vectores en una y dos dimensiones nivel oa [modo de compatibilidad]

VECTORES

Por: Marcos Guerrero.

1Ing. Marcos Guerrero

CANTIDADES FÍSICAS.

Es aquella que está definida por un número que la mide y una unidad de medición.

¿Qué es una cantidad Física?

Cantidades vectoriales ( o vectores)

Existen dos tipos de cantidades físicas

Cantidad escalares (o escalares)

2Ing. Marcos Guerrero

¿Cuántos tipos de cantidades Físicas existen?

CANTIDADES ESCALARES.

Es una cantidad física que posee un número que las mide y una unidad de medición.

número + unidad

mide mediciónEjemplos:

La masa 20 kgLa distancia 45 mEl volumen 15 m3

El tiempo 2 sLa rapidez 30 m.s-1

¿Qué es una cantidad escalar?:

3Ing. Marcos Guerrero

CANTIDADES VECTORIALES.

número + unidad + dirección

magnitud o módulo o norma

Es una cantidad física que a más de tener un número que las mide y una unidad de medición, posee dirección.

El desplazamiento 6m, en el eje x (+)La velocidad 25m.s-1, SurLa aceleración 5m.s-2, 180°Fuerza 6,0N, NoresteCampo eléctrico 200 N.C-1, 45.0° SE

¿Qué es una cantidad vectorial?:

Ejemplos:

4Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 5

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

¿Cuál es la diferencia entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial?:

Ing. Marcos Guerrero 6

Indique, ¿cuál de las siguientes alternativas no es unacantidad vectorial?

A. VelocidadB. DesplazamientoC. PosiciónD. RapidezE. Pienso que existen más de uno que no son cantidades

vectoriales.

Ing. Marcos Guerrero 7

Indique, ¿cuál de las siguientes alternatrivas es una cantidadvectorial?

A. MasaB. TemperaturaC. AceleraciónD. TiempoE. Pienso que mas de uno es una cantidad vectorial

Ing. Marcos Guerrero 8

¿Cuáles de los siguientes alternativas tiene solo cantidadesvectoriales?A. Fuerza, volumen, altura, velocidad, edad.B. Densidad, aceleración, crecimiento de una persona.C. Temperatura, luz, campo eléctrico, sonido.D. Las manecillas del reloj, área, distancia recorrida.E. Al menos una de las alternativas anteriores contiene por lo

menos una cantidad vectorial.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR

Dirección • Flecha

• Ángulo

Punto de aplicación (donde nace el vector)

Magnitud o módulo o norma (tamaño del vector según la cantidad física)

Línea de referencia( se la utiliza para medir un ángulo)

9Ing. Marcos Guerrero

Adicionalmente, todo vector posee una línea imaginaria llamada línea de acción.

¿Qué está permitido hacer con el vector con respecto a la línea de acción?

10Ing. Marcos Guerrero

Todo vector se lo puede mover sobre la línea de acción o paralela a la línea de acción y no se altera su magnitud y dirección

11Ing. Marcos Guerrero

RESPUESTA:

SIMBOLOGÍA.Vector.

Magnitud, módulo o norma.

a A

a Aa A

Otra nomenclatura de vector

A

B

AB

La magnitud de un vector esSIEMPRE MAYOR O IGUAL ACERO NUNCA NEGATIVA.

12Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 13

Existen 3 maneras de representar un vector:

ONF 305

o omb 6020

Representación de un vector en coordenadas rectangulares (también llamado coordenadas cartesianas)

)5,3( mm

Representación de un vector en coordenadas cardinales

NEm o405

Representación de un vector en coordenadas polares

Explique ¿cómo se determina por lo general la dirección de un vector cuando se trabaja en coordenadas polares?

14Ing. Marcos Guerrero

El eje x(+) es la línea de referencia.El ángulo se lo puede leer a favor delmovimiento de las manecillas delreloj (ángulo negativo) y en contradel movimiento de las manecillas delreloj (ángulo positivo).

Ing. Marcos Guerrero 15

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

ORIENTACIÓN VECTORIAL EN 2 DIMENSIONES.

16Ing. Marcos Guerrero

Plano de orientación vectorial.

