Georg Cantor

Matemático Alemán creador de

la teoría de conjuntos

John Venn

Matemático y filósofo británico

creador de los diagramas de Venn

August De Morgan

Matemático ingles creador de leyes

que llevan su nombre dentro del álgebra de la lógica

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. Para que una colección de objetos se considere como un conjunto no debe haber ambigüedad ni subjetividad.

CONJUNTOS NO SON CONJUNTOS

La colección de pizarrones azules

El grupo de los mejores maestros de computación

El grupo de alemanes entre 20 y 30 años

El grupo de alumnas más guapas de la Facultad de Ciencias de la Computación

Los conjuntos se indican por medio de letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas, números o combinación de ambos, estos elementos se colocan entre llaves { }, además el orden no es importante.

B = {n, r, i, m , d} Pertenencia: Se dice que un elemento x pertenece a un conjunto C si se verifica que el elemento se encuentra en el conjunto.

x C x C

Notación abstracta: A = {x | P(x) }

Se lee “A es el conjunto de las x, tal que cumple la condición P(x)”

Ejemplo

El conjunto B tiene como elementos a las letras de la palabra “mandarina”: › B={m, a, n, d, a, r, i, n, a} = {m, a, n, d, r, i}= {n, r, a, i, m,

d}

En un conjunto se pueden eliminar los elementos repetidos y el orden no es importante.

N={1,2,3,..} = Conjunto de los números naturales

Z+=Conjunto de los números enteros no negativos= {0,1,2,3,…}

Q= Conjunto de los números racionales = { | a,b Z; b ≠0}

b

a

Si todos los elementos de A también son elementos de B, se dice que A es subconjunto de B o que A está contenido en B, y se denota como:

A B

Igualdad de conjuntos: Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir:

A B B A

A= {x|x Z; 10≤ x ≤ 100}

B={2,3,5,11,12,15,21,30,45,82}

C={12,15,45}

• C B A B

• C A A C

• B A B C

1) Todo conjunto A es un subconjunto de si mismo A A

2) El conjunto vacio () es subconjunto de todos los

conjuntos y en particular de él mismo: A U

3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto

universo (U): A U U U U

Si A es un conjunto entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A y se indica como P(A).

Eje

mp

lo

Sea el conjunto A= {a,b,c}

entonces el conjunto potencia de A es:

P(A) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

El número de subconjuntos del conjunto A está dado por:

|P(A)|=2n donde n es el número de elementos del conjunto A

Son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos. Por lo general cada conjunto se representa por medio de un circulo, óvalo o rectángulo.

A C B

U

Algunas afirmaciones de este diagrama son: A U C U B U B C C B U C A C B A U B

Determine los elementos de:

› A, B, C, U

› ¿B A?, ¿B C?, ¿A C?, ¿A U?

› |A|, |B|, |C|, |U|

La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A y del conjunto B:

AB = {x | x A ó x B}

A

U

La unión cumple las siguientes leyes

A B

A B

Ley conmutativa AB = BA Ley de

idempotencia AA = A Unión con el

universo AU = U

Sean los conjuntos:

A = {1,2,3,6,7,8}

B= {x | x N ; x ≤ 12; x es par}

N es el conjunto de los números naturales

N = {1,2,3,4,5,…}

Entonces

A B = {1,2,3,4,6,7,8,10,12}

A B

U

A=B

U

A=B

U

A U

La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B:

A B = {x | x A ; x B}

U

La intersección cumple lo siguiente: Si A y B son

disjuntos A B =

Si A = B A B = A A = A

Intersección con el universo A U = A

A = Intersección con el vacío

Sean los conjuntos:

A = {1,2,3,6,7,8}

B= {x | x Z+ ; x ≤ 12; x es par}

Z + es el conjunto de los números enteros positivos

Z + = {0,1,2,3,4,5,…}

Entonces

A B = {2,6,8}

A B

U U

A=B

U

A U

A A = A A B =

A U = A

Dados tres conjuntos cualquiera A,B y C, se puede ver que se cumple la siguiente ley distributiva en la que intervienen la unión y la intersección de conjuntos: A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

B C

A

A

C B

El complemento de un conjunto A, que se denota como A’, es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen al conjunto A:

A’ = {x | x U; x A}

A’ A

U

Propiedades del complemento

a) ( A’ )’ = A

b) A A’= U

c) A A’ =

d) U’ =

e) ’ = U

Sean los conjuntos

U = {x | x Z}

A= {1,3,5,8}

A’= {x | x Z ; x {1,3,5,8}}

= {x | x Z ; x ≠1; x ≠3; x ≠ 5; x ≠ 8}

1) La negación de la intersección de dos o más conjuntos es equivalente a la unión de los conjuntos negados separadamente.

(A B)’= (A’ B’)

2) La negación de la unión de dos o más conjuntos es igual a la intersección de los conjuntos negados por separado.

