funciones parte 1

Funciones y sus Gráficas

Profesor Henry Castillo

Lección 1

Una relación es la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS de los elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos del segundo conjunto. Considere los siguientes ejemplos: En un almacén, a cada artículo le

corresponde un precio. A cada nombre del directorio telefónico le

corresponde uno o varios números. A cada estudiante le corresponde un

promedio de calificaciones.

Nota: Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones

Profesor Henry Castillo

Concepto de Relación

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva.

Una función es una relación entre dos conjuntos tales que existe exactamente un elemento del segundo conjunto asociado con cada elemento del primero. Al primer conjunto de elementos se le llama dominio y al segundo rango o recorrido.

Profesor Henry Castillo

Concepto de Función

Profesor Henry Castillo

Concepto de Función

Podemos comparar una función f con una máquina,

x

f (x)

x

x

f a la cual se le introduce un valor xy después de una serie de cálculos, esta devuelve el valor de f (x)

Esta representado por todos los posibles valores que puede tener la variable independiente (x).

Y lo denotaremos por

Profesor Henry Castillo

Dominio y Recorrido

Dominio

Dom f

Profesor Henry Castillo

Dominio y Recorrido

Dominio

¿Cuál es el dominio de la relación?

El elemento 3 no es parte del dominio pues no está asociado a ningún elemento, es decir, no pertenece a la relación.

0,1,2DomR

También se le conoce como el Codominio de f y representa todos los posibles valores que puede adoptar la variable dependiente (y) dado su correspondiente valor de (x).

Lo denotaremos por

Profesor Henry Castillo

Dominio y Recorrido

Recorrido

Rec f

Profesor Henry Castillo

Dominio y Recorrido

Recorrido

¿Cuál es el recorrido de la relación?

El elemento “c” no es parte del recorrido pues no tiene asociado ningún elemento, es decir, no pertenece a la relación.

Re , ,cR a b d

Veamos el siguiente video de lo que se entiende por una función:

Profesor Henry Castillo

Dominio y Recorrido

Profesor Henry Castillo

Evaluación de una Función

Ejemplo 1:Sea f una función, definida en los reales como:

f(x) = 2x + 3.

Determinar:

a) f (1) =

fIR IR

1

37

12…x

5

9

17

27…

f(x)

2·1 + 3 = 5

b) f (3) = 2·3 + 3 = 9

c) f (7) = 2·7 + 3 = 17

d) f (12) = 2·12 + 3

= 24 + 3

= 27

Profesor Henry Castillo

Evaluación de una Función

e) Para f(x) = 2x + 3, determinar

2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)

2(-1) + 3

f (4) - 3·f (0)

f (-1)

=

8 + 3 – 3(3)

1=

2=

= 11 – 9

Profesor Henry Castillo

Representación Gráfica

Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.

f(x) = 2x + 3 es “función afín”o bien “función lineal” , Dom(f)=IR y Rec(f)=IR

Profesor Henry Castillo

Evaluación de una Función

Ejemplo 2:

f(x)= x x – 3 ¿Es siempre posible calcular este cociente?

Respuesta:

Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3.

Luego, Dom(f) = IR – {3} IR IR

f

2

4

6

x

3

-2

4

2

…

f(x)Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.

y= x x – 3

y(x – 3)=x

yx – 3y=x

yx – x=3yx(y – 1)=3y

x=3y y – 1

Luego, Rec(f) = IR – {1}

Profesor Henry Castillo

Representación Gráfica

Representación gráfica de:

f(x) = x / (x – 3) es “Es una Función Racional” , Dom(f) = IR- {3} y Rec(f) = IR-{-1}

f(x)= x x – 3

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Lineal

Función Cuadrática

Función Constante

Función Idéntica

f x mx b

2f x ax bx c

Funciones Polinomiales

0)( axf

xxf )(

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

Función Racional

11 1 0

11 1 0

n nn nm m

m m

p x a x a x a x af x

q x b x b x b x b

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Raíz donde 0)( xpn xpxf )()(

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

Función Valor Absoluto f x x 0

0 0

0

x si x

x si x

x si x

FUNCIONES ALGEBRAICAS

donde

Función por Intervalos o a Trozos

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Lineal

Función Cuadrática

Función Idéntica

f x mx b

2f x ax bx c

Funciones Polinomiales

0)( axf

xxf )(

Función Constante

Función Constante

-1

Definición: es una recta paralela al eje x.

f(x)= a  

Dom f= IR

Rec f={a}

Obs. No es biyectiva, no posee inversa

Gráfico:

Profesor Henry Castillo

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Constante

Función Cuadrática

Función Idéntica

f x mx b

2f x ax bx c

Funciones Polinomiales

0)( axf

xxf )(

Función Lineal

Para analizar el dominio de f(x) = –3x + 4Consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor real.Entonces:

Df = R o bien Df = ( - ; )

De la misma manera, los valores que tome y para los diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta.

