problemas de pau resueltos de análisis

Problemas Matemáticas PAU

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1. Estudiar la derivabilidad de la función

en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista.

2. Calcular las siguientes integrales: (PAU Canarias

a) ·lnx xdx∫

b)

2

20

34dx

x +∫

3. Indicar, para una función f(x), sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, los valores de x que corresponden a sus

máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de concavidad y convexid

la gráfica de la figura: (α = -1’22 y b = 3’33).

4. Dadas las funciones y=-x2+4x e y=2x

2-2x

a) Representar la región que determinan sus gráficas.

b) Calcular el área de dicha región. (PAU Canarias

5. Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista.

Canarias – Septiembre 2011)

6. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de

coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación

Canarias – Septiembre 2011)

7. Representar la gráfica de una función f(x) que tenga las siguientes propiedades:

a) Es continua en todos los reales salvo

b) Tiene asíntotas verticales en x=-4 y x=0.

c) Para x→∞ se cumple f(x) →0.

d) Corta al eje OX solamente en un punto, que es de inflexión.

e) Su función derivada es negativa en (-

(PAU Canarias – Septiembre 2011)

8. Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo

deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?

Problemas Matemáticas PAU – Análisis I – tusclasesdeapoyo.c

2

2

3

1

1 , si 0

+1, si 0<x<1

, si x 1x

sen x x

x

e −

+ ≤ ≥

en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista. (PAU Canarias – Junio 2011)

(PAU Canarias – Junio 2011)

Indicar, para una función f(x), sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, los valores de x que corresponden a sus

máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de concavidad y convexidad, sabiendo que su función derivada tiene

1’22 y b = 3’33). (PAU Canarias – Junio 2011)

2x

) Representar la región que determinan sus gráficas.

(PAU Canarias – Junio 2011)

Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista.

2

2

12 , si 0

31

ln( 1), si 0<x<23

2 , si x 2

xsen x e x

xx

x x

− + ≤

+ + + − ≥

Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de

coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación

Representar la gráfica de una función f(x) que tenga las siguientes propiedades:

a) Es continua en todos los reales salvo -4 y 0.

4 y x=0.

OX solamente en un punto, que es de inflexión.

-∞,-6) y en (–4,0), siendo positiva en (–6,-4) y (0,+ ∞).

Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de 2 metros. ¿Cuáles

deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?

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Junio 2011)

Indicar, para una función f(x), sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, los valores de x que corresponden a sus

ad, sabiendo que su función derivada tiene

Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista. (PAU

Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el origen de

coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación 4 3 12x y+ = . (PAU

∞).

que el lado mayor sea de 2 metros. ¿Cuáles