(A B)’= (A’ B’)

Sean los conjuntos:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,3,6,7,9,10}

B = {1,2,3,7,9,10}

Por una parte tenemos Y por otra parte tenemos

A B = {1,2,3,6,7,9,10}

(A B)’ = {4,5,8}

A’ = {2,4,5,8}

B’ = {4,5,6,8}

A’ B’ = {4,5,8}

1 3

7 9

10

2 6

4

5 8

U A B

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B: A - B = {x | x A y x B} ={x|x A} {x| x B} =A B’

A - B

A B

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A= {1,2,3,4,7,9,10}

B= {3,4,5,6,7,8}

A - B= {1,2,9,10}

B - A= {5,6,8}

Determine:

› A, B, C, U

› A B, A C, B C’, (A B’) C , (B C)’C

Determina el conjunto que representa la parte sombreada

La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en AB pero que no están en AB:

A B = {x | (x A y x B) o (x B y x A)}= (A B) – (A B)

Ejemplo: Sean los conjuntos:

A= {1,2,3,4,7,9,10}

B= {3,4,5,6,7,8}

A - B= {1,2,9,10}

B - A= {5,6,8}

AB = {1,2,5,6,8,9,10}

A B

Sean los conjuntos: U={x | x Z}

A={1,2,5,7,10,12}

B = {x | x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}

C={3,5,9,10,12,13,14}

D={2,4,8,10,11}

Aplicando las definiciones correspondientes obtener:

a) (A B)’

b) (C D’) B’

c) C’ – (D A)

d) [(A B’) – C] D’

Para cada inciso obtenga el diagrama de Venn

U={x | x Z}

A={1,2,5,7,10,12}

B = {x | x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13}

C={3,5,9,10,12,13,14}

D={2,4,8,10,11}

U

(A B)’= {x | x Z; x {5,7} }

› A B= {5,7}

(C D’) B’

› D’={x | x Z; x {2,4,8,10,11}}

› C D’ = {x | x Z; x {2,4,8,11}}

› B’= {x | x Z; x {5,7,11,13}}

› (C D’) B’ = {2,4,5,7,8,13}

› A B = (A - B) (B - A)= (A B) – (A B)

U={x | x Z}

A={1,2,5,7,10,12}

B = {x | x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13}

C={3,5,9,10,12,13,14}

D={2,4,8,10,11}

C’ – (D A)

› C’ = {x | x Z; x {3,5,9,10,12,13,14}}

› D A = {1,4,5,7,8,11,12}

› C’ – (D A) = {x | x Z; x {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14}}

U={x | x Z}

A={1,2,5,7,10,12}

B = {x | x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13}

C={3,5,9,10,12,13,14}

D={2,4,8,10,11}

[(A B’) – C] D’

› A B’ = {x | x Z; x {11,13} }

› (A B’) – C = {x | x Z; x {3,5,9,10,11,12,13,14}

› [(A B’) – C] D’={2,3,4,5,8,9,12,13,14}

› B’= {x | x Z; x {5,7,11,13}}

› D’={x | x Z; x {2,4,8,10,11}}

U={x | x Z}

A={1,2,5,7,10,12}

B = {x | x Z ; 3 < x < 15 ; x es primo}={5,7,11,13}

C={3,5,9,10,12,13,14}

D={2,4,8,10,11}

Construye el diagrama de Venn que cumple con las siguientes condiciones :

› C (A – B)

› (A B) (F – E)

› D (E – F)

› G (E F)

› A B ≠

› E F ≠

› (E F) U

Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los que aparecen en el diagrama de Venn:

› ¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?

› ¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?

› ¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?

› ¿A cuántos le gustaban las tres cosas?

› ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

1. Doble negación a) (A’)’ = A

2. Ley conmutativa a) A B = B A b) A B = B A

3. Ley asociativa a) A (B C) = (A B) C b) A (B C) = (A B) C

4. Ley distributiva a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C)

5. Ley de idempotencia

a) A A = A b) A A = A c) U U = U d) U U = U e) = f) =

6. Ley de Morgan a) (A B)’ = A’ B’

b) (A B)’ = A’ B’

7. Equivalencia a) A (A’ B) = A B

8. Ley inversa a) A A’ = b) A A’ = U

9. Propiedades del complemento

a) U’ = b) ’ = U

10. Ley de identidad a) A = A b) A U = A

11. Ley aniquilación a) A U = U b) A =

12. Ley absorción a) A (A B) = A (A B) = A

Demostrar que :

› [A-(AB)][B-(AB)] (AB)=A B

[A-(AB)][B-(AB)] (AB)=

([A (AB)’ ] (AB)) [B-(AB)]= (def. diferencia, conmutativa y asociativa)

([A (AB)][(AB)’ (AB)]) [B-(AB)]= (distributiva)

