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Integración numérica
Javier Segura
Cálculo Numérico I. Tema 4.
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 1 / 21
Introducción y definiciones
Estructura de la presentación:
1 Introducción y definiciones
2 Fórmulas de Newton-CotesFórmulas simplesFórmulas compuestasRegla trapezoidal recurrente
3 Integración Gaussiana
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 2 / 21
Introducción y definiciones
DefiniciónDada una función f (x) integrable en [a,b] y una aproximación a la integraldada por
I(f ) =
∫ b
af (x)dx ≈
n∑i=0
wi f (xi )
donde a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b, diremos que
Q(f ) =n∑
i=0
wi f (xi )
es una regla de cuadratura de n + 1 puntos que aproxima la integral definida.A los números wi se les llama pesos de la regla de cuadratura.
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 3 / 21
Introducción y definiciones
DefiniciónSe define el error de truncamiento para la regla de cuadratura como
E(f ) = I(f )−Q(f )
y se dice que el grado de exactitud de una regla de cuadratura es K cuandola regla da el resultado exacto de la integral para todos los polinomios degrado menor o igual que K , pero no así para mayores grados.
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 4 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes
Estructura de la presentación:
1 Introducción y definiciones
2 Fórmulas de Newton-CotesFórmulas simplesFórmulas compuestasRegla trapezoidal recurrente
3 Integración Gaussiana
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 5 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples
Fundamento de las fórmulas de Newton-Cotes: utilización del polinomiointerpolador que pasa por un determinado número de puntos comoaproximante del integrando f (x).Fórmula de Lagrange del polinomio interpolador para n + 1 puntos deinterpolación:
f (x) ≈n∑
i=0
f (xi )Li (x)
Entonces, la fórmula de Newton-Cotes de n + 1 puntos sería:
∫ xn
x0
f (x)dx ≈n∑
i=0
wi f (xi )
siendo
wi =
∫ xn
x0
Li (x)dx
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 6 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples
Regla trapezoidal:Tomamos sólo dos puntos de interpolación (n = 1).f (x) ≈ P1(x) = f (x0) x − x1
x0 − x1+ f (x1) x − x0
x1 − x0de modo que la aproximación es:
I(f ) =
∫ x1
x0
f (x) ≈∫ x1
x0
P1(x)dx =
∫ 1
0
1h
(f0h(1− s) + f1sh) h ds
donde se ha considerado el cambio x = x0 + sh, 0 ≤ s ≤ 1 y denotamosfi = f (xi ).Entonces:
I(f ) =h2
(f0 + f1)
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 7 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples
Regla de Simpson: La regla de Simpson es la que se obtiene al interpolaren tres puntos: x0 = a, x1 = (a + b)/2 y x2 = b mediante el polinomio degrado 2.
I(f ) =
∫ x2
x0
f (x)dx ≈∫ x2
x0
P2(x)dx =
∫ 2
0
2∑i=0
(si
)∆i f0 h ds
Tenemos pues que
I(f ) ≈ h∫ 2
0
(f0 + s∆f0 +
s(s − 1)
2∆2f0
)ds = h
(2f0 + 2∆f0 +
13
∆2f0
)Es decir,
I(f ) =
∫ x2
x0
f (x)dx ≈ h3
(f0 + 4f1 + f2)
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 8 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples
Error de las reglas simples
Sea f (x) suficientemente diferenciable (con continuidad) en [x0, xn],xk = x0 + kh, k = 0, ...,n, entonces ∃cn ∈ (x0, xn) tal que:
1 n = 1 (trapezoidal):∫ x1
x0
f (x)dx =h2
(f0 + f1)− h3
12f (2)(c1) si f (2) es
continua; el grado del método es 1
2 n = 2 (Simpson):∫ x2
x0
f (x)dx =h3
(f0 + 4f1 + f2)− h5
90f (4)(c2), si f (4) es
continua; el grado del método es 3
3 n = 3 (Simpson 3/8):∫ x3
x0
f (x)dx =3h8
(f0 + 3f1 + 3f2 + f3)− 3h5
80f (4)(c3)
si f (4) es continua; el grado es 3.
