análisis matemático ing. antonio crivillero - integral definida -
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Análisis Matemático
Ing. Antonio Crivillero
- Integral Definida -
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Arquímedes de Siracusa (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.) matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.
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Sir Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) científico, físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.
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Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) matemático alemán que realizó
contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial.
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Problema de Cinemática
• Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:
a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) La distancia recorrida durante ese tiempo.
v(t) = t2 - 2tModelo
Matemático
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Recinto de Ordenadas
)(xfy
)}(0 xfy ,,{ bxayxR
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)()( RaRa A )()( BRaRa
)()()( BA RaRaRa
)(xfy
1A 4A3A2A
3x1x0xa 2x 4xb
)(xfy
1B 4B3B2B
3x1x0xa 2x 4xb
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Propiedades del área
.0)(: RaR
Si R es un punto o una curva, entonces a(R) = 0
Si R1 y R2 son recintos planos congruentes, entonces a(R1) = a(R2).
Si R1 y R2 son recintos planos cuya intersección tiene área nula, entonces
)()()( 2121 RaRaRRa
2R1R
2R1R
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Si , entonces
Si R1 y R2 son recintos planos cualesquiera entonces:
)()()()( 212121 RRaRaRaRRa
21 RR ).()( 21 RaRa
1R2R
1R2R
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)(xfy Vamos a considerar una función f(x)
ACOTADA NO NEGATIVA en [a,b].
Llamaremos a R a la región dada por:
)()()( abMRaabm
b
adxxfRa )()(
La función área, que cumple las condiciones pedidas, se obtiene mediante la integral definida de funciones integrables en intervalos cerrados.
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)(xfy
0xa 1ixnxb
im
iM
ix
)(xfy
0xa 1ixnxb
im
iM
ix
Donde es la longitud del intervalo i-ésimo. (Nº Real
Positivo)
El intervalo [a,b] queda dividido en n subintervalos ,
Con i=1,2,3,…,n.
1 iii xxx
bxxxxxxxa nnii 11210 .............
],[ 1 ii xx
Sumas Inferiores y Sumas Superiores
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iii xxxxfpfm 1inf),( iii xxxxfpfM 1sup),(
),(),( pfMpfm ii
ni ,...,2,1
0xa 1ixnxb ix
)(xfy
imiM
)(xfy
nxb
imiM
0xa 1ix ix
ii xpfm ).,(ii xpfM ).,(
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Llamaremos SUMA SUPERIOR correspondiente a la partición P.
Llamaremos SUMA INFERIOR correspondiente a la partición P.
n
iii xpfMpfU
1
).,(),(
)(),(),()( abMpfUpfLabm
n
iii xpfmpfL
1
).,(),(
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Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores.
Lema 1: ),(),( pfUpfL
Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si QP ),(),( QfLPfL ),(),( PfUQfU
)(xfy
p ix1ix
im
iM)(xfy
p ix1ix
im
iM
)(xfy
im
iM
1q 2qpix1ix
)(xfy
1q 2q
im
iM
ix1ix p
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Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: ),(),( QfUPfL
)(xfy
p ix1ix
im
iM )(xfy
im
iM
1q 2q ix1ix
PppfLA ),(
Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:
,...,, 321 LLLA
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Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores.
Lema 1: ),(),( pfUpfL
Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si QP ),(),( QfLPfL ),(),( PfUQfU
)(xfy
p ix1ix
im
iM
)(xfy
1q 2q
im
iM
p
)(xfy
im
iM
1q 2qp
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ixix1ix
1L
2L
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Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: ),(),( QfUPfL
)(xfy
im
iM
1q 2q
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ix
PppfLA ),(
Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:
,...,, 321 LLLA
PppfUB ),(
,...,, 321 UUUB
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Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores.
Lema 1: ),(),( pfUpfL
Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si QP ),(),( QfLPfL ),(),( PfUQfU
)(xfy
p ix1ix
im
iM
)(xfy
1q 2q
im
iM
p
)(xfy
im
iM
1q 2qp
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ixix1ix
1U
2U
1L
2L
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Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: ),(),( QfUPfL
)(xfy
im
iM
1q 2q
)(xfy
p ix1ix
im
iM
ix1ix
PppfLA ),(
Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:
,...,, 321 LLLA
PppfUB ),(
,...,, 321 UUUB
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PppfLSupA ),(sup
PppfUInfB ),(inf Integral Superior de f en [a,b]
Integral Inferior de f en [a,b])( fI ba
)( fS ba
)( abm )( abM )( fI ba )( fS b
a
Si: =)( fI ba )( fS b
a
Entonces: El área de la región a(R)= =)( fI b
a )( fS ba
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Definición:
Sea f:[a,b]→R ACOTADA, diremos que f es INTEGRABLE sobre [a,b] si y sólo si
)()( fSfI ba
ba
En este caso se denota:
b
a
ba
ba dxxffSfI )()()(
Se dice que este NUMERO es la INTEGRAL DEFINIDA de f sobre [a,b] según Riemann.
