proyecto i superficies cuádricas

Superficies Cuadráticas

INTRODUCCIÓN

Para la realización de este proyecto sobre graficar “Superficies Cuádricas” se obtuvieron varias opciones en la red sobre el software a utilizar, en la red se contaba con Maple 11, Calculadora de Microsoft. Esta última fue la que se decidió emplear debido a que es un software gratis facilitado por la empresa de Microsoft y que puede ser descargado de su página sin ningún costo.

Las superficies cuádricas es un tema previamente visto en clase y está dada por la siguiente ecuación: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0. Para este proyecto se hicieron 6 graficas de superficies cuádricas las cuales fueron: elipsoide, cono elíptico, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, hiperboloide de una hoja y la esfera.

OBJETIVOS

Aprender a graficar por medio de un software superficies cuádricas.

Aprender los diferentes tipos de superficies, características y curvas que describen cada uno de los trazos con los planos de coordenadas.

Aprender los usos en la vida real que se le dan a estos tipos de superficies.

MARCO TEORICO

Una superficie cuádrica esta determinada por la siguiente ecuación:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+2b2y+2b3z+c=0

o que también esta dada por:

XtAX + 2BtX + c = 0

con A matriz simétrica, B vector de R3, y c como constante.

Esta es una superficie tridimensional que se encuentra en un sistema de coordenadas unitario y ortogonal con un eje de coordenadas x, y, z. Para decir que la ecuación de la forma F(x,y,z) = ctte represente una superficie cuádrica esta debe poseer la siguientes características:

1.- Deben de estar presentes las 3 variables, x,y,z.2.- Debe ser una expresión polinómica de segundo grado.3.- Al menos 2 de las variables deben estar elevados al cuadrado.

Las superficies cuádricas se clasifican en 5 grupos:

Paraboloides: La principal característica que tienen es que una de sus variables no tiene termino cuadrático, ya que presentan 2 variables elevadas al cuadrado y una lineal. Los paraboloides se pueden dividir en 3 tipos:

Paraboloide Elíptico: Los coeficientes de los términos cuadráticos presentan igual signo pero un valor distinto.

Gráfica Características

Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje, el mismo vértice y abren hacia un mismo lado.

Sus secciones transversales son elipses, que en algunos casos puede representar una tercera traza.

zc= x

2

a2+ y

2

b2

Paraboloide Hiperbólico: Los coeficientes de los términos cuadráticos presentan signos diferentes.

Gráfica Características

Dos de sus trazas son parábolas que comparten el mismo eje, el mismo vértice pero  abren hacia diferentes lados.

Sus secciones transversales sonHipérbolas.

La traza restante es representada por un par de rectas que se cruzan en el centro del paraboloide.

zc= x

2

a2− y

2

b2

Elipsoides: Se obtiene cuando los coeficientes de los tres términos cuadráticos presenten signo igual pero que sus valores son distintos. Si el término independiente es nulo entonces la ecuación representaría un punto en el espacio, pero si este es diferente de cero se debe observar que una vez despejado presente el mismo signo que los términos cuadráticos ya que en caso contrario la ecuación no representaría lugar geométrico alguno.

Gráfica Características

Al menos dos de sus trazas deben serelipses que comparten el mismo centro

Su tercera traza puede ser otra elipse o una circunferencia en cuyo.

Las secciones trasversales pueden ser elípticas o circulares

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2=1

Esferas: Se obtiene cuando los coeficientes de los 3 términos cuadráticos presenten igual signo y también igual valor.

Gráfica Características

Sus tres trazas son circunferencias que comparten el mismo centro y tienen el mismo radio.

Sus secciones transversales son circulares.

x2+ y2+z2=r2

Hiperboloides: Se obtiene cuando uno de los coeficientes de los tres términos cuadráticos tiene signo diferente y el término independiente es distinto de cero. Estos se dividen en dos tipos:

Hiperboloide de dos hojas : Los coeficientes de los términos cuadráticos presentan dos signos negativos y uno positivo. 

Gráfica Características

Dos de sus trazas son hipérbolas que comparten el mismo eje focal por lo que comparten los mismos vértices.

