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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Definición. Una función real de n- variables , f , definida de D ⊂ ℝ n es una regla de correspondencia que asigna a cada vector X = ( x1 , x2 , x3 , …, xn ) , donde xi ∈ ℝ ∀ i = 1,2,..,n , perteneciente a D , un único número real z , denotado por Z = f (x1 , x2 , x3 , …, xn ).
Simbólicamente,
F : D ⊂ ℝ n → ℝ X El conjunto D se llama dominio de f , y su imagen es el conjunto de todas los valores reales de f .
Dom ( f ) = { X ∈ ℝ n / ∃ ! Z ∈ ℝ ∧ z = f ( X ) } Im ( f ) = { z ∈ ℝ / ∃ X ∈ ℝ n ∧ z = f ( X ) }
Z = f X ) = f ( x1 , x2 , x3 , …, xn )
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Nota- A este tipo de funciones se les llama campos escalares
X
y
O
D
⋅(x,y)
ℝ
z = f (x, y )
f
2
OTRA FORMA DE VISUALIZAR F : ℝ2 →ℝ
X
Y
Z
O
D
. (x,y,0)
. (x,y,f(x,y))
f(x,y)
3
IMAGEN DE f
4
2. f ( x , y ) = 4x - 6y - 8
3. g(x , y ) = 9x ² + 4y ² 4. h( x, y ) = 4x² - y²
5
6
CURVAS DE NIVEL
Si z = f ( x , y ) representa a la superficie S ,entonces las curvas proyectadas sobre el plano XY tienen la forma
f ( x , y ) = k ; k ∊ Im(f)Definición .-Las curvas de nivel de una función f : IR² → IR son las curvas cuyas ecuaciones son f ( x , y ) = k , donde k es un elemento de la imagen d e f. NOTAS:1. Cada punto de la curva de nivel f ( x , y ) = k , corresponde a un único punto de la superficie que se encuentra k unidades arriba de él .2. Al conjunto de curvas de nivel obtenidas al variar K , se le llama MAPA DE CONTORNO3. Los valores de z = f ( x , y ) cambian más rápidamente cuando mas próximas entre sí se encuentren sus curvas de nivel . 4. Si f : IR 3 → IR , la gráfica de f está contenida en IR 4 , cuya proyección en el Plano XYZ son superficies de la forma : w = f ( x , y , z ) , llamadas SUPERFICIES DE NIVEL de f
7
8
= k
9
-5
0
5
-5
0
5
0
20
40
60
80
100
10
11
-5
0
5
-5
0
5
-100
-80
-60
-40
-20
0
12
13
-5
0
5
-5
0
5
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
z
z=sin(sqrt(x.2+y.2))./sqrt(x.2+y.2)
xy
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