unidad 1 fundamentos de algebra matricial parte...
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Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 1
Unidad 1Fundamentos de Algebra Matricial
Parte 1
Dra. Ruth M. Aguilar PonceFacultad de Ciencias
Departamento de Electrónica
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 2
Matrices
• Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular dispuesto en m renglones y n columnas
• Las matrices se denotan mediante letras mayúsculas (A, B, C, etc. …)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
Diagonal
Triangular superior
Triangular inferior
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 3
Vectores y Escalares
• Un Vector renglón de n componentes es un arreglo de n números, denotados por una letra minúscula con una flecha sobre ella. Se puede ver como una matriz de dimensión 1 × n
• Vector columna es una matriz de dimensión n × 1• Un escalar es una matriz de dimensión 1 × 1 y se
representan por una letra minúscula.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nx
xx
xM
v 2
1
( )nxxxx Lv
21= 2=a
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 4
Operaciones algebraicas entre Matrices
• Suma y resta de Matrices
• Multiplicación por un escalar
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
±±±
±±±±±±
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
±
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=±
mnmnmmmm
nn
nn
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bababa
babababababa
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
BA
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
2211
2222222121
1111111111
21
22221
11211
21
22221
11211
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnmm
n
n
mnmm
n
n
cacaca
cacacacacaca
aaa
aaaaaa
ccA
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 5
Propiedades asociativa, conmutativa y distributiva
AA =+ 0
00 =A
ABBA +=+
( ) ( )CBACBA ++=++
AA =1
( ) BABA ααα +=+
( ) AAA βαβα +=+
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 6
Producto Matricial
• El producto punto de dos vectores a y b estádado por
• El producto matricial de dos matrices A y B de dimensiones m × p y p × n, es una matriz C de dimensión m × n. Donde el elemento ijde la matriz es el producto punto de el renglón i y la columna j.
nnbabababa +++=⋅ Lrr
2211
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 7
Producto Matricial
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mpmm
ipii
p
p
aaa
aaa
aaaaaa
LM
M
L
L
L
M
M
M
M
L
L
21
21
22221
11211
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
pnpjpp
nj
nj
bbbb
bbbbbbbb
LL
MLMKMM
LK
LL
21
222221
111211
pjipjijiij bababac +++= L2211
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 8
Propiedades asociativa y distributiva
( ) ACABCBA +=+
( ) ( )CABBCA =
( ) ACABCBA +=+
( ) BCACCBA +=+
( ) ( )CABBCA =p × n p × n
p × nm × p
m × n
m × p p × n
m × n p × r r × n
p × nm × p
m × n
m × n
m × p p × r
m × r r × n
m × n
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 9
Matriz Transpuesta
• La transpuesta de una matriz A se denota por At y se obtiene al al intercambiar los renglones por las columnas de A.
• La transpuesta de un vector renglón es un vector columna, y viceversa.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
45026759253.214.14
A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
4569107254.1253.24
tA
( )931=av
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
931
tav
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 10
Matriz Transpuesta
• Propiedades• Sea A y B matrices de m × n y C una matriz
de n × p. – (AT)T= A– (cAT)= cAT
– (A+B)T = AT+BT
– (AC)T= CT AT
– Si A es invertible entonces AT también lo es (AT)-1 = (A-1)T
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 11
Matriz Conjugada
• La conjugada A* de una matriz A con elementos complejos, es la matriz que se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento de A.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−++−+−+
=iii
iiii
A2425510135321
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−+−
=iii
iiii
A2425510135321
*
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 12
Matriz Asociada
• La Matriz Asociada a un sistema de ecuaciones lineales esta formada por los coeficientes de las variables del sistema. También es conocida como Matriz de Coeficientes.
• La Matriz Asociada Aumentada se obtiene al agregar el lado derecho del sistema
2525 321 =++ xxx522 31 −=− xx
15 32 =+ xx ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=510202
251A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=15
25
510202
251 A
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 13
Determinante
• El determinante de una matriz A de 2 × 2 esta definido de la siguiente manera:
• El determinante de una matriz A de 3 × 3 se obtiene de la siguiente forma:
cbaddcba
AA −===det
122133113223312213322113312312332211
333231
232221
131211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
A −−−++==
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 14
Menores, Cofactores y Determinantes
• El menor ij de A, representado por Mij, se obtiene eliminando el renglón i y la columna j.
