trabajo columnas
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República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
Universidad Politécnica Territorial Del Norte Del Táchira
“Manuela Sáenz”
Estado-Táchira
Autores:
La Fría, Agosto de 2015.
“Columnas
en Resistencia de
los Materia
les”
Introducción
Una columna es un elemento estructural de concreto o acero, el cual
soporta cargas axiales generalmente a compresión, lo cual es bastante
delgado con respecto a su longitud. Esto se debe a la acción de una carga
gradualmente creciente, provocando que se rompa por flexión lateral o
pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por
aplastamiento. Esto se diferencia de una poste corto sentido a compresión, el
cual, aunque esté cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral
despreciable.
No existe un límite perfectamente establecido entre elemento corto y
columna, se suele considerar que un elemento a compresión, es una
columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal
menor. A su vez, entendemos que las barras que soporta cargas
fundamentalmente longitudinales con su eje.
Frecuentemente se reserva el calificativo de columnas para las barras
verticales de las construcciones de edificación, que suele trabajar de la
manera indicada, en concreto a compresión (no a tracción). Estas poseen
carga crítica que puede interpretarse como la carga axial máxima a la que
puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio
inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y
quede pandeada. Depende de la proporción con la que cada una contribuye
al esfuerzo total.
Es esta la indeterminación que da lugar a la gran variedad de fórmulas
para las columnas intermedias. No se ha dado, hasta aquí, criterio alguno de
diferenciación entre columnas largas e intermedias, excepto en su forma de
trabajar, es decir, la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos
de flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y compresión directa.
La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede
comprenderse después de haber estudiado las columnas largas.
Más allá de ser un elemento necesario para dar soporte a la estructura las
columnas acostumbran a ser también elementos decorativos. En el caso de
la arquitectura antigua además, esta decoración nos ofrece mucha
información sobre el origen y la época de la construcción.
En función del diseño existen diferentes tipos de columnas: Románica,
salomónica, anillada, estriada lisa entre otros.
Para la selección de este elemento estructural, se debe basar en tres
características: resistencia, rigidez y estabilidad.
Se pueden construir columnas de materiales como lo son: concreto,
acero, madera y hormigón que son los materiales comúnmente más usados.
1. Columnas
1.1. Concepto
Una columna es un elemento axial
sometido a compresión, lo bastante
delgado respecto su longitud, para
que abajo la acción de una carga
gradualmente creciente se rompa por
flexión lateral o pandeo ante una
carga mucho menor que la necesaria
para romperlo por aplastamiento. Las
columnas suelen dividirse en dos
grupos: “Largas e Intermedias”.
A veces, los elementos cortos a
compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. Las
diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su
comportamiento. Las columnas largas re rompen por pandeo o flexión lateral;
las intermedias, por combinación de esfuerzas, aplastamiento y pandeo, y los
postes cortos, por aplastamiento.
Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta
constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin
embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de
material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en
la aplicación de la carga. La curvatura inicial de la columna, junto con la
posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada, con
respecto al centro de gravedad, en una sección cualquiera.
El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado
excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por la superposición
del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o mejor dicho,
por flexión).
Si la excentricidad es
pequeña u el elemento es
corto, la flexión lateral es
despreciable, y el esfuerzo
de flexión es insignificante
comparado con el
esfuerzo de compresión
directo. Sin embargo, en
un elemento largo, que es
mucho más flexible ya que
las flexiones son
proporcionales al cubo de
la longitud, con un valor relativamente pequeño de la carga P puede
producirse un esfuerzo de flexión grande, acompañado de un esfuerzo
directo de compresión despreciable.
Así, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta
fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga
está sometida principalmente al esfuerzo de flexión. Cuando aumenta la
longitud de una columna disminuye la importancia y efectos del esfuerzo
directo de compresión y aumenta correlativamente las del esfuerzo de
flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar
exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la
proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es esta
indeterminación la que da lugar a la gran variedad de fórmulas para las
columnas intermedias. Una columna larga está sometida esencialmente a
esfuerzos de flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y
compresión directa. La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su
longitud sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas
largas.