N

S

EO

NE=E del N

SE=E del S

NO=O del N

SO=O del S

N del E

S del E

N del O

S del O

17Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 18

Explique ¿cómo se determina la dirección de un vector cuando se trabaja con coordenadas cardinales?

La línea de referencia se la puedetomar ya sea con respecto al ejevertical o con respecto al ejehorizontal

USANDO ESCALAS PARA DIBUJAR UN VECTOR.

Para dibujar un vector necesita una regla y un graduador.

19Ing. Marcos Guerrero

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.

Vector = escalar x vector

akb

Primero suponemos que k es un número sin unidades para poder comparar los vectores y . ab

Con respecto a k puede haber 7 casos:

0-1 1k

1k1k

01 k0k 1k

10 k 1k

a

20Ing. Marcos Guerrero

CASO 1: 1kSi tomamos k=-2, entonces . ab

2

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen direcciones opuestas (contrarias).a b

21Ing. Marcos Guerrero

ab

CASO 2: 1kSi tomamos k=-1, entonces . ab

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen direcciones opuestas.a b

Vector negativo.

Un vector es negativo si tiene la misma magnitud y dirección a opuesta a otro vector.

22Ing. Marcos Guerrero

a b

CASO 3: 01 k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen direcciones opuestas.a b

Si tomamos ; entonces . ab

21

21

k

23Ing. Marcos Guerrero

ab

CASO 4: 0k

Si tomamos k=0, entonces . 0

b

Conclusión:

ab

Vector cero o vector nulo.

Un vector que tiene una magnitud de cero e infinita direcciones.

Se lo representa con un punto, en donde se encuentra su punto de aplicación y la flecha.

24Ing. Marcos Guerrero

ab

CASO 5: 10 k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen la misma dirección.a b

Si tomamos ; entonces . ab

21

21

k

25Ing. Marcos Guerrero

ab

CASO 6: 1k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen la misma dirección.a b

Si tomamos ; entonces . ab 1k

Vectores iguales.

Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección.

26Ing. Marcos Guerrero

a b

CASO 7: 1k

Conclusión:

ab

Los vectores y tienen la misma dirección.a b

Si tomamos ; entonces . ab 22k

27Ing. Marcos Guerrero

ab

Animación

CONCLUSIÓN.

¿Qué ocurre si el escalar k tiene unidades, se podrá comparar las magnitudes de los vectores y ?a b

Cuando el escalar es negativo los vectores y tienen direcciones opuestas. En cambio, cuando el escalar es positivo los vectores y tienen la misma dirección

a b

a b

No se pueden comparar porque ambos vectores son diferentes cantidades físicas.

Ejemplo: gmW

Peso (N) Masa (kg) Aceleración de la gravedad (m/s2)

Ambos vectores tienen la misma dirección pero representan cantidades físicas diferentes.

28Ing. Marcos Guerrero

OPERACIONES ENTRE VECTORES.

Suma y resta entre vectores: los vectores deben ser de la misma cantidad física.

Multiplicación: los vectores pueden ser de igual o de diferentes cantidades físicas. vectorvectorvector

Producto cruz o producto vectorial:

Producto punto o producto escalar:vectorvectorescalar

29Ing. Marcos Guerrero

SUMA Y RESTA ENTRE VECTORES

30Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS QUE SE INVOLUCRA LA SUMA Y RESTA ENTRE VECTORES.

31Ing. Marcos Guerrero

Métodos gráficos

Método del paralelogramo.

Método del triángulo.

Método del polígono cerrado.

Métodos analíticos

Método del paralelogramo.

Pitágoras y funciones trigonométricas básicas.

Ley seno y ley del coseno.

Método de las componentes. 32Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS GRÁFICOS.

33Ing. Marcos Guerrero

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.

Se lo utiliza cuando se tiene suma o resta entre 2 vectores.

El método para suma de 2 vectores consiste en:

•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.

•Trazar paralelas a los 2 vectores formando un paralelogramo.

•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la unión de los 2 vectores y termina en la intersección de las 2 paralelas .

34Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 1:

Solución:

Cuando se pide la resultante de 2 o más vectores, se asume que es la suma de todos los vectores que están en el gráfico.

Sean los vectores y que se muestran a continuación en la siguiente gráfica. Dibujar el vector resultante.

