Introducción a las Funciones

Prof. Evelyn Dávila

Una función es una relación entre

dos conjuntos de tal manera que para

cada elemento del primer conjunto

corresponde un solo elemento del

segundo conjunto.

Ejemplos reales de relaciones que envuelven funciones: Un individuo y su seguro social Un vehículo de motor y su tablilla.

Por lo contrario, no es una función la relación de madre e hijos. Explica por qué.

Al primer conjunto, de donde tomamos los

elementos para la regla, se le llama Dominio y al segundo conjunto se le llama Recorrido o

Campo de Valores.

a b

c

avión carro

barco

DOMINIORECORRIDO

Ejemplo 1

¿Cómo describes esta relación? ¿Cómo se relacionan los dos conjuntos?

a b

c

avióncasa

barco

Observa que la relación anterior produce un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, éstos son:

{ ( a, avión) , (b, barco) , ( c , carro ) }

¿Cuál es el Dominio en esta relación?

¿Cuál es el Recorrido ?

RESPUESTAS Ejemplo 1

DOMINO { a, b, c }

Recorrido {avión, barco, carro}

Ejemplo 2

1 2 3 4

6 2 8 4

a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación?

b. ¿Cuál es el Recorrido ?

RESPUESTAS Ejemplo 2

a. { 1, 2, 3, 4 } Dominio

b. { 2, 4, 6, 8 } Recorrido

Continuamos - Ejemplo 2

Indica cuáles son los elementos de esta relación.

1 2 3 4

6 2 8 4

RESPUESTAS- Ejemplo 2

c. { ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }

Observa que los elementos de este conjunto son pares ordenados donde el primer elemento corresponde a un elemento del DOMINIO y el segundo elemento corresponde a uno del RECORRIDO.

Continuamos - Ejemplo 2

¿Cómo describirías esta relación? ¿Qué regla la describe?

1 2

3 4

6 2

8 4

RESPUESTAS- Ejemplo 2

Observamos que en esta relación multiplicamos cada elemento del Dominio por dos.

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

Si representamos a los elementos

del DOMINIO con una x , y a los

elementos del RECORRIDO con una

y , entonces podemos representar la

relación dada de la siguiente forma:

y = 2x

Decimos que y = 2x es la regla que describe la relación dada en el Ejemplo 2 .

Observa, que esta ecuación nos indica que de acuerdo al valor que se le asigne a la variable x , será el valor que se obtiene para y.

PrácticaSegún la definición de función, cuáles de los siguientes dibujos representan a una función.

abc

123

abc

III

III

123

RESPUESTAS

SI SI

NO

abc

123

abc

III

III

123

RESPUESTA

Observa que para el elemento I en el DOMINIO corresponden dos elementos distintos en el RECORRIDO, por lo tanto no responde a la definición de funciones.

III

123

NO

Práctica

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido.

a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________

b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________

c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________

d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________

Respuestas a la Práctica

¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su

Dominio y su Recorrido.

a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI

Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 }

b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI

Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3}

c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO

Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO

d) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI

Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}

Identificar funciones mediante la observación de tabla de valores

Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores representa a una función. En las siguientes tablas la primera columna representa a la variable independiente y la segunda columna a la variable dependiente.

a b

-5 10

0 0

5 -10

4 0

c d

-1 1

0 0

1 1

2 4

e f

4 8

2 1

1 2

2 4

Notación de Funciones f X ------> Y

Dominio Recorrido

y = f(x)

f es el nombre que se le asignó a la función, se

lee "y es función f de x” , las variables son x y y.

Ejemplos

x

xxg

x

xy

xxxhxxy

xxfxy

2

1)(

2

1

13)(13

83)(8322

Importante

Observa: El valor de y , depende del valor que

se le asigne a x, en la regla correspondiente.

Llamamos a y ,la variable dependiente y a x la variable independiente.

Aplicación

Identifica para cada situación la variable dependiente y la variable independiente.

Se investiga la relación entre el diametro del tronco de un árbol y la edad de éste en términos de años de vida.

CONTINUACION -Aplicación

Se desea conocer cómo se reproducen los mosquitos durante los doce meses del año.

La relación entre la estatura de las mujeres y el tamaño de sus pies.

La cantidad de horas que dedican los estudiantes a estudiar para un examen y la puntuación que obtienen en éste.

EVALUAR UNA FUNCIÓN

Evaluar una función consiste en seleccionar un valor del Dominio de esa función y sustituírlo en la regla de la función.

Ejemplo 1

Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en x = 3, sustituimos este valor en la regla de la siguiente forma

f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7.

Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.

