlatibitate Teoria Orokorraren (ETO) matematikaren arabera, kolapsatzen ari zen izar batek singulartasun bat eduki beharra zeukan bere baitan. Izatez, espazio-denborako edozein eremurentzat, energia eta materia nahikoa metatuta, singulartasun bat, baldintza batzuetan, ekidinezina izango zela erakutsi zuten. Beraz, singulartasunak ekidinezinak ziren baldintza fisiko jakin batzuen menpeko eredu matematikoetan, eta ildo honetan sakonduz Hawkingek zorroztasun txikiagoz baldintzatutako singulartasun teoremak aurkitu zituen 1967an. Honek sinesgarritasun handiagoa eta irismen handiagoa inplikatzen zuen aplikagarritasunean. Honela bada, singulartasunak ETOn berariazkoak ziren, eta errealak izan zitezkeen, zulo beltz forman. Dakuskigun izar gehienak, izarren eboluzio teorien arabera, zulo beltz bihurtzeraino kolapsa daitezke euren heriotzan. Baina zer gertatzen zen espazio-denbora lokala (izar batena) espazio-denbora globalera (unibertsora) hedatuz gero? Horra hor analogia: izar batek bere baitan singulartasun bat hartzen badu, orduan unibertsoak ere hartu ahalko du, materia nahikoa badagoelako bertan. Orain ez, baina bere eboluzioaren uneren batean kolapsatzen bada unibertsoaren dentsitatea singulartasun erraldoi bat sortzeko lain izan daiteke.

Eta hemen dator Hawkingen ideia bikaina: ETO denborarekiko inbariantea denez, denbora alderanztu egin daiteke eta eboluzio guztia kontrako zentzuan ikusi. Espazio-denbora lokal nahiz unibertsalaren hondoan denboraren zentzuarekiko inbariantza propietatea abstraitzen da. Singulartasuna izan daiteke eremu baten bukaera, baina baita hasiera ere. Halaxe, izar baten espazio-denbora lokalaren kasuan, singulartasuna zulo beltzaren iraganean existituko zen. Eta unibertsoaren kasuan, analogoki, hasieratiko sorreran singulartasun bat izango zen posible (Hawking and Penrose 1969). Horrela bada:

Analogia: izar bat zulo beltz bihurtzen den bezala singulartasun bat eratuz, edozein eremu espazialek, eta halatan unibertso goiztiarrak singulartasun bat izan dezake bere eboluzioaren edozein unetan, baita jaiotzan ere.

Estruktura:1. Izarrek singulartasunak garatzen dituzte, baita espazio-denborako edozein eremuk ere baldintza jakin batzuk betez gero.2. Eta unibertsoa izar baten eboluzioa bezala ikusi daitekeenez,3. unibertsoak singulartasun bat sor dezake etorkizunean, eta4. Erlatibitate Teoria Orokorrean denbora alderanztu daitekeenez eta unibertsoaren hedapena ezaguna izaki,5. singulartasun bat eratu zuen unibertsoak iraganean, bere sorreran.

Hemen ez da erdiesten Newtonen kanoian bezalako orokorpen eta legeen batasun bat. Sarri, arrazonamendu analogikoaren azken ondorioa, ohiko mappingaz gain beste prozesu batez emana, orokorpenarekin lotua izan da. Alegia, ohikoa da hipotesi bat orokorpenera zuzentzea analogoak diren kasuak batzea helburu duen kategorizazioaz. Izar/Unibertso analogia honetan, alabaina, izarra unibertsoaren zati den heinean izarraren eboluzioa unibertsora orokortu dela pentsatzea erratua da. Unibertsoa eta izarra maila epistemiko berean daude, eta abstrakzio kategoria berean egote horrek ahalbidetzen du bientzat singulartasun batez hitz egin ahal izatea. Ez dago prozedura heuristiko 'bertikalik', 'horizontala' da abstrakzio maila berean eraikitzen den iturri-itu erlazioa. Analogia ezartzen duen lehen konparaketa konkretuen artekoa da, eremu lokal nahiz unibertsalei ETO aplikatu diezaiekegun heinean.

30

Kasu honetan, beraz, ez dago ordena handiagoko kategorizazio berririk, abstrakzio maila horizontal bat dago egotekotan, iturri analogiko sinpleago batek (izarrak) unibertsoarentzat substantzialki singulartasunerantz eboluzionatzeko joera ezartzen du eta. Jauzi hau mapping bat soilik da baina, iturriaren lehen sorkuntza bat. Hortaz, arrazonamendu analogikoa osatzeko denboraren inbariantza bezalako beste helduleku heuristiko bat suposatzea beharrezkoa da propietate kontserbatu hori transferitu eta ondorio berri esanguratsu bat abstraitzeko unibertsoaren portaeraz. Abstraitu diot, inbariantzak dakarren aspektu hori nabarmendu eta arrazonamendurako gailenak ez diren beste aspektuetatik apartatu baita.

Adibide hau bezalako milaka aztertuz gero, inbariantza, sistemaren transformazio batean zehar kontserbatzen denaren ideia, 1 eta 2 egoeran berdin dirauen kantitatearena, funtsezkoa da fisikarien pentsamoldean: energiaren, momentuaren, momentu angeluarraren, masaren kontserbazioa, edozein problema askatzeko, edozein egoera transformazio kontsideratzeko, oinarrizkoa da. Bedi sinplea dirudien problema bat: edalontzi batean ur gainean flotatzen daukagu izotz zati bat. Apur bat beranduago edalontziari begiratu eta izotza urtu egin dela ikusi dugu. Zenbat igo ote da uraren maila?

Batere ez. Izotza flotatzen zegoenean (1 egoera), urpean zegoen izotz zatiaren bolumenak desplazatzen zuen ur kantitatearen pisuak izotz osoarenaren berdina izan behar zuen (Arkimedesen legea). Izotza urtzean (2 egoera), bere bolumena murriztu egingo da (izotzaren bolumena urarena baino handiagoa baita), hain justu, lehen urpean zegoen izotz zatiaren bolumen harexera. Zergatik? Izotz zati bat urtzen denean hasierako izotzak eta amaierako urak masa berdina dutelako. Masa da 1tik 2rako transformazioan kontserbatzen dena, eta masa horrexen pisua da murgildutako izotz zatiak ur bezala desplazatu behar duena, urtzean izango dugun ur kantitea, hain zuzen.

Bi egoeren artean 'kontserbatzen dena', inbariantea dena topatzea, ahaztu dugun ohiko propietate bat izan edota kantitate matematiko hagitz abstraktu bat izan, hori izan daiteke gakoa. Horrela, inbariantza bi elementuren arteko erlazioan kokatzen da, bata bestean transformatzen den egoera batean, zeinetako bat problemaren itua izango den, analogia batean bezalaxe. Flotatzen dagoen izotzaren kasuan izotzaren eta urtutako uraren masa da kontserbatutakoa, edo propietate transferitua analogia moduan ikusi nahi bada.

Zentzu horretan analogia motatzat har daiteke. Inbariantzaren edo simetriaren prozedura heuristikoan, alta, antzekotasuna a posteriori dator, ez da aldez aurreko mugapen nagusia. Inbariantzaren erabilera heuristikoak hartzen du berezko indarra, hain zuzen, konparatzen diren bi egoerak hasiera batean desberdinak direlako eta elkarren arteko analogiari inolaz antzik ematen ez diegulako. Egitura da kasu honetan mugapen nagusia, atzean dagoen egitura kontserbatua. Inbariantzaren estatus kognitiboa analogiaren perfekzionamendu batera murriz daiteke eta, beraz, inbariantzaren zerizana pentsamendu analogikoarekin zuzenki loturik heuristikaren domeinuan sartu. Adibideak ugariak dira kasu azterketetan. Esanguratsuena eta harrigarriena, seguruenik, momentu angeluar totala inbariantea izatekotan, hots, kanpo indarrik gabeko beste sistema kuantikoetan bezala izatekotan inbariantza hau, Diracen hamiltondar erlatibistatik 1/2 autobalioa duen momentu angeluar intrintsekoa berez eratortzea. Spinaren esanahi fisikoa erlatibitate teorian aurkitzen dela diosku harrigarriro prozedura soilki heuristiko honek.

Hala eta guztiz ere, euren eginbeharrarekiko handiustez akaso, maiz naturaren baitan estatus ontologikoa eman izan die fisikariek (maizago fisikaz ari diren filosofoek) tresna heuristikoak baino ez diruditen hauei. Adibide nabarmenena simetriena da, natura deskribatzen duten ekuazio batzuk transformazio talde batzuen pean duten inbariantzarena. Holakoentzat simetriak natura berariaz osatzen duten objektu idealak dira. Izan ere, bigarren kasu azterketan ikusiko den Noetherren

31

teoremak kontserbatzen den magnituderen bat egon behar dela iragartzen du, sistema fisikoaren barnean usu esangura fisiko garrantzitsuren bat izaten duena. "Adiera fisiko garrantzitsu" bati bide eman arren (adierazpide horixe darabilte fisikariek), simetriak fisikariaren pentsatzeko eta sortzeko artearen baitan baino ez daudela defendituko dut, eta ez naturaren ontologiaren muinean. Simetriak ez daude gehiago, platonikoki esan ohi den eta matematikaren ikuspegi erromantikoenean hartu ohi den gisan, naturaren barruan kodifikatuta, baizik eta baliabide epistemikoak dira fenomenoen erregulartasuna azaltzeko eraikiak.

Gatozen beraz, ikuspegi honekin poliki-poliki fisikara. Energiaren kontserbazio legea, adibidez, kimikan erreakzioen masa kontserbazioarekiko analogiaz, mekanikan energia zinetikoa eta potentziala kontuan hartuta kontserbatzen denarekikoaz, eta termodinamikan lana eta beroa kontuan hartuta kontserbatzen denarekiko analogiaz ordena altuko erlazio mikrofisiko eta kosmologikoetaraino hedatu den lege bat da, bide horretan jasan duen jasokunde nomologikoaren ondorioz naturaren funtsezko printzipioaren estatusa lortu duena. Hala ere, edozein ontologiatan duten konfiantzaren ispilu, problema korapilatsu baten aurrean ezinean daudenean horrelako printzipio funtsezko bat ere dudan jartzeko gai dira fisikariak. Hala gertatu zen energiaren kontserbazioarekin mekanika kuantikoaren etapa kritikoetan, ikusiko den β desintegrazioan adibidez.

Adibideok ilustragarriak dira, izan ere, aldagaiztasunaren ideiak bete-betean bat egiten du pentsamendu analogikoarekin. Fisikari dagokionez, natura deskribatzen duten ekuazioek, transformazio batzuk aplikatu eta gero, estruktura bera mantentzen segitzen dute eta modu honetan antzekoak edo analogoak izaten. Fisikariak sinetsita daude ekuazioek natura egokiro deskribatuko badute, transformazio talde batzuen menpean aldagaitzak izan behar dutela. Funtzio hori bete zuten Lorentzen transformazioek elektrodinamika erlatibistan ekuazio klasikoak abiadura handitarako birformulatzean. Funtzio hori bete zuten Gauge transformazioek, Lorentzenei beste berri batzuk gehiago batzen dizkietenek, eremuen teoria kuantikoko ekuazioak eraikitzean eta oinarrizko partikula berrien bilaketan. Eta hor kokatzen dira fisikariengandik hainbestetan entzuten ditugun simetriak.

Hortaz, definizioz estruktura gailena inbariante mantentzen duen transformazio bat dela esan ohi da simetriaz. Transformazioa simetria taldeak gauzatzen du. Jakina, gailentzat hartu beharrekoa aldatu egiten da testuinguru batetik bestera. Zentzu honetan, simetriaren nozioak berezko izaera pragmatiko bat dauka. Testuinguru jakin batean pentsalariak gailena zeri irizten dionaren arabera determinatuko da estrukturaren zein ezaugarrik irautea nahi den, eta zeinek ez. Honek ez du esan nahi pentsalariari nahikoa zaionik aldagaitz zein ezaugarrik iraungo duen erabakitzea. Mugapen objektiboak daude tartean, pentsalariaren edo testuinguruaren menpekoak ez direnak. Adibidez, ez da existitzen zenbaki naturalen kardinaltasuna inbariante mantentzen duen transformaziorik zenbaki naturaletatik zenbaki errealetara banan-banako korrespondentzia ezarri nahi izatekotan. Hala, estruktura hauentzat ezinezkoa da halako inbariantza bat topatzea. Batek ezin du inbariantza bat sortzea hala-moduz erabaki.

Ezaguna denez, estrukturaren aldagaiztasun nozioak isomorfismo nozioaz hartzen du bere formulazio matematikoa, aplikazio linealetako homomorfismo bijektiboez, alegia. Horrela, ez da harritzekoa isomorfismoa ere testuinguruaren menpekoa izatea: estruktura mota diferenteek aldagaitz diraute testuinguru diferenteetan. Adibidez, aritmetikan, bi estruktura isomorforen artean kontserbatzen direnak, zenbaki naturalen ordenaz aparte, zenbaki horien gaineko eragiketa aritmetikoak dira. Talde teorian, estruktura isomorfoez kontserbatu beharreko ezaugarri gailenduak apur bat diferenteak dira, taldeen arteko kidetza erlazioen ezaugarriekin zerikusia dute-eta. Edota, aljebra linealean, beste propietate batzuek diraute: isomorfismoak bektoreen propietate matematikoak kontserbatzen ditu.

32

Inbariantza kontzeptua azpimarratzerakoan garrantzitsua da, berriro ere, inbariante dirauten elementu motak argi izatea. Esparruz aldatuta, beste inbariantza mota garrantzizko bat da Tarskiren eredu teoriaren araberakoa, non edozein bi egitura homologiko (lehen mailako hizkuntza formal berari atxikiak) semantikoki bereiziezinak gertatzen diren, hau da, bi egitura horien teoriak berdinak diren.

Baina zer dute komunean fisikaren simetriek, matematikaren isomorfismoek, eta Tarskiren baliokidetza elementalak? Hirurak har daitezke tresna heuristiko garratzitsu gisa. Bi egitura isomorfoak badira, orduan elementalki baliokideak dira, eta ez alderantziz. Jo dezagun P enuntziatu bat egiazko dela S egitura batean. Orduan S S’-rekiko isomorfoa dela ezarriz, edo, orokorrago S eta S’ elementalki baliokideak baldin badira, segituan ondoriozta dezakegu P S’-n ere egiazkoa dela. Transferentzia-printzipio bat da hau, emaitzak domeinu batetik bestera transferitzea ahalbidetzen duen printzipio bat. Simetriak ere, hain justu, transferentzia-printzipio bat eskaintzen du. Estruktura bat inbariante mantenduz, simetriak emaitzak domeinu batetik bestera hedatzea ahalbideratzen digu, domeinuen arteko antzekotasun estrukturalean oinarrituta, analogia matematiko doietan oinarrituta. Simetria printzipioetan topa ditzakegu, zehatzago, simetria, isomorfismoa eta baliokidetza elementala erlazionatzen dituen erabilera heuristikoaren gakoak. Eta ohartu, transferentzia horixe da baita arrazonamedu analogikoaren gakoa ere.

Simetriak zein printzipiopean formulatu ditzakegu baliabide epistemiko gisa? Neuk aukeratuko dudana, van Fraassen aintzat hartuta (1989, 223-246 or.), simetrien zeregin hau azpimarratzen duen ikuspegia da. Heuristikoa da, neure tesian, fisikan simetriek duten zeregin nagusia (adibidez mekanika kuantikoan), eta argi izan behar da zeregin hau aurrera egin baino lehen. Pauliren kasu azterketak, eta honen sormen prozesuan simetriak eta inbariantzak pentsamendu analogikoaren baitan nola murgiltzen diren ikusteak simetriak errealitatearen auzi ontologikoetatik kanpo ezarriko ditu, eta pentsamendu analogikoarekin duten harremana azaleratuko.

Zientzialariaren gogamena behatutakoa antolatzen eta antolamendu hau eraikitzen ari da, behatutako datu sorta buruan duen teoriaren baitako ereduren batean ahokatzeko. Egia literala baino egokitasun enpirikoa bilatzen duen ikuskera honen baitan datoz van Fraassenen (1989) simetria printzipioak, egungo fisikariarentzat ezinbesteko gida epistemikoak direnak. Guri lehenengoa interesatzen zaigu, funtsean berdinak diren problemek funtsean soluzio berdina izan behar dutela dioena. Formulazio honek simetrien funtzionamendu analogikoa nabarmentzen du: simetriek problema baten formulazioa gidatzen dute eta bere soluziorako estrategiak adierazten dituzte, bi problema analogoren artean. Hots, analogia operatiboa aktibatzen dute. Alde batetik, printzipioak problema batean simetriak bilatzeak eta problema ezaugarritzen duten propietate gailenak identifikatzeak daukan garrantzia aldarrikatzen du. Ezaugarriok jatorrizko problemarekiko esanguratsuki antzekoa den problema berri bat sortzeko erabiliko dira gero. Problema berria ebatziz, printzipioak soluzioa jatorrizko problemara transferitzea ahalbidetzen digu. Muinean, gida orokor bat eskaintzen digu problema ebazpenerako, eta gida hau segituz, estruktura teorikoa hazi egiten da, problema berri bat gorpuzten baita. Finean, estruktura analogo gehigarri bat erabiliz, diferentea den baina erlazionatua dagoen problema bat ebazten da, zeinak jatorrizko problemaren soluzioa eskaintzen duen.

Zentzu honetan, adibide eredugarriak ezartzen dituzte islapen simetria sinpleenek (Paulik garaturiko Lorentz errepresentazioko spinoreen strong-reflection, esaterako), edota erlatibitate teoria eta teoria kuantikoa batzen dituzten transformazio konplexuagoek. Espazio eta denbora translaziopean inbarianteak diren fenomenoek leku eta une partikular batean egiaztaturiko esperimentuen errepikakortasuna eta lege naturalen aplikagarritasun unibertsala bermatzen du. Adibiderako, ikusiko da Shrödingerren energia ekuazioa p2

P2 P 2[ p−e /cA]2

eraldaketak inbariante mantentzen duela, funtsean errotazio adiera (Pauliren aljebrako tribektore

33

gisa) duten Pauliren matrizeak txertatuta. Pauliren aljebra deritzonaren baitako errotazioak izango dira horiek. Antzera, espazio-denboraren baitako transformazio sinpleagoetan, Galileok jada behatu zuen prozesu fisikoak modu berean garatzen direla geldik dagoen laborategi batean edo mugimendu uniformean dagoen batean. Naturaren simetria hau erlatibitate printzipioaren oinarria da: newtondarra, simetria taldea Galileoren taldea bada; einstendarra, simetria taldea Lorentzen taldea bada. Erlatibitateari buruzko hausnarketak, Einsteinen obran inspiratuta, inbariantza eta simetria, ontologikoki, objektibotasun edo errealitate irizpidetzat hartzea dakar zenbaitentzat. Estatus ontologikoaren arazoa gardenki azaleratzen dute hauek. Denbora propioa eta geldiuneko masa bezalako kantitateak, Lorentzen transformazioen menpean inbariante dirautenak, bene-benetako errealitate fisikoak lirateke; ez, aitzitik, dimentsio espazialak edota denbora tarteak. Baina, jakina, zer esango dugu masa erlatibistaz, hots, gorputzak laborategiarekiko azelerazioari jartzen dion erresistentziaz? Ez dirudi zentzuzkoa irrealtzat hartzea partikula azeleragailuak eraikitzen eta administratzen dituztenentzat, eragiten dituen kostuak kontuan hartuta. Edozein ontologia eraiki nahi izateak dirudi irreala simetrien inguruan. Hargatik, ildo zalantzati berean, Pauliren esklusioaren azterketan, Noetherren teorema eta Mac Laneren fisikaren zuhaitza ikustean, fisikariaren sormenaren elementu esanguratsuez ari garela nabarmenduko da, ez errealitate fisikoaren berariazko estrukturaz.

Laburki esanda, simetria tresna heuristiko indartsuenetakoa da partikulen fisikan. Simetriaren bortxaketak eta asimetrien agerpenak naturaren ulerpen sakonagora garamatzaten problema teoriko eta esperimentalak dakartza. Hauxe da, Pauliren esklusioak, batez ere bere printzipio fasean spin-estatistika konexioa ezartzerakoan atzean izan zuen metodoa. Izan ere, eremuen teoria kuantikoaren baitako testuinguru hartan, gauge simetriek eurek gauge eremu baten existentzia eskatzen zutela ikusiko da, hots, espazio-denboran puntuz puntu aldatzen den transformazio talde batez hornitutako tresneria matematikoa. Horrela, taldearen propietate matematikoek lotura estua zuten teorian errepresentagarria zen eduki fisikoarekin, eta irmoki mugatzen zuten hau. Henneaux eta Teitelboimen arabera (1992), teoria mota honetan: a) askatasun graduak baino aldagai gehiago erabiltzen dira deskribapen fisikoan; b) fisikoki esanguratsuak diren kantitateak inbarianteak dira gauge transformazioen menpean; eta d) aldagai gehigarrien erabilerak deskribapen argiagoa egiten du, eta honekin batera teoriaren eduki fisikoa seinalatzen eta azpimarratzen duen simetria bat eratzen du. Hau da, simetriek abstrakziorako baliabide epistemiko ezinbestekoa eskainiz analogia metodologiko bat proposatzen dute, pauso analogoak medio esparru diferentetean axiomatizazio, abstrakzio nahiz orokorpen prozesu paraleloak eramateko.

Honenbestez, simetriek seinala dezaketen transferentzia zilegien baitan, fisikarien sormen prozesuarentzat honelako galderak ardatz dira: zein eraldaketaren menpean segitzen dute aldagaitz ekuazio esanguratsuek? Eta alderantziz hobeki, transformazio-ekuazio funtsezkoak aintzat hartuta (Lorentz edo Galileorenak adibidez), zeintzuk dira hauen bahetik pasatzen ez diren ekuazio deskribatzaileak? Galdera hauek, argi aski, pentsamendu analogikoaren baitan daude, nahiz eta teknika matematiko sofistikatuz formalizatuak eta jantziak egon rol manipulatiboa hartzen duelako honek; eta, garrantzitsuena, honen arabera ebatzi beharreko problema motak (eduki fisiko zehatzekoak) planteatzen ditu. Eta bereziki Wolfgang Pauliren sormen jarduera eta bere sorkari behinena (Esklusio Printzipioa) aukeratua izateko arrazoia ildo honexetan dago: berarentzat inbariantzak egiaren sinboloak ziren fisikan, esklusio arautik printzipiora bidean suertatu zen eboluzioan inbariantzak eta simetriak geroz eta abstraktuago, baina geroz eta garrantzi handiagoz agertzen baitira. Halakoa izan zen Pauliren inbariantzen garrantzia bere pentsamenduan ezen, estatus ontologikoa emanik hauen izaera Jungen arketipoekin parekatzera iritsi baitzen. Baina hau beste kontu bat da. Gehienez heuristikarainokoa da nire lan honen irismena.

34

III. Bernoulliren jariakina

Jariakinen dinamika formalki fundatu nahi izan zutenean arazo interesgarriekin topo egin zuten. Gorputz material isolatuen (partikulen) gainean aplikatzen zen bezala dinamika newtondarra aplikatu ahal izateko jariakinen hedakortasun espazialak eta berezko forma gabeziak problema newtondar ortodoxoek eskaintzen ez zuten iruditegi bat eskatzen zuten. Ondorioz, genesi teorikoaren abiapuntuan analogia asoziatibo hutsen ekarpena baino zerbait gehiago behar zen; analogiek gauza izan beharko zuten irudi eskema berriak probokatu eta jariakinei buruzko problemen soluziorako iruditegia sortzeko. Honexetan engaiatu ziren Bernoulli aita-semeak, batez ere semea.

Bernoullitarrak ikerlari familia hagitz ospetsua eta errespetatua izanda ere, Johann, aitak, Daniel, semea, plagiatu zuela diote historialariek jariakinen mekanikaren zutabeak ezarri zituztenean. Bernoulliren Teoremaren aurkikuntzaren ohorea aitari egokitu zitzaion baina. Bata bestearen aurretikoa eta elikagai teorikoa izaki, bien lanen arteko konparaketa analogiaren bi funtzio nagusiak aztertzeko egokia izango da, semearen jatorrizko ideietan bailegoke izaera sortzailea, eta aitaren ondorengo formalizazio prozeduran ebaluatzailea, semearen aurkikuntzak lege newtondar hutsekin berrikusi nahi izan zituen eta. Analogien izaerak historialariek ezarritako orokorpen kronologia honen ildoa segitzen ote duen izango da aztertu beharreko puntu bat analogiaz egin dudan bereizketa honetan eta denbora-eskala zabalean.

Honela bada, jariakinen mekanikako teorema nagusia ezarri zuten semearen eta aitaren lanak izango dira aztergai kasu azterketa honetan, bereziki lehenengoa, bertan baitago ezarria zutarri fundatzailea. Ahalegin sortzaile nagusia eskatu zuen Daniel semearenak, ikuspegi fisiko eta esperimentaletik, Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum comentarii (Hidrodinamika, edo Jariakinen higidurei eta indarrei buruzko komentarioak); eta matematikari batena gehiago den ikuspegitik Johann aitarenak, Hydraulica, egungo jariakinen dinamika lege newtondarren arabera formalizatu zuena1. Lehenengo kasuan, funtsezko printzipioek, analogiek eta gogo-esperimentuek eredua nola eratu zuten ikusiko dugu; semearen kasu hau izango da tesiaren helbururako garrantzizkoena, jatorrizko sormen ahalegina bertan baitago. Aitaren kasuan ideia kualitatibo garrantzitsuok Newtonen legeen bidez nola formalizatu ziren agertzen da. Formalizazio prozesu hau baino gehiago Johannek presio kontzeptuari eman zion adiera berria da gure xederako interesgarria,

1 Badago bi obrak batzen dituen 1968an argitaratutako ingelesezko edizio bat, ikerketarako obra orijinalarekin batera erreferentziatzat hartu dudana: Hydrodynamics by Daniel Bernoulli & Hydraulics by Johann Bernoulli, Thomas Carmody eta Helmut Kobusek itzulia hurrenez hurren. New York: Dover. Bestalde, afera historiko hauek aztertuz, fluido mekanikaren genesiari buruz obra interesgarria idatzi berri du Calerok (2008).

35

puntu zehatz horretan baitago aitak semearekin konparatuz egin zuen ekarpen berritzailea. Aitaren lana semearenaren luzapentzat hartuko dugu, beraz.

Izan ere, matematikari eta fisikariaren zientziara hurbiltzeko modua zutela esango genuke gaur egun, baina XVIII. mendeko hizkeran, geometrialariaren eta filosofo naturalaren arteko gatazka zen aita-semeen artekoa. Ikuspegion arteko tentsioa betidanik agertu da zientzian, iraun baitirau hipotesi fisiko oro desagerraraziz higidura legeak geometria hutsaren arauen menpe ezartzeko betiereko itxaropen batek. Aita izango zen semearen lanari formalizazio maila hau eman ziona, gorentzat zituzten garaiko irizpide newtondarren arabera. Halere, semearen eredu kualitatiboagoaren eta eredu matematiko definitiboaren arteko gainezarmena nabaria da. Semearen arrazonamendu ez-formalek, esperimentu enpiriko nahiz ez-enpirikoek, hots, gogo irudiek, aitak bere obran ezkutatu arren, ezinbesteko iruditegia eratu zuten honen formalizazio lanarentzat; egun ere fisikaren irakaskuntzan garrantzitsuak dira problema berrien aurrean analogiak piz daitezen.

Izaera kualitatibo honen baitan, Daniel Bernoulliren Hydrodynamica ez da tratatu homogeneo bat, eta bere 30 atalak hainbat alorretan sailka daitezke. Lehenengo kapituluek jariakinen higidura aztertzen dute hodietan zehar eta isurietan. Ondoren makinetara aplikatzen dira aurkikuntzok; gero higitzen diren edukiontzietara eta baita gasetara ere. Baina giltzarria den atala presio eta abiaduren arteko erlazioari dagokiona da: hemen formulatzen da egun hain ospetsua den 'Bernoulliren Teorema' lehenbizikoz.

Obran zehar hainbat problema ezberdinen ebazpena darabil, hurbilpen teoriko-praktiko aberats bati darraio. Aniztasun honek genesi teorikoen hasieran ohikoa den gogo-esperimentu eta irudi simulazio anitzak pizten ditu, eta ezagutza enpirikoa ere baliatzen du, gogamenean nahiz enpirikoki gertatzen diren esperientzia konkretuetatik elikatzeko. Analogiek, errestriktiboki beharrean, noizbehinkako ekarpen batekin ekingo dute iruditegi hau aktibatuz eta egituratuz. Aniztasun enpirikoa, anomaliak barne, irudion babespean antolatzea abiapuntuko hipotesi onargarritzat dut bertan analogiak duen funtzio kognitiboa ikertzeko.

Izan ere, atal bakoitza problema baten aurkezpenaz hasten da, adibide eredugarri bat ezarri nahiko lukeen problema zehatz batez, neure ustez hau ardatz hartuta iruditegi bat egituratzeko. Iruditegi horrek problema konkretu horren aldaerak ere barne hartuko lituzke soluzio prozesuan, hots, iruditegi batek analogoak diren problemen multzo bat aska lezake. Analogia hertsi edo estrukturalki irmoen nahiz ituaren transformazio txikiez ekiten dutenen funtzioa aztertzekoa izango da irudi eta gogo-esperimentu oinarrizko hauen sorkuntzan. Analogiak bilatzea eta euren funtzioa aztertzea xede duen ildo honetan, zenbait problema zehatz eta hauen aldaera modulatuen ikerketatzat hartuko da Danielen lan aberatsa. Sormen honen erakusgarri da egungo hainbat gairekin lotutako ideia aitzindariak aurkeztu izana, jariakinen teoria zinetikotik1 hasi eta zorrotada propultsioaren printzipioraino2. Edukiontzi eta tutuen paretetako zulo piezometrikoetan manometroak konektatzen ere lehenbizikoetakoa izan zen Daniel (bazekien orduko medikuek odol-presioa nola neurtzen zuten), eta tresneria esperimental honek eraman zuen hodietako presio-abiadura erlazioa aztertzera.

Hala eta guztiz ere, egun lan funtsezkoa izan zela aitortzen den arren, argitalpen unean ez zen dena erraza izan egilearentzat. Hydrodynamicaren argitalpenari garrantzia eman bazitzaion ere,

1 Gaur egun gasen teoria zinetikoan kualitatiboki aipatu ohi denez, Danielentzat jariakinak bazuen berezko barne higidura bat, zeina gabe ezin zitekeen ulertu ez beronen jariokortasuna, ez solidoen disoluzioa likidoetan, ez lurrunketa eta irakitea (15 or.). Barne higidura honetan jariakin partikulak ez zeuden bata bestearen gainean pilatuak, libreki hara hona zebiltzan talka egitean elkarri bultz eginez. Eredu hau 1.1 atalean aztertuko da. 2 Lehen kapituloko 16. atalean zulo batetik isurtzen den zorrotada batek edukiontzia kontrako norantzan bultzatzen duela dio "kanoi bala batek kanoia atzerantz bultzatzen duen gisan". "Aldarapen" hau haizerik gabeko nabigazioan erabil daitekeelakoan dago, jende gehienak halako gauzak “berez erredikulutzat" hartzen dituela badakien arren.

36

inbidiazko kritikak jaso zituen garaiko geometrialari nagusiengandik, d'Alembertengandik eta, batez ere, bere aita Johann jeloskorrarengandik. D'Alemberten arabera, Danielek ez zuen egokiro justifikatu bizi indarren kontserbazio printzipioa. Ildo honetan, bizi indarraren kontzeptu 'iluna', fenomeno esperimentalen aldaera analogikoak eta bertan garaturiko gogo-esperimentuak Danielentzat konbentzimendu iturri nola suerta zitezkeen galdetzea sormen prozesua aztertzeko gako bat izango da. Hemen aztergai da gogo-esperimentuen paradoxa deitua: nola liteke gure buruaren barnean jazotzen den esperimentu bat, ebaluazio ez-enpiriko bat, zientzialariaren gogamenean aurrera egiteko konbentzimendu iturri bat izatea?

Johanni dagokionez, afera apur bat lausoagoa da, semearen aurkikuntza bere egin nahi izan zuelako; horregatik idatzi zuen Hydraulica ahal bezain pronto, abiaduraren eta presioaren arteko erlazioaren aurkikuntza garrantzizkoegia zelako bere semearentzat lagatzeko. Irrigarria da, zentzu honetan, izenburua eta gero aitak idatzi zuen aipua: “lehenbizikoz aurkitua eta demostratua fundamentu mekaniko hutsak medio. 1732 urtea”1. Johannek espresuki ipintzen du 1732 urtea bere lana semearenaren aurrekoa zela sinestarazteko edo, eta printzipio newtondar soiletatik eratorri balu bezala saldu nahi du balizko aurkikuntza. Geometrialariaren metodo deduktiboaren lilura eta handitasuna zeudekeen hor. Leonhard Eulerren, “matematikaririk azkarrenaren” aitzinsolasean ere goraipamena besterik ez dago Johannentzat, edukiontziaren paretek jasaten duten presioaren “auzi iluna” argitzen ei duelako. Bertan nabarmendu egiten du uraren egoera orotan zehazki determinatu zuela presioa Johannek. Baina semearen lana ez du aipatu gabe uzten. Eulerrek dioenez, semeak, “ez-zuzenki”, isuria egonkortzen denean soilik definitzen du presioa; eta espresuki aipatzen du geroago izatearena hitzaurrean, semearen lanaz jakitun, ironiaz akaso.

Izan ere, Hydraulica 1742an ('aurkikuntza' baino hamar urte beranduago) argitaratu zen Johann edadetuaren Opera Omniaren zati gisa. Noski, honek ere uraren higiduran agertzen diren indarrak edo presioak ditu aztergai. Baina Hydrodynamica baino askoz laburragoa da, matematikoki zorrotzagoa den estilo zuzenagoaz eta inongo esperimenturik gabe. Aipatu denez, Danielen bizi indarren metodoak ez zuen asebetetzen, eta dinamikaren printzipio hutsetan oinarrituriko zerbait nahi zuen. Haatik, sormen jauziak zekartzaten bere gogo irudiak ez zituen ezkutatu: puritano newtondarrak arazo guztiaren giltzarria zirimola kontenplatuz (eureka esperientzia bat izan balu legez) hauteman ei zuen (I Zatia, VIII §). Bere gogo jardunari buruzko detaileok testua edertu bazuten ere, plagioaren afera frogatua dago egun. Johannek bere lanaren jatorrizkotasuna erakutsi nahi zuenez, bere testuko analogiak errotiko izaera sortzailea izateaz arduratuko zela pentsatzekoa da. Hau izan liteke, beharbada, gero aztertuko den zirimola hain gartsuki aipatzearen arrazoia.

Bere semearen aurreko lana aitortu gabe ere, Johannen ekarpena, Eulerrek azaldutako ildoan, aintzat hartu behar da zentzu batean: dinamika newtondarraren ekuazioen aplikazio zuzena gauzatu zuen bizi indarren metodoa erabili ordez, eta egungo ohiko presio kontzeptua (barne presio isotropoa) birfintzea ere lortu zuen. Bizi indarren erabilera okerra iruditzen zitzaion, filosofo natural guztiek ez baitzuten printzipio gisa onartzen. Newtonek izan behar zuen zutabe nagusia. Hala eta guztiz ere, formalismo gai hauek baino are garrantzizkoagoa izan zen aipatu barne presioaren kontzeptua, honek gaurdaino eutsi baitio jariakinen mekanikaren garapenari. Kontzeptu honek ahalbidetu zion jarioaren dinamika egoera orotan determinatzea, ez hau egonkorra denean bakarrik.

Barne presio kontzeptuak eta jariakina birtualki mugaturiko elementu diferentzialetan zatibanatzeak jariakin elementu bat isolatzea, honen eboluzioa jarraitu ahal izatea, eta indar lokalak determinatu ahal izatea zekarren. Aurrerantzean jariakinen mekanika garatzeko ezinbesteko kontzeptuak zetzan hemen. Egun, aukeraturiko bolumen zatiari, kontrol bolumenari, ezarritako muga irudikariei kontrol gainazal deritzegu. Hauen bidez, jariakinen hedakortasunak berariazkoa duen pertzepzio kontrolgabeari mugapen bat ezartzen zaio.

1 Nunc primum detecta ac demonstrata directe ex fundamentis pure mechanicis. Anno 1732.

37

Baina berrikuntza heuristiko hauetaz aparte, Johannek terminologia eta sinbologia ere hobetu zuen; horrela lortu zen fenomenoak hobeki ulertzea eta egungo formulazioaren oso antzeko adierazpidea izatea Bernoullitarren teoremarentzat. Lehenbizikoz, jariakinen mekanikak berariazko estatusa erdietsi zuen mekanika klasikoaren sistema zabalaren baitan. Izan ere, Johannen hidraulikan, eta ez semearen hidrauliko-estatikan, dauzka bere erroak Eulerren formulazio hidrodinamiko osatuak. Johann Daniel baino harago joan zen Bernoulli erlazioaren analisian. Danielek presioa zorrotada edo manometro zutabetzat tratatu zuen; Johannek, aldiz, indar gisa irudikatu zuen hau, osoki higidurarekiko geruza elkarzuten gain eragiten zuena. Honetan oinarrituta, Eulerrek jariakinaren barneko puntu batean eragiten duen presio kontzeptua sortu zuen, presio honen gradienteaz jariakin elementuen azelerazio ekuazioak erdiesteko.

Daniel Bernoullirengandik hasita Johannenganaino nahiz Eulerrengainaino iritsi zen garapen teoriko honi jarraiki egin den azterketaren emaitzak xeheki aurkeztu aurretik, aurrerapen gisa, bi testuen irakurketatik analogiaren funtzioarekin lotutako ondorengo puntu garrantzitsuak topatu direla esan behar:

-Hydrodynamica obra estudiatzean lehen analogia handi bat aurkitu da, eredu prototipiko edo aitzin-eredu gisa diharduena, eta halaber, muineko irudi eskema bat aktibatzen duena. Aurretiko eredu honen baitan eta dagokion irudi eskema medio eredu kualitatiboa kuantitatibo bilakatzen du jariakinen isurketa abiadurak kalkulatzeko. -Kalkulu honetan ohiko analogia igorle bat aurkitu da, diagramez lagundua, abiadura altuerak eta zeharkako azalerak erlazionatzen dituena. -Bitartean, korronte-lerroei buruz hausnarketa interesgarri bat egiten du Danielek. Irudi eskema berri batzuk pizten dituzte diagrama hauek eta euren funtzio sortzaileak analogiarenekin era aberatsean elkar ekin dezakeela dirudi. -Motus intestines edo barne higidura ere aipagarria da, jariakin partikulen higidura erratikoan galdutako bizi indarraz hausnartzen baita solidoen deformazioa analogiatzat hartuta. Korpuskulu multzotik jariakinera doan analogia ebaluatzen ari da hein batean hemen diafragmez mugaturiko edukiontzi barrunbeetan bizi indarra galtzen dela kontsideratuta. Diafragmetan gertatzen dena esplikatu nahi duen eredu honek iragarpen esperimental zorrotzak eta gailu hidraulikoen diseinu arrakastatsuak erdietsiko ditu. Hedadura analogiaren funtzio ebaluatzailearena da arrakasta hau. -Beste gai aparte batean, korronte-lerroen diagramak, irudi eskemak eta analogiek elkar eraginez garapen teoriko korapilatsuagoak nola bideratzen diren aurkeztuko da gero. Hemen hodietan zeharko higidura nahiz edukiontzietako isurketa orokorki deskribatzen duten ekuazioak nola lortu ziren ikus daiteke. -Hydrodynamica obrarekin amaitzeko Danielen ideia gorena, Hidrauliko-estatika deitutako atalean azaldua, aurkeztuko da. Bertako gogo-esperimentuak barne zituen irudiak eta analogiak azpimarragarriak izango dira. Baita Bernoulliren Teorema deitua, irudi eta analogion argipean, bizi indarren kontserbaziotik abiatuta nola formalizatu zuen ere. -Amaitzeko atal bat eskainiko zaio Johannen obrari, Danielenaren luzapen gisa. Hor ere kalkulurako analogia igorle bat, axioma maila duena, topatzen da hasieratik. Baina batez ere zirimolaren irudia aztertu nahi izango dut, Johannek gartsuki aipatua eta bitxia, Newtonen legeetatik buruturiko eratorpen puritano batean ezlekukoa baitirudi. Zirimolan oinarritzen ditu bertan aurkeztuko diren ondorengo garapen aljebraikoak, berriro ere, formalki, Bernoulliren Teoremarantz garamatzatenak.

1. Hydrodynamicaren oinarriak

Jariakinen teoria aldebikoa dela esanez hasten da Hydrodynamika liburuaren lehen kapitulua. Batetik, Hidrostatika dago, bestetik Hidraulika. Lehenengoak geldi eta orekan dauden likidoen presioak aztertzen zituen, eta bigarrenak jariakinen higidurak. Danielek biak batu nahi zituen Hidrodinamikan, presio estatikoak eta jariakinaren higidurak harreman estua dutela uste zuelako.

38

Sormen prozesuari eduki enpiriko indartsua emanik, likidoa tarteko duen hainbat problema konfigurazio aztertzen ditu Hydrodynamica lanak: edukiontzietako isurketa, hodien oszilazioa, edukiontzietan zehar zuloetatik pasatzen diren likidoak, eta berak hidrauliko-estatika deritzona ur-tangen deskargetarako. Higidura mota honi, soilik grabitateaz kausatua denari, kapitulu bat gehitzen dio beste kanpo indarren ekintza aintzat hartu eta makina hidraulikoetarako aplikazioak eratortzekotan. Guri asko axola ez zaigun arren, edukiontzi higikariaren barneko higidura ere badarabil azkenaurreko kasutzat. Azkenik, ur-zorrotada batek plater baten kontra jotzean duen efektua ere aztertzen du.

Baina bere azterketa alor guztiok problema nagusi baten inguruan eraikiak daude: jariakin masak zeharkako azalera aldakorra duen hodi batetik pasatzean duen jokabidea. Bere aburuz (I , §2), “edukiontzi batetik zulo txiki batean zehar isurtzen den urak jariakinen higidura definitzeko balio bikaina du”1. Irten baino apur bat lehenago edukiontzi barruan duen presioak ura beherantz beharrean gorantz bultzatuko balu zorrotada edukiontziko ur-mailaraino ailegatuko litzatekeela dio, gutxi gorabehera. Hau da abiadura altuera deitzen dena. Newton eta beste ikerlari batzuk abiadura altuera isurketa zulotik gora ur gainazalak duen altuera totalaren proportzio bat zela esatera ailegatu ziren arren, Bernoullik argi laga nahi du bere jarrera: abiadura altuera, marruskadurarik eta biskositate efekturik ezean, ur-mailarena da beti.

Hots, energiaren kontserbazioa zalantza izpirik gabe ezarri beharrekotzat du, eta zuloan zeharko isurketaren problemak, bere “balio bikainaz”, aingura analogiko bat finka lezake jariakinaren bestelako portaerak ulertzeko. Aingura analogikoa diodanean honelako arrazonamenduei bide emateko aukeraz ari naiz: 'p probleman abiadura altuerak y izan behar du zuloan zeharko isurketan gertatzen den bezala '.

Halaz, zulodun edukiontziaren problema eredugarri honen baitako abiadura altueraren kontserbazioa eta jarioaren zeharkako azaleraren estutzea kontuan hartuta, sormen prozesua aurretiko ikerlari zenbaitek garatua zuten marko teorikotik dakartzan bi printzipiopean murrizten du Bernoulli gazteak:

i) Jariakinak zirkulatu behar duen eremuaren mugaldea jada emanik, barne duen bizi indar aldagaitzaren arabera eboluzionatuko duen bolumen baten demarkazioan ezartzen du lehenengo printzipioa (egun jariakinen mekanikan sistema deritzona), bizi indarraren (vis viva) kontserbazioarena; halere, ikusiko denez, bizi indarren kontserbazioa baino nahiago du jaitsiera errealaren eta igoera potentzialaren arteko berdintasuna esan, filosofo batzuen artean lehenbizikoa modu liberagoan erabiltzen baitzen. Galileok bertikalki nahiz plano kurbatu batean zehar jaisten den gorputz baten erorketa altuera berdina baldin bada amaierako abiadura bientzat ere berdina dela frogatu zuen. Hau eta gero, Huygensek proposizio hau hipotesi orokorrago batentzat erabili zuen, talkengatik gorputz elastikoek aurkezten dituzten higidura legeak lortzeko, zehazki, pendulu konposatu baten oszilazio zentroa ezartzeko. Huyegensen axioma hau da Daniel Bernoullik hasieratik aintzat hartzen duena (19§): “zenbait pisu nolabait [elkar jotzen eta talka egiten] bere grabitate indarraz soilik higitzen hasten badira, eta pisu bakoitza bere kasa gelditu egiten bada, gorputz multzo beraren grabitate zentroa jatorrizko altuerara itzuliko da”2. Hots, kaotikoki hara hona dabilen gorputz multzoak berez, kanpo eraginik gabe, pausagunera itzultzean izango duen konfigurazio berriak grabitate zentroaren posizio bera kontserbatuko du. Transformazio espazial konplexu batean zehar bere horretan irauten duen propietate baten aingura kognitiboa daukagu. Honela bada, definizioz, gorputz batean eragiten duen bizi indarra, edo higitzen ari diren gorputz multzo batean eragindakoa ∑mi v i

2 zen. Funtsezko printzipioa

1 Motui fluidorum determinando infervit pracipue effluxus aquae ex vase per foramen valde parvum. 2 Si pondera quolibet vi gravitatis sue nioveri incipiant utcunque, singulaque vursus ad quietem sponte reducantum, centrum gravitatis ex ipsis composita ad prisinam altitudinem rediturum esse.

39

zen bizi indarraren kontserbazioarena: higidura eragiten zuen indarra grabitatea baldin bazen bizi indarrak konstante iraun behar zuen. Argiro, egun energia zinetikoa deritzogunari zeritzoten bizi indarra, mugimenduagatik masak daukan energiari, alegia. ii) Gainazal lauetan antolaturiko higidura hipotesiak (gogo irudiaren eta zatibanaketa erako transformazio espazialaren parte denak) jarraitasun legeagatik iragate abiadurak eta azalerak erlazionatzen ditu. 22. atalean, jarioa honela antolatua dagoela dio, “gogamenean jakina”: “jariakina higidura norabidearekiko elkarzutak diren geruzetan banandua dagoela ulertu eta gero, jo dezagun geruza bereko jariakin partikulak abiadura berdinaz higitzen direla, edonon ere jariakinaren abiadura dagokion edukiontziaren azalerarekiko alderantziz proportzionala izanik”1.

1.1. Lehen analogia nagusia, aitzin-eredua edo probokatzailea

Ideia nagusi hauen bidez ezartzen du Danielek lehen analogia elkar elastikoki jotzen duten gorputz higikarien multzoaren eta jariakinaren osagaien artean. Jariakinaren barne-egitura ilustratzera datorren analogia deskriptibo huts bat dirudien arren, irismen luzeko aingura heuristiko bat eskaintzen du iragarpenak eta baita antzekotasun kausalak garatzeko aukera ere. Aingura honen konbentzimendu mailaren erakusgarri, arestian esan bezala, Huygensek frogatua zuen jada bizi indarraren kontserbazioa gertatzen zela gisa honetako talka elastikoen kasuan, eta halatan, kontserbazio-eskema honen babespean, Danielek jariakina korpuskulu ñaño elastikoez eratua egon zitekeela pentsatu zuen egungo gasen teoria zinetikoan darabiltzagun eskemen aurrekari gisa.

Kontserbazio legearen aplikagarritasuna jariakinetara eramateko justifikaziotzat analogia, fenomenoen deskripzio eta irudi ezberdinak darabiltza. Adibiderako, ura eta gorputz elastikoen arteko analogia bat aipatzen du (I, 20§) printzipio hau jariakinentzat ebaluatu nahi duenean. Konpresioan galdutako bizi indarra edo galdutako energia da iturritik itura transferitutako propietatea. Perfektuki elastikoak ez diren gorputzek bizi indarra talkek eragindako deformazioetan galtzen dute; eta halaber, urak bere bizi indarra jarraituki galtzen duela ikusten da sarri. Jarioaren higidura xahutzen duen barne higidura hau 24§ean beste irudi batzuekin ere ilustratzen du. Jariakin partikulen zerizana ez da, sarreran dioenez, ondar pilo batena bezalakoa, non partikulak elkarren ondoan geldik dauden, gehiago da zartaginean berotutako arrautza-azal hautsa legezkoa, irakiten ari den esnearen parekoa. Tenperatura igotzeak likidoetan eragiten duen barne higidura kaotikoaren bizitzeaz dihardu hari honi segika, jariakinen berariazko ezaugarri hau nabarmentzearren. Korpuskulu multzotik jariakinera doan analogia ebaluatu eta aldeko arrazoiak aurkezteko egiten du hau.

Energiaren kontserbazioari lotuago, 23§ean bizi indarren kontserbazioa bere aburuz “bikain” adierazten duen etsenplu bat agertzen du. Bukaeran zulodun tapa bat duen hodi batean zehar aurrera doan ura, jarioa taparaino iristean, jendeak uste duenaren kontrara bat-batean bortizki isurtzen da kanporantz, leherketa bat bailitzan. Egun ahari kolpea deritzogun fenomeno honekin urak zekarren bizi indar guztia une batean nola askatzen den azpimarratu nahi du.

Iruditegi hau darabil bere hipotesi nagusien justifikaziorako, edo ez hain gogorki hobeto esanda, aurrera egiteko behar den gutxieneko konbentzimendurako. Izan ere, lehen kapituluko 3§ean jada argi uzten du esperantza gutxi daukala jariakinen higiduraren legeak Geometria hutsaren arauetan murrizteko aukeraz. Printzipioak fisikoak direla eta “eskuzabaltasunez” onartu behar direla dio, gutxi gorabeherako egiazkotasunaz. Printzipiook axiomatzat hartuta burutuko duen ondorengo jarraibidea bai omen da geometrikoa, errestrikzio gehigarririk gabea eta derrigorrez elkar lotua.

1 Postquam scilicet mente concepimus divisum fluidum in strata, ad dicectionem motus perpendicularia, ponemus fluidi particulas ejusdem strati eadem velocitate moveri, ita, ut ubique velocitas fluidis reciproque proportionalis fit amplitudini vasis respondenti.

40

Honela bada, Huygensen axioma, kasurako egokitua, hasieratik aintzat hartzen du Hydrodynamican (I kap., 19§) edozein likidori arestiko iruditegia medio aplika zekiokeen heinean: grabitatearen eraginpean soilik dagoen gorputz multzo baten batura proportzionala izango da masa osoaren eta sistema osoaren grabitate zentroaren altuera bertikalaren biderkadurarekiko. Hots,

∑mi v i2=k hgz∑mi ,

non k proportzionaltasun konstantea den. Hemen, ebaluazio zikloak jasan beharko dituen arren eredu baten muina badago jada (aitzin-eredu bat), aurreko ezagutza batean ainguratua egotearen eta eskema moldakor batetik elikatzearen abantaila kognitiboekin.

Batetik, korpuskulu multzoaren aitzin-ereduak gertuko aingura ezagun bat eskaintzen du eredu eraginkorrago eta konplexuago bat eraikitzeko. Bestetik, gorputz multzoaren anabasa pertzepzioak malgutasuna dakar ereduarentzat, adierazpen aljebraikoen informaziotik kanpo geratzen den oharmen bat. Gorputz multzoa iturritzat duen eta itutzat jariakina duen analogiak irudi eskema emankor bat pizten du ereduaren baitan. Halatan, irudi eskemak ereduak biltzen dituen problema ezberdinen arabera egokitzeko ahalmen bat du.

Nola aktibatzen da baina irudi eskema zehatz hau Danielen sormenean? -Analogian egon daiteke, jada iradoki dudanez, aztergai dugun kasu honetan egile klasikoek mapping diskretu hutsera, analogia igorle soilera, murrizten duten ikuspegitik kanpo dagoen auzi honen erantzuna. Asoziazio hutsez bainoago, ituaren transformazioa medio sortzen dela dirudi kasu analogoa. Hala begiratuta hau liteke hipotesia: analogian zehar transferitutako elementua ‘kontserbatzen dena’ da, aldagaitz iraun behar duen hori. Transformazio estrategia kontserbatzaile bat bezala ikus dezakegu kasua, non analogia konfirmatzeko inbariante giltzarriei eutsita iturria eratzen den. Hau da, hipotesi kognitibo honen arabera, Danielen sormen prozesuan irudi eskema honen kausan dago bizi indarraren inbariantza, korpuskuluen banaketa espazial kaotikoaren hondoan kontserbazio lege hau derrigor iraunarazi nahi duen estrategia heuristiko ordenatu baten baitan. Azpian dagoen orden horretarako grabitate zentroak markatzaile kognitiboa eskaintzen dio pentsalariari, eta hasierako analogiak oinarrizko eskemen aktibatzailetzat jardun dezake honela. Analogia probokatzaile deitu diot hipotesi gisa agertzen ari naizen analogiaren funtzio generatzaile berezi honi. -Jada aipatu denez, beste modu batera ere ikus liteke korpuskulu multzoen analogiaren rola, aitzin-eredu gisa, alegia. Halakoetan kasu prototipiko bat edo eskema asoziatu bat barneratzen da ereduan ituaren esplikaziorako. Kasu analogoa errebisatu eta garatu beharreko abiapuntu bat baino ez da itua esplikatuko duen eredu baten parte bihurtzeko. Hauxe da, Danielen gogo-jardunean analogiak bete zuen funtzio posiblea, Huygesengandik jada aitzin-eredu ahaltsu hau ezaguna baitzen. Hau da, ohiko eredu bat zen beretzat.

Aitzitik, ez da baztertu behar arestiko rol probokatiboa ere, analogiaren baitako estrategiaz kontserbazio eskema bat piztearena, bizi indarraren kontzeptua funtsezkoa eta puntu kritikatuena izan baitzen Danielen testuan. Berez, batak ez du bestea kentzen, aitzin-ereduaren barnean irudi eskemaren aktibazioa bultzatzen aritu daiteke analogia.

Edozelan ere, argi dago bi kasuetan analogiaren funtzioa generatzailea dela, alegia, ezagutza

berri bat sortzeko ahaleginean dago tematua iturri analogikoa, ez aurreko ezagueren azterketa eta berrikuspenean. Hortaz, sormen prozesu abduktiboari analogiak eta honek aktibatutako eskemak barnetik nola eragiten dioten aztertzeko moduan gaude. Oraingoz, aitzin-ereduaren baitako prozesu abduktiboa baino ez daukagu aztertua.

41

Sormen prozesu honen bihotzean, 'bizi indarren kontserbazio' adierazpidea beharrean, Danielek nahiago zuen, irudipena indartuz, “jaitsiera erreala eta igoera potentzialaren arteko berdintasuna”, dagoeneko aipatu denez. Bere xedeetarako adierazpide argigarriagoa zelakoan zegoen, ondorengo eredu kuantitatiboa birfintzeko, eta batez ere, partikula anabasaren pertzepzio eskemaren baitan txertatzen zuen iruditegi kualitatiborako. Ongi definitzea dagokigu hemen ageri diren bi kontzeptu garrantzitsuak:

-Igoera potentziala (ascensus potetialis): higitzen ari den partikula sistemaren baitan grabitate zentroak hartzen duen altuera adierazten du, zeina gorenera igoko litzatekeen partikula ororen higidura norabidea goranzkoa balitz. -Jaitsiera erreala (descensus actualis): partikula indibidual guztiak geldi geratzean sistema osoaren grabitate zentroa jaitsi egiten da, harik eta jaitsiera errealari dagokion altuera minimoa hartu arte.1

Planteamendu honek iradokitzen duen gogo-irudiaz pentsatzea dagokigu orain Bernoulliren sormen jarduna eta iruditegia (elkar joaz aurrera doazen gorputz higikarien eskematik sortua) nondik norakoa zitekeen antzematearren. Arestian aipatu den korpuskulu multzo kaotikoaren eskema probokatuak eta prototipikoak elikatzen duen ereduak izaera kualitatibo hutsetik formalizazio kuantitatibora iragan beharra dauka.

Esan bezala, mi masadun hainbat gorputz leudeke bakoitza vi abiaduraz. Hurrengo irudian erakutsi nahi denez, edozein unetan gorputz multzoaren grabitate zentroa erreferentziatzat hartuko den altuera zehatz batean egongo da. Sistemaren unean uneko ezaugarri bat definitzen da ondoren: sistemaren igoera potentziala (Ip) gorputz bakoitzaren abiadura goranzko bihurtzean grabitate zentroak hartuko lukeen altuera izango da aipatu erreferentziarekiko neurtuta.

Bestetik, sistemak partikula bakoitzaren une jakin bateko abiaduraren arabera eboluzionatuko du denboran zehar; honela bada, grabitate zentroaren eta igoera potentzialaren arteko distantzia bertikala aldatzen joango da denboran zehar. Partikula multzoaren grabitate zentroaren jaitsierari deritzogu jaitsiera erreal (Je), eta teoremaren arabera, igoera potentzialaren hazkundearen berdina izan behar da. Hau da:

I pt =I p0J e t

Ondorengo diagraman ilustratzen da Danielen pertzepzio eskema eta intuizio geometrikoa nolakoa izan zitekeen. Bai grabitate zentroaren, bai abiaduragatiko bizi indarraren intuizioak gisa honetako eskema mugikor bat aktiba lezake analogia probokatzailea eta bizi indarren kontserbazio printzipioa medio. Irudian adierazi nahi dudanak partikula multzoaren transformazio espazial kontserbatzaile bat du xede, hots, edozein unetako Ip - Je kenketak adierazten duen altuerarena. Beraz, errepresentazio geometrikoan bizi indarren kontserbazio printzipioak transformazio espazial kontserbatzaile baten forma hartzen du, eta pertzepzio eskema mugikorra (simulaziorako ahalmena), sarritan erakutsi denez, konbentzimendu iturri bihur daiteke teoriaren ebaluazio fase ez-enpiriko batean.1 Recordamimur nempe ascensum potentialem Systematis, cujus singulae partis velocitate qualicunque moventur, significare altitudine verticalem, ad quam centrum gravitatis illius Systematis pervenit, si singulae particulae motu sursum converso sua velocitate, quantum prossunt, ascendere intelligantur, & descensum actualem denotere altitudinem verticalem , per cuam centrum gravitatis descendit, postquam singulae particuale in quiete fuerant. Tum etiam memores erimus necessario ascensum potentialem aequalem esse descensui actuali, quando omnis motus in materia subitrata aeret, nihilque de eo in materiam insensibilem aut aliam ad systema non pertinemtem transit, & denique motum fluidorum talem proximi esse, ut ubique velocitas reciproque sit proportionalis amplitudini vasis respondenti, qua de reo suo loco alia quaedam interjiciemus (III, §1).

42

Egun sistemaren energia potentzialaren eta energia zinetikoaren arteko baturak konstante iraun behar duela esatea da hau. Igoera potentzialaren definizioari heltzen badiogu:

I p=∑ mi v i

2

k∑ mi

Eta grabitate zentroarenari:

hgz=∑ mi hi

∑ mi

;

43

Irudia 1.1.a: Pilota beltzak sistemaren masa zentroa adierazten du uneoro. Sistemaren eboluzioan zehar hiru egoera marrazten dira irudian. Lehenengoan kaotikoa da konfigurazioa; balizko bigarrengo kasuan, bizi indarosoa gorantz bideratu da; eta azkenik, aurreko une horretan sistema osoa eta honen grabitate zentroa noraino igoko litzetekeen irudikatzen da. Igotzeko ahalmen bat, potentzial bat, dauka barne honenbestez sistemaren hasierako abiadura multzoak. Beheko irudian kontserbazioa geometrikoki errepresentatua dago: Igoera Potentzialaren eta Jaitsiera Errealaren arteko kenketa inbariantea da, uneroro kontserbatu egin behar da

Baten galera bestearen irabazia izan behar bada, eta k=2g izanez gero, ongi ezaguna den ekuazioa lortzen da:

0=∑12

mi vi2∑ mi g h i

Noski, arrazonamendu guzti hau gorputzen arteko talkak elastikoak direla suposatuta burutu da, hau da, talketan ez da suertatzen bizi indarraren galerarik.

44

Hala eta guztiz, gogo irudiak honela ezarrita ere, partikula bakoitzaren abiadura ezagutzea ezinezkoa zen. Derrigor burutu beharko zen gogo irudiaren murrizpen bat jariakinaren barne eboluzioa ulertzeko (hein batean grabitate zentroa eta igoera potentziala horixe ziren). Danielek kasu paradigmatikoak sartu zituen bere iruditegian horretarako. Zutabe heuristikoak behar zituen lehendabizi jarioaren higidura antolatzeko.

1.2. Kalkulurako analogia igorlea: Jariakinen abiadurak edukiontzitik isurtzerakoan

III kapituluko 6§ean bolumen elementu bat zulotik kanpora isuri eta gero igoera potentzialaren aldakuntza aztertu nahi du Danielek irudiko edukiontziaren kasuan. Analogiak eta diagramek premisa teorikoetan eta sormenaren zutabeetan ez ezik kalkuluaren heuristikarako ere elkarrekintza emankorra dakartela ikusten da hemen. “Quartae proportionali” deritzo lau terminoren arteko proportzio erlazioa ezarrita ezezaguna den laugarren terminoari. Erlazio analogiko bat dago, azken finean. Proportzio hauetan problemaren konfigurazioaren baitako analogiak gordetzen dira.