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Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas compuestas
Derivación de las reglas compuestas: subdividir el intervalo [a,b] enintervalos más pequeños y aplicar reglas de Newton-Cotes de orden bajo.Dado un intervalo [a,b] podríamos considerar una partición equiespaciadade este intervalo
a = x0 < x1 < ... < xn = b , xk = x0 + ih , i = 0...n , h = (b − a)/n
y aplicar la regla trapezoidal en cada uno de estos subintervalos:∫ xk
xk−1
f (x)dx ≈ h2
(f (xk−1) + f (xk ))
f
f(x)
f
x
0
n
a=x0 x1b=x n
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 10 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas compuestas
Teorema (Regla trapezoidal compuesta)
Sea f (x) con derivada segunda continua en [a,b], y sea la partición delintervalo a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi = x0 + ih, i = 0,1, ...,n, entonces∫ b
af (x)dx =
h2
(f0 + f1) + hn−1∑i=1
fi + ETn (f )
donde fi ≡ f (xi ) y
∃τ ∈ [a,b] : ETn (f ) = − (b − a)h2
12f ′′(τ) = − (b − a)3
12n2 f ′′(τ)
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 11 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas compuestas
Teorema (Regla de Simpson compuesta)
Sea f (x) con derivada cuarta continua en [a,b], y sea la partición delintervalo a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi = x0 + ih, i = 0,1, ...,n = 2m,entonces
∫ ba f (x)dx = h
3 (f0 + fn) + 2h3
m−1∑i=1
f2i +4h3
m∑i=1
f2i−1 + ESn (f )
= h3 (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + ...+ 2fn−1 + 4fn−1 + fn) + ES
n (f )
donde fi ≡ f (xi ) y
∃τ ∈ [a,b] : ESn (f ) = − (b − a)h4
180f (4)(τ) = − (b − a)5
180n4 f (4)(τ)
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 12 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Regla trapezoidal recurrente
Consideramos los nodos:
a ≤ x0 < x1 < ... < xn , n = 2m , m ∈ N
la cuadratura trapezoidal con espaciado h (h = xi+1 − xi ), T (f ,h), se puedeentonces escribir ∫ b
af (x)dx ≈ T (f ,h) =
h2
n−1∑i=0
(fi + fi+1)
Por otra parte
T (f ,2h) = hm−1∑i=0
(f2i + f2i+2)
de modo que
T (f ,h) =T (f ,2h)
2+ h
m∑i=1
f2i−1
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 13 / 21
Fórmulas de Newton-Cotes Regla trapezoidal recurrente
Algoritmo para la regla trapezoidal recurrente
Input: ε > 0, f (x), b, a.Output:
∫ ba f (x)dx
(1) h = b − a, I = h2 (f (a) + f (b))
(2) ∆ = 1 + ε; n = 1
(3) Repetir mientras ∆ > ε
(4) h = h/2; I0 = I
(5) I = I0/2 + hn∑
i=1
f (a + (2i − 1)h)
(6) n = 2n
(7) ∆ = |I − I0|
(6) Ir a (3)
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Fórmulas de Newton-Cotes Regla trapezoidal recurrente
La regla de Simpson también se puede calcular recurrentemente utilizandosu relación con la regla trapezoidal.Si denotamos por S(f ,h) la regla de Simpson con espaciado h se cumple que
S(f ,h) =4T (f ,h)− T (f ,2h)
3= T (f ,h) +
T (f ,h)− T (f ,2h)
3
donde
T (f ,h) = h2 (f0 + f2m) + h
2m∑i=0
fi
T (f ,2h) = h(f0 + f2m) + 2hm∑
j=1
f2j
S(f ,h) = h3 (f0 + f2m) + 2h
3
m−1∑j=1
f2i +4h3
m∑j=1
f2i−1
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 15 / 21
Integración Gaussiana
Estructura de la presentación:
1 Introducción y definiciones
2 Fórmulas de Newton-CotesFórmulas simplesFórmulas compuestasRegla trapezoidal recurrente
3 Integración Gaussiana
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 16 / 21
Integración Gaussiana
Idea fundamental: elección “adecuada” de los nodos y de los pesos.∫ b
af (x)dx ≈ Q(f ) =
n∑i=1
wi f (xi )
Tenemos 2n (wi , xi ) parámetros que se pueden intentar fijar de manera quela regla de cuadratura Q(f ) sea exacta para polinomios de grado lomayor posible.
¿Cuál es el mayor grado de exactitud posible?Parece lógico pensar que será 2n − 1, pues los polinomios de grado 2n − 1tienen en general 2n coeficientes, que es el número de parámetros libres.Veamos un ejemplo
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 17 / 21
Integración Gaussiana
Ejercicio
Obtener la regla de cuadratura con dos nodos Q(f ) con mayor grado de exactitud posible para aproximar
I(f ) =
∫ 1
−1f (x)dx.