Cada vez que evaluamos una función obtenemos dos valores, uno para la variable independiente y el valor correspondiente para la variable dependiente.

Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma

( x, y) .

Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el par ordenado es ( 3, 7).

Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Evalúa la función f , en los valores indicados’

f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11 par ordenado ( 5 , 11)

Práctica

f(1) = ______

f(7) = ______

f(4) = ______

Continuamos con el Ejemplo 1

Respuesta

f(1) = 3 ( 1, 3 )

f(7) = 15 ( 7, 15 )

f(4) = No existe El 4 no pertenece al Dominio de esta función.

¿Cuáles son los elementos de esta relación ?

¿Cuál es el RECORRIDO ?

Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }.

¿Cuáles son los elementos que describen a la función f ? { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) }

¿Cuál es el RECORRIDO ? { 3, 7, 11, 15 }

Ejemplo 2

Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}

a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta

relación?

b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.

c) Indica el Recorrido

Respuesta - Ejemplo 2

Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por { 1, 2, 3 }

a. Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta

relación. NO h(2) = 6

b. Halla los elementos de esta relación.

{ (1,3), (2,6) , (3,11) }

c. Indica el Recorrido

{ 3, 6, 11 }

PrácticaSean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ; funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo número real que produzca numeros reales en el Recorrido.

Evalúa en los valores indicados:

a) f(-3) = f(0) =

b) g(15) = g(-5)=

c) h( 3) = h( -2) =

d) q(4) = q(-7) =

Respuestas - Práctica

f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x

a. f(-3) = -15 f(0) = 0

b. g(15) = 12 g(-5)=-8

c. h( 3) = 15 h( -2) = 0

d.. q(4) = -4 q(-7) = 7

Cuando no nos indican cuál es el

Dominio de la función entonces es

implícito que consiste en el conjunto de todo número real para el cual esté definida la función en los números reales.

Al evaluar una función el resultado obtenido en y , debe ser un número real.

Ejemplo en el que se debe tener

cuidado:

g(1) = 1 g(16) = 4 g(-4) = 2i

El resultado NO es un número real por lo tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.

xxg )(

Dada una gráfica identificar si la relación

corresponde a una función.

PRUEBA DE LA LINEA VERTICALDada una gráfica, si para toda línea vertical

que pase por cada uno de los valores del Dominio de la relación ésta toca (cruza)

sólo un punto de la gráfica, entonces

corresponde a una función.

Para cada gráfica indica si ésta es una función

FUNCIONES BASICAS

FUNCION IDENTIDAD

x

y

y = x

yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCION CON VALOR ABSOLUTO

x

y

0yRECORRIDO

xDOMINIO

xy

0yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCION CUADRATICA

x

y2xy

y

yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCION CUBICA

3xy

x

xy

0

0

yRECORRIDO

xDOMINIO

FUNCIONES QUE ENVUELVEN RADICALES

}0{Re

}0{min

yyRycorrido

xyRxioDo

FUNCION RACIONAL

xxf

1)(

1x

y

1

x

y

FUNCION EXPONENCIAL

0yRECORRIDO

xDOMINIO

CASO b>1 CASO 0<b<1

10 bybdondeby x

1

FUNCION LOGARITMICA

yRECORRIDO

xDOMINIO 0

10,log bybdondexy b

Ecuaciones lineales en dos variables: lineas rectas

Forma general ax+by +c = 0

¿Cuales de las siguientes graficas corresponden a una función?

Solo aquella ecuación lineal en dos variables que se pueda expresar de la forma y=mx+b , es decir, despejada para la variable dependiente es una función.

Funciones Lineales

Aplicación

Identifica la variable independiente Identifica la variable dependiente Escribe una función que presente la relación

entre ambas variables.

Situación 1

Rosario decide vender chocolates para recoger fondos para ayudar a un refugio de perros. Compra cajas de chocolate para revenderlas . Cada caja de chocolates trae una docena y ella los vende a $1.50 cada uno. La joven quiere establecer una ecuacion que le permita predecir cuánto recogerá con la venta de los chocolates.

Situación 2

Un tanque de agua se llena a razón de 4 galones por minuto. El dueño del tanque desea conocer la cantidad de agua que contiene el tanque cada cinco minutos.

Situación 3

En un globo de aire que se desplaza sobre la superficie terrestre se observa que a medida que aumenta su distancia con respecto a la tierra la temperatura del aire en el globo disminuye 5 grados Celsius. La relación entre altura y temperatura se puede establecer mediante una ecuacion lineal. La explicación es que al expandirse el aire, al llenar el globo, pierde calor.