Iradokitako probleman ura aimb edukiontzitik isuriko da; im oinarrian pl zuloa egongo da eta azterketa egin unean ur maila cd lerroak adierazten du. Denbora tarte infinituki txiki batean zehar pnol bolumen elementua kanporatuko da eta ur maila ef posizioraino jaitsiko. Kontsideraziook ezartzen ditu irudiko problema askatu aurretik:

Bedi gh sekzio bat uraren erdian, cd eta ef gainazalekiko eta im oinarriarekiko paraleloa; eta bedi gh gaineko edozein partikularen abiadura qs edo v altueraraino igotzeko lain bolumen elementua kanpora irten baino lehen, eta qz edo v+dv altuerarino igotzeko lain bolumen elementu hori isuri ondoren. Hau dena ezarririk, uraren igoera potentzialaren hazkundea cimd posizioa eipnolmf posizioaz ordezkatu ondoren ikusten da, hots, bolumen elementua kanpora isuri ondoren1.

Irudia 1.2a: pnol ur bolumena cd ur maila duen edukiontzitik isurtzen

1 Concipiatur in medio aquae sectio gh parallela superficiebus cd vel ef ipsique sundo im; sitque velocitas unius cujusvis particulae in gh talis, ut possit ascendere ad altitudinem qs feu v, cum nondum effluxit guttula & ad altitudinem qz five v + dv, postquam ea ipsa guttula & ad altitudinem qz five v + dv, postquam ea ipsa guttula effluxit. Omnibus his ita positis, quaeritur incrementum ascensus potentialis aquae postquam situm clmd commutavit cum fitu eipnolmf, id est, postquam guttula emanavit.

45

Kalkulurako, aldagaien arteko erlazioak grafikoki seinalatzeko, diagrama bat eraiki zuen Danielek. Azaleren eta abiaduren arteko erlazioa, alderantziz proportzionala, lehenbizikoen eskala adierazten zuen kurba batean oinarrituta irudikatu zuen. Halaz, CGI kurbak DL lerro bertikalarekin azalerak determinatzen ditu: adibidez, CD edo EF segmentuek ur mailaren azalera adierazten dute bolumen elementua isuri aurretik eta isuri ondoren. Halaber, GH lehen aukeraturiko mailari dagokion zeharkako azalera da, IL oinarriarena, eta PL zuloarena. Segmentu horizontal hauen luzera aintzat hartuta eraikitzen du TRU kurba berria GH segmentuan oinarri hartuta. Hau da, GH=HR izango da kurba berriko erreferentzia puntua, kurba berriko ordenatuak GH2 zati CGI kurban dagokion ordenatua izanik. Hots, HR=GH2/GH=GH, edo LU=GH2/IL. Ohartu: PLNO bolumen elementuari LOYX dagokio honela, isuriak duen abiadura adierazten duen lauki zabal batez. Abiadura-azalera erlazioa errepresentatzen duen diagrama honek hurrengo dedukzioak garatzeko ahal heuristikoa izango du.

Batetik, ikusiko denez, analogia erabiltzeko prest uzten ditu aldagaiak zeharkako sekzioak parez pare abiadura segmentu bat baitu marraztua. Zeharkako sekzioek altueran barreiatzen duten azalerak adierazten du likidoaren bolumena, eta parean, lekuan lekuko abiadura segmentuez barreiatutako azalerak igoera potentziala. Birtualki likidoaren higidura propietate bat proiektatzen du diagramak. Idazkuntza teknika sinbolikoek ez bezala isurketa fenomenoaren ulermenari dagozkion irudi eskemak aktibatzen ditu istant batean, begirada batean, edo behin ahaztuta, hauetan birkokatzeko medioa eskaintzen. Bitartekari ezinbestekoa izango da beraz analogiaren ondorengo aplikaziorako, kalkulurako ohiko analogia igorle hutsari bermea emateko.

Irudia 1.2b: abiadura eta altueraren arteko harremanaren irudikapena

Honela arrazoitzen du ondoren Danielek, analogikoki (§6):

Beraz, orain argi dago bolumen elementua isuri aurretik uraren igoera potentziala DCIPL azaleraren, DTUL azaleraren, eta qs altueraren laugarren proportzionala dela, eta berau, bolumen elementua isuri ondoren FEIPNOL azaleraren, FWUXYONL azaleraren eta qz altueraren laugarren proportzionala dela; gainera, bi analogietan lehenengo terminoak (hots, DCIPL eta FEIPNOL) berdinak dira1.

1 Jam igitur apparet ascensum potent, aquae ante effluxum guttulae esse = quartae proportionali ad spatium DCIPL, spatium DTUL & altitudinem qs, eundemque post effluxum guttulae esse = quartae proportionli ad spat. FEIPNOL, spat FWUXYOL & alt. qz; funt autem in ultraque analogia termini primi inter fe aequales.

46

Analogia honen zerizana, Bernoulliren orduko diagramez beharrean, hobeki ikus daiteke agian guretzat ohikoagoa den hiruko erregela erako adierazpideaz, non azaleren eta abiaduren arteko erlazio analogoak espresatzen diren:

DCIPL DTULqs v?

FEIPNOLFWUXYOLqz vdv?

Halatan, lehenengo terminoetako azalerari M baderitzogu, DTULrenari N, FWUXYOLrenari N+dN, qs altuerari v, eta qz-ri v+dv, isurketan zehar izango dugun igoera potentzialaren aldakuntza analogiaz kalkulatzerik izango da. Hots, honela berridatzi ditzakegu arestiko erlazioak jada emaitzak kalkulatuta:

M Nv Nv /M

M NdN

vdvNdvvdN

M

Sinpleago berridatzi ahal izateko LD=x, FD=-dx, DC=y, HG=m, PL=n ipinita, DT=mm/y, LX=mm/n, LO=-ydx/n izango dira (DFEC azalera= LONP azalera delako), eta beraz

dN=LOYX−DFWT=−mmydx

nn

mmdxy

;

hortik, amaitzeko, birkalkulatu daiteke igoera potentzialaren aldakuntza, berau NdvvdNM dela jada

badakielako:

Ndv−mmvydx

nn

mmvdxy

/M .

Hurrengo bi ataletan, 7&ean eta 8&ean, jaitsiera erreala kalkulatu eta bere hipotesi nagusia aplikatzen du: igoera potentziala jaitsiera errealaren berdina izan behar da unez une. Hau da, lehenbizikoaren hazkundea bigarrengoaren berbera izan behar da bolumen elementua kanpora ateratzen den heinean.

Jaitsiera erreala kalkulatzeko edukiontzi barnean cdfe likido zatia jaitsi eta kanporantz lonp atera dela ohartu behar da bat. Aurreko terminologiaz, desplazatutako bolumen hori -ydx izango da bolumen osoa M den bitartean. Ur azaleko cdfe jariakin elementuak oinarriarekiko duen altuera x izanik, eta efmi bolumenaren grabitate zentroaren oinarriarekiko altuera b izanik, isuria hasi aurretik aurkitzen den cdmi bolumenaren grabitate zentroaren altuera, apur bat beherago,M ydxb− yxdx

M =b− ydxM x−b izango da, eta bolumen elementua jada kanpoan duenean (efmlonpi

konfigurazioan) M ydxbm.0M = M ydx

M b . Bien arteko diferentziak ematen du jaitsiera errealak

isurketa denbora infinitesimal horretan jasan duen aldakuntza: − ydxM x .

47

Jada jaitsiera erreala eta igoera potentziala kalkulatuta, hauen berdintzatik lortzen du lehen

Korolario gisa zuloari darion isuria deskribatuko duen higidura ekuazioa:

Ndv−mmvydx

nn

mmvdxy

=−yxdx

Baina hurrengo Korolarioa, bigarrena, da garrantzitsuagoa. Zuloa edukiontziaren zeharkako azalerekin konparatuta oso txikia denean gertatzen dena aztertzen du, hau da, problema muturrera eramanda hasten da arrazonatzen. Zulotik irteten den zorrotadaren abiadurari, (mm/nn)v espresioari, z deiturik, higidura ekuazioak z=x behartzen duela ohartzen da: abiadura altuerak zulotik uraren gainazal libreraino dagoen altueraren berdina izan behar du. Edo Bernoulliren erara esanda (III, 10&), “ura beti isuriko da goiko ur gainazaleraino dagoen altuerara igotzeko ahala duen abiaduraz”.1 Kasu ideal hau zuloa oso txikia denean arrazoizkoa izango da. Honelaxe frogatzen du, bizi indarren kontserbaziotik abiatuta, Torricceliren Lege gisa ezaguna zena.

Azkenik, arrazonamendu honi jarraiki, edukiontziaren paretek eragiten duten presioaz definizio kutsua duen ondorio bat aurkezten du; zuloa oso txikia baldin bada presioagatik jariakina altuera bati dagokion abiaduraz isuriko da, halakoa ezen, edukiontzia altuera horretaraino jariakin berberaz berriro beteko balitz, edukiontziaren paretek presio berdina jasango luketen Hau da, arrazonamendua muturrera eramanik, zulo oso txiki batentzat dugun emari mesprezagarriagatik ez litzateke igarriko alderik edukiontziak egin beharreko euspen indarrean, presioan, alegia. Presio eta abiaduraren arteko erlazioaz lehenengo oharrak dira hauek, Danielen aurkikuntza nagusiaren zutarri aitzindariak ezarri nahi dituztenak, eta 3.1 eta 3.2 ataletan ikusiko direnak.

1.3. Higidura orokorra hodietan zehar

Jariakinaren higiduraren deskribapen orokorrak lortzeko ohiko pertzepzioan jariakinak duen izaera hedakor eta gorpuztu gabeari hautazko kontrol-gune espazial bat ezarri behar izan zitzaion. Ildo honetan, hodi barnean jariakin masa finko bat mugatzea eta kontrolpeko bolumen horixe aztertzea erabaki zuen bertan igoera potentzial osoa definitzeko eta kalkulatzeko. Integrazio prozesuari mugapen espazialak ezartzen zaizkio horrela, jariakinaren hedakortasuna fenomeno kontrolatu bihurtzearren. Bedi S(x) zeharkako azaleradun hodi bat x ardatzaren norabidean higitzen den likidoarentzat. Likidoaren abiadura v(x) izango da hodiaren x puntu bakoitzean. Erreferentzia puntutzat hartuko dugu 0 (bertan S0 izango da zeharkako azalera eta v0 abiadura). Aipaturiko kontrol-bolumena bi plano imajinariok mugatzen dute (S1 eta S2), eta bolumen hau posizioz aldatuko da kontsideratutako jariakin-masa higitu ahala.

1 Tunc igitur aqua ea constanter effluit velocitate, qua ad altitudinem supremae superficiei usque ascender possit.

48

Irudia 1.3a: Higidura hodietan zehar: 1 eta 2 kontrol-bolumenek jariakin masa finko bati jarraipena egiten diote. 1 kontrol-bolumena S1 eta S1' gainazalek mugatzen dute aurretik eta atzetik; 2a, berriz, S2 eta S2' gainazalek.

Zeharkako azaleran abiadura homogeneotzat hartuta, v(x) alegia, igoera potentziala

I px =∑ m i vi

2

k∑ mi

=v2x

2gda,

zein erreferentzia sekziora murriztu nahi izanez gero jarraitasun printzipioagatik honela eraldatuko den:

I px =v2 x

2g=

v02x

2gS 0

2

S 2x = I p0 S0

S x 2

non, Ip0 erreferentzia sekzioari dagokion igoera potentziala den. Ikus dezagun orain nola definitu zuen ezarritako mugapeko bolumen osoaren igoera

potentziala. Arestiko espresioa mugalde planoak kokatzen diren x ardatzeko posizioen tartean integratu beharko da bertan igoera potentzialak hartzen duen batezbestekoa kalkulatzekotan:

I p=

∫x1

x' 1

S x I p xdx

∫x1

x ' 1

S x dx

=

I p0 S02∫

x1

x' 1

dxS x

∫x1

x' 1

S x dx

Bernoullik garaiko eraikin matematikoak erabili zituen, kalkulu honetarako

N=S 02∫

x1

x ' 1

dxS x ; M=∫

x1

x ' 1

S x dx

49

funtzioak definituz. Notazio honek honela sinplifikatuko du ur masa osoaren igoera potentziala:

I p=I p0 N

M.

Oroitarazi behar da igoera potentziala finkaturiko ur masaren unean uneko propietate bat dela. Hau da, jariakin zati finko honi jarraipena eginez unean uneko igoera potentziala zein den kalkulatu behar da. Beraz, zein da ur masaren igoera potentzialaren aldakuntza berau hodian zehar aurrera joan ahala eta kontrol gainazala horren arabera egokitu ahala? M jarraipena eginiko ur masa dela eta hau konstantea dela kontuan hartuta aldakuntza hau izango dugu (t, t+dt) denbora tartean:

d I p=I p dNN dI p

M.

Jarraituriko ur bolumenak, hedapenez (gasetan), deformazioz edo edozelan eraldatuta ere, bere masa kontserbatuko du. Kontserbazio-eskema honek ezarriko du orokorki jariakinen higidurarekin lotutako problemak askatzeko helduleku heuristiko beharrezkoa, masa zehaztua behar baita presioa eta azelerazioaren arteko erlazioa determinatzekotan.

Ekuazio orokor honek fenomeno ez-egonkorrak ere hartzen ditu bere baitan, hots, edozein puntutan jariakinak duen abiadura aldatzen denean dugun erregimen mota ere deskribatu ahal du. Azpi-kasu gisa, puntu zehatz bateko igoera potentzialaren diferentziala (dIP) zero izango da erregimen egonkorrean.

1.4. Likido baten isurketa edukiontziaren azpialdetik

Eredu hau erabilita hainbat problema ebatzi zituen Danielek. Oinarrian zuloa duen kupel batetik ura nola isurtzen den aztertzeko garatu zuen ebazpena da bat (III, 6§). Kalkulu metodoa eta ereduaren funtsa kanporatzen den ur bolumenaren igoera potentzialaren aldakuntza lortzean datza, aldakuntza hau likido osoaren jaitsiera errealaren berdina izan behar delako. Izan ere, kontserbazio hau giltzarritzat duten kasu analogo anitz asma eta ebatz daitezke ereduaren itzalpean. Husten ari den edukiontziaren kasu konkretu honetan, gainera, beste kontserbazio nabari bat ere aktibatzen da isurketaren irudikapenean: kanpora ateratzen den ur bolumena gainazal libreak jasango duen jaitsiera bolumenaren berdina izan behar da. Hemen hartuko du lekua jarraitasun printzipioak.

50

Irudia 1.4a: bedi S zeharkako sekziodun edukiontzi bat x mailaraino beteta. Ura etengabe isurtzen ari da beheko zulotik: t eta t + dt denbora tartean tanta bat isuriko da eta edukiontziko ur maila dx jaitsiko, hots, Sdx izango da isuritakoaren bolumena. Tanta hau zilindrikotzat hartzen da St

oinarriarekin; beraz, altuera Sdx/St izango da.

Zorrotaren isurketa abiadura eta zeharkako azalera aintzat hartuta jarraitasun ekuazioak edukiontzi barneko abiadura eta azalerarekin duen erlazioa ematen digu, eta ondorioz, igoera potentzialen artekoa (igoera potentzialaren erro karratuarekiko proportzionala baita abiadura):

S2 I p=S t2 I pt

Ur masa osoaren igoera potentzialaren aldakuntza da helburu, d I p alegia. Horretarako dN lortu behar da, hots, N magnitudearen aldakuntza tanta isuri baino lehenagoko eta justu ondorengo denbora tartean. Likidoa zulotik pasatzean abiadura azkartuko denez igoera potentziala hazi egingo da ur-maila jaitsi ahala. N-ren diferentziala honela geratzen da dx negatibo batek (jaitsiera denez) dN positiboa dakarrenaz jabetuta:

dN=−S 02 dx

S S 02 S dx

S t2

Beraz,

M d I p=N dI p0 S

S t2−

1S S 0

2 I p0 dx

izango da finkatutako ur masaren igoera potentziala honen bolumenak unitatea balio duenean. Jaitsiera errealari dagokionez, tanta erortzean grabitate zentroak jasango duen jaitsiera

zeharkako azalerak eskainiko duen bat-bateko aldaketa arrazoiarekiko proportzionala izan behar da, hots,

51

dxS

xS0

St (S/St)dx

dJ e=−SdxS t

.

Igoera potentziala eta jaitsiera errealaren aldakuntzak berdinak izan behar direla eta jarraitasun printzipioa kontuan hartuta, eragiketa aljebraikoek tantaren igoera potentzialaren aldakuntza,

N S t2 dI pt= I pt−S t

2 I pt

S 2− x S S 02 dx ,

uraren gainazal librearen jaitsierarenarekin lotzen duen adierazpide hau dakarte. Adierazpide honek isurtzen ari den uraren igoera potentziala uneoro kalkulatzeko modua eskaintzen du, eta ondorioz, baita isuriaren abiada eta kupela erabat husten beharko den denbora ere.

Kalkulu metodo hau eta 1.1 ataleko diagramez garaturikoa beti hor egongo da Hydrodinamika obrako problema anitzen askapenean, baita Bernoulli erlazio garrantzitsua erne zuten ideiak teorikoki birfintzeko prozesuan ere.

2. Analogia eta irudien arteko elkarrekintzak

2.1. Diagramak: korronte-lerroak

Badakigu Danielek kasu esanguratsutzat bere ardatzarekiko simetrikoa den hodi batean zeharko jariakina hartu zuela, gainazal lauetan antolatuta aurrera egiten zuela iradokiarazten ziolako: esan bezala, higidurarekiko elkarzut bananduriko geruza sailtzat hartu daiteke jarioa, non geruza berean dauden partikulak abiadura berean doazen, hodiaren zeharkako azalerarekiko alderantziz proportzionala den abiaduraz, hain zuzen. Johannen semeak bazekien ondo irudikeria zitekeela argazki hau, ordurako bai baitzekiten jariakina ertzetan baino azkarrago doala hodiaren ardatzean. Hala ere, esan behar da hodian zeharko emariaren kontserbazioa (jarraitasun printzipioa) esplikatzeko irudirik erabiliena izaten jarraitzen duela oraindik ere, eta badaukala, beraz, oinarrizko intuizio bat bere atzean.

Hodia apurka estutzen denean zeharkako geruza lauak irudikatzeak bai, jarraitasun printzipioa zuzenki iradokitzen du, baina jariakinaren barne egiturari buruzko hipotesi honek ez dirudi egokia, adibidez, urez beteriko edukiontzi baten azpian zuloa egitean izango dugun higidurarentzat. Hemen, zeharkako sekzioaren bat-bateko aldaketa zakarra jazotzen da zuloaren ingurumarian beherantz datorren jariakinarentzat.

Demagun, beraz, bertikalki ezarririko edukiontzi zilindriko bat azpialdean zulotxo batekin. Nolakoa izango da isurtzen ari den uraren higiduraren barne-egitura? Irudi interesgarri bat asmatzen du hemen egileak (IV, 3§):

barne ura ondoz ondo jarritako infinituki hodi txikiei lerieke. Hauen artean, erdikoak kanpo azaletik zulotxora ia zuzenki jaisten dira, eta besteak gradualki kurbatzen dira zulotxotik gertu, nondik badirudien partikula indibidualak honela jaisten direla ia higidura bertikal batez oinarriraino gerturatu arte, eta orduan euren bidea zulotxorantz okertzen dutela, oinarritik hurbil partikulak ia horizontalki mugituz, eta besteak bertikalago, zulotxorantz. (...) Higidura hau ikusteko aukera izan dut argizari partikulak, espainiar deituak, uretan murgiltzen direnean. 1

1 Mihi autem videtur motum aquae internae talem esse concipiendum, qualis foret si aqua serretur per tubulos infinitos juxta se positos, quorum intermedii proxime recta a superficie versus foramen descendunt, reliquis sensim se incurvantibus prope foramen, ex qua apparet, singulas particulas hoc modo descendere motu tantum no verticali, donec sundum prope attingant, easque tunc curfum suum sensim versus foramen inflectere, ita ut particulae sundo proximae motu sere horizontali, alterae magis verticaliter ad foramen effluant. Hujusmodi motus saepe oculis observare potui,

52

Lerro hauek 'ikus' daitezkeela dio, argizari partikulek ibilbideok marrazten dituztela. Aipu labur bezain ahula egiten du behaketaz. Izan ere, argi dago behaketa enpirikotik baino gehiago ari dela intuiziotik edo gogo iruditegitik pentsatzen. Intuizio honi jarraituz, zulotik isuri eta gero ere korronte lerroak medio eginiko arrazonamendu diagramatiko honek emankorra izaten darrai zain likidoaren kontrakzio deritzona esplikatzeko (ibid.):

Ondoren, ebidentea da baita ere, partikula indibidualen norabidea zulotxoaren ingurumarian diferentea denez, partikula berdinek elkarri eragiten dioten bulkadagatik derrigortuta, zorrotada konprimatua dela, eta mehetu egiten dela ondorioz. Eta konpresio hori dela eta, zein bestela kontraesankorra litzatekeen, isuritako ura azeleratua da zulotxoaren parean ere, eta beraz igoera potentziala hazi egiten da.1

Irudia 2.1a: korronte lerroak isurketa zulorantz

Motzean esanda, albo paretako partikula baten ibilbideak hoditxoari darraio, hasieran zuzen doa eta zulora gerturatu ahala kurbatu egingo da. Faradayren korronte elektrikoen aitzindaritzaz asko hitz egiten den arren, jariakinen mekanikak korronte-lerroen bitartez pentsatzeko ahalbidea eskaini zuen duela hiru mende. Izan ere, kognitiboki, diagrama gisa aurkeztu eta marraztuak izan ziren unetik, rol bera izan dute korronte-lerroek bai jariakinen mekanikan, bai elektromagnetismoan: orain deskriptibo-ilustratibotzat dauzkagun arren, hasiera batean funtzio heuristiko ezinbestekoa izan zuten egokitu zitzaien genesi teorikoan.

Zentzu honetan, diagramei eman dizkiegun funtzio batzuk, gure ikerbidean sormenari lotutakoak, bete-betean datoz hemen Bernoulliren korronte-lerro heuristikoentzat. Alde batetik, diagramek intuizio matematikoarentzat gune bat sortzen dute. Alusio teknika gisa ikus daiteke hau, hots, praktika sinboliko bezala, eredu formal kuantitatiboak eusten dituzten aurrekari kualitatiboen eraikin gisa jarduten dutenak. Izendatu gabe gauzei erreferentzia eginez, alusio eginez, dihardute korronteek. Zulotxorantz gidatuak diren tututxoek ez dute soilik jariakina eroaten, jariakin partikula baten ibilbidea bera ere deskribatzera iristen dira hauek infinituki estuak direnean. Hor hasten da partikulen ibilbideaz pentsatzeko aukera garrantzia teoriko handiz, geroago Bernoulliren Teorema edo jariakinaren baitako energia-oreka ibilbide ireki batean zehar soilik izango baita aplikagarria,

cum particulae cerae, quam vocant Hispanicae, innatabant aquae. 1 Dein patet quoque, quod cum singularum particularum foramini adstantium diversa fit directio, necessario ab impetu, quem in se mutuo faciant exdem particulae, vena comprimatur, atque fie gracilescat. Et ab ista compressione sit, quod alias contradictionem involvered, ut aqua jam jam egressa, etiamnum prae foramine acceleretur, & sic ascensus potentialu crescat.

53

eta ez bortize itxi batean zehar. Lerro itxi eta irekien arteko funtsezko bereizketa honek halako diagrametan izango ditu aurrekariak.

Halatan, lehen kapituluan (8§) irudikatze ahalegina ilustratzen duen hausnarketa bat aurkezten du Danielek. Bere lana hobeto uler daitekeela dio higidura geldiunetik abiatzen eta abiadura bat lortu arte infinitu aldakuntzatik iragaten dela kontsideratzen bada. Eta aldakuntzarik handienak sarri denbora tarte motz batean suertatzen direla pentsatu behar da, hain laburrean ezen “zentzumenek inolaz ezin dituzten argiki hauteman”. Berehalako aldakuntzok aintzat hartu gabe presioa ezingo litzateke definitu higitzen ari den uraren baitan. “Norberaren gogamenean” ondo ulertu behar dira hauek, giza pertzepziotik at egon arren. Formalismo ororen aurretik Danielengan ematen den irudikatze ahaleginak higidura efektua proiektatzeko nahia du atzean, modu hagitz pertsonal batean. Bide honetan bere burua famatzera iristen da, halako gauzez pentsatu zuen “lehenbizikoa” izan zela baitio. Gogo jardunaren subjektibotasuna eta irudimenaren parte hartzea salatzen ditu honek arrazonamendu birtual honetan. Izan ere, irudiak ez dira estatikoak, errealak izan gabe ere, efektu bat produzitzeko bertutea dute. Birtualak dira. Korronte-lerroak bigarren mailako figura ordezkagarritzat beharrean jariakinak barreiatzen duen espazioaren baitan mugimendua pizteko tresnatzat hartu behar dira. Ez dituzte benetako higidurak kuantifikatzen, ez dute geometria fisikaren gainean jartzen, izatez, ideia bat ordezkatzen dute. Finean, 'mugimendu efektua' sortzen dute.

Gainera, pentsalariarentzat problemaren gakoa aurkitzeko nahiz berraurkitzeko ahala dute. Fenomeno bat deskribatzeko ekuazio zerrenda bat idazten dugunean darabilgun sinbologia eta idazkerak sarri ez ditu begi bistan uzten fenomeno hori azaltzean marrazturiko diagramak erakusten dituen erlazio kontzeptualak. Ahalmen hori medio bitartekari izan daiteke korronte-lerroa bezalako diagrama bat datu enpirikoei lotutako sinboloen eta ekuazio deskriptiboen artean. Hau oso garrantzitsua da soluzio prozesuan (aurkikuntzan) nahiz egindako problema bat oroitzean (berraurkitzean). Adibidez, ohikoa da eskolan korronte-lerroez hitz egitea, eta korronte-lerroen bitartez pentsatzea eta soluzionatzea hauek formalki definitu gabe. Gogo barnera begiratuta, badirudi funtsezko pertzepzio eskemaren bat badagoela era honetako ibilbide diagramen atzean aktibatua. Zentzu honetan, analogiak bezala, funtzio probokatzailea leukake diagramaren berraurkitze ahal horrek. Honela bada, korronte-lerro bat 'jariakin elementu baten ibilbide batean zeharko higidura' probokatzen duen diagrama gisa defini daiteke.

Are gehiago, hasieratiko analogia batetik ere ikus daiteke guzti hau: ohiko zinematikan partikula baten ibilbidea daukagun bezala korronte-lerroa definitzen da fluidoen mekanikan. Analogia honek piztuko luke eskema eta orduan hasiko ginateke diagramak marrazten. Espekulaziook ezin dira Bernoulliren testutik bere horretan justifikatu, baina jariakinei buruz pentsatzen aritu den edozeinek onargarritzat joko lituzke, gogo eskema konpartituak diren heinean eta partikulen mekanika klasikoaren eta jariakinen mekanikaren arteko analogia maiz aipatua den neurrian.

2.2. Analogia ebaluatiboa motus intestines aztertzerakoan

Korronte-lerroez gain, jariakinaren barneko gertaera ikusezinei buruz hausnartzeko bidea ematen du VII. Kapituluko motus intestines edo barne higidurak. Likido baten baitako oszilazioaren indargetze fenomeno batekin lotutako problema konkretu bezain zorrotza aukeratzen du horretarako. Urez beteriko tanga batean zulodun edalontzi ipintzen dugu flotatzen. Edalontzia murgiltzean zuloa itxita izango dugu urik sar ez dadin, baina, jada murgilduta, une batean zuloa ireki eta ura edalontzi barnera sartuko da. Orduan libre lagako dugu edalontzia ur azalean oszilatzen.

Izan ere, zuloa irekitzean ura edalontzi barnean gorantz igoko da harik eta altuera maximo batera ailegatu arte. Honaino iristean deskargatzen hasiko da progresiboki, minimo batera iritsiz. Maximoa eta minimo hauen artean kokatuko da kanpoko ur-azalaren maila eta oszilazioaren

54

anplitudea geroz eta txikiagoa izango da, harik eta edalontzi barneko gainazal librea kanpokoarekin berdindu eta edalontzi barneko gora-behera egonkortu arte.

Danielek ez zuen uste oszilatzaile honen indargetzea marruskaduragatik soilik gertatzen zenik: periodo bakoitzean jariakinaren bizi indarraren parte bat galtzen zen, uraren barne higidurara pasatzen zelako (motus intestines), hots, bortize edo zirimoletara.

Solido deformagarriekin problemak duen analogia aurkeztu zuen hemen Danielek (VII, 1§): kolisioa eta gero gorputzaren konpresio bihurturiko bizi indarra galdutzat jotzen den gisan, kasu honetan ere bizi indarraren parte bat ur partikulen barne higidura bihurtuko da, eta parte hau ez da sekula itzuliko guri dagokigun higidura progresibora. Barne higidura, partikulen norabide gabeko higidura kaotikoa, eta “higidura progresiboa” kontrajartzen ditu xahututako bizi indarraren kontzeptua barneratzeko. Jariakin partikula multzoaren eredu esplikatiboak emankorra izaten segitzen du problema hain zehatz baterako ere. Partikula multzoaren 'higidura ordenatua vs. kaotikoa' jartzen da bereizgarri kontzeptualtzat.

Danielek bere liburuan beheko irudiaren bitartez deskribatzen du arestiko fenomenoa (3§). AIMB zilindroa urtegi batean murgildua eta XY mailaraino urez betea egongo da hasieran, zein inguruko uretara iragan daitekeen PL zulotik zehar. Barruko ura kanpo uretara doan heinean XY gainazal librea jaitsi egingo da CD eta EF kotaraino, eta kanpoko ur-azalaren azpitik dauden ef, cd eta xg mailetaraino hurrenez hurren, harik eta ura barrurantz sartzen hasi eta zilindroko gainazal librea gorantz igoko den. Horra hor aipaturiko oszilazioa. Ur maila CD altueran dagoenean eta jaisten ari denean bertan likidoak duen abiadura v baldin bada, eta zilindroaren eta zuloaren arteko azaleren arteko arrazoia n bada, PL zuloko isuriaren abiada nv izango da. Beraz, isurtzen ari den bolumen elementu horren igoera potentziala (nv)2 da, baina zilindroaren barnean v2 da soilik. Diferentzia, nolabait, partikulen barne higidurari transferitzen zaio Daniel Bernoulliren ustez, “higidura progresibora inoiz ez itzultzeko”.

Izan ere, kanporantz abiadan doazen partikulen bizi indarra urtegian barreiatzen da, eta honek ez dut inola ere uraren ondorengo igoeran lagunduko. Gainera, ura sartzen ari denean ere honen abiada gorantz doan zilindro barrukoarena baino handiagoa da, eta gehiegizko bulkada horrek barne zurrunbilo bat eragiten du, igoerari ezer gutxi lagunduz. Honela bada, ereduak eskaintzen duen ikuspegi malgutasunari segituta, xahutze handiena goranzko fasean, ura edalontzi barnera sartzen ari denean, gertatzen zela uste zuen tangako urak zulotik pasatzean abiadura azkartu behar baitzuen zeharkako azalera bat-batean estutzeagatik. Jario azkartu honek barne higidura bizitzen du edalontziaren baitako uretan, eta indarra galtzen da igoerarako. Honela, barne higiduraren osagai ikusezinaz bizi indarraren kontserbazio hipotesia salbatu nahi du. Hipotesi hau darabil gero ikusiko ditugun diafragmadun edukiontzietako fenomeno bitxiak arrakastaz azaltzeko.

55

Irudia 2.2a: edukiontzi zuloduna urazalean oszilatzen

Izan ere, hipotesia edukiontzi edo hodi baten jarraitasun uniformea apurtzen den kasuetara orokortzen du Danielek, alegia, hodiaren forma irregularrak jarioaren norabidea bortizki aldatzen duen kasuetara. Diafragmetan zeharko edozein deskargatan bizi indar galera jazoko da: jarioaren igoera potentziala galdu egingo da diafragman zehar “jariakinaren barne higidurak” xurgatzen duen heinean. Hala egiten du diagragmez jarioa oztopatzen duten edukiontzi irregularretan zehar likidoen isurketa aztertzen duen VIII Kapituluko lehen problemaren (4§) soluziobidean. Bertan PQ gainazal librea duen likidoa bi gunetan banandua dago EF diafragma medio, non G zuloa aurkitzen den. Azpialdeko D zulotik isurtzen den uraren abiadura altuera aztertzea da xedea. Danielen ustez, hagitz argi dago hau:

G zuloari darion edozein tantaren igoera potentzialak ez dio ekarririk egiten D zuloan zeharko isuriari, eta dena barne higidura bat eragiteko erabilia dela, zein bizkor xurgatua den bestelako efekturik gabe; beraz, ezinbestekoa da uneoro higidura berri bat sortzea G pasako duten partikuletan, eta berdintsu D-tik isurtzen diren partikuletan.1

1 Perspicuum autem est ascensum potentialem cujusvis guttae per G transfluentis nihil promovere effluxum per D, totumque impendi in motum aliquem excitandum intestinum, qui mox absorbetur fine alio efectu: necesse igitur est ut singulis momentis motus generetur novus in particulis foramen G transeuntibus, non minus atque in particulis per D effluentibus.

56

Irudia 2.2b: uraren isurketa diafragametan zehar.

Bakoitzak "estimatu" behar du une batean igoera potentzialaren zein zatiki gera daitekeen fluxu nagusiari ekarpenik egin gabe. D zulotik ateratzen den emaria G diafragmatik pasa behar denez, eta G iraganbidetik pasatzen den bizi indarra erabat EFCR gunean xurgatu behar denez, idealki eskakizun batzuk bete beharko lirateke. DG distantzia luzea izatea komeni da, bi zuloak elkarren parean ez egotea eta zuloen ertzek korrontea ez estuaraztea (6§). Zuloen tamaina ere ezin da oso ezberdina izan. Orduan egokiera geneukake bizi indarren kontserbazioa aplikatu eta jaitsiera errealaren eta igoera potentzialaren ohiko berdintzaz isurketa abiadura kalkulatzeko.

Halatan, G zuloaren azalera m bada eta bertako isuriaren abiadura v, eta D zuloaren azalera n eta bertako abiadura v', emariaren jarraitasunagatik argi dago nv=mv' behar duela izan, zulo batetik pasatzen dena irtengo da bestetik. Gainera, G puntuko isuriak, diafragmagatik, ez du bulkadarik eragiten beheko barrunbean, bizi indarra barne higidura zirimolatsu batean deusezten da; hortaz, G puntuan QF altuerari dagokion isurketa abiadura izango den bezala D puntuan FR altuerari dagokiona izango da, hots, v=QF eta v'=FR. Beraz, v+v'=QR izango da, zeinari x deituko zaion. Planteamendu honek v isurketa abiadurarentzat v n

m v= x eratortzen du, nondik v= mxnm

lortzen den. Ondorioak berehalakoak dira: G zuloa D zuloarekin konparatuz oso handia denean v=x izango da, diafragmarik ez balego legez; aldiz, D baldin bada askoz handiagoa ez da kanporantz isuririk egongo, v=0 izango da, G pasabideak ez baitu urik iragaten lagako. Joera argia da: m/n zenbat eta handiagoa izan orduan eta handiagoa da v, harik eta m

n ∞ , v= x .

Arazo honen inguruko arrazonamendu akastun gisa, 8§ean, Mariotten ikerketa aipatzen du. Deskribatu den kasu idealaren aldaera bat baino ez da, lehen hedadura analogia bat, lortutako ondorioak berrikusteko eta sendotzeko Mariotten azalpena kritikatuz. Frantziarraren behaketen arabera, AB gainazal librea duen ur bolumenak D zulotik zorrotada bertikal bat igorriko du, EF diafragman galduriko indarragatik soilik I altueraraino iritsiko dena. Ur maila jaitsi ahala zorrotada ere ahulagoa izango da, bere irismena I izatetik H izatera, eta azkenean 0 izatera pasatzen dela

57

behatzen da. Harik eta gainazal librea diafragma azpian geratu eta zorrotada ohiko abiadura altueraz F punturaino iristen den. Bat-bateko jauzi bat egiten du zorrotadak, beraz.

Mariotten irudikapenean, ABFE barrunbetik GLMD ibilbidea egiten duen tutu estu bat irteten da ura kanporantz isuriz. Ura diafragma gaineko barrunbea isurketa zuloarekin konektatzen zuen tutu imajinario honetan zehar zihoala sinesten zuen. Baina Danielen frogapenak eta eguneroko esperientziak benetako portaera oso diferentea dela erakusten dute. Hasierako zorrotadaren altuera FB baino motzagoa nahiz luzeagoa izan daiteke, goiko barrunbearen altuera ez da eta determinagarria.

Izatez, Danielen ekuazioak, v= mxnm , ongi azaltzen du fenomenoa (9§): ura altuera bateraino

iritsiko da hasieran, zein diafragmako zuloa D zuloarekin konparatuta zenbat eta txikiagoa izan orduan eta motzagoa izango den; altuera hau apurka murriztuko da goiko barrunbea erabat hustu arte; une honetan zorrotada supituki igoko da diafragma aurkitzen den F punturaino, G zulotik aireak iraganbide estuegirik ez badu behintzat ohiko edukiontzi baten portaera izango duelako.

Soluzio metodo hau erabiliz oinarrizko problema honen aldaera ezberdinak proposatzen ditu ondoren. Adibidez, hainbat diafragma horizontal dituen Mariottena bezalako edukiontzi baten isurketa aztertzen du. Hedadura analogiaz eraikiriko problema honen soluzioa aurreko metodo berberaz lor daiteke. Gainera, transformazioa hainbeste perfekziona daiteke ezen barrunbeei klepsidra forma emanez gero eta diafragmen arteko distantziaren eta zuloen tamainaren arteko erlazio egokia taxutuz gero, denbora tarte berdinetan apurka jaitsi eta bat-batean altuera zehatz bateraino jauzi egingo duen zorrotada errepikakor bat lor daitekeen. "Jolas hidrauliko polit" hau (13§) hedadura analogiaren sormenaren erakusgarri da batetik, baina bestetik eta nagusiki, soluzio

58

Irudia 2.2d: Mariotten diafragma.

metodoaren egiazkotasuna neurtzeko bidean behar den funtzio ebaluatiboa burutzen ari da. Ez du kasualitatez atal hau jolas hidraulikoa egin, egin daitekeela esanez amaitzen. Iragarpen teorikoak gailu ezberdinentzat esperimentalki egiaztatu beharrean fenomeno zehatz bat burutzen duen gailu bat diseinatzea hedadura analogiaren ahal sortzaile eta ebaluatiboaren bereizgarri da. Diseinu eta transformazio analogiko honetan datza sormenaren esentziak.

3. Hidrauliko-estatika

Atal honetan irakur daiteke Danielek mekanikaren historiari eginiko ekarpenik garrantzitsuenaren hazia. Ur geldiak duen presioa eta ur jarioaren presioa klarki desberdindu behar direla aipatuz hasten du XII kapituluko aitzin-solasa Danielek. Aurretik hain argiki inork erreparatu ez zion egitate honek jartzen du hidrodinamika osoaren oinarria. Are gehiago, Danielen lana baino lehen, euren arteko lotura bakarra jariakina izanda ere, hidraulika eta hidrostatika erabat bananduak zeuden. Arestiko ataletan bizi indarra eta igoera potentziala ziren soilik garrantzitsu, hots, jariakinaren abiadura, baina ez zen ezer aipatzen presioaz. Abiadura eta presioa elkar erlazionatuta aztertu nahi diren unean sortzen da Danielek 'hidrauliko-estatika' bataiatu zuena. Hasieratik harrigarritzat du abiaduraren eta presioaren arteko erlazio sakon hori (XII, 2§): “Hidrauliko-estatikan bereizgarria da uren presioa ezin definitu ahal izatea aurretik beraien abiadurak behar bezala ezagutu gabe”1. Horratx egungo Bernoulliren Teorema hagitz funtsezkoaren genesia errotu zuen ideia.

Alabaina, espekulazio teorikoek hor zirauten arren, ideia honek behinenik lan esperimentaletan zuen isla. 1705 urtetik aurrera, Varignonek piezometro erako manometroa garatu zuenetik, medikuek zainetan zuzenki txertatutako tututxo bat zerabilten gaixoen odol-presioa neurtzeko. Daniel gaztetan medikuntzarako prestatu zenez, bazekien hodian gora odolak hartzen zuen altuera bertikala odolaren presioarekiko proportzionala zela. Ez da kasualitatea Daniel egin zituen bezalako aurrerapenak egiteko kapaz izatea, harreman estua baitago fenomeno hidrauliko-estatikoaren eta neurketa instrumentu honen artean. Adibiderako, ohiko behaketa da jariakinen mekanikan irudian agertzen dena gisakoa, non ur fluxua daroan tutuari txertatutako hodixka bertikalak konexio-puntu horietan urak duen presio diferentziala adierazten duen.

3.1. Danielen gogo-esperimentua

Honela bada, presio eta abiaduraren arteko Bernoulli erlazioa aztertzeko eredutzat darabilen fenomeno batean oinarrituriko jariakinaren higidura aurkezten du, gogo-esperimentu estandartzat proposatua. Puntan zulo estuagoa duen hodixka horizontal batetik ura isurtzen duen tanga baten kasua da berau. Presioa uraren irteera oztopatzeko egin behar den indarra baino ez da izango Danielentzat. Arestian ikusitako deskarga kasuaren antzekoa da hau ere, baina kasu honetan isurketa mailaren eta ur gainazal librearen arteko distantziak konstante iraungo du tangaren azalera eta ur kantitatea arrunt handia delako. Beraz, tamaina handi hau medio, tanga barneko uren abiadura mespretxagarria izango da.

1 Singulare est in ista hydraulico-statica , quod nisus aquarum prius definiti non profit, quam motus reate fuerit cognitus.

59

Irudia 3.1a: Danielen gogo-esperimentuan edukiontzi bat fd zulo aldakorretik hustutzen da.

Torricelliren Legearen arabera, likidoaren isurketan abiadura altuera zuloak gainazal librearekiko duen sakonerarena izango da, eta irteera hodixkak puntan tapoi zuloduna izango duenez, FD hodiaren eta fd zuloaren sekzioen arteko arrazoiak (r) hodiko abiadura motelagoa izango dela diosku: vi/r.

Hau honela izaki, har dezagun kontuan gogo-esperimentu hau: jo dezagun hodixka horizontalaren muturreko oztopoa (Ff eta Dd) bat-batean desagertu egin dela. Argi dago hodi barneko urak aurretik zuen vi/r abiaduratik vi kanpo abiaduraraino azeleratuko lukeela. Danielen arabera, zuloko tapoiak ura eusten eta erreprimitzen (nisus et renisus)1 ari bailitzan eragiten du, hots, ura pareten kontra presionatzen eta uraren zabalkundea oztopatzen ari bailitzan. Irudi-ekintza eskema honen markatzaile garrantzitsuena da FD tapoia giltzarri diren aldagaiak kontrolatzen dituelako. Hemen dago Danielen ideia jeniala: abiadura presioarekin erlazionatzeko hodian doan jariakinaren abiadura zehatz jakiteko modu bat behar zuen; horretarako, fd zuloaren tamaina aldatuz nahieran kontrola zezakeen abiadura balio hori jatorrizko abiadura altuera mantenduta. Izan ere, euspen indarra hazi egingo da hodiko uraren abiadura moteldu ahala, urak azelerazio ahalmen handiagoa izango duelako tapoiaren balizko desagerpenarentzat. Tapoia da jario askea oztopatzen duena. Tapoiak markatzaile heuristiko gisa dihardu irudi simulaziorako, aldagai adierazgarriak kontrolatzea ahalbidetzen baitu.

Euspen honegatik konprimitzen da ura EFGD hodiaren baitan, eta presio hau tangaren alboko paretetara transmititzen da. Gogo simulazio gisa martxan jarritako irudi-ekintza eskema honek argi asko uzten du afera, eta enpirikoa ez izan arren modu onargarrian esan daiteke gogo-esperimentutik abiatuta: erlazio bat dago euspen presio honen eta tapoia kentzean sortzen den azelerazio indarraren artean. Danielek dioenez (XII, 5.§) ),

presio eta errepresio honen bidez ura konprimatu egiten da, zeinen konpresioa hodiaren paretez konfinatua dagoen eta horrenbestez hauek ere presio berdina eusten duten. Albo pareten presioak oztopoa bat-batean desagertu eta ura segituan airerantz zuzenduko balitz zorrotadak jasoko lukeen azelerazioarekiko, edo jasango lukeen abiadura hazkundearekiko proportzionala dirudi. 2

1 Ingelesezko bertsioan nisus pressure (presio) itzultzen dute, renisus aldiz, repression (errepresio) gisa. Latinez duen esanahi orijinalera joz gero, euspen indarra eta jaraikina elastikoa izateagatik gertatzen den pareten kontrako indarra lirateke benetako zentzuak. 2 Ab hoc nisu & renisu comprimitur aqua, quae ipsa compressio coertetur a lateribus tubi, haeque proinde similem pressionem lustinent. Apparet sic pressionem laterum proportionalem esse accelerationi seu incremento velocitatis,

60

ac

A B

C G

E

D

F

d

f

Bi aldagaien arteko erlazio beherakorra (presioa laxatu egiten da abiadura hazi ahala) intuitiboki aitzin-suposatua dirudi, non konfiantza ez-enpiriko handia jartzen duen, “dirudiela” esanda gogo-esperimentu izaera garbi duen arren. Irudi-indartze baten adibidea da, irudi-ekintza simulazioaren ondorioetan pentsalariak duen konfiantzaren emendatze bat.

Halatan, irudi-simulazioaren heuristikak konfiantzazko iragarpen bat egitea bilatzen du Danielek, esperimentalki eta mediku jardueratik badakizkien kontzeptuetatik gertu dagoen gogo-esperimentu bat diseinatzen duelarik. Irudikatzeko erraza da gainera gogo-esperimentua, heuristikoki gailenak ez diren aldagaiak sinplifikatzen dituelako. Sinplifikatze horretan kasua muturrera eramaten du bestalde, puntako tapoia bat-batean kenduz. Bat-batekotasunaren ideia garrantzitsua da pentsalariaren heuristikan, erruz sinplifikatzen duelako irudi-simulazio dinamikoa, eta beraz, energiaren (edo bizi indarraren) berehalako transformazioa irudikatzea posible baita. Oztopoaren gutxikako desagerpenarentzat joera bat markatzen du muturreko kasuak ezartzen duen balioak. Beste muturreko kasuak ere, tapoiko zuloaren diametroa zerorantz eramateak, erreferentziazko beste balioa ezarriko du joera determinatzeko: oztopoa geroz eta handiagoa orduan eta handiagoa da presioa, eta orduan eta txikiagoa abiadura. Irudi simulazioak deskribatzen duen joera koherentea da muturreko bi kasuentzat.

Sormen ahalmen handiko analogia generatzaile bat dago gogo-esperimentu honen atzean: pareten presio indarrak jarioaren oztopo bezala jarduten du. Eta gogo-esperimentua gorpuzten duen arrazonamendu analogikoaren egitura honelakoa da:

Analogia: pareten presio indarra oztopo bat bezalakoa da jarioarentzat

Arrazonamendua:1. Hodiaren puntatik oztoporik gabe isurtzen denean jariakinaren abiadura izan daitekeenik handiena da, hots, gainazal libreari dagokion abiadura altuera. 2. Isurketa zuloaren diametroa hodiarena baino txikiagoa bada hodiko abiadura moteldu egiten da oztopoa handitzean pareten euspena areagotzen delako.3. Beraz, isurketa zuloa infinitesimala denean hodian apenas mugituko da likidoa ezarritako oztopoa eta pareten euspen indarra izan daitekeenik handiena baita.

Halaz, gogo-esperimentua arrazonamendu analogikoaren baitan erabilia da funtzio kreatibo batez: hodi baten jariorako eta isurketarako (itua) iragarpen kualitatiboak, eta eredua eraikitzeko ideiak sortzea. Honetaz gain, irudiekin lotuta, irudi indartze bat jazotzen da simulazioen arteko kontrastea handituz ezagutza inplizitua aprobetxatzea ahalbidetzen duten muturreko kasuak sortuta. Muturreko kasuaren erabilera simulazioaren diseinurako tresna heuristiko nabarietako bat da, baina badago beste bat: zulodun tapoia markatzailetzat erabiltzeagatik itu fenomenoaren aldagai gakoen arrastoa segitzeko aukera dago. Ikusten denez, funtzio generatzailea duen arrazonamendu analogikoa hagitz konplexua da barnean, iturri-itu transferentzia hutsetik haraindi.

3.2. Bernoulliren Teorema lehenbizikoz adierazia

quod aqua sit acceptura, si in instanti omne obstaculum motus evanescat, sic ut immediate in aerem ejiciatur.

61

Baina kontzeptuok bizi indarren printzipioaren arabera azaldu behar ziren. Igoera potentzialak jaitsiera errealaren berdina izan behar zuen: tapoia kendu eta gero hodiko v abiadurak dv hazkundea jasango du dt denbora tartean.

Tarte honetan ur bolumen jakin batek dx aurreratuko du hodian zehar ms=ρSdx masa mugituz, eta hauxe izango da tanga gelditik hodirantz pasako den ur masa ere. Sistema osoaren bizi indarraren hazkundeak bi batugai izango ditu:

-batetik, hodian sartzen ari den urak hartutakoa: msv2= ρSv2dx; -bigarrenik, v baliotik v+dv abiadurara igaro den hodi barneko urak hartu duena: lehen ordenako diferentzialak kontuan hartuta (v+dv)2-v2=2vdv da, eta ρSc hodi barneko masarentzat igoera potentzialaren hazkundea 2ρScvdv, non c hodiaren luzera den.

Irudia 3.2a : Danielen gogo-esperimentua matematikoki formalizatua.

Bestetik, jaitsiera erreala kontsideraturiko masa osoaren (M) grabitate zentroak jasan duen beherakadarena (h) izango da, 1.2 atalean bezala

h=−dm

Ma

izanik, jaitsiera errealarentzat Je=2gMh=2gdma=2gρSadx ematen duena. Honela bada, igoera potentziala eta jaitsiera erreala berdinduta eta eragiketa sinpleak eginda hau lortu zuen Bernoullik:

2 g a−v2

2c=

vdvdx

62

ρSv2 dxv=0

2ρScvdv

dx dx

c

Grabitate zentroa

-ρaSdx/M

Jarraipena egiten ari gatzaizkion ur masaren azelerazioaz pentsatzen du une honetan Danielek, Newtonen 2. legea aplikatu ahal izateko. Indar azeleratzaile horri presio deituko dio. Horrela bada, abiaduraren hazkundea presioarekiko eta bulkada gertatu den denbora tartearekiko proportzionala izan behar da:

dv=kpdt=kpdx

v

Oroitarazi, berriro ere, egun darabilgun barne presio isotropoaren nozioaren hurbilpen bat bere aitak beranduago sartu zuela, eta hemen Danielek darabilena tangaren pareten aurkako indartzat hartu behar dela, hodixka txertatzen den gunean uraren higidura norabidean bultza egingo duen indartzat alegia. Honela bada, presio honen eragina zuzenki agertzen da bizi indarren kontserbaziotik eratorritako ekuazioan:

2 g a−v2

2c=kp

Torricelliren eta jarraitasunaren legea aintzat hartuta hodi barneko abiadura 2 g a /r dela esan dugu jadanik. Presioa z altuera presiotzat birdefinituta (p=ρgz) zuen Danielek, orduan ohikoa zen eran. Notazio aldaketa hauekin honela geratzen da aurreko ekuazioa:

ac1−

1

r2=k z

Ekuazioa hau sinplifikatzearren lehen aipaturiko muturreko beste kasua aukeratzen du hemen Danielek: zer gertatuko da zuloa infinitesimala denean, hots, r infinitura doanean. Ez da ia urik irtengo eta bizi indar osoa presioa eran metatukoa da, hau da, z=a izango da. Limitean 1/r2 zerora doanez c=1/kρ baldintza inposatzen da. Honek, c, hodiaren luzera, garrantzirik gabea dela frogatzen du. Halaz, parametro ezezagunak determinatzen dira eta Bernoulliren azken ekuazioa osoki ematen:

a 1−1

r2= z .

Finean, a altuerako ur mailak hodian zenbat eta abiadura handiagoa eragin orduan eta presio txikiagoa egongo dela adierazten du. Ez ahaztu r zeharkako azaleren arteko arrazoia ez ezik abiaduren artekoa ere badela, hodi barnekoaren eta kanpoan isurtzen ari denaren artekoa:

r=S hodi

S zulo

= 2g a

v

Eta Bernoulliren azken ekuazio guztia bider ρg eginez gero, eta p=ρgz eta p0=ρga notazio ohikoagoa aukeratuta, Bernoulliren Teoremaren egungo adierazpidea lortzen da:

p= p0−12v2

63

Aurreko formula ilustratuz, 2. Korolarioan dioenez (7.§), irudiko esperimentu ezagunean tutu manometroa eta zorrotada bertikala konektatzen dira tangaren irteera hodian; biak altuera berdinera iristen dira eta altuera hau igo egiten da beheko hodiko ur fluxuaren abiadura moteltzean (tapoiko zulotxoa murriztean), kontra-intuitiboa badirudi ere. Izan ere, jarioa moteltzean hodi barneko presioa hazi egiten da, eta horixe da manometroak neurtzen duena, presio horrek bultzatuta urak hartzen duen altuera. Presioa Danielentzat paretak eginiko euspen indarra baino ez denez, bertan txertatutako manometroan neurtutako zutabeak presioaren adiera ekarriko digu zuzenki. Ondorioz, teoria hau erraz konfirma daiteke esperimentalki, eta metodo honen bidez edozein motako hodiri darion fluxuaren presioa lor daiteke (8§).

Irudia 3.2b: mh abiadura altuera eta hg presio altuerak jatorrizko gm altuera hidrostatikoa kontserbatzen dute.

Esperimentu honek eta bere aldaerek ekarpen erabakigarria eskaini zuten Bernoulliren sormenerako. Urteak lehenago fisiologian odol-presioa neurtzen aritzen zen garairako ere bazekizkien uraren abiaduraren eta honekiko elkarzut konektaturiko manometroaren barneko altueren arteko erlazioak (Bernoulli 1729). Diagramari begiratuta hodiaren barneko abiadura altuera mh manometroko jaitsierak emango digu, hg presioa baita eta bien baturak ura geldik dagoenean izan beharreko mg altuera hidrostatikoa eman behar baitu. Hau da, hodi barneko likidoaren egiazko abiadura altuera b baldin bada eta tapoirik gabeko isurketa batean genukakeen abiadura altuera a baldin bada (a=BE), likidoaren presioa a-b izango da beti. Honek korolario interesgarri bat dakar: presioa negatiboa izan daiteke. Presio negatibodun halako puntu hodi bertikal bat beherantz txertatuz gero, "likidoaren jaisteko joera jarioaren erakarmenak galaraziko luke" (11§)1. Ildo honetan, etsenplu paradigmatikoa jartzen du ondorengo atalean:

1 Cujus nisus descendendi impediatur ab attractione aquae praeterfluentis.

64

Irudia 3.2d: presio negatiboa estugunean.

D puntuko estugunetik E puntutik baino azkarrago pasa behar du jarioak. Beraz, D puntuan jaitsi egingo da presioa, E puntuan dagoen presiotik (presio atmosferikotik) behera jaitsi ere. Horregatik U erako NLD manometroaren ezkerreko besoa jarioak erakarria izango da. ND altuera bertikalak emango du, hain zuzen, presio negatibo horren balioaren berri.

Bernoulliren erara kalkulatuta: bedi a E irteeraren gainean ur gainazal libreak duen altuera, c D puntuaren gainean duen altuera, eta E eta D puntuko zeharkako sekzioen arteko arrazoia bedi r. Ondorioz, D puntuan urak izango duen presioa c-ra izango da, r nahieran handi daitekeenez negatibo bihur daitekeena manometroan ra-c altuerako likido zutabea igoaraziz.

Jatorrizko gogo-esperimentua transformatuta eraikitzen diren aldaera esperimental desberdinotan Danielek ez du soilik egiaztapen enpirikoa bilatzen. Azken justifikazioa enpirikoa izango bada ere, bitartean funtzio ebaluatzailea duten zubi edo hedadura analogiak eratzen dituzte etsenpluok, presio negatiboarena bezalako korolarioak nahiz presioaren neurketa manometrikorako

65

jarraibideak berme kognitibo nahikoaz ezartzeko. XII Kapituluan aurkezten dituen hurrengo etsenpluak ere gako hauen inguruan eraikiriko aldaerak dira. Ez dira ohiko esperimentu gisa aurkeztuak, hauek kapituluaren amaieran daude xeheki adieraziak.

Esperimentua eta gogo-esperimentua, printzipio teorikoa eta irudi eskema, bereizi egin behar dira. Hau da, abiadura-presio erlazioaren izaera eta honen esplikazioa bilatzen zuen prozesu abduktiboaren baitan bi faktore kognitibo daude: elkar joka higitzen den partikula multzoaren eskema, oztopoaren analogia eta gogo-esperimentua, eta honen aldaerak ereduari barnetik eragiten ari dira; aldiz, bizi indarren kontserbazio printzipioa eta ezaguera enpirikoak dira kanpo eragileak, errestrikzioak.

4. OndorioakNolabait deitzearren analogia kooperatiboaren ikuskera heuristikoa gailentzen ari da kasu azterketan. Irudikagarritasuna, diagramak, muturreko arrozoiketa, simulazioak eta beste baliabide heuristiko batzuk analogiarekin batera heuristika horizontal sortzaile bat eratzen dute. Esplikazio onena bilatzen duen sormen abduktiboaren markoan bete-betean sartzen da hau, baina ez soilik funtzio sortzaileaz, baita ebaluatzaileaz ere. Iturri-itu erlazioaren tertium comparationisa, ezarri ondoren birfindu eta ebaluatu beharrekoa, iturri-eredu-itu hirukotearen baitan mamitzen da, eta ez diadikoki, ereduaren esplikazioak aintzat hartu gabe, maiz erakutsi izan digutenez.

Halaz, hasieratik, Huygensen analogiak aitzin-eredu gisa dakarren moldakortasunak kontserbazio eskema bat (bizi indarrena) diagramatikoki adierazteko modua eskaintzen du. Kalkulurako hiruko erregela erako analogia igorle soilek ere diagramen bidez aurkituko dute igoera potentzialarekin eta jaitsiera errealarekin lotzeko ahalmena. Diagrama hauetaz gain, kontserbazio eskema bat ere nabarmentzen da aitzin-eredu rola duen partikula multzoaren analogiarentzat ezinbestekoa. Jarraitasun printzipioa da hau, hodi bateko estugunean sistemaren kontrol bolumenak jasaten duen luzatze deformazioaz irudikatua.

Analogia eta irudien arteko elkarrekintza honetan bereziki aipatu behar dira korronte-lerroak, Danielek intuizio handiz marraztuak. Analogiak argia dirudi: zinematika klasikoan partikulen ibilbidea ordezkatuko duen antzeko baliabide bat behar da fluidoetan, likido partikulak ibilbide beretik bata bestearen atzetik doazela fluxuaren egonkortasuna ziurtatuz. Marrazturiko diagrama hauen funtzio alusibo eta berraurkiarazlearen funtsa hasieratiko analogia honek dakarren asoziazio eta iradokitze ahalmenetik dator hein batean. Korronte-lerroaren marrak eskema zinetikoak aktibatzen ditu erlazio analogikoaren baitan. Eskemen, diagramen eta analogien elkarrekintza posiblea kontuan hartu behar da.

Danielen gogo-esperimentua da adibide onena. Bertan irudi indartze bat gertatzen da muturreko kasuak sortuz, simulazioen arteko kontrastea handitzen duena ezagutza inplizitua azaleratzeko. Kontraste hau bilatzen duen muturreko arrazoiketaren erabilera simulazioaren baitako baliabide heuristiko nabarmena da, baina beste bat ere badago: zulodun tapoia markatzaile heuristiko gisa erabiltzea presioa eta abiadura, hots, giltzarri diren aldagaiak, hobeto aztertu ahal izateko. Simulazio prozesu guzti honek pentsalariarentzat konbentzimendua dakar, ereduaren hasierako onargarritasun test bat egiteko bide bat baita. Presioa oztopo gisa dakusan analogia nagusiaren ebaluazio bat dago simulazioa medio, Maxwellen gurpil eta polea elektromagnetikoekin gertatzen zen bezala. Hau da, analogiaren funtzioa irudi errepresentazioekin kooperatzea eta gogo-esperimentu bat aktibatzea da, rol probokatiboaz.

Geroago, eredu kualitatibo partikular honetatik lortutako konbikzioa Bernoulliren Teorema idatziko zuen eredu kuantitatiboa garatzeko gai izan zen, non abiadura-presio erlazioa fluxuaren igoera potentzialaren eta jaitsiera errealaren arteko orekaren bitartez adierazi zen matematikoki. Halaz, arestian ilustratu den gogo-esperimentuak problema konfigurazio konkretu bat eskaini zuen

66

teoremaren ondorengo garapen aljebraikoarentzat, eta muturrera eramandako zuloaren tamainak ezarri zuen teoremaren azken adierazpiderako limite kalkulua, hain zuzen ere, kualitatiboki ezarritako markatzaile kognitiboak, oztopoaren analogia gorpuzten zuenak.