A

B

A

B

35Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 2:

A

B

BAR

Primero disfrazamos la resta de suma, es decir .)( BAR

Segundo graficamos el vector .B

B

Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el vector .

A

B

BAR

Solución:

36Ing. Marcos Guerrero

B

Ejercicio 3:

)( BAR

B

Segundo graficamos el vector .A

A

Sean los vectores y del ejercicio 1. Dibujar el vector .

A

B

ABR

Primero disfrazamos la resta de suma, es decir .)( ABR

A

Solución:

37Ing. Marcos Guerrero

A

Comparando los gráficos de los ejercicios 2 y 3 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.

A

B

ABR

A

B

ABR

)( BAR

B

A

Propiedad anticonmutativa de la resta: .ABBA

Conclusión:

ABBA

ABBA

38Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 39

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

¿Se podría utilizar el método del paralelogramo cuando se tiene 3 o más vectores?

Ing. Marcos Guerrero 40

MÉTODO DEL TRIÁNGULO.

Se lo utiliza cuando se tiene resta entre 2 vectores.

El método consiste en:

•Unir los 2 vectores en un mismo punto de aplicación.

•Graficar la resultante de los 2 vectores que se inicia en la flecha del segundo vector de la operación y termina en la flecha del primer vector de la operación.

41Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 1: Sean los vectores y que se muestran a continuación. Dibujar el vector .

A

B

BAR

A

B

Solución:

A

B

BAR

Primer vector de la operación

Segundo vector de la operación

BAR

42Ing. Marcos Guerrero

Ejercicio 2: Sean los vectores y que se muestran a continuación. Dibujar el vector .

A

B

ABR

A

B

Solución:

A

B

ABR

Primer vector de la operación

Segundo vector de la operación

ABR

43Ing. Marcos Guerrero

Comparando los gráficos de los ejercicios 1 y 2 podemos decir que la resta de vectores no es conmutativa.

A

B

BAR

A

B

ABR

Comparando con el método del paralelogramo.

A

B

ABR

)( BAR

B

A

44Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 45

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

Ing. Marcos Guerrero 46

MÉTODO DEL POLÍGONO CERRADO.

Se lo utiliza cuando se tiene 2 o más vectores.

El método consiste en:

•Colocar el primero vector de la operación.

•Colocar el segundo vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del primer vector de la operación.

•Colocar el tercer vector de la operación de tal manera que su punto de aplicación coincida con la flecha del segundo vector de la operación y así sucesivamente………..•El vector resultante se inicia en el punto de aplicación del primer vector y termina en la flecha del último vector de la operación.

Animación.

Se lo utiliza en las operaciones de suma y resta entre vectores.

47Ing. Marcos Guerrero

Animación.

Conclusión:

ABBA

Propiedad conmutativa de la suma de vectores:

48Ing. Marcos Guerrero

Animación.

Conclusión:

)()( CBACBA

Propiedad asociativa de la suma de vectores:

BmAmBAm

)(

Propiedad distributiva de la suma y resta de vectores:

49Ing. Marcos Guerrero

¿Pueden 2 vectores de diferente magnitud sumar cero?

A. Si. B. No.

¿Pueden 3 vectores de igual magnitud sumar cero?

A. Si.B. No.

PREGUNTAS CONCEPTUALES.

Ing. Marcos Guerrero 51

Ing. Marcos Guerrero 52

A B and C, ,

A C

Pink Blue Green Yellow

Purple: None of these!

B

Tres vectores son mostrados a continuación. S A B C

A) B) C) D)

E) Ninguna es correcta

¿Cuál alternativa representa mejor el vector

Ing. Marcos Guerrero 54

Para cada una de las siguientes afirmaciones indique V si es verdadero o F si es falso y justifique su respuesta en caso de ser falso.

1. La magnitud de un vector puede ser positiva, negativa o cero.

2. El mínimo número de vectores de igual magnitud para que su resultante sea cero es 3.

3. La magnitud de la suma de los 2 vectores es igual a la magnitud de la resta de los 2 vectores siempre que los 2 vectores sean perpendiculares entre sí. .

55Ing. Marcos Guerrero

4. Las cantidades escalares pueden ser positivas, negativas o cero.

5. Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento y la velocidad.

