introducción a los ángulos preparado por: prof. evelyn dávila
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Introducción a los ángulos
Preparado por:
Prof. Evelyn Dávila
Un ángulo consta de dos rayos que tienen el mismo punto inicial.
Al punto inicial que comparten se le llama vértice.
VéRTICE
Un ángulo puede ser positivo o negativo según la dirección en que da origen el ángulo
Lado inicial
Lado terminal
ANGULO NEGATIVO
Lado inicial
Lado terminal
ANGULO POSITIVO
Medimos los ángulos en grados o en radianes
¿Cuánto mide el ángulo si sabemos que una revolución es dada por 3600 ?
Medimos los ángulos en grados o en radianes
¿Cuánto mide el ángulo si sabemos que una revolución es dada por 3600 ?
Observa que es una octava parte del circulo por tanto
=360/8 = 45 grados
Si dividimos el circulo en 360 partes iguales cada una de esas partes equivale a un grado.
La medida de
ese ángulo es
un grado
ANGULO CENTRAL
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro de un
circulo con radio r.
•Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide 3600
•La medida del ángulo central que encierra a un semicírculo es 180, es decir, 360/2 = 180
La circunferencia completa de un círculo mide 3600.
•En general, un ángulo central
que corresponde a una parte del
círculo medirá 360/n , donde n
representa la cantidad de partes
iguales en que se divide el
círculo.
Una revolución corresponde a 360
¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones?
360 + 360 = 2(360) = 720
¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo?
No hay límite podemos recorres infinita cantidad de revoluciones.
En general, la medida de un ángulo central que ha completado n
revoluciones se calcula:
360n
Radianes
Un ángulo central mide un radián si este ángulointercepta un arco con longitud igual a la longitud del radio del circulo (r).
r
s
Arco formado por el ángulo
de longitud s
Analiza la siguiente fórmula:
La longitud del arco formado por el ángulo es dada por el producto del radio del circulo y la medida de en radianes, es decir
S = r por lo tanto
= s/r
Si s = r , tal como establecimos en la definición de radianes, entonces
= 1 radian
En conclusión cuando s = r , mide un radián
•Un ángulo central que encierra a toda la circunferencia del círculo mide 2
•La medida del ángulo central que
encierra a un semicírculo es , es decir, 2/2 =
La circunferencia completa de un círculo mide 2
•En general, un ángulo central que
corresponde a una parte del círculo
medirá 2/n , donde n representa la
cantidad de partes iguales en que se
divide el círculo.
EJEMPLO
Un ángulo central que corresponde a una cuarta parte de un círculo mide
2/4 = /2
Una revolución corresponde a 2
¿Cuánto mide un ángulo que ha recorrido dos revoluciones?
2+ 2 = 2(2) = 4
¿Cuántas revoluciones máximo puede recorrer un ángulo?
No hay límite podemos recorrer infinita cantidad de revoluciones.
En general, la medida de un ángulo central que ha completado n
revoluciones se calcula:
2n
Medida de los ángulos cuadrantales en GRADOS y RADIANES
2900
0180
3
22700
23600
Expresar la medida de un ángulo dado en grados en
RADIANES
)180
)((
:dimPr
0
gradosenángulodelmedida
ientooce
EJEMPLO
618030300
Cambiar la medida de un ángulo dado en RADIANES a GRADOS
0180)(
:dimPr
radianesenángulodelmedida
ientooce
EJEMPLO
00
144180
5
4
5
4
Práctica
ANGULOS ENGRADOS
ANGULOS ENRADIANES
0
/6
60
/4
120
ANGULOS COTERMINALES
Angulos coterminales son ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.
EJEMPLOLado inicial
Lado terminal
Observa que = +360
Si = 40 grados halla dos ángulos coterminales a éste.
( = +360 )
Un ángulo coterminal añadiendo una revolución40 + 360= 400 grados
Otro ángulo coterminal lo obtenemos al dar dos revoluciones por tanto la fórmula es:40 + 2(360) = 760 grados
¿Cuántos ángulos coterminales a puedo encontrar?
Ejemplo - Angulos coterminales
FORMULA PARA HALLAR ANGULOS COTERMINALES
DE UN ANGULO DADO
Observa que obtenemos un ángulo coterminal completando revoluciones completas.
scompletadaesrevolucion
decantidadlaesndonde
n
gradosenMedida
)360( 0
Fórmula para obtener un ángulo
coterminal a
scompletadaesrevolucion
decantidadlaesndonde
n
radianesenMedida
)2(