2. Inestabilidad Mecánica
2.1. Concepto de Inestabilidad Mecánica
Entendemos por inestabilidad mecánica
el fenómeno de pérdida de rigidez que
ocurre de manera súbita en determinadas
configuraciones resistentes de geometría y
cargas, cuando estas últimas alcanzan un
cierto valor crítico. Según lo anterior, es
claro que el sistema deja de comportarse
linealmente cuando hay inestabilidad, ya
que una “pérdida de rigidez que ocurre de
manera súbita” es incompatible con la
proporcionalidad entre cargas y
desplazamientos. No obstante, el sistema
se comporta usualmente de forma lineal hasta el momento de aparecer la
inestabilidad (al menos en los modelos teóricos ideales), y es correcto
realizar un análisis lineal de pequeños desplazamientos si la inestabilidad
aún no ha aparecido. Adicionalmente, la aplicación del modelo lineal de
pequeños desplazamientos en una situación de inestabilidad suele producir
predicciones extrañas que, si bien no son realistas, sirven para identificar que
dicho modelo ha dejado de ser válido. De hecho el modo habitual de
proceder para identificar el valor crítico de la carga, será plantear el análisis
lineal de pequeños desplazamientos, y observar si para un valor concreto de
la carga el modelo predice desplazamientos arbitrariamente grandes, u otro
síntoma de que el modelo no es aplicable.
Probablemente la mejor manera de comprender lo anterior es mediante
un ejemplo. Considérese una barra absolutamente rígida, articulada en su
extremo inferior, y sujeta en su extremo superior por un resorte, como
muestra la figura 6.1. Si la geometría de la barra y el apoyo, la alineación
vertical de la carga y de la barra, etc., fuesen absolutamente perfectos, sería
idealmente posible aplicar una carga P de cualquier valor. Evidentemente, tal
perfección no es alcanzable en la práctica, y existirán pequeñas desviaciones
respecto de la configuración teórica. En nuestro problema, consideraremos
por ejemplo que hay una pequeña desalineación de la barra respecto de la
vertical, que hace que su extremo superior tenga un desplazamiento inicial .
Alternativamente, puede pensarse que la geometría es perfecta pero que ha
existido una pequeña perturbación momentánea que ha desplazado el
extremo superior de la barra. En cualquier caso, el equilibrio de momentos
respecto de O implica:
Cuya solución es, o bien la trivial =0, o bien P=k·L. Esta última es una
solución ciertamente extraña. Por una parte, no aparece, por lo que hay
que pensar que es válida para cualquier valor del desplazamiento (es decir,
según esto, cualquier posición es de equilibrio). Por otra parte nos impone el
valor de P, cuando ésta es la carga aplicada, que podemos decidir a
voluntad. Este tipo de comportamiento extraño del modelo lineal de
pequeños desplazamientos, es síntoma de que existe un problema de
inestabilidad. Cabe interpretar la solución del modo siguiente:
Si P<kL, el muelle no puede restablecer la verticalidad, y los
desplazamientos evolucionan incontroladamente hasta valores
grandes, o hasta la ruina del sistema.
Si P>kL, entonces el muelle no puede restablecer la verticalidad, pero
se da el caso límite de que tiene la rigidez justa para impedir que la
pequeña perturbación evolucione. En este caso, cualquier posición
(valor de ) es de equilibrio.
El valor P=kL es el valor crítico de la carga, Pcr, que produce la
inestabilidad de este sistema. La figura 6.2 muestra la representación gráfica
de la respuesta del sistema, correspondiendo el trazo horizontal al equilibrio
indiferente encontrado para la carga crítica.
