analisis sistemas r-28 prueba 4

8/16/2019 Analisis Sistemas r-28 PRUEBA 4

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U niversidad de Tarapacá scuela de Ingeniería léctrica y lectrónica

Solución Primera Prueba de Análisis de SistemasSegundo Semestre de 2011

Nombre: ............................................................................................Puntos: ...............Nota: .............

Número de hojas entregadas: .............

1.- En la primera tabla se indican características asociadas con los sistemas en general. En la segundatabla se señalan tipos de sistemas de acuerdo a diferentes criterios de clasificación, coloque el o losnúmeros de las características que correspondan a cada tipo de sistema en la segunda columna.

Nº Característica de los sistema físicos o propiedades asociadas a ellos

1 Las propiedades de sus elementos no dependen de coordenadas espaciales

2 No cumplen el principio de superposición

3 Se representan por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

4 Las propiedades de sus elementos dependen de coordenadas espaciales

5 Las señales están disponibles sólo en ciertos instantes

6 Se representan por ecuaciones diferenciales ordinarias

7 Cumplen el principio de superposición

Tipo de Sistema Nº(s)

Lineal 7

De Parámetros Distribuidos 3,4

De Tiempo Contínuo -

De Parámetros Concentrados 1,6

No Lineal 2De tiempo Discreto 5

De Parámetros Constantes -

2.- En la tabla de la izquierda se indican diversas entidades conceptuales. En la tabla de la derecha seseñalan propiedades, transformaciones o métodos relacionados. Indique en la columna en blanco enúmero de la entidad que posee la propiedad señalada (pueden ser varias) y/o a las que es posibleaplicar la transformación o método indicado.

Nº Entidades Nº Respuestas Propiedades, Transformación o Método

1 Señal Diente de Sierra 3, 6 Espectro de Frecuencia Contínuo

2 Fasor 1 Serie de Fourier3 Pulso Rectangular 5, 7, (2, 4) Método Fasorial

4 Versor (fasor rotatorio) 1, 3, 5, 6, 7 Transformada de Laplace

5 Excitación Senoidal 2 Desfase

6 Función Aperiódica Acotada 3, 6 Transformada de Fourier

7 Suma de 2 Senoides 1, 4, 5, 7 Frecuencia


2/4

3.- a) Para el circuito de la derecha, determine la expresión en el tiempode la corriente i( t) y grafíquela aproximadamente para los primeros 100[mseg]. Las fuentes de voltaje y los parámetros son los siguientes:

1 2

3

( ) 100cos 250 [ ], ( ) 25cos100 [ ],6

( ) 20 [ ], 100 [ ], 0,1 [ ], 10 [ ]

v t t Volts v t t Volts

v t Volts R L H C F

π

µ

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= = Ω = =

b) Si se reemplazan las 3 fuentes de tensión por una onda cuadradacon amplitud 15 [Vpp] y un período de 5 [mseg], determine laexpresión i n( t) de la n-ésima armónica de la corriente y calcule laamplitud para la tercera armónica.

(Nota: se indicó que sólo se debe resolver para el régimen permanante)

Se aplicará superposición y el método fasorial para las excitaciones senoidales. En régimen permanentela fuente v3(t ) no tendrá ningún efecto, luego i3(t ) = 0. Para los otras dos fuentes, con k = 1 y k = 2:

a) Cada componente de la corriente resultante se calcula por la ec.(3.1). De los datos se desprende:

1 1 1

6

1

100 [ ], 250 [ / ], [ ] 30º6

10ˆ 100 250 0,1 100 (25 400) 100 375 388,1250 10

V Volts rad seg rad

Z j j j

π ω δ = = = =

⎛ ⎞= + ⋅ − = + − = − =⎜ ⎟

⋅⎝ ⎠

( )1

75º [ ]

100( ) cos 250 75º 30º

388,1i t t

− Ω

= + −

( )1( ) 0, 2577cos 250 45º [ ]i t t A= +

2 2 2

6

2

25 [ ], 100 [ / ], 0

10ˆ 100 100 0,1 100 (10 1000) 100 990 995100 10

V Volts rad seg

Z j j j

ω δ = = =

⎛ ⎞= + ⋅ − = + − = − =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

( )2

84, 23º [ ]

25( ) cos 100 84, 23º

995i t t

− Ω

= +

( )2 ( ) 0,0251 cos 100 84, 23º [ ]i t t A= +

1 2( ) ( ) ( )i t i t i t = + ⇒ ( ) ( )( ) 0, 2577cos 250 45º 0,0251 cos 100 84,23º [ ]i t t t A= + + +

ˆk V

( )k i t ˆk I

k L k j L jX ω

R

1C k

k

j jX C ω

− −

( )

( )

1

ˆ ˆˆ

ˆ1

ˆ ( ) : ( )

( ) ( )

( ) cos .(3.1)

k k

k k Lk Ck

R R

k k k k k

k k k

k

k

j

k k k k k k

LC X X

k

k k k k k

V V V I

Z Z R j L

C

I I I e Fasordei t

arctg arctg

i t I t Ec

ϕ δ

ω ω

δ

ϕ ω

ω

ϕ δ

ϕ

ω ϕ δ

− −

−−

∠−= = =

∠⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∠ − − =

= =

= − −

( )k v t


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b) El desarrollo de Fourier de una onda cuadrada es un desarrollo de senos o cosenos, sólo con términosde orden impar (n=1, 3, 5, ...), por ejemplo (ver tablas):

Luego, la n-ésima armónica de valor A p.p. (aparte del primer término o valor medio) vale:

1

2 1

2 1( ) ( ) ( 1) cosk k n

A f t f t n t

nω ω

π

−− = = − , con ( )

11,2,..., 2 1 1

2

nk n k k −= = − ⇒ − = ,

la amplitud es1

22

( 1)n

A

nπ

−

− y la frecuencia es nω , luego, la impedancia será:1ˆ

n Z R j n Ln C

ω ω

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

la componente de la corriente de orden n será: ( )( ) cosn n ni t I n t ω ϕ = − , donde:

11

2

2

2

2 30, con: ( 1) , y con: ( )

1 R

n n Ln C n

n n n

V A I V arctg

n n R n L

n C

ω ω

ϕ π π

ω

ω

− −

= = − = ± =⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

,

en que el signo dependerá del valor de n (cuando el signo es –, equivale a agregar 180º al argumento φn).