5. Johannen formalizazioa Hydraulican

Semearen jatorrizko ideia hauetatik abiatuta Johann Bernoullik burutu zuen formalizazio prozesua, bizi indarren kontserbazioa baztertuta, interesgarria da problema erasotzeko ikuspegi desberdin bat eskatzen duelako. Bere obra goratuz ziurtatzen duen geometria huts eta garbi hori bakarrik ez dago; aipagarria den irudi bat txertatzen du arrazoiketan diagrama generatzaile gisara: zirimola. Premisetan agertzen dituen elementu bereziotaz gain, amaieran, formalizazioa bukatzean, Johannek lortu zuen presio kontzeptuaren birfintzea ere nabarmendu beharrekoa da. Forma definitibo honen baitan, ordura arte presio kontzeptua definitzen zuten edukiontziaren albo pareten indarrak ordezkatu egiten dira presio puntual eta isotropoaz. Formalizazioa prozesuak, semearen jatorrizko ideiak hondo newtondarraz ebaluatzean, analogia eta irudi bereziak sorrarazten ditu presio kontzeptua fintzeko.

Aitzinsolasean jada, Definizioak eta Lemak ezartzen ari delarik, indarren izaeraz bereizketa bat egiten du. Higitzen ari diren gorputzei eragiten dien indarrez ari delarik (hauek azeleratu, desazeleratu edo norabidez aldatzeko), indar aldagaitzak eta aldakorrak bereizten ditu. Aldaezina da, adibidez, grabitatea, gorputzak edonon eta edonoiz modu berean azeleratzen baititu. Baina jariakinen azterketarako garrantzitsuak indar aldakorrak dira, zeinen intentsitatea eragin ahala aldatu egiten den (VIII definizioa). Halaz, p indar batek gorputz bati x ibilbidean zehar eta hau ibiltzen behar izan duen t denboran zehar eragin diola suposatzen du, beste denbora edo ibilbide tarte batean desberdina izan daitekeena. Jariakin elementu oso txikietara eramanda, ikuspegi honek marko newtondarra asebetetzeaz gain presionaren kontzeptu finduago bat dakar.

5.1. Kalkulurako analogia igorlea translazio bidez

Azken definizioetan, IX, X eta XI.ean, alegia, Translazio deritzon “ordezkapen mental” bat iradokitzen du presio indarraren inguruko kakuluak ahalbidetzeko. Hidrostatikatik bazekien edozein formadun edukiontzi bateko ura, mentalki geruza horizontal oso finetan bananduz gero, hauetako bakoitzak goian duen uragatik beherantz jasango duen bultzada indarra geruza hau oinarritzat duen eta uraren gainazal librerainoko altuera duen zilindro batek eragindakoaren berdina litzatekeela. Ideia honekin geruza horizontal bakoitzak jasaten duen grabitate indar indibiduala geruza goreneraino, gainazal librekoraino, eraman edo transladatu zuen.

Translaziorako analogia hau ezartzen du X. Definizioan: “edozein geruzaren azalera geruza gorenaren azalerarekiko geruzaren berezko grabitazioa [gainean duen presio indarra] goian ordezkatu behar den grabitazioarekiko dena da”1. Hots, behekaldeko edozein geruzaren azalera m baldin bada eta gorenarena h, wm grabitaziogatik m gainazalak jasandako presio indarra h/m aldiz biderkatu beharko da berau puntu gorenera lekualdatzeko. Geruza oro honela transladatuz gero lortzen da urari edukiontzian behera bultza egiten dion indar ez-material (grabitatatorio) osoa.

Obrako bigarren zatia hasteko darabil adibidez analogia igorle hau. Problema hidrauliko oro soluzionatzeko metodo unibertsal eta zuzena ezarri nahi du bertan, edozein formako hodiei ura nola darien aztertzeko. Honela bada, grabitatez hodi batean zehar higitzen den (erortzen den) ura dt lodierako geruza horizontaletan banantzen du, zeinetako bakoitzak, jakina, g grabitate azelerazioa jasango duen. Azalera indibidual bakoitza edozein delarik ere (jo dezagun m dela), indar 1 EHUko liburutegian hainbat saiakera eta gero Johannen latinezko jatorrizko bertsioa lortu ez dutenez, ingelesezko bertsiotik eman beharko ditut dagozkion aipuak: “the area of an arbitrary stratum is to the area of the upper-most surface, so the proper gravitation of the stratum is to the gravitation to be substituted”.

67

transladatua, h/m aldiz biderkatzean, gmdt izatetik ghdt izatera pasako da translazio ororentzat. Hodiaren irteeratik gainazal librera dagoen distantzia a izanik dt guztietan zehar integratuta gha indar ordezkatzaile totala litzateke. Hau litzateke gainazal librean bertikalki aplikaturiko ordezko indarra, geruza guztietan jasaten den presio indarren batura. Eta horixe da Johannek presio deritzona, lekuan lekuko geruzen barne indar oro ezabatu eta lekualdatuta uraren jarioari bultza egiteko lehenengo gainazalari aplikatu beharko geniokeen indar baliokidea.

5.2. Zirimolaren irudia

Johannen Hydraulica lanak dituen bi zatietako lehenengoan uraren higidura aztertzen da tutu zilindrikoetan zehar, eta Bernoulli edadetuaren irudikapenean ere ondoz-ondoko hainbat geruza zilindrikoren metaketaz konposatua dago higidura hau. Hau aztertzeko etsenplu eredugarri bat datekeena proposatzen du: bata bestearen ondoren elkarturiko diametro desberdineko bi hodi zilindrikotatik zirkulatzen duen ura. Urak bi muturretan, estugunetik urrun, zeharkako azaleren araberako abiadura uniformea eroango du. Higidura hau mantentzekotan, estuguneko trantsizioan arestian aipatutako zirimolak (gurges)1 sortuko direla irudikatzen du, inbutuarena eginez eta jariakin partikulak apurka azeleratuz, “aldaketa bat ere ez baita bat-batekoa, baizik eta segidakoa eta graduala” (I., 3§). Noski, zirimolaren ideia hau nolabait irudikaria da, nahiz eta behatua izango zuten halako zirimolarik kanal irekien izkinetan zurrunbiloak marrazten dituzten uretan. Bataio urtea eta guzti ipintzen dio zorioneko ideiari (I., VIII§): “1729 urtean lortu nuen nire asmoa, afera osoaren gakoa aurretik inork aintzat hartu gabeko zirimolaren kontenplazioan datzala ikusi nuenean”2. Eureka gisako “zirimolaren kontenplazio” hau muinean arrazoibide zainduago bat pizteko darabilela erakutsiko dut korronte-lerroak iruditegitzat dituen arrazonamendua medio.

Izan ere, korronte-lerroek diagrama gisa duten funtzio inplikatzaileaz ohartarazi behar da, hein handi batean eurak baitira zirimolaren noranzkoari zentzua ematen diotenak. Korronte-lerroek birtualtasuna proiektatzen dute errepresentazio geometriko huts batek zirimola kontzeptu fisikoago bati (esperimentalki behatu ohi den eta higidura efektua sortzen duen bati) bizia eta mugimendua atxikitzen dion unean.

Zirimolari alusio egiten diote fluxuaren itzulera bat iradokiaraziz, eta zirimolan dago, hain zuzen ere, arrazonamenduaren gako esplikatiboa: abiadura aldakuntza gauzatzen duen bulkada damaio jarioari hodien arteko trantsizio gunean, hori da jariakin elementuen abiadura aldaketaren kausa. VII§ean ohar bat dakar aipaturiko zirimolaren ekintza ezin dela mespretxatu nabarmentzeko. Jariakin elementu txiki bat zirimolan zehar bultzatzen duen indarrak abiadura aldakuntza nabari bat lortzen baitu denbora tarte oso txiki batean.

Zirimola marrazteak bi puntutan du problemaren muina (“afera osoaren gakoa”) aurkitzeko eta berraurkitzeko ahala:

-Korrontearen ezker-eskuin noranzkoak itzulera bat behar du fluxua izkinan sartzen denean; izkinan urak hor geratzen dira bueltaka, zirimolan harrapatuta. Beraz, presioak aurrerantz segiko duen fluxuaz aparte, beste gune bat sortzen du, inora ez doana eta buruaskia. Zirkulazioa hori mantenduko du presio indarrak diagramak iradokitako irudikapenean. 2. Korolarioan zentzu irudikari honetan argitzen du kontu hau, tutu lodiko nahiz estuko abiadurak konstanteak direlako fluxua egonkorra baldin bada. Beraz, indar higitzaileak (vis

1 Eztabaida dago honen itzulpenaz. Johannek "gurges" hitza zerabilen latinez, zeinak "ura" edo "korrontea" esan nahi duen. Truesdellek (1956) "eddy" itzuli zuen ingelesez, hots, "zirimola", neuk aukeratuta dudan legez. Aldiz, Hunter Rousek, itzulpenaren aintzinsolasean (xiii or.), zirkulaziorik ez dagoela eta "eztarri" itzuli beharko litzatekeela dio, Johannek jariakina eztarri erako pasabide batean zehar irudikatzen omen duelako; Rousen arabera, ura geldi dago banaketa gunean eta Johannek ez du zirkulazio higidurarik bisualizatzen. Baina Johannek espresuki erreka izkinetan kontenplatutakoa aipatzen duenez, ur-geldia zirimolarekin lotzen duela uste dut, geldia baino harrapatua dagoena. Gainera, latin hiztegietan "gurges" beti lotzen da korrontearekin eta zurrunbiloarekin. Truesdellek bezala, "zirimola" hitzaren aldeko apustua egingo dut beraz. 2 I achieved my aim in the year 1729, when I saw the crux of the whole matter to lie in the contemplation of the throat, previously considered by no one.

68

motrix), edo presioak, ez du ekarpenik egiten hodi bien baitako ura azeleratzeko. Johannen irudikapenean, presio indar osoa zirimolari aplikatzen zaio hau mantendu ahal izateko.

-IX§ean dioenez, zirimola osoan zehar (honi dagokion desplazamendu tartean) indar higitzailea integratuz likidoak tutu estuagora azkarrago sartzeko behar duen bulkada kantitatea lortuko da. Honela bada, zirimolak berariaz determinatzen du zirkulazioaren noranzkoa. Mugimenduaren zentzu honek aurrerantz doazen korronte-lerroei 'bultza' egiten diela iradokitzen du. Izan ere, maila mikroskopikoan (ez emariarenean) partikulen banan-banako azelerazio bat suertatu behar da zirimolaren eraginpeko trantsizio gunean. Partikulei jarraipena egiten zaien ikuspegi honetan ere esplikazio bat eskaintzen du zirimolak.

Ildo kualitatibo honetan, zirimola eredu honekin Bernoullirentzat azaleratzen zen galdera honakoa zen: nola aurki daiteke zirimolaren ondotik iragatean likidoak obeditzen duen azelerazio legea? Jariakinaren domeinu irudikari bat mugatzen du honetarako Johannek: jariakinak hasierako eta amaierako mugalde-gainazalen artean daraman indar diferentziala (uniformeki bananduriko indarra) izango da higiduraren kausa, hots, egungo terminologian p1S1-p0S0. Beraz, esan bezala, zirimolak ur-korronteari emaniko inbutu formak eta zirkulazioaren noranzkoak jariakinaren pasaera errazten du hein batean, fluxua azeleratuz. Hidrostatikatik bazekien argiro Johannek presioaren hedapena istantekoa izango zela: ura geldik egon nahiz jarioan egon, AE azaleraren gaineko “indar gidatzaile inmateriala” istant batean iritsiko da GF gainazaleraino.

Problema hau matematikoki ebazteko jariakina higidurarekiko geruza perpendikularretan banandua zegoela suposatu zuen. Zirimolaren erdian kokaturiko geruzatariko bat hartu zuen horretarako, dx zabalerakoa. Bertako indarra geruzaren masaren (ρSdx) eta daukan a azelerazioaren biderkadura izango da. Ondorioz, honi aplikaturiko indar higitzailea (vis motrix) dF=ρSadx izan behar da. Honez gain, arrazoi zinetikoengatik adx=(dv/dt)dx=dv(dx/dt)=vdv denez, dF=ρSvdv geratzen da. Honela, indarraren formula soilik abiaduraren eta azelerazioaren menpe dago.

Gainera, analisirako aintzat hartutako dx zabalerako geruza infinitesimalak altueran edozein ordenatu eta ondorioz edozein S azalera izanik ere (ohartu zirimolaraino iritsiko dela gehienez), AE gainazalera transladatzekotan indar gidatzailea S0/S aldiz biderkatuko da, eta indar higitzailea ρS0vdv izango. Hots, indar horrek produzituko du kontsideratutako geruzan behar den ρSvdv indar

69

Irudia 5.2a: jariakina hodi izkinak sortzen duen zirimolaren eragin eremuari dagokion dx tartetik pasatzean azelerazio bat agertuko da, v0 abiaduratik v1 abiaduraraino iragaiteko.

higitzailea. Halaz, abiadura aldakuntza gertatzen den tarteko integralak, hots, zirimolaren muga bertikalen arteko integralak emango digu indar totala, v0 abiaduratik v1 abiaduraraino doanak, justu hodi estuagora pasa baino lehen S0 konstantetzat hartuta:

F0=∫v0

v1

S0 vdv=12S0 v1

2−v0

2=

12 S01− S1

2

S02 v1

2

Ekuazio honek deskribatzen du “hodi zabalean abiadura moteletik azkarrera iragateko beharrezko den azelerazioa sortuko duen indarra, zein halabeharrezkoa den likidoa hodi estuagorantz jario dadin” (IX§). Beraz, ez zirimolaren forma ez bere tamaina, ez dira determinagarriak zirimola eragingo duen indar higitzailea erdiesteko.

Jarioaren gidaritzat duen indar total honi deitzen dio Johannek presio, hain zuzen ere, eta esan bezala independentea da zirimolak eraturiko inbutu formarekiko. Dioenez, argi dago indar honen eginkizuna zirimola eratzea eta bere horretan iraunaraztea dela, hodi zabalean nahiz estuan abiadura konstantea den kasuan ur-masa osoaren azelerazioari (emariari) ez diolako ekarpenik egiten (I., IX§, II Korolarioa). Zentzu honetan, zirimolak inbutu forma ematen dio hodien elkarguneari jariakinaren alde batetik besterako pasaera apalduz. Gisa honetan, aipatu bezala, korronte-lerroaren gainean doan ur-tantaren kasuan agertzen den azelerazioak zirimolan biltzen den zirkulazio indarrean luke kausa.

Higidura abstraktu hau konkretatu egiten du ondoren Johannek Danielen aldaera enpiriko berbera proposatzeko. Izan bedi hodi lodia bertikalki zutitua edukiontzi zilindriko gisa, eta arestian legez hodi horizontal estuari lotua. Halatan, lehen presiotzat hartu dugun indarra zilindroaren baitako a altuerako likido zutabearen pisua da orain, zein aurreko adierazpidearekin berdinduta,

g S 0 a=12S 0 1−S 1

2

S 02 v1

2

ekuaziotik,

v12

2 g=

a S 02

S 02−S1

2

abiadura altuera lortzen den irteerarako. Ohartu: Danielek honetarako erabili zuen bizi indarren kontserbazio metodoa aipatu ere egiten ez duen bidetik lortzen da emaitza bera, zirimolak leuntzen zuen ibilbidean eta eratzen zuen azelerazio gunean ekiten zuen indar transladatua oinarri hartuta.

Honelako adibide praktikoez borobiltzen da zirimolaren eredu kualitatibotik kuantitatiborako pausoa. Ikusten denez, eredu kualitatibo eta kuantitatiboaren arteko lotura nabaria da. Ikusi dugun garapen aljebraikoa ez da prozedura algoritmiko soil bat, beharrezkoak baititu irudi errepresentazioak eta arrazoibide ez-formalak integrazioak zentzua izan dezan. Zehaztasun geometrikoa duen integrazio ariketaren eta marrazkian espazialki konektaturiko eredu kualitatiboaren arteko aldea ez da handia. Honela bada, prozesu kualitatiboa eta kuantitatiboa hertsiki koordinatuak daude, eta bigarrena lehenengoaren hedapentzat har daiteke. Askok ekuazio

70

bat teoria baten bihotz gisa dakusan arren, izatez eredu kualitatiboa da egiazko bihotza, eta kalkulu matematikoak detaileak dakartza, beti ere, arazoaren baitako matematikan prozedura deduktibo eta algoritmiko estandarrak beste eredu kualitatibo batzuk medio sor zitezkeela ahaztu gabe.

5.3. Bernoulliren Teoremaren azken formulazioa. Barne presioa.

Hydraulicaren bigarren atalean edozein formako tutuetan zehar uraren jarioa deskribatzeko metodo unibertsal bat garatu nahi du Bernoullik. Halaz, tutu zuzenak nahiz kurbatuak, erabat urez beteak edo erdi hutsak, bertikalki edo horizontalki ipiniak, fluxu egonkorraz nahiz ez-egonkorraz, kasu ororentzat balekoa izango da hasiera batean.

Hodia eta likidoa behin definituta, ibilbidearen edozein puntutan fluxuak izango duen abiadura eta bertan albo paretek jasango duten presioa kalkulatzea izango da problema. Kasu berezi bat hartzen du horretarako: soilik grabitateagatik beherantz datorren jariakina estuguneak eta zabalguneak izan ditzakeen hodi batean zehar. Higidura irudikatzeko jariakina geruza horizontaletan banatzen duen arren, hasieratik onartzen du egokiagoa izan daitekeela geruzok higidura norabidearekiko perpendikulartzat hartzea. Bestalde, baina modu bertsuan, hodiaren geometria ere geruza infinitesimaletan eraikiko da, s lerro zentralaren gaineko A(s) azalera elkarzutaz. Halatan, higidurak geruza lauon sekuentziari jarraituko dio dimentsio bakarrean kokatuta. Gainera, beheko irudian atzeman daitekeenez, hodiaren zeharkako azaleraren aldakuntza leunegia da zirimolak agerrarazteko. Sinplifikatzearren eta teoremaren muina hobeki ikustearren egungo ohiko notazioa darabilt, eta sarrera eta irteera abiadurak bertikalak izateko eran hartuko dut hodia nahiz eta Johannek edozein angelurentzat egin zuen planteamendua.

Higidura egonkorrarentzat askatzen du problema lehenbizi, ondoren aztertuko ditu ez-egonkorrarentzat behar diren termino berriak. Honela bada, tarte-bideko geruza baten masak, ρAds, elkar orekatzen duten bi indar aurkako baina berdin jasango ditu fluxu egonkorrean:

-bat, bere pisuarena, ρgAds, zeinen osagaia s norabide zentralean proiektatuz zuzendu behar den gero azelerazio tangentzialekin egingo baita lan, hots, g A cos ds ;

-bestea, geroz eta sekzio estuagotik pasatzean izango duen abiadura aldakuntzagatik ekiten ari den indar inertziala. Emariaren jarraitasunak behartzen duen abiadura aldakuntzak eta bulkadak hoditeriaren erreakzio bat eragingo du jariakinarengan, eta erreakzio indar hori da pisuarenarekin orekatu beharrekoa kasu egonkorrean.

Azken indar honen zerizana aztertzeko abiadura tangentziala,

v=dsdt

,

71

Irudia 5.3a: jarioa s lerro zentralaren gaineko A(s) zeharkako azaleratik.

definitzen da lerro zentralaren puntu batean. Honen arabera, azelerazio tangentziala

a=dvdt=dv

vds

,

adieraz daiteke, zein indarretara

A a ds=A v dv ds /ds= A vdv

itzultzen den. Hauxe da arestiko analogiaz goiko gainazalera transaldatzen duen indarra A0/ Aarrazoiaz, ibilbideko edozein s punturi dagokion A(s) gainazaletik egin daitekeen transferentziaz edozein kasutan A0 v dv indar ez-materiala lortzeko. Sarrerako gainazal horretatik hasi eta irteerako gainazaleraino integratuz

∫s0

s1

g A0 cos ds=∫s0

s1

A0 v dv

berdintza lortzen da jario egonkorraren orekarentzat. Integralen emaitza berehalakoa da:

g A0 h=12 A0v1

2−v0

2

72

Hortaz, A0 eta A1 gainazalen artean Johannek vis hydrostatica edo 'indar hidrostatikoa' deritzona agertzen da, A0 v0=A1 v1=A v bete behar denez s ibilbideko puntu bakoitzean izango dugun abiadura egonkorra determinatzen duena.

Higidura ez-egonkorra denean, hots, puntu batean jariakinak duen abiadura aldakorra denean, 'hidrauliko' (vis hydraulica) deritzon indar berri bat agertzen da Bernoulliren azterketan (II., VI kap.). Hemen, indar hidraulikoa eta arestiko hidrostatikoa klarki bereizi nahi ditu lehenari dagokion garrantziagatik.

Indar berri hau kalkulatzeko irteeran jariakinak duen azelerazioa hartzen du erreferentziatzat beste edozein puntutako azelerazioa honekiko adieraztearren. Jarraitasun ekuazioa deribatuta azelerazioen arteko erlazioa abiadurenen analogoa da:

Aa=A1a1=A0 a0 ;

eta baita ds desberdinentzat ere,

Ads=A1ds1=A0 ds0 ,

lerroan zeharko desplazamendu diferentzialentzat, masa jakineko likido elementu bati egiten baitiogu jarraipena. Beraz, geruzaren gain agertuko den indar diferentzialak

A a ds= A1 a1 ds= A0 A1 a1 ds0/ A

forma izango du, s0 sarrera puntutik hasita s1 irteera finkoraino pilatuta dauden geruza guztien eraginaz honela integratuko den indarra kasu ez-egonkorrarentzat termino berri hau eta lehengo hidrostatikoa aintzat hartuta:

12 A0v1

2−v02 A0 A1 a1∫

s0

s1

dsA= g h

Hiru termino daude ekuazioa honetan. Lehenengoak eta hirugarrenak energia zinetikoa eta potentziala adierazten dute. Bigarrena da azelerazioagatik agertzen dena, Danielen gogo-esperimentua oroituz tapoia bat-batean kentzean agertuko litzatekeena. Argi ikusten da termino honek beste bietan gertatzen den energia galera xurgatzen duela a1 azelerazio ahalmen gisa hodiaren formari dagokion ∫ ds

A faktoreaz zuzendua. Presio atmosferikoan dauden muturreko bi sekzioen artean integratzerakoan lortutako indar honek A1 ondoren kokatutako jariakin bolumena azeleratu egiten du oso laburra den denbora batez, harik eta jarioa egonkortu arte; une horretan a1=0 eta

12 A0v1

2−v02=g h litzateke, eta jario iraunkorrarentzat sekzio bakoitzean egonkortutako

abiadura kalkulatzea izango genuke.

Hala eta guztiz ere, ohartu bigarren termino honek, indar gisa, positiboa denean jarioaren ohiko noranzkoaren kontra ekiten duela, xurgatuz, alegia. Xurgapenagatik v1 eta v0 abiaduren arteko

73

diferentzia jario iraunkorrean baino txikiagoa litzateke. Azelerazioagatik sortzen den indar hau π indar batez ordezkagarria balitz (XI, XII eta XIII§) irteeran v1 abiaduraz doan fluxu egonkor bat legoke, 1

2 A0v12−v0

2=g h− ekuazioaren araberakoa. Halakoetan "presioa laxatu egiten da, zeinak ez dion soilik hodiaren paretak kanporantz estutzeari uzten, baizik eta barrurantz kontraiarazten dituen".

Barne presioaren ideia hau izan zen Johannen lorpenik handiena esparru honetan. Kontzeptu hau medio, Newtonen bigarren legea aplikatzeko, indar superfizialak eta bolumetrikoak kontsideratuta, jariakinaren elementu diferentzial bat isola eta analiza daiteke denboraren funtzioan Eulerrek geroago egin zuen gisan. Masaren barneko ohiko indar bolumetrikoak (pisua, indar inertzialak...) alde batera lagata, presioa izango da indar superfizialaren jatorria formalizazio honetan. Baina Danielen kasuan mugaldeko azaleran agertzen ziren indarrok gauzatzen zituztenak edukinontziaren pareta fisikoak ziren bitartean, Johannen kasuan mugalde-gainazal hauek irudikariak izan zitezkeen. Horrela bada, hautaturiko elementu diferentzialaren mugetan, berariaz jariakinaren baitan, honen edozein puntutan agertzen den propietate bat da barne presioa. Eulerrek formalizatu zituen izatez ideiok matematikoki, baina Johann izan zen benetako aitzindaria.

Danielek berak ipini zion aurrekari moduko bat kontzeptu ahaltsu honi paretek jasandako indarra bultzada axialarekin identifikatu zuenean. Imajinarioki bereiziriko ur bolumenaren baitako indar inertzialak honen mugalde-azalerara igorriak dira semearen gogo-esperimentuan. Heuristikoki bere mugapena Newtonen legeak aplikatu ahal izatean dago. Baina, esan bezala, Johannentzat harago doa hodiaren pareten eragina, jariakin elementuz elementu ematen baita elkarrekintza (II., IX§): pareten indar hau konpresiotik dator, eta indar honegatik elkarren ondoko jariakin zati irudikariak “bata bestearen kontra gidatuak dira”; “ez-material” deritzon bitarteko indar bat agertzen da “akzio eta erreakzioz”, elkar presionatzen ari diren zatien gain ez baitu eragiten. Indar honek aurrerantz bultza egiten dio aurrean doan jariakin zatiari zeinaren aurka atzeranzko oreka indar bat agertzen den; aldiz, atzetik doana atzerantz daroa, transaldatutako indarren bultzadaz orekatzen den joera. Gorputzen talka jartzen du analogiatzat:

efektu berdina jazo ohi da gorputz solidoetan, non, indibidualki indar azeleratzaile ezberdinez animatuak izan eta gero, euren arteko kontaktuan, bata bestearen kontra ekiten hasten direnean, bitarteko indar ez-material bat agertzen den, gorputz bakoitzari egiaz balegokio bezala, zeinak horrenbestez bakoitzaren indar azeleratzaile partikularra erregulatuko lukeen, bata txikiagotuz, bestea handiagotuz, bi gorputzotatik konbinaturiko masa totalarentzat indar azeleratzaile komun bat sortzeko moduan.1

Analogia honetan, alabaina, badago propietate negatibo adierazgarri bat (ituan eta iturrian berdina ez dena), jariakinean gertatzen denaren eta solidoetan gertatzen denaren arteko desberdintasun bat. Gorputz solidoetan indar ez-material horrek aurreraka eta atzeraka ekiten du “lerro elastiko zuzen gisa, zein gorputz bitartean kokaturik bere burua hedatzen saiatzen den” (X§). Baina elkarren kontra ekiten duten jariakin zatietan (ibid.)

bitartean dagoen indar ez-materiala aire elastiko gisakotzat hartu behar da, zeinak bere burua ez duen soilik aurkako noranzkoetan hedatzen, baizik eta inguruko eremu orotarantz; hemendik errazki ulertzen da indar ez-material honetatik berariaz garatzen dela presioa [...]2

1 The same effect occurs in solid bodies, where, after they have been animated individually by different accelerative forces, there arises in their contact, when they begin to act on each other, and intermediate inmaterial force, appearing to be trully common to each body, which thus would regulate the accelerative force of each, the one by diminishing, the other by increasing, in order that thence in the total mass combined from these two bodies one common accelerative force may result. 2 The inmaterial force lying between must be considered just as elastic air, which extends itself not only in opposite directions, but into all surrounding regions; from which now it is easily understood that from this inmaterial force itself the pressure, which is the subject here, develops.

74

Presio honek, hodian konfinatuta, honen ardatzean du soilik ekintza norabide librea, geruza erako likido zatiei aurrerantz eta atzerantz eragiten diena. Horra hor Johannen ekarpen kontzeptual nagusia. Indar ez-materiala “inguruko eremu orotarantz” hedatzen dela dioenean egungo presio isotropikoaren kontzeptutik oso gertu dago jariakinaren baitan edozein puntutan agertzen zen indar hau. Presio isotropoaren kontzeptua garatzeko arrazonamendu analogikoa darabil, analogia nagusi batez eta bi azpi-analogiez egituratua. Gako heuristikoa, gainera, ez dago itu eta iturriaren arteko antzekotasunean soilik, batez ere desberdintasun batean dago gakoa, hodiak konfinaturiko norabideak desagerrarazten duen desberdintasuna:

Analogia: Jariakinaren baitako indar ez-materialaren portaera gorputz solidoen talketan agertzen dena bezalakoa da.

Arrazonamendua: • Desberdintasun bat dago baina:

• Gorputz solidoen bitarteko talka indarrak bere burua hedatu nahi duen lerro elastiko bat bezala dihardu aurrerantz edo atzerantz norabide bakar batean bultza eginez;

• Jariakinaren baitako indar ez-materialak aire elastiko gisa dihardu, norabide orotan hedatu nahirik;

• Beraz, hodiaren konfinamenduagatik, isotropoa izan arren, talka indarra bezala norabide libre bakarrean ekiten duen indarra da presioa.

Hortaz, arrazonamendu analogikoa azpi-analogiez eratua dago (analogiak analogiaren barnean) zeinak azalpen kualitatibo bat garatzen duen. Hau da bere funtzioa: jario mekanismoaren eredu bat eskaintzea hodi baten barnean gertatzen dena azaltzeko. Gainera, analogiok iruditegiarekin duten harremana behatuz, bi azpi-analogien esentzian eskema batek gidatutako irudi simulazio bat dagoela esan daiteke: hedapen eskema bat dago aktibatua (lerro zuzen elastikoarena ala airearena) bi entitateren artean (solidoen artean ala jariakin elementuen artean). Finean, barne izaera konplexua du eredua eraikitzeko funtzioa duen analogia nagusiak hasierako analogia berrikusiz eta ebaluatuz diharduena.

6. Ondorioak Johannek Newtonen legeak hartzen ditu bere eratorpenen abiapuntutzat; aldiz, Daniel bizi indarren kontserbazio legetik abiatzen da, axiomatikoki askoz ere ahulagoa den abiapuntu batetik. Izan ere, Johannek modu deduktiboan darabiltza printzipio newtondarrak eta puntuz puntu zerrendaturiko bere axiomak. Bestalde, Danielen bizi indarren kontserbazio printzipioak, partikula multzoaren analogia medio, eskema oso moldakor bat aktibatzen du Huygensen aitzin-ereduarekin asoziatuta. Hortaz, sinbolo matematiko esplizituen analisitik kanpo geratzen den oharmen mota bat dakar irudi eskema bat atzean duen eredu esplikatibo aberatsak.

Finean, oro har oinarri newtondarrak izatean, aitaren soluzioa orokorragoa da eta ebazpen partikular anitz eskaintzen ditu. Hala ere, aitaren tratamendu formalak abiadura eta presioaren arteko harreman kontra-intuitiboa ez du semeak bezala argitzen. Deduktiboki buruturiko garapen formalaren azken ondorioetan, ateratako ekuazioaren hiru terminoen arteko erlazioetan, kualitatiboki 'irakur' daiteke harreman hau. Azken finean, semearen intuizio fisikoa eta diseinaturiko gogo-esperimentua aitaren formalizazioa baino lehenagokoa izateak garrantzi handia du sormenaren eta fenomenoaren fisikaren ulerpenari gagozkiola: gogo-esperimentuaz presioa eta abiaduraren arteko harreman estua identifikatuta ohartzen da aita teorema maila merezi duen formalizazio

75

matematiko bat eraiki beharraz. Teoremaren genesiari eusteko behar izan zen konbentzimendua Danielen ideiari zor zaio, honek newtondarra baino ahulagoa den bizi indarren eta Huygensen markoaren baitan bukaeraraino elikatzen baitu sormen prozesua. Beraz, plagioaren afera aintzat hartuz gero, aitak semeak sortutakoa marko newtondarrean berrinterpretatuko luke, hau da, analogiak, iruditegia, eta hauek osatutako oinarrizko eredu kualitatiboa Danielena litzateke. Ikusi besterik ez dago Johannek darabilen analogia argi bakarra, geruzen translazioarena, izaera igorlea duen proportzio kalkulu tresna bat baino ez dela. Ez dago Johannen analogia kooperatibo eta sortzailerik abiadura-presio erlazioari dagokionean.

Alabaina, ezin da esan hau geometrialariaren idazkera formalagatik gertatu zenik. Izan ere, Bernoulli aitaren zirimola eta presioaren isotropia aparteko adibide eder bi dira gure xederako. Azken kasuan, azpi-analogiaz eratutako analogia nagusian kooperazio bat dago eskema batek gidaturiko irudi simulazioarekin: hedapen eskema kinestesiko bat probokatzen du analogiak solido nahiz fluidoentzat. Halaz, solido-fluido analogia ebaluatzeko erabiltzen da eskema hau. Analogia nagusia analogia espediente soil bat da, baina hedapen erako azpi-analogiak produzitzen dituen eskema bat aktibatzen du bere burua birfintzeko. Beraz, analogiaren bi rol ezberdin dauzkagu: analogia nagusia sortzailea eta probokatzailea da (eskema bat pizten du), eta azpi-analogiak lehenengoa ebaluatzen duten hedapen analogiak dira.

Zirimolarena analogiaren operazio heuristiko konplexuen beste etsenplu bat da. Erreka izkinako zurrunbiloaren eureka gisako kontenplazioa (analogia asoziatibo bat finean) diagramen bidez (korronte-lerro itxien bidez) txertatzen da estuguneko fluxuaren probleman fluido partikulen azelerazioari esplikazio plausible bat emateko. Zirimolaren kontenplazioak aktibatzen du korronte-lerro itxien zirkulazio eskema, diagramen alusiopean hain baliagarri suertatuko dena. Informazio heuristiko guzti honek sormenaren marko abduktiboarekin ongi egiten du bat, zirimola hodiaren estuguneko gertakari enpiriko bat baino esplikazio onargarri bat baino ez da eta.

76

IV. Pauliren esklusioa mekanika kuantiko zaharrean

1. Mekanika kuantikoaren aitzinamendu harrigarria

Mekanika kuantikoaren sorreraren historia1, eta bereziki Esklusio Printzipioaren genesiarena eta jasokunde nomologikoarena, pentsamendu analogikoak ezagutza zaharretik berrira pasatzean duen garrantzia erakusteko ideia zientifiko eta metafisikoen altxorra da. Mekanika kuantikoaren sorrerari buruz egin zuen azterketan hau aipatu zuen Lakatosek (1978a, 67 or.):

bere aitzinamendua, miragarriki azkarra, eta oinarri ahulen gain, harrigarria izan zen; bere hipotesi laguntzaileen edertasunak, originaltasunak eta arrakasta enpirikoak, zientzialari argi eta jenialek defendaturikoak, ez zuen aurrekaririk Fisikaren historian. Inoiz edo behin, programaren hurrengo bertsioak hobekuntza tribial bat baino ez zuen behar izan, “masa” “masa murriztuaz” ordezkatzea bezalakoa. Hala ere, bestetan, hurrengo bertsiora iristeko matematika berri eta sofistikatuak behar ziren, “gorputz anitzen” problemaren matematikak, edota teoria fisiko laguntzaile berri eta sofistikatuak. Fisika eta matematika gehigarriak existitzen zen ezagutzatik hartzen ziren (erlatibitatearen teoria legez) edo asmatu egiten ziren (Pauliren Esklusio Printzipioa legez). Bigarren kasuan heuristika positiboaren aldaketa kreatiboarekin topo egiten dugu.2

Alde batetik, sen onetik kanpo dagoen fenomenologia berri batekin egin zuten topo orduko zientzialariek, eta aurreko ezagutza fisikoetan oinarritutako analogiez eta ideiez ez ezik, asmakuntza berriak medio funtzionatzea beste irtenbiderik ez zuten izan. Bestalde, sen onetik haraindi baino areago, batzuetan honen kontra ere bazegoen marko teoriko bat hasi zen mamitzen datu enpirikoen gainean, arrazonamendu ez-formalen helduleku barik trataezina zatekeen markoa. Analogiaren kasuistika eta indar heuristikoa puri-purian agertzen da horrela genesi teoriko iraultzaile baina jarraitu honen baitan, "fisika eta matematika gehigarriak asmatzea", iturri analogikoen eraikuntza eta eskemen aktibazioa, nola eta zertarako gauzatzen diren ikertzea aberaski ahalbidetzen diguna. Mekanismo kognitibook hipotesi ugari eta anitzak sortu ahal izan zituzten etengabe.

1 Esklusio Printzipioaren historiari ildo bat emateko karga historiografiko berezia duten lan hauek jarraitu ditut nagusiki, eta ordena honetan. Lehenbiziko liburutik hartu dut etapa historikoak bereizteko irizpidea: Massimi (2005), Heilbron (1982), Jammer (1966), Sanchez Ron (2005), Duck, I. and Sudarshan, E.C.G. (1998).2 Its marveellously fast progress – on inconsistent foundations!- was breathtaking, the beauty, originality and emprirical succes of its auxiliary hypotheses, put forward by scientists of brilliance and even genius, was unprecedented in the history of physics. Ocassionally the next version of the programme required only a trivial improvement, like the replacement of mass by reduced mass. Occasionally, however, to arrive at the next version required new sophisticated mathematics, like the mathematics of the many-body problem, or new sophisticated auxiliary theories. The additional mathematics or physics was either dragged in from some part of extant knowledge (like relativity theory) or invented (like Pauli's exclusion principle). In the latter case we have a 'creative shift' in the positive heuristic.

77

Hala agerturiko hipotesien baliagarritasun irizpidea ohiko faltsibilitate poppertarra (gezurtatua izateko zenbat eta gehiago arriskatu orduan eta onargarriagoa da hipotesia) izan beharrean, emankortasun abduktiboa izango da gurean. Heuristikoki emankorra bada analogien bitartez eta azken finean abdukzioz sortu berri den hipotesia eredu nagusiaren egituran sartuko da. Teoriari identitatea damaioten ardatz batzuk ukiezinak direnez konpromiso metodologikoagatik, ebaluazio fasearen baitan edozein egitate negatibo nukleo teorikoaren inguruan hipotesi laguntzaileak berrituz edo eraldatuz tratatuko da. Hots, sorkuntza emankor bat dago lehenbizi eta egokitzapena dakarren ebaluazioa ondoren.

Ikuspegi honetan barneratzen da jarraipen berezia egingo diogun Pauliren Esklusio Printzipioaren eboluzioa ere. Umilki sartu zen, arau fenomenologiko moduan, teoria kuantiko zaharraren geruza babeslean. Datu enpirikoek, analogiek eta funtsezko eskema batek elikatu zuten prozesu abduktiboa eta hasieratiko jatorri umil honetatik abiatuta egin zuen bide luzea. Izan ere, hainbat eta hainbat proba gaindituta eta eremu fenomenologiko berrien deskripziora egokituta irabazi du orain duen estatus nomologikoa teoria kuantiko modernoan: ez du soilik egitura atomikoaren geruza elektronikoetan agintzen, partikula mikroskopiko ororen zerizana eta hauen antolakuntza ere gobernatzen du.

Jatorri umil horren baitan, Lakatosen aburuz, Paulik Bohrren teoria atomikoaren nukleoa datu espektroskopiko negatiboetatik babesteko asmatu zuen esklusio araua. Honela, gelaxka orbitalen distribuzioa egokiro birkonfiguratu zen eta lerro espektralak ere zehazki aurresan ahal izan ziren. Bohrren programa denbora baterako behintzat babestua zegoen halatan. Baina honetarako asmatu al zen Esklusio Printzipioa, Bohrren programa fenomenologia espektrometriko esplikaezinetik babestearren? Sormenaren funtzioarekin zerikusia duen problema filosofiko funtsezko bat dago hemen, eta Massimiren (2005) ustez, oker dabil kasu honentzat metodologia babeslea defendatzen duena. Bere azterketaren arabera, Esklusio Printzipioa ez zen sartu Bohrren teoria babestearren, ezin baitzuen benetan hori egin. Izatez, ikusiko denez, printzipioa ez zen bateragarria Bohrren korrespondentzia printzipio ukaezinarekin, eta Paulik sarri nabarmendu zuen hau teoria kuantiko berri batek bere arauari etorkizunean oinarri sendoak ipini beharraren seinaletzat.

Pauliren berezko bidearentzat abdukzioarekin lotua dagoen soluzio bat proposatuko da tesi honetan. Analogia probokatzaile edo aitzin-ereduak du genesi teorikoa bultzatzeko indar kreatiboa, edota hala aktibaturiko eskemek manipulatiboki gidaturiko arrazoibideek, abstrakzioa xede duten analogia metodologikoek, eta abdukzioak bere osagaien baitan korrespondentzia printzipioa aintzat hartzen ez duen unean aurreko eredu nagusia bazter lagatzen du. Izan ere, arau bezala sartutako esklusio eskemak hain du indar heuristiko handia ezen berariazko ikerketa ildo gisa abia dezakeen bere bidea, egitura atomikotik eta elektroietatik harago, hots, teoria kuantiko zaharretik berriranzko trantsizioan bere izaera eskematikoari eutsita. Ez da kasualitatea Lakatosek berak ere (1978a, 51 or.) “Bohrren edo Pauliren programa” terminoa erabiltzea aldaketa kreatiboaren adibidetzat, izan ere, Pauliren ekarpenak hasieran Bohrrenaren "hipotesi laguntzaileak" baziren ere, bere bidea egin zuen segituan, periferia teorikotik nukleorantz iraganez. Are gehiago, nukleo berri bat mamitu zuen: hasierako abdukzioan aktibatutako esklusio eskemak Eremuen Teoria Kuantikoa bezalako teoria berri bat eusteko kapaz izango zen zutabea eratu zuen.

Baina sormen prozesu honetan denbora-eskala ezberdin bat dago Bernoulliren aurreko kasuarekin alderatuta. Kasu azterketa honek hamarkadetan zehar ikertu nahi du teoriaren bilakaera, Bernoulliren kasuan ez bezala, non pertsona bakar batek urte gutxi batzuetan eginikoa bere hitz propioekin idatzia aurki daitekeen. Dagokigun sormen eskalan abdukzioak egun edo aste batean zientzialariak bere buruan asmatutakoa du osagai, pentsalariaren prosan (Bernoulli), zirriborroetan, kideei bidalitako gutunetan eta gisako mezu informaletan antzeman daitekeena. Honegatik da hain

78

gaitza eskala txikiko sormen jarraibideak identifikatzea, eta hola edo hala izan zirela frogatzea. Zailtasunak zaitasun, zientzialariekin aurrez aurre berriki eginiko estudio psikologiko eta kognitiboek gida egoki bat eskainiko dute asmakuntza lausook identifikatzeko, edo hobeki esanda, hauen arrastoak interpretatzeko.

Esklusio Printzipioaren kasuan eskala handiagoko prozesu bat aukeratu izanak abdukzioaren sorkuntza-ebaluazio fase gehiago aztertzeko bidea emango du printzipio honek izan zuen jasokunde nomologiko interesgarriaren ildoan. Sormen uneak mugarri diren pausoetan soilik ikertuko dira eta esklusioarena, nagusia izan arren, ez da jarraitu beharreko ardatz bakarra izango. Mekanika kuantikoaren sorreran eta teoria zaharretik berriranzko trantsizioan hainbat analogia eta prozesu kreatibo piztu ziren ingurumarian, zeintzuk gabe ezingo litzatekeen uler Paulirena gisako jarraibide historiko zehatz bat. Hauek ere, bidean topatu ahala, aztergai izango dira gerora izango duten proiekzioagatik, batez ere Bohrren hasierako ereduaren sorkuntzan.

1.1. Historia laburra

Ildo honetan aztertuko dugu mekanika kuantiko zaharraren baitako eredu atomikoa, teoria kuantiko berriaren garapena aingura klasikoa abandonatuz eta Pauliren arauaren jaiotzaz, eta azken honen genesia printzipio bihurtu arte. Zientziaren historialariek diotena hartu beharko da aintzat lehenbizi bide horretan. Historiari zorrozki erreparatuta eta Esklusio Printzipioa ardatz hartuta Massimik (2005) egiten duen azterketari jarraiki honela laburbil daiteke Bohrren eredu atomikotik Pauliren printzipiora doan prozesuaren historia, hiru aldi nagusitan:

1/Zenbait anomalia espektroskopiko ulertzeko Paulik egindako ahaleginaren emaitza izan zen Esklusio Printzipioa: metal alkalinoen espektroetan dobleteak behatzen zituzten, singleteak eta tripleteak lurralkalinoen espektroetan, eta are eta eredu anomaloagoak behatzen ziren elementu kimikoak kanpo eremu magnetiko batean jartzen zirenean (Zeeman efektu anomaloa eta Paschen-Back efektua). Espektro anomalook teoria kuantiko zaharra desafiatu zuten, eta aldaketa teoriko funtsezko bati bide eman. 1920tik 1924ra bitartean Landék, Werner Heisenbergek, eta Niels Bohrrek eredu espektroskopiko tradizionala salbatu nahi izan zuten (‘atomic core model’ delakoa) eta berau behaturiko anomaliekin uztartu. Korapiloa Paulik elektroiarentzat laugarren askatasun gradua sartu zuenean askatu zen, ‘atomic core model’ zeritzotenaren ondorengo desagertzearekin. Paulik elektroiaren momentu angeluarraren ‘aldebikotasuna’ deitu zuena (Zweideutigkeit)1 laster batean elektroiaren spin gisa berrinterpretatuko zen. Pauliren Esklusio Printzipioa 1925an mekanika kuantiko zaharretik mekanika kuantiko berriranzko trantsizioa ezaugarritu zuen testuinguru espektroskopiko erdi-klasiko honen baitan agertu zen beraz, artean arau modura.

2/ Ondoren, eta bigarren fase batean, ‘aldebikotasuna’ eta esklusio araua tai gabe hazten ari zen marko teoriko baten baitan murgildu ziren: 1926ko Fermi-Dirac estatistikatik, 1927ko Pauliren spin matrizedun elektroi magnetikoaren mekanika kuantiko ez-erlatibistaraino; 1927ko Wigner eta von Neumannen talde teoriapeko spin matrizeen eratorpenetik, 1928ko Pauliren Esklusio Printzipioaren sortze eta deuseztatze eragileen meneko antitrukaketa erlazioen araberako Jordanen berrinterpretazioraino (zeinak eremuen teoria kuantikorako bidea ireki zuen). Hemen gertatu zen pauso inportanteena 1928an Diracek eman zuena izan zen, esan bezala, mekanika kuantiko ez-erlatibistatik erlatibistara pasatuz. Honexek argitu zuen elektroiaren spinaren jatorria eta, beraz, anomalia espektroskopikoena. Diracen ekuazioaren soluzio negatiboen eta hauek zekarketen antipartikulen balizko existentziaren karira sortu zuen Dirac berak zulo teoria (hole theory), Pauliri hain desatsegina zitzaiona eta hainbeste kritikatu zuena. Eztabaida honen historia Pauliren spin-estatistika konexioaren bilaketarekin lotuta dago, 1940ko spin-estatistika teoremaz azken bururaino eraman

1 Hitz garrantzitsua da hau nire azterketarako. Anbiguoa edo zalantzazkoa esan nahi du. Zwei-k bi esan nahi du alemanez, eta hala, bikoiztasun bat dago anbiguotasunean, hitzaren etimologian nabarmen daitekeenez. Ingelesez ‘twofoldness’ itzuli izan dute, neuk ‘aldebikotasun’ deituko diot, beti ere, zalantzaren konnotazio horrekin lotuta.

79

zenarekin. Teorema honekin, aldaketa bat ematen da esklusio arauaren estatus nomologikoan, lege huts izatetik naturako funtsezko printzipio izatera pasatzen baita Pauliren sorkaria.

2. Bohrren eredua eta esklusio araua Mekanika Kuantiko Zaharrean

2.1.Espektrotik egitura atomikora

Badago elementu baten egitura atomikoa ezagutzeko eta 'irakurtzeko' bidea ematen duen informazio iturri bat: bere espektroa, hots, dispertsioa medio lortzen den erradiazio multzo baten maiztasunaren araberako banaketa. Halaz, zatibanaketa honen baitan, maiztasun bakoitzari intentsitate bat dagokio, bizia denean lerro gisa behatzen dena. Lerrook behatzen ari zela, XIX. mendearen amaieran ohartu zen Balmer hidrogenoaren espektroa osatzen duten hamalau lerroek arau sinple bat obeditzen zutela. Hau eta gero, Rydberg izan zen serie zorrotz eta lausoak bereizi zituen lehenengoa, sharp series (S) eta diffuse series (D) deituak. Beste serie mota batzuk aurkitu zituzten beranduago: serie nagusiak edo principal series (P), eta oinarrizko serieak edo fundamental series (F). Denek batera espektrometriako lau serie nagusien multzoa eratzen dute egun (S, D, P, F), edozein elementu eta edozein lerro motarentzat erabilgarri direnak. Sailkapen hau arau fenomenologiko praktiko bat soilik zen baina, ez zuen argirik eskaintzen atomoen barne egituraz.

Geroago, garapen teorikoaz, Bohrrek ez zuen bere teoria atomikotik hidrogenoaren seriearen Rydbergen eta Balmerren formula soilik eratorri, Rydbergen lege fenomenologikoari esanahi fisiko bat ere eman zion: termino espektralen arteko diferentzia atomoaren bi energia egoeraren (egoera egonkorren) arteko diferentziatzat interpretatu zuen. Lerro espektral baten n maiztasuna elektroia

aurkitzen den haserako egoeraren ( 1W ) eta elektroiak erradiazioa igorriz jauzi egiten dueneko

azkeneko egoeraren ( 2W ) arteko diferentziarekiko proportzionala izango da. Plancken postulatu kuantikotik zera ondorioztatzen zen, erradiazioa ez zela jarraituki igortzen, energia kuantu diskretuen bitartez baizik; horrela bada, Bohrrek bere igorpen formula 21 WWh idatzi zuen, non h Plancken konstantea zen1.

Sommerfeldek esanguraz hedatu zuen Bohrren teoria atomikoa energia egoerentzat orbita eliptikoak kontsideratuz. Bere ereduan, orbita eliptiko batean mugitzen den elektroia bi askatasun gradu dituen sistema bat da, hots, bi baldintza kuantiko dituena. Koordenatu polarretan, elektroiaren posizioa r elektroi-nukleo distantziak eta angelu azimutalak (r-ren eta orbita eliptikoaren ardatzaren artekoak) emana dator. Horrela bada, elektroiak momentuaren bi osagai zituen, azimutala eta erradiala, m elektroiaren masa izanik

.2

.

r

p mr

p m r

ematen zuena. Bohrren baldintza kuantikoa momentuaren bi osagaiei aplikatuz, Sommerfelden baldintza kuantikoak

1 Ikus hurrengo 2.2 atala, non zenbaki kuantiko osoen jatorria korrespondentzia printzipioak nola ezartzen duen azaltzen den.

80

rhdrp

khdp

r

ezartzen zuen, k eta r hurrenez hurren zenbaki kuantiko azimutala eta erradiala direlarik eta, Bohrren baldintza segituz, balio osoak soilik hartzen dituztelarik (r=0, 1, 2, 3,…; k=0, 1, 2, 3, 4,…). Geroago, n=r+k izango zen, n zenbaki kuantiko nagusia izanik, elektroiaren energia-egoera adierazten zuena. Beste biak bezalaxe, n zenbakiak ere balio osoak hartuko zituen (n=1, 2, 3,…). Zenbaki kuantiko erradialak orbitaren tamaina determinatzen zuen eta azimutalak berriz orbitaren forma.

Kasu batzuetan, kanpo eremu magnetiko baten pean orbitak zuen orientazioa determinatzerakoan esaterako, ez ziren bi kantitateok nahikoa izango, eta beharrezkoa izango zen beste askatasun gradu bat sartzea. Elektrodinamika klasikoak elektroiak w maiztasun angeluarra duen prezesio bat jasango duela dio kanpotiko H eremu magnetiko baten eraginpean dagoenean, w=H e/2mc alegia. Hauxe da Larmorren teorema. Honen harira deitu zioten mekanika kuantiko zaharrean mceh 4/ balioari Bohrren magnetoia, atomoari lotutako elektroi batek zuen momentu magnetikoa baitzirudien. Larmorren teoremak ez zuen orbitaren forman eragiten, bai ordea orbitak H eremuaren norabidearekiko zuen orientazioan.

Egungo notazio modernoan, ohikoa zaigunean, L

deitzen duguna zen orduan K

, elektroiaren momentu angeluar orbitala, Larmor prezesioaren eraginez ziba baten gisa eremu magnetikoaren bektorearen inguruan θ angelu konstanteaz jiraka zebilena, prezesioan zehar balio jarraituak hartuz. Haatik, Sommerfeldek esan bezala, bektorearen proiekzioa ez zen jarraitua, θ-ren kosinuak zenbaki kuantiko berri batek adierazitako balio diskretuak soilik hartzen zituen eta. Horixe zen m edo zenbaki kuantiko magnetikoa. Noski, besteek bezalaxe, honek ere balio osoak soilik har zitzakeen:

m=±1, ±2, ±3, …, ±k , non k=1, 2, 3, …, n

Adibidez, n=1 eta k=1 balioentzat, m=±1 izan zitekeen; n=2 eta beraz k=1, 2 aukerentzat, m=±1, ±2 izan zitekeen, hauexek baitziren K

-ren lau proiekzio posibleak. Bazirudien, 1921eko Stern-

Gerlach1 esperimentuak erakutsi bezala, orbita espazialki kuantizatua zegoela.

Sommerfelden zenbakiei jarraituz, Bohrrek eraikuntza eskema bat garatu zuen Mendeleeven taula periodikoaren elementuentzat. Zera suposatu zuen, atomo baten elektroi kopurua Z zenbaki atomikoaren berdina zela, eta elektroi bakoitza nk orbitako egoera egonkor jakin batean geldik egongo zela erradiazio igorpenik ezean. Halaz, Z elektroiak banaka-banaka sartuz orbitak betetzen joatea zen prozedura, harik eta atomoaren egitura elektronikoa eraiki arte.

Eraikuntza printzipioa sistema periodikoen teoria klasikoak ongi justifikatzen zuen Bohrren korrespondentzia printzipioaren bidez. Korrespondentzia printzipioak korrespondentzia orokor bat 1 Esperimentu honetan zilarrezko atomo sorta bat bidali zuten gradiente handiko eremu magnetiko batean zehar, sorta hori eta bere ibilbidea bitan banatuz. Mekanika klasikoaren arabera, atomoen momentu magnetikoak isotropoki barreiatuak zeudenez, spot bakarra espero behako genuke batez besteko momentu magnetikoari dagokion banaketa zentroan. Baina Stern eta Gerlachek bi spot zekusaten, M-ren bi balio diskretuei zegozkien bi puntu diferenteetan. Honek konfirmatu zuen Sommerfelden kuantizatze espaziala, atomoek eremu magnetikoen pean har ditzaketen orientazio diskretu desberdinen ebidentziatzat. Azken buruan, esperimentu honen zalantzagabeko interpretazioa, spin zenbaki kuantikoaren agerpenaz bakarrik emango zen, handik urte batzuetara, spin bektorearen +1/2 eta -1/2 bi proiekzio posibleengatik.

81

ezartzen zuen elektrodinamika klasikoaren eta Bohrren teoria atomikoaren artean. Jatorrizko formulazioan, printzipio honek lotura bat ezartzen zuen (zenbaki kuantiko altuen eremuan) kargadun partikulen higiduraren osagai harmonikoen kontzeptu klasikoaren eta egoera egonkorren arteko trantsizio elektronikoen kontzeptu kuantikoaren artean. Bohrrek, printzipio hau, teoria kuantikoa teoria klasikotik ahalik hurbilen taxutzeko ahaleginean, bere lanaren ardatz metodologikotzat jo zuen. Hementxe aurkitzen da beste sormen prozesu analogiko baten etsenplua. Izan ere, korrespondentzia printzipioa eraikuntza printzipioaren justifikazioan bete betean lanean hasten denean, analogikoki egiten du lan hau: Bohrrek analogia formalaz hedatu nahi zuen inbariante adiabatikoen nozio klasikoa egitura atomikora. Printzipio metodologiko beraren bi adibide desberdintzat tratatu nahi zituen teoria klasikoa eta teoria kuantikoa.

Sistema mekaniko periodiko orok inbariante adiabatikoak aurkezten zituen, hots, zenbait parametroren aldaketa xumeekin aldagaitz zirauten magnitudeak. Hori arras ezaguna zen, batez ere termodinamika mekanika hutsera murriztu nahi izan zuen Boltzmannen ikerketa ahaltsua medio. Halaber, Bohrrrek inbariantza klasiko hau elektroietara hedatu nahi zuen. Elektroi bakarreko atomoaren kasuan nukleoaren inguruan biraka zebilen elektroiaren akzioak (energia x denbora) aldagaitz zirauen, eremu elektrikoaren aldakuntza ttipiek ez zutelako eragiten atomoan. Alta, afera hagitz konplikatzen zen elektroi anitzeko atomoen kasuan. Puntu honetan jo zuen Bohrrek korrespondentzia printzipiora. Sistema periodiko baldintzatuen teoria klasikoa elektroi anitzeko atomoentzat zuzenki aplikagarria ez bazen ere, mekanikoki esplika ezina zen propietateen inbariantza bat ei zegoen, zenbaki kuantikoetan esangura fisikodun adierazpidea topatzen zuena. Laburki esanda, elektroien banan-banako gehikuntza bidez eginiko eraikuntza prozesuak eremu elektrikoaren aldaketa ttipi bat baldin bazekarren ere, hau ez zen aurretiko elektroi lotuen egoera egonkorra aldatzeko kapaz. Nabarmendu inbariantza kontzeptuaren garrantzia ia axiomatikoa mekanikoki esplikaezina den, sistema adiabatikoekin hertsiki loturik lehenbizikoz agertzen dena eta gero ere garrantzitsua izango dena.

Bohrren eraikuntza eskemak elektroien sailkapen argi eta dotorea ematen zuen konfigurazio sinpleenetan. Hala eta guztiz ere, taula periodikoan aurrera joan ahala eta simetria eskakizunei zegokienez, eskema honek bazuen zailtasun nagusi bat. Jar dezagun Massimiren (2005) adibide bera: argona (Z=18) aurreko gas nobletik abiatuta eraikitzen zen, neoitik (Z=10), alegia. Zortzi elektroi berri gehitu behar ziren, 3k orbitetan kokatuak, neoiaren 2k orbiten gainean. Halatan, batek espero zezakeen hurrengo gas noblea, kriptona (Z=36), argoiaren erdigune atomikotik abiatuta eraiki zitekeela, hemezortzi elektroi berri gehituta, 4k orbitetan. Ez zen posible baina. Numero hauetan nahaste-borraste handi bat zegoen Bohrrek hala-moduz sarrarazi zituen simetria eskakizunen karira.

Gauzak horrela, eraikuntza eskemaren eraldaketa eta berrikuntza bat beharrezkoa izango zen. Hala ere, esan behar da, oztopo nagusia hau izanda ere, Bohrren eraikuntza eskema izan zela 72 zenbaki atomikodun elementu ezezagunaren propietate kimikoen ideia aurresan zuena, eta hala, hafnioa aurkitu zutenean, Bohrren eskemaren konfirmaziotzat hartu zutela. Alta, distribuzio modu honek huts egiten zuen beste zenbait anomaliaren aurrean ere, eta aldatu egin beharko zen. Berez, banan-bana elektroiak gehituz eraikitzearen kontaketa eskema izan zen heuristikoki indartsua suertatuko zena eta kontaketa eskema hau egungo zenbaki kuantikoez erabilgarri egiten duena.

2.2. Nukleo analogiko igorlea ala eredu esplikatzailea

Arrazonamendu analogikoaren ikuspegitik, sistema periodiko klasikoen baitako inbariantza adiabatikoaren ideia klasikoa mapping analogikorako gida metodologikotzat hartzen du Bohrrek, mundu kuantikoarekin beharko lukeen korrespondentziagatik. Metodologikoki, badirudi beste sistema ezagun bateko inbariantzak transferitu nahi direla itu problemara, hor egon baitaiteke soluzioaren giltzarria. Are gehiago, programaren hazia eta nukleoa inbariantza horren gainean eraiki zela dirudi, zutabe metafisiko baten gain, inbariantza hori sistemaren barnean berariazkoa izatean,

82

bere jatorriaz, kausaz, ez baitago galdetzerik, nola-hala babestu baizik. Hau da, “mekanikoki esplikatu ezin den” inbariantza ziurrak ikerketa ildoaren muin ukiezina ezarriko luke. Hor hasten da zimendatzen ikerketaren nukleoa, bere kokagune epistemiko zentralaz.

Horrenbestez, maila atomikoan, periodikotasun ezaugarri bat identifikatzean, ezaguna den teoria klasiko periodikoen baitako giltzarriak eta inbariantzak itura transferitzea da helburua. Ikusiko dugu Paulik eguzki-sistema gisako simulatzaile mekaniko bat eraikitzeko joerei gogor egin ziela irudikeriatzat jotzen zituen eta. Hertsia da abstrakzio maila honetan analogikoki espero daitekeen konfiantza iturri bakarra, izan teorikoa edo irudizkoa. Beste era bera esanda, iturri analogikotik eredura eginiko irudi transferentziak ez zituen batera maite Paulik. Abdukzioan zeinu diagramatikoak edo ikonikoak eskatzen zituen Pauli interpretatzaileak.

