funciÓn cuadrÁtica prof. evelyn dávila proyecto msp21- fase ii academia sabatina
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FUNCIÓN CUADRÁTICA
Prof. Evelyn Dávila Proyecto MSP21- FASE II
Academia Sabatina
La forma general de una función cuadrática es; , donde a,b y c son números reales.
Ejemplos a= 4, b= 12 , c= 9 a= 2, b= 5 , c= -3
a= 1, b= 0 , c= 25
cbxaxxf 2)( cbxaxxf 2)( cbxaxxf 2)(
cbxaxxf 2)(
352)( 2 xxxf
9124)( 2 xxxf
25)( 2 xxf
La gráfica de una función cuadrática es una parábola; ésta representa el conjunto solución de la función.
La función cuadrática básica es .
Su gráfica es la siguiente
2)( xxf
x y
2 4
1 1
0 0
-1 1
-2 4
CARACTERÍSTICAS GRÁFICAS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Dada en la forma estándar
Dominio - los números reales
cbxaxxf 2)(
Concavidad
El valor de a nos indica el tipo de concavidad de la parábola:
Si a>0 . es cóncava hacia arribaSi a<0, es cóncava hacia abajo
a>0 a<0
Vértice
El vértice es el punto mínimo en una parábola cóncava hacia arriba y es el punto máximo en una parábola cóncava hacia abajo.
La coordenada de el vértice es dada por :
a
bx
2
)
2(a
bfy
Vértice
Punto máximo
Punto mínimo
Simetría
La parábola es simétrica con respecto a la línea vertical que pasa por su vértice y cuya ecuación es dada por
a
bx
2
.
Interceptos en x
La parábola puede tener hasta un máximo de dos interceptos en x.
En general podemos encontrar uno de los siguientes casos:
Tiene dos interceptos en x: la parábola es cóncava hacia arriba y su vértice se encuentra bajo el eje de x ó es cóncava hacia abajo y su vértice se encuentra sobre el eje de x.
Tiene un intercepto en x; el vértice se encuentra sobre el eje de x.
No tiene intercepto en x: esta parábola no intercepta el eje de x y se encuentra en el primer y segundo cuadrante ó se encuentra en el tercer y cuarto cuadrante.
Procedimiento para hallar el(los) interceptos en el eje de x
1. Igualar la función a cero y hallar las raíces mediante el método de factorización o la fórmula cuadrática.
2. En esos valores ocurren los interceptos.
Fórmula cuadráticaa
acbbx
2
42
Intercepto en y
La parábola tiene un intercepto en y y la coordenada de ese punto es (0,c).
Para ; ,
cf )0(cbxaxxf 2)(
cf )0(
EJEMPLO 1
352)( 2 xxxf
Parámetros a = 2, b = 5, c = -3
DOMINIO Números Reales
Concavidad a = 2 Cóncava hacia arriba
Vertice ( -1.25, -1.31 ) Punto mínimo
a
bx
2
)2(a
bfy
25.14
5
22
5
x
3)25.1(5)25.1(2)25.1( 2 f
125.6
325.6125.3
EJEMPLO 1 (continuación)
34
12
4
752
1
4
2
4
754
75
4
495
4
24255
)2(2
)3)(2(455 2
x
x
x
352)( 2 xxxf
Eje de simetría x = -1.25
Interceptos en el eje de x ( 0.5 , 0 ) y ( -3 , 0 )
a
acbbx
2
42
EJEMPLO 1 (continuación)
352)( 2 xxxf
Interceptos en el eje de y (0 , -3 )
GRAFICA
EJEMPLO 2
4)( 2 xxf
02
0
2
a
bx
Parámetros a = -1 , b = 0, c = 4
Dominio Números reales
Concavidad a = -1 Cóncava hacia abajo
Vértice ( 0, 4 ) Punto máximo
4)0(
)2(
fya
bfy
EJEMPLO 2 (continuación)
4)( 2 xxf
042 x
a
acbbx
2
42
Interceptos en x f(x) = 0
Esta ecuación cuadrática se puede resolver mediante uno de los siguientes métodos: despejar utilizando radicales o la formula cuadrática.
Fórmula cuadrática
22
4
22
4
2
4
2
16
)1(2
)4)(1(400 2
x
x
x
Interceptos en x ( -2, 0 ) y ( 2, 0 )
EJEMPLO 2 (continuación)
4)( 2 xxf
EJEMPLO 3
673)( 2 xxxf
17.16
7
)3(2
7
2
a
bx
Parámetros a = 3 , b = 7, c = - 6
Dominio Números reales
Concavidad a = 3 Cóncava hacia arriba
Vértice ( -1.17, -10.1 ) Punto mínimo
1.10
619.811.4
6)17.1(7)17.1(3)17.1(
)2(
2
fy
a
bfy
EJEMPLO 3 (continuación)
a
acbbx
2
42
36
18
6
117
67.3
2
6
4
6
1176
117
6
1217
6
72497
)3(2
)6)(3(477 2
x
x
x
Eje de simetría x = 1.17
Interceptos en el eje de x ( 0.67 , 0 ) y ( - 3 , 0 )
673)( 2 xxxf
EJEMPLO 3 (continuación)
673)( 2 xxxf
Práctica
9124)( 2 xxxg
Parámetros
Dominio
Concavidad
Vértice
Simetria
Intercepto(s) en x
Intercepto en y
GRAFICA
Práctica
9124)( 2 xxxg
Parámetros a = 4 , b = 12, c = 9
Dominio Números realesConcavidad a = 4 Cóncava hacia arribaVértice ( -1.5,-14.9 ) Punto mínimo
5.12
3
8
12
)4(2
12
x
)9.14,5.1(
9.1499.149
9)24.1(12)5.1(4)5.1( 2
g
Práctica – continuación
9124)( 2 xxxg
Aplicaciones
Caida libre de un objeto El modelo matemático para describir la posición de
un objeto en caída libre es dado por
002
2
1)( stvatts
Donde a , es la constante de aceleración debido a la gravedad, velocidad inicial y la posición inicial.
0v 0s
La constante de aceleracion es dada por 228.932seg
mgo
seg
piesg
Un objeto es lanzado hacia arriba desde un edificio, a una altura de 100 pies a una velocidad inicial de 5 millas por hora.
¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el objeto?
¿Cuánto tiempo le toma al objeto tocar el piso?