([A (AB)][U]) [B-(AB)]= (ley inversa)

([A (AB)])[B-(AB)]= (identidad)

(A)[B-(AB)]= (absorción)

(A)[B (AB) ‘ ]= (def. diferencia)

(A)[B (A ‘ B ‘ )] = (De Morgan)

(A)[(B A ‘ ) (B B ‘)] = (distributiva)

(A)[(B A ‘ ) ()] = (ley inversa)

(A)[(B A ‘ )] = (identidad)

(AB) (A A’ )] = (distributiva)

(AB) (U)] = (ley inversa)

(AB) (identidad)

Usando las leyes de los conjuntos, demostrar que:

(A’ B’ C) (A’ B C) (A B’ C) (A B C) (A B C’) = C (A B)

[(A’ C) (B’ B)] [(A C) (B’ B)] (A B C’)= C (A B)

Ley distributiva

[(A’ C) ( U )] [(A C) (U)] (A B C’)= C (A B) Ley

inversa

(A’ C) (A C) (A B C’)= C (A B) Ley identidad

(C ( A’ A)) (A B C’) = C (A B) Ley distributiva

(C ( U )) (A B C’) = C (A B) Ley inversa

C (A B C’) = C (A B) Ley identidad

(C A) (C B) (C C’) = C (A B) Ley distributiva

(C A) (C B) U = C (A B) Ley inversa

(C A) (C B) = C (A B) Ley identidad

C (A B) = C (A B) Ley distributiva

Ejercicio 1 : Demuestra las igualdades

› (A-B)-C= A-(B C)

Ejercicio 2: Simplifica la expresión

› [((A B)C )‘ B’ ]’

Ejercicio 3: Demuestra que › (A’ B) (A B C)’ (C (B’ A )) = U

Demuestre la igualdad › (((A’ B)’ (C A)’)’ (B’ C)’ )’ = (A B’) (B’ C’)

Sean A y B dos conjuntos finitos, entonces:

|A B| = |A| + |B| - |A B|

A B

A B

De 34 programas revisados en programación I, 23 marcaron error en la compilación, 12 tuvieron fallas en lógica y 5 en lógica y compilación. ¿Cuántos programas tuvieron al menos un tipo de error?

Así:

› |A B| = |A| + |B| - |A B|= 23 +12 -5 =30

¿Cuántos no tuvieron error?

U

7 18 5

4

34

A B

En el caso de tres conjuntos finitos A, B, y C, la expresión es:

|A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + |A B C|

Para cuatro conjuntos es:

|A B C D| = |A| + |B| + |C| +|D|- |A B| - |A C| - |A D| - |B C| - |B D| - |C D| + |A B C| + |A B D| + |A C D|+ |B C D|- |A B C D|

El número de elementos que se suman o restan esta dado por (2n -1), n es el número de conjuntos.

Además, usamos el principio de inclusión exclusión que establece que se deben sumar las áreas que involucran un número impar de conjuntos y se restan las que relacionan un número par.

En la biblioteca existen 103 libros de ciencias de la computación que tratan de los siguientes temas:

› Compiladores

› Estructuras de datos

› Redes

Del total, 50 libros tienen información sobre compiladores, 54 sobre estructuras de datos, 51 sobre redes, 30 sobre compiladores y estructuras de datos, 32 sobre compiladores y redes, 35 sobre estructuras de datos y redes, 19 sobre los tres temas. › ¿Cuántos libros contienen material exactamente sobre uno de los tres temas?

› ¿Cuántos no tienen material de redes?

› ¿Cuántos no tienen material sobre ninguno de los temas?

› ¿Cuántos libros contienen material de compiladores y redes pero no de estructuras de datos?

El número de libros que contiene material exclusivo de uno de los temas es 7 + 8 +3 =18

Los libros que no tienen material de redes son: 26 + 7 +11+8=25

Los libros que no tienen material de

ninguno de los tres temas son 26.

Los libros que tienen información de

redes y compiladores pero no de

estructuras de datos son 13.

Una relación es un conjunto y en bases de datos es posible realizar operaciones entre relaciones, igual que en conjuntos, lo que da origen al algebra relacional.

Lenguajes de programación: es un conjunto de conjuntos. Esta formado por un alfabeto, que es un conjunto de símbolos y se pueden formar palabras.

La representación gráfica de un conjunto es un grafo y estos se pueden usar para modelar redes.

Investigar la teoría relacionada con el FCA y su relación con la teoría de conjuntos.

› Análisis de conceptos formales (Formal concept analysis)

› Buscar en libros o artículos (bibliografía)

› Colocar ejemplos simples y su representación como matriz y gráfica.

Fecha de entrega: 30 septiembre 2014

c- compuesto

s- cuadrado

e- par

o- impar

p - primo