Aunque obtener la solución en régimen de grandes desplazamientos para
un problema general de mecánica de sólidos puede ser muy complejo, en el
sistema considerado es sencillo. Basta con no aproximar por L el brazo de
par de la fuerza k , sino poner su valor exacto que es
ligeramente menor: Procediendo así, se obtiene que la gráfica no sea
horizontal, sino ligeramente descendente (en todo caso no lineal), como
también muestra la figura. Un tramo descendente en este tipo de gráficas
significa que “hace falta menos fuerza para obtener más desplazamiento”, y
se recorre de forma incontrolada cuando se han aplicado unas cargas fijas.
Nota: “Los fenómenos de inestabilidad están asociados a la compresión,
normalmente de elementos esbeltos. La tracción tiende más bien a corregir
las desalineaciones, tal como sucedería en este ejemplo.”
2.2. Carga Crítica de Euler.
El problema clásico de Euler se muestra en la figura 6.3a. Consta de una
barra recta bi-apoyada sometida a compresión centrada de valor N. Como en
el ejemplo previo, supondremos una pequeña perturbación del sistema, que
en este caso tiene la forma de una función uoy(x). La misma describe una
pequeña desviación de la barra respecto de la geometría recta. Si damos un
corte ideal a la barra por una sección x=cte como el de la figura 6.3b, y
consideramos la porción izquierda de la misma, es claro que el equilibrio
requiere la presencia de un esfuerzo axil de compresión de valor N, y de un
momento flector Mz=N·uoy(x).
Pretendemos formular la ecuación anterior en función de los
desplazamientos. Para ello podemos combinar la ecuación (4.8b) y la (4.12):
Que llevada a nuestra expresión del momento flector permite escribir:
La anterior es una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes
constantes, cuya solución podemos obtener fácilmente mediante las técnicas
estándar aplicables a este tipo de ecuaciones. La solución es:
Imponiendo que en x=0 es uoy=0 (apoyo
izquierdo) se obtiene C2=0. Imponiendo que en
x=L es uoy=0 (apoyo derecho), debe ser o bien
C1=0 (solución trivial de desplazamientos nulos), o
bien:
Donde “n” es un número natural. Nótese la similitud del ejemplo sencillo
del epígrafe anterior con este problema: En lugar de quedar la carga N a
nuestra elección, el modelo indica que sólo existen posiciones de equilibrio
para ciertos valores concretos de N. Adicionalmente, no hemos podido
determinar C1, por lo que los desplazamientos pueden tener cualquier
amplitud, en este caso con la forma de seno obtenida en (6.2). Estos son los
“síntomas” típicos que un modelo lineal presenta en un caso de inestabilidad.
En el caso de barras comprimidas que nos ocupa, se llama “Pandeo” a
dicho fenómeno de inestabilidad. Para n=1, (6.3) nos ofrece el menor valor
de la carga N para la que el equilibrio es posible según este modelo lineal, y
ésta será la carga crítica para el
problema de Euler:
Nota: “Si no hay otros condicionantes, el pandeo se producirá de modo
que la barra sufra flexión en la dirección que menor rigidez presente. Debe
entenderse que el momento de inercia Iz es el menor de la sección.”
La interpretación del comportamiento de esta viga es también análoga al del
problema usado como ejemplo en el epígrafe anterior:
Si N<Ncr, la barra tiene rigidez suficiente para restablecer su posición
recta.
Si N=Ncr, entonces cualquier amplitud del desplazamiento es
compatible con el equilibrio, quedando aquella indeterminada.
Si N>Ncr, no puede haber posición de equilibrio más que la trivial.
Como se indicó no es realista pensar en este equilibrio, ya que
siempre habrá imperfecciones
.
Por supuesto, no deseamos que una barra de una estructura real sufra
este fenómeno de inestabilidad, que llamamos pandeo. Para ello nos
aseguraremos de que la misma no esté sometida a un esfuerzo axil de
compresión que se acerque al valor crítico.