Izan ere, eguzki-sistemaren analogiak eta jauzi orbitalen irudiak arazoa erasotzeko metodo bat proposatu nahi duela esan ohi da, korrespondentzia printzipioa medio, teoria klasiko periodikoen inbariantza adiabatikoetan babes teorikoa topa dezakeen heinean. Badago, beraz, antzekotasun literaletik (Eguzki-sistemaren iruditik) abiatuta teoria xehatzeko asmoa. Pragmatikoki, zabaldua dagoen ikuspegi honen baitan, antzekotasun mugapenak gidatuko luke bide hau. Hau da, analogia ez da elikatzailea prozesu abduktiboan. Sistema periodiko klasikoak aplikatzeko moduko irudi orbitala dugu abiapuntutzat eta honen antzeko ereduak behar dira garatu, aitzin-eredu zurrun gisa.

Lakatosen azterketak ikuspegi hau defendatzen du. Hasierako eredu hura, antzekotasun literal inozente bat zitekeena, izaera transformagarria duen ernamuin bat izan zen Lakatosek deskribatzen duen “ikerketa-programarako”, aurrerantzeko plan baterako (1978a, 60 or.): “Bohrren plana Hidrogeno atomoaren teoria garatzea izan zen hasieran. Bere lehenengo eredua orbita zirukularra zuen elektroian eta protoi-nukleo finko batean oinarritu behar zen”1. Hala bada, Lakasosen ustez, honela laburbil daiteke planaren garapena bere metodologiaren baitan, ereduz eredu hazten eta xehatzen ariko den analogia hertsi batetik abiatuta:

(E1) Hidrogeno atomoa planeta bakarreko eguzki-sistematzat jo daiteke, bere energia mailakatuekin (n zenbaki kuantikoa).

(E2) Gero, elektroiaren orbita eliptikotzat har liteke, plano finko bateko aldagaiak kuantizatuz (l zenbaki kuantikoa, Sommerfelden lehenbiziko bi zenbaki kuantikoen ondorio dena, finean).

(E3) Ondoren, plano finkoaren mugapena askatuko zen (m zenbaki kuantikoa).(E4) Azkenik, elektroiaren errotazio posiblea hartuko zen kontuan (s zenbaki kuantikoa).

Hasierako antzekotasun literalaren perfekziotzea eta xehatzea ikusten da garapen honetan, non azkenean eredu kualitatibo literala eredu kuantitatibo edo matematiko bihurtzen den. Testuaren ondorengo irakurketa gidatuko duen ildo narratibo honi berebiziko garrantzia ematen dio historikoki Lakatosek, Bohrrek aitzin-pentsaturiko programa ei da eta (ibid.): “Guzti hau hasieratik planifikatu zuten; atomoak eta sistema planetarioak analogoak diren ideiak programa luze eta zail bat sortu zuen, baina optimista, eta klarki seinalatu zuen ikerketa politika”2

Beraz, modu arin batean, era batera edo bestera, zabaldua dagoen ikuspegi honen arabera, sistema planetario klasiko baten baitan atomoaren egituraren simulazio geroz eta konplexuago bat eraikitzen engaiatu ziren. Horrela, itxura inozentea duen antzekotasun literal bat izaera transformagarria duen izaki teoriko bilakatzen da, hasierako analogiak berak iradokitzen duen antzekotasun eta korrespondentzia printzipioa bezalako ekarpenez eraldatuz. Sommerfelden 1 Bohr's plan was to work out first the theory of the hydrogen atom. His first model was to be based on a fixed proton-nucleus with an electron in a circular orbit.2 All this was planned right at the start: the idea that atoms are analogous to planetary systems adumbrated a long, difficult but optimistic programme and clearly indicated the policy of research.

83

ekarpena ere, beste norabide batetik etorri arren (orbitaren tratamendu eliptikotik datorren espazioaren kuantizaziotik), Eguzki-sistemaren eta orbiten maila energetikoaren irudi-heuristikan eginiko gehikuntza bat litzateke hala ikusita, “hipotesi laguntzaile” bat finean.

Plan bat ikustarazten diolako sortzen omen dute konfiantza Bohrrengan oinarrizko bi analogia hauek. Arrazonamendu analogikoaren ohiko eskema sinplifikatutik begiratuta taula hau genuke:

ITURRIA MAPPINGA ITUA

Eguzki-sistemaren irudi-eskema

Korrespondentzia printzipioa, sistema periodikoen inbarianteak transferitu nahi dituena

Egitura eta espektrometria

atomikoa

Hemen argitu beharreko galdera honakoa da: zein neurritan hartu zuen aintzat Bohrrek Eguzki-sistemaren analogia sistema periodiko klasikoen inbariantzak edo sistema planetarioen berezitasunak aplikatu ahal izatearren? Beste era batera esanda: zer zegoen “mekanikoki esplikatu ezin” zen inbariantzaren berme epistemikoaren atzean? Nire ikuspegian, arrazonamendu analogikoa dago, egotekotan, bi itaunon erantzunaren bihotzean, hain zuzen ere, korrespondentzia printzipioaren izaera analogikoan. Eta, horrela, honek beste modu batera eusten du arestiko Lakatosen ikuspegi metodologikoa.

Hauxe da irudi zentral bat Lakatosen metodologiaren nukleoan txertatuta eta ohiko mapping analogikoaren ikuspegiaz gara dezakegun ikuspegia. Alabaina, ikuspegi hau kamutsa da. Historialariek frogatua dutenez, Rutherforden atomoaren hasierako oinarrizko eredua, antzekotasun literaltzat hartu eta mespretxatu egin zuten hasiera batean, eta ez zuen animo handirik piztu. Ez da ahaztu behar, korrespondentzia printzipioaren harira, hasiera batean “Analogieprinzip” (Analogia Printzipioa) deitzen ziotela askok. Bohrrek berak ere, “Korrespondenzprinzip” deitu arren, analogikoki definitzen du berau (Sanchez Ron 2005, 323 or.)1: Bohrren ustez, etorkizunean demostratuko da teoria kuantikoaren zailtasunak argitzea posible izango dela teoria kuantikoaren eta erradiazioaren ohiko teoriaren artean ahalik eta analogia estuena ipiniz.

Izan ere, arras gainditzen da mapping analogikoaren ohiko ikuspegi bitar hau. Nire ikuspegian, Analogia-Eredu-Itu hiruko egitura abduktiboak hobeki atxikitzen du sormen prozesua. Ereduaren oinarrian korrespondentzia printzipioaren metodologia dago eguzki-sistemaren irudia aingura analogiko bat delarik, soilik igorlea, oinarri metodologikoa aplikatzeko sinpleena dena hasieran, ohiko indar zentralarekin, orbita zirkularrekin, etab. Hortaz, eredua da abduktiboki prozesatzen dena, ez mapping huts bat. Lakatosek 'atomoak eta sistema planetarioak analogoak diren ideiak programa luze eta zail bat sortu zuela' dioenean sinpleegi dabil, korrespondentzia printzipioa baitzen ereduarekiko konfiantza zekarrena. Berrirakurri bestela Bohrren arestiko aipua. Eguzki-sistemarena analogia igorle bat da gehienez, ez eredu esplikatibo bat.

AINGURA ANALOGIKOA EREDU ESPLIKATIBOA ITUAREN EZAGUTZA

Indar zentral eta orbita zirkularraren sistema sinplea

Mundu klasikoarekin korrespondentzian dagoen atomoaren

Atomoa eta bere espektrometria

1 Se demostrará que parace posible arrojar alguna luz sobre las dificultades más notorias [de la teoría cuántica] intentando trazar una analogía lo más estrecha posible entre la teoría cuántica y la teoría ordinaria de la radiación. ]

84

egitura kuantiko mailakatua

2.3. Printzipio analogiko bat ardatz: korrespondentzia printzipioa

Ildo honetan, Bohrren jardun fundatzailea irakurri behar da ohartzeko korrespondentzia printzipioa zela ardatz. Lehenik, klasikoki, bazekien T periodo orbitaldun elektroi baten erradiazio elektromagnetikoaren igorpena 1/T maiztasunaz burutu behar zela (Fourierren transformatuaren maiztasunek 1/T kantitatearen multiplo behar dira izan). Hau ezinbesteko mugapena zen beretzat eta Plancken legeagatik bazekien igorritako energia paketea h/T zela, eta ondorioz, elektroiaren energia orbitalaren aldaketa ∆E=h/T.

Iturriaren ezaugarri sinpleena hartuta sistema orbitaltzat (indar zentrala + orbita zirkularrak) Keplerren legetik badakigu periodoaren karratua orbitaren erradioaren kuboarekiko proportzionala dela eta erradio horretan kokatutako elektroiaren energia distantzia erradialarekiko alderantziz proportzionala:

∆E=h/T, T 2 α r3 eta E α 1/r, beraz

∆E α E3/2.

Bigarrenik, kuantuen ikuspegian, momentu angeluarrak akzioaren dimentsio bera duela kontuan hartuta honen kuantizazioa egin daiteke; orbitako abiadura r1/2 faktorearekiko alderantziz proportzionala denez, momentu angeluarra r1/2-rekiko zuzenki proportzionala da, eta E α 1/r dela oroituta, berehalakoa da E α 1/L2. Halaz, momentu angeluarraren balio kuantikoak tarte berdinak dituztela suposatuz, ondoz-ondoko energien arteko tartekatzea L handia denean, muga semiklasikoan,

∆E = 1/(L+1)2 – 1/L2 ≈ (1/L2)' = -2/L3 da,

85

Eredu EsplikatzaileaEREDU IKONIKO HIPOTETIKOA

(Atomo planetarioa)

AINGURA ANALOGIKOAEzaguna den egitura

(Eguzki-sistema)

ItuaBEHATUTAKO PATROIAK

(Lerro espektralak)

iturr

iaAzaltzen du

hots, lehen bezala: ∆E α E3/2 .

Ohartu: klasikoki eta kuantikoki emaitza bera dugu momentu angeluarraz egin dugun suposizioa medio. Honegatik, momentu angeluar diferenteak berdinki tartekatuak egon behar dira eta L-ren edozein balio h/2π kantitate diskretuen multiplo behar da izan. Eta halako sistema zentral batean E/L=2π/T denez, edozein energia maila h/T kuantuen tartekatze diskretuak definitzen du, hots,

En=nhν, non ν=1/T.

Nabarmendu behar da energia mailen zatibanaketa sinple honen garrantzia. Hau gabe kontaketa eskema eta elementuen egitura atomikoen eraikuntza erruz konplikatuko litzateke; emaitza honekin n zenbaki osoekin joka zezakeen Bohrrek.

'Frogapen' honetan Bohrren jarraibidearen funtsa korrespondentzia printzipioan dago, bi ereduren arteko analogian, bata klasikoa eta bestea kuantikoa. Funts horrek justifikatzen du ereduaren izaera esplikatiboa, aingura analogiko igorleari (eguzki-sistemarenari) falta zaion bermea emateko. Karga justifikatzaile bat du, eguzki-sistemaren analogiak ebaluazio fase bat gainditu duen neurrian korrespondentzia printzipioaren begiradapean.

Sorkuntza-Ebaluazio zikloa osatzen da horrela. Bohrren frogapenak ebaluazio bat proposatzen du funtsean momentu angeluarraren zerizan kuantikoak erradiazio igorpen klasikoekin bat egiten duen ikusteko. Ebaluaziorako darabil korrespondentzia printzipioa eredu kuantikoak suposatutakoak limite klasikoan ondo egokitzen direla frogatzeko. Are gehiago, Bohrrentzat korrespondentzia printzipioa analogia horren sorkuntza metodo ere bada, printzipio formaletan gehiago sinesten baitu. Sistema periodiko klasiko bat eta atomo planetarioa printzipio beraren adibidetzat jo nahi ditu, eta horrek bermatzen du, bermatzekotan, lotura analogikoa.

Beste gauza bat erakusten du honek: zientzialariaren sormenak fase sortzailean adinako garrantzia du fase ebaluatzailean. Unean dugun eredu esplikatiboan sinistu gabe ezin da aurrera egin, eta sinesmen hori lortzeko ahalegin sortzailea, gogo-esperimentuak eta hauek gidatzen dituzten eskemak aktibatzekotan garrantzitsua da. Bernoulliren kasuan ikusi den antzera, korrespondentzia printzipioaren izaera muturreranzko arrazonamenduarekin lot daiteke teoria kuantikoa muga semiklasikoetara eramaten duen heinean. Zalantzazkoa da baina honek irudi heuristikan dakarren indartzea prozedura hain abstraktu baten baitan. Irudi indartzea, egotekotan, Keplerren legeen eta orbita zirkularren erabileran dago, markatzaile heuristiko bat eskaintzen dutelako analogiaren baitako gogo prozesurako. Irudiok zeinu bezala duten estatusean dago arazoa, ikonikoak izan beharrean diagramatikoak dira eta. Orbita zirkularrak eta higidura planetarioa diagramatikoki sartzen dira korrespondentzia printzipioak ezartzen duen analogiaren barneko gogo prozesuan. gogo-esperimentuen eta irudi simulazioen antzekoa da funtzioz prozesu ebaluatzaile hau, baina irudiak ikono gisa beharrean diagrama gisa dihardu.

Zentzu ebaluatzailetik aparte, abdukzioa elikatzen duen alderdiari begiratzen badiogu eredu klasikoaren funtsezko legeak (Keplerrena, indar zentralaren ekuazioa,...) transferitzen dituen arestiko ikuspegiaren baitako zentzu sortzaile bat badago. Sailkapen semiotiko funtsezko batez izaera sortzaile honek Lakatosen xehatze etapak gogoratzen ditu. Aipatu legez, analogia planetarioa gero eta zeregin indartsuagoak bereganatuz garatzen da bere neurrian kontuan hartu beharreko ikuspegi honetan, hots, metafora izateari utzi eta esanahiz jabetzen da analogia bat eraikiz:

86

-Lehenengoan erlazioa ikonikoa da, eguzki-sistemaren irudi bera inplantatzenda egitura atomikoaren eredu kuantikoan. Analogia deskribatzaile huts bat genuke, hasiera batean fisikariek ere bazter uzten zutena.

-Bigarrengoan (aurreko erlazioa ebaluatu eta gero) antzekotasuna galtzen du eta diagramatikoa da erlazioa: nukleo-elektroi eguzki-planeta erako erlazio diadikoak analogoki agertzen dira euren arteko 1/r2 motako indarrekin. Jada aitzin-eredu bat genuke etapa honetan.

-Azkenean bi ereduen arteko zenbait paralelismo soilik kontserbatzen dira. Irrelebanteak dira Keplerren legea eta planetak, ez baitute mekanika kuantikorako esanahi fisikodun ekarpenik egiten. Analogia probokatzaile gisa, orbiten arteko jauziarena edo eraikuntzarena bezalako kontaketa eskemak aktibatzen dira maila honetan, hau da, eredu esplikatiboa aberasten duten eskema berriak.

Beraz, prozesu abduktiboan sorkuntzak (prozesu sortzaile elikatzen duen alderdia) eta ebaluazioak (prozesua mugatzen eta kontrolatzen duen alderdia) denbora eskala oso txikietan ez baldin bada batera elkarrekiten dute. Lakatosen xehatzea balekoa da baina ez du kontuan hartzen korrespondentzia printzipioaren zentraltasuna, batez ere fase ebaluatzailean, zein ezin den analogia planetariotik apartatu abdukzioaren muinean egiten baitu bere ekarria.

3. Gogo eskema baten aurrerapena?

Guzti honen barruan aurrera egin baino lehen, garrantzia izango duen Bohrren eraikuntza printzipioaren muinean legokeen eta jada ahulki aipatu den kontaketa eskemaren ondorio zuzena seinalatu behar da: elektroien banan-banako gehikuntzaz1 banan-bana egoera kuantikoak okupatzen ari gara, eta ebidentea da balizko okupatzaileak okupazio-guneak baino gehiago baldin badira esklusioaren ideia zuzenki iradokitzen dela ohartzeko: esklusio eskema deitu ahal zaio honi. Mac Lanen matematikaren ikuspegi kategorialak oinarrietan dituen gorpuztutako matematikaren ezaugarriak lituzke honek ere, pertzepzio, ekintza eta jarduera eskemak bertan leudekeen heinean:

- Eratortzen diren adierazpide kultural anitzak: Alde batetik teorian bertan azaleratzen diren terminoak daude. Atomoaren egituraz ari garenean ohiko komunikazioan (batez ere irakaskuntzan) agertzen diren esaldiak eta terminologia produzitzen du: gelaxkaren irudia, “gelaxkak beteta daude”, “gelaxka bakoitzean soilik bi elektroi sartzen dira”... Gorputzaren pertzepzio eskemaren funtzio deskribatzailean geratzen dira hauek, esplikatiboan baino. Bestalde, giza jardueran eta kulturan azaleratzen diren adierazpideak daude. Oro har, esklusioak jarduera eskema gisa kulturan badu funtsa. Jolas, joko, errefrau eta erritu anitz daude komunitateko kide baten bazterketa dakartenak eta jarduera sozial hainbatekin lotua dago: aulki-jokoa; dantza eta erritualen koreografietan bateratzaile/baztertzaile dikotomia; apurka jendea baztertzen duen edozein joko, etab.

- Matematikan izan ohi duten estatus axiomatikoa: matematikan estatus axiomatiko zalantzagabekoa du eta funts kontzeptuala duen eskema bailitzan aipatzen da esklusioaren ideia: “usategi printzipioa” deitzen zaio, non usoak baino etxola gutxiago dauden hegaztiok sartzeko. Esklusio eskemak sortutako analogia deskriptibo bat da halatan usategiarena.

Beraz, egon daiteke joera arrazoizkorik Esklusio Printzipioaren genesia gogo eskema honetan oinarritzeko, beti ere joera murriztaileegia hartu gabe. Aurrerantzean ikertu beharrekoa izango da

1 Begiratu Lakoff eta Nuñezen Zenbakiak Objektu Multzoak Dira, aritmetikaren oinarrizko metafora. Hemen bezala objektu multzoaren eskema eta objektu bat gehitzearen ekintza funtsezkoa litzateke esklusio ideian.

87

eskema hau benetan zenbateraino eta nola den kontzeptuala sormenaren barnean, eta sormenaren baitako analogiak nola eraikitzen dituen.

3.1. Zenbaki kuantiko erdi-osoen misterioa

Esklusioaren ideia arau gisa formulatu aurretik elektroi anitzeko sistema atomikoetan gauzak arrunt konplikatu ziren. Bi ikerketa ildo abiatu ziren orduan. Lehenbizi, X izpien doblete finaren1 azalpenarekiko analogiaz esplikatu nahi izan zen alkalinoen dobletea, arrakastarik gabe. Hortik aurrera, erdigune atomikoaren eredua (“atomic core model”)2 zen modu bakarra zenbaki kuantikoen konbinazioekin kale-edo-baleka aritzeko, balentzia elektroi askeei (oro har, zenbaki kuantiko nagusi altuena dutenak) estatus berezia emanda zenbaki kuantiko totala eraikiz. Erdigunea zen zentro inbariantea eta balentzia elektroiak zekarren egokitzapena (alkalinoen kasuan bakarra baitzen). Spina agertu arte hau zen multipleteen aldagai enigmatikoa matematikoki egituratzeko zentzuzko modu bakarra, hementxe baitzegoen manipulatu ahal zen aldagai “librea”, kanpoko elektroiena. Baina analogia planetario bortxatuan oinarritutako kale-edo-bale prozedura honetan eraikuntza printzipioa eta pisu estatistikoen inbariantza mugapen gaindiezinak izan ziren. Landék topatuko zituen kantitate erdi-osoak, gainera, zenbaki osoen matematika diskretuaren desitxuratze bat ekarriko zuen harrigarriki. Bohrren ikerketa ildoarentzat anomalia gogor bat zen hau. Enpiriak agertzen zituen beste anomalien artean bilatu eta hauek ikertzea baino ez zen geratzen.

Anomaliok ikerketak duen prozesu izaeratik ulertu nahi izango dira, teoriaren errore gisa duten baliotik. Analogiaren funtzionamendura jaitsita ere iturri-itu mappingaren disonantziek dakarten informazioa eredu egokia eraikitzeko ezinbestekoa da, are gehiago, disonantzia anomalo horietan dago ereduaren ahalmen esplikatiboak analogia igorle soila gainditzeko gakoa. Lan honetan anomaliak lehian ari diren ikerketa ildo guztietan agertzen dira, “bidegurutzeko esperimentu” poppertar erabakigarririk izan gabe. Lakatosen ikuspegi orokorra aintzat hartuz (1978b), zientzia ez da garatzen soilik aieru eta gezurtapenen bidez: zientzia heldua ez da bere hipotesi isolatuetan egiaztapenak edo gezurtapenak konkistatzen dituen entsegu eta errore prozedura bat. Lorpen handiak, “teoria handiak”, ez dira hipotesi isolatuak edota gertaeren aurkikuntzak, “ikerketa programak” baizik. Zientzia handiaren historia ikerketa programen historia bat da, eta ez entsegu eta erroreena, ezta “aieru sineskorrena” ere. Esperimentu isolatu bat ezin da ekintza erabakigarri bat izan. Ez da ukatzen zientzialariek, noizbehinka, esperimentu batzuk erabakigarritzat hartzen dituztela historikoki, titulu ohoragarri gisa, programa batean ezin izan zirelako egokiro esplikatu eta beste batean bai. Ez da ukatzen ere zenbait esperimentuk efektu psikologiko erabakigarri bat izan dezaketela bi programaren arteko lehian, eta baten kolapsoa eta bestearen garaipena ekar dezakeela. Anomalia batek erabat gogogabetu eta etsiarazi dezake ikerketa programa bat, baina hau ezin da inoiz objetiboki “erabakigarria”, bidegurutzekoa izan.

Halatan, faltsazionismoak esperimentu erabakigarri negatibo bat dakusan lekuan, Lakatosek horrelakorik ezin dela egon “aurresaten” du. Teoria eta esperimentuaren arteko balizko edozein 1 X izpien doblete fina n jakineko s, p, d …, elektroientzat eman zuen Sommerfeldek, estruktura finaren, Rydbergen konstantearen, eta pantaila konstanteen menpe (nukleoko karga 'estaltzen' zuen elektroi geruza). Abiadura handian doan elektroia aintzat hartuta, Taylorren garapenaren bigarren terminoak elektroiaren masa hazkundearen korrekzio erlatibista nagusia dakar, zein dobletearen kausa den X izpien espektroan. 2 Eredu hau, atomic core model (erdigune atomikoaren eredua) multipleteak esplikatzeko eredu espektroskopiko estandarra bilakatu zen Pauliren 1924ko ekarpena arte. Ereduaren arabera, edozein atomoren erdigune atomikoak (hau da, nukleoak eta gelaxka itxietan lotutako elektroiek osatutako barneko zatia, balentzia elektroiak kanpo utzita) momentu angeluar ez-nulua zeukan ℏ unitateetan, r, erdigunearen zenbaki kuantiko batez eta R , erdigunearen momentu angeluarraren bektoreaz adierazia. Balentzia elektroiaren momentu angeluar orbitala, k zenbaki kuantiko azimutalak adierazia, K bektoreak errepresentatzen zuen (notazio modernoan L litzatekeena). K+ R baturak ,J atomoaren momentu angeluar totalaren bektorea emango zuen. Horrela, Landék momentu angeluar totala

Sommerfelden aurretik proposatutako j barne zenbaki kuantikoaren identifikatu zuen, esanahi fisiko bat atxikiz. Bazirudien multipleteak energia azpi-maila desberdinetatik azaleratzen zirela K bektoreak R rekiko zituen orientazio diferenteengatik, eta, espazio kuantizazioak eskatu bezala, orientazio diskretu gutxi batzuk soilik zirela posible, multipleteen osagaiekin loturikoak hain zuzen ere.

88

gatazkaren ondotik topatuko dugu, gertaera historiko legez, bi ikerketa programaren arteko higadura gerra konplexu bat, zeinean zehar (ibid., 10. kap.), emandako edozein momentutan, bi gudarosteen arteko indar erlatiboak zeintzuk ziren ezar daitekeen. Ikuspegi epistemologikoa aldatzen da horrela, zientzian esperientziatik ez dugu 'teorien' egia (edo probabilitatea) ikasten, ez gezurtapena (edo ez-probabilitatea), baizik eta ikerketa programa zientifikoekiko erlatiboa den aitzinamendu edo endakapen enpirikoa. Hor kokatzen da anomalien eta esperimentu garrantzitsuen posizio metodologikoa aurrerantzean. Heuristika sortzaileari dagokionez, Lakatosen 'guda metafora' hau nabarituko da Zeeman efektu anomaloari eraso egiteko eran eta zenbaki kuantiko erdi-osoen agerpen erogarrian.

Izan ere, anomalia garrantzitsu hau behatu zuten: sodio sugar bat elektroiman baten poloen artean kokatzen zenean lehenengo doblete nagusiaren bi lerroak nabarmen zabaltzen ziren (Zeeman, 1896). Urte bat beranduago Lorentzek esplikazio klasiko bat eman zuen fenomeno honentzat (Lorentz, 1897). H kanpo-eremu magnetikoak aldaketa bat eragiten zuen elektroien higiduran. H bektorearen norabidearekiko plano orbital perpendikularra zuten elektroiak azkartu (erlojuen

noranzkoan higituz gero) edota moteldu egiten ziren (erlojuen kontrako noranzkoan higituz gero) euren ohiko 0 maiztasun orbitalarekiko eremuaren indarraren, argiaren abiaduraren eta elektroiaren karga/masa arrazoiaren araberakoa zen balio gehigarri/kengarri batekin (hau da,

mceH 4/ ). Laster ohartu ziren L hori Larmorren maiztasuna baino ez zela, hots, momentu angeluarrak kanpo eremuaren inguruan jiraka aurkezten zuen prezesio maiztasuna. Hala pizten da, asoziazioz, prezesioa iturritzat duen analogia berri bat programaren heuristikan.

Elektroien higidurak eremuaren norabidearekiko paraleloki begiratzen baziren, igorritako argia eskuinerantz –edo ezkerrerantz- zirkularki polarizatzen zela uste zen, eta ondorioz, doblete bat behatzen zela Ld maiztasunarekin. Bestalde, eremuarekiko perpendikularki begiratuta, hiru osagai dakuskigu: desplazatu gabeko lerro zentral bat, eta honen bi aldeetarantz zabaltzen diren bi lerro, Lt 00 , maiztasunekin hurrenez hurren. Triplete hau Lorentzen triplete normala deitu zuten eta Zeeman efektu normala legez ezagutzen denaren patroi espektrala ere bada.

Tripete hauen bila aritu zirenen artean Preston izan zen lehenengo aldiz eremuarekiko perpendikularki begiratuta zinkaren espektroaren zabalketagatik tripletea ondo neurtu zuena, baina ez hori bakarrik, beste elementu batzuk lau eta sei osagaietaraino zabaltzen zirela ere ikusi zuen.

Irudia 3.1a, Massimi (2005, 48 or.): Zinkaren triplete normala esplikagarria zen baina sodioaren dobletea, eta are gehiago, hauen barneko anizkortasun finagoa ulertezinak ziren. Egungo notaziotik begiratuta ikusten da ondo aferaren konplexutasuna: sodioaren D lerroak (l=2) doblete erara ikusten dira baina eremu ahul baten pean egitura fina azaleratzen da. Izan ere, sodioaren elektroi solteak spin totaltzat ½ ezartzen du eta ondorioz zenbaki kuantiko

89

totalak bi aukera ditu: j=3/2 ala j=5/2. Egungo notazio honek segituan esplikatzen ditu kuadruplete eta sextuplete finak dobleteko lerro bakoitzarentzat (lerro kopurua honela emana baitago: 2j+1).

Hau azaltzeko Landék (1921a) datuetara egokitzeko balio erdi-osoak esleitu behar izan zizkion zenbaki kuantiko magnetikoari (eta beraz, baita j barne zenbaki kuantikoari ere):

)2/1(,...,2/5,2/3,2/1 jm , eta horrela dobleteak eratorri ahal izan zituen. Baina j eta m zenbakientzako balio erdi-osoek Bohr-Sommerfeld teoria bortxatzen zuten, honek zenbaki kuantikoentzako balio osoak soilik permititzen baitzituen, eta baita Bohrren eraikuntza printzipioa ere, unitate erdi-oso baten kenketa debekatzen baitzen eraikuntza prozesuan. Pisu estatistikoen enigmak ostertzean zetzan. Are gehiago, doblete alkalinoentzako zenbaki kuantiko erdi-osoak zenbaki kuantiko osoak soilik behar zituzten X-izpien doblete erlatibistekin kontraesanean zeuden: Landéren proposamenak dobletearen enigma emendatu zuen, antza. Proposamen numeriko eta ebaluatzaile soil bat zen Landérena, lehenbizikoz zenbaki erdi-osoak sartzearen meritua aitortu behar zaion arren.

Landék Zeeman egoeraren W energia ere kalkulatu zuen, hots, kanpo eremu magnetikoaren eta atomoaren momentu magnetikoaren arteko elkarrekintza deskribatzen duen hamiltondarra,

0 0/ 4 LW W m g h e H m c W m g h ,

non W0 atomoaren hamiltondarra dugun kanpo eremurik ezean, m zenbaki kuantiko magnetikoa, L Larmorren maiztasuna, eta g Landéren faktorea legez ezaguna dena. Faktore hau oinarri enpiriko baten pean sartua izan zen termino espektral bakoitzarentzat. Zenbaki kuantiko magnetikoa bider g faktorea egitean doblete anomaloentzako zatibanaketa faktore zuzenak erdiestea zen gauza. Landék singlete eta tripleteentzat orokortu nahi izan zuen emaitza hau. Baina nola justifikatu g faktoreak eta bere balio zatikiarrak? Nola azaldu eremu magnetikoen presentzian behaturiko 2(2k-1) egoerak1? Landéren analisi fenomenologikoak kuestiook erantzun barik laga zituen.

Bi urte beranduago problemara itzuli zen Landé (1923a). Erdigune atomikoaren eredua erabiliz, formula enpiriko bat topatu zuen g faktorearentzat, zeina j, r eta k zenbaki kuantikoen menpeko ateratzen zen:

2 2

2

312 24

k rg

j

k=l+½, r=s+½, eta j=j’+½ aldatuz, Landéren formula g faktorearentzako formula jeneralari dagokio, notazio modernoan honela geratzen denari:

)1'('2

)1()1(

2

3

jj

ssllg ,

non s spin zenbaki kuantikoak r zenbaki kuantiko erradiala ordezkatu duen eta 1' jjj den. Arau enpiriko huts honentzat justifikazio baten bila, Landék hipotesitzat hartu zuen ezen (erdigune 1 Adibidez sodioaren dobletean 4+6=10 egoera behatu ziren; matematikoki, k=3 izanik (D lerroagatik) 2(2x3-1)=10 ezartzen du.

90

atomikoaren ereduaren argitan), mg banaketa faktorea elektroiaren momentu angeluarraren eta erdigune atomikoaren momentua angeluarraren eremu magnetikoaren bektorearen gaineko proiekzioen baturari zegokiola ( K

eta R

H

-ren gain alegia). Biek, bai K

-k bai R

-k, Larmor gisako prezesioa zuten momentu angeluar erresultantearen inguruan, J

-ren inguruan, honek beste

Larmor prezesio bat zuen bitartean H

-ren inguruan Lgw abiadura angeluarraz. Akoplamendu hipotesi honekin erdigunearen eredua findu nahi zuen Landék, prezesioaren aingura analogikoa ikonikoki ezarriz azken ereduan. Analogia-Eredu-Itu hirukotea ongi nabarmentzen da Landéren ahalegin sortzailean, iturri-itu mapping zuzena izan beharrean eredua bitartekaritzat sartuta:

Halere, anomalia nahasgarri bat zegoen g faktorearen ustekabeko 2 balioaren karira. Beste era batera esanda, mg banaketa faktorea

HRRHKKmg

,cos2,cos

zen egiaz. Baina prezesio analogiaren senaren eta Larmorren teoremaren arabera bigarren batugaiko 2 hori sobran zegoen. Honek zera iradokitzen zuen, R

-k K

baino bi aldiz prezesio arinagoa zuela

H

-ren inguruan, hots, R

-ren prezesio abiadura angeluarra Larmorrenaren bikoitza zela. Prezesio azkarrago hau erdigunearen momentu magnetikoaren eta erdigunearen momentu angeluarraren arteko arrazoi magneto-mekaniko anomalo berri bati egotzi zitzaion, elektroiarenaren bikoitza zela suposatu zen arrazoi magneto-mekaniko bati, alegia:

mcepp kkrr 2/2/2/

Bi alternatiba zeuden esperimentalki detektaturiko erdigune atomikoaren anomalia magnetiko hau azaltzeko: Larmorren teorema eraldatu behar zen, edota erdigunearen errotazio handiagoa postulatu behar zen bere prezesio abiadura angeluar azkarragoa esplikatzeko. Bi alternatibak oker zeuden

91

EREDUAErdigune Atomikoaren Ereduan

K-R akoplamendua(Larmor prezesioa)

AINGURA ANALOGIKOAPrezesioaren irudia

ITUAEgitura eta espektrometria

atomikoa

Erlazio

ikon

ikoa

Esplikatzen du

baina, prezesio analogiak aktibaturiko eskemak soilik zirelako eta arazoa ulertzeko kontzeptu berriak falta zirelako; anomalia honen azken buruko ulerpena Paulik erdigune atomikoaren eredua errefusatzean eta ondoren elektroi spina sartzean soilik etorri zen, azken honen arrazoi magneto-mekanikoa orbitaren arrazoi magneto-mekanikoaren bikoitza baita, hain zuzen ere. Ez hori bakarrik, 1928ko elektroiarentzako Diracen ekuazioarekin izan zen soilik posible spinaren momentu magnetikoa eratortzea, eta g faktorearen 2 balio anomaloa esplikatzea. Hauxe izan zen teoria kuantiko berriaren aurrerapen garrantzitsuenetarikoa. Baina spin aurreko teoria kuantiko zaharraren aro honetan, erdigune atomikoaren eredua zen behaturiko anomalien errua bizkarreratuko zuena. Bitartean akoplamenduak eta kontaketa eskemak eskaintzen zuen joko heuristikoa ahal bezain beste aprobetxatzen saiatu ziren.

Joko horren baitan, Zeeman efektu anomaloari buruzko Landéren analisiak galdera inportante batzuk erantzuteke utzi bazituen ere, aipatu beharrekoa da eremu magnetikoaren eraginpeko hamiltondarraren eraikuntza berari zor zaiola, mekanika analitikotik fenomenoarentzako oinarri formal sakon bat ezarrita. Hemen agertuko da mekanika analitikoa prezesioaren analogia formala medio aplikazio indar handiko teoria moduan, gero ere mekanika kuantikoaren deskripzio matematiko aitzindarien funtsa izango dena. Sistema klasikoetan hamiltondarra erabiltzeko modua (1/r2 erako indar zentraletan, orbita zirkularretan, prezesioan...), teknika matematiko abstraktu eta landu bati lotua, gailu mekaniko bat bailitzan hertsiki aplikaraztean lortu zen maneiagarritasuna eta ahalmen operatiboa da aipatzekoa hemen. Printzipio mekaniko formal berdinetatik eratorritako kasu bat gehiago izan behar zen mekanika kuantikoa ere, oinarri teoriko sendoen gain. Gisa honetan, mekanika klasikoaren barneko goi-ordenako erlazioak hertsiki transferitzen ziren mekanika kuantikora korrespondentzia printzipioaren bertsio gogorrenaz. Goi-ordenako analogia honek, erabat formalki, funtzio igorle hutsa zuen. Honela bada, artean teoria kuantikoak izaera mekaniko klasikoari zerraion, ondorioz eraikitzen ziren analogia formalekin, eta ez geroago batez ere Paulik aldarrikatuko zuen ikuspegi kuantiko subiranoari.

3.2.“Mugapen ez-mekanikoa”?

1923an Annalen der Physik aldizkari ospetsurako Bohrrek espektroskopiari buruzko azterketa bat burutu zuen. Baldintzapeko sistema periodikoen teoria kuantikoarekin eta korrespondentzia printzipioarekin hasiz, Bohrrek marko teoriko hau aurkikuntza espektroskopikoekin nola uztartzen zen azaldu zuen. Elektroi bakarreko atomoaren espektroaren tratamendua erraza zen, baina elektroi anitzeko atomoen tratamendua hagitz zailtzen zen. Orduan eta zailtasun serioagoak azaleratzen ziren eremu magnetiko ahul nahiz indartsupean. Bohrren ustez (1977, 630 or.), Landéren zenbaki erdi-osoen proposamenak sistema periodikoen eta elektroi anitzeko atomo baten egoera egonkorren arteko analogia zalantzan jartzen zuen. Ohartarazpen honekin bere metodologia zedarritzen zuen analogiaren erroreak ebaluatzean eta mappingaren zurruntasuna malgutzean kokarazten zuen hurrengo gogo jarduna.

Une hartan, malgutze honen baitan, Landéren aurkikuntzek adoregabetu barik, Bohrrek ebidentziari erosotasuna eskaini ziezaiokeen hipotesi arras espekulatibo bat jarri zuen abian. Erdigune atomikoaren eredua jarraituz, Bohrrek onartu egin zuen ezen anizkortasun espektrala barne orbiten eta balentzia elektroiaren kanpo orbitaren akoplamendutik azaleratzen zela. Honek higidura elektronikoaren funtsezko osagai harmonikoari ez zegokion, hots, osagai harmoniko ttipiagoei zegozkien trantsizio erradiatiboei ematen zien bide: korrespondentzia printzipioak espektro konplexuaren ulermenerako marko orokor bat eskaintzen zuen oraindik. Are gehiago, zenbaki atomikoa hazi ahala “elektroi batzuen itxitasun” bat zegoela ohartu zen, nk elektroi multzo batek elektroi bat gehiago onartzearen kontrako joera bat (Ibid., 642 or.). Hemen sotilki deskribatzen dena elektroi taldeek zenbaki kuantiko bereko elektroi gehigarriak onartzeko aurkezten duten “disinclination” delakoa da, aurkako joera alegia, laster Pauliren Esklusio Printzipioaren karietara “prohibition” edo debeku bilakatuko dena. Haatik, Bohrrek kontrako joera hau gas nobleen elektroi orbiten itxitasunetik aurreikusi zituen simetria beharrizanen ildoan aztertu zuen,

92

simetria eskakizunok jada itxitako orbita elektronikoen berrirekitze problematiko bat bazekarten ere.

Akoplamenduak, barne eta kanpo elektroien arteko elkartrukeak, esplika zitzakeen bai doblete alkalinoak, bai Zeeman efektu anomaloa ere. Alkalinoen kasuan, Bohrrek dobleteen p-terminoen (k=2) j balioak finkatu zituen k+d eta k+d-1 bezala, singleteen s-terminoentzat (k=1) j=1+d izanik. Bestalde, Zeeman efektu anomaloaren kasuan, Bohrren azalpena are manipulatuagoa zen. Landéren analisiak errebelatu zuen legez, eremu magnetiko ahul baten baitan lekuturiko atomo batek 2(2k-1) egoera har zitzakeen, eta eremu magnetikoaren baitan zenbaki hau ez zen elektroien egoeren kopurua bider erdigunearen egoeren kopurua, akoplamenduaren konbinazioengatik beharko lukeenez. Izan ere, Bohrren ikuspegian, erdigune atomikoak egoera bakar bat har zezakeen, eremuaren norabidearekiko perpendikularra, gas nobleekiko analogiaz. Bestalde, balentzia elektroiak 2k posizio soilik har zitzakeen eremuaren baitan, beraz zegozkion erdigunearen eta elektroien posizioen biderkadurak 2k ematen zuen, Landék esperimentalki topaturiko 2(2k-1) zenbakiaren erdia inguru. Desadostasun honi egokiera emateko, hurrengoa iradoki zuen Bohrrek (ibid., 646 or.):

Zera ikustarazten digu honek, mekanikoki deskribatu ezin diren atomoaren egonkortasun propietateengatik, erdigune atomikoaren eta serie elektroien arteko akoplamendua kanpo eremu baten efektuaren analogoa ez den baina erdigune atomikoari atomoaren baitan bi posizio ezberdin harrarazten dizkion mugapen (zwang) bati lotua dagoela, kanpo eremu konstante batean orientazio posible bakarra egonagatik; halaber, mugapen beraren karira, kanpo elektroiak, kanpo eremuan 2k orientazio izan ditzakeen arren, akoplamendu atomikoan 2k-1 orientazio izan ditzake soilik.1

Analogia klasikoak gainditu eta teoria kuantikoa izaera propioa hartzen hasten da hemen, mugapen lauso gisa, fase ebaluatzailearen baitan egokitze aritmetikoez, kontaketa eskema berri bat aktibatuta, prozesu sortzailea kontrolatuz. Prozesu manipulatibo deituko dudanaren lehen adibideetako bat da hau. Hala leitzen dugu “a non-mechanical constraint” (unmechanischer zwang), “mugapen ez-mekanikoa” deitu dena, ezein kanpo eremuren akzioaren antzik ez duena elektroi-erdigune akoplamenduaren baitan Zeeman efektu anomaloan egoeren kopuru totala zuzen ipintzerakoan: Zwang delakoak elektroiaren 2k posizioetatik bat erauziko luke (horrela 2k-1 geratuz), eta emaitza gisa bi posizio posible bereganatuko lituzkeen erdiguneari batuko lioke berau, bakar bat bereganatu beharrean. Kontaketa eskeman edo joko aritmetikoetan oinarritutako manipulaziook medio, Zeeman egoera anomaloen kopuru totala 2(2k-1) bihurtuko zen. Mugapen ez-mekanikoa ad hoc hartu zuten hipotesi lagungarri gisa erdigune atomikoaren ereduaren baliagarritasuna mantentzeko, eta berau ebidentziarekin adiskidetzeko. Baina bere izaera fisikoa ilun mantentzen zen, ezagunak ziren teoria eta fenomenoetan oinarritutako analogiak kamuts baitziren, artean tertium comparationis konkreturik gabeko metafora xehatu gabeak: eremu magnetiko edo elektriko baten efektuaren analogoa ez zenez, zein motako mugapen fisikoa zen berau? Galderok erantzun barik, teoria eta ebidentzia adiskidetzearekin asebete zen Bohr.

Hala eta guztiz ere, Bohrrek ondo asko zekien erdigune atomikoaren eredua zuzentzeko modu hau sistema periodikoentzako kuantizazio arauekin kontrajarria zegoela. Kontraesan honen abisu klaru bat ziren Landék sarturiko m zenbaki kuantiko magnetikoaren eta j barne zenbaki kuantikoren balio erdi-osoak. Atomoaren j momentu angeluar totala emanda, bere balio erdi-osoak k eta d=½ balio berri baten baturagatik direla esaten jarrita, arestiko terminologia sasi-klasikoan esaten ari ginenaren parekoa esaten ari gara, atomoaren momentu angeluar totala, balentzia elektroiak soilik ekarpena egiten diona, bi zatiz egina dagoela, alegia: elektroiaren momentu

1 We are led to the view that, because of stability properties of the atom which cannot be described mechanically, the coupling of the series electron to the atomic core is subject to a constraint (Zwang) which is not analogous to the effect of an external field, but which forces the atomic core to assume two different positions in the atom, instead of the single orientation possible in a constant external field, while at the same time, as a result of the same constraint, the outer electron, instead of 2k possible orientations in an external field, can only assume 2k-1 orientations in the atomic assemblage.

93

angeluar orbitala (k deiturikoa) eta egungo elektroiaren spin momentu angeluarra (s=±½), j=k±s izanda, eta beraz doblete terminoak j=k+½ eta j=k-½. Bohrren d kantitateak elektroiaren s spinaren zeregin baliokidea betetzen zuen momentu angeluar totalaren balio erdi-osoak ekarriz, eta ondorioz, doblete terminoak sortuz. Halere, d zenbakiak ez zuen aurreratu elektroiaren spina, ez baitzuen adierazten elektroiaren berezko propietate bat. Gehiago zen indukzioz finkaturiko kantitate bat ebidentzia esperimentala asetzeko egokiro aukeratua, baina Zwang delakoa bezain esanahi fisiko lausoaz.

3.3. Ukapena porrot gisa

Adiera fisikoa, eta ondorioz ahal esplikatiboa, galdu zen Zwang delakoarekin. Bere ikerketa ildoaren ahal ebaluatzailearen birdefinitze bat egin nahi du Bohrrek fase honetan, edo hobeki esanda, ebaluazioa printzipio jatorrizkoagoetara mugatu nahi du, sistema periodiko klasikoekiko analogia formala, orain arte nuklearki present egon den konbentzioa, zalantzan jartzeraino. Izan ere, printzipio konbentzional batentzat ez dago hauek kontraesan ditzakeen esperimenturik, esperimentuek soilik iradoki egiten baitituzte printzipiook. Fisikaren printzipio konbentzionalek esperientziaren hedadura zabal bat bermatzen dutelako fisika esperimentalak agertzen dituen forma anitzei esker. Nola ukatzen dira orduan konbentziook edo ordura arteko ikerketa ildoaren zutabe nagusiok? Gure kasuan ukapena porrot gisa gauzatzen ari da konbentzio klasikoarentzat, jada ezin zuelako ezer berririk esplikatu.

Ikuspegi honek konbentzioak ad hoc edo egokieran sartutako hipotesiekin lotzeko Popperren joera nominalista murritzegia dela erakusten du, 'ad hoc'-tasuna printzipio konbentzionala epistemologikoki agortua denean soilik erdiesten delako. Hortaz, kasu honetan, ikuspegi klasikoaren eta Bohrren ereduaren agortzearen hasiera ekarriko du “mugapen ez-mekanikoaren” ideiak. Mekanikoa ez dela esatean, berez ari delako mekanika klasikoaren porrota iragartzen, faltsazionistek eskatzen duten bidegurutzeko gezurtapen handiosik gabe. Halatan, abdukzioan txertatzen da ikuspegi hau, une batera arte ohikoak izan diren analogia eta printzipio batzuk aintzat hartuta esplikazio egoki baten bila buruturiko arrazoibideak egin du porrot eta.

94

HipotesiakFisikako Printzipioak

Konbentzioak

Ebidentzia Itxarotako ebidentzia

AbdukzioaPrintzipioarekin erlazionaturiko

Ebidentzia esperimentalahedatuz

UkapenaPorrot gisa

Dedukzioa

Analogiaren izaera ez-enpirikoa eta zientifikotasun zalantzatia azaletik aipatzen dutenentzat erantzun irmo bat dago hemen. Zientzialariek darabilten analogia bat, noski, ezin da enpirikoki ebaluatu edo esperimentu erabakigarri batez faltsutu, eredu abduktiboaren baitan bere ekarpen esplikatiboa agortzen den heinean apurka baztertua baita, eta ez kolpe batez.

Alderdi sortzaileari dagokionez, ideia eta eskema garrantzitsu baten (esklusio ideia) lehenengo ernamuinak nola agertzen diren ere argi geratzen da Bohrrengan: gelaxka osoetako elektroi taldeek ‘itxitasun’ bat agertzen dute, beste elektroi bat onartzearen ‘kontrako joera’, alegia. “Mugapen ez-mekaniko” bat zegoen, agidanez eta misterioski, honen atzean. Eta baita, gure ikuspegian, akoplamendu eta elkartruke analogia batez esplikatu nahi zen ideia lauso bat ere, non kalkulu aritmetikoez kontaketa eskema baten baitako esklusio ideia probokatzen zen. Zeharka, gelaxkak eta orbita atomikoak banan-bana betetzen zituen eraikuntza eskemak ere berariaz zeukan esklusio ideia bere barne.

Gainera, harrigarriro, j eta m zenbakientzako balio erdi-osoek ez zuten eraisten eraikuntza printzipioaren baliagarritasuna, zeinaren irismena nk orbiten baitako elektroi indibidualen zenbaki kuantikoetara mugatua baitzen. Horrela bada, j eta m zenbakientzako balio erdi-osoak permitituz, k zenbakiarentzat balio erdi-osoak nekez euts zitekeen sistema periodikoen teoria kuantikoarekiko desbideratzetzat jo behar zirela aldarrikatu zuen Bohrrek. Honen ondorioek espektroari buruzko esperientzia kontraesaten zutela zirudien. Kolpe honen helburua, pasarte batean esplizituki aipaturikoa (Ibid, 647 orrialdeko oin-oharra), Heisenbergek 1921an garaturiko erdigune atomikoaren ereduaren bertsio ausart bat zen, eraikuntza printzipioaren bortxatzaile ziren k erdi-osoak segurutzat jotzen zituena.

Heisenbergen teoria kuantikoa aurkeztu berri zen Bohr-Kramers-Slater (BKS) programaren ildokoa zen1. Programaren sortzaileek eurek ere metafora birtualtzat soilik zuten harreman hau, “tresna logiko soil bat, fikzio teoriko bat, teoria kuantikora murriztu ezinezko marko kontzeptual baten baitan eraikia izan arren, hala eta guztiz ere atomoaren errealitatearen zenbait alderdi aztertzen lagun diezagukeena” (Petruccioli 1988, ingeleserako itzulpena 1993, 120 or.). Antzekoa gertatzen zen Heisenbergen hamiltondar kuantiko eta klasikoaren arteko harremanaz ere, Zeeman efektua aztertzeko fikzio teoriko bat baino ez baitzen. Fikziook ziren Paulik agoantatu ezin zituenak. Zeeman efektuaren fisikari baino haren matematikari espekulatiboki eginiko ekarpen bat zen soilik Heisenbergena. Analogia ilunok zorroztu eta argitu egin behar ziren hipotesi arranditsu eta itxuratiak baztertuta.

Sormena dibergitu egin zen, metafora birtualen eta simulazioen kopurua emendatu egin zen etapa honetan. Pauli ez zen artikuluak barra-barra idaztekoa, ez nola-hala emaitzekin bat egingo zuten aparatu matematikoak eta arau fenomenologikoak presentatzearen aldekoa ere. Prozesu kreatiboan zehar esanahi fisikoa mantentzeari ezinbesteko garrantzia ematen zion. “Momentu angeluarra ez da egiazkoa” zioenean eta berariazko aldebikotasuna aldarrikatu zuenean, muinean,

1 Bohr eta Kramersek apur bat lehenago Slaterrek erradiazioari eta atomoei buruz ateratako ideia bat birlandu zuten: osziladore birtualek eratutako “erradiazio eremu birtual” baten ideia, non auzitan jarri izan zen energiaren kontserbazioa mantentzen zen. Slaterren ustez, suposa zitekeen ezen, atomo bat besteekin komunika zitekeela hau egoera egonkorrean dagoen bitartean, erradiazio birtuala eratzen zuen eremu batez, zeinaren zerizana trantsizio kuantiko posible ororen maiztasunak dauzkaten osziladoreek eratzen duten eta zeinaren funtzioa energiaren kontserbazio estatistikoa egiaztaraztea den, trantsizio kuantikoen probabilitateak determinatuz. Atomoaren inguruan sortzen den eremu zatiak atomoak espontaneoki energia galtzeko probabilitatea induzitzen du, kanpo iturrien erradiazioak probabilitate gehigarrien induzitzaile kontsideratzen diren bitartean, Einsteinek zioen lez. Finean, kuantu diskretuak gidatuko zituen eremu bat ezartzea zen gauza, elektrodinamika eta argi-kuantuak nolabait batzeko xedez. Horrela, trantsizio atomikoen dinamika esplikatu nahi zen, Einsteinek 1916an adiera fisikorik gabe formulatu zituen igorpen eta xurgapen probabilitateena. Slaterrek, horrela, simulatzaile handi bat eraiki nahi zuen, erradiazio eta osziladore birtualen mundu batean.

95

esanahi fisiko bat gorpuztuko zuen aingura kontzeptual baten bila zebilen Pauli, iraultzailea suertatuko zen jauzi teoriko baterantz. Hala ere, aldebikotasunetik esklusio araura doan taxonomia lexikoen serie kateatuak (Massimi 2005, 99-101 or.) ondo marrazten du trantsizio iraultzailearen jarraitasuna. Bide mailakatu horretan Paulik fikziotzat jo zituen Heisenbergen bi ereduak, Landéren ahaleginak, nahiz BKS teoria ausarta. Teoria kuantikoaren ahal sortzailean bihurgune bat behar zen, aitzinamendu teorikoa erasokorrago bihurtuko zuen hipotesi laguntzaile bat, analogia ez-formal bat izan zitekeena, eta ez bortxaz ezarritako hipotesi gain-formalizatu bat.

Beraz, berariazko 'aldebikotasunak' teoriaren hurrengo garapenerako grabitate-zentroa ezartzen du, hastapeneko analogia lauso gisa, Heisenbergentzat 'adarkadura' kontzeptua lehenagokoa eta lausoagoa izan zen gisan. Gogo eskemen oinarrizko maila kognitibotik begiratuta, irudikagarritasunari dagokionean, argi dago 'adarkadura' edo bifurkazio ideiak 'aldebikotasuna' iradokitzen duela.

Mekanika kuantikoaren eboluzioa, horrela bada, fisikaren bisualizazio ahalmen galdua berreskuratzeko ahalegin gisa ere azter daiteke, Millerrek (1986) egin duen legez. Irudikagarritasunaren eta gogo eskemen garrantzia kognitiboa emendatu nahiko da zentzu honetan, eskemak martxan ipini eta simulatzaile bihurtu nahiko dira lehenbizi, eta azkenean simulatzaileok teorikoki formalizatu. Baina irudiak, ikusiko dugunez, deskriptiboak izan daitezkeen arren, nekez izango dira esplikatiboak eta heuristikoki emankorrak, hotz-hotzean xehatu gabeko hasiera batean behintzat.

Pauli izango da “irudikerion” aurkaririk zorrotzena. Newtonen indukzio demostratibotik gertu dabil zentzu honetan, “hipotesiekin itxurarik egin gabe” eta aieru itxuratiak salatuz. Ilustrazioan entziklopedistek zioten gisan, metodoaren izpirituaz edozein hipotesi arbitrariotik irmoki aldendua egongo zen Pauli, hots, gure ikuspegi abduktiboan marko teorikoaren, eta datu eta erregulartasun fenomenologikoen zaindaria litzateke. Honela bada, fenomenoetatik deduzitzea indukzio demostratibo berez kontraesankor batez baino, 'erretroduzitzea' gisa ulertu behar da, Hansonen eta Peirceren zentzu abduktiboan.

3.4. Aldebikotasunetik esklusio arauraino

Ideia fisiko berririk ez izatea eta erabat formala izatea egotzi arren, hein batean aintzat hartu zuen Paulik Heisenbergen ekarpena1. 1923-4 urteen artean, Pauliren xede nagusia Larmorren teoremaren eta balio erdi-osoen arazoa teoria kuantikoarekiko inkoherentea ez zen modu batean argitzea izan zen. Bide honi jarraiki, Paulik elektroiaren spinaren kontzeptua aurreratu zuen eta “esklusio araua” sartu zuen teorian.

Aurreko urteko negua Kopenhagenen pasa zuen Bohrrekin, zenbaki kuantiko erdi-osorik gabeko Zeeman efektu anomaloaren azalpen baten bila. Ez zuten ezer klarurik lortu, baina Bohrren zenbaki kuantiko osoen aldeko jarrera irmoak oihartzuna izango zuen Pauliren ondorengo lanean. 1923ko apirilean bere lehen ekarpen garrantzitsua egingo zuen, behatutako datuak hala-moduz teoriara egokitzearekin inongo zerikusirik ez zuen saiakera aitzindari batean. Paulik mg zatibanaketa faktoreak kalkulatu zituen eremu indartsuen baitan doblete, triplete, kuadruplete eta kintupleteentzat, non m zenbaki kuantiko magnetikoa honelaxe definitzen zuen:

μmm 1 ,

1m -ek 2k-1 balio osoa hartuz, 0, ±1, ± 2,…, ± (k-1) eta µ-k 2r balio hartzen zituelarik, ±½, …, ±(r-½), multiplete bikoitientzat, eta 0, ±1, …, ±(r-½) multiplete bakoitientzat. Zenbaki kuantikoontzat 1 Paulik Kramersi, 1923ko Abenduak 19. In Pauli (1979)

96

ez zegoen eredu baten baitako interpretaziorik, ez momentu magnetiko orbitalarenik, ez erdigunearenik. Momentu magnetiko totala zen berau, atomo osoarena. Erdigune atomikoaren eredu nagusia agerian aipatu barik, Paulik eremu magnetiko indartsuen baitako Zeeman energia honela eman zuen (non, Larmorren teorema era kezkagarrian bortxatzen zuen arren, esanguratsuki g=1 zen eta 2 zenbaki erabakigarria berriro agertzen zen):

11 22/ mmmmhvW L

Eremu indartsuen baitako multiplete termino oro ondo eratortzen zen. Halaber, eremu ahulen baitakoak ere lor zitezkeen eremu indartsutik ahuleranzko trantsizioan simetria baldintzek hor baitzirauten (Pauli 1923, 156 or.) (Landé, 1923d), hots, “g baturen inbariantza” betetzen zen.

Inbariantzaren kasu hau adibide goiztiar bat baino ez zen. Simetrien eta inbariantzaren metodoak ezaugarrituko zuen Pauliren arrazoibidea bere bizitza osoan zehar. Formulazio inbarianteetarako joera, Einsteinek hasitakoa eta Paulik bere estimuluaz eta kritikaz garatua, egungo fisika teorikoaren estilo bihurtu da. Pauli's Collected Scientific Papers bildumaren sarreran Kronigek eta Weisskkopfek (1964, vol. 1) hala diote:

Paulirentzat azken egiaren sinboloak ziren fisikaren inbarianteak, zeinak gauzen gertaera akzidentaletan zehar sakonduz atxiki behar diren. Pauliren lanean simetriaren eta balio orokorraren bilaketa fisikaren mugetatik haraindi doa; bere pentsamendua eta ahalegina markatu zuen bere bizitzaren fase orotan zehar, filosofiaren eta psikologiaren esparru orotan.1

Ikuspegi berezi honegatik eta bere kritika zorrotzengatik maiz “fisika teorikoaren kontzientzia bizia” deitzen zioten kideek. Izan ere, kontserbatu beharreko magnitude bat ezartzeak arrazonamendu analogikoaren parekoa den heuristika indartsu bat dakarrela argi zeukan Paulik. Halaz, garai hartan zentrala izan zen 'g baturen inbariantza' gakotzat ezartzea. Pauli asegaitza zen baina. Zenbaki kuantiko erdi-osoak artean azalpenik gabe zeudenez, ekarpen hau erabat formala zen eta adiera fisiko berririk gabekoa, Heisenbergena edo BKS teoriarena bezalaxe. Atomoaren momentu magnetikoaren bikoizte moduko bat zegoen (2m) kanpo eremu baten baitan, erdigune atomikoaren balizko anomalia bati egotzia (2µ). Une honetan azaleratzen da Paulirengan garaiko fisikarien sormen lanarekiko (eta berearekiko) zuen zorroztasuna, Bohrri idatzi zionez2. Alemanian bi fisikari mota zeuden bere ustez: zenbaki erdi-osoekin lan egiten zutenak batetik, eta zenbaki osoekin lan egiten zutenak bestetik. Hala ere, egokieraren arabera, behatu eta gero, aldatzen zuten euren aukera biek ere. Errazkeria hauetatik ihesi, Paulik Larmorren teoremaren hutsegitea non zetzan jakin nahi zuen, adiera fisikoaren aldetik, ez interpretazio formal huts batetik. “Erdigunearen momentu magnetikoa eta bere momentu angeluarraren arteko arrazoia balio klasikoaren bikoitza” zela esatea soilik ez zen nahikoa.

Larmorren teoremak non huts egiten zuen jakitea zen gakoa beraz. Hutsegite hau erdigune atomikoaren elektroien masaren korrekzio erlatibista baten hipotesipean zuzendu nahi izan zuen lehenbizi Paulik. Izan ere, abiadura erlatibistetan elektroiaren masak geldiuneko masarekiko lukeen desbideratzeak arrazoi magneto-mekanikoa desbideratuko luke 22 /1 cv korrekzio-faktoreaz. Zeeman energia eta Larmorren maiztasuna ere hein berean aldatuko lirateke, baina kalkuluek desbideratze hau zenbaki atomiko ttipientzat mespretxagarria litzatekeela erakusten zuten, Zeemanen zatibanaketan eragin barik. Z handientzat soilik igarriko litzateke faktore erlatibistaren

1 For Pauli, the invariants in physics where the symbols of ultimate truth which must be attained by penetrating through the accidental details of things. The search for symmetry and general validity transcends the limits of physics in Pauli's work; it penetrated his thinking and striving throughout all phases of his life, in all fields of philosophy and psychology.2 Paulik Bohrri, 1924ko Otsailaren 21ean. In Pauli (1979), 147-8 or.

97

eragina. Hala agindu zion Landéri laborategian pisu atomiko handidun alkalinoentzat zer gertatzen zen ikusteko, nahiz eta hasieratik ez zeukan esperantza handirik.

