metodos matematicos para ing's tema i

Dr. William Rojas

Universidad Dr. Rafael Belloso Chacín

Decanato de Investigación y Postgrado

Ingeniería de Control y Automatización de Procesos

Cátedra: Métodos Matemáticos para Ingenieros

METODOS MATEMATICOS PARA INGENIEROS

TEMA I

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS; CONCEPTOS, EJERCICIOS.

Maracaibo, Septiembre 2014- Enero 2015

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Es un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y una ley de

composición interna definida en él. Según sean las distintas propiedades que

verifique la ley de composición interna.

A una ley de composición de se le conoce, también, con el

nombre de operación binaria

Una estructura algebraica es un conjunto sobre el que se han definido unas

operaciones que cumplen determinadas propiedades. Sin embargo, es de

entender sobre una enorme cantidad de estructuras distintas, solo algunas de

ellas tienen interés y reciben el nombre específico de: grupos, anillos cuerpos,

módulos, ideales, entre otros.

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Dr. William Rojas

Conjunto: es una serie de objetos bajo unas condiciones bien definidas

y pueden ser cualquier cosa: materiales, instrumentos, personas, números,

colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un

elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, un sistema, está compuesto

por diferentes equipos y/o instrumentos.

Conjuntos

Sist. Aceite Lub. Transmisor, indicadores, válvulas, tuberías, etc.

B = {bujías, cables, carburador, inyec. etc} = {comp. de un

motor de comb. interna}

C = {a, e, i, o, u} = {vocales}

Estructuras algebraicas

Conjuntos Difusos

Conjunto de números Naturales

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A modo de resumen se incluye el siguiente cuadro

Conjuntos

Estructuras algebraicas

Dr. William Rojas

Conjuntos

Estructuras algebraicas

Ejercicios:

En una reunión hay mas hombres que mujeres, además, mas mujeres

que beben que de hombres que fuman y mas mujeres que fuman y no

beben que hombres que no beben ni fuman. Demostrar que hay menos

mujeres que no beben ni fuman que hombres que beben y no fuman

Dr. William Rojas

Se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la

primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

Funciones

Se muestra una función entre

un conjunto de polígonos y un

conjunto de números. A cada

polígono le corresponde su

número de lados.

Una función que

transforma los valores

de entrada en valores

salida.

Estructuras algebraicas

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

En matemáticas, un operando es una de las entradas (argumentos

o variables) de un operador. Por ejemplo,

3 + 6 = 9 + es el operador, 3 y 6 son los operandos

Se llama relación a todo subconjunto del conjunto producto cartesiano.

El producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que

pueden formarse tomando como primer elemento un elemento del primer

conjunto y segundo elemento uno del 2º conjunto

A= {a, b, c} B = { 1, 2 }

A X B = { (a,1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2)} Ese es el producto cartesiano

Una relación puede ser : R = { (a, 2) (a, 1) (c, 1) (b, 2)}

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Relación binaria de equivalencia

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Relación binaria de equivalencia

Se llama Correspondencia G entre el conjunto inicial A y el conjunto

final B, a todo conjunto de AxB.

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Relación binaria de equivalencia

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Variable

Cantidad a la que se le puede asignar durante el curso de un

proceso de análisis un número ilimitado de valores .

Función

Cuando 2 variables están relacionadas de tal manera que el valor de

la primera queda determinado si se da un valor a la segunda

Y = x(7) Y= 7 x y

1 7

2 14

3 21

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Grupos

Un grupo es un conjunto A sobre el que se define una operación interna + que

verifica las siguientes propiedades

A.- Asociativa

B.- Existencia de elemento neutro

C.- existencia de simétrico para todos los elementos de A

Si la operación interna es conmutativa se dice que es un grupo abeliano o

conmutativo

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Estructuras algebraicas

Anillos

Una estructura algebraica formadas por un conjunto A y dos operaciones,

llamadas suma y producto, (A, +, .), también, se dice que es un anillo si cumple:

Un conjunto A en el que se han definido dos leyes de composición interna + y .,

la estructura algebraica (A, +, .) se denomina anillo y solo si (A, +) es un grupo

conmutativo, (A, .) es un semigrupo, y la operación . Es distributiva respecto a la

operación +.

