iii-3. integral definida - Área entre curvas

Cálculo del área entre dos funciones en un intervalo dado

],[ ba

Prof. León Hurtado

a

Prof. León Hurtado

x

y)(xf

)(xg

],0[ a

Prof. León Hurtado

a x

y

],0[ a

a

f dxxfA0

)(

Af

)(xf

Prof. León Hurtado

a x

y

2227)( xxg

],0[ a

a

g dxxgA0

)(Ag

Prof. León Hurtado

a x

y)(xf

],0[ a

fg AAA

)(xgAf

Ag aa

dxxfdxxgA00

)()(

Prof. León Hurtado

],0[ a

fg AAA

a x

y)(xf

)(xgAf

Ag

aa

dxxfdxxgA00

)()(

a

dxxfxgA0

)]()([

Prof. León Hurtado

a x

y

2)( xxf

2227)( xxg ],0[ a

a

dxxxA0

22 )]()227[(

a

dxxfxgA0

)]()([

a

dxxA0

2 )327(

aa

dxxdxA0

2

0327

aa xxA

0

3

0 3327

Sustituyendo a g(x) y f(x) por las funciones específicas

Agrupamos los términos semejantes y simplificamos

Aplicando las Propiedades de la suma (5) y del Coeficiente (4)

Integramos con las Reglas de la Constante y Potencia

Prof. León Hurtado

)0()0(27 33 aaA

aa

xxA0

3

0

27

Evaluando en los límites de integración

Simplificamos

Solo nos queda determinar el valor de la constante a

327 aaA

¿Qué sucede con las funciones en el valor x = a ?

a x

y

2)( xxf

2227)( xxg ],0[ a

Prof. León Hurtado

2)( aaf Así que evaluamos las funciones en a

las igualamos y despejamos el valor de a

En éste punto a las dos curvas se cortan, es decir valen los mismo

¿Qué sucede con las funciones en el valor x = a ?

x

y

2)( xxf

2227)( xxg ],0[ a 39

9327

273

227

)()(

2

2

22

a

a

a

aa

agaf

2227)( aag

a

Prof. León Hurtado

Ahora sustituimos el valor de a en la ecuación obtenida para el Área

Finalmente damos nuestra Respuesta:

El área entre las curvas es x2 y 27 – x2 es de 54 unidades cuadradas

3)3()3(27 A

x

y

2)( xxf

2227)( xxg ],0[ aa

54

2781

A

A

y resolvemos

Prof. León Hurtado

x

y

2218)( xxf

9)( 2 xxg

a

Así que evaluamos las funciones en a

Determinemos el valor de a, o sea, la coordenada x del punto donde las gráficas de las dos funciones se cortan

39

327

32918

9218

)()(

2

222

22

a

a

aaa

aa

agaf

]3,0[Nuestro intervalo de Integración es:

Prof. León Hurtado

Para obtener el área bajo la curva f(x), desde el origen hasta 3,

simplemente calculamos la Integral:

3

0

23

0)218()( dxadxxfAf

]3,0[Nuestro intervalo de Integración es:

2218)( xxf

3

x

y

Prof. León Hurtado

x

9)( 2 xxg

Ahora, sí recordamos de clases anteriores, sí el área se encuentra por debajo del eje de las x debemos cambiarle el signo. Así que el área será:

Para obtener el área “bajo la curva” g(x) desde el origen hasta 3

Calculamos la siguiente integral:

dxxdxxg )9()(3

0

23

0

y

3

]3,0[Nuestro intervalo de Integración es:

dxxdxxgAg )9()(3

0

23

0

Prof. León Hurtado

x

y

2218)( xxf

9)( 2 xxg

3

Eliminamos el corchete y agrupamos:

Para determinar el área entre las curvas solamente debemos sumar las áreas

“bajo la curva” descritas:

gf AAA Reemplazando por las integrales escritas:

3

0

3

0)()( dxxgdxxfA

3

0)()( dxxgxfA

Como podemos apreciar, llegamos a la misma fórmula que en el caso anterior.

¿Qué podemos sacar en conclusión?

Prof. León Hurtado

x

y

2218)( xxf

9)( 2 xxg

3

En conclusión, cuando queremos obtener el

área entre dos curvas, simplemente

Hallamos la Integral de la diferencia (resta) de la

función que representa la curva superior menos la que

representa a la curva inferior

3

0)()( dxxgxfA

Prof. León Hurtado

x

y

2218)( xxf

9)( 2 xxg

3

Agrupando términos semejantes y simplificando:

Reemplazando por las funciones dadas:

3

0

22 )9()218( dxxxA

3

0)()( dxxgxfA

Calculamos la integral y evaluamos

3

0

2 )327( dxxA

542781

])0()0(27[])3()3(27[

)27(

33

3

0

3

A

xxA

)()()()( aFbFxFdxxfAb

a

b

a

],[ ba

Prof. León Hurtado

Área bajo la curva

Área entre dos curvas

Calculamos la Integral de la diferencia (resta) de la función de la curva superior menos la de la curva inferior en el intervalo dado

b

adxxgxfA )()(

x

y)(xf

)(xga2 a3 a4a1 a5 a6 a7