Azkenean, Landék talioarentzako (Z=90) emaitza negatiboa topatu zuen, Pauliri azken zalantzak baztertzeko balio izan ziona1. Talioan korrekzio erlatibistarik ez aurkitzeak momentu angeluar ez-nuluko balizko erdigune atomiko baten kontra hitz egiten zuen. Paulik aitzin-uste honen kontra beste egitate batzuk zerrendatu zituen Landéri idatzi zion eskutitzean. Adibidez, asimetria bat zegoen teorian, momentu angeluar ez-nuluko erdigunearen eta zenbaki kuantiko handiagoko momentu angeluar nuluko gelaxken artean. Hala atera zuen ondorio esanguratsu hau, ‘aldebikotasunaren’ analogiari bide zehatzagoa markatzen ziona2. Alkalinoetan “balentzia elektroiak bakarrik” eragiten zuen egitura espektroskopikoa. “Modu konplexu eta ez-mekaniko batez”, balentzia elektroia, erdigunearen laguntzarik gabe, nahikoa zen bi egoeratan zatibanatzeko.

Zein jatorritakoa zen balentzia elektroiak, momentu angeluar beraren baitan, bi egoera diferentetan banatzeko zuen joera ez-mekaniko hori? Astebete beranduago idatzi zuen artikuluan (Pauli 1924) elektroiaren Zweideutigkeit (‘aldebikotasuna’) deitu zion ezaugarri horri; bertan laburbiltzen zuen korrekzio erlatibistaren bilaketa arrakasta gabea eta ezaugarri misteriotsuaren izaera ez-klasikoa:

Ikuspegi honetatik, alkalinoen espektroaren doblete egitura eta Larmorren teoremaren hutsegitea klasikoki esplikatu ezin den balentzia elektroiaren propietate kuantikoen 'aldebikotasun' berezi batetik azaleratzen da.3

Pauliren aitzindaritzaz, spin momentu angeluarraren bikoiztasuna baino ez zen hau. Gizona ez zen 1924an spinaz mintzatu, baina bera izan zen erdigune atomikoaren eredu ohoretsua abandonatu zuen lehenengoa. Balentzia elektroia zen anomalia espektroskopikoen arduradun bakarra, ‘aldebikotasun ez-mekaniko' misteriotsua berak bakarrik zeukan.

Honela ia erabat agortzen da epistemologikoki Bohrren programa eta konbentzio klasikoekiko atxikipena. Bi eredu nagusiak baztertu zituen Paulik. Bohrren balizko erdigune-elektroi akoplamenduaren bikoiztasuna ez zen beharrezkoa, ezta Landé-Heisenbergen adarkadura-araua ere. Elektroiak berariaz zeukan soluziobidea zekarren ‘aldebikotasuna’.

Baina ez zen hau kontuan hartzeko moduko abantaila bakarra, elektroiaren berariazko propietate berri honekin orbita baliokideak modu naturalagoan sailka baitzitezkeen. Edmund Stonerrek hilabete batzuk lehenago munta handiko artikulu bat argitaratu zuen Philosophical Magazinean gelaxka atomikoen banaketa elektronikoaz. Zera ikusi zuen Stonerrek, kjn gelaxka itxi batean sar daitekeen N elektroi kopuru handienak, eremu magnetiko ahul baten pean gelaxka kuantiko berberak duen zatibanaketaren azpi-maila kopuruarekin bat egiten duela. Arau honen bidez, Stonerrek taula periodikoaren banaketa elektronikoa azaldu ahal izan zuen (2, 8, 18, 32, …): 2 helioa, 8 berilioa, 18 kaltzioa eta 32 neoia, hurrenez hurren4. Stonerren araua ez zen soilik Bohrren eraikuntza eskema aurkaria baino hobea, azpi-gelaxken sailkapen naturalagoa, elementuen taula periodikoari atxikiagoa, ematen zuen heinean, baizik eta Bohrren eskema argiro bortxatzen zuen karbono ionizatuaren espektroa arrakastaz esplikatzen zuen (Heilbron 1982). Handik urtetara

1 Paulik Landéri, 1924ko Azaroaren 14an. In Pauli (1979), 172 or.2 Paulik Landéri, 1924ko Azaroaren 24an. In Pauli (1979), 176-77 or. 3 From this viewpoint the doublet structure of the alkali spectra as well as the failure of Larmor’s theorem arise through a specific, classically non-describable sort of ‘twofoldness’ [Zweideutigkeit] of the quantum-theoretical properties of the valence electron.4 Egungo notazioan, m zenbakiak (2l+1) balio har ditzakeenez, l, l-1, l-2,..., -(l-1), -l izanik, N maila kopurua hurrengoa da: n=1, l=0, beraz, N=1

n=2, l=0, 1, beraz, N=1+3=4n=3, l=0, 1, 2, beraz, N=1+3+5=9

98

Nobel sarian Paulik eman zuen diskurtsoan bereziki aipatzen zuen bezala (Sanchez Ron 2005, 348 or.):

Garai honetan Stoner zientzialari ingelesaren artikulu bat agertu zen, elektroiak azpi-taldeetan banatzen zituen sailkapenean hobekuntzez gain, behaketa funtsezko hau zekarrena: zenbaki kuantiko nagusi baten balio jakin batentzat, elektroi baten energia mailen kopurua, kanpo eremu magnetiko baten eraginpean dagoen metal alkalino baten espektroarentzat, zenbaki kuantiko nagusi horri dagokion gas noblearen geruza betearen elektroi kopuruaren berdina da. Eremu magnetiko indartsupeko termino espektralenen sailkapenarentzat lortu nituen aitzin emaitzetan oinarrituta, Esklusio Printzipioaren formulazio orokorra klaru geratu zen niretzat. Funtsezko ideia horrela azal daiteke: azpitalde itxietako elektroi kopuru konplikatuak bat zenbaki sinple bihurtzen dira, baldin eta elektroi baten lau zenbaki kuantikoen balioak ematen dituzten taldeen banaketa burutzen bada endakapen oro desagerrarazi arte. Erabat ez-endakatua den energia maila bat “itxia” dago jada elektroi bakarraz okupatua baldin badago, postulatu honekin kontraesanean dauden egoerak eskluitu behar direlarik.1

Honela bada, endakapena erabat xehatze aldera, zenbaki kuantiko baten edo multzo baten baitan dagoen egoera kopurua bakarra izan zedin, Paulik Stonerren araua elektroiaren ‘aldebikotasunaren’ argitan berrinterpretatu zuen, erdigune atomikoa eta j barne zenbaki kuantikoa bazter utzita. Eremu magnetiko indartsu baten baitan, jakina zen termino espektralak zatibanatzen ziren azpi-maila kopurua 2(2k-1) zela, hots, 2n2. Baina 2n2 Rydbergen formula ere bazen, Mendeleeven taularen n periodoentzat, 2, 8, 18… baitzen periodo bakoitzeko elektroi kopurua. Beraz, harrigarriro, eremu magnetiko indartsu baten baitan elektroi batek har ditzakeen egoera kopuruak honek taula periodikoko n-garren periodoan har ditzakeenarekin bat egiten du. Hau Pauliren g baturen inbariantzak justifikatzen zuen: edozein indarreko eremuaren baitan m zenbaki kuantiko jakin batekin loturiko energia-egoeren baturak aldagaitz dirau. Preskripzio arautzat [Vorschrift] aurkeztu zuen Paulik Stonerren arauaren berrinterpretazioa. Eremu indartsupean elektroi oro

211 ,, mmkn

sinboloaz ezaugarritu ahal zen. Horrenbestez, n berdina zeukan elektroi bat baino gehiagori k1, m1, m2 hiru zenbaki kuantikoen balio berdinak egokitzea ezinezkotzat hartu behar zen2. Paulik elkar eskluitzen duten elektroien irudia, okupatuta dagoen egoera kuantikoarena, orduantxe eta honela formulatzen du (Pauli and Belifante 1940):

elektroi bat 211 ,, mmkn egoera jakin bati dagokionean, egoera hau okupatua dago 3.

Artean bide luzea zegoen, alta, preskripzio arau honetatik Esklusio Printzipioraino. Hasieratik, teoria kuantikoaren eboluzioaren baitan, Pauliren araua inkubatzen, garatzen eta forma propioa hartzen joan zen, lege natural gisa estatus gorena hartzeraino, naturako printzipio ezinbesteko bihurtzeraino. Fase historiko honetan, hobe da esklusioaren ideia honi arau deitzea, printzipio baino. Paulik berak ere Ausschlieβungsregel deitu zion (esklusio araua)4, Heisenbergek Pauliren Verbot der äquivalenten Bahnen (orbita baliokideen debekua)5 deitu zion bitartean.

1 En esa época apareció un artículo del científico inglés Stoner que contenía, además de mejoras en la clasificación de los electrones en subgrupos, la siguiente observación esencial: para un valor dado de un número cuántico principal, el número de niveles de energía de un electrón, en los espectros de los metales alcalinos en un campo magnético externo, es igual al número cuántico principal. Sobre la base de mis resultados preliminares acerca de la clasificación de los términos espectrales en un campo magnético intenso, la formulación general del principio de exclusión se hizo clara para mí. La idea fundamental se puede explicar de de la forma siguiente: los complicados números de electrones en los subgrupos cerrados se reducen al simple número uno si se realiza la división de los grupos que dan los valores de los 4 números cuánticos de un electrón hasta que desaparezca toda degeneración. Un nivel de energía completamente no degenerado está ya “cerrado” si está ocupado por un único electrón, debiéndose excluir los estados que estén en contradicción con este postulado.2 Oroitu behar da Paulik erabiltzen zituen zenbaki kuantikoak honela zeudela erlazionatuak gaur egungoekin: k1

(zenbaki kuantiko azimutala), k2 (j barne zenbaki kuantikoarekin erlazionatua, k2=j+1/2), eta m1 (zenbaki kuantiko magnetikoa). Eremu magnetiko indartsupean, k2 ordezkatu egin zuen bigarren zenbaki kuantiko batez, m2, zeinak bi balio hartzen zituen: m2=m1+1/2 eta m2=m1-1/2.3 When an electron corresponds to a given

211 ,, mmkn -state, this state is occupied.4 Paulik Landéri, 1924ko Abenduaren 15ean. In Pauli (1979), 191 or.5 Heisenbergek Pauliri, 1925eko Azaroaren 16an. In Pauli (1979), 256 or.

99

Laburbilduz, honela egituratzen da Pauliren argudio molde abduktiboa aldebikotasunaren ideia zenbaki kuantiko batean formalizatuta ahalik eta esplikazio onena bilatzeko:

i) badago klasikoki deskribagaitza den balentzia elektroiaren propietate kuantiko bat, aldebikotasun berezi bat, elektroi guztiei aplikatu behar zaiena, ez soilik balentzia elektroiei.

ii) Aldebikotasunaren bi balio horiek zenbaki kuantiko berri bati dagozkio,iii) zergatik, orduan, geruza batek ezin ditzake izan 2N elektroi baino gehiago? Zenbaki

kuantiko diferenteak dituzten elektroiei soilik eman diezaiekelako lekua. Debeku hau da esplikaziorik onena.

3.5. Esklusioaren gogo eskema eta spin birakariaren heresia

Argudio honekin artean esanahi fisikoaren misterioagatik Pauli gustura ez zegoen arren, etapa honetan 'aldebikotasun' analogia eta honen berezkotasuna zorroztu zuen: alde batetik, zenbaki atomiko altuko atomoekin egindako esperimentuetan multipleteak deskribatzeko ekuazio berri bat eraiki zuen, g inbariantza kontuan hartuta; bestetik, Stonerren arauak eraikuntza eskema irmoago bat eskaintzen zuen Pauliren “egoera okupatuaren” irudi berria indartuz. Hala ere, interesgarria da Paulik une hartan arauari eman zion estatus nomikoaz ohartzea. “Ezin diezaiokegu arau honi funts irmoago bat eman, baina badirudi berariaz modu arras naturalean aurkezten dela”1 argitu nahi izan zuen (Pauli 1925b, 776 or.). ‘Aldebikotasunaren’ argitan eta Stonerren arauaren berrinterpretazioaren bila, g baturaren inbariantzaren ildoan sartu zen teoriara esklusio araua. Inbariantza honekin lotuta egoteak arau huts batena gainditzen zuen estatusa zemaion intuitiboki, artean tratamendu berezirik eman ezin zitzaion arren.

Intuizioak bazeukan funtsik. Izan ere, zientzialariek “debeku edo mugapen printzipio” deitzen duten lege mota bat da esklusioarena. Halakoa da erlatibitate printzipioa ere, zeinak fisikaren legeak laborategi orotan berberak izan behar direla dioen, bere higidura edozein izanda ere. Ez dago arrazoirik, hasiera batean, hau horrela izateko. Baina beharrezkoa dugu teoria sistematiko bat eraiki ahal izateko. Hots, ez dago modurik erlatibitate printzipioa matematikoki eratortzeko, axioma bat baita sinpleki. Zentzu honetan halako printzipioen kausaz edo adiera fisikoaz galdetzeko modurik ez dago hasiera batean.

Paulik ere ez zuen ezer argi ikusten. Zein zen esklusioaren adiera fisiko sakona? Bazekiten oso garrantzizkoa zela inplikazioetan, egitura atomikoa eta taula periodikoa esplika baizitzakeen, baita gerora metalen gogortasuna eta izarren patua ere. Baina non zetzan beronen adiera fisikoak? Koherentziari begiratuta, bazirudien denak oso ondo bat egiten zuela Pauliren arauarekin. Bohrren korrespondentzia printzipioa soilik zegoen at: nola uztartu klasikoki deskribagaitza zen momentu angeluarraren ‘aldebikotasuna’ korrespondentzia printzipioak aitzin-suposatzen zituen higidura periodiko klasikoekin?

‘Aldebikotasunaz’ harrituta zegoen arren, ongi hartu zuen Bohrrek arau berria. Klasikoki ulertezina zen eta korrespondentzia printzipioarekin bateraezina, hots, Bohrren ildoaren heuristika ebaluatzailea agortzen zuen. Arau debekatzaile bat zen eta axiomatikoki beste maila batean agertzen zen. Gainera, egungo linguistika kognitibotik irudi eskematzat hartzen denaren parera iristen da okupazio analogiaren izaera, erlazio espazialen kontzeptu primitibo bat dirudielako. Hemen, analogia probokatzaile gisa ager liteke arestiko geruzen 'itxitasunaren' ideia esklusioaren gogo eskema aktibatuz. Hau pizteagatik sor zitekeen Bohrren “harridura” Pauliren ekarpena leitzean, lehenbiziko aldiz eskema ez-klasiko batean ainguratzeko aukera sortzen zelako. Eta ohartu gure ikuspegian gogo prozesuaren sorburua dela harridura.

1 We cannot give a closer foundation to this rule, yet it seems to present itself in a very natural way.

100

Hala eta guztiz ere, ikustekoa da esklusioaren ideiak gogo eskema bat osatzen duenentz arestian galdetu den eran. Mac Lanek (1986, 35 or.) giza jardueren eta ideien arteko harremanaz aurkezten duen taulan esklusio ideiaren izaeraz apur bat lagun gaitzakeen ekarpenik aurkitzen da. Taulak bi lerro interesgarri ditu kasu honetarako, konparazioarena eta berrantolaketarena:

Jarduera Ideia Formulazioa

Konparaketa Enumerazioa BijekzioaZenbaki kardinala

Berrantolaketa Permutazioa BijekzioaPermutazio taldea

Argi dago egoeren eta elektroien arteko konparaketa bat dagoela esklusioaren ideiaren atzean, non elektroi bakoitzari egoera bat eta bakarra dagokion. Egoera-Elektroi bijekzio bat ezartzen da. Baina honi formulazio estatistikoa eman nahi zaionean elektroiak antolatzeko eta berrantolatzeko dauden moduek bijekzioaz gain permutazioa ere kontuan hartu beharko dute. Hots, okupazio zenbakien konbinazio posible bakoitza hartu behar da aintzat, ikusiko dugunez, bereizezintasunagatik hainbat aukera baitaude. Beraz, “giza jarduera kulturalek” eskainitako jarduera eskema batean gorpuzten dela dirudi esklusioaren ideia. Hemen egon daiteke bere estatus axiomatikoaren arrazoietako bat, kognitiboki ere izaera primitiboa daukalako.

Oroitu bestalde Stonerren ekarpenaz Paulik zioena: “azpitalde itxietako elektroi kopuru konplikatuak bat zenbaki sinple bihurtzen dira, baldin eta elektroi baten lau zenbaki kuantikoen balioak ematen dituzten taldeen banaketa burutzen bada endakapen oro desagerrarazi arte”. Endakapena energia maila batean egoera bat baino gehiago egoteari deritzo mekanika kuantikoan; beraz, bereziki aipatzen zuen Paulik “taldeen banaketa” eta energi egoeren “endakapena” elektroiak “zenbaki sinple” batez berrantolatzeko.

Stonerri buruz galdera hau ekidinezina da: nola lortu zuen ohiko zirkulutik at zegoen eta emaitzak aldizkari filosofiko batean aurkeztu zituen ikerlari batek halako aurrerakuntza bat? Gogo eskemen ikuspuntutik badago erantzun onargarri bat: fisikari klasikoen ohiko gogo eskemak ez dira oro har matematikarenak adina aberatsak, eta orduko fisikariak ere eskema batzuekin ohituagoak zeuden besteekin baino. Mac Lanen taulari begiratuta banaketa bat egin daiteke zentzu honetan fisikariek gehien entrenatuak zituzten ideiei buruz:

Jarduera Ideia Formulazioa

Denbora Lehen eta Gero Ordena lineala

Neurketa Distantzia; hedadura Espazio metrikoa

Mugimendua Aldaketa Higidura zurruna; transformazio taldea;

Aldaketa erritmoa

Behaketa Simetria Transformazio taldea

Matematikariek hauek lantzen badituzte ere, eskema gehiago dituzte euren lanaren baitan. Matematikarienak gehiago dira aipaturiko berrantolaketa, konparaketa, bilketa (taldeen formulazioaz), eraikuntza (figura eta simetrien ideiaz), gertutasuna (espazio topologikoen bidez),

101

etab. Hala esplika daiteke fisikariak mugimendu jardueraren ideia eta eskemetan tematzeko jarrera hori, elektroia bezalako eite ikusezinekin ari zirenean ere. Ikuspegi honek gogo eskema baten existentzia onargarri bihurtzen du sormen prozesuarentzat eta analogiaren barne eraikuntzarentzat.

Zentzu honetan, esklusioaren ideiak okupazio eta geruza itxien metafora deskriptiboen barnean dihardu, analogia hau aitzin-eredu bat ezartzen ari baita asoziaturiko eskema batez eredu baten esplikazioetarako. Analogia hau, lotura analogikoa xehatuta, transformazio bat medio iritsi dela dirudi bere heldutasunera, 'itxitasuna', 'endakapen eza', eta halako terminoak aipatu zirelako bien bitartean. Transformazio honetan aitzin-eredua apurka gorpuzten eta leku zentrala hartzen joan da eredu definitiboa egikaritzeko.

Ardatz epistemiko honen baitan, bere ereduan eragin nuklearrak izan arren, esklusio arauan eta momentu angeluarraren bikoiztasunean ezarri zuen Bohrrek ere etorkizuneko garapen teorikoaren gakoa, artean zintzilika zena. Horretxegatik jo zuen “bihurgune erabakigarritzat” une hura, eta hala esan zion eskutitzez Pauliri. Hortxe zetzan gakoak, azalpen klasikotik eta teoria kuantiko zaharreko edozein frogapenetik kanpo erabakigarria ei zen propietate horretan. Esperimentuen txanda zen. 1925ean, Paulik Landé bisitatu zuenean Tübingengo Fisikako Institutuan, zenbaki atomiko handientzat arauarekin erabat bat egiten zuten emaitzak lortu zituzten bertan. Esperimentuaren garrantziaz ohartuta bertaratu zirenen artean Kronig gaztea zegoen, urte batzuk beranduago han bizitakoaz zera idatzi zuena (Kronig 1960, 19-20 or.): mekanika kuantikoa baino lehenagoko ereduen hizkuntzan hau [momentu angeluar intrintsekoa] elektroiak bere ardatzarekiko zuen errotazioaz soilik irudika zitekeen.

Halatan Kronigek elektroi biratzailearen analogia klasikoa sartu zuen. Bere buruari jiraka dabilen elektroi bati Bohr magnetoi bateko momentu magnetikoa esleitzen bazaio, Lorentz transformazio baten bidez, elektroiaren geldiuneko erreferentzia-sisteman nukleoko protoiek sortutako eremu elektrikoa eremu magnetiko legez agertuko litzateke, zeinarekin elektroiaren momentu magnetikoak elkarrekingo lukeen, hau da, elkarrekintzan sartuko litzatekeen. Dena den, elektroi biratzailearen irudia eredu erdi-klasiko batean oinarritua zegoenez eta Paulik halako nahaste-borraste sasi-teorikoak gustuko ez zituenez, baztertu egin zuen ideia, zirtolaria izan arren. Bortxaz ezarritako ikono bat baino ez zen harentzat.

Urte horretan bertan Esklusio Printzipioa iragartzen zuen artikulua argitaratu zuen Paulik. Artikulua barkamen eskez amaitzen zen ikuspegi berria korrespondentzia printzipioarekin ezin batzeagatik. Bohrri eginiko ordain intelektual bat bailitzan, laster batean bi ikuspegien bategite bat burutzeko desioa aitzineratu zuen. Haatik, Paulik ziurtasun sakon bat zeukan elektroiaren ‘aldebikotasunaren’ deskribapen klasikoaren ezinezkotasunaz. Funtsean, diseinu mekaniko klasiko baten baitako irudiak nola-hala aplikatzeari erratua zeritzon.

Seguru zegoen elektroi baten ezaugarriak deskribatzeko giltzarriak energia eta momentua zirela. Hauek errealak ziren, egiazki behagarriak, neurgarriak baitziren; elektroiaren orbitak eta gelaxkak, aldiz, ez ziren hala. Paulik bere aita besoetakoari, Ernst Machi, eta honen positibismo logikoari, zor zion ikuspegia agertzen zuen hemen: teoria fisiko batean edozein kontzeptu neurtezin ekidin behar zen.

Baina ideia kuantiko berriei irudikagarritasun klasikoa emateko irrikak hor zirauen fisikarien komunitatean. Esklusioaren ideiak arau batean konbergitu ondoren sormen dibergenteari ateak ireki zitzaizkion berriro etapa honetan. Kronigen ‘ideia zirtolaria’ bederatzi hilabete beranduago berpiztu zuten bi zientzialari herbeheretarrek, Uhlenbeckek eta Goudsmithek (1925), independenteki Paulirenaren antzeko ondorio batera ailegatu baitziren. Naturwissenschaften aldizkarian aipu labur bat publikatu zuten esanaz ezen, elektroiaren laugarren askatasun gradua elektroiak bere buruaren

102

gain zuen errotazioarekin identifikatzen zela. Askatasun gradu berri hau kontuan hartuta, arrazoi giromagnetikoa orbitalarenaren bikoitza zen, eta momentu angeluar orbitalaren eta momentu angeluar intrintsekoaren arteko akoplamendua zen dobleteak ulertzeko gakoa. Bi herbeheretarrek, Kronigek eta kostata baita Heisenbergek ere, Bohrren bedeinkaziopean, klasikoki deskribagarria zen irudia onargarritzat jo zuten orduan. Baina Pauli ez zen bide klasikoan ainguratu eta irmoki deitoratu zuen heresia berria. 1926an, Thomas fisikari gazteak 2 faktorea nukleoaren abiadura angeluar gehigarri bati eta erlatibitate bereziak elektroietan zuen eraginari egoztean ere, Pauli aurka agertu zen, eta Bohr berari ere, hau emaitzaren baliozkotasunaz sinetsita egon arren, artikulua ezin zela publikatu iradoki zion. Hasieratik bertatik argi ikusi zuen Paulik analogia klasikoetan tematzea alferrikakoa zela.

4. Irudikagarritasunarekiko Pauliren jarreraz

Pauliren erresistentzia jarreraren balioa goraipatu behar da ia erabat bere kontra zegoen testuinguru honetan. Hurrengo garapenek erakutsi zutenez, Paulik elektroi biratzailearen ereduarekiko zuen erresistentziak bazeukan bere baitan egia muinik. Klasikoki ulertu ezina zen, izatez, elektroiaren ‘aldebikotasuna’, hots, elektroiaren spinak ez zeukan analogia klasiko zuzen eta formalik, nahiz eta fisikarien arteko elkarrizketa ez-formalean aingura bat eskaini irudi biratzaileak. Izan ere, 1928an, Diracen elektroiarentzako uhin-ekuazio erlatibistak spinaren momentu magnetikoa eratorri zuen, eta halaz Pauliren elektroi biratzaile erdi-klasikoarekiko ezkortasuna txalotua izan zen. Errotazio biraketa klasikoaren analogia zirtolaria hasieratik ukatzeak Pauliren ikerketa ildo bat bazegoela erakusten du, Bohrrenarekiko lehian. Are handiagoa da ondorioa: teoria kuantikoak Paulirengan hartzen du berezko nortasuna aingura klasikoak etenda.

Bohrri garbi agertu zion bere iritzia irudikagarritasunaz: irudi oro baztertu behar zen teorikoki nahasgarria zelako. Fisika atomikoaren teoria berri bat azaleratzean soilik izango zen posible lengoaia bisual bat garatzea. Irudizko analogiak baztertu egin behar ziren Pauliren ustez, eta datu neurgarrietara mugatu, Mach bere aitapontekoaren filosofiari jarraiki. Paulik simetrien eta inbariantzen bidez abdukzioa modu operatiboagoan erabiltzeko zuen joerak ekarriko zuen aurrerantzean teoria garatzeko behar zen sormena mugapen positibista zurrunon barnean. Fisikari eta matematikari kalte egin dioten positibismo logikoaren dogmetan zirrikitu ez-formalista bat topatzen du honela Paulik: arrazonamendu fisiko-matematiko ez-formala enpirikoa ez izateagatik baztertu beharrean, analogiarena gisako denbora eskala txikiko arrazonamendu uneen deskubrimendu logikaz maiz egiten du aurrera, filosofia formalistarentzat baztertu beharrekoa ohi den logikaz.

Deskubrimendu testuinguru honen baitan, Paulik beste aingura analogiko bat zeukan buruan teoria kuantikoa eboluzionarazteko, errotazio klasiko “koloretsuetatik” kanpo. Sinpleak izanda ere, Pauliren ikonoak maila abstraktuagoan kokatzen ziren1, “behin sistema berri bat kontzeptualki ezarri” eta gero soilik zehaztu zitezkeen irudikapenak. Baina ez zegoen irudiotan oinarrituta argumentatzerik sistema kontzeptuala eraikitzeko.

Ildo honetan, hainbat urte geroago onartu zen spina espazioaren isotropiaren ondorioa dela, eta orduan sartu ziren Pauliren matrizeen izaera talde teoriaren baitan uler zitekeela. Hau esan zuen Paulik geroago, bere zahartzarotik begiratuta (1955, 30 or.): irudikagarritasunari lotuta eta zalantzati egon eta gero, “adostasun orokor bat lortu zen irudi zehatzak sinbolo matematiko abstraktuez ordezkatzeko”. Bereziki, errotazioaren irudi konkretua espazio 3-dimentsionalean errotazio taldeen errepresentazioen ezaugarri matematikoez ordezkatuko zen. Sinboloek irudiak ordezkatzen dituzte horrela. Izan ere, Pauli jadanik urtetsuarentzat nagusiki deskripzio sinboliko bat da zientziaren errepresentazio matematikoa: “soilik sinbolo baten zati bat adierazi daiteke ideia kontzienteez, beste zati batek giza 'inkontzientearen' edo 'aitzin-kontzientearen' gain jarduten duen bitartean. Berdina

1 Paulik Bohrri 1924ko Abenduaren 12an. In Pauli (1979), 188 or.

103

gertatzen da notazio matematikoarentzat, batzuek soilik dute talentua matematikarako, beronen indar sinbolikoa hautemateko”.

Pauliren ikuspegi hau semiotikako zeinu moten bereizketaz argi daitekeelakoan nago, jada aipaturiko objektuaren kanpo-irudi eta barne-irudi bereizketaz. Bigarrena eskematikoagoa da eta diagrama austeroez errepresentatzen du xede den objektua, antzekotasuna medio. Errepresentazio ikonikootan ez bezala, errepresentazio sinbolikoan antzekotasuna beharrean konbentzioa da zeinuaren funtsa. Hala ere, semiotikak, Paulik legez, iradoki izan du sinbolo matematikoen atzean errepresentazio ikoniko sendoak daudela, paperean duten posizionamenduagatik grafikoki errealitatearen baitako erlazioak iradoki ditzaketenak. Errotazio taldeek errepresentatzen dituzten matrizeen zutabe eta errenkadek funts ikoniko hori agerian dute, ez soilik sinboloen posizionamenduan, baita paperean hauen arteko erlazioak iradokitzeko moduan ere. Diagrama edo barne-irudi mailan gauzatzen dute hauek euren zeregin ikonikoa sinboloen bitartez izanagatik ere. Horiek horrela, esklusioaren ideia barne-irudi mailan errepresentatzean estruktura inferentzial sakonak kontserba ditzakeen gogo eskema bezala uler daiteke.

Ikusiko denez, etorkizunean, elektroi birakariaren iruditik errotazio matrizeen alderdi diagramatikoa edo inbariantzen heuristika xehatzerakoan, analogiak saretzen ariko zen Pauli antzekotasunen erabileraz. Fisika matematikoaren arrazonamendua antzekotasunen erabileraren inguruan baitabil, modu oso zehatzez errealitatearen alderdi berriak iradokitzen dituzten antzekotasunez. Antzekotasunon ugaltzeak esan nahi du goi-mailako halako iturri ikonikoek itu posibleen proiekzio eremua handiagoa duela propietate primarioez konfiguratutako irudi konkretu batek baino, nahiz eta analogia transferitzeko iturri konkretu bat mamitu behar izan. Sinboloak konbentzionalki esan nahi duenaren eta betetzen dituen manipulazio arau 'kontzienteen' atzean ahalmen ikoniko (diagramatikoa nahiz barne-irudi mailakoa) ezkutu bat ikusten du abdukziorako. Sinboloaren definizioa bera, harago joanda, errealitatearen estrukturaraino hedatzen du gainera, balizko ondorio ontologikoekin, ia platonistekin: “lotura bat dago giza psikean aitzin-existitzen diren barne irudien eta kanpo objektuen artean” (Pauli 1952; ingeleseratua in Pauli 1994, 221 or.). Gisa honetan, gogo eskemen eta orduko arketipo jungdarren gisako eraikin primitibo eta idealak aipatu zituen Paulik bere filosofian, egun simetriei batzuek ematen dioten estatus ontologikoaren neurrian. Ez ahaztu, ildo honetan, zientzialari kognitiboen eskemek ere, simetriek eta arketipo jungdarrek bezala, euren estruktura inferentziala kontserbatu egiten dutela euren proiekzioan, jada objektuaren muin ontikoa direla esatea urrunegi joatea den arren (Nuñez 2008).

Ez dakigu bere metodorik behinena izateagatik errealitatearen estrukturaren partetzat zituen baina, simetrien izaera ontologikoa oso diskutigarria izan arren, fisika modernoan simetriek (analogia bezalako transferenzia metodo batek) metodologikoki izan zuten eta duten garrantzia ematen du Wolfgang Paulik.

Mekanika Kuantiko berrian esklusio arauak izan zuen garapen garrantzitsua ulertzeko ezinbestekoa da Pauliren, Weylen, Wignerren eta beste fisikari batzuen ezaugarri matematikootaz ohartzea. Atal honen ondorioak atera eta gero, inbariantzaren erabilerari gorputza eman zion teoria berriarekin hasiko da hurrengo atala, mekanika kuantiko berria ezarri zuen matrize mekanikarekin.

5. Ondorioak

Aitzinamedu teorikoak aktibaturiko eskemei buruz ondorio garrantzitsuak dakartza teoria kuantiko zaharraren baitako lehen aldi honek. Egun oraindik ere erabiltzen den eraikuntza-eskemaren ideiak sakonean kontaketa eskema bat baino ez dauka, giza jarduera funtsezkoa. Ondoren etorri zen orbitaren 'itxitasun' ideiak kontaketa horri mugapenak ezartzen dizkio eta berrantolaketa eskemak sortzen hasten dira, harik eta okupazio eta esklusio ideiek Pauliren araua egikaritu arte.

104

Paraleloki, inbariantza ez-mekaniko misteriotsuaren kontzeptua dago. Sistema periodiko klasikoen baitako inbariantzen heuristika mantendu nahi da, baina jada jatorri ez-mekaniko bat aitortzen zaio honi. korrespondentzia printzipioa eta analogia formal klasikoa hemen hasten da ahultzen, heuristika sortzaileari baliabide ez-klasikoetan bilatzeko aukera ematen zaionean, hauek 'misteriotsutzat' baldin badituzte ere. Arestiko eskemen aktibazioa bilaketa honen barnean ulertu behar da. Esklusioa Mac Lanen erako jarduera eskematzat interpretatuz gero, halako eskemek izan ohi dituzten aipaturiko ezaugarriez, gerora berrantolaketa eskema eta permutazioen formulazioa aktibatzeko abiapuntu egokian geundekeela dirudi.

Hau guztia marko teoriko argi batean mamitzen da hasieran: atomo planetarioan. Halaz, irudi orbitala ez da elikatzailea, mugatzailea baizik, sistema periodikoen ikono bat baino ez den heinean. Ikono honek aitzin-eredu funtzioa betetzen du eguzki-sistemaren analogiarentzat. Espektrometria esplikatzen duen eredu ikoniko bat dago, irudi mailan hasieran. Baina ez da irudi hau ardatz, inondik inora ere. Askoz ere ardatz formalagoa nahi du Bohrrek, mundu klasikoaren eta kuantikoaren arteko printzipio analogiko bat ezartzen duena: korrespondentzia printzipioa. Hain erabilia den orbiten arteko jauzien eta ondorengo erradiazioaren irudiak ez leukake inongo funtsik korrespondentzia printzipioak eman zuen bermerik gabe. Hala lortzen da eredu espedientetik esplikatiborako pausoa. Eta eredu esplikatibo honen baitan garatu daiteke ikonoaren birfintzea, irudi maila laga eta soilik erlazio diagramatikoak eta barne-paralelismoak iragazteko. Orduan daukagu analogia probokatzailearen agerpena irudi eta eskema berriak aktibatuz (orbiten arteko jauziak etab.), nahiz eta soilik deskribatzaileak izan.

Hala etorri zen erdigune atomikoaren eredua elektroi anitzeko atomoen portaera azaldu behar zenean. Erdigune aldaezin bat zegoen eta honen inguruan balentzia elektroi librea, espektroa azaltzeko kapaz izan behar zen aldagai kuantikoen jokoa zekarrena. Baina espektro anomaloak zeuden, batez ere atomoak eremu magnetikoen baitan jartzean, enpirikoki Landék zenbaki erdi-osoez eratortzen zituenak. Gainera, Larmorren prezesioaren irudia erabiliz gero, arrazoi magneto-mekaniko ez-ohiko bat eratortzen zen behaketatik, Bohr-Sommerfeld ereduaren beharrezko zenbaki kuantiko osoak zalantzan jarriz. Azpi-programa ezberdinak jartzen dira lehian orduan, anomaliak esplikatiboki barne hartuz programa nagusiarekiko erlatiboa den aitzinamedua azkartzea izango dutenak xede.

Une honetako ideiak dibergenteagoak ziren. Analogia ez-formalak ugaldu behar ziren sistema periodiko klasikoen eta elektroi anitzeko atomoen arteko analogiak porrot egin zuelako. Faltsutzeaz bainoago, ukapena porrot gisa gertatu zen. Porrot hau “mekanikoki esplikatu ezin diren atomoaren egonkortasun propietateek” iragarri zuten definitiboki. Hala eta guztiz ere, Bohrri aitortu behar zaio balentzia elektroiaren eta erdigunearen arteko akoplamendurako d balioaz ad hoc egin zituen maneiu matematikoek asko aurreratu zutela esklusio arauak ekarriko zuen berrantolaketa eskema, d balioa laugarren zenbaki kuantikotzat hartzea falta izan zitzaion arren. Zentzu honetan, hipotesien 'ad hoc'-tasun nominalista epistemikoki agortuak diren esplikazio teorikoetan gertatzen da. Bestelakotan, arrakasta progresibo bat dagoenean, deskubrimendu logika abduktibo baten barnean uler daitezke hipotesi eta azalpen berriak, eta ez egokieran sartuak bailiran. Lakatosek dioen legez, zientziaren edozein berreraikuntza historikok ezin ditu detaile heuristikoak alde batera utzi faltsazionismoaren begirada justifikatzaileak egin ohi duenez. Eta hor, analogiak, ia oharkabean pasa arren, beste tresna heurisitikoekin elkartuta egiten duen lana ezinbestekoa da.

Talioarentzat korrekzio erlatibistarik ez zegoela behatzean erabaki zuen Paulik momentu angeluar ez-nuluko erdigune atomikorik ezin zela aintzat hartu. Bere ustez hemen agortzen du erabat bere emankortasuna erdigune atomikoaren ereduak, eta orduan ematen du jauzi kontzeptuala: elektroiak berezkoa du 'aldebikotasun' ez-mekanikoa. Analogia deskriptibo indartsua aldebikotasunaren ideia hau, bifurkazioa, bikoiztasuna, inplikatzen duen heinean. Aldi bertsuan, Stonerreren arauaren berrinterpretazioak g baturen inbariantza heuristikari arrazoia ematen zion,

105

Pauliren sorkariari konfiantza gehiago emanez. Izan ere, orduan soilik atera dakioke errendimendu osoa inbariantzari, ereduaren ideia bat egikaritzen dugun unean, hots, berrantolaketa ereduan hautatutako parametroen (lau zenbaki kuantikoak) eta hauen problema-espazioaren estrukturaren baitan. Inbariantzek eta simetriek a priorikoak dirudite, baina marko baten barnean soilik betetzen dute metodologikoa baino ez den euren funtzioa. Stonerren lanaren interpretazio berriak dakar marko hori.

Interpretazio honen baitan erditzen du aldebikotasunaren ideiak esklusioarena eta okupazioarena, zenbaki kuantiko bat gehiago sartzeak elektroi kopuruaren mugapenaren barnean zekarren berrantolaketa eskema naturalago bihurtu eta gero. Interpretazio honen baitan hartzen du esklusio arauak estatus berezi bat, ia axiomatikoa, debeku legetzat eta inbariantzari leku ematen dion formulaziotzat. Ildo honetan, Paulik hasieratik uste izan zuen esklusio arauak irismen luzea zuela, eta estatus nomiko indartsu bat har zezakeela. Formulazio permutazionalaren oinarri zen berrantolaketa eskemak eta honen baitako debeku nahiz okupazio formulazioak metafora kontzeptual indartsu baten izaera ematen zion hastapenetik. Lehenbizikoz irudi ez-klasiko batean ainguratzeko aukera zegoen.

Baina ideia eskematiko hau, baldin balego, ez da sortzailea, sormen prozesuaren historia xeheki jarraitzen baldin badugu ikus daitekeenez. Parametroen manipulazio sinbolikoak eta erdigunearen ekarpena esperimentalki jokotik kentzeak eraman zuen Pauli bere sorkariraino. 'Aldebikotasun' kontzeptutik esklusio kontzeptura doan bidean topa daiteke, topatzekotan, Lakoffen erako metafora sortzailearen ildoren bat, baina ideiok ez lirateke ezer zenbaki kuantikoen manipulazio konplexuen baitan, hauekin aldi berean, ulertuak ez balira. Abdukzio manipulatiboa deitu izan diote batzuek halako generazio teorikoari. Halakoetan egin ahala pentsatzen du zientzialariak, 'bitartekari' sinbolikoak manipulatuz, arrazonamendu geometriko klasikoan bezala. Kasu honetan lerro espektralak dira abdukzioa eraikitzeko gaiak, geometria klasikoan lerroak eta puntuak liratekeen bezala. Arrazonamendu analogikoak zenbait estruktura gailen iragazten ditu eta zenbait eskema aktibatzen, baina ez du prozesu abduktiboaren zentroa osatzen, ekimen operatiboari lagundu baino ez dio egiten eta. Analogiak, bere soiltasunean behatuz gero, helduleku deskriptiboak eta metodologikoak eskaintzen ditu.

Hori bai, mekanika kuantiko zaharraren baitako sormen prozesua bukatuta, lehengoa deskribatzera datorren analogia hau kontzeptualki garrantzizkoa izango da gerora, analogia probokatzaile gisa. Aurrerantzean berrantolaketa eskema izango da garrantzia izango duena, partikula mota ezberdinen estatistiketan formulazio permutazionalak ahalbidetuko dituelako.

Lehenengo aldi honetan aurkitzen dugun azken auzia spinaren irudikagarritasunarena da. Aldebikotasun hori irudika zitekeen klasikoki? Paulik hasieratik izan zuen argi ezetz: aingura klasikoak betirako eten behar ziren, eta teoria kuantikoak burujabetasuna lortu behar zuen. Kronigena bezalako irudiak baino, goi-ordenako paralelismoak gordetzen zituzten ikonoak behar zirelakoan zegoen Pauli, esklusioaren berrantolaketa eskema, adibiderako. Zentzu honetan, elektroiaren errotazioaren analogia konkretua errotazio taldeen errepresentazio matematikoek ordezkatuko zuten gerora. Errepresentazio hauetako matrizeek ikono diagramatiko gisa abdukzio operatiboan duten sormen ahalmenak gainditzen du irudi zehatzaren lotura astuna.

106

V. Pauliren esklusioa mekanika kuantiko berrian

1. Mekanika Kuantiko Zaharretik Berrira

1925a mekanika kuantikoaren annus mirabilis izan zen. Bohr eta bere jarraitzaileak energia mailak kalkulatzeko elektroien orbitez espekulatzen ari ziren bitartean, naturako egiazko legeetako kantitate oro behagarria eta determinagarria izan behar zelako ustea zabaltzen hasia zen, soberako aldagaiak eta irudikagarritasun bilaketa abandonatuz. Hala ekin zion lanari Heisenbergek (1925b, 880 or.), “elektroiaren posizioa eta periodoa bezalako” kantitate behaezinak bazter utzita eta artean ere, mekanika klasikoarekiko analogian aingura bat eta erreferentzia bilatuz, kantitate behagarrien arteko erlazioak soilik aintzat hartuko dituen “mekanika kuantu-teoriko” bat garatzeko asmoari; alegia, mekanika kuantikoa eraikitzeko asmoari.

Pauso honen baitan behar izan zuen bigarren iturria Bohr maisuaren mekanika kuantiko zaharra izan zen, zinematika eta erlazio mekanikoei buruzko berrinterpretazioaz. Noski hori zen nolabaiteko arrakasta zeukan teoria 'ohiko' bakarra. Horiek horrela, higidura ekuazio klasikoak mantendu egin zituen, baina bertan agertzen ziren sinboloak objektu matematiko berezi bihurtuko zituen, ez baitzuten zenbaki erreal xinple bat adieraziko, zenbaki konplexuen zerrenda infinitu bat baizik. Hots, ekidinezina gertatu zen bertako eragile matematikoen birformulatze bat. Edozelan ere, higidura ekuazioak ez zitzaizkien ohiko ‘higidura’ deritzonari aplikatzen. ‘Mekanika’ hitzari euts ziezaioketen, teoria berria, Newtonena bezala, aldaketa fisiko mota oro azaltzeko kapaz zen heinean. Baina, eta hor datza mekanika kuantikoaren jauzi zailak, aldaketa fisikoa ez zen espazio 3-dimentsionaleko masa puntualen mugimenduarena. Intuizio fisikoa eta ohiko ekintza eskemak jokoz kanpo zeuden, hauek ezin zuten abdukzio sortzailearen prozesuan aingura zentralik osatu, simulazio klasikoek ezin zuten iturri emankorrik eratu analogiarentzat. Honegatik iraultza kuantiko deritzonaren genesi matematikoak batez ere ardatz operatiboa izan zuen, notazioaren birformulatze batean zetzana ondorio heuristiko garrantzitsuekin.

Birformulatze honi gagozkiola, galdera hau ernetzen da sormen manipulatibo honen baitan: zein zio intelektualek gidarazi zuen bide honetan Heisenberg? Teoria kuantiko zaharrean atomoaren egoera geldikor bakoitzean denboraren meneko ziren kantitateak kontsideratzen zituen batek, Fourierren seriepean adierazita. Hala egin zitekeen enegarren egoerako elektroiaren edozein desplazamendurekin:

107

ktiv

knkn

nextx 2)(

Heisenbergek esan legez, teoria kuantikoan ez zegoen elektroia espazioko puntu batekin lotzerik, denboraren funtziotzat hartuta, kantitate behagarrien bidez; haatik, teoria kuantikoaren barnean, elektroiari erradiazio igorpena atxiki ziezaiokeen, n eta n-k egoeren artean

1, ( )n n kv n n k E E

h

Bohrrek eta bere eskolak v(n,n-k) maiztasunak vn maiztasun klasikoen analogia kuantikotzat hartu zituen. Halaber, antzeko beste analogia bat sartu zuen Heisenbergek, x(n,n-k) kuantikoaren eta xnk

desplazamendu osagai klasikoaren artean. Analogia bera manipulatiboa da, sinboloek paperean duten lekuagatik errepresentatzen dituzten elkar-erlazioak birproduzitzen ditu eta, hauek diagramatikoki ordezkatzeko. Ikonikoki, irudikagarritasun maila diagrametan eta barne-irudietan gotortzen da, fenomeno fisikoen goi-mailako barne-paralelismoak dira analogian, egotekotan, transferitutakoak. Irudi hutsak gaindituak dira honela.

Eta hala burutu zuen ordezkapena Fourierren deskonposaketa terminoetan: n eta n-k terminoen zeregin simetrikoa zela eta, termino berriok ezin ziren Fourierren formularen erako hedapen infinitu batean egokiro bildu. x(t) desplazamendu klasikoaren analogo kuantikoak halako anplitude konplexuak izan behar zituen barne:

tknniveknnx ),(2),(

bi aldagaiak, bai n eta bai k, zenbaki osoetan korriaraziz. Hauxe zen Heisenbergen “zinematika berriaren” bizkarrezur matematikoa. Halako elementu zerrendekin jokatuta, oro har, x(n,k) eta y(m,j) elementuak hartuta, xy biderkadura beste z elementu batek adieraziko luke:

j

mjyjnxmnz ),(),(),(

Ekuazio honek, argiro, xy=yx trukakortasuna kasu berezietan soilik betetzea dakar. Ohiko biderkadurarekin gertatzen ez den bezala, bi kantitate kuantikoaren biderkadura ez da trukakorra. Gaur egun ezaguna zaigu biderkadura mota hau aljebra lineal apur bat ezagutzen baldin badugu behintzat, baina Heisenbergek, 1925ean, arrastorik ere ez zeukan matrize baten zerizanaz. Born izan zen, Rosanes matematikariarekin aspaldi izandako kurtso bat oroituta, Heisenbergen zenbaki konplexuen zerrendak matrizeekin lotu zituena. Hara hor, interes handiz, fisika eta matematikaren arteko zubi berri bat eraikitzera zetorren analogia asoziatibo bat. Harrigarriena Heisenbergen intuizioa da, bere kasa eta problema fisiko bati aurre egiteko, kalkulu matriziala bere kasa 'asmatzen' baitu, elementalki bada ere. Gure ikuspegian, berriro ere, sinbolo matematikoen manipulazioan badago ikono diagramatikoen bidez azaleratzen den abdukzio mota bat, Heisenbergen pausoon jatorrian egon daitekeena. Matrizeen indar heuristikoaren arrazoia ere hau izan daiteke: ikono diagramatikoak dira. Mekanika kuantiko berrian sormenaren zerizanaz hausnartu ahal izateko ezinbestekoa da hau ongi ulertzea, Heisenberg aitzindaria izan zelako analogiaren erabilera manipulatibo honetan.

108

Aitzindaritza honen pausoetan, iturritzat matematika matriziala erabiliz itzulpen arau batzuk sartzea baino ez zen geratzen matrize deribaziorako, biderkadurarako, etab. Hala, mekanika analitikoaren oinarri ziren Hamiltonen ekuazioak1 eta bere printzipio 'integrala' bere horretan aplika zitezkeen, beti ere elementu matrizialekin:

Hq

p

& H

pq

&

non q posizio-matrizea eta p momentu-matrizea ziren. Matrize deribazioaz eta funtzio hamiltondar klasikoa adierazten duen H matrizeaz, higidura ekuazio mekaniko-kuantikoak eraikitzen dira. Beste aplikazio formal bat jasotzen da hemen, fisikaren barnetik atera gabe oraingoan: mekanika analitikotik mekanika kuantikorakoa. Honek fisikaren baitako iraultzez, hauen izaera apurtzaileaz eta paradigma aldaketen etenaz dauden gaizki-ulertuak leuntzeko balio lezake. Analogiak bere lana betetzen badu halako ‘iraultza’ edo aldaketetan, ezinbestean, iturri analogikoren bat eskatzen edo zubi analogikoren bat proposatzen da, iraganeko fisikan ala gutxi ezagutzen den matematikaren atalen batean.

Analogiak aitzin-eredu gisa, estruktura teoriko formal eta sendo gisa, bere funtzio sortzailea erakusten duen termino hauetan aurkeztu zuen Heisenbergek, grosso modo, mekanika kuantikoaren bere berrinterpretazio famatua. Analogia formal honek rol metodologikoa betetzen du teoria bat berriz interpretatuz, ikuspegi interpretatibo xeheago bat emanez. Laburbilduz, mekanika berri honek matrizeak zituen barne, Bornek segituan formulatu ahal izan zuen legez; hortik etorri zen matrize mekanikaren hurrengo garapena, Born, Jordan eta Heisenbergen elkarlanaren eskutik. Eta formalismoa arrakastaz aplikatu zioten hidrogeno atomoari.

Baina bitartean, hidrogeno atomoarentzako Balmer formula eratorri zuen Schrödingerrek Louis de Broglieren materia uhinetan oinarritutako formalismo alternatibo bati jarraiki. Ildo honetan, Einsteinek 1909rako aurreratu zuen, Salzburgoko konferentzia batean, fisika teorikoaren garapenak argiaren uhin eta igorpen teoriak bat egingo zituen teoria bat ekarriko zuela (Klein 1964, 5 or.). Uhin-partikula dualtasunaren aitzindaritzan kokatzen zen ideia hau kuantu elektromagnetiko askeen hipotesia indartzera etorriko zen, 1917ko Einsteinen igorpen eta absortzio koefizienteak eta Compton efektua bezalaxe. Baina giltzarria aipaturiko de Broglie izan zen. 1923an hasi zuen frantziar honek Einsteinen fotoiaren aldebiko izaera ulertzeko ahalegina.

Gaztaroan de Broglie liluratu egin zuen uhin optikaren eta partikulen mekanika klasikoaren arteko analogiak. Ikuspegi metodologiko berri bat eskaintzen zuen beste analogia formal hau oinarri hartuta, partikula bati egokitutako uhinak determinatzen zuen ibilbideari segitzen zion uhin-partikula eredua proposatu zuen. Antzekotasun handia zegoen Einsteinen eta de Broglieren ideien

1 Harritzekoa da mekanika analitikoaren irismena norainokoa den, Hamiltonen printzipioaren eta bariazio kalkuluaren baitan. Agirregabiriak eta Etxebarriak (1988, 79 or.) mekanika lagrangearra eta hamiltondarra konparatuz hala diote euren liburuaren aitzin-solasean: “D’Alemberten printzipioa hartzen –Newtonen printzipioaren ondorio zuzena bestalde-, sistema mekanikoaren egoera bat hartu dugu (edozein t aldiunetan) eta egoera horren inguruko desplazamendu birtualak kontsideratu izan ditugu. Hau da, printzipio honetan momentu baten ingurunea aztertu izan dugu, ingurune diferentziala preseski, eta horregatik, printzipio diferentziala dela esan dezakegu. Ondorioz, beste horrenbeste esan dezakegu Lagrangeren ekuazioei buruz, hauek ere egoera baten inguruan lorturikoak baitira. Gai honetan aztertuko dugun printzipioa, ostera, oso bestelakoa da. Kasu honetan, sistema mekanikoak t1 eta t2

aldiuneen artean duen higidura osoa edukiko dugu kontuan, horregatik, printzipio integrala dela esango dugu, eta hori izango da, hain zuzen ere, Hamiltonen printzipioa. Ikusiko dugunez, Lagrangeren ekuazioak Hamiltonen printzipiotik lor daitezke. Honelatan, ba, Hamiltonen printzipioa Mekanikaren oinarrizko postulatua izango da, Newtonen printzipioak izan ordez. Era honetako formulazioak zenbait abantaila ditu, hala nola, lagrangearra adierazteko erabiltzen diren koordenatu-sistemarekiko guztiz aldaezina dela, eta bai, halaber, eremuen teoria klasikoak eta kuantikoak antzeko hizkuntza matematikoa erabiltzen dutenez, Fisika modernoko arlo horietarako sarrera izan daitekeela.”

109

artean. 1925ean Einsteinek argi esan zuen de Broglieren ideiek analogia soil bat baino gehiago zutela barne (Klein 1964, 4 or.). Ildo honetan inspiratu zen Schrödinger eta esan zuen ezen, fotoiak, eterraren baitako oszilatzaileen energia mailatzat har zitezkeela eta are gehiago, partikulak “uhin-gailur” moduko batzuk baino ez zirela naturaren hondo ondulatorioaren gain.

1926an Schrödingerrek Hamiltonen mekanika eta optikaren arteko analogia formalari etekina atera zion, bere uhin-ekuazioaren aldeko funtsezko argumentuak taxutzeko. Analogian argi eta garbi egituratzen zen Hamilton-Jacobi ekuazioaren (mekanika klasikoa) eta ekuaziooo eikonalaren (optika geometrikoa) arteko korrespondentzia; mapping honek Hamiltonen konfigurazio espazioan funtzio karakteristiko konstanteekiko perpendikular ziren lerroekin lotzen zituen aldagaitz zirauten ibilbide optiko argi izpiak.

Analogiaren baitan, kuantizazioa uhin-funtzio jarraitu batean inposatutako mugalde baldintzengatik agertzen eta esplikatzen zen. Halaz, uhin jarraitua, deskribapen kausal bati lotutako eite fisiko funtsezkotzat, zabalki partekatutako ideia eta konpromiso bihurtu zen fisikarientzat. Matrize mekanikari falta zitzaion irudikagarritasuna uhinen fisika klasikoaren teoriaren zigilupean berreskuratua izan zen. Izatez, batek nahiago izango luke, inperfektua izanda ere, uhin ontologia mota klasiko ulergarri bat, uhin-partikula dualtasunaren kontzeptu batzuetan zertutako ontologia lausodun marko teoriko bat baino. Jakina, uhin-mekanikaren eskolakoen hautua naturalena eta kontserbadoreena zen berez, fisika klasikoan arras ongi onartutako kontzeptuak hartzen baitzituzten aintzat. Ontologia mailan ere, kontzeptu klasikoen irudikagarritasuna eta ohikotasuna, aingura analogiko ziurrena zen berriro ere.

Alta, 1926an, matrize mekanikaren eta uhin mekanikaren arteko ika-mika estetiko ulergaitz batzuen ondotik, Schrödingerrek Born-Heisenberg-Jordanen matrize mekanikaren eta bere uhin-mekanika berriaren arteko baliokidetasuna frogatu zuen. Orokorpen bat erdiesten da hala, analogia estruktural sakon bat, maila axiomatikoan matematikoki frogatua geratu zena. Eta hau ez zuen, inondik inora ere, analogia argi batek hasieratik gidatu; alderantziz erabat, ika-mika zekarten bide itxuraz kontrajarriek eta lehiakorrek finean estruktura komun bakar bat gordetzen zutela gerora ohartu ziren. Beraz, tertium comparationis delakoaren xehatze prozesua argia da hemen.

Bestela ere, 1925az ondorengo urteotan arrazonamendu analogikoa borborka ari zen fisikariengan. Schödingerrek uhin-mekanika elektrodinamika medio interpretatu nahi izan zuen bezala, beste fisikari batzuek hidrodinamika iradoki zuten teoria jarraitu egokitzat, non uhin-mekanikaren ulerkera semiklasiko bat lor zitekeen. Adibidez, 1926an Madelung fisikari germaniarrak Schrödingerren teoriaren zenbait ezaugarri birproduzitzen zituen eredu hidrodinamiko bat garatu zuen. Interesgarria da eredu jariakorren ahal teorikoari erreparatzea, elektromagnetismoa esplikatzeko Maxwellek erabili zituen bortizeei, adibidez. Egun ere arrakasta dute, “Faradayren tutuak” deritze bortizeon aldaerari, eta elektroi bati elektromagnetismoak eragiten dion modua egokien eta zuzenen adierazten duen errepresentazio geometrikotzat dute fisikariek. Finean, errealitatearen hondoa osatuko lukeen hondo jariakorraren irudiak oinarri egokia zekarren eta oraindik ere badakar natura jariakinen mekanikatiko analogiez deskribatzeko1.

Esan bezala, hari honi tiraka de Broglie ausartu zen formulazio berritzaile batekin, ez zegoelako ados gehiengoaren Bornen interpretazioarekin. Bere ustez, Schrödingerren ekuazioa ere gehiago garatu beharrekoa zen, soluzio sistema bikoitza ukan behar zuen. Partikula bat energia pakete kontzentratu legez deskriba zitekeen, soluzio singular bati dagokiona, eta partikula probabilitate-uhin batek gida zezakeen (“uhin-pilotu” batek). Gisa horretan, de Broglie

1 Hauetaz aparte, hainbat izan ziren zirrikitu teoriko eta diskusio artean aingura analogiko irmo batzuk lortzearren erne ziren ereduak, Kragh fisikaren historialariak erakusten duenez. II Mundu Gerra baino lehen eta baita gero ere halako analogiak iradoki ziren “arrakastatsuak ez izan arren”. 1926aren amaieran ere, Bornen interpretazio probabilistikoa onartua izan zenean, hau interpretatzeko modu anitz agertu ziren (Kragh 1999, 206 or.).

110

mikrofisikaren teoria determinista bat formulatzeko gai izan zen, 1927ko Solvay Kongresuan Paulik irmoki kritikatu zuen formulazioa, hain zuzen ere. Kritikoi kontra egin ezinda de Brogliek abandonatu egin zuen bere teoria, eta Copenhagengo interpretazioarekin bat egin zuen, nahiz eta gaur egun David Bohmek frantziarraren ekarpen berezi hari garapen sakona eman dion.

Finean, 1926ko udan, mekanika kuantiko berria abiatua zegoen jada, interpretazio desberdinen arteko borrokak ikuskera definitiborik gotortzea lagatzen ez zuen arren. Mekanika kuantiko ez-erlatibistak mekanika kuantiko zaharrari ohikoak zitzaizkion fisika klasikoaren eta kontzeptu kuantikoen, nahiz lege fenomenologikoen eta numerologiaren nahaste-borrastea, ordenatu egin zuen horrenbestez. 1928an, Diracen elektroiarentzako ekuazio erlatibistaz, mekanika kuantiko erlatibistari bidea zabaldu zitzaion arte findu zen mekanika kuantiko berriaren formulazio hau.

Izan ere, mekanika kuantiko zaharreko makina bat orokortasun eta lege fenomenologiko abandonatu egin ziren. Banaketa printzipioa, adarkadura araua… denak balekoak ziren datuetara nolabait hurbiltzeko, baina funsgabeak ziren fisikoki. Beste batzuk mantendu egin zituzten baina parametro garrantzitsuen kalkulua ahalbideratuko zuen oinarri enpirikotzat soilik: Landéren g formula, g-baturen iraupena bermatzen zuen Pauliren araua, Stonerrena, eta baita ‘aldebikotasunaren’ meneko esklusio araua ere. Hor zetzan umilki, arau soil gisa, Pauliren sorkariak. Beraz, nola irabaz zezakeen halako arau fenomenologiko probisional batek naturako printzipio inportante baten estatusa? Ondorengo eboluzio teorikoa bere gain sostengatzeko karga kontzeptuala zuen analogia bat zen, akaso? Halaxe izan bazen, berrantolaketa eskemak nola parte hartu zuen eboluzio honetan?

Hamabost urte behar izan ziren (1925etik 1940ra) Esklusio Printzipioaren egungo estatus nomikoa hezurmamitzeko. Aldi honetan, elektrodinamika kuantikoa eta eremuen teoria kuantikoa garatu ziren. Hauen garapena Pauliren printzipioarenarekin hertsiki lotuta dago elektroi taldeen berrantolaketa eskemak formalizatzen direlako. Garapen horretan estatistika kuantikoaren historia, talde teoria mekanika kuantikoari aplikatu zitzaionekoa, eta mekanika kuantiko ez-erlatibistatik erlatibistarako pasaera batzen dira, ondoren berreraiki nahi izango den moduan.

1.1. Esklusioa eta uhin-funtzio antisimetrikoak

Nobel Saria jasotzerakoan Paulik (1948) fermioen egoera antisimetrikoen baitan konplitzen den esklusioaren birformulatze batez hitz egin zuen; esklusioaren ideiak, egoera okupatuarenak, zutik zirauen baita formalismo matematiko erabat berri baten barnean ere, eta aitzin-lege orokorragoetatik eratorgarria ez zen modu batean. Esklusio Printzipioak ez zeukan izateko “arrazoi logikorik”, eta akats bat zen hau Pauliren aburuz. Hasieran mekanika kuantiko berri ahaltsuaren barnean Esklusio Printzipioa ere eratorri ahalko zela uste zuen. Baina esklusio mota batek iraun egiten zuen artean, ez egoera partikularrentzat, baizik egoera klase osoentzat, hau da, antisimetrikoak ez ziren klase ororentzat.