Su tercera traza no existe ya que esta el plano restante estaría constituido por los ejes transversos de las hipérbolas

Sus secciones transversales pueden ser elipses o circunferencias

x2

a2− y2

b2− z

2

c2=1

Hiperboloide de una hoja : los coeficientes de los términos cuadráticos presentan dos signos positivos y un signo negativo. 

Gráfica Características

Dos de sus trazas son hipérbolas que comparten el mismo eje transverso.

Sus secciones transversales pueden ser elipses ó circunferencias al igual que su tercera traza.

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2=1

Conos: Se obtiene cuando uno de los coeficientes de los tres términos cuadráticos presente signo diferente y el término independiente de la ecuación sea igual a cero.

Cono elíptico : si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

Gráfica Características

Dos de sus trazas son dos rectas que se cruzan en un mismo punto.

Su eje es paralelo  al eje de la variable con signo diferente, la cual por lo general es despejada.

Sus secciones transversales pueden ser elipses o circunferencias

z2

c2= x

2

a2+ y

2

b2

DESARROLLO

Para graficar las superficies cuádricas se empleó exactamente el mismo procedimiento sin embargo, lo único que cambió fueron las ecuaciones de cada superficie. Para muestra de ejemplo se realizará a continuación la grafica del hiperboloide de una hoja:

Hiperboloide de una hoja

Para graficar el hiperboloide de una hoja se sigue los siguientes pasos:

x2

9+ y

2

36− z

2

4=1

1. Seleccionar la pestaña “Gráficas”.

2. Escoger la sección de “ecuaciones”

3. Colocar la opción “3D”.

4. Escribir en el cuadro 1 la ecuación que se desea graficar, en este caso la del Hiperboloide de una hoja.

5. Presionar el botón “Intro”.

6. Por ultimo, presionar el botón “Graficar”.

Y se obtendrá el siguiente resultado,

Ejemplo: Puede ser utilizado en el diseño de edificios.

Para las siguientes graficas se obtuvo:

Elipsoide x2

36+ y

2

9+ z2=1

Ejemplo: Puede ser utilizado en la elaboración de balones de futbol americano

Cono Elíptico z2

36= x2

25+ y

2

36

Ejemplo: Puede ser utilizado para elaborar relojes de arena

Paraboloide Elíptico z49

= x2

81+ y

2

25

Ejemplo: Puede ser utilizado para fabricar hornos solares.

Paraboloide Hiperbólico z= x2

25− y2

36

Ejemplo: Puede ser utilizado en la elaboración de sillas de montar de caballos.

Esfera x2+ y2+z2=4

Ejemplo: Pueden ser utilizados en la elaboración de canicas.

CONCLUSIONES

Las superficies cuádricas tienen un importante uso dentro de la vida real, ya que las podemos utilizar de distintas maneras, desde elaborar un reloj de arena hasta

crear edificios con formas creativas que evolucionan la manera de construir estructuras mas sofisticadas.

El software que se utilizó en este proyecto fue “Matemáticas de Microsoft” y se puede descargar de http://www.microsoft.com/es-es/download/details.aspx?id=15702.

Las superficies graficadas en este proyecto fueron: Cono elíptico, elipsoide, paraboloide elíptico, hiperboloide de una hoja, paraboloide hiperbólico y la esfera.

Las superficies cuádricas son una hipersuperficie D dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables espaciales. La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:

BIOGRAFÍA

Dennis G. Zill, Warren S. Wright. Cálculo Trascendentes tempranas (4ª. Edición) McGraw Hill, México, 2011.

Gonzalez, Jose.(2011) Estudio y aplicación de superficies curvas en el patrimonio arquitectónico. Consultado el día 16 de febrero de 2013 de la World Wide Web: https://www.google.com.gt/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&ved=0CEsQFjAF&url=http%3A%2F%2Fdigibug.ugr.es%2Fbitstream%2F10481%2F19700%2F1%2FEstudio%2520y%2520aplicaci%25C3%25B3n%2520de%2520superficies%2520curvas%2520en%2520el%2520patrimonio%2520arquitectonico.pdf&ei=mHAjUfmmH4y60QHfvIF4&usg=AFQjCNHwiH8SDnT5HUtaL4CZKvAV_IgsSw&sig2=iHdD-fTj4AJzPfGocmuGEw&bvm=bv.42553238,d.dmQ