Merece la pena apuntar que en el problema de Euler, y a diferencia del
ejemplo sencillo del epígrafe anterior, el comportamiento postcrítico según un
modelo de grandes desplazamientos consta de un trazo ascendente (no
descendente). Pero como indica la figura 6.4, las imperfecciones de las
piezas reales hacen que ni siquiera pueda alcanzarse la carga crítica.
2.3. Longitud de Pandeo.
Es la longitud del soporte biarticulado equivalente al mismo a efectos de
pandeo, y es igual a la distancia entre los puntos de momento nulo del
mismo, o lo que es lo mismo la distancia entre puntos de inflexión de la
deformada.
Es de interés conocer la carga crítica de pandeo para otras condiciones
de sustentación de las barras distintas de la del problema de Euler. El
camino natural para ello es plantear y resolver la ecuación diferencial
correspondiente, como se ha hecho en ese problema. Sin embargo, es
posible obtener la carga crítica para unos cuantos casos frecuentes de
sustentación de la barra, sin más que aplicar unos razonamientos sencillos
que se presentan a continuación.
Como indica la figura 6.5, aislemos cada una de las dos mitades de la
barra de Euler, poniendo sobre cada una las acciones que la otra parte del
sólido, y en su caso el apoyo, ejercen sobre ella, y prescindamos de los
apoyos. En primer lugar, observemos la mitad derecha, y pensemos en unas
condiciones de contorno en desplazamientos que no alteren la forma en que
está trabajando. Su extremo izquierdo tiene giro nulo, una fuerza y un
momento, lo que es compatible con un empotramiento. El extremo derecho
gira y se desplaza respecto del izquierdo, lo que es compatible con un
extremo libre. En resumen, la figura 6.6 muestra un problema elástico que es
totalmente equivalente a esta mitad derecha considerada.
Es evidente que la mitad derecha de la barra de Euler pandeará a la
misma carga crítica que la barra de Euler completa. Por lo tanto el problema
de la figura 6.6 también pandeará para esa misma carga crítica.
Simplemente, si llamamos L a la longitud de la barra 6.6, el problema de
Euler correspondiente tendría longitud 2L, y por tanto su carga crítica es:
Que es la carga crítica para una barra empotrada en un extremo y libre en
el otro, y que hemos encontrado sin necesidad de aparato matemático.
Consideremos nuevamente la mitad derecha de la barra mostrada en la
figura 6.5. Si damos un giro de 180º al problema respecto de un eje
horizontal contenido en el plano del dibujo, obtenemos un nuevo problema,
que en su extremo derecho presenta el axil N, y un giro de la sección de
valor y sentido horario. Estas son las mismas condiciones que existen en el
extremo izquierdo de la mitad izquierda del problema de Euler, por tanto
podríamos pensar que el axil en este último se ejerce mediante reacción del
extremo derecho del problema girado, y en la unión no habría discontinuidad
ya que el giro es el mismo. Esto se ilustra en la figura 6.7.
Si ahora tomamos la mitad izquierda del problema de Euler, y lo giramos
de nuevo 180º, apreciaríamos análogamente que el giro de su extremo
izquierdo coincide con el del extremo derecho de la mitad derecha del
problema de Euler, por lo que (dado que tienen el mismo esfuerzo) podemos
“conectar” estos extremos sin que se viole la continuidad material ni el
equilibrio. El problema completo así construido se muestra en la figura 6.8.
En ella se han puesto como condiciones
de contorno empotramientos en ambos extremos, por los mismos motivos
que en la barra empotrada analizada más arriba. Adicionalmente, los dos
extremos de barra quedan a la misma altura, por lo que el segundo
empotramiento no viola esta condición. Al igual que antes, razonamos que el
problema de la figura 6.8 pandeará para la misma carga crítica que el
problema original de Euler, ya que está construido a base de la misma
solución. Si ahora llamamos L a la longitud de la barra biempotrada, el
problema de Euler tendría una longitud de 0.5L, por lo que su carga crítica de
pandeo es:
De la forma de (6.5) y de (6.6), podemos inducir que para otros tipos de
sustentación, la carga crítica tendrá una forma análoga, pero poniendo la
longitud de la barra multiplicada por un coeficiente - , que llamamos
Coeficiente de Pandeo, que en el caso de barra biapoyada vale =1, en el
caso de barra empotrada vale =2, y en el caso de biempotrada vale =0.5.