Cuando el anillo no posee divisores de cero se dice que es de integridad o

anillo integro.

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Anillos

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Anillos

Con la adición y multiplicación módulo 2 es un cuerpo. En general,

Zp es un cuerpo si y solo si p es primo. Este cuerpo también es denotado por

GF(p), el cuerpo de Galois o campo finito de p elementos.

Ejemplo

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Anillos de Polinomios

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Estructuras algebraicas

También; Se dice que “y” es función de “x”, cuando a cada valor de la

variable x, corresponde una o mas valores determinado de y

y = f(x)

Función lineal

Sistema de ecuaciones

2x+y= 18

4x-y= 5

Sist. de 2 ecuaciones

1er con 2 incógnitas

Compatible / tiene solución

Imposible / no tiene solución

Sist. Compatible

Cuando tiene una solución

indeterminado infinitas soluciones

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Estructuras algebraicas

Sistema de ecuaciones

Métodos mas

usados

.- Igualación

.- Reducción

.- Sustitución

Resolver:

2x+y=18

4x-y=5

7x+4y=13

5x-2y=19

2x+5y=-24

8x-3y=19

5x+6y=20

4x-3y=-23

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Sistema de ecuaciones

Método gráfico

Resolver gráficamente

x + y = 6

5x-4y=12

Hallar la intersección de las rectas

x+y= 6

x=0 ; y = 6

y=0 ; x= 6

5x- 4y= 12

x=0 ; y = -3

y=0 ; x= 2

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Matlab como herramienta de software matemático en el cálculo y

análisis numérico es un entorno de computación y desarrollo de

aplicaciones en donde se encuentren implicados elevados cálculos

matemáticos y la visualización gráfica de los mismos. Matlab integra

análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y visualización

gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son

expresados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin

necesidad de hacer uso de la programación tradicional.

Dr. William Rojas

Estructuras algebraicas

Sistema de ecuaciones

Método gráfico

Resolver:

5x+6y=20

4x-3y=-23

X-2y=6

2x-4y=5

5x+6y=20

4x-3y=-23

a=[5 6; 4 -3]

a = 5 6

4 -3

» b=[20;-23]

b = 20

-23

» x=inv(a)*b

x = -2

5

Plot(a,b)

title('Sist. De Ecuaciones')

» xlabel('x')

» ylabel('y')

Utilizando el

Matlab

Dr. William Rojas

Funciones, con matlab

Resolver ecuación de segundo grado

−b √b²−4ac

2a x1,2=

ax²+bx+c=0

syms a b c x;

eq='1*x^2+2*x-3=0';

solve(eq,x)

ans = -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

Si tenemos los siguientes valores :

a = 1, b = 2, c = 3

Escribimos la formula para x1

Para x1

x1 = (-b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

Para x2 :

x2 = (-b-sqrt (b^2- 4*a*c ))/2*a

Dr. William Rojas

Funciones, con matlab

Resolver ecuación de segundo grado

X^2-9x+18

» % resolver la ec de 2do

x^2-9+18=0

» syms a b c x;

» eq='1*x^2-9*x+18';

» solve(eq,x)

ans =

[ 3]

[ 6]

» a=1;

» b=-9;

» c=18;

» x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

x1 = 6

» x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/2*a

x2 = 3

a * x2^ 2 + b * x2 + c

» ezplot(x^2+3*x-10)

» grid on

» title('Factorizar: x^2+3*x-

10=0')

» ylabel('y')

» xlabel('x')

Dr. William Rojas

Funciones, con matlab

y=10x/(x^2+1)

x= -15:2:10;

y=((10)*x\(x.^2+1));

plot(x,y)

Title(‘ ‘)

Xlabel(‘x’)

Ylabel(‘y’)

1. Ejercicios:

2. y= x+(1/x)

3. Y= 1/x^2

4. Y=1/x^3

5. Y= 10x/(x^2+1)

6. Y=2x/(x^2+1)

7. Y=pi*sen(x)

8. y= -3x+2y=7

Ecuación 2do

2x^2-5x+2

Dr. William Rojas

x=1:1:5;

y=x*4;

plot(x,y)

Funciones, con matlab

Y=x^2

x=-15:2:15;

y=x.^2;

plot(x,y)