Garai berrian esklusioa elektroi jakin batentzat beharrean, egoera klaseentzat bihurtzen da aplikagarri, eta honen adiera berria klaru bihurtu zen estatistika kuantikoaren garapenaz. 1924an jada, Bose eta Einsteinek fotoi gasarentzako estatistika egina zuten. 1926an Fermiren eta Diracen txanda izan zen, Pauliren esklusio araua obeditzen zuten partikulez osatutako gas ideal baten estatistika kuantikoa lortzeko. Termodinamika klasikotik abiatuta, Fermik (1926) higidura molekularra kuantizatuta zeukan gas ideal baten bero espezifikoa eta energia distribuzioa kalkulatu zituen, molekula bakoitza osziladore harmoniko bat bailitzan. Aitzin-suposizio bakar bezala Pauliren araua sartu zuen: bere higidura zenbaki kuantiko jakin batzuez ezaugarrituta zegoen molekula bakar bat egon zitekeen gehienez gasean, eta Paulirengandiko hipotesi honek gas ideal baten kuantizazio teoria “perfektuki kontsekuente” bat eratortzen zuen.

111

Edozein molekularen egoera kuantikoa hiru zenbaki kuantikorekin ezaugarri zitekeen, s1, s2, s3,, eta ezin zitezkeen bi molekula egon hiru zenbaki berdinekin. Molekula bakoitzaren energia kuantizatua

hvsssshv )( 321

zen beraz. Horiek horrela, bedi hvs energia duen molekula bat s-molekula, zeinetan Qs=(s+1)(s+2)/2 molekula egongo diren, alegia, s zenbaki osoak s1, s2 eta s3 zenbakiekiko izan ditzakeen partizio kopurua. Hots, 1, 3, 6, 10, etab litzateke partizioa. Zero absolutuko tenperatura hartu zuen erreferentziatzat. Bertan, N=1 denean elektroi bakarra legoke zero absolutuan eta zero energian; N=4 bada molekula bat zero energian eta beste hirurak hυ energiaz leudeke; N=10 balitz, molekula bat 0 energian, hiru hυ energian, eta beste seiak 2hυ energian leudeke, eta abar. Analogia bat oroitarazten dio egitura honek Fermiri, funtzio ebaluatzaileaz aurrera egiteko konfiantza dakarkiona (Duck and Sudarshan, 1997, 138 or.): “zero puntu absolutuan gure gasaren molekulek geruza gisako egitura mota bat hartzen dute, elektroi anitzeko atomo batean elektroiek duten geruza gisako ordenarekiko analogia perfektuaz”1. Berrantolaketa eskema dago analogiaren muinean, atomoko gelaxketan gertatzen den ordenamenduaren moduko bat gasaren energia egoeratan ezartzen baita, beste arau batzuekin bada ere egoerak okupazio zenbaki batekin 'beteaz'. Zentzu honetan analogiak probokatu egiten du eskema hau, eskema baino aurretikoagoa den zalantzan dagoen arren.

Beraz, energia total jakin bat emango zuten konbinazio eta partikula ordena diferenteak zeuden, Ns, s egoeran dagoen molekula kopurua beti izango zelako Qs partizioa baino txikiagoa edo berdina. N molekula kopurua eta E energia konstantetzat ezarrita eta s handietarako joera aztertuta, erakutsi zuen halakoetan gasaren banaketa estatistikoa maxweldarra zela.

Honela bada, berrantolaketa arau batzuk zeuden, permutazio batzuekiko inbariantzak partikulak euren artean identikoak zirelako. Markatzaile kognitibo ezinbestekoa izango zen bereizezintasun ideia hau ondorengo sormen prozesuaren diseinuarentzat.

Baina Fermik bere gas idealaren deskripzioaren oinarrian mekanika klasikoa jarraitu bazuen, hilabete batzuk beranduago Diracek emaitza estatistiko berbera lortu zuen mekanika kuantiko berriaren baitan. Heisenbergen matrize mekanika partikula anitzeko sistemei aplikatu zien bere eraginkortasun teorikoa aintzat hartuta: aldagai dinamikoak adierazten zituzten matrizeetako elementuek igorritako erradiazioaren osagaien intentsitateak eta maiztasunak determinatzen zituztenez, teoriak fisikoki inportanteak ziren kantitateak kalkulatzea ahalbidetzen zuen, eta ez zuen informaziorik ematen maiztasun orbitalak bezalako kantitate behaezinei buruz. Diracen ustez, ezaugarri honek aurrerantzean ere hala irautea komeni zen. Kantitate behagarriak soilik kontuan hartzeak mugapen garrantzitsu bat ezarriko zuen kalkulu matematikorako nahiz abdukzio manipulatiborako.

Gogo-esperimentu bat proposatu zuen orduan Diracek, partikula bereizezinen sistema bere gogoan hartuz. Kasu sinpleenetik hasita, bi partikula berdinez eratutako sistema bat suposatu zuen, biak ere egoera ezberdinetan. Partikulen elkartrukeak sistema osoaren egoera berri bat sortzen al zuen? Heisenbergen matrize mekanikak eskatu bezala kantitate behagarrien (soilik behagarrien) kalkulua ahalbideratzekotan, bi egoerek bereizezinak behar zutela izan pentsatu zuen Diracek. Honek ondorio sakonak zituen. Diracen arrazoibideari segituz, bedi bi elektroik eratutako sistema. Elektroien arteko elkarrekintzak alde batera utzita eta elektroi bakoitzaren egoera-funtzioak )1(m

(m egoeran dagoen dagoen lehenengo elektroiarentzako) eta )2(n (n egoeran dagoen

1 At absolute zero point the molecules of our gas therefore assume a kind of shell-like structure, in perfect analogy to hte shell-like ordering of the electrons in an atom with many electrons.

112

bigarrengoarentzako) izanik, bi elektroik osatutako sistemaren egoera osoa )2()1( nm izango da.

Baina atomoaren egoera berbera alderantziz ere deskriba daiteke, )1()2( nm , bereizezintasunagatik. Beraz, ezinbestekoa zen honelako egoera-funtzio bat izatea, elektroien bi egoerak (mn) eta (nm) barne izango zituena:

(1) (2) (2) (1)mn mn m n mn m na b ;

Honen baitan bi aukera soilik zeuden konstanteei zegokionean, moduluz probabilitate dentsitate berbera adierazi behar zuten eta: mnmn ba , egoera-funtzio simetriko deitua; ala mnmn ba , egoera-funtzio antisimetrikoa deritzona. Baina, Diracek esan bezala, une hartan soluzio egokia zein zen erabaki ezin zen arren, funtzio antisimetrikoak Pauliren arauarekin lot zitezkeen zuzenki, bi partikula egoera berean ipiniz gero uhin-funtzio antisimetrikoa automatikoki baliogabetzen baitzen (Ibid., 669 or.) :

Auto-funtzio antisimetriko bat identikoki deusezten da elektroietako bi orbita berean daudenean. Honek auto-egoera antisimetrikoaren problemaren soluzioan bi elektroi edo gehiago orbita berean dituen egoera egonkorrak ezin direla egon esan nahi du, zeina justuki Pauliren Esklusio Printzipioa den. Auto-funtzio simetrikoaren soluzioak, bestalde, edozein elektroi kopuru orbita berean egotea ahalbidetzen du, beraz, soluzio hau ezin da izan zuzena atomoetako elektroien problemarentzat.1

Aipu hau oso garrantzitsua da. Lehenbizikoz, Pauliren araua testuinguru espektroskopikoaren fenomenologiatik atera eta partikula anitzeko sistema kuantikoetan barneratu zen, birformulazio antisimetrikoaren magalean. Hemen datza arautik printzipiorantz Pauliren sorkariak hasi zuen jasokunde nomikoaren lehen pausoa, akaso garrantzitsuena, sormen manipulatiboak notazio arrakastatsu bat ezartzen baitu bi zentzutan: batetik, notazioa bera ondorio bat da, bereizezintasun ideiaren eta berrantolaketa eskemaren adierazpen formalizatua; bestetik, notazio berriak aurrerantzeko kalkulu konkretuetarako irismen zabaleko oinarriak ipiniko ditu esklusio araua barne baitauka. Hots, nahikoa izango da aurrerantzean uhin-funtzio antisimetrikoekin operatzea esklusio araua kontuan hartzen ari dela ziurtatzeko.

Lehenengo zentzuari begiratuta, interesgarria da Diracen gogo-esperimentuaren indar heuristikoaz jabetzea. Errotik berria den egoera bat irudikatzen du, bereizezintasunaren ideia oinarritzat hartuta eta berrantolaketa ideia sinple bat (elkartrukearena) aplikatuta. Honela matematikoki bi partikulek osatutako egoera sinpleenean honek leukakeen adierazpidea uhin-funtzio erara formulatzera iristen da. Berriz ere, ohiko giza jarduera bat teoria ezagunei eta indartsuei gainjartzen zaie sormen-prozesuan zehar: jarduerari lotutako eskema batek espontaneoki ernetzen du eskema operatibo bat eta hemendik deduktiboki formulazio matematikoan barneratzen da. Irudi simulazioaren (sarrerako 4. atala) sekuentzia betetzen da: lehenbizi bereizezintasunaren ideia asimilatzen da; gero, elkartruke eskema matematikoki operatiboa den aitzin-eredu sinple batean jartzen da martxan, haga okertuaren irudi simulazioan bezala, baina manipulatiboagoa den partikulen egoera konbinatuaz pentsatuz; azkenik iragarpena dator, bat egiten duena esklusio printzipioarekin. Martxan jarritako eragiketa ez da analogia batean edo gogo-esperimentu ebaluatzaile baten baitan erabilia, baina eraikitako eredu operatiboaren (errepresentazio antisimetrikoa) koherentzia testatzeko balio du esklusio arauaren aurrean. Bereizezintasunetik eratorritakoaz notazio antisimetrikoak baieztatu egin du esklusioa.

1 An antisymmetrical eingenfunction vanishes identically when two of the electrons are in the same orbit. This means that in the solution of the problem with antisymmetrical eigenfunctions there can be no stationary states with two or more electrons in the same orbit, which is just Pauli’s exclusion principle. The solution with symmetrical eigenfunctions, on the other hand, allows any number of electrons to be in the same orbit, so that this solution cannot be the correct one for the problem of electrons in an atom.

113

Handik hara, gas idealaren baitan emaitzok aplikatuta lortu zituen Diracek Fermiren emaitza berdinak. Aldi honetan landatu zen egun unibertsoaren partikulen artean burutzen den bereizketa garrantzitsuenaren hazia: Bose-Einstein estatistika jarraitzen duten bosoiak alde batetik (argi-kuantuak edo fotoiak adibidez) eta Fermi-Dirac estatistika jarraitzen duten fermioiak bestetik (elektroiak, protoiak eta neutroiak, adibidez). Diracek, ordurako, intuitzen zuen gas molekulen portaera argi-kuantuenaz bestelakoa izango zela eta auto-funtzio antisimetrikoaren soluzioak molekulentzat ere zuzenak izan zitezkeela (672 or.).

Haatik, artean denbora luzea beharko zen kosmosa eratzen duten partikulen izaeraren eta estatistika kuantikoaren arteko harremanaz jabetzeko. Lehendabizi, Paulik eman ahal izango zuen pauso bat izan zen beharrezkoa: elektroi biratzaile erdi-klasikoaren interpretazio kuantikoa.

1.2. Pauliren ekuazioa: spinoreak eta spin-matrizeak

Wentzeli 1926ko abenduan idatzi zion gutun batean (Pauli 1979, 361 or.) Fermi-Dirac estatistika kanpo eremu magnetiko baten baitan kokatutako momentu angeluarra zeukaten atomoetara hedatuko zuen artikulu bat iragartzen zuen Paulik. Helio atomoari buruzko Heisenbergen arestiko lan bat hartzen zuen erreferentziatzat artikulu hartan. Garai hartan Heisenbergek arrakastaz aplikatu zion Pauliren esklusio araua singlete eta triplete bereziak aurkezten zituen helio atomoari. Spinik gabeko bi elektroiko sistema batentzat, egoera-funtzio bai simetriko bai antisimetrikoak hartu zituen aintzat, hurrenez hurren parahelio eta ortohelio deritzotenei zegozkienak. Hala, lau egoera azaleratzen ziren sistemaren edozein egoeraren baitatik, haietariko hiru spin koordinatuarekiko simetrikoak eta bat antisimetrikoa. Hurrenez hurren, singletea eta tripletea, hots, parahelioa eta ortohelioa, eratortzen ziren gisa honetara. Pauliren ustez (1927a, 82 or.), Heisenbergek frogatua laga zuen mekanika kuantikoak ez zuela baliokidetza araua kontraesaten.

Urte berean, Heisenberg eta Jordanek matrize mekanikaren argipean esplikatu zituzten dobletearen egitura fina eta Zeeman efektu anomaloa. Spinaren momentu angeluarra s 1 bektore batekin erlazionatua zegoen, zeinaren osagaiek k momentu angeluar orbitalarenek bezalako trukakortasun erlazioak konplitzen zituzten. Spin-orbita akoplamendua k⋅s biderkadurarekiko proportzionala zen korrekzio terminotzat agertzen zen hamiltondarraren baitan, Larmorren teorema bortxatzen zuen elkarrekintza magnetikoaren energia

0( / 2 ) ( 2 )e m c H k s

gisa ematen zen bitartean, non 2 faktore anomaloa, Landé eroarazi zuena eta hasiera batean erdigunearen anomalia magnetiko bati esleitua zegoena, spin momentu magnetiko (biratzaile) ezohiko bati zegokion. Ikusiko denez, faktore hau Diracen ekuazio erlatibistatik erator daiteke abiapuntu teoriko funtsezkoago baten baitan.

Hurrengo urtea Darwinek elektroi biratzailea uhin-bektore gisa berrinterpretatu zuen uhin-mekanikaren argitan. Zailtasun batzuk zeuden hala ere: elektroiaren spinarentzako uhin-ekuazioak espazio sei-dimentsional irudikaezin bat inplikatzen zuen problema espazioa hedatuz. Zein objektu matematikok barreia zezakeen halako problema espazio zabal bat adiera fisiko batez jabetuta? Zailtasunak zailtasun, gisa honetan abstraituriko objektu matematikoek, adiera espezifiko gabekoek, etorkizunean balio praktiko handia izango zuten manipulatiboki. Gainera, egoera egonkorrak ℏkantitatearen multiplo osoak ziren balio osoei zegokienez, ezinezkoa zen spinaren momentu angeluarrak ½ balioa izatea. Zailtasun hau gainditzeko, Darwinek egoera bakoitzaren uhin-funtzioa ez zela balio bakarrekoa suposatu zuen, bi baliotakoa baizik. Unitate bektore bat definitzen zuten balio bikoitzeko funtzioak sartuz espektroen intentsitatea lortu ahal izan zuen baita elektroi anitzeko 1 Nomenklatura berri honetan bektoreak letra lodiz idatziko dira eragile kuantikoei hizki gainean 'txapela' ipini ahal izatearren.

114

atomoentzat ere. Paulik antzeko bide bati segi zion Darwinen ahaleginek problema espazioaren askatasun graduak hedatu zituela ohartuta. Antzekotasunak antzekotasun, Paulik abstrakzioa analogiaz baino arreta indartzeaz burutu zuen, Darwinen deskripzio fisiko-matematikoaren estudioak zenbait ezaugarri matematiko, hasieran sei dimentsioekin ilunak ziruditenak, estrukturaren ildo nagusiak zirela ohartaraztean. Hortaz, problema erasotzeko burutu zituen aldakuntza kontzeptualek, Darwinenek ez bezala, aurrerantzeko aitzinamendu teorikorako zutabe iraunkorrak ezarriko zituen.

Paulik, honela bada, ez zuen uhin-mekanikara jo, interpretazio probabilistikoaren eta matrize mekanikaren baitan egin baitzuen bere ahalegina. Spin bektorearen z osagaia aldagaitzat hartu eta bi balio posible soilik esleitu zizkion, +½ eta -½. Halatan, uhin-funtzioak balio bakoitzari lotutako bi osagai zituen, spinore deituriko objektu matematiko abstraktu bat sortuz, eta ondorioz, honen karratuek emandako posizio espazial jakin baten inguruko eskualde infinitesimal batean egoteko elektroiaren probabilitate-dentsitatea (xk espazio koordinatuei deritzegu) honakoa zen:

( )kx , +½ spin balioarentzat 2

1 2 3( )kx dx dx dx probabilitatea,

( )kx , -½ spin balioarentzat 2

1 2 3( )kx dx dx dx probabilitatea.

Adibidez, s=j=1/2 kasuarentzat (l=0 denean) honela geratzen da bracket nomenklatura Pauliren spinoreen zutabe-matrize berritzaile hauetara itzulita:

Edo, era berean eta jeneralki, edozein uhin-funtzio,

legez adieraz daiteke.

Spina Schrödingerren ekuazioan sartzeko, spin momentu magnetikoaren eta nukleoko eremu elektrostatikoak sortutako barne eremu magnetikoaren arteko elkarrekintza kontuan hartu behar zen, hor energia gehigarri bat baitzegoen jokoan. Kanpotiko momentu magnetikoaren eta spinari dagokion momentu magnetikoaren arteko akoplamendu bat dagoela esaten da ∇×A=B izaki. Pauliren ekuazioa postulatu bat izan zen, spina ad hoc sartzen zuena elektroiaren momentu magnetiko intrintsekoaren balioa zuzena, g=2 erlazio giromagnetikoaz, lortu ahal izateko. Hala ere, ekuazio hau eratorri egin ahal da Diracen elektroi erlatibistaren teoria fundamentaletik, ikusiko denez. Ikus dezagun zein zen ekuazioa bere funtsaz hausnartu baino lehen1:

1 Hemendik aurrera eragileei (q-zenbakiei) 'txapela' ipiniko diet eta bektoreak geziaz beharrean letra lodiz idatziko dira. Honela bada, letra lodiz eta 'txapelaz' idatzitakoak eragile bektorialak izango dira.

115

11 / 2 , 1 / 2

0

01 / 2 , 1 / 2

1

1 0,

0 1

i ℏ∂

∂ t=

12m[ p−

ec

A]2

V

Hemen, spinoreen formulazioari gehitzen zitzaion garrantzia nabarmenaz, eremu elektromagnetikoaren baitako elektroiaren momentuari eraginez sartu zituen teorian Paulik bere 2x2 spin-matrize famatuak spinaren hiru osagaiak definitzeko:

zyxis ,,)(,2

1 ,

non

01

10x

0

0

i

iy

10

01z

Erlazio hauek betetzen zituzten matrizeok:

1ˆ 2 ( zyx ,, )

0ˆˆˆˆ , antitrukaketa,

ˆˆˆ i , indizeen permutazio ziklikoa,

hain zuzen, momentu angeluar orbitalak bezalaxe. Paulik bazekien mugapen hauek bete behar zirela, baita 2x2 matrize konplexuek 8 dimentsioko askatasun gradua zekartela ere. Horrela, matrizeok aurkitzea, ariketa moduan, kalkulu aljebraiko sinple batzuk egitea baino ez zen. Sormena, kasu honetan ere, abstrakzioak zekarren, hipotesi ahulagoez bada ere une hartan behar zena eratorriko zuen egitura matematiko bat asmatuta. Abstrakzioa arreta indartzeaz gauzatu zen hemen ere, aurrerantzean ikusiko baita estruktura matematikoaren ildo nagusiak matrizeotan eta spinoreetan zentratzen direla. Sortzen hasi ziren estruktura matematikoek aurrekariak baldin bazituzten ere (Clifforden aljebrak eta espazio bektorialak), ez Pauli, ez Diracek ez zekiten ezer lan aitzindari hauei buruz. Ez zekiten estruktura aljebraiko boteretsu baten zati batzuk birsortzen ari zirenik. Honek analogiaren aukera baztertzen du sormen prozesu orokorrean, bitarteko pauso operatibo batzuetan biltzen du-eta bere parte hartzea.

Gerora jakin zenez, Hilberten espazioan edozein 2x2 matrize matrize identitate matrizearen eta Paulirenen konbinazio linealaz adieraz daiteke, hau da, ∀F=a0 I+∑ akσ k . Hots, matrizeok eta identitate matrizeak talde oso bat eratzen dute. Izan ere, gero jakin zutenez, talde jarraituen Lieren aljebran SU(2) talde unitarioaren1 generatzaileak dira Pauliren hiru matrizeak,

1 Talde unitarioak (matrize adjuntua eta alderantzizkoa berdinak dituztenak) bereziki garrantzizkoak dira mekanika kuantikoan bektore (irudikari) baten modulua kontserbatzen dutelako -matrize ortogonal batek bektore erreal batean burutzen duen eragiketaren analogoa. Espazio lineal konplexu n-dimentsional batean jatorritik puntu batek duen distantzia xx=∑ x i

· xi=∑∣x i∣2 da. Koordinatu transformazio batekin, y=Ux erakoaz, distantziak inbariante irauten

badu, orduan xx=y y=U xUx=xUUx=xUUx . Honexegatik betetzen da U matrize unitario bat izan behar dela, hots, U+U=1n dela. Honela bada, bedi x'=Ax eraldaketari aplikaturiko transformazio unitarioa, Ux'=y'=UAx=UAU-1y=UAU+y garatzen denez, A matrizea koordinatu berrietan A'=UAU+ dela frogatzen da.

116

espazio bi-dimentsional irudikariaren baitako errotazioari lotuak. Hau dela eta, inbariante mantentzen dituzte plano irudikariko distantziak, eta errotazio eragile klasikoaren baliokideak dira matematikoki.

Pauliren matrizeen propietateetatik edozein bi eragile bektorialentzako formula oso erabilgarri bat erator daiteke, beste gauza batzuen errotazio eragilearen zerizana aztertzeko:

A B= A Bi A x B.

Errotazio eragileak θ angeluaz n ardatz baten inguruan biratu nahi badu,

ˆ ˆS2ˆ ( )

i i

nT e e

n n

h

izango da adierazpidea. Esponentziala potentzia serieetan garatuz gero eta eragile bektorialentzako formula aintzat hartuz gero,

2 2ˆ ˆ( ) cos ( )sinnT i I n

erdiesten da. Partikularki, δθ errotazio infinitesimal bat,

1ˆ ˆ( )2nT i I n

bilakatuko da. Hemen gauza garrantzitsu bat ikusten da. Biraketak ez du uhin-funtzioa (kasu honetan funtzio spinoriala) δθ angeluaz transformatzen, baizik eta δθ/2 angeluaz. Propietate honek definitzen ditu spinoreak eta tentsoreetatik bereizten (A eskalarra, Ai bektorea, Aij tentsorea, etab.), tentsoreak angeluaren multiplo osoez transformatzen direlako. Adibidez, Oz ardatzaren inguruko biraketa batek ez du eskalar bat eraldatzen; A bektorearen osagaiak bai, baina bere modulua ez da eraldatzen, inbariantea da; hala ere, ψ spinorea honela transformatzen da:

1

2

1 1

2 2zi i

I n ,

eta ez da inbariantea 2π angeluko biraketa batekiko, azkar batean ikus baitaiteke errotazio ez-infinitesimalen ekuaziotik transformatua -ψ izango dela. Honegatik, spinonerak erabat bereizi behar dira bektoreetatik osagai anitzeko objektu matematikoak izan arren. Spinoreak, berariaz, ezin du

Pauliren matrizeetako zenbaki irudikariek espazio 3-dimentsional euklidearra gainditzen dutela dirudienez, interesgarria da i zenbaki konplexuaren esanahi fisikoaz ere hausnartzea. Izatez, matematikariek Pauliren aljebra deritzoten estrukturan, i zenbakia tribektore bat edo pseudoeskalar bat ordezkatzera dator, hots, hiru bektorek mugaturiko bolumen espaziala, zein beste bektoreak ez bezala (oinarrizko bektoreak eta planoak errepresentatzen dituzten bibektoreak) inbariantea den errotazioekiko. Azpi-espazio eskalar (dim=1), bektorial (dim=3), bibektorial (dim=3) eta tribektorialak (dim=1) espazio bektorial 8-dimentsional bat eratzen dute, espazio bektorial irudikaritzat hartuta 4-dimentsional bihurtzen dena. Halaz, bektore 3-dimentsional errealen aljebrak espazio 4-dimentsional konplexu bat eratzen du eta naturalki sartzen ditu zenbaki irudikariak fisikaren mundu errealean. Honela bada, Pauliren matrizeek indizeen permutazio ziklikoaz betetzen duten propietatean i zenbakiak aljebra orokorrean daukan tribektore zeregin bera du, bektore bat bider tribektorea bibektorea baita, justu permutazio erlazio horiexek beteaz. Hiru dimentsiotan irudika daitekeen (azalera gisa, bolumen gisa...) aljebra orokor honen estrukturan zegoen gakoa, edozein momentu angeluarren osagaiek bete beharreko erlazioak bere egiten baitzituzten spin matrizeek, 2x2 objektuak izanda ere.

117

zuzenki kantitate fisiko bat adierazi; hauen konbinazio bilinealek soilik izango dute zentzu fisikoa, izatekotan.

Gainera, spin matrizeok hamiltondarrarean ematen zen spin-orbita korrekzioa zuzen eratortzea ahalbidetzen zuten. Kontua, esan bezala, Shrödingerren ekuazioa ordezkatuko zuen eboluzio ekuazio bat eraikitzea zen spinaren jabe den elektroiarentzat. Pauli bere ekuazioa postulatzera eraman zuen sormen prozesua antzematekotan, eremu elektromagnetikoaren eraginagatik ohiko momentua momentu kanonikoarekin ordezkatu behar da hamiltondarrean, hots,

P=p−e /cA .

Bestalde, Pauliren matrizeen propietateetatik laster ikusten da p2= p2 dela. Honek esan nahi du Schrödingerren ekuazioan p2

p 2 ordezkapena egin dezakegula inongo aldaketarik eragin gabe. Hots, spinorearen bi osagaiek Schrödingerren ekuazio berbera beteko luketela ikusten da ordezkapen hori eginda ere. Orduan, analogia formal hutsez, kanpo eremu elektromagnetiko baten eraginpean dagoen elektroi bat deskribatzeko hamiltondarrean

p2 P2

P 2[ p−e /cA]2

ordezkapena egin daitekeela suposatzen da. Hemen dago Pauliren ideiaren funtsa une hartan sakoneko justifikaziorik gabe burutu bazuen ere. Funtzio spinorialetara hedatzen zuen problema espazioa (gerora dakigunez Hilberten espazioa) eta ebaluatiboki, justifikazio gehigarri gisa, ateratako ekuazioak inbarianteak ziren Galileoren transformazioekiko (translazioak eta errotazio 3-dimentsionalak), edozein teoria ez-erlatibistari dagokion moduan.

Berehala ikus daiteke guzti honek nola iragartzen duen egokiro elektroiaren momentu angeluar intrintsekoa. Honela deskonposa daiteke arestiko termino gako hori:

[ p−e /c A]2=[ p−e /cA]2i p−e /cA× p−e/ cA ,

eta p=−i ℏ∇ eta ∇×A=B denez, hasieran aurkeztu dugun Pauliren ekuazioak jatorrizko

i ℏ∂∂ t=

12m p−

ec

A2

V−ℏ e

2 mcB

forma hartzen du. Beraz, hasierako p2 P2

P 2 postulatuak zuzenki eratorri du 0 B elkarrekintza terminoa, Bohrren magnetoia ordezkatuta. Hamiltondarra berriz garatzean eta momentu angeluarraren menpe berridaztean Pauliren ekuazioak Larmorren elkarrekintza ekuazioa bortxatzen zuen 2 faktorea bereganatzen zuen spin-matrizeentzat Heisenberg eta Jordanek matrize mekanika medio topatu zuten gisan:

i ℏ∂

∂ t= H 0

e2 mc

B L2 S ,

ahaztu gabe S=12 definitu zela.

118

Kalkuluek bat egiten zuten Darwinek lortutakoarekin ere. Alta, emaitza inportantea izanda ere, teoriak artean spinaren balio erdi-osoa eta Thomasen korrekzio erlatibista ‘betelantzat’ zeuzkan, nolabait esatearren. Paulik, besteekin eta norberarekin beti bezain zorrotz, teoria artean soilik probisionala zela zioen. Agidanez, Paulik buru-estimu apala erakusten zuen bere metodo eta emaitzekiko, uhin-funtzioaren osagai batetik bira pasatzeko lehen pauso erabakigarria burutu zuena bera izanik ere, spinoreak eta spin matrizeak bezalako objektu matematiko berritzaileak sartuta ere.

Spinaren formulazio matematikoan Diracen notazio antisimetrikoarekin hasitako bidea findu zuen Paulik. Ohartu spina matrize legez formulatzeak eta i zenbaki konplexuak notazioz dakarren indarraz kalkuluari dakarkion askatasun graduagatik eta abstrakzio matematikoak dakarren sistematizazioaz:

-eragile matematikoei bete beharreko baldintza orotarako matrize erara behar besteko jokoa eman zaie, hau da, abstrakzioak dakarren problema espazioaren askatasun gradu handiagoa;

-uhin-funtzioez gain (hauek 2x1 zutabe-matrizetzat hartuta), eragile bezala aritzeko kapaz diren energiaren ekuazio hamiltondarrak eraiki dira teoria kuantikoaren baitako ezagutzaren sistematizazioaz. Honela, adibide interesgarri moduan, zenbaki konplexuak naturalki txertatzen dira kalkulu fisikoan, Pauliren aljebran espazio errotazioekiko inbariantea den tribektore edo pseudoeskalar bat ordezkatzen duelako;

- p2 p 2 ordezkapenak Paulik inbariantzarekiko zuen senaren indarraz jabetzeko

balio digu spin matrize transformazioaren moduluak konstante irauten baitu edozein bektorerentzat. Inbariantzak dakarren jokoa aprobetxatu nahi duen ordezkapen honek ematen dio forma definitiboa elkarrekintza energiari, 0 B terminoa zuzenean ekarriz.

-Honek berrantolaketa prozesu mailakatu bat dakar eta behe-mailako kontzeptuak goi-mailakoetan (abstraktuagoetan) barneratzen dira: elektroiaren spin biratzaile semiklasikotik Pauliren spin matrizeetara, eta hauen talde teoriapeko eratorpenetara. Halaber, fenomenoak arkitektura zientifiko geroz eta abstraktuago eta orokorrago batean sartzen hasiko dira mekanika kuantiko ez-erlatibistatik eremuen teoria kuantiko erlatibistarako bidean.

Indar notazional hau teknika matematiko xeheari eta beste esparru matematikoetako sinergia operatiboei lekua ematean gauzatu zela ikusiko da. Ebazpen manipulatiboa, bere soiltasunean, maneiu operatibo bat izan zen kasu honetan, analogiaz baino abstrakzioz gauzaturiko orokorpenaz. Analogiak ondoren etorriko ziren deskriptiboki, abstraituriko goi estrukturen izaera hobeki ulertu zenean, talde unitarioak eta errotazioak konparatuta, esate baterako. Kreazio aldian inbarianteen metodologiak hondoan leukakeen funts analogikoa da soilik analogia sortzaileei zeharkako leku bat eman ahal diena abstrakzio prozedura baten baitan beti ere. Bere matrizeak eta spinoreak postulatzean erlatibitate teorian espazio-denboraren baitan ezagutzen zituen errotazio matrizeekiko analogiaz jardun zuela pentsatzeak ez dirudi oso okerra, geroago talde teoriaren garapenak iradoki zuenez.

Hau gutxi ez eta Pauliren matrizeen matematikaz talde teoriaren argitan, transformazio batzuekiko aldagaitzak diren estruktura edo inbarianteak medio, pentsatzen hastean maila notazionalean lortutako ahalmenari teoria berri eta sakonago bat gehituko zitzaion prozesu kreatiborako, ia-ia deskubrimendu fisiko-matematikorako metodologia bat ezartzeraino. Inbariantzaren sena garatua zuen Paulik, aipatu bezala, erlatibitatearen testuan halabeharrez hausnartu eta maisuki landu baitzuen, baina artean ez zegoen mekanika kuantikoaren formulazio matrizial berrietarako eta bertako eragiketetarako aplikagarria zen metodorik egun simetriei egokitzen diegun zentzuan. Ez da akaso kasualitatea izango Noetherren teorema garrantzitsua

119

orduantxe agertzea Göttingenen, Hilberten agindupean zegoen fisikari eta matematikari talde biziaren altzoan.

1.3. Noetherren teorema inbariantzen aplikaziorako

Mekanika kuantiko berriaren genesiaren baitan eman zen hurrengo pauso garrantzitsua 1927-8 aldian talde teoria mekanika kuantikoari aplikatu zitzaion momentua da. Izan ere, aipatu legez, Pauliren spin matrizeak espazio errotaziopeko aldagaiztasunaz erator daitezke. Göttingeneko Unibertsitatea zen garaiotan talde teoriaren katedrala. David Hilbert matematikariak eta bere eskolak lantalde hagitz gogotsua eratzen zuen bertan, beste gauza batzuen artean fisikaren axiomatizazioa aztertu beharreko gaien artean zerrendatua zeukana. Hantxe garatu zuen Max Bornek matrize mekanika. Bertan formulatu zuen Noetherrek simetrien eta kontserbazio legeen arteko harremana ezartzen zuen teorema garrantzitsua. Eta, 1920-30 artean, bertan analizatu zuten Weylek eta Wignerrek mekanika kuantikoa talde teoriaren argipean.

Talde teoria aipatu aurretik komeni da Noetherren lana aipatzea metodologikoki fisikariei eskaini zien erreferentziagatik. Noetherrek (1918) hainbat teorema matematiko demostratu zituen eta haietan lehenengoa da Noetherren teorema legez ezagutzen dena. Honela dio: teoria fisiko baten Lagrangear propioaren simetriak teoria hori aplikagarri den prozesuetan kontserbatzen diren kantitate fisikoei dagozkie. Adibidez, bariazio kalkulua aintzat hartuta,

2

1

( ) ( , ( ) , ( ) )t

k k

t

I C L t x t x t d t

integrala inbariantea baldin bada n parametrodun Lieren talde baten eraginpean, C kurban zehar konstanteak diren n kantitate fisiko ongi determinatu egongo dira. Eta konstante mantentzen diren kantitateak fisikoki esanguratsuak izan ohi direnez, Noetherren teoremak ikerketarako errezeta metodologiko zehatz bat eskaintzen digu aztertu nahi den sistema fisikoa deskribatzen duen Lagrangearretik abiatuta. Epistemologikoki, sistema bakoitzean kontserbatzen diren magnitude fisikoen garrantzian datza auziak, sistema batetik besterako analogia formalak azalera ditzakeena. Teorema honek, sormenari dagokionean, metodo bat eskaintzen du sistema batetik bestera, kontserbatzen diren kantitateen eta hauek kontserbarazten dituzten taldeen izaera eta estruktura ikertzea interesgarri bilakatzen duena. Fisikariek maiz informalki diotenez, “adiera fisikodun kantitateak identifikatzeko balio du”, hots, honela identifikaturiko kantitateek errealitate fisikoan duten parte hartzeaz pentsa daiteke.

Mac Lanek giza jarduerak ehuntzen dituen matematikaren estrukturak saretzean eta elkarlotzean, eta arestian aipatutako giza jardueretatik eta hauei lotutako ideietatik garatu diren formulazio matematikoak sailkatzean, transformazio taldeei protagonismo zabala ematen die. Sailkapen horretan behaketa jarduerari lotzen dizkio simetriaren ideia eta honen formulazioa transformazio talde gisa. Higidurari loturiko aldaketaren ideian ere agertzen dira transformazio talde zenbait, baita jazoeren hurrenkeraren ideiaren formalizazioan ere. Kontzeptu formal hauek jarduera eskema gisa hobeki izenda daitezkeen jakin-min aitzin-matematikoetatik azaleratuko lirateke Mac Lanentzat. Pentsatzekoa da, horrenbestez, fisikari moderno batek simetriak aplikatu nahi dituen bakoitzean, muinean, buruan daukan etsenplu edo helduleku batekiko analogiaz berpiztuko lituzkeela eskema aitzindariok. Hau da, simetriaren jarduera eskemak kontserbaturiko estruktura inferentzial konkretu bat proiektatuko luke aurrean duen arazoan. Transferentzia gauzatu nahi duen izaera horretan legoke inbariantza eta simetriaren arrakasta orokortuaren arrazoia, ezaugarri esanguratsu bat abstraitzeko, gainontzekotik apartatzeko ahal horretan.

120

Fisikan talde teoriaren aipaturiko eszenaratzea poliki-poliki eman zen, eta magnitude garrantzitsuak kontserbarazten zituzten taldeen bilaketan kokatu behar da ahalegin hau. Helio atomoan Heisenbergek egin zuen lana jarraituz, Wignerrek Pauliren esklusio araua hedatu zuen spin gabeko hiru edo elektroi gehiagoko sistemetara. Von Neumann matematikariaren laguntza behar izan zuen kalkulu konplexuok gauzatzeko, eta honek Frobeniusen eta Schurren talde teoriari buruzko lana aholkatu zion bide horretan. Gauzak horrela, urteetako lanaren ondoren, 1928rako elektroiaren zinematika eta hainbat fenomeno espektroskopiko eratorri ahal izan zituzten talde teoria aplikatuz. Aplikazio hauetan ekuazio ezagunen transformazio deiturikoak burutzen ziren matrize errepresentazioa har zezaketen talde batzuen bidez, eta mekanika kuantikoaren ekuazio esanguratsuenak aldagaitz mantentzen zituzten transformazio taldeak hartzen zituzten aintzat. Bide honen bidez, partikularki, Pauliren spin matrizeak erdietsi ahal izan zituzten espazio errotazioen transformaziopean. Finean, talde teoria mekanika kuantikoan aplikatzen hasteak ikerketa ildo heuristikoki emankor bati bide eman zion.

Haatik, zenbait fisikarik ez zuten bide matematiko abstraktu hori begi onez ikusten, matematika xinpleena nahikoa ei zelako espektroen egitura ulertzeko. Izatez, talde teoriaren aplikazio erabakigarri bat artean ailegatzeke zegoen, hots, elektroiaren uhin-funtzioaren inbariantza ezartzen zuena, Lorentzen taldearen transformazioen baitan, hain zuzen ere. Honen aurkikuntzak mekanika kuantiko erlatibistaren aroa ireki zuen, oraintxe ikusiko dugun beste zutabe batekin batera. Zentzu honetan, Pauliren inbarianteekiko egoskortasuna eta aurrera begirako ikuspegi sakona nabarmendu egin behar da. Abstrakzio matematikoa, baliabide teorikoak 'puztu' eta menturaz errealitatetik urrun bazitzakeen ere, jarraibide sortzaile nagusitzat zuen Paulik.

Izan ere, ondorengo hamarkadetan talde teoriaren irismena oinarrizko partikulen adierazpideetaraino hedatu zen. Hilberten espazioko Poincaréren taldearen (Lorentzen taldea gehi translazio espazio-tenporalak) errepresentazioan proiekzio murriztezintzat agertzen dira partikula hauek. Hor agertzen da, adibidez, Lieren taldeen garrantzia gauge simetrietan. Honekin esan nahi da transformazio talde mota desberdinek (SU(3), SU(2) eta U(1) taldeek azken eredu estandarrean) jokoa eman dutela naturako partikula funtsezkoenetan eta euren arteko indarren jokamoldean sakontzeko, ekuazio gailenen simetria eta inbariantza heldulekutzat hartuta. Lilura sortzen dute ahalmen ia platoniko honegatik. Hala ere, modu heuristiko batez dihardute simetriek, ontologikoki errealitatearen estrukturaz ezer errebelatzen dutenik ezin baita ziurtatu. Fisika matematikoaren bilakaera kontzeptualaren baitan adabegi metodologiko ezinbestekoa da simetriena, batez ere mekanika kuantiko modernora pasa ahal izateko, elektrodinamika kuantikoarekin eta eremuen teoria kuantikoarekin.

Mac Lanek argi uzten ditu matematika eta mekanikaren arteko elkarlotura eta adabegiok zorrozki marraztutako bere zuhaitzetan, mekanika klasikoaren baitako ideien eboluzio kontzeptualaren azterketa moderno baten falta nabaritzen duen arren, mekanika kuantikoarntz-eta hedatzen diren adarkadurak ezagutzearren. Fisikako analogia formalak (egun jada formalizatuak daudelako ezagunak), arestiko Hamiltonen mekanika-optika analogia, edota jariakinen mekanika eta elektromagnetismoaren artekoa bezalakoak, ezin daitezke uler erlazio hauetaz jabetu gabe. Beste gauza bat da erlazio hauen kreazioan zein parte izan zuen analogiak. Kasu azterketa hau, nahiz eta esklusio arauaren eboluzioari lotu, norabide honetan ere badago bideratua, zuhaitzaren beheko partean umilki bada ere. Adibidez, Hamiltonen ekuazioek eta inbariantzak mekanika kuantikoaren estruktura formalean duten errotiko eragina erakusten da zuhaitz adar batean. Halaber, barietate diferentziagarriek Lierena bezalako taldeekin duten lotura aipatu behar da, taldeok barietate diferentziagarritzat jardun baitezakete talde jarraituak diren heinean. Hauxe da mekanikak matematika abstraktuarekin duen erlazioetako bat, non abstrakzioa gauzatzen den orokorpen funtsezko bat bideratuz, eta hala bildutako esparru teorikoetan mappingak saretuz analogia formal eta operatibo posibleentzat.

121

Irudia 1.3a: Mac Lanek (1986, 306 or.) zuhaitz hau aurkezten du fisika eta matematikaren arteko elkarkonexioak deskribatzeko. Azken partea da gure interesekoa, mekanika kuantikoaren jatorrizko adarkadurak eta bertatik proiektatzen direnak agertzen dira eta.

Guri dagokigun zuhaitz zatiari erreparatuta:

122

Definizioz, abstrakzioa emaitza fisikoak hipotesi ahulagoez lortzean oinarritzen da. Bide honetan maiz estruktura bat (talde teoriaren alderdi bat) aintzat hartzen da bere elementuen (matrizeen) jatorria aintzat hartu gabe, baina elementuotan gerta daitezkeen eragiketa guztiak (inbariantzak ezartzen dituztenak) kontuan hartuta, hauek axiomatizatuz eta ondorio esperimental oro ebaluatuz. Zentzu honetan, sormen operatiboa abstrakzio prozesu orokorrago baten barnean bakarrik uler daiteke. Metodologikoki orokorpena ziurtatu ezin den arren, abstrakzioz esparru ezberdinen arteko paralelismoak azaleratzen dira. Halatan, semiotikoki, sinboloena da manipulazioa, zeinu konbentzionalena, baina ezin dira ahantzi Pauliren matrizeek eta notazio spinorial berriak ikono diagramatiko eta barne-irudi mailan manipulatzaileari errebela diezazkiokeen eta oraindik xehatzeke dauden analogia posibleak.

Beraz, fisikariak bilatzen duen orokorpen teorikoa analogiaz gerta daiteke zenbait sormen unetan, A teoria baten eraikuntzan operatiboki arrakastaz martxan ipinitako simetria eskema baten maneiu sinbolikoa B teoriara transferi daitekeen heinean. Funtzio sortzaile operatiboa dute analogiok, eta erabilitako ikonoak barne-irudi mailakoak dira, diagramatikoki errepresentatuak.

2. Osziladore harmonikoaren kuantizazioa: igotze eta jaiste eragileak eta bigarren kuantizazioaren metodoa

Eremuen teoria kuantikoa zekarren etapa historiko garrantzitsuarekin hasi aurretik, adibide moduan eta Diracen 1927ko jauziaz jabetzekotan, bigarren kuantizazioaren metodoaren funtsa azaldu beharra dago, egungo notazioaz eta osziladore harmonikoarentzat baldin bada ere.

Kuantizazio kanonikoaren preskripzioa Poisson bracket klasikoak trukaketa bracketekin ordezkatzea da dagokion eragile kuantikoentzat:

[q j , pk ]PB= jk⇒[ q j , pk ]PB/ i ℏ= jk= q j pk− pk q j/i ℏ= jk

Trukaketa erlazio hau bete egiten da momentua p= ℏ

i∂∂ x eragile diferentzialarekin identifikatuz

gero, nahi bezala [ x , px ] x=i ℏ x lortzen delako. Momentuaren eragile diferentzialari

123

Hamiltonen ekuazioak

Hamilton-Jacobi

Barietate sinplektikoak

Inbariantza

Mekanika kuantikoa Elektroiak

Hilberten espazioa

Matrizeak Aljebra lineala

Autobalioak

begiratuta berehalakoa da p' autobalioa dakarren e i p ' x / ℏ Schrödingerren momentu auto-funtzioa. Lehenengo kuantizazioak koordinatuak eta euren momentu konjokatuak eragile izaerara jasotzen ditu partikula-uhin dualtasuna inposatzeko. Honela lortzen dira de Broglie uhinentzako uhin eragileak, autobaliotzat aldagai dinamikoen balio behagarriak dituztenak. Eremuen kasuan bracketen orokorpena [q , p]PB⇒[

x ,t ,∏ x ' , t =i ℏ x−x ' ] da denbora une berdinarentzat. Hauxe da, modu mardulean azaldua, bigarren kuantizazioaren muina, uhin eremuak c-zenbaki klasikoetatik q-zenbaki kuantikoetara jasotzen dituena, eta uhin-partikula dualtasuna osatzen duena partikulari uhin eremu ezaugarriak emanez.

Kuantizaturiko eremu hau partikulak baino lehenagokoa da zentzu ontologikoan, partikulen presentzia, sortze nahiz deuseztea, menpean duelako. osziladore harmoniko kuantikoaren soluzioa iturri analogiko ezinbestekoa da eremu-partikula harreman hau ulertzeko. Teoria kuantikoaren funtsezko alderdi baten aztergaia izango da hau, erakutsiko denez. Axiomatizazioa abstrakzioz gauzatzen denean gogo eskemek nola parte hartzen duten ere ikusiko da, osziladore harmonikoa, ongi axiomatizaturiko sistema fisikoa izaki, irismen zabaleko printzipio formal bat baita. Honek, abstrakzioa eta gero, balizko analogiak osziladorearen formalismotik abiatzea ekarriko du, batez ere segitako pausoei dagokionean.

Sistema harmoniko sinplearen Schrödingerren ekuazio unidimentsionalak eta geldikorrak x eta p eragile kuantikoak operatzen ipiniz gero,

−ℏ2

2 md 2

dx2 12

mw2 x2=E

forma hartzen du. Garrantzitsua izan ohi da ekuazioa aldagai adimentsionalen arabera berridaztea forma kanoniko bat eman ahal izateko. Honetarako x=α0ξ hartuko dugu ξ adimentsionala izaki eta α0 luzera unitatedun konstantea. Berdin egingo dugu ε energia adimentsionalarekin α0 determinatu ondoren. osziladore harmonikoaren ekuazio honela geratuko da ε= 2 m

ℏ2 02 E= 2 E

ℏw izanik:

− ' '2=ε .

Argi ikusten da tratamendu adimentsionalaz bakarrik osziladorearen energiaren unitate naturala ћw/2 dela.

Eraman dezagun problema muturrera, ekuazio diferentzialak infinituan duen portaera aztertzearren hau homogeneoa denean. Infinituan ψ∞ funtzioak agertuko duen soluzio matematiko homogeneoari, A e

2 /2B e−2 /2 , ξ oso handia denean uhin-funtzioa zerorantz doala gehituko

diogu. Beraz, fisikoki onargarria den soluzio orokorra =e−2/2 u izango da, non u funtzio

polinomiko bat izan behar den, uhin-funtzioaren portaera faktore esponentzialak zuzenki taxutzen baitu. Beraz, orain uhin-funtzio berria ordezkatu behar dugu berriro Shrödingerren ekuazioan u funtzioarentzat zein ekuazio diferentzial geratzen den ikusteko. Hor operatuz, Hermiteren ekuazio diferentziala ateratzen da, ε-1 zenbaki oso bikoitia izateko baldintzapean, zeinaren soluzioak Hermiteren polinomioak diren (Hn).1

Hemendik2 eragile ez-hermitear berezi batzuk defini ditzakegu (eskailera eragileak, edo igotze eta jaiste eragileak deituko direnak3) ekuazioaren propietateetan oinarrituta,

1 Ikus I Eranskina atal amaieran. 2 Ikus de la Peña (2006, 342 or.). 3 Ladder operators, eta raising and lowering operators, hurrenez hurren.

124

a=1

2

∂

∂=

1

2i p

a=1

2−

∂

∂=

1

2−i p

;

eta ekuazioak asko sinplifikatzen dira eragile berriok medio,

a n= n n−1

a n= n1 n1

,

adierazpide laburrak lortzen dira eta. Ohartu gauza garrantzitsu batez: â eta â+ eragileek transformatutako edozein auto-funtziok osziladore harmonikoaren ekuazioa beteko du berriro ere beste auto-funtzio batekiko proportzionala delako, hau da, osziladore harmonikoaren ekuazioa inbariantea da transformazio hauekiko. Beraz, ekuaziotik auto-funtzioak alboratuta eurek ere osziladore harmonikoaren ekuazioa beteko balute bezala dihardute.1

Emaitzok â eta â+ eragileak medio osziladore harmonikoaren izaera kuantikoa abantailaz azter dezakegula erakusten dute. Egia da orain arte ez dugula aurrez ezagutzen ez genuen emaitzarik lortu, baina egia da ere prozedura honek, kuantizazioaren maneiu sinbolikoarentzat ariketa metodiko bat ezartzen duenez, hasieran egina zegoen problema teoriko konkretuaren muga teorikoak gainditzen dituela. Muinean ohartarazi beharrekoa da ezen, deskripzio berri hau erabat axiomatizatua geratzen dela, w maiztasuneko osziladore harmoniko kuantiko bat sinpleki eta erabat defini daitekeela ekuazio gutxi hauekin:

H=ℏw a a12 , [ a , a]=1, a ⟨∣0 ⟩=0 .

Ekuazio sistema honek definitu egiten du osziladorea, funtsezko egoera (hutsekoa) oinarri hartuta. Ohartu: ekuaziook osziladorearen izaerari inongo erreferentziarik ez diote egiten, izatez, honen dinamikaz bakarrik dakar informazioa, eta ondorioz edozein osziladoreari aplika diezazkiekegu. Problema konkretu bat aingura analogikotzat hartuta orokorpen indartsu baten aukera iradokitzen da, osziladore harmoniko sinplea klasikoki ongi axiomatizaturiko printzipio formal bat izateaz gain, mekanika kuantikoan berdinki axiomatizatutako adierazpide formal bat aurkitu zaiolako.

Orokortuz ekuaziook erradiazio eremuaren osziladoreetan aplikagarriak izan behar dira, klasikoki beharrean kuantikoki tratatzen direnean. Ez hauek bakarrik, baita kuantiza daitezkeen beste eremu batzuk ere. Horrela bada, aingura formal hau oso aberatsa suertatzen da eta aplikazio aunitz dakartza fisika kuantikoan. Metodo ezagun bat eratu da, izatez, honen inguruan: eremuak kuantizatzeko hau erabiltzen denean bigarren kuantizazioaren metodoa deitu ohi zaio.

Eraiki bedi orain, guzti honen aplikagarritasunaren aurrerapen gisa, lotura bat osziladorearen eta fotoien artean arestiko igotze eta jaiste eragileak eremu elektromagnetikora ekarriz, eta sortze eta deusezte eragile bihurtuz. Era honetan, lehengo eraikuntza matematikoa erradiazio eremura transferituko da, non erradiazio eremu askea Fourier analisi bat medio osziladoreen gainezarmentzat jo daitekeen. osziladoreotako bakoitza kuantikoki tratatuz eta aipatu analogia gogoan izanik, Diracek 1927an garatu dugun formalismoaren baitan deskribatu zituen fotoiak. Gero ikusiko da xeheago nola zehaztu zuen hau, baina orain, datorrena ulertzearren, egungo notaziotik eta egin den 1 Ikus II Eranskina atal amaieran.

125

analisitik abiatuta ariketa funtsezko batzuk egingo ditugu fotoiaren adierazpidearentzat. Hemen osziladorearen eta fotoien arteko analogia nola gauzatzen den argituko da, interpretazio berri bat dakarrena igotze (sortze) eta jaiste (deusezte) eragileentzat.

Dakigunez ℏ w fotoi bakoitzaren energia da. Nola interpretatu behar dugu orduan E=nℏw ekuazioa? Bada w maiztasuneko n fotoi izango dira, n eremuaren kuantu kopurua

izango da eta. Ezarritako analogiari erreparatuta honela eragingo du sortze eragileak hutsuneko egoeran:

a 0= 1 , eta n aldiz eraginda an 0= n ! n ;

halaxe w maiztasuneko n fotoi lortzen da. Egiaz fotoiei dagokien sorkuntza-deuseztapen interpretazio honetan definitzen da, eta definitu ziren, aipatu eragileak sortze-deusezte eragiletzat. Hortaz, â+(w) eragileak w maiztasuneko fotoiak sortzea ahalbidetzen du hutsuneko egoeratik abiatuta. Berdintsu gertatzen da deusezte eragilearekin: a 1= 0 edota a n= n n−1 ; beraz, â(w) eragileak w maiztasuneko fotoiak deuseztatzen ditu. Hemen txertatzen da fotoien eta osziladore harmonikoaren arteko zubi analogiko formala aurkeztu berri dugun ildoan.

Aipatu legez, deskribaturiko formalismoari bigarren kuantizazioa deritzo. Lehenbiziko kuantizaziorik ez duten elektromagnetismoa bezalako eremuak badaude, baina beste batzuk, Shrödingerren eremua bera etsenplurako, hasiera batetik dira kuantikoak, eta honen Fourierren osagaiei prozedura hau aplikatuz gero bigarren kuantizazioa ere erdiesten da. Hauxe da izen hau erabiltzearen arrazoia, izan ere, edozein eremu, klasikoa nahiz kuantikoa izan, kuantizagarria da prozedura hau jarraituz. Bigarren kuantizazioko eremuen teoria orokorrari eremuen teoria kuantikoa deritzo; honen baitan dago elektrodinamika kuantikoa, hots, Maxwellen eremuen teoria kuantizatua.

Elektrodinamikaren kuantizazioa hobeki ulertzeko erradiazio eremua hartu behar da aintzat. A(x, t) eremu klasikoa ∑ a0e i k . x−i wk t bezala adieraziko da, wk=c|k| izanik, eta osziladore multzotzat jo daiteke, bere anplitude lokala puntuz puntu aldatuz. Espazioko puntu bakoitzarentzat unean-uneko anplitude batek dihardu horrela, a t =a0 e−iwt , aw k

2 a=0 ekuazioa betetzen duena, hots, ohiko osziladoretzat deskribatua. osziladore harmoniko geldikorraren eskailera eragileentzat egin den oharra oroitu behar da hemen, nola inbarianteak diren osziladore harmonikoaren ekuazioarentzat, hots, auto-funtzio bat baldin bada âψ nahiz â+ψ auto-funtzio izango dira. Hementxe dago, hain zuzen ere, analogiaren gako nagusia, hau da, anplitudeok bihurtu behar dira interpretazio kuantikoan sortze eta deusezte eragile, eta honakoxea da egin beharreko ordezkapena transferentzia analogikoan:

a0 → â, a0* → â+ , non [â, â+]=1 den;

eraldaketa honekin eremua eragile edo q-zenbaki bihurtzen da, uhin zenbakiaren espektro osoan lerratzen diren osziladoreen kopurua k bakoitzarentzat N(k) dela kontuan izanda ororen eragina bilduko duen batukarian:

A x , t =∑ N k a k ei k · x−i wt

ak e

−i k · xi wt ;

eta, noski, definizioz E=−∂ A/c∂ t eta B=∇× A izango dira. Eremu guztiok eremu eragileak dira orain eta lege kuantikoak betetzen dituzte.

126

Bestalde, analogiarekin segituz eta gero ikusiko den Göttingen-Cambridgeko preskripzioan onartzen zen bezala, egoera jakin batean aurkitzen den fotoi kopurua ematen digun eragilea N=â+â da, bere autobalioek w maiztasuneko n fotoi ematen baitigute osziladore harmonikoak bezalaxe. Honenbestez, eta notazionalki argitzearren, Ψn uhin-funtzioa zena |n> moduan idatzi ohi da, zeinari ongi definituriko kuantu kopurua dagokion. Horregatik, notazioari dagokion N|n>=n|n> errepresentazioan, N eragileari okupazio zenbakia deritzo. Sortze eta deuseztatze eragileak eta okupazio zenbakia trukakorrak ez direnez, |n> ez da lehenbizikoen auto-egoera. Honek errepresentazio honetan eremuen anplitudeak balio definitu gabeak dituztela esan nahi du, hots, eremuak fluktuatzaileak direla. Honenbestez, E eta B eragileak eraikitzen direnean ez direla trukakorrak aurkitzen da. Hau edozein fotoi kopururi aplikatzen zaio, baita hutsuneko egoerari ere. Arrazonamendu analogikoari tiraka ateratzen den ondorioa arras interesgarria da: eremu elektromagnetikoaren hutsuneko egoera eremu elektrikoak eta magnetikoak, biek, batez bestekotzat zero dutenean gertatzen da, ⟨0∣E∣0⟩=0 eta ⟨0∣B∣0 ⟩=0 , baina hauen dispertsioak, E2 eta B2, ez dira nuluak. Honek energiaren dentsitatearekiko proportzionala den ⟨0∣E2B 2∣0⟩ terminoa ez-nulua izatea dakar, hots, bi dispertsioak ezin dira simultaneoki zero izan, bestela funtsezko egoerako energia deuseztatuko litzatekeelako. Izan ere, analogiaren iturrira itzuliz, eremua osatzen duen osziladore bakoitzak, kitzikatuta ez dagoenean (hau da, hutsuneko egoera funtsezkoan), hν/2 energia ekarpena egiten duela ez da ahaztu behar. Hau dela eta, hutsuneko eremu elektromagnetikoan intentsitateek zeroaren ingurumarian fluktuatzen dute; fotoi bakar bat ez egonda ere energia eta fenomeno elektromagnetikorik badago. Beraz, oro har, edozein sistema fisiko kuantizatzean fluktuazioak sartzen dira berariaz sistemaren baitan, sistema kuantiko orok daukalako zero puntuko energia ez-nulu bat osziladore harmonikoak bezalaxe.

Bigarren kuantizazioaren formalismoak elkarrekintzaren bategatik partikula mota baten kopurua aldatzen duten problemak askatzea ahalbidetzen du; adibidez, atomoaren eta hutsuneko eremuaren arteko elkarrekintzak lehenengoari ν=(Ei-Ef)/h fotoi bat igorrarazten dionean. Baina metodoak fenomenologia zabala har lezake bere gain: esaterako, fotoi batetik elektroi-positroi bikotearen sortze prozesua ere honela azaltzen da egungo partikula fisikan. Prozesu honetan elektroi eta positroi eremuaren hasierako egoera zero partikulakoa da; bukaeran bi daude. Sortze eta deuseztatze eragileak dira (ikusiko denez, elektroi eta positroientzako eragile analogoak beharko dira) prozesuon deskripzioa ahalbidetzen duten tresnak espazioko puntu konkretu batean partikulak sortzen eta deusezten dituzten eremu eragileen baitan. Hemen partikula bakoitzaren egoera kuantikoa bere momentuaren arabera enumeratzen da eta eremu eragileak egoera hauentzako sortze eta deusezte eragileei Fourier transformatua aplikatuta eraikitzen dira. Adibidez, fotoien deusezte eremua r =∑ j e i k⋅r a j izango litzateke.

Nabariena da etsenplu guztiotan egoera gailen bakoitza lor dezakegula dagozkion sortze eragileak dagokion hutsuneko egoeraren gain aplikatuta. Izan ere, elkarrekintza energia adierazten duen hamiltondarraren batugaia da partikula kopurua aldatzeko kapaz diren sortze eta deuseztatze eragileak barne dauzkana. Ildo honetan, jarraian ikusiko dugun aurrerapen ezinbestekoa burutu zuen Diracek 1927an atomoaren eta erradiazio eremuaren arteko elkarrekintza kuantikoki tratatzerakoan.

Paulik nabarmentzen duenez (1933), bigarren kuantizazioaren metodoa egoera simetrikoko partikula materialen eta erradiazioaren argi-kuantuen arteko analogia aintzat hartuta garatu zen, grosso modo arestian deskribatu den eran. Alta, artean zalantzan jartzen zuen analogiaren egiazkotasun fisikoa, frogatua izan baitzen uhin mekanikaren emaitza oro metodo hau gabe ere lor zitekeela. Metodoak geroz eta esanahi fisiko gailenagoa hartuko zuen haatik, baita spin-estatistika konexioan bertan ere, Esklusio Printzipioaren azken formalizazioan, eremu kuantizazioak froga erabakigarri bat eskainiko zuen eta honetarako.

2.1. Elektrodinamika kuantikotik eremuen teoria kuantikora

127

uhin-funtzio simetrikoak eta antisimetrikoak ikaragarri konplexuak dira sistema kuantikoak zuzen deskribatzen dituzten arren. Hiru partikula identikoren kasua hartzen badugu, hauen tratamendurako sei (=3!) osagai behar ditu uhin-funtzioak. Gainera, hala eraikitako uhin-funtzio batek soberako informazio gehiegi izan ohi du. Bedi, etsenplurako, bi partikulako uhin-funtzio bat,

1 2 2 1

1( ) ( ) ( ) ( )

2nm n m m nr r r r ;

ohiko hizkeran 1 partikula n eta m egoeretan batera aurkitzen dela esaten da, bietako batean ere bereziki egon gabe. Antzera, n egoeran dagoen partikulak r1 eta r2 posizioak konpartitzen ditu, eta horregatik esaten da egoera deslokalizatuan dagoela. Alabaina, azken finean behar izaten dena estatistika bat edo beste betetzen duen deskripzio murriztu bat da, n eta m egoerak konpartitzen dituen partikula bikotearentzat. Ikuspegi honetan banaketa espazialari buruzko edozein informazio soberan dago.