Por tanto, en general:
Siendo L la longitud real de la barra. Al producto L se le llama Longitud
de Pandeo. Cabe apuntar que la longitud de pandeo de la barra tiene una
gran influencia en la carga crítica, ya que aparece elevada al cuadrado. Por
ello, la posibilidad (si existe) de diseñar con barras más cortas siempre es
una alternativa interesante a considerar si tenemos problemas de pandeo en
una estructura.
También podemos modificar la longitud de pandeo, por ejemplo sujetando
un punto intermedio. Otra opción es aumentar la inercia de la sección. Para
otras condiciones de sustentación, el coeficiente de pandeo adopta otros
valores, aunque para obtenerlo puede ser en general necesario realizar la
integración de la ecuación diferencial correspondiente.
Por ejemplo, se obtiene que para la configuración de barra empotrada en
un extremo y apoyada en el otro, el coeficiente de pandeo vale =0.7, como
indica la figura 6.9. En esta figura se muestra también el hecho de que la
longitud de pandeo coincide con la distancia entre puntos de inflexión (de
derivada segunda nula) de la configuración deformada, los cuales se
corresponden con puntos de momento flector nulo (véase el desarrollo de la
ec. (6.1)).
Nota: “Nótese que aunque el problema tiene cierta similitud con el que se
obtendría de “ensamblar” la figura 6.7, no se trata del mismo problema
debido a la distinta altura de apoyos que resultaría en aquél.”
2.4. Esbeltez Mecánica.
El modelo de Euler hace uso de las ecuaciones de flexión que hemos
presentado en este curso, las cuales se basan en el comportamiento lineal
elástico del material. Es evidente por tanto que el modelo de Euler no será
válido si existe plastificación del material antes de ocurrir el pandeo de la
barra. Aunque generalmente desearemos que no ocurra ninguna de las dos
cosas (pandeo ni plastificación), es interesante poner de manifiesto
explícitamente el límite de validez del modelo de Euler, lo que es el objetivo
principal de este epígrafe. Consideremos una barra sometida a compresión
centrada. Justamente ates de pandear, los puntos de la barra tienen una
tensión, que llamaremos crítica, igual a:
En donde hemos utilizado como magnitudes auxiliares el Radio de Giro de la sección, definido de la manera usual por i= I/A, y la Esbeltez Mecánica, definida por:
El rango de valores de esta esbeltez en barras usuales para estructuras
comprende desde 20 a 250, orientativamente. No debe confundirse esta
esbeltez con la esbeltez geométrica, que es la relación de la longitud al canto
(o mayor dimensión) de la sección, y que varía típicamente entre 10 y 40).
De acuerdo con (6.8), si representamos la tensión crítica frente a la
esbeltez, obtenemos una hipérbola, que se conoce como “Hipérbola de
Euler”. Como decíamos anteriormente, el modelo de Euler no es válido si la
tensión crítica de pandeo es mayor que el límite elástico. La figura 6.10
representa la hipérbola de Euler y muestra la zona de validez de la misma.
Como se indica, para esbelteces pequeñas de la barra esta curva no es
válida, porque la tensión crítica predicha por el modelo supera el límite
elástico. Existen otros modelos teóricos para predecir el pandeo en el rango
de esbelteces pequeñas donde el modelo de Euler no es válido, pero su
estudio cae fuera del ámbito de este curso.
2.5. Método de Coeficientes Parciales.
El modelo de Euler tiene un indudable valor desde el punto de vista
teórico, ayudando a comprender claramente las causas que provocan el
fenómeno del pandeo. A pesar de ello, sus predicciones pueden resultar muy
optimistas cuando se estudian barras reales de estructuras. Ello es debido
fundamentalmente a las numerosas imperfecciones que un montaje real
suele conllevar, incluyendo la desalineación de la carga respecto del eje de
la barra, y las propias imperfecciones de la geometría de la barra.