6. Son ejemplos de cantidades escalares la temperatura y la presión.

7. Si la ecuación escalar de 2 vectores es C=A+B y su ecuación vectorial es ,entonces el ángulo entre los vectores y es 00.

CBA

A

B

56Ing. Marcos Guerrero

MÉTODOS ANALÍTICOS.

57Ing. Marcos Guerrero

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.

B

A

Sean los vectores y que se muestran a continuación, y θ el ángulo que forma el vector con una línea de referencia.

A

B

A

Se lo puede utilizar entre 2 vectores.

Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

58Ing. Marcos Guerrero

Primero grafiquemos el vector resultante.

B

A

BAR

Observemos que θ es el ángulo entre los vectores y , además Φ es el ángulo entre los vectores y .

A

B

B

R

Ing. Marcos Guerrero 59

Si suponemos que conocemos la magnitud de los vectores y , como también el ángulo entre ellos, entonces podemos determinar la magnitud del vector resultante y el ángulo entre los vectores y mediante las ecuaciones:

A

B

B R

R

ABCosBAR 2222

ACosBASenTan

60Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 61

EJERCICIO.

Ing. Marcos Guerrero 62

Ing. Marcos Guerrero 63

Las funciones trigonométricas básicas se las aplica en ángulos agudos que se encuentran en el interior de un triángulo rectángulo.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Y PITÁGORAS.

Las 3 más importantes son:

hipotenusaopuestoSen

hipotenusaadyacenteCos

adyacenteopuestoTan

64Ing. Marcos Guerrero

Sen ac

Cos bc

Tan ab

Sen bc

Cos ac

Tan ba

a

b

c

y son ángulos agudos

TEOREMA DE PITÁGORAS.

“La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de

los catetos”.

222 bac 65Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 66

¿Cómo utilizar las funciones trigonométricas básicas y el teorema de Pitágoras en vectores?

Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

A

B

BAR

A

B

C B

A BAR

0

CBAR67Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 68

EJERCICIO.

Ing. Marcos Guerrero 69

LEY DEL COSENO.

La ley deL Coseno permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero pararesolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado quequieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemasde triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de90°.

70Ing. Marcos Guerrero

AB

CSuponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado C con la ecuación:

ABCosBAC 2222 71Ing. Marcos Guerrero

La ley del Coseno dice así:

“En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo

que forman”

AB

C

Suponiendo que se conoce los lados B y C, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado A con la ecuación:

BCCosCBA 2222

72Ing. Marcos Guerrero

AB

C

Suponiendo que se conoce los lados A y C, así como también el ángulo , entonces para determinar el lado B con la ecuación:

ACCosCAB 2222

73Ing. Marcos Guerrero

¿Cómo utilizar la ley del coseno en vectores?

Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

A

B

BAR

A

B

C

0

CBAR

B

A BAR

74Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 75

EJERCICIO.

La ley del Seno es una relación de 3 igualdades que siempre se cumplenentre los lados y sus ángulos opuestos en un triángulo cualquiera, y que esútil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente lostriángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto ode 90°.

LEY DEL SENO.

76Ing. Marcos Guerrero

AB

C

SenC

SenB

SenA

77Ing. Marcos Guerrero

La ley de los Senos dice así:

“En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.

AB

C

Suponiendo que se conoce los lados A y B, así como también el ángulo , entonces para determinar el ángulo con la ecuación:

SenB

SenA

78Ing. Marcos Guerrero

¿Cómo utilizar la ley del seno en vectores?

Los vectores deben formar un triángulo y se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

A

B

BAR

A

B

C

0

CBAR

B

A BAR

79Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 80

EJERCICIO.

MÉTODO DE LAS COMPONENTES.

81Ing. Marcos Guerrero

DIBUJANDO LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante.a

X

Y

0

a

xa

yaDel gráfico podemos observar que:

yx aaa

y son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x e y respectivamente.

xa ya

aa

82Ing. Marcos GuerreroAnimación

Imaginemos que tenemos un vector en el segundo cuadrante.

a

X

Y

0

a

xa

ya

83Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante.a

X

Y

0

a

xa

ya

84Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante.a

X

Y

0

a

xa

ya

85Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el eje x(+).a

X

Y

0 xaa

Como el vector se encuentra en el eje x la componente del vector en el eje y es .

aa 0

ya

86Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el eje y(-).a

X

Y

0

yaa

Como el vector se encuentra en el eje y la componente del vector en el eje x es .

aa 0

xa

87Ing. Marcos Guerrero

MAGNITUDES DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.

