la integral definida
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VBV
1
LA INTEGRAL DEFINIDA
Derivada Recta tangente
Integral Área
Entendemos: Área de una función f : región
comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.
2
3
Pensemos en como obtener el área bajo la función f
f(x)
Sabemos calcular el área de polígonos…
Podríamos …
4
x0 x1 x
f(x)
x2 x3 x4
Nosotros construiremos rectángulos!!!
Ejemplo:
Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas geométricas. Evaluar y calcular el área representada por la integral.
f
9
3)( dxxf
9
3
)( dxxf
En realidad…
Este es un problema muy antiguo (Arquimedes se plantea esto, pero son Newton y Leibniz los que lo resuelven) .
Idea: Construir rectangulos “bajo” la curva f(x), encontrar el área de todos estos rectangulos.
6
Sea [a,b] un intervalo cerrado. Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-
intervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que:
x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]
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Denotemos por Δxi la longitud de cada sub-intervalo tal que:
Δx1 = x1 – x0
Δx2 = x2 – x1
…Δxi = xi – xi-1
…Δxn-1 = xn-1 – xn-2
Δxn = xn – xn-1
Notar que Δxi corresponderá a la base de cada rectángulo.
8
Definición:
La longitud del sub-intervalo (o sub-intervalos) más largo de la partición P se llama norma de la partición y se denota ||P||.
Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}
9
Ejemplo:
Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.
10
Pensar en una partición para [a,b] Geométrica: a, ar, ar2,… arm, donde r0 Aritmética: a, a+d, a+2d, … a+md
11
PARTICIÓN GEOMÉTRICA
Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a
Se tiene: xi= x0*rn
Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .
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PARTICIÓN ARITMÉTICA
Se define d=(b-a)/n Se tiene: xi= x0+id Notar que en esta partición la
amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.
Por esto, denotamos Δx=d.
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Ejercicios:
Construir en el intervalo [0,1] , las siguientes particiones y calcular su norma:
1. 10 sub-intervalos usando la partición:
xi= (i/n)2
2. 8 sub-intervalos del mismo largo.
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Pensemos en la altura de cada rectángulo… Sea f : [a,b] una función acotada P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b] Para i = 1, . . . ,n denotamos: mi = inf { f (x) : x [xi-1 , xi ] }
Mi = sup { f (x) : x [xi-1 , xi ] }
Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.
15
16
Definición:SUMA INFERIOR de f asociada a P
i
n
1iiΔxm),(
Pfs
x1 x2 … xn-1 b=xna=x0
f
17
Definición:SUMA SUPERIOR de f asociada a P
i
n
1iiΔxM),(
PfS
x1 x2 … xn-1 b=xna=x0
f
Ejemplo:
Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2
Usando una partición con n=4.
18
Ejercicio:
Sea
Encuentre s(f,P) para una partición del intervalo [0,2] en dos partes iguales.
Certamen 1 – II sem 2012
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0,0
20,)3/ln(
1
)(
x
xxxf
Proposición:
Para cada partición, se verifica: s(f,P) ≤ S(f,P)
Dem:mi ≤ Mi mi Δxi ≤ Mi Δxi
mi Δxi ≤ Mi Δxi
s(f,P) ≤ S(f,P)
20
Proposición:
P1 P2 s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)
Dem:Pensar en agregar puntos (de a uno a
la partición P1).
21
Corolario:
Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces:
m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)
Además, si P= P1 P2 , entonces: s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)
22
Definición:INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]
23
b]}[a, de sparticione P:P), sup{s(f)( b
a
dxxf
Definición:INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]
24
b
a
dxxf b]}[a, sparticione P:P), inf{S(f)(
OBS:
25
b
a
dxxf )( b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
DEF:
f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:
Se escribe:
26
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
b
a
dxxf )(
Pensar…
¿Qué debe suceder para que …
??????27
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
Ejemplo: Calcular la integral de Riemann para
f(x) = x en [a,b]. Considerando las particiones
aritméticas: Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n} Se tiene que:
28
n
ababPfs n 2
)(
2),(
222
n
ababPfS n 2
)(
2),(
222
Teorema
Si la norma de la partición Pn se aproxima a cero, la suma inferior y superior coinciden.
Esto es,
Notar que es equivalente a decir:
29
),(lim),(lim0||||0||||
nP
nP
PfSPfsnn
),(lim),(lim nn
nn
PfSPfs
OBS: Si hacemos que la norma de la partición
Pn se aproxime a cero. Entonces, la suma de Riemann se
aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) , y el eje x desde a hasta b.
30
La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.
b
a
dxxfÁrea )(
Interpretación …
Teorema Considere una sucesión de
particiones Pn de un intervalo [a,b] tales que:
y,
Entonces, f es Riemann integrable,
32
0||||lim
Pnn
0)},(),({lim
PnfsPnfSn
b
ann
dxxfPnfsPnfS )(),(lim),(lim
n = 3 rectángulos
Veamos esto geométricamente…
n = 6 rectángulos
n = 12 rectángulos
n = 24 rectángulos
n = 48 rectángulos
n = 99 rectángulos
Pensar en…
Alguna función que NO sea Riemann integrable.