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Si la función f esta ACOTADA y DEFINIDA sobre [a,b], → f es
INTEGRABLE sobre ese intervalo si y sólo y si P de [a,b] tal que:
b
adxxf )(
Teorema: Condición Necesaria y Suficiente para
la existencia de:
),(),( pfLpfU
0
Si f :[a,b]→ R es continua, entonces f es INTEGRABLE sobre [a,b]
b
adxxf )( Teorema: Condición Suficiente para la existencia de:
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Propiedades Básicas de la Integral Definida
)( abccdxb
a
Si y f es integrable en [a,b] entonces f es integrable en [a,c] y en [c,b] y],[ bac
b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
Si f es integrable en [a,b] y c es una constante, entonces cf es integrable en [a,b] y
b
a
b
adxxfcdxxcf )()(
Si f y g son integrables en [a,b] entonces f+g es integrable en [a,b] y
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Si f y g son integrables en [a,b] y para todo , entonces)()( xgxf
b
a
b
adxxgdxxf )()(
Si f es integrable en [a,b], entonces | f | es integrable en [a,b] y
],[ bax
b
a
b
adxxfdxxf )()(
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Si es CONTINUA en [a,b]
Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral
)(xf
))(()( abcfdxxfb
a
c
b
adxxf
abcfba )(
)(1
)(),(
(Para funciones continuas)
donde: f(c)= Valor Medio de f(x) en (a,b).
)(xfy
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MKm en [a,b]
Como f (x) es CONTINUA es INTEGRABLE (propiedad)
b
adxxf )(
Como (b-a) > 0
Por el segundo teorema de Weiestrass:Si f (x) es una función CONTINUA en un intervalo [a,b] →alcanza en dicho intervalo un Máximo (M) y un mínimo (m) absolutos.
b
adxxf
abK )(
)(
1
Kcfbac )(),(
Demostración
Mdxxfab
mb
a
)(
)(
1
b
adxxf
abcf )(
)(
1)(
Si:
→ Por el Teorema del Valor Intermedio.
Interpretación geométrica:
)()()( xfabdxxfb
a
a(R) Area
)(xfy
)( abm )( abM
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Función Integral
)(xfy
b
adxxfA )(
x
adxxfx )(],[: baF
a
adxxfaF 0)()(
x
adxxfxF )()(
Propiedades:
b
adxxfbF )()(
Función Integral
x
adxxfxF )()( 1
)(1
b
adxxfA
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Si continua en [a,b],
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
)(xf
)()(':],[ 000 xfxFbax
La función integral es DERIVABLE.x
adxxfxF )()(
)(xfy
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Demostración:
0
0 )()(
xx
xFxF
x
x
x
a
x
a
x
x
x
a
x
affffff
0
0
0
0
)1(
Reemplazando en (1)
00
0 0
)()()(
xx
dxxf
xx
xFxFx
x
Por el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral:
)()()(
0
0 cfxx
xFxF
)(xfy
0
)(x
adxxf
0xx
x
adxxf )(
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)()()(
00 0
0 cfLimxx
xFxFLim
xxxx
)(xfy
)()(' 00 xfxF
)()()(
00 0
0 xfLimxx
xFxFLim
xxxx
La función F(x) es PRIMITIVA de f(x)
Si G(x) es otra primitiva de f(x) → F(x) = G(x) + c
En Particular:
F(a) = 0 = G(a)+c ; c = -G(a)
F(x) = G(x) – G(a)
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Sea f(x) CONTINUA en [a,b],
Regla de Barrow
b
aaGbGdxxf )()()(
G(x) una PRIMITIVA de f(x)
Demostración:
)()()( aGxGxF
)()()( aGbGdxxfb
a
)()( bFdxxfb
a
)()()( aGbGbF b
a
b
axGdxxf )( )(
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Problema de Cinemática
• Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle:
a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) La distancia recorrida durante ese tiempo.
v(t) = t2 - 2tModelo
Matemático
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a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.
= = = 0
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b) La distancia recorrida durante ese tiempo.
La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que si y la velocidad es
negativa si .2 t 0 0)( tv
3 t 2
Podemos asegurar que la distancia recorrida es de 8/3 metros.
Distancia recorrida= = 8/3
=
= =
La distancia recorrida es:
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Bibliografía:
•RABUFFETTI, H. – Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 1) – 10º Edición – Editorial “El Ateneo” – Buenos Aires – Argentina – 1987.
•STEWART, J. – Cálculo – Trascendentes Tempranas – 4º Edición – Editorial “Thomson” – Mexico – 2002.
•PURCELL, E., VARBERG, D. – Cálculo con Geometría Analítica – 6º Edición – Editorial “Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.” – Mexico – 1992.
•VERA DE PAYER, E. y Otros – Matemática I para Ciencias Naturales – 3º Edición – Editorial “Universitas” – Córdoba – Argentina – 2005.
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Teorema del Valor Intermedio
Sea f(x) continua en [a,b] con Si K es un número estrictamente comprendido entre f(a) y f(b)
)()( bfaf
f(a) < K < f(b) c Kcfba )();(
)(xfy
)(af
)(bf
)(cf
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Teorema de Weierstrass (2do Teorema)
Si f(x) es una función CONTINUA en [a,b]
alcanza en dicho intervalo su valor MÁXIMO (M) MÍNIMO (m) absolutos
)(xfy )( 1xf
)( 2xf
x1 x2