Para determinar las magnitudes de las componentes de un vector a lo largo de los ejes x e y respectivamente, se necesita la magnitud del vector y el ángulo que forma el vector con el eje horizontal o vertical.

X

Y

0

a

xa

ya

Utilizando las funciones trigonométricas Coseno y Seno para el ángulo θ tenemos:

aSenaaa

Sen yy

aCosaaaCos x

x

Imaginemos que tenemos el ángulo θ y la magnitud del vector a

88Ing. Marcos Guerrero

X

Y

0

a

xa

ya

Ahora imaginemos que tenemos el ángulo y la magnitud del vector a

Utilizando las funciones trigonométricas Coseno y Seno para el ángulo tenemos:

aSenaaaSen x

x

aCosaaa

Cos yy

89Ing. Marcos Guerrero

SIGNO DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR.

X

Y

0

)(xa

)(yaCuadrante I

)(xa

)(yaCuadrante II

)(xa

)(yaCuadrante III

)(xa

)(yaCuadrante IV

90Ing. Marcos Guerrero

MAGNITUD DE UN VECTOR.

Y

X0

a

xa

ya

Imaginemos que conocemos las componentes y del vector .a yaxa

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar la magnitud del vector , entonces tenemos:

a

22yx aaa

91Ing. Marcos Guerrero

DIRECCIÓN DE UN VECTOR.Recordemos que la dirección de un vector se lo mide con respecto al eje x(+). Si la dirección se la mide a favor del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es negativo, pero si la dirección se la mide en contra del movimiento de las manecillas del reloj el ángulo es positivo.

92Ing. Marcos Guerrero

Para determinar la dirección de un vector, imaginemos que conocemos las componentes y del vector .ayaxa

Utilizando la siguiente función trigonométrica tenemos:

x

y

aa

Tan

Cada vez que se utilice esta ecuación debemos tener presente que el ángulo θes el que forma el vector con el eje horizontal.

93Ing. Marcos Guerrero

X0

a

xa

ya

θ

Y

Ing. Marcos Guerrero 94

Imaginemos que tenemos un vector en el primer cuadrante.a

X

Y

0

a

(+)(-)

95Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el segundo cuadrante.

a

X

Y

0

a(+)

(-)

96Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el tercer cuadrante.a

X

Y

0

a

(+)

(-)

97Ing. Marcos Guerrero

Imaginemos que tenemos un vector en el cuarto cuadrante.a

X

Y

0

a

(+)

(-)

98Ing. Marcos Guerrero

Se lo puede utilizar cuando se tiene 2 o más vectores.

Se lo puede utilizar en la operación de suma y resta entre vectores.

El método consiste en:

•Colocar los vectores de tal manera que sus puntos de aplicación coincidan con el origen de coordenadas.•Dibujar las componentes de cada vector, trazando paralelas a los ejes X y Y respectivamente

•Determinar las magnitudes de las componentes de cada vector utilizando las funciones trigonométricas básicas seno y coseno.

•Colocar el signo de las componentes de cada vector según el cuadrante respectivo en el que se encuentre el mismo.

MÉTODO DE LAS COMPONENTES.

99Ing. Marcos Guerrero

•Determinar las componentes del vector resultante.

•Dibujar el vector resultante en el cuadrante respectivo.

•Determinar la magnitud del vector resultante con ayuda del teorema de Pitágoras.

•Determinar la dirección del vector resultante, para esto se puede utilizar la función trigonométrica como herramienta adicional.

100Ing. Marcos Guerrero

Ing. Marcos Guerrero 101

Dos vectores A y B se muestran a continuación. Considere el vector C = A+B. ¿Cuál es la componente del vector C en y? (cada lado del cuadrado vale 1 u)

B

A

x

y A) 3B) 2C) -2D) -4E) Ninguno de ellos es la respuesta.