Por lo anterior, y a pesar del carácter introductorio de este curso, se
considera interesante dar noticia de alguno de los métodos más realistas,
que tienen en cuenta las imperfecciones típicas en las que se incurre en la
materialización de las estructuras. La norma vigente CTE, incluye un método
(basado en “coeficientes parciales”, método usado extensivamente en
muchos otros aspectos de la norma) que es válido para predecir el pandeo
de barras de acero en todo el rango de esbelteces, y que es fruto de amplios
trabajos tanto teóricos como experimentales.
Básicamente plantea que la “Resistencia a Pandeo de la Barra”, que
llama Nb,Rd, es una fracción de la resistencia a plastificación de la misma,
ésta última minorada por un coeficiente de seguridad. Es decir:
El coeficiente , que se llama “Coeficiente de
Reducción por Pandeo” se obtiene a su vez de otro
parámetro , llamado “Esbeltez Reducida”, que es
diferente de la esbeltez geométrica y de la esbeltez
mecánica, definidas anteriormente. La esbeltez reducida
se define como (Ncr es la carga crítica de Euler, tal como
se obtuvo en la ecuación (6 .7):
El coeficiente de reducción por pandeo se obtiene de la esbeltez reducida
a través de la gráfica de la figura 6.11. Como se aprecia, la curva - no es
única, sino que hay cinco diferentes. Estas curvas permiten tener en cuenta
la influencia de otros factores que pueden considerarse de menor
importancia que la esbeltez reducida, pero que afectan de manera no
despreciable a la resistencia a pandeo.
Estos son factores tales como la calidad del acero, el espesor de las
paredes de la sección, si el pandeo se produce según el eje de inercia fuerte
o el débil, etc. Como idea orientativa, la mayoría de los casos usuales que
involucran a perfiles comerciales, incluyendo agrupaciones soldadas de los
mismos, requerirán el uso de una de las tres curvas centrales, “a”, “b”, o
“c”. La curva de entrada particular que procede usar en cada caso se
obtiene de otras tablas que proporcione la norma, y que se reproduzcan en el
Apéndice D.
2.6. Otros Fenómenos de Inestabilidad.
En las barras de estructuras metálicas pueden existir otros problemas de
inestabilidad distintos del pandeo de las barras. Los mismos siempre están
asociados de una u otra manera a la compresión de elementos esbeltos. En
este epígrafe daremos noticia de dos de ellos, cuales son el pandeo lateral, y
la abolladura. El estudio de estos fenómenos se considera “avanzado”, y
poco apropiado para ser presentado con detalle en un curso de carácter
introductorio. Simplemente se intenta dar noticia aquí de la existencia de
dichos fenómenos, de una manera tan sucinta e intuitiva como sea posible.
2.6.1. Pandeo Lateral.
También llamado “vuelco”, es un fenómeno que aparece preferentemente
en vigas sometidas a flexión, y cuya rigidez a torsión sea escasa (es decir,
en perfiles abiertos de pared delgada).
Consideremos un problema usual de flexión, con cargas de dirección “y”,
y movimientos debidos a la flexión también de dirección “y”, tal como el de la
figura 6.12. Sabemos que la flexión produce compresiones en una parte de la
sección, y tracciones en la otra. La zona que soporta compresiones, si es
esbelta, puede tender a pandear, y puede que dicha tendencia sea a hacerlo
con movimientos de dirección “z”. Tal es el caso del ejemplo de la figura.
La zona de la sección que está traccionada se opondrá a estos
movimientos que “sacan a la viga de su plano” (recuérdese que la tendencia
de las tracciones es restablecer las geometrías rectas en lugar de lo
contrario), por lo que aparece un efecto de torsión en la sección. De ahí que
la rigidez a torsión de la sección influya en este fenómeno. Si se considera
una viga sometida a flexión pura, existe un valor crítico del momento flector,
Mcr, para el cual se produce el pandeo lateral de una viga, de manera
análoga a como existía un esfuerzo axil Ncr que provocaba el pandeo de una
barra.