Bigarren kuantizazioaren metodoak partikula identiko anitzeko deskribapen sintetiko edo murriztu batera garamatza preseski, giltzarri diren kalkuluak egitea eta adiera fisikoak aztertzea ahalbidetzen duena. Honela garatu zen ideia berriak sortu zituen axiomatizazio prozesua.

Horregatik esplikatu da lehen osziladore harmonikoaren kasua, sistema sortze eta deuseztatze eragileen arabera erabat definitzea permititzen duelako modu esanguratsuan, axiomatikoan. Hala egin daiteke eremuen teoria kuantikoan ere, eremu elektromagnetikoaren kuantizazioan egin dugunaren antzera. Eta halaxe egin daiteke Diracen eremuarekin ere, Pauliren ekuazioaren bertsio erlatibistak deskribatzen duenarekin.

1927ko otsailean aurkeztu zituen ideiok estreinakoz Diracek alimaleko eragin teorikoa izango zuen artikulu baten bidez. Mekanika kuantiko berriari garapen garrantzitsuak aitortzen zizkion arren, elektrodinamikari zegokionean hankamotz ei zegoen aurrerabidea. Hutsune hau bete nahi zuen Diracen artikuluak, eta horrelaxe jaio zen elektrodinamika kuantikoa.

Aurrekari batzuk ezarriak zituen jada zentzu honetan, metodo nagusiaren ildoak marrazten zituztenak. Aurreko urtean, adibidez, gorputz beltzaren erradiazio eratorri ahal izan zuen argi-kuantuak aintzat hartu gabe. Prozedura hau ikustearren demagun sistema atomiko bat Schrödingerren ekuazioak era honetara deskribatua:

H 0−WV =0 ,

non H0 perturbatu gabeko hamiltondarra den, V perturbazio potentzial erreal bat, eta W perturbatutako sistemaren autobalioak. Gauzak honela, bitez am koefizienteak ψm auto-funtzioez higidura ekuazioaren soluzio, zeinak denboraren menpekoak izango diren eta euren balio absolutuek m-garren egoeran une jakin batean dagoen atomo kopurua emango diguten aipaturiko preskripzioaz: N m t =am t ⋅am

✴ t . Honela bada, m egoeran dagoen partikula kopuruarentzat Schrödingerren ekuazioan oinarritutako higidura ekuazio bat eraiki daiteke, hots,

( ) ( )m m m m m m nm m m nm mn

i N i a a a a a V a a V a & & &h h ,

non Vmn matrize elementuek

128

m mn mm

V V

ekuazioaz perturbazio potentziala erabat determinatzen duten. Puntu honetan, V potentzialak polarizatutako erradiazio erasotzaileagatiko atomoaren perturbazioa deskribatzen zuen kasurako Diracek

( )n mi W W tmnV e h

proportzionaltasun baldintza ezarri zuen, eta am soluzioa proportzionaltasun konstantearekin erlazionatutako parametro baten berretura serie gisa hedatu. Honela, argi-kuantuak aintzat hartu gabe, dotoretasunez, gorputz beltzaren legea eratorri zuen Diracek eremuen teoria kuantikoa asmatu baino apur bat lehenago. Funtsean metodo hau aurrerantzerako bere egiten du Diracek (1926b, 507 or.): “uhin-ekuazioa matrize elementuen kalkulurako laguntza matematiko soil gisa erabiltzea” zen kontua “gero matrize elementuen suposizioen arabera interpretatzeko”1. Hots, adiera fisikoak matrizeetan zetzan, eta bestelakoak hauek argitzeko tresnak baino ez ziren abstrakzioa ziotzat zuen sormen prozesuaren baitan.

Orokorpenaren bila eta aurretiko lan honen abstrakzioarekiko eta osziladore harmonikoaren kuantizazioarekiko analogiaz, maneiu sinboliko hauen ildoan garatu zuen Diracek elektrodinamikaren teoria kuantikoa. Kasu honetan orokorpena pauso analogoak medio suertatzen da, non problema ahalik forma orokorrenean formulatzen duen Diracek gorputz anitzeko sistema perturbatu bat aintzat hartuta. Ohartu orain potentzial perturbatzailea atomoetatik datorrela, eta sistema perturbatugabea erradiatzen ari den osziladore multzoak eratzen duela.

Hau da, badago Bose objektuen multzo bat (erradiazio eremu baten osziladoreak) potentzial perturbatzaile baten (atomo bat) eraginpean. Diracen metodoak bere transformazio teoria orokorra2 aplikatzen zuen aldagai jarraituen matrize elementuak delta-funtzioez adierazita. Bere prozedura orokortuaren araberako transformazio kanonikoen sekuentzia bat burutu zuen honenbestez. Hots, bere aljebra ez-trukakorraren baitan, antzeko tratamendu bat garatu zuen elektrodinamika kuantikorako. Er eta θr aldagaiak q-zenbaki edo eragile bihurtu zituen w=2r angeluak eta

S=E r /2r akzioak osatutako aldagai kanoniko parea transformatuz; izan ere, S beti ℏkonstantearen multiploa denez, Er ℏ wr kantitatearen multiploa izan beharko da. Beraz, higidura ekuazioa ezartzen duen ohiko baldintza kuantikoa,

r E r−E rr=i ℏw r ,

1 […] using the wave equation merely as a mathematical help for the calculation of the matrix elements which are then interpreted in accordance with assumptions of the matrix elements.2 Mekanika klasikoan sistema dinamiko baten eboluzio tenporala transformazio kanoniko batek emana dator, hau da, ekuazio kanonikoak inbariante lagatzen dituen transformazioa medio. Halaber, mekanika kuantikoan transformazio unitarioen eta kanonikoen arteko erlazioa aztertuz gero, arau jakin batzuk betetzen dituzten transformazio unitarioek mekanika kuantikoaren ekuazio kanonikoak inbariante mantentzen dituztela frogatzen da. Transformazio teoria hau medio mekanika zerutiar klasikoarekin erabateko analogian zegoen perturbazio metodo sistematiko bat ezarri ahal izan zen. Kontua zera zen, p (momentu) eta q (posizio) bikote kanonikoak transformatuko zituen matrize bat topatzea bikotearen izaera kanonikoa eraldatu gabe. Praktikan, Diracek (1926a) nahi zuena akzio-angelu prozedura sistematiko bat ezartzea zen sistema periodiko anitzen energia egoerak konputatzearren. Halatan erdietsi zuten azkenean sistema periodiko kuantikoak mekanika klasikoko Hamilton-Jacobi prozedurarekiko analogiaz deskribatzea, non transformazio matrize orokortua egikaritzea lortu zuen S(q,p) akzio funtzio klasikoa eta dagozkion ekuazio diferentzial partzialak

( p= ∂S∂ q eta q=− ∂S

∂ p ) berrinterpretatuta.

129

berehalakoa zen. Honela bada, erradiazio eremuak argi-kuantu propietateak hartzen ditu. Teorizazio honen ondorio sakon bat zen ezen, eremuaren eta atomoaren arteko elkarrekintza deskribatzen zuen hamiltondarra, modu klasikoan hartuta nahiz eremua Bose-Einsteinen estatistikaren araberako argi-kuantuen multzotzat hartuta, bi kasuetan analogoa zela.

Bose objektuen multzo batez eraturiko sistema baten hamiltondarra kontsideratzeko, perturbatu gabekoa, H0 (Wr autobalioekin), gehi perturbatutakoa, V, hartu zituen kontuan Diracek, eta halatan eraiki zuen Schrödingerren ekuazioa, i ℏ ∂

∂ t =H 0V , zeinaren soluzioa, , perturbatu gabeko sistemaren r auto-funtzioen gainean hedatuta eraikitzen zen, =∑r ar r , non ar koefizienteak denboraren funtzio diren soilik, eta ar ar

✴ , ohiko interpretazio probabilistikoaren arabera, sistemaren probabilitatea den une orotan berau r egoeran aurkitzeko. Baina Diracek zerabilen Gottingen-Cambridge preskripzioaren arabera, anplitudeen karratua egoera horretan zegoen partikula kopurutzat har zitekeen. Hor zegoen, osziladore harmonikoaren kuantizazioarekiko analogiaz ezarria, Diracen sormen prozesuaren aitzin-uste interpretatiboetako bat gorputz beltzaren erradiazioa lortu zuen kasuan bezalatsu.

Hortaz, anplitudeak ziren gakoa egoera baten okupazio zenbakiaz aritzeko eta tratamendu kontzeptual estatistiko batera iragateko. Anplitudeok eta euren konplexu konjokatuak aldagai dinamikoen bikote kanonikotzat hartuta, eragileen transformazio legeaz

H 1=∑rsar✴V rsa s

izango da hamiltondar perturbatzaile osoa, Vrs potentzial perturbatzailearen matrize elementu transformatuen batukaria eginda. Ohartu konjokatu kanoniko bikotea osa daitekeela, hots, baldin eta

Qr=ar , P r=i ℏar✴ bada, funtsezko Qr=∂ H 1/∂ P r , P r=−∂H 1/∂Q r ekuazio kanonikoak

konplitzen dira. Ondoren,

ar= N r e−ir /ℏ , ar✴= N r eir /ℏ

kontaktu transformazio ohikoaz (ohartu ∣a∣2=N r dela) r egoeran zegoen objektu kopuru probablea eta zegozkion Φr faseak sartu zituen. Beraz, orain, lehen lortu denaren antzera, aldagai berrientzat N r=−∂H 1/∂r , r=−∂H 1/∂r lortu zuen Diracek.

Garapen matematikorako beste definizio hauek ezarri zituen Diracek anplitudeak konjokatu kanonikoak izan behar zirela aintzat hartuta eta perturbatu gabeko energia multzoekin lotutako denbora faktore egokiagoak sartuta, br= ar e−i W r /ℏ , jada eragile gisa idatzita eta Wr r egoeraren energia izanik. Өr fase berri baten bidez okupazio zenbakiaren menpe jar zitekeen eragile hau,

br= N r1/2e−ir ,

rӨ eta Nr aldagai kanoniko berriekin, hain justu transformazio teoria orokorrean azaltzeko erabili diren terminoak berreskuratuz Nr energiarekiko proportzionala izan behar dela kontuan hartuta.

Puntu honetan gauza bat nabarmendu behar da: orain arte partikula independentez osatutako gas baten perturbazioa aztertu da, baina Diracen xedea Bose-Einstein estatistika obeditzen zuten partikulen perturbazio teoria kuantikoa garatzea zen. Trantsizio honetan aldagai berriok q-zenbaki

130

gisa tratatzean oinarritzen zen pauso erabakigarria, hots, trukaketa erlaziook betearazita lehen osziladorearentzat egin den eran:

ˆ ˆ,r s r sb b , 0ˆ,ˆ sr bb , 0ˆ,ˆ sr bb ;

honela gauzatzen da sistemaren axiomatizazioa, dagoenik abstrakzio prozesu gogorrena, pauso analogoak medio. Osziladore harmonikoaren kuantizazioa eta Diracen lehenbiziko ahaleginak izan ziren pausook gidatzeko iturri. Guzti honek eragile gakoa

br= N r11/2e−ir=e−ir N r1/2

br✴= N r

1 /2eir=e

ir N r11/2

erara birdefinitzea zekarren portaera estatistikoa aintzat hartzeko. Izan ere, ekuazio hauetatik froga zitekeen Nr zenbaki oso ez negatiboa izan behar zela. Egoera kuantiko ezberdinen okupazio zenbakia, bertan aurkitzen zen partikula kopurua, zenbaki kuantiko bat gehiago bihurtzen zen estatistika honen baitan.

Jarrai bitez hurrengo pausoak. Sistema perturbatuaren elkarrekintza hamiltondarra, V, aldaketa sinplifikatzaile batzuk medio,

rs=V rs [iℏW r−W st ]

idatzi zen, hamiltondar totalaren matrize elementuak

rsrsrrs vWH

erara eta hamiltondarra partikula zenbaki eta faseen arabera adierazteko:

H=∑rs brs✴ H rsbs=∑r W r N r∑rs rs N r

1/2N s1 /21−rs e

i r−S /ℏ

Lehen batugaian r egoeran dagoen partikula kopurua partikula bakoitzak duen energiarekin biderkatzen da, denak batuta atomoaren eraginetik kanpo erradiazioak (argi-kuantu multzo gisa) leukakeen energia propioa kalkulatzeko. Bigarren batukarian, aldiz, elkarrekintza dago jokoan eta perturbazio energia adierazten da. N partikula kopuruaren erro karratuek arestiko anplitudeekiko interpretazioa betetzen dute eta energia b b faktorearekiko proportzionala da. Schrödingerren ekuazioak ondorioz zekarren higidura ekuazioak bere karratuaz N1 partikula 1 egoeran, N2 2 egoeran eta abar izateko probabilitatea dakarkigun 1 2 3( , , ,...)N N N uhin-funtzioaren eboluzio tenporala definituko zuen era honetara:

1 2 1 2( , ,...) ( 1 ) ( , ,..., 1,..., 1,...)r s r s rs r srs

i N N H N N N N N N &h ,

131

non partikula bakoitzaren posizioa eta egoera beharrean, nahikotasunez deskribatzen den uhin-funtzio orokorraren eboluzioa egoera bakoitzean dagoen partikula bosoniko kopurua zehaztuta.

Bide honen amaieran erakutsi zuen Diracek N partikula dituen sistema hau materia eremutzat jo daitekeela, erradiazioak argi-kuantu propietateak dituela erakusten duen antzera. Jordanek aurreragoko artikulu batean idatzi zuenez (1927, 473 or.), Diracek erakutsi ahal izan zuen ezen, “argi-kuantu gasaren analogiaz, espazio hiru-dimentsionaleko uhin kuantizatuak medio, gas ideal materiala errepresentatzeko Einsteinen ideia zehazki gara daitekeela”1

Honenbestez, artikulu aitzindari hauetan agertu ziren eremuen teoria kuantikoaren funtsezko formalismo batzuk lehenbizikoz: b eta b* aldagai berriak, beren trukaketa erlazioekin, egungo partikulen sortze eta deuseztatze eragileak baino ez dira; Nr aldagaia okupazio kopuruari dagokion eragilea da, eremuen teoria kuantikoaren Fock errepresentazioan r egoera okupatzen duten partikula bereizezinen kopurua adierazten duena2; eta teknika orokorra, egun eremuen teoria kuantikoa ezaugarritzen duen bigarren kuantizazioa baino ez da. Aitzitik, Bose-Einstein estatistika eta uhin-funtzio simetrikoentzat eginiko analisi honek hedapen baten beharra zuen, elektroi multzoetarantz eta Fermi-Dirac estatistikarantz, artean egiteke zegoen lan gaitza.

Matrize mekanikan buru-belarri ari zen Pascual Jordan izan zen materia eremu gisa tratatuko zuen norabide honetan lehen pausoa eman zuena, Göttingeneko Max Bornen ikasle bat berriro ere. Urte bakar batean, ekarpen fundamentalak egin zituen eremuen teoria kuantikoaren garapenean. Berebiziko trikimailu matematiko bat asmatu zuen. Bosoien sortze eta deuseztatze eragileentzako trukaketa erlazioak erabili izan ziren gisan, Jordanek antitrukaketa erlazioak sartu zituen fermioientzat. Ildo kreatibo berdinak dirau hemen ere: jardun manipulatiboaren baitan pauso analogoak medio birfintzen da problemaren axiomatika.

Jordanek ez zuen nahi Diracen aljebra sinpleki onartzea, gehiago nahi zuen, eta ahaleginak egin zituen Bose kuantuen trukaketa erlazioetan oinarritutako anplitudeekin erlazionatutako errepresentazio bat aurkitzeko. Poissonen bracket formalismo klasikotik abiatu zen aldagai kanonikoei zegokien gisan. Alabaina, antitrukaketa erlazioek ez zuten aurrekaririk teoria klasikoan, hautsi egiten zen erabat analogia klasikoa. Jordanen aburuz, paradoxa bat zegoen qp-pq=ih trukaketa erlazio kanonikoetan elektroi biratzaileari zegokionean. Ez zegoen θz angelu klasikori zegokion analogo kuantiko bat sz spin momentu angeluarrarekiko konjokatua zatekeena, elektroi biratzaileak Pauliren spin matrizeak soilik permititzen zituelako aldagaitzat. Bi arrazoi nagusi zeuden (Duck eta Sudarshan, 1989, 169 or.): intuitiboki, ez zegoelako markatzaile bat elektroi biratzailean desplazamendu angeluarra neurgarri egiteko; matematikoki, Pauliren 2x2 spin matrize finituak ezin zuelako konjokatu jarraitu bat ukan.

Dirac jarraituz baina arazook kontuan izanda, Fermi-Dirac gas ideal bati zegokion teoria garatu zuen. Honek sortze eta deuseztatze eragileak birdefinitzea eskatzen zuen, non Pauliren esklusio arauaren konplimendua Nr okupazio kopuruaren eragilean kokatu behar zen, zeinak 0 eta 1 autobalioak soilik har zitzakeen, Bose-Einstein kasuko 0, 1, 2, 3… balio mugagabeen kontrara. Guzti hau bideratzeko Jordanek bere lehen artikuluan aurkeztu zuen ideia nagusia spinoreak erabiltzea izan zen 2x2 matrize errepresentazioaz. Hargatik Diracen eragile konjokatuak matrize adjuntu (konjokatu irauli) bilakatuko ziren orain: b✴ b . Jordanek Diracek bezalaxe Nr, θr

eragile konjokatuak erabili bazituen ere, errazago ikusten da afera

1 Dirac has recently shown how Einstein's idea of representing the ideal material gas, in analogy to the light-quantum gas, by quantized waves in the conventional three-dimensional space can be carried out exactly [...]2 Fock errepresentazioa arestian aipaturiko okupazio kopuruaren araberako errepresentazioa da. Ket notazioa medio adierazi ohi da, 1 2 3, , ,...n n n , non n=n1+n2+.... partikulako egoera bat adierazten den, 1 egoeran n1 partikula, 2 egoeran n2

partikula, eta abar daudelarik. Zenbaki multzo hau n zenbakiaren partiziotzat hartzen da, eta partizio posible guztien multzoak adierazten du sistemaren egoera posible guztiena. Etsenplurako, berezia da zentzu honetan 0 keta edo hutsuneko egoera, okupazio zenbaki guztiak hutsik dituen n1=n2=...=0 egoera.

132

br=0 10 0 , br

= 0 0

1 0 ; N r=br br=0 0

0 1 , =

2 0 11 0

matrize errepresentazioaz. Ohartu matrize adjuntua iraulia dela zuzenki, okupazio zenbaki matrizearen autobalioak 0, 1 direla Esklusio Printzipioa obedituz, eta faseari dagokion matrizea Pauliren x spin matrizearekiko proportzionala dela; ohartu baita e i r=i 2

r dela ere.

Hastapeneko ideion erabateko formalizazioa Wignerrekin batera idatzi zuen “Pauliren baliokidetza-arauaz” izendaturiko 1928ko artikuluan txertatu zuen. Fermi-Dirac estatistika obeditzen zuen gas ideal bat uhin-eremu 3-dimentsional batez deskribatua zegoen, zeinaren uhin-anplitudeen propietateek Pauliren araua obeditzen zuten matrizeekin aurreratu den gisan. Nr

okupazio zenbaki eragilea

rrr bbN ˆˆˆ eta rrr bbN ˆˆˆ1

definitu zuen,

br=1− N r1/2e−ir

br=e ir 1− N r

1 /2

menpekotasun ekuazio berriekin. Diracen aurretiko analogiaz forma jada ezagun bat hartzen dutenak. Baina oraingoan antitrukaketa zen deskribapen fisikoa axiomatizatzen zuen erlazioa,

rssr bb }ˆ,ˆ{ , ˆ ˆ{ , } 0r sb b , 0}ˆ,ˆ{ sr bb ,

aldagaien batura hartzen zuena aintzat. Erlazio axiomatiko hauetatik laster batean

0)ˆ(,0ˆ0ˆˆˆˆ}ˆ,ˆ{ 22 srrssrsr bbbbbbbb

ondoriozta zitekeen, zeinak partikula kopuru eragilearentzat

222 )ˆ()ˆ(ˆˆ)ˆˆ1(ˆˆˆˆˆrrrrrrrrrrrr bbNbbbbbbbbN

ezartzen zuen, hots,

0ˆˆˆˆ 22 rrrr NNNN ;

ondorioz, Nr okupazio kopuruak 0, 1 balioak soilik har zitzakeen, Pauliren Esklusio Printzipioak eskatzen zuen gisan. Halaber, hutseko egoeratik abiatuta sortzen zen bi partikulako egoera ere antisimetrikoa ateratzen zen:

133

Honela bada, Fermi-Dirac estatistikan honela sortu ahal izango da n1, n2, n3,... edozein partikula banaketa hutsuneko egoeratik abiatuta (Diracen notazioaz):

0...)ˆ()ˆ(,..., 212121

nn bbnn ,

eta, hain zuzen, b eta b+ eragileen antitrukaketatik eratortzen da ,..., 21 nn partikula multzoa bikoteen trukaketarekiko antisimetrikoa dela. Emaitzok b+

r r egoeraren sortze eragile bat dela erakusten dute, hasierako egoera hutsik baldin badago, azkenean osorik egongo delako. Halaber, br

eragilea izango da deuseztatzailea. Hots:

,...1,...,,)1(,...,...,,ˆ2121 rr

nrr nnnnnnnb r

.,...1,...,,1)1(,...,...,,ˆ2121 rr

nrr nnnnnnnb r

Honela bada, trukakortasun propietateen tratamendu estatistikoak, inbariantzen aingura kontuan hartuta, eraman zuen azken bururaino fase hau, notazioaz haraindi, Pauliren arauaren birformulazioa erabat osatzen duena. Hori bai, adiera fisikoak ilun zerraion sare matematikoa interpretaziorako ongi josia egon arren. Gutxi falta zen.

Laburbilduz, estreinakoz antitrukaketa erlazioak sartu ziren, Pauliren printzipioa obedituz eremuen bigarren kuantizazioan erlazio giltzarriak zirenak. Beraz, eremu bosonikoak ohiko sortze eta deuseztatze eragileen trukaketa erlazioaz kuantizatzen ziren bitartean, eremu fermionikoetan antitrukaketaz gauzatzen zen kuantizazioa. Horrela barneratu zen estatistika kuantikoan eremuen teoria kuantikoa, sortze-deuseztatze eragileen propietate trukakor/antitrukakorrez. Jordan eta Wignerrek Bose-Einstein eta Fermi-Dirac kasuen arteko konparaketa batez amaitu zuten euren artikulua, Pauliren printzipioren oinarri fisikoez espekulatzeari laga gabe. Bertan ziotenez (1928, 640 or.), Pauliren esklusio arauaren fundamentuak ezartzeko egin zuten, azken batean, lan guzti hau, eta frogatua utzi zuten “partikula materialen existentzia eta Pauliren printzipioaren baliozkotasuna de Broglieren uhin anplitudeen biderkadura propietate mekaniko-kuantikoen ondoriotzat har zitekeela”1. Finean, osziladore harmonikoaren kuantizazioa prozedura hasierako analogiatzat hartzen duen sormen prozesu honek Pauliren arauaren axiomatizazioa gauzatzen du, abstrakzioa lortuta ikuskera sakonagoa eta ulermen argiagoa lekarkeena.

Beraz, de Broglieren uhin anplitudeen eta haien arteko eragiketen atzean begiratu behar zen, partikula materialak ere uhin eremu kuantikoak eratzen baitzituzten. Pauliren printzipioaren adiera fisiko sakonak sare matematiko abstraktuaren gune honetan zetzan. Horrez gain, talde teoriaren itzala nabaria zen, eta baita inbariantzen aingura ere: emaitza hau Lorentzen inbariantza forma batean errazki orokor zitekeela esanez bukatzen zen Wignerren artikulua, kargarik gabeko eremu elektromagnetikoaren Lorentzen trukaketa erlazio inbarianteekiko analogiaz, hots, ezaguna zen inbariantza bat iturritzat hartuta. Hala ere, hurbilketa hauek goretsi behar diren arren, elektroiarentzako Diracen ekuazioarekin soilik gauzatu zen erabat mekanika kuantiko erlatibista baten aukera.

3. Diracen elektroiaren ekuazioa, spinaren jatorria eta zulo teoria

1 We can say that the existence of material particles and the validity of the Pauli principle can be understood as a consequence of the quantum mechanical multipliction properties of the de Broglie wave amplitudes.

134

, 0 0 ,r s s rr s b b b b s r ) ) ) )

1928ko urte hasieran Diracek elektroiarentzako Lorentzen inbariantza, Thomasen korrekzioa eta elektroi biratzailea bere baitan hartzen zituen ekuazio bat aurkeztu zuen (Dirac, 1928a). Sarreran aurrekari teorikoak eta bere ekarpen berriak laburbiltzen zituen, bere estilo labur baina zorrotzaz aldebikotasunaren (“duplexity phenomena”) arazoari erasotzeko. Galdera hau zen (610 or.): “zergatik aukeratu behar zuen naturak eredu partikular hau elektroiarentzat, karga puntualarenarekin nahikoa izan gabe?”1 Osagabetasun bat egon behar zen teoria kuantikoaren aplikazioan, desagertutakoan 'aldebikotasuna' zuzenki, inongo aitzin-aierurik gabe, eratortzea ahalbidetuko zuena. Horixe egin zuen Diracek ondorio harrigarri bat ateraz: erlatibitatearen baldintzak betetzen dituen karga puntual batentzako hamiltondar sinpleenak zuzen esplikatzen du 'aldebikotasuna'.

Teknikoki, kontua zera zen, Gordon eta Kleinek aurretik independenteki sartu zuten ekuazioa erlatibistaren bi oztopoak gainditzea. Erlatibitate berezia sartzeko, 4222 ˆ cmcE 2p Einsteinen energiatik abiatu zen. Honen faktorizazioa zen bilatzen zuena. Adibidez, Pauliren matrizeez honela geratuko litzatekeela argi zeukan 2ˆˆˆ( Ip)p 22 izaki:

42222 ˆσˆσˆσ(ˆ cmcEcEcEcE )p)(p()pp 22

Analogoki, faktorizazio zuzena bilatu nahi izan zuen matrize berri batzuk sartuta,

4200

2220

20 ˆσˆσ()()ˆσ( cmEccEcE )(p)pp 2 ,

baldintza hauek bete beharko zituztelarik,

0,1 0022

0 ,

hots, Pauliren matrizeek bezala antitrukatuz. Baina baldintza hauek ezin zituzten 2x2 matrizeek bete, problemaren askatasun graduengatik 4x4 matrizeak izan behar ziren derrigor. Hemen idatziko ez diren arren, propietate analogoak betetzen zituztenez Pauliren matrize txikien hedapenak baino ez ziren. Honez gain, idazkuntza teknika guztiz sinplifika daiteke 4-bektoreen biderkadura eskalarra aukeratuz gero, era honetan Lorentzen metrika erlatibistan bete beharko lituzketen baldintzak azaleratuz:

)ˆ,()ˆ,(ˆσ 00 pp cEpcE .

Denborarekiko bigarren ordenako ekuazio diferentzial bat zen Gordon-Kleinen ekuazioa, eta esan legez lehenengo ordenakoa izatea komeni zen soluziobide bat izatekotan.. Faktorizazioaz lehenengo ordenako ekuazio diferentzialak bilatuz, Diracek bere ekuazio famatua aipatu eran topatu zuen, eskuarki

1 The question remains as to why Nature should have chosen this particular model for the electron instead of being satisfied with the point-charge.

135

0i p m c

idatzi ohi dena, non, zeregin esanguratsua betez, arestiko 4x4 matrizeak Dirac matrizeak diren, Lorentzen metrikarekiko formula batzuen eraginpean ere baldintzatuak (ekuazioaren Lorentz inbariantza lortzearren); izan ere,

1 1 2 2 3 32 , n o n 1 , 0 ( ) .0 0g g g g g g

Pauliren aljebra oroituz, oinarridun espazio bat sor daiteke identitate matrizearekin batera, 16 dimentsioko Clifforden aljebra bat sortuz. Honenbestez, Lorentzen transformazioekiko egokiro erantzuten duen oinarri bat ezartzen da.

Bestalde, ohartu edo Dirac spinorearen garrantziaz, uhin-funtzio ohikoarekiko desberdina, zutabe-matrizea, alegia. Izan ere, matrize honen osagaiek ez dute inongo zerikusirik uhin-funtzioen oinarri bektorialarenarekin. Nomenklatura jauzi hutsa gainditzen duen objektu matematiko bereizgarri bat dago hor teorikoki, aipatu denez neurri handi batean Pauliri zor zaiona. Ildo honetan, normalean erabili ohi den errepresentazioari Dirac-Pauli deitzen zaio aurreko matrizeak deskonposatu eta Diracen ekuazioa sinplifikatzeko. Halatan definitzen dira ondorengo 4x4 matrize berriok, 2x2 matrizeen eta arestiko matrizeen arabera,

1 3 2 4 3 5 1, ; , ;i i i i ,

, 1, 2,3ii

i

i

0

0,

1 2 3, , .i

i

0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 0 -1,

Diracen hamiltondar linealizatua,

H D=c pm c2

forman sinple ezagunaz adierazteko.

Arazoa hementxe bistaratzen zen haatik: momentu angeluar orbitalaren hirugarren osagaia,

3 3 3 3 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ( )ij i jL i x H L c L i c p p h hp ,

ez da trukakorra aipatu hamiltondarrarekiko. Kontserbatuko den eragile angeluar total bat existitu behar denez, L3 osatuko duen eragile bat beharrezkoa da [ H , J 3]=0 izan dadin. Bedi eraiki

136

beharreko eragile hori S3= J 3− L3 . Aurrekoak kontuan izanda, hamiltondarraren eta Pauliren

hirugarren matrizearen arteko trukatzailea

3 1 2 2 1ˆ ˆ ˆ, 2 ( )H ic p p

geratzen dela froga daiteke, hots, momentu angeluar orbitalaren trukatzailearekiko proportzionala. Hortik segituan atera daiteke

1 2 2 1 3 3

1ˆ ˆˆ ˆ( ) , ,2

i c p p H L H h h ,

zeinetatik bilatutakoa daukagun,

1 13 3 3 32 2

ˆˆ ˆ, 0H L S h h ,

hau da, ½ autobalioa duen momentu angeluar intrintseko bat derrigor eratortzen da Diracen hamiltondar erlatibistatik, baldin eta momentu angeluar totala kontserbatuko bada.

‘Aldebikotasunaren’ eratorpen bat azaleratzen zen horrela uhin-ekuazio berri honen muinetik. Gainera, 4 x 4 matrizeen karira, ekuazio ez-erlatibistatik baino lau aldiz soluzio gehiago aterako ziren, eta Klein-Gordon ekuaziotik baino bi aldiz gehiago. Soluzioen erdiak elektroiaren +e kargari zegozkionez baztertu beharrekoak ziren, eta ‘aldebikotasuna’ esplikagarria zen hortaz. Ez zegoen aitzin-suposaketarik jada, Diracek ekuazio erlatibistatik naturalki (funts fisiko batetik) eratortzen ziren 2g faktorea eta elektroiaren Zweideutigkeit misteriotsua. Teoria kuantiko zaharretik berriranzko trantsizioan zeuden anomaliei marko eroso bat eskaini zien azkenik Diracek.

Haatik, arrakastak arrakasta, arazo nagusi bat zegoen. Bi alderdien gainezarmen bat zekarren Klein-Gordon ekuazioak ez bezala linealizatutako uhin-ekuazio erlatibista berriak energia negatibodun soluzioak eta positibodunak banantzen zituen. Diracen i ∂

∂ t=H D ekuazio linealak Ψ soluzioarentzat E2= p2m2 beharrizan erlatibista ipintzen zuen. Bedi zero momentua duen egoera bat

=au e−imtbv eimt

Dirac uhin-funtzioaz. Diracen spinoreak, u eta v, tribialak dira zero momentuarentzat, Pauliren spinoreen hedapen soilak dira. Hemen a anplitudeak elektroia +m energia duen egoera batean egoteko elektroiaren probabilitatea adieraziko luke. Baina zer gertatzen da soluzioaren bigarren batugaiarekin? Ekuazioan sartuz gero, i ∂

∂ t e imt=−me imt=E e imt litzateke, hau da, energia negatiboa ateratzen da. Orduan, b anplitudea elektroia energia negatiboa zuen egoeran egoteaz ari ote zen?

Ideia hau gehiago aztertuta frogatu zenez, Diracen ekuazioaren baitan energia positibotik eta negatiboranzko trantsizioak gerta zitezkeen supituki (Kleinen paradoxa). Diracen azalpenaren arabera, energia negatibodun soluzioen gainezarmenak osatutako uhin-paketeak jatorrizko eremu elektromagnetikoan mugitzen den +e kargako elektroi bat deskribatzen du, hots, “energia

137

negatibodun elektroi bat kanpo eremu batean zehar higitzen da karga positiboa balekar bezala”1 (Dirac 1930a, 361 or.). Ikusten denez, elektroiaren antipartikularen ideiatik arras hurbil zebilen Dirac, partikula berri bat beharrean elektroia bera energia negatiboz jabetzen zuen arren. Laster batean aurkitu izango ziratekeen antipartikulok Diracek Weylen ideia jarraitu izan ez balu, elektroiaren antipartikulak protoiarekin identifikatzen zituena (Weyl 1928). Izatez, elektroiaren teoria egoki baten bilaketan murgilduegi zegoen protoiarenean ere hala aritzeko. Bere teorian elektroi batentzat egoera egonkorrenak energia negatibodunak eta txit abiadura altukoak izango ziren, eta unibertsoko elektroi orok hemen jauzteko joera zeukakeen erradiazioa igorrita. “Energia negatibodun itsasoa” deitu zion alimaleko egoera multzo honi, zeinaren okupazioa Esklusio Printzipioak zainduko zukeen. Itsaso hori ia erabat okupatuta egongo eta banaketa espazial uniformeagatik behaezina izango zatekeen heinean (Dirac 1930a, 362 or.), “bakarrik [itsasoaren] uniformetasunetik kanpo izandako desbideratze txikiak, okupatu gabeko energia negatibodun egoerek sortuak” behatu ahalko genituzkeen2.

Energia negatibodun itsasoko egoera huts (okupatu gabe) bakan horiek, edo Diracek zioenez “zulo” horiek, konfigurazio elektronikoan barne hutsune bat dagoenean igortzen diren X-izpiekiko analogiaz sartu zituen. Egun badakigu nukleoak zenbaitetan k geruzako elektroi bat atzematen duela, eta hor sortzen den hutsunea berehala betetzen duela l elektroi batek, jauziagatik X izpien fotoi bat igorriz. Diracen teorian, halako “zulo” bat uhin-funtzio batez deskriba daiteke X-izpi orbita bat energia positibodun eite bat lez agertuko litzatekeen moduan, izan ere, zuloa desagerrarazteko (hots, berau betetzeko) batek energia negatiboa txertatu beharko lukeelako. Eta zulo hori eremu elektromagnetikoan karga positibo bat bailitzan higituko litzateke. Zulook protoiak izan behar ziren Diracen ustez. Elektroiak zulo bat betetzean biak bat-batean desagertu eta euren energia osoa erradiazio moduan igorriko litzateke3. Honela bada, zuloak ohiko partikulen antzera portatuko ziren baina +e karga positiboaz; elektroi batek energia negatibodun egoera batetik energia positibodun batera salto egitean zulo bat uzten (sortzen) zuen; eta alderantziz, egoera positibo batetik negatibo batera salto egitean, zuloa estaltzen (deuseztatzen) zuen.

Esklusioaren eta leku okupatuaren ideia nabarmentzen da hemen berriz ere, forma berri batean bere indar analogikoaz Dirac bezalako fisikari zorrotz eta tekniko baten baitan orientabide gisa ernetzen dena. ‘Energia negatibodun’ itsasoa eta 'zuloa' esklusio eta okupazio ideiaren baitako analogiaz eraikitzen diren kontzeptuak dira berriro, muturrera eramanda abusuzko analogia batera ailegatuz. Energia negatibodun itsasoko zulook zientzialarien jardun kognitiboaren normaltasunaz eta gizatasunaz ohartarazten gaituzte. Batzuentzat (Mehra 2001, Vol. 6, 777 or.), Diracen 'zulo' eta 'itsaso' kontzeptuak arestiko teoria atomikoan zuten “inspirazio bisualetik sortu ziren”4, bateratsu fisikari ingelesa elektroi anitzeko Hartree metodoa eta aipaturiko X-izpien espektroa lantzen ari zen eta. Adierazpideok halako figuren bidez bataiatzeak aingura bat eskaintzen du fisikarien komunitate barneko elkarrizketan eta ildo ezberdinen arteko lehian. Izan ere, Diracek ikuskera berri honekin bere elektroiaren ekuaziotik azaleratzen ziren anomaliak askatze bidean jartzen zituen nolabait: elektroi bat protoi bihurtzen zenean karga kontserbazioa bortxatzearen arazoa ekiditen zen, eta baita elektroien arteko aldarazketa eta energia egoera negatiboen arazoa ere.

Noski, Diracek ederki asko zekien elektroi eta protoiak ekuazio erlatibista bakar batean sartzea arazotsua zela. Izan ere, garai hartan zekitenez elektroiek eta protoiek ezaugarri bereziak eta desberdinak zituzten atomoak osatzen zituzten moduagatik. Bi partikulen arteko elkarrekintza ikertuta jakingo zen gehiago. Hala pentsatzen zuen Diracek, eta bide hau itxaropenez ikusten zuen elektroi eta protoi masaren arteko desberdintasuna ulertzeko.

1 […] an electron with negative energy moves in a external field as though it carries a positive charge.2 Only the small departures from exact uniformity, brought about by some of the negative energy states being unoccupied, can we hope to observe. 3 Ikus Diracek Bohrri, 1929ko Azaroaren 26an. 4 […] much of Dirac's 'hole' and 'sea' concepts arose from his visual inspiration from nonrelativistic atomic theory.

138

Beraz, heuristikoki tresna egokitzat zuten zuloaren analogia. Baina barne oztopo handiak ere bazituen. Eremu elektrikoaren dibergentzia infinitura eramaten zuen energia negatibodun egoera kopuru infinituak, karga elektrikoaren dentsitatea hala emendatuko baitzen. Oppenheimerren arabera, bat-bateko elektroi-protoi deuseztapena zekarkeen hipotesi honek eta materiaren ezegonkortasuna ondorioz. Gainera, nola azaldu elektroi eta protoien masa diferenteak? Azkenean, Weylek denbora-alderanzte inbariantza aplikatuz positiboki eta negatiboki kargatutako elektroiek masa bera izan behar zutela frogatu zuenean, Diracek artikulu bat kaleratu zuen zuloen eta protoien arteko identifikazioa gaindituz eta antipartikularen kontzeptua esplizituki sartuz (Dirac 1931). ‘Anti-elektroi’ deitu zion partikula horri, egun positroi lez ezagutzen dugunari. Diracen zuloa artean esperimentalki topatu gabeko partikula mota berri bat izan behar zen, elektroiaren masa berberaz baina aurkako kargaz. Aitzitik, Diracek berak (1930b) ez zuen espero naturan ezer aurkitzerik, 'anti-elektroiak' elektroiarekin ber-konbinazio erritmo biziki azkarra izango zuelakoan baitzegoen. Arazoak arazo, urte gutxi barru, laino-ganbara batean izpi kosmiko zenbait fotografiatuta, Andersonek (1933) aurkituko zuen estreinako antipartikula mota hori.

'Anti-elektroiaren' menean, zulo teoriak elektroien eta positroien trukaketarekiko erabat simetrikoa zen teoria bati zabaltzen zion atea. Partikulak eta antipartikulak sortuak eta suntsituak izan zitezkeen goi-ordenako eremu baten kuantu gisa trata zitezkeen heinean, bai baitzekiten jada, analogoki, materia eta erradiazioaren arteko elkarrekintza, Bose-Einstein estatistika eta Fermi-Dirac estatistikaren artekoa, sortze eta deuseztatze prozesuen araberakoa zela. Duck eta Sudarshanek (1989, 206 or.) “liluragarritzat” dute orduko Diracen testuetan 'protoi' hitza 'positroi' hitzaz ordezkatuta egungo fisikaren sortze-deusezte hizkuntza bera produzitzea. Izatez, 3.9 atalean laburki azalduko den denbora-ordenako Feynmanen diagramez egun erabili ohi den deskribapenetik oso gertu aritu zen Dirac.

Diracen funtsezko ekarpen hauen ondoren, elektroiaren (materia eremu kuantizatu legez) eta erradiazioaren (eremu elektromagnetiko kuantizatu legez) arteko elkarrekintza aztertuko zuten, eta positroi-elektroi bikotearen sortze-deuseztea kontsideratuko zuen goi eremu bat eraikitzerik bazegoen antzera. Urte batzuk barru etorriko zen Pauli eta Weisskopfen elkarlana, eremu bosonikoen kuantizazioa hau ikertzeko. Bitartean, fisika nuklearrari buruzko lehenengo teoriak garatzen ari zirelarik, fisika atomikoan eta elektroien portaeran oinarritutako analogiak hartu zituzten ainguratzat, agidanez gehiegikeriaz, baina beste aukera sendorik gabe.

3.1. Katakresia partikulen fisikan1

Aztertzen ari garen garaian, Millerrek (1986, 4. kapitulua) 1932ko Heisenbergen etsenplu esanguratsu bat ipintzen du fisika teorikoan katakresiaren zeregina ilustratzeko: indar nuklearra. Aurretik Diracentzat azaldu den X izpien analogiaren antzekoa da, baina haraindi doa, partikula ezberdinen arteko talka prozesuak sortze eta deusezte ideiaren arabera esplikatzeko kapaz da eta. Garai hartan nukleoaren barneko indar mota berezi bat postulatzea artean ezagutzen ziren bi indar nagusietatik (elektromagnetismoa eta grabitatea) harago joatea zen. Nukleoaren barnean neutroia eta protoia elkartuko zituen indar mota berri horretaz pentsatzen ari zela, Heisenbergek atomoaren bi elektroien artean hauek bereizezinak izateagatik sortzen zen indarra oroitu zuen. Elkartruke indar hau medio, elektroi bereizezinek euren lekuak elkartrukatzen zituzten erritmo azkar batean. Espazio nuklear batean gatibaturiko protoia eta neutroiaren kasuan ere elkartruke indar bat egon zitekeen halaber. Neutroia (protoi + elektroi) sistematzat hartuta, irudian agertzen den gisan, elektroi honek neutroiaren eta ondoko protoiaren artean elkartruke indarra gauzatuko lukeen mezulari lana egingo luke. Hots, oro har, indar nuklearra partikula bat elkartrukatuko bailitzan aritzen da, Heisenbergen irudimenean spin gabeko elektroi partikular bat. Jakina, indar nuklearraren mezulari gisa laster botako zuten atzera spin gabeko elektroiaren aukera. Elkartruke partikularen analogiak, haatik, zutik iraungo zuen Yukamaren lanean mesoi deituriko elkartruke partikula definitiboa eszenaratu arteraino. Iturri analogikoa (elkartruke partikula), harrigarriro, fisikoki erreala zela topatuko zuten

1 Gai honen lehen bertsio bat Ulazia (2011, 33-60 or.) artikuluan aurkeztu nuen.

139

esperimentalki, eta hasierako analogia bortxatua hein batean egiazko bilakatuko zen. Horrela, elkartruke partikularen analogiak katakresi bat ezartzen du genesi teorikoaren hastapenean, azken buruan arrakastaz egiaztatua. Egiaztapen horren bidean funtzio heuristikoa agertzen du hemen hasiera bateko abusuzko analogiak.

Irudia 3.1a: Millerren arabera, mekanika kuantikoaren baitako analogia bisualaz uler daiteke indar nuklearrean elkartruke partikularen beharra.

Analogia era honekin antz handia dauka hemengo gaiari eta garaiari dagokion prozesu nuklear garrantzitsu batek, β desintegrazioak. Egun dakigunez, desintegrazioa bi motakoa izan liteke:

-edo desintegratzen ari den atomoko nukleoan neutroia protoi bihurtzen da elektroi bat eta antineutrino bat igorriz, -edo nukleoan neutro bihurtzen den protoi bat desintegratzen da positroi bat eta neutrino bat igorriz.

Fenomenoa aurkitu zutenean, alabaina, nukleotik ateratzen ziren elektroi batzuen espektroa soilik detektatzen zen, ez zekiten ezer beste partikulez, ezta nukleo atomikoaren osaeraz ere. Hau esplikatu nahi izan zuen Fermiren β desintegrazioaren teoria ezinbestekoa izan zen Esklusio Printzipioaren jasokundean spin-estatistika konexiora bide egiteko. Analogia interesgarri bat aipatzen du Fermik (1934, 749 or.) bere teoriaren genesian: nukleotik neutrinoen eta elektroien igorpen teoria bat eraikitzen saiatu ziren kitzikatutako atomo baten argi kuantuen igorpen teoriarekiko analogiaz.

140

Irudia 3.1b: Fisika atomikoan argi kuantua igortzen duen energia-maila arteko erorketa bezala ikus daiteke neutroi egoeratik protoi egoerara pasatzea, dagokion igorpenekin.

Halatan, alde batetik, neutroiaren β desintegrazioa bi mailatako sistema atomiko baten desintegrazioarekin lot daiteke, eta bestetik, interakzio ahula bektore erakoa da interakzio elektromagnetikoa bezalaxe. Bi analogiok funtsezkoak izan ziren Fermiren sormen prozesuan, bereziki bigarrena, eredu kuantitatibo baten forma izatean teoria berria matematikoki adierazteko bidea ematen baitzion. Sormen prozesu honetan katakresia neutrinoaren emisioa (partikula neutro ñimiño bat) postulatzean dago, Heisenbergek balizko elektroi spin gabeaz egin zuen eran. Ikusiko denez, hori Paulik lehenago egin zuen energia-kontserbazioan ainguratuta. Hala ere, garai hartan ezaguna eta ohikoa zen sistema atomikoen desintegrazioa medio suertatzen zen fotoien igorpena, eta postula zitekeen analogiaz partikula ezezagun batzuen igorpena, energia soberakin bat egonda. Hemen igorritakoak karga neutroa eta masa oso txikia behar zuen balantze energetikoagatik. Egin kontu, garai hartan maila atomikoen arteko jauzietan igorritako fotoien analogia desintegrazio nuklearrera ekartzeak ez zeukan, hasiera batean behintzat, inongo oinarririk. Baina abusuzkoa zirudien ezarpen bat arrakastatsu bihurtuko zen denboraren poderioz. Partikulak eurak, neutroia eta protoia, muturreko abstrakzioz egoera kuantikotzat eta maila energetikotzat hartzeak eskainiko zuen gerora jauzi teoriko garrantzitsu baten hazia.

Ondorioz, hasiera batean klarki ikusten da katakresiak zientzian, literaturan edo erretorikan bezalaxe, elkarrizketa kolektibo batean daukan balio komunikatiboa. Hau da, funtzio deskriptibo-ilustratibo bat hartzen du fisikari baten ahotik edo idazlumatik sortzen den momentuan, eta irudi batean sintetizatzen du ahozkotasunaren bat-bateko jardunean artean forma matematikoez adierazi ezin den hori edo hura. Hasierako eginkizun soilik deskriptibo hau, haatik, heuristika emankor bihur liteke amaieran. Bi adibideetan erakutsi nahi izan denez, etapa teoriko goiztiar batean abusuzkoa dirudien analogia soilki ilustragarri bat emaitza esperimentalek egiaztatu duten jarraibide sortzaile bihur liteke problema erasotzeko sarbide heuristiko bat eskainita, hots, problemarentzako aitzin-eredu bat ezarrita.

Ikus bedi xeheago neutrinoaren historia, zulo teoriaren baztertze bidean eta Esklusio Printzipioaren eboluzioari lotuta daukan garrantziagatik. Energia kontserbazioaren hauste estatistikoak iradokitzera iritsi zen β igorpenaren espektro jarraitua esplikatzeko modua partikula berri bat postulatzean aurkitu zuen Paulik, eta honek aldi berean zulo teoriaren energia negatiboaren beharrizanetik libratu zuen.

3.2. β desintegrazioko neutrinoa eta zulo teoriaren kontrako artikulua

Badakigu katakresitzat har daitekeela baina β desintegrazioaren zerizan historikoa aztertu aurretik Diracen eremu kuantizazioa perspektiba historikoz ulertzea komeni da, egun darabiltzaten Feynmanen diagrama irudikagarrien altzoan. Diracen ekuaziotik hamazortzi urtera etorri zen

141

berrinterpretazio honetan energia negatibodun elektroiak, denboran atzeraka propagatuak, eta denboran aurrera doazen positroiak baliokideak dira. Bedi, adibidez, bi elektroiren arteko dispertsioa gertatzen dela elkarren artean fotoi bat elkarbanatzen dutelako, egun erabili ohi diren diagrametan ikusi ohi denez. Azal bedi halatan egungo arrazonamendu diagramatikoa medio partikulon arteko elkarrekintza, eta nola errepresentatzen den antipartikula. Hasierako elektroiak beheko bi geziek adierazten dituzte, eta bukaerako elektroiak goiko geziek, zigi-zaga doan lerroak fotoia adierazten duelarik. Denbora ardatz bertikalean gorantz hazten da, hau da, hasierako bi elektroiak p1 eta p2 momentuaz zetozen harik eta fotoi bat trukatu eta euren momentuak eraldatu dituzten arte euren bideari segitzeko.

Irudia 3.2a: Ezkerraldean bi elektroiren (p1 eta p2) arteko elkarrekintza adierazten duen diagrama dago, zeintzuek, q fotoi bat elkartrukatu ondoren, momentu ezberdinekin ateratzen diren jasan duten talkatik (p1´ eta p2´). Diagrama berbera biratu eta zutituta, egungo partikula fisikan darabilten arrazonamendu diagramatikoak fenomeno erabat berri bat deskribatzen du: elektroi (p1) eta positroi (p1´) baten arteko talkagatik sortutako q fotoiak, beranduxeago, beste elektroi bat ( p2) eta protoi ( p2´) bat erdituko ditu.

Baina bira dezagun diagrama eskuinean agertzen den moduan. Transformazio sinple honek erabat aldatzen du elkarrekintza fisikoaren esanahia. Izan ere, diagrama berrian badago denbora tarte bat partikularik gabe, hots, fotoia igortzen deneko denbora horixe; beste era batera esanda, beheko partean gertatzen den partikulen arteko elkarrekintzak desagerrarazi egiten ditu hauek eta fotoi bat sortzen da, zeinak apur bat beranduago desagertzean partikula bikote berri bat sorrarazten duen. Izatez, diagrama honen izaerak badu beste diferentzia sakon bat, bi partikulak denboran atzerantz bidaiatzen dutelako. Hauexek dira antipartikulak, etorkizunerantz doazenak, eta horregatik erpin bakoitzean partikula batek eta antipartikula batek egiten dute talka. Beraz, diagrama honek prozesu berri bat deskribatzen du: elektroi-positroi bikote baten deuseztapena fotoi bat igorriz, eta ondorengo fotoiaren deuseztapena elektroi-positroi bikote berri bat sortzeko. Etsenpluak, egun dakigunetik aurrea hartuta ari bagara ere, teoria erlatibista batean dispertsio prozesuen existentziak sortze eta deuseztatze prozesuak iradokitzen dituela modu ilustragarrian erakusten du.

osziladore harmonikoaren etsenplu eredugarrian ere, ikusi denez, partikulen sortze eta deuseztatzeari bide ematen dioten prozesu berriak teorian errazki sar daitezke dagozkion sortze eta deuseztatze eragileak aplikatzen badira. Baina honek partikulak deskribatzen dituzten anplitudeak kuantizatzea esan nahi du, hots, uhin-funtzioak kuantizatzea. Beharrezkoa da eremu guztiak deskribatzen dituzten ekuazioak kuantizatzea, Maxwellen ekuazioak kuantizatu diren antzera fotoiz osaturiko eremu elektromagnetiko bat deskribatzeko. Interpretazio hau medio, dispertsio prozesuak sortze eta deuseztatze prozesutzat har daitezke, elkarrekintza prozesu ororentzat deskripzio berdina

142

P1'

P1 P2

P2'P1'

P1 P2

P2'

q

P1'

P1 P2

P2'P1'

P1 P2

P2'

q

P1'

P1

P2

P2'

P1'

P1

P2

P2'

q

P1'

P1

P2

P2'

P1'

P1

P2

P2'

q

egitea ahalbidetuz. Izan ere, ikuskera honekin, bigarren diagraman positroi-elektroi deuseztapenak fotoi bat sortzeko adinako energia dakar, eta energia hau igorri eta gero beste bikote bat sor daiteke.

Paulik kuantizatu behar zituenak partikula kuantikoak deskribatzen zituzten eremuak zirenez, esan bezala, bigarren kuantizazioaren teoria bat behar zen. Ideia hauek Diracen zulo teoriarenekin zuten talkaren baitan kokatu behar da β desintegrazioaren auzia. Garaikoentzat elektroia ezerezetik agertzea bezalakoa zen gertatzen zena, eta horregatik lotu nahi zen zulo bat uzten zuen elektroi baten agerpenarekin. Talka teoriko honen baitan, Paulik hasieratik jo zuen Diracen ildoa zentzugabekeria fisikotzat, eta segituan eman zion ongietorria β+ emisioan positroiari izaera bosonikoa ematen zion Elsasserren hipotesiari, esperimentalki laster batean errefusatua izan zen arren. Jakina, positroiak ere fermioak ziren, spin erdi-osoaz, zulo teoriak, fundamentu handirik gabe bada ere, iragartzen zuen bezala.

Pauli ideia argirik gabe zegoen artean, baina argi zeukan β desintegrazioan suertatzen zen elektroiaren agerkundea gakoa izan zitekeela zulo teoriako elektroiaren izaera eztabaidatzeko, batez ere spin momentu angeluarra ez zelako kontserbatzen. Alde batetik, esan behar da garai hartan ez zela partikula neutrorik aintzat hartzen (ez neutroirik, ez neutrinorik), eta fisika nuklearraz egiten ziren aieruek soilik elektroia eta protoiaren arteko konbinazioak hartzen zituztela kontuan, arestiko Heinserbegen adibidean legez. Nukleoaren izaera eta osaera kuantikoki ulertzeko gakoa izan zen zentzu honetan β desintegrazioa, eta neutrinoaren iragarpena eta aurkikuntza. Izan ere, β desintegrazioa harrigarria bazen, nukleoak berariaz barne ez zeuzkan elektroiak nonbaitetik ateratzen zituelako zen. Gainera, Chadwickek 1914an topatutako β izpien energia espektroak segituan sortu zituen interpretazio teorikorako arazoak, jarraitua zen eta. Ez zekiten zergatik gertatzen zen hala, nukleo erradiaktiboak igorritako elektroi primarioengatik, ala beste prozesu sekundario batengatik. Bigarrenek, erratuta, alfa eta β desintegrazioen arteko analogia sinple bati eutsi nahi zioten, non nukleotik zuzen ateratako elektroiek (primarioek) kanpo geruzetako energia ahulagoko elektroiak kitzikatzen zituzten. Energia diskretua leukakeen hasieratiko elektroi hau ez zen sekula detektatu baina. Galdera hau zen: energia jarraitua jatorrizkoa zen ala abiapuntuan diskretua izan arren prozesu sekundario batez zabaldu egiten zen?

Irudia 3.2b: β erradioaktibitatearen lagin batek erakusten zuen igorritako elektroien espektroa jarraitua zela. Abzisan E energia adierazten da, eta ordenatuan energia horrekin igorritako N(E) elektroi kopurua. Ikusten denez, Q limite bat dago, hots, ez dago Q energia baino handiagoa duen elektroi bakar bat ere, eta Q daukatenak ere oso murritzak dira.

143

N(E)

Q/3 Q E

Esperimentu garrantzitsu bat iritsi zen orduan hau argitzera. Kontaketa esperimentuak medio, desintegrazio bakoitzean nukleotik elektroi bakarra igortzen zela aurkitu zuten, eta geroago, ez zegoela inongo soberako erradiaziorik, ez behitzat garai hartan detekta zitekeenik. Bestetik, esperimentalki lortua zuten jada igorritako elektroien energia espektroa, non Q energia batetik aurrera elektroi bat ere ez zela igortzen behatu zen. Zer zen limite hori? Bedi m masadun elektroi bat igortzen duen M1 masadun nukleo bat, M2 masadun hondar-nukleo bat lagaz. Elektroiak eskuragarri duen energia Q=(M1-M2-m) c2 da, eta hauxe da igorritako elektroiak bereganatu beharko lukeen energia zinetikoa. Aitzitik, hau ez da gertatzen dena. Elektroiak energia oso aldakorraz igortzen dira, eta oso gutxi dira Q energia maximoa erabat bereganatzen dutenak. Emaitza esperimental hauen arabera, bi aukera teoriko zeuden soilik β espektro jarraitua azaltzeko:

-β erradioaktibitatea sortzen zuten elkarrekintzetan energiaren kontserbazioa soilik estatistikoki betetzen zen, Bohrrek defendatzen zuen gisan. Hots, energia espektroaren integralak emaniko energia osoa zen kontserbatutakoa;

-edota energiaren legea prozesu indibidual primario bakoitzarentzat izan behar zen balekoa, baina, elektroiekin batera prozesu horretan zehar beste erradiazio oso erasokor bat igor zitekeen, partikula neutro artean ezezagunez osatutako erradiazioa. Hau izan zen Paulik arrakastaz defendatu zuen jarrera.

Baina partikula neutroarena hipotesi arraro xamarra zen. Rutherforden lehenbiziko esperimentuak eta gero, orokorki onarturiko ideia zen nukleoa soilik elektroiz eta protoiz osatua zegoela, nahiz eta hidrogenoari aplikatutako deskargak medio Rutherford zero kargako partikula bat (neutroi deitu zion berak) aurkitzen saiatu zen arrakastarik gabe. Hots, partikula neutrorik ez zen egiaz ezagutzen artean, gutxi falta zen arren.

Egun dakigunetik begiratuta, zulo teoriaren baitan elektroiaren antipartikulak fermioiak baziren, ez zen posible izango, β desintegrazioa zeritzonaren baitan, protoi bat neutroi eta positroi bana bihurtzea, pn , e. , ezta neutroi bat protoi eta elektroi bikote bihurtzea ere, n p , e−.

, momentu angeluarraren kontserbazio bortxatu ala neutroiari spin nulua edo osoa (bosonikoa) esleitu ezean. Tritioaren desintegrazioa da adibide ona. Tritioa (3H) desintegratzean helio-3 (3He) nukleoa eta elektroi bat sortzen da. Hasierako hiru partikulek ½ spina daukate eta bukaerako bi partikulen momentu angeluar totala zenbaki osoa izan behar da; beraz, dirudienez, prozesuan zehar ez da momentu angeluarra kontserbatzen.

Hortaz, hagitz zaila zirudien β desintegrazioan spin momentu angeluarraren kontserbazioa mantentzea, elektroiak eta protoiak ½ spina izanik, balizko neutroiak 0 ala 1 spina izan behar baitzuen, prozesuan beste partikularen bat egon ezean. Aipatu bezala, karga elektriko nulua eta masa arras txikia zuen partikula mota berri bat postulatzea beste aukerarik ez zegoen Pauliren ustez: neutrinoa izango zen hau, Chadwickek 1932an neutroia esperimentalki aurkitu eta gero Fermik bataiatu zuen bezala, italieraz 'neutroitxo', alegia. Bizkitartean, Bohr, garaiko iraultza teorikoaren zurrunbiloan errealitateari heltzen zioten aingura apurrak etenda, energiaren kontserbazio printzipioa baztertzeraino ailegatu zen β desintegrazioa azaldu nahian, bortxaketa modu estatistiko batean jantzi nahi bazuen ere.

Pauliren proposamenean oinarri hartuta, emaitzak esperimentalen gain eraikitako β desintegrazioren arestiko Fermiren teoria (1934) zulo teoriaren eta neutrinoaren arteko auziari erantzun bat ematera etorri zen geroago, eta zulo teoriaren eta Diracen ikerbidea bertan behera uzterakoan pauso garrantzitsu bat izan zen. Pauliren honi buruzko hitzetan elektroiak β desintegrazioan balizko itsaso energetiko negatibo bat onartu gabe ager zitezkeen. Zulo teoria egia izan balitz, prozesuan zehar protoi bat, elektroi bat eta positroi bat eratu beharko ziratekeen, baina

144

Fermiren ikerketek elektroia ezerezetik bezala sortzen zela zioten. Zenbaterainokoa izan zen orduan Fermiren katakresiaren eragin kontzeptuala? Pauliren proposamenak Diracenaren aurka bilatzen zuen estatusa izanda zeharkakoa baino ez zen izan eragin hau. Ez zen inondik inora abdukzio prozesu baten osagai zentrala izan maila atomikoen arteko trantsizio elektronikoak igorritako fotoiaren analogia, eragitekotan zeharka eragin zuen. Paulik energia kontserbazioa eta spin momentuaren inbariantzari printzipio gisa sendo eustean problemaren mugaldeak estuki zedarritu zituen, eta horixe izan zen funtsezkoa.

