universidad complutense de madrid mÁster en ciencias actuariales y financieras microeconomía tema...

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS

Microeconomía

Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta

Prof. Juan Gabriel Rodríguez

Indice (1ª parte)

• Función de producción

• Eficiencia técnica

• Restricciones tecnológicas

• La relación marginal de sustitución técnica

• Rendimientos a escala

• El producto marginal

Cantidades

zi

Notación

•cantidad del input i

z = (z1, z2 , ..., zm ) •vector de inputs

•cantidad de outputY

Precios•precio del input i

w = (w1, w2 , ..., wm ) •vector de precios de Inputs

•precio del outputP

wi

La relación básica entre output e inputs:

Y F(z1, z2, ...., zm )

Esto puede expresarse más compactamente como:

Y F(z)

La producción factible

•Un único output, varios inputs

La función de producción

La función de producción

vector de inputsvector de inputs

F proporciona la máxima cantidad de output que puede producirse dada una cantidad de inputs

Distinguimos dos tipos de casos...

Distinguimos dos tipos de casos...

•La producción es ténicamente eficiente

•La producción es (técnicamente) ineficiente

Eficiencia técnica

Caso 1:

Y F(z)

Caso 2:

Y F(z)

z2

Y

z1

0

F

(z , z

) 1

2

outp

ut

input 2

input 1

Puntos no factibles

Y > F(z1,z2)

Puntos no factibles

Y > F(z1,z2)

Puntos tecnicam. eficientes

Y = F(z1,z2)

Puntos tecnicam. eficientes

Y = F(z1,z2)

Puntos factibles e ineficientesY < F(z1,z2)

Puntos factibles e ineficientesY < F(z1,z2)

La función de producción

Recuérdese que

Y F(z)

inputs necesarios

Se selecciona un nivel de producto Y

Se buscan todos los vectores factibles de inputs z … …el conjunto Z de cantidades necesarias de los inputs es:

Z(Y) := {z | Y F(z)}

La forma de Z depende de los supuestos sobre la tecnología...

Primero, veamos el caso “estandar”

Primero, veamos el caso “estandar”

no factiblesF(z1,z2) <Y

no factiblesF(z1,z2) <Y

z2

El conjunto de inputs necesarios Factibles, pero

ineficientesF(z1,z2) >Y

Factibles, pero ineficientes

F(z1,z2) >Y

técnicamente eficientes

F(z1,z2) =Y

técnicamente eficientes

F(z1,z2) =Y

_ Z(Y)

z1

z

Z(Y) es un conjunto cerrado, que contiene a su frontera

La frontera va a ser contínua

Además, se adoptan dos supuestos técnicos: si z=0, Y=0si Y>0, z>0

_ Z(Y)

Axioma 1: La tecnogía es contínua

z2

z1

z

Dado un z que pertenece a Z(Y)

y dado un zque no emplea menos cantidades que z

Entonces z pertenece también a Z(Y)

_ Z(Y)

Axioma 2: Z es monótono

z2

z1

• z

Significado: si aumentamos los inputs podemos producir al menos lo mismo

_ Z(Y) z

z

Axioma 3: Z es convexo

z2

z1

Se eligen dos puntos

Los puntos intermedios deben estar en Zsignificado: una combinación de técnicas factibles es factible

Se dibuja una linea recta entre ellos

z1

z2

_ Z(Y)

Esta región causa un problema

Caso 1: Z no es convexo

este punto no es factible

este punto no es factible

z1

z2

La pendiente no está definida en

este punto

_ Z(Y)

Caso 2: Z es convexo pero no suave

El único punto eficiente

F(z1,z2) =Y

El único punto eficiente

F(z1,z2) =Y

Isocuantas

Se selecciona un nivel de output Y

Se busca el conjunto necesario de factores Z(Y) La isocuanta es la frontera de Z(Y)

{ z : F(z) = Y }

F(z)Fi(z) = ——

zi .

Fj (z)——Fi (z)

Si la función F es diferenciable en z entonces la Relación Marginal de Sustitución Técnica es la pendiente en z:

Usamos subíndices para denotar derivadas parciales. Así

Nos dice la tasa de sustitución entre factores a lo largo de una isocuanta

{ z | F(z) = Y }{ z | F(z) = Y }

A

z1

inputs requeridospara producir A

inputs requeridospara producir A

z2Pe

nd. =

z 2

/ z1

La isocuanta es la frontera de ZLa relación de inputs describe la técnica productiva

La relación de inputs describe la técnica productiva

(Y)

La relación marginal de sustitución técnica

La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica.

Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo.

La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica.

Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo.

z1

z2

A

A'F1(z)/F2(z)F1(z)/F2(z) ra

tio d

e in

put

z2

Q

z1

isocuanta

Y =Y

0

Noción de la isocuanta

(Y)

La elasticidad de sustitución

z1

z2

A

A'

La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución

d(z2/z1) RMTS dln(z2/z1)

= = dRMTS (z2/z1) dln(|F1/F2|)

Mide la “curvatura” de la isocuanta

La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución

d(z2/z1) RMTS dln(z2/z1)

= = dRMTS (z2/z1) dln(|F1/F2|)

Mide la “curvatura” de la isocuanta

F1(z)/F2(z)F1(z)/F2(z) ratio

de

inpu

ts

Un caso especial...