De manera cualitativa, los parámetros que afectan fundamentalmente a
este momento crítico Mcr son:
La longitud de la viga: El momento crítico Mcr es menor cuanto
mayor sea la longitud.
La rigidez a torsión de la sección GIT: El momento crítico Mcr es
mayor cuanto mayor sea la rigidez a torsión.
La rigidez a flexión de la sección EIy: El momento crítico Mcr es
mayor cuanto mayor sea la rigidez a flexión. El eje “y” es en este
caso el perpendicular al momento flector original (es el caso de la fig.
6.12).
Las tendencias cualitativas anteriores también se mantienen en el caso
más frecuente de flexión simple.
2.6.2. Abolladura.
La abolladura es un fenómeno de inestabilidad que puede ocurrir en las
placas que forman los perfiles metálicos. Típicamente es el alma el elemento
más propenso a sufrir este problema, aunque puede ocurrir en cualquier
placa delgada que esté sometida a compresión, incluidas las alas.
Como su nombre indica, se manifiesta por la aparición de “bollos” o
protuberancias que aparecen en la placa debido a que sus puntos se salen
fuera del plano inicial por efecto de las compresiones en el plano (de manera
análoga a como el pandeo hace que compresiones de la dirección de la
barra provoquen que ésta abandone su geometría recta)
Como conocemos, es el alma quien desarrolla mayoritariamente las
tensiones equivalentes al esfuerzo cortante. Puede ocurrir abolladura en la
placa que hace funciones de alma cuando las máximas tensiones de
compresión asociadas al esfuerzo cortante son lo bastante grandes como
para que la placa “se abolle”.
La figura 6.13a muestra el efecto de una tensión cortante constante sobre
un trozo de alma en una “doble T”. Las máximas compresiones (tensión
principal II) ocurren a 45º y serían las responsables de la abolladura. De
ocurrir ésta, se manifestaría en ondulaciones orientadas en dirección
sensiblemente perpendicular a la máxima compresión. Para evitar este
efecto de abolladura del alma se disponen rigidizadores en forma de placas
soldadas a ella, comúnmente de forma perpendicular al eje de la barra
(“rigidizadores transversales”). La figura 6.13b muestra un ejemplo de estos
rigidizadores, que se suelen disponer a ambos lados del alma, aunque en la
figura aparecen solamente a un lado por claridad del dibujo.
Otra acción susceptible de producir abolladura en el alma es una carga
concentrada, ya sea ésta la reacción de un apoyo u otra carga directamente
aplicada, siendo especialmente propenso el caso en que el alma queda
comprimida entre dos elementos. Este tipo de carga produce tensiones yy
(que hemos despreciado en el modelo de barras) que pueden ser localmente
intensas, y provocar abolladura en la placa que ha de soportarlas, que
generalmente es el alma. Estas cargas también pueden producir otros
fenómenos indeseables, como por ejemplo la plastificación del alma.
El fenómeno de inestabilidad por pandeo abarca más aspectos que los
básicos contemplados aquí. Para futura profundización en el estudio teórico
de dichos aspectos pueden consultarse por ejemplo las referencias [5] y [13].
Siendo los fenómenos de pandeo, y de inestabilidad en general,
especialmente sensibles a los errores de tolerancia, montaje y ejecución que
inevitablemente ocurren, conviene considerar la conveniencia de utilizar
métodos propuestos por la normativa [6][8], que incluyen el efecto probable
de dichos errores.
3. Columnas Largas, Cortas e Intermedias.
Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se ha demostrado
que la carga crítica señalada por las ecuaciones de Euler y de la secante
puede ser superior a la carga crítica real necesaria para pandear la columna,
como muestra el gráfico.