Entonces:

Rf = R Rf = ( - ; )

Trazamos un par de ejes coordenadosy confeccionamos una tabla de valores

x - 3 x + 4 Y

1 - 3 · 1 + 4 1 -1 - 3 · (-1) + 4 7 2 - 3 · 2 + 4 - 2

Es una función que va de Reales en Reales

Sea f(x) = –3x + 4, la función a trabajar:

Profesor Henry Castillo

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Constante

Función Cuadrática

Función Lineal f x mx b

2f x ax bx c

Funciones Polinomiales

0)( axf

xxf )(Función Idéntica

Función Identidad:

f(x)= x m =1

Definición: La preimagen es igual a su imagen.

-1

Gráfico:

Dom f= IR

Rec f=IR

Obs. Es equidistante de los ejes coordenados.

- Es Biyectiva- Posee inversa

Profesor Henry Castillo

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Constante

Función Idéntica

Función Lineal f x mx b

2f x ax bx c

Funciones Polinomiales

0)( axf

xxf )(

Función Cuadrática

Analicemos la Función Cuadrática f(x) = -x2 + 4x - 3

Como la variable inpendiente x puede tomar cualquier valor real.Entonces:

Df = R o bien: Dm = ( - ; )

Trazamos un par de ejes coordenados y para confeccionar la tabla de valores buscamos los valores de x que hacen 0 la función (raíces)

x - x2 + 4x - 3 Y

1 - 12 + 4 · 1 - 3 0 3 - 32 + 4 · 3 - 3 0 2 - 22 + 4 · 2 - 3 1

Antes de definir el Codominio, vamos a representar gráficamente la parábola.

)1(2

)3)(1(444 2

2

12164

3

1

2

1

x

x

Con estos valores empezamos la representación gráfica.

El vértice de la parábola estará en un punto equidistante, por lo que probaremos para x=2

Tomamos valores a la izquierda y a la derecha de los ya hallados.

0 - 02 + 4 · 0 - 3 - 3 4 - 42 + 4 · 4 - 3 - 3 -1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 -

8 5 - 52 + 4 · 5 - 3 - 8

y finalmente trazamos la curva uniendo todos los puntos. Profesor Henry Castillo

f(x) = – x2 + 4 x – 3 tiene la siguiente gráfica:

Donde el Dominio es el Conjunto de los Números Reales.Df = R

Al observar la gráfica, vemos que la función no tiene valores de y mayores que 1Por lo tanto el Codominio o Recorrido queda definido de la siguiente manera:

Rf = { f(x) R / f(x) 1 }

Profesor Henry Castillo

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

Función Racional

11 1 0

11 1 0

n nn nm m

m m

p x a x a x a x af x

q x b x b x b x b

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Raíz donde 0)( xpn xpxf )()(

Si f(x) =

En primer lugar reconocemos que x no puede tomar el valor - 3

Luego confeccionamos tabla de valores, para x próximos a –3 por derecha

x y3x

2

- 2 2/(-2+3) 2- 1 2/(-1+3) 1 0 2/(0+3) 2/3

1 2/(1+3) 1/2 2 2/(2+3) 2/5

-2,5 2/(-2,5+3) 4

-2,6 2/(-2,6+3) 5

y estudiamos qué sucede a la izquierda de x= –3

x y3x

2

- 4 2/(-4+3) - 2

- 5 2/(-5+3) - 1- 6 2/(-6+3) -2/3

- 7 2/(-7+3) -1/2- 8 2/(-8+3) - 2/5

-3,5 2/(-3,5+3) - 4

-3,6 2/(-3,6+3) - 5

x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea de la función no puede cortar la línea de trazos punteadaUnimos los puntos situados a la izquierda de x = -3 por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por otro lado

Trazamos una asíntota en x = -3

32x

Profesor Henry Castillo

Trazamos un par de ejes coordenados:En ese caso tendríamos 2 / 0; así

podemos decir que para x = - 3 no existe un valor finito de la función

Rf = {y R / y 0 }, Rf = (-; 0) (0; ), o bien: Rf = R – {0}

Df = { x R / x - 3 } , Df = (-; -3) (-3; ), o bien: Df = R {- 3 } Los valores del eje y que se relacionan con algún valor de x; son todos, menos el 0

Profesor Henry Castillo

Cualquier valor del eje x -3 tiene un correspondiente en el eje y

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

Función Raíz

11 1 0

11 1 0

n nn nm m

m m

p x a x a x a x af x

q x b x b x b x b

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Función Racional

donde 0)( xpn xpxf )()(

Función raíz cuadrada Definición

Es de la forma: f(x) = x , con x ≥ 0

Su representación gráfica:

Dom(f)= IR+ U {0}

Rec(f) = IR+ U {0}

Obs: Esta función podría ser biyectiva, si se redefine el Dominio y el Recorrido

Profesor Henry Castillo

Dom (f)= IR+ U {0}

Observación:

• Cuando se tiene f(x) = – x , se está considerando que

la raíz es negativa, es decir , las imágenes son

menores o iguales a cero. De esta forma, también se

habla de la función raíz, con su rama negativa.