Un caso especial...

Elasticidad de sustitución constante

Incremento de la elasticidad de sustitución...

z1

z2

Elasticidad de sustitución

Alemania (trabajo y capital) [Kemfert (1998, EE)]

Industria

Química 0,37

Acero 0,50

Motor 0,10

Papel 0,35

Alimentos 0,66

z2

Q

z1

Rayo deexpansión

0

F(t z) = t F(z)

Rendimientos constantes a escala

Rendimientos Constantes a Escala

z2

Q

z1

0

t >1 F(t z) > t F(z)

Rendimientos crecientes a escala

Rendimientos Crecientes a Escala

z2

Q

z1

0

t >1 F(t z) < t F(z)

Rendimientos decrecientes a escala

Rendimientos Decrecientes a Escala

z2

Q

z1

0

…esto nos proporciona un nuevo concepto

…esto nos proporciona un nuevo concepto

Tomemos ahora una sección “vertical”...

Medimos el cambio marginal en el output con respecto a ese input

F(z)——zi

Pmgi = Fi(z) =

Producto marginal

Seleccione un vector de inputs técnicamente eficiente Varíe un input y deje los demás costantes

Recuerde, esto significa que elegimos z tal que Y= F(z)

Veamos su formaVeamos su forma

El producto marginal

z1

Y

F(z)

z1

Y

F(z)

z1

Y

F(z)

Posibles relaciones entre el output y un input

z1

Y

F(z)

Tomemos el caso convencional…

Conjunto factible

F(z)

Y

z1

Conjunto de técnicas eficientes

Conjunto de técnicas eficientes

Relación entre el output y el input 1...

•Input 1 es esencial: Si z1=0, Y=0

•Input 1 es esencial: Si z1=0, Y=0

z1

Y

F(z)

F1 cae con z1 si F es cóncava

F1 cae con z1 si F es cóncava

Producto marginalpendiente = F1(z) pendiente = F1(z)

Práctica

EJERCICIO (1):

Dibuje las isocuantas correspondientes a:

Y=z1 + z2

Y=min(z1 , z2)

Y= z1 z2

Y= z1 2 + z2

2

donde y0

Indique los rendimientos a escala .

Práctica

EJERCICIO (2):

Calcule la elasticidad de sustitución

correspondiente a:

Y= { z1 + z2

}1/

donde i 0 y 1

.

Índice (2ª parte)

- Maximización de beneficios: Demanda de factores.

- Minimización de costes en el corto plazo: costes fijos y variables. Costes medios y marginales.

- Minimización de costes en el largo plazo: costes medios y marginales. Rendimientos a escala.

- Relación entre las curvas de coste a largo y corto plazo. La curva de costes medios a largo plazo.

La función objetivo

Ingresos:

Coste de los inputs:

wi zi m i=1

P Y

wi zi m i=1

=P Y – Beneficios:

•para los m inputs

Esquema...

Problema primal

Optimización:

Problema dual

Optimización

...sujeto a la restricción tecnológica...

•No podemos tener valores de output o inputs negativos

Elegimos z que maximiza:

Y F(z)

wi zi m i=1

= P Y –

...y a restricciones obvias:

Y 0 z 0

Método de optimización

L (... )

L (... ) = 0 z

z* = …

Planteamos el Lagrangiano

Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. necesaria

Verificamos las condiciones de segundo orden

Usamos las CPO para caracterizar la solución

Si F es diferenciable…

c. suficiente

El equilibrio de la empresa

Obtención del vector z que resuelve el siguiente problema optimizador:

Max (z)=PY- wi zi

s.a: Y = F(z)

En el caso de dos bienes (m=2), obtención de z1 , z2 que soluciona:

Max (z1 , z2 )=PY- w1 z1 - w2 z2

s.a: Y = F( z1 , z2 )

donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos

El equilibrio de la empresa

Solución:

/ z1 = 0 P Y/z1 = w1

/ z2 = 0 P Y/z2 = w2

P·Pmg z1 = w1

P·Pmg z2 = w2

Función de demanda de factores

zi

wi

P*PMg ziP*PMg zi

El equilibrio de la empresa

Otra forma de ver la solución:

RMSTRMST

Interpretación gráfica ...

Pmg z1 w1

Pmg z2w2

(Y*)

z1* y z2

* óptimosz1* y z2

* óptimos

z1

z2

A

A'

Pmgz1 / Pmgz2= w1/w2Pmgz1 / Pmgz2= w1/w2

z 2* /

z 1*

z1*

z2*

Demanda de factores

z1

z2

z1* = z1d (P,w1 ,...,wm )

... ... ...

zm* = zmd (P,w1 ,...,wm )

Las funciones de demanda de factores

Esquema...

Problema primal

Optimización:

Problema dual

Elegimos un nivel de producto Y

Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P)

Maximizamos beneficios...

...minimizando los costes

wi

zi

m

i=1

Minimización de costes

Dado un vector de precios de los factores w...

la recta isocoste es el conjunto de puntos en el espacio de los inputs...