Tenemos
I(f ) =
∫ 1
−1f (x)dx ≈ Q(f ) = w1f (x1) + w2f (x2)
El mayor grado de exactitud posible será 3. Determinamos los parámetros exigiendo que I(f ) = Q(f ) para cualquier polinomiode grado 3, o, equivalentemente:
I(xk ) = Q(xk ), k = 0, 1, 2, 3
k = 0→ 2 = w1 + w2k = 1→ 0 = w1x1 + w2x2k = 2→ 2
3 = w1x21 + w2x2
2k = 3→ 0 = w1x3
1 + w2x32
Resolviendo el sistema, obtenemos w1 = w2 = 1, x1 = −x2, |x1| = 1/√
3 y la cuadratura buscada es
I(f ) =
∫ 1
−1f (x)dx ≈ Q(f ) = f (−1/
√3) + f (1/
√3)
Es inmediato comprobar que la regla no es exacta para polinomios de grado 4, luego el grado de exactitud es 3.
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Integración Gaussiana
No demostraremos la existencia en general de las fórmulas Gaussianas, pero vamosa enunciar un resultado que prueba su existencia.Consideraremos un caso algo más general de integrales:
I(f ) =∫ b
af (x)w(x)dx
donde w(x) es una función peso en [a, b] (función no negativa y tal que∫ b
a xk f (x)dxestá definida para cualquier k natural.
Diremos que Q(f ) =∑n
i=1 wi f (xi) tiene grado de exactitud K si I(f ) = Q(f ) para fcualquier polinomio de grado a lo sumo K pero no así para grado mayor que K .
Según sea la función peso y el intervalo, la cuadratura Gaussiana recibe distintosnombres. Algunas cuadraturas clásicas son la de legendre (w(x) = 1 en [−1, 1]),Hermite (w(x) = e−x2
en (−∞,∞)) y Laguerre (w(x) = e−x en [0,+∞)),
El siguiente resultado prueba la existencia de la cuadratura Gaussiana (la de mayorgrado de exactitud posible) y da una alternativa de cálculo a la anteriormente vista,además de un término de error.
Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 19 / 21
Integración Gaussiana
Integración Gaussiana
Teorema
Sea Pn(x) un polinomio de grado n (por ejemplo mónico) tal que
∫ b
axk Pn(x)w(x)dx = 0 , k = 0, ..., n − 1
donde w(x) es una función peso en [a, b]. Sean x0, ..., xn los ceros de Pn(x) (necesariamente todos en [a, b]). Entonces
∫ b
af (x)w(x)dx ≈ QG
n (f ) =n∑
i=1
wi f (xi )
donde wi =∫ b
a Li (x)w(x)dx , siendo Li (x) de la base de los polinomios interpoladores de Lagrange (Li (xj ) = δij ). La regla de
cuadratura QGn+1(f ) es exacta para los polinomios de grado menor o igual que 2n − 1 y se verifica que
∃η ∈ (a, b) :
∫ b
af (x)dx = QG
n (f ) + γf (2n)(η)
(2n)!
siendo γ una constante que se puede obtener aplicando la regla de cuadratura a un polinomio de grado 2n.
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Integración Gaussiana
Ejercicio
Obtener la regla de cuadratura con tres nodos Q(f ) con mayor grado de exactitud posible para aproximar
I(f ) =
∫ +∞
−∞f (x)e−x2
dx.
El intervalo de integración es todo R y el peso w(x) = e−x2.
Consideramos el polinomio de grado 3 mónico (coeficiente del término de máximo grado igual a 1):
P3(x) = x3 + Bx2 + Cx + D
y exigimos que I(xP3(x)) = 0, k = 0, 1, 2. Con esto obtenemos un sistema lineal para B, C, D que se resuelve sencillamente(utilizamos que I(xm) = (1 + (−1)m)
√π2−m/2(m − 1)!!), llegando a:
P3(x) = x3 −3
2x
Los nodos son entonces las soluciones de P3(x) = 0→ x1 = −√
3/2, x2 = 0, x3 =√
3/2Los pesos los podemos obtener de wi =
∫ +∞−∞ Li (x)w(x)dx o también de I(xk ) = Q(xk ), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. De hecho, es
suficiente con considerar k = 0, 1, 2, de donde:
I(1) =√π = Q(1) = w1 + w2 + w3
I(x) = 0 = Q(x) =√
3/2(−w1 + w3)
I(x2) =√π/2 = Q(x2) = 3
2 (w1 + w2)
Y de aquí w1 = w3 =√π/6, w2 = 2
√π/3.
Si quisiéramos estimar el error, sabemos que I(f )− Q(f ) = γf (6)(c)/6! y necesitaríamos obtener γ. Una forma de hacerlo estomar f (x) = x6; tenemos γ = I(x6)− Q(x6) = 15
√π/8− 9
√π/8 = 3
√π/4.
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