Rec(f)= IR- U {0}

Su representación gráfica:

y

x

Profesor Henry Castillo

1. Determinar el dominio y recorrido de: f(x) = 4+ x +2

Solución:El dominio se obtiene de la desigualdad:

x + 2 ≥ 0

x ≥ -2

Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos

que satisfacen la desigualdad x ≥ -2.

Por lo tanto:

Dom(f)=[-2, +∞)

Ejemplos:

Profesor Henry Castillo

Gráficamente:

El recorrido de la función es:o también: Rec(f) = {y Є IR / y ≥ 4}

Rec(f) = [4, +∞ )

4 2y x

4 2y x 24 2y x

24 2y x

Calculando el Recorrido, tenemos:

Tabla de Evaluación

Profesor Henry Castillo

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

Función Valor Absoluto f x x 0

0 0

0

x si x

x si x

x si x

FUNCIONES ALGEBRAICAS

donde

Función por Intervalos o a Trozos

Función módulo o valor absoluto Definición

Es de la forma: f(x) = x

x =x si x ≥ 0

-x si x < 0

Obs: i) No es biyectiva

ii) No posee inversa

Dom(f)= IR

Rec(f) = IR+ U {0}

Profesor Henry Castillo

La función f se podrá separar o convertir en una función a trozos de la siguiente manera:

0 bien: Rf = [0,+∞)

Gráficof(x) = x

Profesor Henry Castillo

m = 1

Ejemplos: Dada la siguiente función.

1. g(x) = x²+2x- 3

Profesor Henry Castillo

a) Encuentra el dominio y el rango de g. b) Dibuje la gráfica de g.

Solución:Calculamos las raíces de la expresión que está dentro del valor absoluto.Luego: x²+2x- 3 = (x+3)(x-1)

Rg = [0,+∞)

Representación Gráfica++ -

x= -3 y x = 1

Dom(g)= IR

2. f(x) = x - 2

Profesor Henry Castillo

a) Encuentra el dominio y el rango de f. b) Dibuje la gráfica de f.

Representación Gráfica

Dom(f)= IR

Rf = [0,+∞)

Solución:

Profesor Henry Castillo

Clasificación de las Funciones

Función por Intervalos

f x x 0

0 0

0

x si x

x si x

x si x

FUNCIONES ALGEBRAICAS

donde

Función valor absoluto

0x2si1x

0xsi3

0xsi1x

3 Si f(x) =

En consecuencia Df = { x R / x –2 } o bien: Df = [-2 ; )

Con frecuencia podemos confundir esta función (definida por partes) con “tres funciones diferentes”.

Pero se trata de una sola función (ya que como observamos tiene un sólo dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO.

Si x > 0 la función vale x - 1

Si x = 0 la función vale 3

Si x 0 la función vale x3 + 1

La representación gráfica se realiza como para cualquier otra función.

Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de variación se correspondan con los respectivos intervalos del dominio.

Profesor Henry Castillo

Consideremos la siguiente función definida a trozos: En primer lugar

reconocemos que x no puede tomar valores menores que -2.

x y = x - 1 Y

1 1 - 1 0 3 3 – 1 2

Para x > 0 f(x) = x - 1Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0, toma por ejemplo valores como 0,1; 0,01; 0,001, etc.Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a - 1

Debemos entender que si x se acerca a 0 con valores mayores que 0, y se acerca a –1, pero sin ser y = -1

Representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (-1) para valores muy próximos de x = 0 (por derecha ); pero sin ser y = – 1 en x = 0

Unimos con una recta todos los valores hallados por tratarse de una ley de variación lineal y comprobamos que hay “al menos” tres puntos alineados.

En x = 0 la función vale 3

Profesor Henry Castillo

x y = x3 + 1

Y

-1 (-1)3 + 1 0 -2 (-2)3 + 1 - 7

Para x < 0 f(x) = x3 + 1

Si x se acerca mucho a 0, pero sin ser igual a 0, toma por ejemplo valores como -0,1; -0,01; -0,001, etc.Si x fuera igual a 0 entonces y sería igual a 1 (con esta ley de variación)Debemos entender que si x se acerca a 0 con valores menores que 0, y se acerca a 1, pero sin ser y = 1Representamos ese punto con un círculo

que significa que la función toma valores muy próximos a ese valor (1) para valores muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero sin ser y = 1 en x = 0

Unimos los tres puntos hallados con una curva de parábola cúbica solo para valores comprendidos en el intervalo [-2; 0)

Profesor Henry Castillo

El dominio de la función ya fue encontrado [ -2; )Y podemos observar en el gráfico que los valores del eje y que admiten antecedente en los valores del dominio del eje x, van de – 7 a Rf = {f(x) R / f(x) -7 } o bien: Rf = [-7; )

Profesor Henry Castillo

Profesor Henry Castillo

Es hora de descansar ! ! !

Momento propicio para establecer nuevas relaciones . . .

Pero recuerda, puede descansar solamente el que antes trabajó (estudió)

Debe trabajar el hombre para ganarse su pan, pues la miseria en su afán de perseguir de mil modos. Llama a la puerta de todos y entra en la del haragán.

Martín Fierro (José Hernández)