• El Cofactor ij de A denotado por Cij, esta definido como
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
436510412
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3610
13M
( ) ijji
ij MC +−= 1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
5042
32M
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 15
Menores, Cofactores y Determinantes
• Determinante de una matriz A de n × n esta definido por
• Esta expresión es conocida como expansión por cofactores.
∑=
=+++==n
iiinn CaCaCaCaAA
1111112121111det L
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
detaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
A +−==
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 16
Propiedades del Determinante
• Si cualquier renglón (columna) de A es el vector cero, entonces det A = 0
• Si un renglón (columna) de A es un múltiplo de otro renglón (columna) entonces det A = 0
• Si cualquier renglón (columna) de A se multiplica por un escalar c entonces det A = c det A.
• El intercambio de cualesquiera dos columnas o renglones de A tiene el efecto de multiplicar al determinante por -1.
• Si cualquier renglón (columna) de A se multiplica por un escalar, entonces y se suma a otro renglón (columna) de A, entonces det Ano cambia.
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 17
Propiedades del Determinante
• Sean A y B matrices de n × n
• Si A es invertible, entonces det A ≠ 0
• det A = det At
• Si A es una matriz de n × n triangular superior, triangular inferior o diagonal , cuyas componentes en la diagonal son a11, a22, …, ann. Entonces
( )( )BAAB detdetdet =
AA
det1det 1 =−
nnaaaA L2211det =
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 18
Traza de una Matriz
• La traza tr(A) de una matriz A de n × n es la suma de todos los elementos de la diagonal:
• Propiedades:– tr(A) = tr(At)– tr(AB) = tr(BA)– tr(A+B) = tr(A)+tr(B)– tr(cA) = ctr(A)
( ) ∑=
=n
iiiaAtr
1
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 19
Matriz Identidad
• La matriz identidad In de n × n se caracteriza por tener unos en la diagonal y ceros fuera de ella.
• Propiedades: In A = AIn = A; det(I) = 1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
100010001
3I
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 20
Inversa de una Matriz
• Una matriz A de n × n es invertible si existe una matriz B de n × n tal que AB = BA = In. En este caso decimos que B es la inversa de A y se denota por B = A-1
• Propiedades de las inversas– Si A es invertible, entonces su inversa es única.– (AB)-1 = B-1A-1.– Si A es invertible, entonces det A ≠ 0 y
det A-1 = 1/det A.
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 21
Inversa de una Matriz
• Sea A una matriz de 2 × 2, A es invertible si y solo si el det A ≠ 0 y su inversa esta definida por:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=−
1121
12221
det1
aaaa
AA
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 22
Inversa de una Matriz
• El método Gauss-Jordan para obtener la inversa de una matriz consiste en considerar el siguiente sistema de ecuaciones lineales
• Entonces usamos Gauss-Jordan sobre la matriz aumentada.
nIAB =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100010001
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 23
Inversa de una matriz
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
1-211
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛12-01
3-0
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 3132
01
1011
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 3132
3131
1001
Matriz Aumentada
-2r1 + r2
(-1/3)r2
r1 - r2
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 24
Matriz Inversa
• la matriz adjunta de una matriz cuadrada Ade n × n es aquella formada de sustituir cada elemento aij por su respectivo adjunto o cofactor
• La matriz inversa de A se define como
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
AAdj
M
MOMM
L
L
21
22221
11211
( )tAAdjA
Adet
11 =−
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 25
Matrices Particionadas
• Una matriz A de m × n puede ser particionada en varias submatrices para facilitar las operaciones matriciales.
• Propiedades– Suma
– Multiplicación por escalares
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
=2221
1211
211391201638022310251
AAAA
A
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
BABABABA
BBBB
AAAA
BA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
2221
1211
AAAA
AAAA
Aαααα
αα
Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 26
Matrices Particionadas
• Propiedades– Multiplicación de Matrices
– Inversa de una matriz. Sea una matriz A de rango(A)=n particionada de tal forma que A11 y A22 son submatrices cuadradas invertibles
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
2221
1211
BABABABABABABABA
BBBB
AAAA
AB
( ) ( )( ) ( ) ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−−−−−= −−−−−
−−−−−−
112
1112122
112
111212212
111
121
122121121
122
121
12212111
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
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