De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en
función de la relación de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres
grupos:
1. Columnas Cortas: A este grupo pertenecen elementos cargados
axialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy
pequeñas, en los que no se produce pandeo y la falla ocurre
cuando ‘smax ≈ sy’.
2. Columnas Intermedias: Cuando en los elementos cargados
comienza a presentarse el fenómeno de pandeo, éstos
experimentan esfuerzos menores a “sy”. La ecuación de Euler
no se aproxima satisfactoriamente al comportamiento de la
columna, requiriendo esta zona de ecuaciones experimentales
complejas para predecir con cierta precisión el valor del esfuerzo
crítico (con el cual comienza el pandeo en la columna).
3. Columnas Largas: Referida a aquellos elementos con grandes
relaciones de esbeltez. La ecuación de Euler describe con
precisión aceptable el comportamiento de estas columnas.
En la figura que se muestran algunas tendencias que pueden usarse para
determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nótese que la
dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con exactitud los
límites de la relación de esbeltez en los cuales son válidos.
3.1. Diseño de Columnas Bajo Carga Axial Céntrica.
Como se mencionó anteriormente, el uso de la fórmula de Euler para el
diseño es completamente válido si la columna a tratar es perfectamente
recta, hechas de un material completamente homogéneo, en las que los
puntos de aplicación de la carga son perfectamente conocidos.
En realidad, esto no ocurre así. Para compensar todas
imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan códigos de diseño,
los cuales son productos de ensayos mecánicos que se llevan a cabo
simulando condiciones reales de construcción y trabajo de elementos
sometidos a cargas axiales de compresión.
A continuación mostraremos algunos ejemplos de códigos de diseño
para columnas hechas de distintos materiales.
3.1.1.Columnas de Acero
Las columnas de acero estructural se diseñan con base en fórmulas
propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC). A dichas
formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el American
Institute of Steel Construction (AISC) las ha adoptado como especificaciones
para la industria de construcción. Para columnas largas, se utiliza la
ecuación de Euler con un factor de seguridad de 12/23:
En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajuste
parabólico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relación:
3.1.2.Columnas de Aluminio.
La Aluminium Association especifica el diseño de columnas de
aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un
juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación
común de aluminio (2014-T6) se usa:
3.1.3.Columnas de Madera.
Las Aluminium Association especifica el diseño de columnas de
aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un
juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación
común de aluminio (2014-T6) se usa:
3.2. Diseño de Columnas Bajo Carga Axial Excéntrica.
Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna es
excéntrica. Trataremos en esta ocasión los métodos más comunes: el
método del esfuerzo admisible y el método de interacción.
Método del esfuerzo admisible. En este caso, se
comparan del esfuerzo máximo producido en la viga y
el esfuerzo admisible dictado por la ecuación de Euler.
El esfuerzo máximo vendría dado por:
El esfuerzo admisible según la ecuación de Euler:
Y debe cumplirse:
3.2.1.Método de Interacción.
Se llama así pues en él se observan cómo interactúan las tensiones
producidas por la carga de compresión y por el momento flector ejercidas en
la viga.
En este caso, la condición que debe
cumplirse es:
Donde “[sadm] axial” y “[sadm] flexión” se calculan a partir de códigos de
diseño estipulados para carga axial y carga excéntrica respectivamente.
Note que a diferencia del caso anterior, los esfuerzos producidos por carga
axial y flexión se comparan por separado con el esfuerzo crítico para cada
caso. Según el método anterior se comparan ambos esfuerzos respecto al
esfuerzo admisible proporcionado por la ecuación de Euler.
Conclusiones
1. Las vigas se clasifican en: Largas, Medias y Elementos cortos.
2. Las vigas se estudian mediante las formulas planteadas por Leonhard
Euler.
3. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el
valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de
inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues,
con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la
sección recta.
4. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede
producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de
sus dimensiones y del módulo de elástico.
5. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea
posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de
inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más
parecidos posible ( como en una columna hueca).
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