Como el período T es 5 [ms], la frecuencia será: f = 1/T = 1000/5 = 200 [Hz] y ω = 2π f = 400π [rad/s].Para la tercera armónica (n = 3), será de f 3 = 600 [Hz], ωn = nω = 1.200π [rad/s]. Reemplazando losvalores:

( )22

622 2 2

2 2

1 10100 1.200 0,1 100 376,99 26,53

1.200 10

100 350,46 10.000 122.825,9 132.825,9 364,45 [ ]

n Z R n Ln C

ω π ω π

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − = + ⋅ − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = + = = Ω

2 2 15 103,183 [V]

3n

AV

nπ π π

⋅= = = = ⇒

⋅

3,1830,00873 [A] 8,73 [mA]

364,45

n

n

n

V I

Z = = = =

( )1

350,46( ) 3,5046 74 , no se preguntaba

100 R

n Ln C

n arc tg arc tg arc tg ω

ω ϕ

−⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

3.- Obtenga la transformada directa de Laplace de la función periódica f ( t) de la figura:

Se observa que f (t ) es una función periodica

con período T = 2(a+b). A su vez, el primer período es la suma de dos pulsos de duracióna y amplitud A. Sea el primero f 1(t ):

f 1(t) es la suma de dos escalones, o sea:

1( ) [ ( ) ( )] f t A u t u t a= − − . Su transformada es: ( )1( ) 1 a s A

F s e s

−= − .

1(t)

0 a t

A 0 a a+b 2a+b 2(a+b) 3a+2b t

(t) A

-

a b a b a

A

-2π -π 0 π /2 2π ωt

[ ]

( )1

1

2 1 1( ) cos cos3 cos5 ...

2 3 5

2 1( ) ( 1) cos (2 1)

2 2 1

k

k

A A f t t t t

A A f t k t

k

ω ω ω ω π

ω ω π

∞−

=

= + − + −

= + − −−

∑


4/4

El segundo pulso es igual que el primero, pero es negativo y está desplazado en (a+b), luego:

2 1( ) ( [ ]) ( [ ]) f t f t a b u t a b= − − + − + , por lo tanto: ( )2 1( ) ( )

a b s F s F s e− += − .

El primer período completo es: 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p f t f t f t F s F s F s= + ⇒ = + .

Por el teorema de las funciones periódicas, la transformada de f (t ) será:

2( )

1 1( ) ( ) ( )

1 1 p pTs a b s

F s F s F se e− − +

= =− −

, reemplazando F p( s), se obtiene:

[ ] ( ) ( )( )( )

( )( )

1 2 12( ) 2( ) 2( )

1 11 1( ) ( ) ( ) ( ) 1

1 1 1

a s a b sa b s

a b s a b s a b s

A e e F s F s F s F s e

e e s e

− − +

− +

− + − + − +− −= + = − =

− − −

( ) ( )( )1 1( )

as a b s A e e F s

− − +− −=

( ) ( )( ) ( )1 1a b s a b s s e e− + − ++ −⇒

( )( )( )

1( )

1

a s

a b s

A e F s

s e

−

− +

−=

+

4.- Utilizando la Transformada de Laplace, resuelva la ecuación diferencial siguiente para encontrar lafunción y( t), con las condiciones iniciales indicadas:

2

22 5 3 0 0 0 0d y t dy t y y y

dt dt + + = = =( ) ( ) , ( ) , ( )

Aplicando la ℒ{ } a ambos miembros de la ec. diferencial, se obtiene:

( )( )

2 2

2

3 3 32 5 2 5

2 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s Y s sY s Y s Y s s s Y s

s s s s s+ + = ⇒ + + = ⇒ =

+ +,

Como hay dos raíces complejas conjugadas, la descomposición en fracciones parciales conviene hacerlade la forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

22

2

2

0

3( ) 3 2 5

2 52 5

3 2 5 ; igualando coeficientes de igual potencia de :

0 (1)3 3 6

0 2 (2) de (3): , de (1): , y de (2):5 5 5

3 5 (3)

A Bs C Y s A s s s Bs C

s s s s s s

s A B s A C A s

s A B

s A C A B C

s A

+= = + ⇒ = + + + + ⇒

+ ++ +

= + + + +

⇒ = +

⇒ = + ⇒ = = − = −

⇒ =

Por lo tanto, reemplazando y forzando el cuadrado del binomio en el denominador:

( ) ( )

2 22 2 2

3 1 3 2 3 1 3 2 3 1( )

5 5 2 5 5 10 51 2 1 2

s sY s

s s s s s s

+ += − = − −

+ + + + + +,

Luego: { }( ) ( )

1 1 1 1

2 22 2

3 1 3 2 3 1( ) ( )

5 10 51 2 1 2

s y t Y s

s s s

− − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎫

= = − − ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ + + + +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ℒ ℒ ℒ ℒ

- -3 1( ) 1 sen 2 cos 2 ( )5 2

t t y t e t e t u t ⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

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