Dr. William Rojas

Funciones, con matlab

Y=x^2-2x+1

x=-20:2:20;

y=((x.^2)-(2)*(x)+(1));

plot(x,y)

y =-x^2+4x+12

x=-20:2:20;

y=((-1)*x.^2+(4)*x+12

plot(x,y)

Dr. William Rojas

y= x^2-x-12

x=-8:1:8;

y=(x.^2-(1)*x-(12));

plot(y)

Funciones, con matlab

y= x^2/x+1

x= -20:2:20;

y=((x.^2)\(x+1));

plot(x,y )

Dr. William Rojas

Factorizar el polinomio:

X^4 + x^3 – 6^2 – 4x +8

Funciones, con matlab

Factorización

1

1 1

1

-6

2

-4

-4

8

-8

2

1 2

2

-4

8

-8

8

0

-2

1 4

-2

4

-4

0

-2

1 2

-2

0

1 0

X = 1 (x - 1)

X = 2 (x - 2)

X = - 2 (x + 2)

X = - 2 (x + 2)

Resolver

3x^4-3x^2+x-5

3x^4-2x^3+4x-7

X^4-2x^2+1

Dr. William Rojas

% calcular las raíces de la

ecuación cúbica x^3+x^2-7x-6

» roots([1 1 -7 -6])

ans =

-2.7515

2.5926

-0.8411

Funciones, con matlab

Factorización % calcular las raíces de la

ecuación x^4-11x^2-18x-8

roots([1 0 -11 -18 -8])

ans =

4.0000

-2.0000

-1.0000 + 0.0000i

-1.0000 - 0.0000i

Dr. William Rojas

Funciones, con matlab

Factorización

» % Factorizar el polinomio X^4 + x^3 - 6^2 - 4x +8

roots([1 1 -6 -4 8])

ans =

2.0000

-2.0000

-2.0000

1.0000

Dr. William Rojas

Ejercicios:

• y= x+(1/x)

• Y= 1/x^2

• Y=1/x^3

• Y= 10x/(x^2+1)

• Y=2x/(x^2+1)

• Y=pi*sen(x)

• y= -3x+2y=7

Ecuación de 2do

2x^2-5x+2

X^2-15x+54

Funciones, con matlab

Resolver

X^3-8x^2+15x+2

Dr. William Rojas

% Factorizar: x^2+3*x-10=0

» syms x

» factor(x^2+3*x-10);

ans =

(x+5)*(x-2)

» ezplot(x^2+3*x-10)

» grid on

» title('Factorizar: x^2+3*x-10=0')

» ylabel('y')

» xlabel('x')

Funciones, con matlab

Factorización

Dr. William Rojas

Funciones, con matlab

Factorización

Cuando la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, o aplicando el

procedimiento de completación, la ecuación se puede expresar como,

ax²+bx+c= (x+a1)(x+a2) = 0

Resolver

• x²+3x-10=0 (x+5)(x-2)

• x²+ 6x+ 1=0;

• 4x²-x+1/16= 0;

• 2x²+ 3x-5=0;

• x²-2x-1 = 0

• x^4+x^3+2*x-4

% Factorizar: x^2+3*x-10=0

» syms x

» factor(x^2+3*x-10);

ans =

(x+5)*(x-2)

Dr. William Rojas

• Introducción al álgebra lineal, José Manuel Casteleiro Villalba

• Algebra Lineal I - Esquemas de Teoría y Problemas Resueltos,

Volumen 1, Mercedes Orús Lacort

• Notas de Álgebra, Valentín Gregori Gregori, Bernardino Roig Sala,

Almanzor Sapena Piera

• Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. 4ta

edición. R kent Nagle. Edward B Saff. Arthur David Snider

• Calculo y Geometria analítica, 5ta Ed. Roland E. larson. Robert

Hosttetler- bruce H Edwards

• Física, Problemario de calculo de varias variables. Luz Marina Pereira

• Ejercicios resueltos de álgebra lineal, Manuel Iglesias Cerezal

• Apuntes de sistemas de control

• Cálculo avanzado. José Francisco Caicedo

• Álgebra lineal con métodos elementales. Luis M. Merino González,

Evangelina Santos Aláez

REFERENCIA

ESPACIOS VECTORIALES

Dr. William Rojas