introducción a los ángulos preparado por: prof. evelyn dávila

Introducción a los ángulos

Preparado por:

Prof. Evelyn Dávila

Un ángulo consta de dos rayos que tienen el mismo punto inicial.

Al punto inicial que comparten se le llama vértice.

VéRTICE

Un ángulo puede ser positivo o negativo según la dirección en que da origen el ángulo

Lado inicial

Lado terminal

ANGULO NEGATIVO

Lado inicial

Lado terminal

ANGULO POSITIVO

Medimos los ángulos en grados o en radianes

¿Cuánto mide el ángulo si sabemos que una revolución es dada por 3600 ?

Medimos los ángulos en grados o en radianes

¿Cuánto mide el ángulo si sabemos que una revolución es dada por 3600 ?

Observa que es una octava parte del circulo por tanto

=360/8 = 45 grados

Si dividimos el circulo en 360 partes iguales cada una de esas partes equivale a un grado.

La medida de

ese ángulo es

un grado

ANGULO CENTRAL

Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de un

circulo con radio r.

•Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide 3600

•La medida del ángulo central que encierra a un semicírculo es 180, es decir, 360/2 = 180

La circunferencia completa de un círculo mide 3600.

•En general, un ángulo central

que corresponde a una parte del

círculo medirá 360/n , donde n

representa la cantidad de partes

iguales en que se divide el

círculo.

Una revolución corresponde a 360

¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones?

360 + 360 = 2(360) = 720

¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo?

No hay límite podemos recorres infinita cantidad de revoluciones.

En general, la medida de un ángulo central que ha completado n

revoluciones se calcula:

360n

Radianes

Un ángulo central mide un radián si este ángulointercepta un arco con longitud igual a la longitud del radio del circulo (r).

r

s

Arco formado por el ángulo

de longitud s

Analiza la siguiente fórmula:

La longitud del arco formado por el ángulo es dada por el producto del radio del circulo y la medida de en radianes, es decir

S = r por lo tanto

= s/r

Si s = r , tal como establecimos en la definición de radianes, entonces

= 1 radian

En conclusión cuando s = r , mide un radián

•Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide 2

•La medida del ángulo central que

encierra a un semicírculo es , es decir, 2/2 =

La circunferencia completa de un círculo mide 2

•En general, un ángulo central que

corresponde a una parte del círculo

medirá 2/n , donde n representa la

cantidad de partes iguales en que se

divide el círculo.

EJEMPLO

Un ángulo central que corresponde a una cuarta parte de un círculo mide

2/4 = /2

Una revolución corresponde a 2

¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones?

2+ 2 = 2(2) = 4

¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo?

No hay límite podemos recorrer infinita cantidad de revoluciones.

En general, la medida de un ángulo central que ha completado n

revoluciones se calcula:

2n

Medida de los ángulos cuadrantales en GRADOS y RADIANES

2900

0180

3

22700

23600

Expresar la medida de un ángulo dado en grados en

RADIANES

)180

)((

:dimPr

0

gradosenángulodelmedida

ientooce

EJEMPLO

618030300

Cambiar la medida de un ángulo dado en RADIANES a GRADOS

0180)(

:dimPr

radianesenángulodelmedida

ientooce

EJEMPLO

00

144180

5

4

5

4

Práctica

ANGULOS ENGRADOS

ANGULOS ENRADIANES

0

/6

60

/4

120

ANGULOS COTERMINALES

Angulos coterminales son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.

EJEMPLOLado inicial

Lado terminal

Observa que = +360

Si = 40 grados halla dos ángulos coterminales a éste.

( = +360 )

Un ángulo coterminal añadiendo una revolución40 + 360= 400 grados

Otro ángulo coterminal lo obtenemos al dar dos revoluciones por tanto la fórmula es:40 + 2(360) = 760 grados

¿Cuántos ángulos coterminales a puedo encontrar?

Ejemplo - Angulos coterminales

FORMULA PARA HALLAR ANGULOS COTERMINALES

DE UN ANGULO DADO

Observa que obtenemos un ángulo coterminal completando revoluciones completas.

scompletadaesrevolucion

decantidadlaesndonde

n

gradosenMedida

)360( 0

Fórmula para obtener un ángulo

coterminal a

scompletadaesrevolucion

decantidadlaesndonde

n

radianesenMedida

)2(