...que consiguen un nivel de costes C=wizi determinado.

Forman un hiperplano (línea recta)...

Recta isocoste

z2

z1

Coste creciente

w1z1 + w2z2 = c (constante)

w1z1 + w2z2 = c'

w1z1 + w2z2 = c"

Líneas isocostes

Usamos esto para derivar el

óptimo

Usamos esto para derivar el

óptimo

z2

z1

z*

Minimización de costes

Coste decreciente

¿Qué condiciones cumple z*?

¿Qué condiciones cumple z*?

_____ __ =Fi(z) wi

Fj(z) wj

Dados los inputs i y j ...

Obtenemos la misma CPO (condición de

tangencia)

Obtenemos la misma CPO (condición de

tangencia)

Y

Corto plazo: costes fijos y variables

CCP(Y) = CF + CV(Y)

CF

CCVCF

CV

CCP

Y

Corto plazo: costes fijos medios y variables medios

CMeCP(Y) = CFMe(Y) + CVMe(Y)

CCVCF

CVMe

CMeCP

Rendimientos decrecientes a escala

Rendimientos crecientes a

escala

YY

Cme (Y)

La forma de los Cme depende de los rendimientos a escala

La forma de los Cme depende de los rendimientos a escala

Rendimientos a escala

Y

Corto plazo: costes marginales

CMgCP(Y) = CVMg(Y)

CCVCF

CVMe

CMeCP

CMgCP

CmgCP corta a CMe y CVMe en el

mínimo

YY

PCme (Y)Cmg (Y)

P

Cmg corta a Cme en el mínimo

Largo plazo: Costes medios y marginales

CLP(Y) = CV(Y) CMeLP(Y) = CVMe(Y)

P

YY1

CmeLP (Y)

Cme a corto plazo y largo plazo

CmeCP (Y, K1)

P

YY1

CMgLP(Y)

Cmg a corto plazo y largo plazo

CMgCP(Y, K1)

P

Y

CMeLP CMgLP

Envolvente

CMeCP

CMgCP

La oferta de producto

Solución:

/ Y = 0 P = C(w,Y)/Y

P =CmgY

Interpretación: I(Y) = P·Y Img(Y) = P

ImgY = CmgY

Y

La oferta de corto plazo

P = CMg(Y)

CMe CP

CVMeCMg CP

CVMe

CMeCP

CMgCP

P

Y1 Y2

Y

La oferta de corto plazo

CMe CP

CVMeCMg CP

CVMe

CMeCP

CMgCP

Si P < CVMe(Y)¡La empresa cierra!

= S

Y

La oferta de largo plazo

CMeCMg

CMeCMg

Si P < CMe(Y)¡La empresa cierra!

= S

La curva de oferta agregada

La oferta agregada: Si (p) n i=1

S(p =

Suma horizontal de las ofertas individuales

Ejemplos…

P

4 8 12 16

S2S1

P

4 8 12 16

P'P'

Ejemplo 1: dos empresas idénticas

24 328 16

S + S1 2

P

P'

La oferta agregada

Oferta media…

12 164 8

P

P'

¡hay un punto extra!

¡hay un punto extra!

S1 + S2

_________

2

Obtenemos la oferta media...

Comparamos S para una empresa Repetimos para 4 empresas… ...para 8 empresas

...para 16 empresas

¡Dos puntos más!

¡Dos puntos más!

12 164 8

P

P'

Oferta media

S,D

Demandamedia

Caso límite

.

Si hay suficientes empresas, el

comportamiento medio es convencional

P S2

Ejemplo 2: dos empresas no idénticas

S1+S2S1

Y1

P

Costes marginales

Costes medios

Equilibrio en el corto plazo (caso 1)

Beneficios nulos

Y2

P

Costes marginales

Costes medios

Equilibrio en el corto plazo (caso 2)

Beneficios positivos

Y3

P

Costes marginales

Costes medios

Equilibrio en el corto plazo (caso 3)

Beneficios negativos

Equilibrio en el largo plazo

Proceso

(0) Suponemos que 1 empresa tiene beneficios positivos

(1) Los costes de una nueva empresa, ¿son > PY - C?

...en caso afirmativo paramos. En caso contrario…

(2) Aumenta el número de empresas

(3) Aumenta la producción de la industria

(4) Precio cae (curva de D) y las empresas ajustan su producción

(5) Vuelta a 1

Costes marginales

Costes medios

Y1

P

Y1

1

Equilibrio en el largo plazo: 1 empresa

Costes marginales

Costes medios

Y1, Y2

P

Y2

Una empresa entra en el mercado...

costes marginales

Costes medios

Y1, Y2, Y3

P

Y3

... y otra ...

costes marginales

Costes medios

Y1,..., Y4

P

Y4

... y otra...

Costes marginales

Costes medios

Y1,...,YF

P

YF

P = C/Y ¡Beneficios

nulos!

P = C/Y ¡Beneficios

nulos!

Equilibrio de largo plazo (entrada libre)

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Microeconomía

Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta

Prof. Juan Gabriel Rodríguez