39
Definición:
Sea f : [a,b] una función acotada P una partición de [a,b] Una SUMA DE RIEMANN para la
función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:
40
],[;Δx)(),,( 1i
n
1ii iiii xxfPfS
41
En la grafica hemos considerado el punto medio de cada sub-intervalo.
x1 x2 … xn-1 b=xna=x0
f
0
y
x
y = f(x)
x0=a xn=bx1 x2 xn-1xixi-1
• • • • • • • • • •
Δ1x Δ2x Δix ΔnxΔn-1x… …
•
• •
•
•
••
•
••
w1 w2 wi wn-1 wn
Otra grafica…
Ejercicios:
1. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo.
a) Encontrar la suma inferior, superior y de Riemann.
b) Estudiar estas sumas para una partición de n subintervalos.
2. Hallar el área de f(x)=x2+2, entre x=-1 y x =2 mediante la busqueda del limite de las sumas de Riemann.
43
Ejercicios:
3. Evaluar :
Donde: x0=0, x1= …, xn =/6
4. Evaluar:
Donde: x0=1, x1=1+x …, xn =3
44
)cos()(lim1
1 i
n
iii
nxxx
xxxn
iii
n
1
2 )2(lim
OBS:
Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann.
Escribimos:
Para denotar que:
45
LPfS in
),,(lim
|),,(|||||..,0,0 LPfSPqt i
Teorema:
Sea f : [a,b] una función acotada, entonces:
Si f es integrable en [a,b] , entonces:
46
b
a
nP
dxxfPfS )(),(lim0||||
b
a
nP
dxxfPfs )(),(lim0||||
b
a
iP
dxxfPfSn
)(),,(lim0||||
Propiedades: Sean f , g : [a,b] acotadas e
integrables. Se cumple:
47
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.
48
0)(0)( b
a
dxxfxf
b
a
b
a
dxxgdxxfbaxxgxf )()(],[),()(
b
a
b
a
dxxfdxxf |)(|)(
Proposición
Si m f(x) M , salvo quizás en un conjunto finito de puntos, entonces:
49
b
a
abMdxxfabm )()()(
Proposición(Aditividad):
Si f : [a,b] es acotada e integrable, y para todo c [a , b] .
Se cumple: f es integrable en los intervalos [a ,
c ] y [c , b]. Además se verifica el reciproco.
50
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Teorema:
Si f : [a,b] es continua en [a , b] excepto en x0 , x1 , x2 , …, xn
Entonces, f es integrable en [a,b]. Además, se verifica:
51
o
o n
x
a
x
x
b
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf1
)(...)()()(
Ejercicio:
52
1. Sea f una función continua en 1, 5, si:
5
1
3
17)(4)( dxxfydxxf
Determine el valor de:
5
3)( dxxf
Definición:
Sea f : [a,b] acotada e integrable. Definimos:
53
0)( a
a
dxxf
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
54
CRITERIOS DE INTEGRABILIDAD
Teorema:
S f : [a,b] es monótona entonces f es integrable.
55
Observación
Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos.
Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones elementales, como por ejemplo: ex , ln x, arctan x, etc.
56
Teorema:
S f : [a,b] es continua entonces f es integrable.
57
58
VEAMOS UNA APLICACIÓN DE LA INTEGRAL…
Definición:
Sea f : [a,b] integrable . se define el VALOR PROMEDIO de f en
[a,b] por:
59
b
a
dxxfab
fAV )(1
)(
Teorema:
Sea f : [a,b] continua. Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) =
AV(f).
60
61
EJERCICIOS PROPUESTOS
62
1. Calcular:
2. Dem.
3. ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de:
4
0
][)2( dxx
abb
a
x eedxe
b
a
dxxx )( 2
3
1
2 ][ dxx
?
63
4. Hallar el valor medio de f(x) = 3x2-2x en [1,4]
5. Sea f una función continua y positiva en [a, b] tal que:
Prueba que : f(x) = 0, x [a, b]
6. Justificar:
0)( b
a
dxxf
5
1
106
1 2
0
x
dx
64
7. Sea:
Justifica que f es integrable en [0,1], y se verifica la desigualdad:
x
xsenexf
x )()(
1)(01
0
edxxf
65
8. Expresa el siguiente límite como sumas de Riemann:
9. Estimar el área bajo la gráfica de f(x) = sen x en [0, π] usando la suma superior e inferior , para una partición regular con n = 4. Además calcular la suma de Riemann con la elección de los puntos medios de los sub-intervalos.
n
eee n nnn
n
...lim
2
66
10. Determine el valor de k, de modo que:
11. Hallar el valor de c tal que el valor medio de la funci´on f(x) = x4 − 1 sobre [−c, c] es 0.
k
dxxx1
2 2)23(
67
10. Sea:
Calcular:
2
1
)( dxxf
21;21
11;2)(
xx
xxxf
68
12. Justificando su respuesta, responda lo siguiente: ¿Será correcto afirmar que:
|1
0
1
02
1
12 )1(
1
)1(
12
)1(
1
x
dxx
dxx
3
40|)4|1(
3
2
2
dxx ?????
Observación:
En algunos de los ejercicios propuestos resulta necesario utilizar la regla de Barrows, que veremos la próxima semana.
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