análisis de superficies cuádricas en un edificio

Universidad Politécnica Salesiana. Coronel, Pánchez, Tenezaca, Ortega. Trabajo Integrador C Vectorial

1

Resumen—Este documento presenta el desarrollo y el uso

de conocimientos adquiridos dentro de la materia de cálculo

vectorial para el análisis de estructuras regulares e irregulares,

de manera que podamos obtener de ellos las ecuaciones que

las generan y datos como su centro de masa, momentos de

inercia, volumen, etc.

Índice de Términos—Superficies cuadráticas, centro de

masa, momento de inercia.

I. INTRODUCCIÓN

En el transcurso de una carrera de ingeniería y/o

en el área de trabajo encontraremos superficies o

volúmenes de las cuales es necesario saber ciertos

valores, es fácil determinar las ecuaciones mediante

el uso de ecuaciones cuadráticas, para obtener

masas, áreas y volúmenes de un objeto irregular

podemos utilizar las integrales lo cual nos da el

valor con mucha exactitud de lo que necesitamos

saber cómo podremos ver a continuación en la

realización de este trabajo.

II. PROCEDIMIENTO

A. Selección de una obra arquitectónica para

realizar su estudio y construcción

Se seleccionó una edificación, la “Torre Shukov,

siendo esta la primera realización de un

hiperboloide en el año de 1896 por el ingeniero ruso

Vladimir Shukov. Esta torre fue un depósito de agua

que sirvió como modelo a otras 30 estructuras

similares construidas en toda Rusia y a miles,

posteriormente, en el resto del mundo” (No se ha

encontrado mucha información acerca de esta

torre). [1]

B. Tabulación de mediciones del sólido

1) La medición de este solido se ha realizado en

una de sus imágenes. Se utilizó el software

“Autocad” (Fig. 1) para la medición de las

dimensiones:

Fig. 1: Medicion de las dimenciones en AutoCad

Coronel Roberto, Pánchez Andrés, Tenezaca Freddy y Ortega Edison

{rcoronelb, ftenezacaq0, apanchez, eortega}@est.ups.edu.ec

Universidad Politécnica Salesiana

IDENTIFICACIÓN, CLASIFICACIÓN Y

ANÁLISIS DE SUPERFICIES CUÁDRICAS Y DE

REVOLUCIÓN EN DIFERENTES EDIFICIOS Y ELEMENTOS CONSTRUCTIVOS


2

2) Tabulación de las medidas. Dimensiones de

cada figura comenzando desde arriba. (Tabla 1)

Figura 1 -- Cilindro (r=1.5)

Radio: 1.5m

Altura: 4m

Centro de tapa (inf): C(0,0,49)

Centro de tapa (sup): C(0,0,53)

Figura 2 -- Cono

Radio (mayor): 2.25m

Radio (menor): 1.5m

Altura: 3m

Centro radio (mayor): C(0,0,46)

Centro radio (menor): C(0,0,49)


Radio: 2.25m

Altura: 3m



Figura 4 -- Cilindro (r=5)

Radio: 5m

Altura: 3m



Figura 5 -- Hiperboloide

Radio (inf): 10m

Radio Central Hip: 2.5m

Radio (sup): 2.7m

Centro radio (inf): C(0,0,0)

Centro radio central H: C(0,0,34)

Centro radio (sup): C(0,0,40)

Tabla 1: Tabulación de las medidas

C. Ecuaciones cartesianas de las superficies que

conforman el sólido

1) Figura 1 – Cilindro circular(r=1,5):

2) Figura 2 – Cono circular:

3) Figura 3 – Cilindro circular (r=2.25):

4) Figura 4 – Cilindro circular (r=5):

5) Figura 5 – Hiperboloide circular 1h:

D. Ecuaciones Paramétricas:


C:


C:


C:


3


C:


C:

E. Gráfica de las superficies parametrizadas en

el Winplot. (Fig. 2)







4

Fig. 2: Grafica de la estructura en Winplot.

F. Centro de Masa y Momentos de Inercia

A continuación se presenta cada una los valores de

cada elemento que conforma el sólido (Tabla 2).

Los respectivos cálculos se anexaran al final con

formato “Derive”.


Masa (= Volúmen) 28,274

Momento YZ: 0,000

Momento XZ: 0,000

Momento XY: 1441,991

Centro de masa: (0,0,51)

Momento de inercia X: 73595,146

Momento de inercia Y: 73595,146

Momento de inercia Z: 31,809

Figura 2 -- Cono


Momento YZ: 0,000

Momento XZ: 0,000


Centro de masa: (0,0,47.3)






Momento YZ: 0,000

Momento XZ: 0,000






Figura 4 -- Cilindro (r=5)


Momento YZ: 0,000

Momento XZ: 0,000






Figura 5 -- Hiperboloide


Momento YZ: 0,000

Momento XZ: 0,000






Figura Total


Momento YZ: 0,000

Momento XZ: 0,000






Tabla 2: Centros de Masa y Momentos de Inercia


5

III. ANÁLISIS DE RESULTADOS

Para poder hacer una comparación y sacar los

errores, diseñamos la figura el AutoCad 3D (Fig. 3),

donde una opción nos permite visualizar las

propiedades de la figura. (Fig. 4).

Fig. 3: Diseño de la figura en 3D.

Fig 4: Propiedades del solido.

IV. CUADRO DE ERRORES

Valores AutoCad Calculados % Error

Volúmen: 3615,563 3615,563 0,00000

Momento YZ: 0,000 0,000 0,00000

Momento XZ: 0,000 0,000 0,00000


Centro masa(z): (0,0,13.3999) (0,0,13.3998) 7.46E-4

MI X: 1332906,890 1332896,966 0.003

MI Y: 1332906,890 1332896,966 0.003

MI Z: 85015,730 85015,731 -1.17E-6

V. OBSERVACIONES

Al ver la tabla de errores entre los datos obtenidos

en Autocad con los datos calculados, podemos

darnos cuenta que el porcentaje de error es mínimo.

VI. CONCLUSIONES

El uso de integrales en figuras irregulares para

obtener valores de área, volúmen, centro de masa,

etc., no permite obtener una respuesta igual a la real

a diferencia de la sumatoria de Rieman (cuando i,

m, n no tienden al infinito) que solo nos da un valor

aproximado del que esperamos.

Los conocimientos adquiridos en la materia de

cálculo vectorial son adecuados para conseguir lo

desarrollado en este documento.

Las ecuaciones paramétricas a diferencia de las

ecuaciones rectangulares, nos permiten generar la

figura deseada con los límites que son requeridos.

REFERENCIAS

[1] http://blog.ql-ingenieria.es/2012/vladimir-shukov/.

VII. ANEXOS:

Archivo con el desarrollo de las ecuaciones realizado en

Derive. Formato Derive.

análisis de superficies cuádricas en un edificio

Education