Bitartean, Fermiren ekarpenak Pauliren aldeko arrazoiak pilatu arren, zuloaren eta energia negatibodun itsasoaren analogiek tresna heuristiko inportantea izaten segi zuten eremuen teoria kuantikoan. “Energia itsaso negatiboaren” analogia deskriptiboak eta bere “zuloek” dena esplikatzeko ahal goresgarri baina susmagarri horietako bat zuen, nahiz eta berau errefusatzeko metodorik ez zuen mahai gainean jartzen. “Ukapen porrot gisa” izango zen teoria irudimentsu honen patua ere, halako analogiei maiz gertatzen zaienez. Hipotesi batek emankorra izateari lagatzen badio, berau kontraesaten duen esperimenturik gauzatu gabe ere porrotera kondenatua egongo da halako teoria bat. Halakoetan gertatzen denez, 'behaezintasun' bat aldarrikatzen da teoriaren muina defendatzeko. Oroitu, bestela, Diracen arestiko aipua: “bakarrik [itsasoaren] uniformetasunetik kanpo izandako desbideraketa txikiak, okupatu gabeko energia negatibodun egoerek sortuak behatu ahalko genituzke”. Errealitate behagarriaren hondoko itsaso honek garai bateko eter hura bezalakoa dirudi.

Zailtasunak zailtasun, porrot hau agertokira ekarri zuena Pauli izan zen, hasieratik bere ildo propioa lehian ipini baitzuen. 1933an Victor Weisskopf bere laguntzaile izendatu zuten Zurichen. Elkarlan emankor baten hasiera izan zen hau, Klein-Gordon ekuazio erlatibistaren kuantizazioa gauzatu eta spin-estatistika teoremarako bidea hobeto programatzen lagundu zuen eta. Kontua Diracen ekuazioa erabili ordez Klein-Gordonen ekuazio eskalar zaharra berriro ere oinarritzat hartzea izan zen. Honaino iristeko, zulo teoriaren aurkako jarrera garatu zuten lehenbizi euren ‘Anti-Dirac’ artikuluan (Pauli eta Weiskoff 1934), hutsunea betetzearen ideiaren kontra. β desintegrazioz aparte, zulo teoriaren arazo nagusietako bat hutsaren polarizazioa zen. Hutseko egoeran, definizioz, energia positibodun egoera guztiak okupatu gabeak zeudekeen, eta beraz, energia negatibodun egoera guztiak okupatuak, eta ez zen produzitzen eremu osorik. Eremu bat energia positibodun egoera bat okupatuz soilik sor zitekeen (-e kargaduna), eta ondorioz sortzen zen okupatu gabeko energia negatibodun egoera batez (+e kargadun zulo bat). Hurbilketa metodoak erabiliz, eta Maxwellen ekuazioan diferentzia finitu bat erdiestearren, Diracek erregela bat topatu zuen egiazko egoera fisikotik hutseko egoera ideala “erauzteko” (substract). Diracen “erauzketa fisika” honen zioa eremu elektrostatiko baten baitan legokeen munduaren benetako banaketa infinitutik hutseko banaketa infinitua erauztea zen, diferentzia finitua lortzearren. Finean, elektroi batek, bere eremu elektrikoaz hutsuneko egoeran sartzean, bere kargaren balioa eraldatuko zukeen birbanaketa bat gauzatuko ei zuen.

Ahaleginak ahalegin, Diracen dotoretasun matematikoak ez zuen Pauli konbentzitzen. Heisenbergekin elkarlanean zulo teoriari, Diracen irudi formal bati, irtenbide koherente bat eskaintzeko ahaleginen ostean, Diracen erauzketa fisikara itzuli zen hau, eta Pauli eta Weisskopf izan ziren azkenean, esan bezala, ‘anti-Dirac’ artikulua aurrera atera zutenak. Pauliren ustez, ezinbestekoa zen Diracen teoria osoki abandonatzea kantitate infinitu ezatseginak ekiditeko. Weisskopfen eraginagatik, Klein-Gordon ekuazioren erraietan sartu zen Pauli, honi aipatua den eremu kuantizazioaren formalismo ezaguna errotik aplikatzeko.

Haraindiko beste hipotesirik gabe (zulorik, itsasorik eta erauzketa fisikarik gabe), positroien existentziara eta bikote produkzioen prozesuetara hurbiltzea bazegoen Pauliren ildoaz. Marko honetan energia positiboa zegoen soilik, eta denak betetzen zuen gauge inbariantza deritzona. Inbariantza mota hau 1920an Weylek grabitazioaren eta elektromagnetismoaren teoria bateratu bat

145

proposatzean agertu zen lehen aldiz Eichinvarianz izenaz. Fockek 1926an berreskuratu zuen formalismoa eremu elektromagnetiko baten baitan dagoen elektroi baten eremu ekuazioak uhin-funtzioaren fase aldaketa batekiko inbarianteak izan behar direla frogatuta. Halaz, Pauliren teoriako aldagai dinamikoen gain eragin arren, espazio-denboraren puntu bakoitzean independenteki eragiten duten transformazio taldeok ez zuten ezer esanguratsurik eraldatzen, potentzial bektore bat edo eremu bat transformatu arren fisikoki eremu berbera adierazten zuen errepresentazio bilduma bat egikaritzen baitzuten. Horregatik egin ohi da bereizketa garrantzitsu hau: batetik, simetria behagarriak daude, eta bestetik, gauge simetriak, azkenekookin egindako transformazioek ez baitute fisikoki adiera duen ezer aldatzen, egoerek eta egoeren historia fisikoek aldaketa bereizezinak jasaten dituztelako. Sormenaren aldetik abstrakziorako joera muturrekoa zen Paulirengan. Honek zekarren gaininformazioa eta zenbaitentzako alferrikako konplikazio teknikoa bere bizkar harturik, Pauliren simetriekiko sinesmen erabatekoa nabarmendu behar da hemen, hauen indar heuristikoaz ondo jabetua zegoelako fisikaren historiako une erabakior hartan.

Simetrien heuristika korapilatsua erabili arren, hipotesi gehigarriak ahal beste murriztu eta bere ikerketa ildoaren muina, inbariantzetan eta bigarren kuantizazioan funtsatua, erabat biluztu nahi zuen horrela. Pauliren heuristika zulo eta itsasoekin bortxatua izan daitekeen analogia batean baino teoriaren garapen operatiboagoan kokatzen da, bereziki, estatistikarekin duen loturan eta honekin egon daitezkeen antzekotasun formalagoetan eta arreta indartzeetan. Spin-estatistika konexioa deituko zitzaion bide honi. Izatez, ‘anti-Dirac’ intentzioez gain, Pauli eta Weisskopfek lortuko zutena ez zen elektroien eta positroien teoria bat, karga negatibo eta positiboekiko simetrikoak ziren 0-spineko partikulen teoria bat baizik (artean 0-spineko partikularik aurkitu ez bazen ere). Benetako teoria bat baino Diracen kontrako ariketa bat izan zen, zulo teoria eta erauzketa fisika arbuiatzeaz gain Klein-Gordonen bigarren ordenako ekuazioa berriro ere berreskuratu eta errotik ekin baitzioten hau aztertzeari. Orokortu ahal izan ez zuten arren ondorio interesgarri bat lortu zuten: 0-spineko partikulek ez zuten Pauliren araua bete.

4. Spin-estatistika teoremaren frogapenerantz

Diracen zulo teoriaren alternatiba bila, partikula sortze eta deuseztatze prozesuentzako teoria erlatibista bat bilatzeko asmoz iritsi zen Pauli spin-estatistika teoremara. Ez da harrigarria aurkikuntza historiko honen funtsezko ideia Paulik ekarri izana, eta erlatibitatearen teoriarekin lotuta gainera. Izan ere, gaztetan, 1921an, Einsteinek laudorioz fisikarien artean famatu bihurtu zuen erlatibitate teoriari buruzko lan entziklopedikoa (“Relativitätstheorie”) idatzi zuen Paulik (1981). Bertan nabari daiteke inbariantzekiko garatua zuen sen sakona, eta erlatibitate teoriaren fundamentuez, aplikazioez, eta ondorioez zuen ezagutza xehea. Azken kapituluan, hain zuzen ere, elektroiaz eta erlatibitate teoriaz ziharduen. Han aurkeztu zituen mende hasierako Mieren eta Weylen teoriak, geometria infinitesimal hutsarekin eta gauge inbariantzekin eremu elektromagnetikoa eta munduaren metrika erlazionatzen zituztenak. Lorentzen transformazioekiko inbariantzak zorrotz estudiatuak utzi zituen bertan, spin-estatistika konexioaren azken frogapenarentzat spinore errepresentazioa medio ezinbesteko suertatu zirenak. Oinarri bikaina zen hau erlatibitate teoria eremuen teoria kuantikoan ikuspegi berri batekin barneratu ahal izateko. Arestian aipatu den inbariantzekiko sena ere gaztetatik oinarriok ongi ezagunak zituelako uler daiteke, beretzat lan tresna ohikoak zirelako.

Zer gertatuko zen 0-spineko partikulentzako teoria erlatibista eskalar baten aukera aztertuz gero, baina Esklusio Printzipioa barne sartuta? Pauliren ustez, Diracen zuloena baino teoria ulergarriago bat izango zen halako bat, bikoteen produkzioa ere inplika zezakeena. Aurrerantzeko frogapen sofistikatuagoentzat testu estandarra bihurtuko zen artikulua aurkeztu zuen Paulik 1936an.

Uhin ekuazio erlatibista eskalarrak, ∂t−∇ 2 m2 =0 ,

146

∂t∂t

−∑k=13 ∂k

∂k−m2

Lagrangearretik zetorrenak, eremuak eragiletara jaso eta euren konjokatu kanonikoak ziren momentu orokortuak

= L ∂t

=∂t

erara eraikitzen zituen. Korronte-dentsitate elektrikoaren lau-bektorearentzat lehen osagaia karga dentsitateari dagokiona da, hots, =−ie ∂t

−∂t edota momentu konjokatuaz

=−ie − . Propietate erabakigarri bat sartu zuen orduan: espazialki bananduriko bi punturen arteko karga dentsitateek trukakorrak izan behar zuten,

[ x , x ' ]=0 .

Espazialki bananduriko puntuen arteko harreman hau mikrokausaltasun izeneko beharrizan erlatibista bati zegokion berez, lokaltasun baldintza moduan ere ezagutzen denari; honen arabera, inolako seinaleen bidez kontaktuan egon ezin diren espazialki bananduriko x eta x´ bi puntutan propietate fisiko bati dagokion eragilea zehazki neur daiteke aldi berean eta independenteki. Honegatik izan behar zen eragileen trukatzailea nulua, ez dagoelako inongo elkarrekintzarik euren artean.

Honen ondorioak xeheki aztertzeko adierazpen berriak eraiki zituen kantitate fisiko esanguratsuentzat momentu espazioaren barnean. Adierazpide integrala beharrean batukariak izatekotan, tamaina zehatz bateko kuboaren baitako uhin-funtzio periodikoak erabili zituen eta horien arabera deskonposatu uhin-funtzio orokorrak eta hauen konjokatuak. Operazio hauetatik ateratzen ziren sortze eta deuseztatze eragileen analogoak, e kargadun partikulak sortu/deuseztu nahiz -e kargadun antipartikulak sortu/deuseztu zitzaketenak, eta partikula/antipartikula kopurua ere determinatuko zutenak.

Artikuluaren muina 3. sekzioan dago, bertan aztertzen baitu eremu teoria eskalarra Esklusio Printzipioaren arabera kuantizatzeko aukera, sortze eta deuseztatze eragileentzat antitrukaketa erlazioak erabiliz. Pauso zalantzagarri batzuk medio egiten du aurrera. Lehenbizi, Ф eremua Ф1 eta Ф2 maiztasun negatibo eta positibodun parteetan zatibanatu zuen, nahiz eta honekin askatasun graduak bikoizten zituen, eta trukaketa erlazio ez-lokalak agertzen ziren. Haatik, Ф1 eta Ф2 eremu eragileen produktu gisa korronte bilinearrak eraikitzeari ekin zion. Manipulazio honen baitan egindako faktore zenbaiten ordena aldaketak Fermi-Dirac estatistikari atea zabaltzen zion. Orduan korronte-dentsitatearen lau-bektorearentzat bi osagaiek hiru termino erlatibistikoki kobariante eratzen zituztela ohartu zen, eta korrontea hiru terminoei c1, c2, c3 parametroak egokituta orokor zitekeela. Azkenik, zatibanaketa hipotesia kasu baterako bermatzea lortu zuen parametroon arteko

c1=c2=±c3 erlazioarekin espazio-motako banaketarentzat jatorrizko korronte dentsitateen trukaketa berreskuratzen baitzen.

Ondoren saiatu zen, pauso analogoz baina Esklusio Printzipioaren menpean, libreki berrordenatutako teoria antitrukaketa erlazioen arabera kuantizatzen. Ordena berriagatik arestiko espresio bera lortu zuen c1, c2, c3 kargadun korrontearentzat, baina kasu honetan, trukaketa erlazio kausalak ezartzean c1

2=c22=−c3

2 zen aukera bakarra, argiro ezinezkoa. Ondorioa: Esklusio

147

Printzipioaren kasuan ezin da aldi berean inbariantza erlatibista eta trukakortasun kausalaren baldintza konplitu.

Guzti honen karira frogatu zuen Paulik, funtsezko propietate hau mantentzekotan, 0-spineko partikulak ezin zirela Esklusio Printzipioaren arabera kuantizatu. Hots, [ x , x ' ]=0 b.s.b. 0-spina duten partikulak Bose-Einstein estatistikapekoak dira. Hara hor spin-estatistika konexioa garbiki ezarria 0-spineko partikulentzat. Baina zer jazotzen zen spin erdi-osoa zuten partikulentzat? Paulik bosoientzako aurkikuntza aintzat hartu eta bere ikerketa ildoaren postulatuak ondo zehaztuta ekin zion erronka honi.

Ildo programatiko honetan Pauliren 1936ko frogapen aitzindariak bere laguntzaile Fierzen 1939ko froga gidatu zuen, spin erdi-osoa zuten partikulak barne zituena. Bide honen baitan postulatu zuen energiaren positibotasuna, eta spinoreekin lotu zuen spin erdi-osoa zuten partikulei zegokien eremua. Pauliren Esklusio Printzipioa betetzearren, spin erdi-osoa zuten eremuen Fourier koefiziente kuantizatuentzat antitrukaketa erlazioak sartu zituen. Honexek posible bihurtzen zuen, zulo teoriaren bidez, energia positiboa izatea. Diracen zulo teorian zeharkako itzulinguru hau ekidinezina zen energia totala definitu positiboa izan zedin. Halatan, spin erdi-osoa zuten partikulak Fermi-Dirac estatistikarekin lotzen ziren, soilik Esklusio Printzipioak, zulo teoria aintzat hartuta, bermatzen zuelako energia definitu positibo bat.

Beste ikuspegi batetik, Belifantek spin erdi-osoak nahiz osoak barne har zitzaketen eta Diracen spinoreekin lotuak zeuden 'undors' izeneko tresna matematiko batzuk sartu zituen. Kramersek edozein teoria fisikoren betebehartzat zuen karga konjugazioaren kontzeptu fisiko berria ere bazetzan teoria horretan zeinak simetria mota bat iradokitzen zuen egoera fisikoak deskribatzerakoan. Belifantek orduan simetria kontzeptu berri hau erabili zuen adieradun kantitate fisikoak determinatzeko, eta ohartu zen ezen partikulen portaera estatistikoa karga inbariantzaren postulatutik zuzenkiago eratortzen zela partikula libreen energia totalaren izaera positiboarekin lotutako postulatuetatik baino. Bi fisikariek indarrak batu zituztenean ezarri zituzten estreinakoz aipatu estatistika determinatu zuten hiru postulatuak (Pauli eta Belifante 1940, 177 or.):

-Energia beti da positiboa,

-Espazio motako distantzietan espazio-denbora puntu desberdinetako behagarriak trukagarriak dira,

-Naturaren deskripzio baliokide bi existitzen dira, non karga elementalek aurkako zeinuak dituzten, eta non eremu kantitateak berdinki transformatzen diren Lorentzen transformazioen baitan.1

Azkenengo postulatua teknikoki garrantzitsua zen arren, Paulik batez ere oinarri metodologikotzat bi helduleku nabarmendu zituen teoriaren sormen prozesuan: mikrokausaltasuna eta energia positiboa izan beharra. Lehenengoak Bose-Einstein estatistika inplikatzen zuen 0 spinarentzat, eta bigarrengoak Fermi-Dirac estatistika spin erdi-osoarentzat. 1940an Majoranaren artikulu bat aipatu zuen, zeinarekiko analogiaz edozein spin zuen partikulentzat (osoa nahiz erdi-osoa) teoria erlatibista bat azter zitekeen. Majoranaren lanaren abantaila partikula dentsitatea eta energia totala berariaz positiboak ateratzen zirela zen, energia positibo totala postulatu egin behar zuen Pauli-Fiertzen teorian ez bezala. Aitzitik, Majoranaren teoriak masa irudikari eta mikrokausaltasunaren bortxaketa erogarriak zeuzkan bere baitan, zerabiltzaten trikimailu matematikoak esanahi fisikotik zenbateraino urrun zitezkeenaren etsenplu. Urte berean II Mundu Gerragatik Ameriketara ihesi egin ostean lasaiago, spin-estatistikaren azken frogapena gordetzen zuen artikulua atera zuen Paulik Physical Reviewn: “The connection between spin and statistics”.

1 (i) the energy is always positive; (ii) observables at different space-time points commute for space-like distances; (iii) there exist two equivalent descriptions of nature, in which the elementary charges have opposite sign, and in wich corresponding field quantities transform in the same way under Lorentz transformations.

148

Fierzek bezalaxe, Paulik Lorentz talde propioaren spinore errepresentaziora1 jo zuen bi kasuetan spinoreentzako trukaketa eta antitrukaketa erlazioak postulatuz. Pauli kapaz izan zen, errepresentazio murriztezinen baitan, spinoreak (j, k) momentu angeluarraren zenbaki kuantikoen araberako (r, q) indizeen bidez lau klasetan banatzen zituen propietate batez jabetzeko. Spin osodun partikulak U(+1), U(-1) spinoreek deskribatzen zituzten, eta spin erdi-osodunak U(+ε), U(-ε) spinoreek. Halaz, Lorentz bektore bat, spinore errepresentazio honetan U(-1) klasean legoke, j eta k biak erdi-osoak izaki. Klasifikazio orokor honetatik Paulik energia-momentu tentsore eta korronte-bektore onargarriak eraikitzeari ekin zion kasuistika osoa aintzat hartzearren. Hala ikusi zuen U(+1) spin osodun spinoreentzat trukatzaile simetrizatua ezereztu egiten zela eremu indibidualarentzat. Baina spin erdi-osoentzat trukaketa ezerezten zuen eratorpena ez zen hain zuzena.

Spinore bereziok, hasiera batean alferrikako abstrakzioa lekarketen hornidura matematikoak lirudiketenak, problema egokiro sailkatzeaz gain kondentsatu egiten zuten derrigorrezko inbarianteen kalkulua, lehenbizi eurengan eta ondoren, bai energiarentzat, bai korrontearentzat. Spinore errepresentazio orokorrak, matrizeena bezalako kondentsazio ahalaz, ekarpen heuristikoa egiten zuen zeinu diagramatiko gisa. Ekarpen hau, pauso analogoak medio, ekuazio nagusien transformazio ezberdinekiko inbariantza analizatuz garatuko zen. Gainera, simetria eragiketa berrien aplikagarritasuna iradokitzen zuten spinoreek.

Izan ere, prozedura honetan Paulik Lorentzen spinore errepresentazioan strong-reflection islapen simetria topatu zuen. Islapen transformazio gogor honetan p− p , x−x burutzen zen, zeinak, spinoreen gain duen eragina kontuan izanda, spin osoentzat, energia-momentu tentsoarearen zeinua ez, baina korrontearena aldatzen zuen, eta alderantziz spin-erdiosoentzat. Egungo TCP-inbariantzaren aurrekari nabarmena izan zen hau, eta elkarrekintza elektromagnetikoak eta karga-konjugazio inbariantza aplikatu izan balitu gauzak hamarkada bat aurreratzeko kapaz izango zatekeen Pauli.

Egun frogatu izan dutenez (Dubovsky et al., 2007), mikrokausalitatea ez da Lorentz inbariantzaren ondorioa, baizik eta teoria klasikoaren estruktura kausalarena. Adibidez, hondoko metrikagatik Lorentzen inbariantza esplizituki hausten den espazio-denbora arbitrarioki kurbatuetan mikrokausaltasuna bete egiten da. Beraz, Lorentzen transformazioen menpean, printzipio erabat konbentzional batetik atera ziren ondorioak, eta hala formalizatu zen 1940ko frogapena ere.

Ahuldadeak ahuldade, ez zen txantxetakoa ondorioaren garrantzia. Pauli beraren ustez (1940, 722 or.), “spina eta estatistikaren arteko konexioa erlatibitate teoria bereziaren aplikazio garrantzitsuenetakoa da”2. Hala ere, Paulik ezin izan zuen teoria osoa soilik mikrokausaltasunaren beharrizan erlatibistaren gainean frogatu, eta kausaltasunaren eta energia positiboaren arteko nahasketa batekin konformatu behar izan zuen.

Hementxe bukatzen da Esklusio Printzipioaren historia azterketa honi dagokionez. Honekin azkenean sasi-frogatutzat ematen da spin erdi-osoa duen edozein partikulak Esklusio Printzipioa eta Fermi-Dirac estatistika jarraitu behar duela (fermioiak), spin osodun edozein partikulak Bose-Einstein estatistika obeditu behar duen bezala (bosoiak). Izan ere, Pauliren jatorrizko bertsioan, spin-estatistika teoremak unibertsoa bi partikula motatan banatzen omen zuen. Baina ez zen horrela. Frogatzen zuena berez zera zen, spin jakin bat duen partikula batek zein estatistika ez duen obeditzen. Paulik bide gehiena gauzatzea lortu zuen arren, ia bi hamarkada beharko ziren Hall-Wightmanen teoremaren bidez frogapen erabatekoa erdiesteko.

1 Van der Waerdenen spinoreen propietate orokorrak nahikoa dira honetarako. Spinore-bektore konexio sinpleakU =V

=V 0

⋅V eta U =V

ezartzen du, non =0,1, 2,3, Lorentz indizeak diren, ,=1, 2, spinore indizeak, eta =1, Pauli matrizeak. Oro har, U

ν spinoreak (r, q) zenbaki oso positiboz ezaugarri daitezke r=2j + 1 eta q=2k + 1 izanik. Behe indizeen kopurua 2j da eta goikoena 2k. 2 The connection between spin and statistics is one of the most important applications of the special relativity theory.

149

Joan den mendeko 60. hamarkadan tarteko estatistiken aukera aztertu zuten teoriak egon ziren, baita Pauliren Esklusio Printzipioa bortxatzen zuten spin erdi-osodun balizko parapartikulen bilaketa programak ere. Huts egin zuten guztiek. Esklusio Printzipioak, baita egungo kromodinamika kuantikoan ere, funtsezko lege gisa zutik dirau, eta ezartzen duen debekuak mikromundua ez ez ezik makromunduaren jarraibideak erabat baldintzatzen ditu..

5. Ondorioak

Mekanika kuantiko berria ekarri zuen 'iraultza' esan ohi dena baino pausokakoagoa eta suabeagoa izan zen. Mekanika klasikoaren ekuazioak eta Bohrren teoria atomikoa ainguratzat hartuta, ikuspegi positibistak permititzen zituen kantitate behagarrietara murriztu behar zen notazioa, eta problema-espazio behagarri soil hauekin hasi behar izan ziren operatzen. Horregatik izan zuen hasieratik sormen prozesuak nagusiki izaera operatiboa, bisuala ala analogikoa baino. Analogiak 'ohiko murrizpen' asoziatiboak izango dira kasu askotan edo zeharkako hipotesi laguntzaileen sortzaileak beste askotan, metodoak, antzekotasun operatiboak medio, birproduzitzeko.

Bohrrek v(n,n-k) maiztasunak vn maiztasun klasikoen analogia kuantikotzat hartu zituen bezala, era berean, beste analogia bat sartu zuen Heisenbergek, x(n,n-k) kuantikoaren eta xnk

desplazamendu osagai klasikoaren artean. Analogia hau manipulatiboa da, sinboloek paperean duten lekuagatik errepresentatzen dituzten elkar-erlazioak birproduzitzen ditu eta, hauek diagramatikoki ordezkatzeko. Hastapeneko pausook izaera diagramatikoa izateak esplikatzen du ziurrenik Heinsenberg bera, ohartu gabe, kalkulu matrizialaren birprodukzio elemental bat gauzatzera iritsi izana, Born ohartu zen gisan. Hots, hastapeneko analogia diagramatikoez emaniko ikuspegi aldaketa txikiak oharkabean eta berez garatuko bailitzan ekarri zuen matrize mekanika. Matrizeak ikono diagramatiko birfinduak izango dira garapen honen amaieran.

Aingura klasikoak ez zituen honek zeharo eten, hala eta guztiz ere. Schrödingerren uhin-mekanikak, teoria erabat baliokidea zela jakin gabe, emaitza berberekin askoz ere helduleku bisualagoa eskaintzen zuen. Ez da ahaztu behar hau ere jatorrian uhin-optikaren eta partikulen mekanika klasikoaren arteko analogiak de Broglierengan eragindako ikuspegi kontzeptual berritik abiatua izan zela. Analogia hertsiek sormen potentzial handia eskain dezaketela erakusten du honek berriro ere, maiz irismen epistemiko laburra egozten zaien arren teoria kognitibo klasikotik. Izatez, analogia landuak izatera iritsi daitezke, tertium comparationis finaz. Oroitu, bestela, partikulak deskribatzeko Schrödingerren “uhin-gailurrak” uhinez osaturiko hondo unibertsalean. Eta munduaren ikuspegi jariakor honen baitan ulertu behar dira fenomeno kuantikoak eredu hidrodinamikoez azaltzeko egin ziren saiakerak ere. Analogiak etengabe pizten ziren teoria ezagunekin zubiak eraikitzeko. Beraz, 'iraultza' zientifikoak une horretan pentsamendu dibergentea nabarmenki indartzen delako ezaugarritzen dira berreraikitze historiko honetan.

Sormenari gagozkiola, uhin-mekanika irudi ikonoetan funtsatu zen bitartean, matrize mekanikak ikono diagramatikoetan ipini zituen oinarriak. Jardun sortzailearentzat zentralagoa da analogia lehenengo kasuan bigarrengoan baino. Hor egon zitekeen ika-mika estetikoen jatorria. Ezagunagoa, ohikoagoa eta hobeki ainguratua zirudien lehenengoak, eta bisualizazioak beti lekarke edertasun ideia bat. Irudiaren lilura ari da hor parte hartzen. Uhinaren irudiak prozesu sortzaile osoan dirau fisikariaren gogoan, ez soilik ahalmen sortzailea duelako, baita lortutako emaitza berriak interpretatzeko marko iraunkor bat eskaintzen duelako ere. Aldiz, diagramek ez dute halako lilurarik sortzen. Sinboloen manipulazio diagramatiko batek katebegi garrantzizko bat ekar lezake, baina hasierako pausoak (Fourierren serieen deskonposaketa, etab.) ez dira azken ondorioetan (matrizeak) zertan present egon. Are gehiago, hasierako analogiak desaktibatuak gera daitezke barneratutako teknika matematiko eta manipulazio arau zurrunen baitan.

150

Testuinguru manipulatibo eta operatibo honetan aztertu behar izan da esklusio printzipioaren jasokunde nomikoa, erreferentzia bisualik gabeko sinbolo andana baten aurrean. Garrantzizkoa da honetaz jabetzea. Ildo honetan, oraindik araua zela erakusten zuen izaera aztertuta argi erakutsi da berrantolaketa eskemak eta permutazio formalismoak potentzialki aktibatuak dituela berariaz. Analogia kontzeptual zentral eta indartsu baten ezaugarriak lituzke lehenengo begiradan egoera okupatuaren irudiak. Jasokundea medio lortuko duen orokorpen maila, gainera, zentraltasun hori areagotzera datorrela dirudi. Zentrala esaten denean, konkista teorikoa arrakastaz bideratuko duen programa baten funtsaz ari naiz. Hala eta guztiz ere, esklusioaren ideia, ez sortu zenean, ezta gero ere printzipio bihurtzeko bidean, inoiz ez zen izango Pauliren edo beste fisikari nagusien programaren ardatz. Xehetasunek gidatuko zuten programen arteko lehia eta aitzinamendu teorikoa, esklusio araua zeharka, baina beti aintzat hartuta, geroz eta orokorrago bihurtuz. Ez da Lakoffen erako 'metafora kontzeptual' zentral bat, baizik eta abstrakzio prozesu konplexu bat, arrazoiketa abduktiboa, gogo eskemak, analogiak (etab.), denak aintzat hartuta garatu zena.

Detaile txiki hauetaz ohartzen Dirac espezialista bat zen. Behagarriak neurgarriak izatekotan, partikula bereizezinen sistemek egoera bereizezinak sortu behar zituzten partikulen trukaketarekiko. Bi partikula bereizezinen gogo-esperimentua, esklusio araua egiaztatzen duen fase ebaluatzailean, gakoa da honenbestez. Ebaluazioan emaniko pauso justifikatzaileak notazio antisimetrikoaren indar heuristikoa deskubritzera ginderamatzan, hau da, justifikazio-deskubrimendu testuinguruak gainezarriak datoz sortu-ebaluatu zikloan. Honela bada, Pauliren araua fenomenologia espektroskopikoaren jarraibideetatik atera eta partikula anitzeko sistema kuantikoetan arrakastaz barneratzen du. Izan ere, notazio antisimetrikoak berariaz adierazten du esklusioaren ideia. Bereizezintasunaren ideiatik eta berrantolaketa eskematik eratortzen da bi partikularen arteko esklusioa. Asmakuntza prozesu honetan Diracek ez dauka aurrekari teorikorik, behagarrientzako premisa positibistak eta bereizezintasuna soilik. Asoziazioz esplikatu ohi diren sormen prozesuak gainditzen ditu honek, bi partikula bereizezinen trukaketa irudiak ildo sortzaile bat abiatzen duelako berrantolakuntza eskemaren malgutasunagatik.

Hurrengo eraikuntza matematiko harrigarria Pauliren ekuazioa izan zen. Paulik ez zituen orduan Shrodingerren ekuazioko eragileak bakarrik eraldatu, uhin-funtzio beraren izaera ere aldatu egin zuen. Ez bektorea, ez tentsorea, objektu matematiko erabat berria izan zen spinorea. Espazio koordenatuen biraketa osoarekiko inbariantea ez zenez, ezin zuen egiazko esanahi fisikorik izan. Hala ere, ezinbesteko objektu matematikoa bilakatu zen aurrerantzean. Antzekotasun operatiboak iradokitzeko duen ahalmen heuristikoa nabarmen geratu da gero, spinarentzat bezala fisika nuklearrean geroago sartu diren adierazpide kuantiko berrietan. Izan ere, antzekotasunok, izaera ikoniko nagusiaz, zehazki iradokitzen dituzte balizko egoera fisikoen aspektu berriak. Ikono hauek erlazio analogoak azaleratu egiten dituzte eraikin operatiboetan.

Spin matrizeena ere ildo honetan doa. Egun Pauliren aljebra deritzonaz badakigu zenbaki irudikariek tribektore edo pseudoeskalar bat eratzen dutela, baita momentu angeluarraren osagaien arteko erlazioak aljebra honen barne daudela ere. Spin momentu angeluarra autobalio zuzenez spinoreari eragiten zion eragile matrizial gisa adierazia zegoenez eta ordezkapenek inbariantzari eusten ziotenez, Pauliren ekuazioak mugapen nagusiak egokiro obeditzen zituen. Guzti honek aljebra orokorragoetan hartzen zuen lekua perspektiban aztertuta, argi geratzen da sistematizazio prozesu luze baten hasieran zeudela Pauli eta enparauak. Pauliren matrizeen eta spinoreen orokorpenean, alabaina, analogiak ez zuen garrantzizko parterik. Ezta sorkuntzan ere. Abstrakzioz suertatu zen objektu matematiko hauen sorkuntza eta eboluzioa.

Abstrakzioa, hipotesi ahulagoen laguntzaz emaitza fisikoak azaltzeko sormen prozesua, sartu zen jokoan Pauliren spin matrizeekin eta spinoreekin. Eta abstrakzio matematikoranzkoa izan zen, hain zuzen, Noetherren teoremak eta talde teoriak egin zuten ekarpena. Epe horretan tresna eta objektu matematiko ezberdinak ugaldu ziren, gauge teoria eboluzionatuenetan geratu den marko

151

heuristikoa aurretiaz iragarriz. Hau da, funts fisiko ezagunik gabe sartutako objektu matematiko gehigarrien multzoak ez du soilik deskripzio fisikoa ulergarriago egiten, adiera fisikoa dakarten simetriez ere informatu egiten gaitu. Hipotesi ahulen pilaketa hau justifikatua geratzen da arrakasta heuristikoagatik eta enpirikoagatik. Alta, Pauliren garaian hau ez zen hain agerikoa, matematika sinpleena datu espektrometrikoak azaltzeko gauza zen eta. Baina tresna matematikoak gehitzeko eta abstrakzioa areagotzeko bideari irmo ekin zion, simetriez eta inbariantzaz zuen ezagutza eta sinesmena medio. Mac Lanen zuhaitzean ikusi denez, inbariantza adabegi ezinbestekoa suertatuko zen Hamiltonen printzipioa eta barietateen kalkulua mekanika kuantikoarekin lotzeko. Hortaz, gaur ondo dakigunez, inbariantzetan edo simetrietan dago mekanika klasikoaren kontzeptuak mekanika kuantikoarenekin erlazionatzeko bidean bidegurutzeko geraleku nagusietako bat. Pauli ez zebilen batere urruti. Gainera, ez da ahaztu behar analogiak heuristikoki inbariantzen metodoarekin duen antzekotasuna aplikazio operatiboari dagokionean.

Eta berriro esan behar da: orokorpen teoriko ahaltsu honetan analogiek ez zuten muineko lekurik izan. Fermiren katakresia bera ere, X-izpien analogia erradiatiboaz, Millerrek eman diezaiokeen garrantzia zentralik gabe, zeharka txertatu zen Pauliren ildo nagusiagoan zulo teoria gainditzeko eta 'energia negatibodun itsasotik' irteteko. Abstrakziotzat hartu behar da sormen prozesu hau ere. Analogiek, ikono diagramatikoak medio, matrize eta spinore errepresentazioetan, batak bestea eragiteko duen eran, elikatu ahal zuten abstrakzio prozesu zentrala. Mota honetako diagramen funtzio alusiboa eta berraurkiarazlea berehalakoa litzateke. Azpiko analogien rola probokatzailea da, berrantolaketa eskema berriak aktibatzeko zereginaz. Adibidez, Pauliren matrizeek, momentu kanonikoa inbariante mantentzen zutenek, uhin-funtzioa berrantolatzea eskatzen zuten, spinaren bi osagaiak independenteki adieraziko zituen spinoreaz. Honek, alusioz eta analogoki, Diracen ekuazio erlatibista garatzeko metodo iradokigarria eskaini zuen gero.

Abstrakzio prozesuak dakarren informazio pilaketa honen baitan kokatu behar da bigarren kuantizazioaren ekarpena ere. Partikulaz partikula puntu espazialak esleitzen dituen errepresentazioak alde batera lagata, soilik egoera bakoitzean aurkitzen den partikula kopurua adieraztean datza tratamendu estatistikoa eta hau eremutzat hartuta egiten den kuantizazioa. Izatez, Diracen lehenbiziko partikula bikotearen errepresentazioan ere antzematen zen partikulen deslokalizazio bat, eremu izaera bat, partikula anitzeko sistemak beste antolamendu batez adieraztea iradokitzen zuena. Esaterako, uhin-funtzio simetrikoez deskribaturiko N partikulako sistema batek erradiazio elektromagnetikoarentzat eman ohi diren emaitzak birproduzitzen zituen. Hots, azken emaitza estatistikotzat, partikulok argi-kuantuak legez jarduten zutenez erradiazioa bezalako eremutzat har zitekeen N partikulako sistema, eremu/partikula dualtasuna ezarriz. De Broglieren jatorrizko analogiara eta hark ezarritako ikuspegira itzultzen gara honela.

Dirac berak argi ipini zuen eremu ikuspegia: uhin-funtzioa matrize elementuen kalkulurako bitarteko matematiko bat zen. Göttingen-Cambridgeko preskripzioak ematen zuen uhin-funtziotik kalkulu matrizialeranzko iraganbidea: egoera baten anplitudearen karratua egoera horretan zegoen partikula kopurutzat har zitekeen. Bide honen azken helmuga izan ziren sortze eta deusezte eragileak, eta hauen arteko trukaketa eta antitrukaketa erlazioak dagozkien estatistiketarako. Jordanek Diracen sortze eta deusezte eragileak ainguratzat hartuta egokieran sartu zituen azkenengoak, hau da, Pauliren arauagatik egoera batean partikula kopuruak 0 ala 1 izan behar zuela aurretiaz jakinda. Honela geratu zen esklusio printzipioa antitrukaketa erlazioen pean berradierazia. Antitrukaketa erlazioena errepresentazio antisimetrikoaren birfintze bat izan zen partikula anitzeko sistema jada eremutzat hartuta. Axiomatizazio bat, finean, erlaziook sistema osoaren zerizana erabat definitzen baitzuten osziladore harmonikoaren etsenpluan ikusi den gisara. Azkenean, Wigner eta Jordanek frogatua utzi zuten Pauliren printzipioaren baliozkotasuna uhin-anplitudeen biderkadura propietate mekaniko-kuantikoetatik erator zitekeela, eta ez hori bakarrik, honela buruturiko eremuaren kuantizazioak partikula materialen existentzia ondorioztatzen zuela eremu ikuspegitik, hots, eremuaren nagusitza ontologikotik abiatuta.

152

Beraz, eremu analogia nagusia eta osziladore harmonikoaren kuantizazioak eskaintzen duen iturri operatiboa plano ezberdinetan bada ere (ontologikoan eta heuristikoan) elkarrekin jardun ziren lanean esklusioaren jasokunde nomikoaren abstrakzio, axiomatizazio eta orokorpen prozesuan zehar.

153

Eranskinak

I EranskinaFinean, osziladore harmonikoaren auto-funtzioak honelaxe datoz emanak,

=C n e−2/2 H n ,

normalizazio konstantearen eta Hermiteren enegarren polinomioaren funtziopean. Eta energiaren autobalioak, energia adimentsionalari jarri diogun baldintza matematikoa kontuan hartuta, E = ћw (n + ½) izango dira. Oinarrizko egoeran, n=0, sistema zero puntuan dagoela esan ohi da, hots, 'fluktuazioa atermikoa' dela. Hemendik abiatuta sistema ћw kantitate diskretutan hazten da, pausoz pauso.

Azter bedi orain osziladore harmonikoaren kuantizazioa ikuskera desberdin batetik, aipatu dudan metodo garrantzitsuan barneratzearren. Hermiteren polinomioen propietateak kontuan hartuta segituan froga daiteke hurrengoa:

1

2

∂

∂ n= n n−1 ,

1

2−

∂

∂ n= n1 n1 .

Interesgarria da, arreta gune nagusietan finkatzearren, emaitzok pξ eragile adimentsionalaren arabera berridaztea,

p=−i∂

∂=

1

m ℏ wpx

gisa definituta.

II EranskinaOrain arte egin dugun bakarra erlazioen arteko notazio aldaketa bat izan da, manipulazio aljebraiko zuzena erabiliz; haatik, nomenklatura matematiko berriak dakarren ikuspegi aldaketa balia daiteke osziladore harmoniko kuantikoaren propietate fisiko gailenez jabetzeko eta hauetan finkatzeko arreta. Uhin-funtzioak berariaz aztertzekotan, aplika bedi behin eta berriz â+ eragilea funtsezko egoeraren gain:

a 0= 1 1 , a a 0= 1 a 1= 1⋅2 2 ,

a3 0= 1⋅2 2= 1⋅2⋅3 3...

ateratzen da. Zera dakusagu hemen, â+ igotze eragileak n aldiz eraginez gero, oinarrizko uhin-funtziotik abiatuta edozein enegarren uhin-funtzio era honetan,

154

n=1

n ! an 0 ,

eraiki daitekeela.

Aldiz, jaiste eragilea litzatekeenari so eginda, n=0 denean,

a 0=0

daukagu, zeinak, â eragilean adierazpide diferentziala sartuta, lehen ordenako ekuazio diferentzial bat ematen digun oinarrizko egoerarentzat:

∂

∂ 0=0 .

Ekuazio honen soluzio normalizatua berehalakoa da, hots,

0=C0 e−2/2 ;

badugu soluzioa funtsezko egoeran, eta ondorioz baita enegarren uhin-funtzioren adierazpidea ere arestiko ekuaziotik.

Eragile batek n+1 egoerara igotzen badu eta besteak n-1 egoerara jaisten badu enegarren uhin-funtzioa, biek batera eraginez bere horretan iraungo al du uhin-funtzioak? Aplika bedi â+â eragilea ezkerretik enegarren uhin-funtzioan zer jazotzen den aztertzeko:

a a n= n a n−1=n n .

Hots, â+â eragilearen auto-funtzioa da Ψn, n autobalioarekin. Eragileen ordena alderanztuta, modu bertsuan,

a a n=n1 n frogatzen da; hau da, uhin-funtzioa ââ+ eragilearen auto-funtzioa ere bada, baina n+1 autobalioaz. Igotze eta jaiste eragileen trukaketa eta antitrukaketa erlazioen bila joan gaitezke horrela:

a a a a n=2n1 n

a a− a a n= n

.

Antitrukaketa erlazioak 2n+1 autobalioa duenez [=2(n + ½)], hasieran hermiteren ekuazioa eratorri duen hamiltondarrarekiko proportzionala dela segituan ikusten da. Ez da zaila frogatzea H= 1

2 ℏw a a a a berridatzi daitekeela. Are gehiago, trukaketa erlazioa erabilita adierazpide

alternatibo hagitz garrantzizko bat erdiesten dugu osziladore harmonikoaren hamiltondarrarentzat:H=ℏw a a 1

2 . Honek argi ikustarazten du hamiltondarraren autobalioak elementalak direla azken

ekuazioa hau eta aurreko emaitzak erabilita:

E=⟨n∣ H∣n⟩=ℏw n12 .

155

VI. Erreferentziak

Achinstein, P. (1983). The concept of evidence. New York: Oxford University Press.

Agirregabiria, J.M. eta J.R. Etxebarria (1988). Mekanika analitikoa. Bilbo: UEU.

Altmanspacher, H. and H. Primas (2009). Recasting Reality: Wolfgang Pauli's Philosophical Ideas and Contemporary Science. New York: Springer.

Anderson, C. D. (1933). The positive electron, Physical Review 43: 491-4.

Antoniou, G. (1997). Non monotonic reasoning. Massachusetts: MIT press.

Bernoulli, D. (1729). Experimenta coram societate instituta in confirmationem theoriae pressionum quas lateera canalis ab aqua transfluente sustinent, Commentarii petropolitanae.

Bernoulli, D. (1737). Hydroynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii. Strassburg: published by Johann Reinhold Dulsecker.

Bernoulli, J. (1732). Hydraulica. St Petersburg: Memoirs of the Imperial Academy.

Bernoulli, D. and J. Bernoulli (1968). Hydrodynamics by Daniel Bernolulli & Hydraulics by Johann Bernoulli.Translated from Latin by Thomas Carmody and Helmut Kobus. New York: Dover.

Black, M. (1993). “More About Metaphor”, in Ortony (ed.), pp.19-41.

Bohr, N. (1923). Linienspektren und Atombau, Annalen der Physik 71: 228-88.– (1977), Niels Bohr Collected Works, edited by L. Rosenfeld, J. Rud Nielsen et al. Amsterdam:

North-Holland Publishing Company.

Bohr, N., H.A. Kramers, and J.C. Slater (1924). The quantum theory of radiation, Philosophical Magazine 47: 785-802.

Boyd, R. (1984). “The Current Status of Scientific Realism,” in J. Leplin (ed.), pp. 41–82. – (1993). “Metaphor and Theory Change: What is ‘Metaphor’ a Metaphor for?”, in Ortony (ed.),

pp. 356-408

156

Brophy, S. P. and D.L. Schwartz (1998). Interactive analogies, Proceedings from the 1996 International Conference on the Learning Sciences. Ikus: http://aaalab.stanford.edu/ papers/interactive_analogies.pdf

Calero, J.S. (2008). The genesis of fluid mechanics, 1640-1780. London: Springer.

Châtelet, G. (2000). Figuring space: Philosophy, mathematics and physics. Dordrecht: Kluwer.

Clement, J.J. (1981). Analogy generation in scientific problem solving, Proocedings of the Third Annual Conference of the Cognitive Science Society. Ikus: http://www.eric.ed.gov/ ERICWebPortal/search/detailmini.jsp_nfpb=true&_&ERICExtSearch_SearchValue_0=ED228044&ERICExtSearch_SearchType_0=no&accno=ED228044

– (1989). “Learning via model construction and criticism: Protocol evidence on sources of creativity in science”, in J. Glover, R. Ronning, and C. Reynolds (eds.), pp. 341-80.

– (2009). Creative Model Construction in Scientists and Students: The Role of Imagery, Analogy, and Mental Simulation. London: Springer.

Darwin, C.D.(1928). The wave equation of the electron, Proceedings of the Royal Society A118: 654-80.

De Broglie, L. (1925). Recherche sur la théorie des quanta, Annales de Physique 3: 22-128.

De Broglie, L. et A. Dauvillier (1922). Sur les analogies de structure entre les séries optiques et les séries de Röntgen, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Paris 175: 755-6.

De la Peña, L. (2006). Introducción a la Mecánica Cuántica. México D.F.: Ediciones Científicas Universitarias.

Dirac, P.A.M (1925). The fundamental equations of quantum mechanics, Proceedings of the Royal Society A109: 642-53.

– (1926a). Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom, Proceedings of the Royal Society A110: 561-69.

– (1926b). The Comptom effect in wave mechanics, Proceedings of Cambridge Philosophical Society 23: 500-507.

– (1927). The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proceedings of the Royal Society A114: 243-65.

– (1928a). The quantum theory of the electron, Proceedings of the Royal Society A117: 610-24. – (1928b). The quantum theory of the electron. Part II, Proceedings of the Royal Society A118: 351-

61. – (1930a). A theory of electrons and protons, Proceedings of the Royal Society A126: 360-5. – (1930b). On the annihilation of electrons and protons, Proceedings of the Cambridge

Philosophical Society 26: 361-75.– (1931). Quantized singularities in the electromagnetic field, Proceedings of the Royal Society

A133: 60-72.– (1934). Discussion of the infinite distribution of electrons in the theory of the positron,

Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30: 150-63.

Douven, I. and L. Horsten (1996). Realism in the Sciences. Leuven: Leuven University Press.

157

Dubovsky, S., et al. (2008). Microcausality in curved space-time, Physical Review 77(8).

Duck, I. and E.C.G. Sudarshan(1998). Pauli and the spin-statistics theorem. NJ: Word Scientific.

Fermi, E. (1926). Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico, Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei 3: 145-9.

– (1934). Versuch einer Theorie der β-Strahlen. I., Zeitschrift der Physik 88: 161-177. – (1962). Collected Papers, Vol. I. Chicago: University of Chicago Press.

Fierz, M. eta V.F. Weisskopf (1960). Theoretical physics in the Twentieth Century: A Memorial Volume to Wolfgang Pauli. New York: Interscience Publishers.

Geiger H. and K. Scheel (1926). Handbuch der Physik. Berlin: Springer.

Gershenson, D. and D. Greenberg (1964). The Natural Philosopher, Vol. 3. New York: Blaisdell Publishing Co.

Gentner, D. et al. (2001). The analogical mind: Perspectives from Cognitive Science. Massachusetts: MIT press.

Gentner, D. (1983). Structure-mapping: A theoretical framework. Cognitive Science 7: 155-170.– (1988). Metaphor as structure mapping: The relational shift. Child Development 59: 47-48.

Giaquinto, M. (2007). Visual Thinking in Mathematics: an epistemological study. Oxford: Oxford University Press.

Glover, J., R. Ronning, and C. Reynolds (1989). Handbook of creativity: Assesment, Theory and Research. New York: Plenum.

Hanson, N. R. (1983). “The logic of discovery”, in P. Achinstein (ed.), pp. 53-63.

Hallyn, F. (2000). Metaphor and Analogy in the Sciences. Dordrecht: Kluwer Academic.

Harré, R. (1961). Theories and things. London: Sheed and Ward. – (1986). Varieties of Realism. Oxford: Blackwell.

Hawking, S. and R. Penrose (1969). The Singularities of Gravitational Collapse and Cosmology, Proceedings of the Royal Society of London, A314: 529

Heilbron, J.L. (1982). The origin of the exclusion principle, Historical Studies in the Physical Sciences 13: 261-310.

Heisenberg, W. (1922). Zur Quantuentheorie der Linienstruktur und der anomalen Zeemaneffekte, Zeitschrift für Physik 8: 273-97.

158

– (1924). Über eine Abánderung der formalen Regeln der Quantentheorie beim Problem der anomalen Zeemanffekte, Zeitschrift für Physik 26: 291-307.

– (1925a). Zur Quantentheorie der Multiplettstruktur und der anomalen Zeemaneffekte, Zeitschrift für Physik 32: 841-60.

– (1925b). Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik 33: 879-93.

– (1926). Über die Spektra von Aomsystemen mit zwei Elektronen, Zeitschrift für Physik 39: 499-518.

– (1934). Bemerkungen zur Diracschen Theorie des Positrons, Zeitschrift für Physik 90: 209-31. – (1971). Physics and Beyond: Encounters and Conversations. London: . – (1985). Symposium on the Foundations of Moderns Physics: 50 years later of the Eisntein-

Podolsky-Rosen Gedankenexperiment. Finland, 16-20 June: World Scientific.

Heisenberg, W. and P. Jordan (1926). Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem der anomalen Zeemaneffekte, Zeitschrift für Physik 37: 263-77.

Heinsenberg, W. and W. Pauli (1929). Zur Quantenelektodynamik der Wellenfelder, Zeitschrift für Physik 56: 1-61.

Hempel, C. G. (1965). Aspects of scientific explanation. New York: The Free press.

Henneaux, M. and C. Teitelboim(1992). Quantization of Gauge Systems. Princeton: Princeton University Press.

Hesse, M. (1966). Models and Analogies in Science. Indiana: Notre Dame University Press

Holyoak, K. and P. Thagard (1995). Mental leaps: analogy in creative thought. Cambridge, MA: The MIT press.

Holyoak, K., D. Gentner and N. Kokinov (2001). “Introduction”, in Gentner et al. (eds.), pp. 1-19.

Jammer, M. (1966). The Conceptual Development of Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill.

Jordan, P. (1927). Zur Quantenmechanik der Gasentartung, Zeitschrift fur Physik 44: 473-80.

Jordan, P. and W. Pauli (1928). Zur Quantenelektrodynamik ladungsfreier Felder, Zeitschrift fur Physik 47: 151-73.

Jordan, P. and Wigner, E. (1928). Über das Paulische Aquivalenzverbot, Zeitschrift fur Physik 47: 631-51.

Kragh, H. (1999). Quantum Generations. Princenton: Princenton University Press.

Klein, O. (1927). Elektrodynamik und Wellenmechanik von Standpunkt des Korrespondenzprinzips, Zeitschrift fur Physik 41: 407-42.

159

Klein, M. J. (1964). “Einstein and the wave-particle duality”, in D. Gershenson and D. Greenberg (eds.), pp. 1-49.

Kolodner, J.L. (1993). Case-based learning. Dordrecht: Kluwer.

Kronig, R. (1960). “The turning point”, in M. Fierz eta V.F. Weisskopf (eds.), pp. 5-31.

Lakatos, I. (1978a). The methodology of scientific research programmes: Vo. 1, Philosophical papers. Cambridge: Cambridege University Press.

– (1978b). Mathematics, science, and epistemology: Vol. 2, Philosophical papers. Cambridge: Cambridge University Press.

Lakoff, G. and R. Nuñez (2000). Where mathematics come from. New York: Basic Books.

Landé, A. (1921a). Über den anomalen Zeemaneffekt (Teil I), Zeitschrift für Physik 5: 231-41. – (1921b). Über den anomalen Zeemaneffekt (Teil II), Zeitschirft für Physik 7: 398-404. – (1923a). Termstruktur und Zeemameffekt (Teil II), Zeitschrift für Physik 7: 398-405.– (1923b). Zur Theorie der Rötegenspektren, Zeitschrift für Physik 16: 391-96.– (1923d). Feinstruktur und Zeemaneffekt der Multipletts, Zeitschrift fur Physik 19: 112-23.

Larkin, J. and H.A. Simon. (1987). Why a diagram is (sometimes) worth ten thousand words. Cognitive Science 10: 65-100.

Leplin, J. (1984). Scientific Realism. Berkeley: University of California Press,

Lorentz, H. A. (1897). Über den Einfluss magnetischer Kräfte auf die Emission des Lichtes, Wiedemannsche Annalen der Physik 63: 278-84.

Lloyd, G.E.R. (1992). Polarity and Analogy. London: Bristol Classical Press.

Majorana, E. (1932). Teoria relativistica di particelle con momento intrinseco arbitrario, Il Nuovo Cimento 9: 335-44.

Mac Lane, S. (1981). Mathematical models: a sketch for the philosophy of mathematics. American Mathematical Monthly 88: 462-72.

– (1986). Mathematics, Form and Function. New York: Springer-Verlag.

McMullin, E.(1996). “Epistemic Virtue and Theory Appraisal,” in I. Douven and L. Horsten (eds.), pp. 13-35.

Malament, D. (2002). Reading natural philosophy: essays in the history and philosophy of science and mathematics. Illinois: Open Court Publishing Company.

Massimi, M. (2005). Pauli's exclusion principle: the origin and validation of a scientific principle. Cambridge: Cambridge University Press.

160

Mehra, J. and H. Rechenberg (2001). The historical development of quantum theory, 6. vol. New York: Springer.

Miller, A.I. (1986) [1984]. Imagery in Scientific Thought: Creating 20th century physics. Cambridge: MIT Press. 1984 original edition in Boston: Birkhauser.

– (2000). “Metaphor and Scientific creativity”, in F. Hallyn, pp. 147-65.

Nagel, E. (1961). The Structure of Science. London: Routledge and Kegan Paul

Nersessian, N. J. (2002). “Maxwell and the method of physical analogy: Model-based reasoning, generic abstraction, and conceptual change”, in D. Malament (ed.), pp. 129-167.

Newell, A., and H.A. Simon (1972). Human problem solving. NJ: Prentice-Hall.

Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme, Nachr. d. König. Gesellsch. d. Wiss. zu Göttingen, Math-phys. Klasse: 235-257.

Núñez, R. (2008). “What is Mathematics? Pauli, Jung, and Contemporary Cognitive Science”, in H. Altmanspacher and H. Primas (eds.). Ikus: http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/web/Pauli Jung.pdf

Ortony, A. (1993). Metaphor and Thought. Cambridge: Cambridge University Press.

Paatz, R., J. Ryder, H. Schwedes., and P. Scott (2004). A case study analysing the process of analogy-based learning in a teaching unit about simple electric circuits. International Journal of Science Education 26(9): 1065-1081

Pauli, W. (1923). Über die Gesetzmaβigkeiten des anomalen Zeemaneffektes, Zitschrift fur Physik 16:155-64.

– (1924). Zur Frage der Zuordnung der Komplexstrukturterme in starken und in schwachen auβeren Feldern, Zeitschrift fur Physik 20: 371-87.

– (1925a). Über den Einfluβ der Geschwindigkeitsabhangigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt, Zeitschrift fur Physik 31: 373-85.

– (1925b). Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren, Zeitschrift fur Physik 31: 765-83.

– (1926a). “Quantentheorie”, in H. Geiger and K. Scheel (eds.), pp. 1-278. – (1926b). Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift

fur Physik 36: 336-63.– (1927a). Über Gasentartung und Paramagnetismus, Zeitschrift fur Physik 41: 81-102. – (1927b). Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, Zeitschrift fur Physik 43: 601-23. – (1933). Einige die Quantenmechanik betreffende Erkkundigungsfragen, Zeitschrift fur Physik 80:

573-86. – (1936). Théorie quantique relativiste des particules obéissant à la statistique de Einstein-Bose,

Annales de l’Institut Henri Poincaré 6:137-52.– (1940). The connection between spin and statistic, Physical Review 58: 716-22.– (1946). Remarks on the history of the exclusion principle, Science 103: 213-15.

161

– (1948). “Exclusion principle and quantum mechanics”, in Les Prix Nobel 1946. Stockholm: Norstedt & Soner, pp.131-47.

– (1955). Rydberg and the periodic system of elements, Proceedings of the Rydberg Centenial Conference on Atomic Spectroscopy, pp. 22-26.

– (1964). Collected Scientific Papers by Wolfgang Pauli, Vol. I-II, R. Kronig and V.F. Weisskopf (ed.). New York: Wiley Interscience.

– (1979, 1985, 1993) [Pauliren eskutitzen bilduma]. Wissenschaftlicher Brifwechsel mit Bohr, Einstein, Heinsenberg u.a., Band 1,2,3 (1919-1929, 1930-1939, 1940-1949), K. von Meyenn (ed.). Berlin: Springer Verlag.

– (1981). Relativity Theory. New York: Dover. – (1994) Writings on Physics and Philosophy, (ed.) C.P. Enz and K. von Meyenn. Berlin: Springer.

Pauli, W. and F.J. Belinfante (1940). On the statistical behauviour of known and unknown elementary particles, Physica 7: 177-92.

Pauli, W. and V. Weisskopf. (1934). Über die Quantisierung der skalaren relativistischen Wellengleichung, Helvetica Physica Acta 7: 709-31.

Pandit, G. L. (1983). The structure and growth of scientific knowledge. Dordrecht: Reidel.

Peirce, C.S. (1931–36). The Collected Papers. Cambridge M.A.: Harvard University Press.

Petruccioli, S. (1988). Metafore paradossi: Niels Bohr e la costruzione di una nuova fisica. Rome: Theoria. Ingeleseratua (1993), Atoms, Metaphors and Paradoxes: Niels Bohr and the construction of a new physics. Cambridge: Cambridge University Press.

Popper, K. (1965). The logic of scientific discovery. New York: Harper&Row.

Quine, W. V. (1969). Ontological relativity and other essays. New York: Columbia University Press.

Sánchez Ron, J.M. (2011). La historia de la física cuántica. El periodo fundacional (1860-1925). Barcelona: Crítica.

Schrödinger, E. (1926a). Quantisierung als Eingenwertproblem. Erste Mitteilung, Annalen der Physik 79: 361-76.

– (1926b). “Quantisierung als Eingenwertproblem. Zweite Mitteilung”, Annalen der Physik 79: 489-527.

– (1926d). Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen, Annalen der Physik 79: 734-56.

Sommerfeld, A. (1916a). Zur Quantentheorie der Spektrallinien, Annalen der Physik 51: 1-94; 125-67.

– (1916b). Zur Theorie des Zeeman-Effekts der Wasserstonfflinien, mit einem Anhang über den Stark-Effekt, Physikalische Zeitschrift 17: 491-507.

– (1919). Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Vieweg. – (1920).Allgemeine spektroskopische Gesetze, insbesondere ein magnetooptischer Zerlegungssatz,

Annalen der Physik 63: 221-63.

162

Thomas, L.H. (1926). The motion of the spinning electron, Nature 117: 514.

Uhlenbeck, G.E. und S. Goudsmith (1925). Ersetzung der Hypothese vom unmechanischer Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons, Naturwissenschaften 13: 953-4.

Ulazia, A. (2011). Analogia fisikarien sormenean, Gogoa 11(1): 33-59.

Van Fraassen, B. C. (1989). Laws and Symmetry. Oxford: Clarendon Press.

Von Newmann, J. and E. Wigner (1928a). Zur Erklarung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons, Zeitschrift fur Physik 47: 203-20.

– (1928b). Zur Erklarung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons. Zweiter Teil, Zeitschrift fur Physik 49: 73-94.

– (1928c). Zur Erklarung einiger Eigenschaften der Spektren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons. Dritter Teil, Zeitschrift fur Physik 51: 844-58.

Weyl, H. (1928). Gruppentheorie und Quantenmechanik. Leipzig: Hirzel. Ingeleserako itzulpena

(1930) The Theory of Groups and Quantum Mechanics. New York: Dover.

Weinberg, S. (1993). Dreams of a Final Theory . New York: Vintage Books.

Wigner, E. (1927). Einige Folgerungen aus der Schrodingerschen Theorie fur die Termstrukturen, Zeitschrift fur Physik 43: 624-52.

Zeeman, P. (1896). Over den invloed eener magnetisatie op den aard van het door een stof uitgezonden licht, Verlag van de Gewone Vergaderingen der Wis-en Natur-kundige Afdeeling, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 5: 181-5, 242-8. Ingeleserako itzulpena (1897) “On the influence of magnetism on the nature of the light emitted by a substance”, Philosophical Magazine 43: 226-39.

163

164