elipse e hiperbola definiciones y...

ELIPSE E HIPERBOLA DEFINICIONES Y EJERCICIOS

Chía, Octubre 22 de 2015 Señores Estudiantes grados Décimos Adjunto encontrarán las definiciones y los ejercicios que deben realizar de los dos temas pendientes para la evaluación general del cuarto periodo, todos los ejercicios deben ser elaborados algunos en clase y los demás en hojas para entregar si hay alguna pregunta o inquietud, se resuelve en clase. A continuación aparece la fecha de entrega para cada curso de acuerdo al horario de clases así: 1001, 1002, 1004, 1006 (Nov-3-15) 1003 (Nov-5-15) Algunos de los datos que aparecen en esta presentación corresponden a imágenes y conceptos de internet, los ejercicios son del libro de Santillana grado 10° Cordialmente,

Rosario Monastoque R Profesora de Matemáticas

Excentricidad: (e) en matemáticas, geometría, astronomía y otras ciencias exactas, es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia.

Valores de la excentricidad en secciones cónicas:

Circunferencia e = 0

Elipse 0 < e < 1

Parábola e = 1

Hipérbola e > 1

3

Una elipse es un lugar geométrico de los puntos (x, y) de un

plano, que tienen la propiedad de que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es

constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB

de la elipse.

ELIPSE

F2 F1

Partes de La elipse

foco foco . .

eje focal

. . vértice vértice

.

centro

V2 V1

v3

v4

.

.

V3v4: eje menor

V1V2 : eje mayor

222 cba

2aPFPF'

Eje mayor = 2a Eje menor = 2b Distancia focal = 2c

PARTES DE LA ELIPSE

6

00 e

ay;

e

ay

Excentricidad

Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x

Latus rectum

a

ba

a

ce

22

a

b22

00 e

ax;

e

ax

Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje y

Se denomina latus Rectum de la Elipse al segmento de recta perpendicular al semieje mayor, pasando por uno de los focos y cuyos extremos están sobre la elipse. Analíticamente el Latus Rectum es:

F2 F1

Elipse con centro (0,0) y eje

mayor sobre x

. . . . . V2 V1

v4

v3

.

.

X2 Y2 a2 b2 ---- + ---- = 1

X

Y

Elipse con centro (0,0) y eje

mayor sobre y

. . . V2 V1

v4

v3

.

.

X2 Y2 b2 a2 ---- + ---- = 1

X

Y

.

F1

F2

Elipse con eje focal paralelo al eje x

.

x

y

. . F2 F1

(h,k)

(x - h)2 (y - k)2 a2 b2 ____ ____ + = 1

V2 V1

V3

V4

Elipses con eje focal paralelo al eje y

(h,k) .

x

y

.

. F1

F2

(x - h)2 (y - k)2 b2 a2 ____ ____ + = 1

V2

V1

V3 V4

ELIPSES EJERCICIOS

Si las coordenadas de los vértices de una elipse son V (3,0), V(-3,0), V(0,5), V(0,-5) graficar y determinar: 1.Centro 2.Longitud del semieje mayor 3.Longitud del semieje menor 4.Coordenadas del foco

Luego de dibujar la elipse , ubicamos el centro que corresponde al punto medio entre los vértices mayores y menores. Por lo tanto el centro es (0,0) La longitud del semieje mayor se determina por la longitud del segmento que une el centro con un vértice mayor, por lo tanto el semieje mayor mide a= 5 La longitud del semieje menor se determina por la longitud del segmento que une el centro con un vértice menor por lo tanto el semieje menor mide b= 3

Los focos deben ubicarse sobre el eje mayor en este caso sobre el eje y entre el centro con un vértice menor. Como a mide 5 y b mide 3 , entonces calculamos el valor de c mediante el teorema de Pitágoras

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 Luego el resultado de c es 4 La coordenadas del foco son F(0,4) y F(0,-4)

𝑥2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 = 1

Ecuación Canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje x y centro (0,0)

Ecuación Canónica de la elipse con eje mayor sobre el eje y y centro (0,0)

𝑥2

𝑏2 + 𝑦2

𝑎2 = 1

Ecuación Canónica de la elipse con centro en un punto (h,k) y eje mayor paralelo al eje x es:

(𝑥;ℎ)2

𝑎2 + (𝑦;𝑘)2

𝑏2 = 1

Ecuación Canónica de la elipse con centro en un punto (h,k) y eje mayor paralelo al eje y es:

(𝑥;ℎ)2

𝑏2 + (𝑦;𝑘)2

𝑎2 = 1

Ecuación General de la elipse es:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + Cx + Dy + E = 0 para A, B, C, D, E ∈ R

Ejemplo hallar las coordenadas del centro y de los focos de la elipse cuya ecuación general es: 9𝑥2 + 4𝑦2 − 54x − 40y + 145 = 0

PROCESO: Expresamos la ecuación general en forma canónica organizando los trinomios y completando cuadrado para factorizar

9(𝑥2 − 6x+ ) + 4(𝑦2 − 10y+ ) = −145 9(𝑥2 − 6x + 9) + 4(𝑦2 − 10y + 25 = −145 + 81 + 100

9(𝑥2 − 6x+ ) + 4(𝑦2 − 10y+ ) = −145 9(𝑥2 − 6x + 9) + 4(𝑦2 − 10y + 25 = −145 + 81 + 100 9(𝑥 − 3)2 + 4(𝑦 − 5)2 = 36 dividimos entre 36

9(𝑥 − 3)2

36+

4(𝑦 − 5)2

36 =

36

36

(𝑥;3)2

4 +

(𝑦;5)2

9= 1

Las coordenadas del centro son (3,5)

Como 𝑐2 = 𝑏2 − 𝑐2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐2 = 5, 𝑐 = 5

Las coordenadas del foco son: F(3, 5+ 5) y F(3, 5- 5) Dibujar en el plano la elipse

Expresar en forma canónica cada una de las ecuaciones generales dibujando y hallando las coordenadas del centro y de los focos de la elipse cuya ecuación general es:

1. 24𝑦2 + 2𝑥2 + 48y + 4x − 22 = 0 2. 2𝑦2 + 11𝑥2 + 36y + 44x + 184 = 0 3. 26𝑦2 + 24𝑥2 − 312y + 336x + 1488 = 0 4. 22𝑦2 + 32𝑥2 − 308y − 512x + 2422 = 0 5. 30𝑦2 + 32𝑥2 − 120y − 64x − 808 = 0 6. 12𝑦2 + 16𝑥2 + 72y + 128x + 172 = 0 7. 5𝑦2 + 36𝑥2 − 60y + 216x + 324 = 0 8. 11𝑦2 + 14𝑥2 − 22y − 252x + 991 = 0 9. 14𝑦2 + 16𝑥2 + 112y − 160x + 400 = 0 10.10𝑦2 + 17𝑥2 + 80y + 102x + 143 = 0

1.(𝑥:9)2

4 +

(𝑦:1)2

20= 1

2.(𝑥;7)2

10 +

(𝑦;5)2

9= 1

3.(𝑥;3)2

4 +

(𝑦:6)2

14= 1

4.(𝑥:4)2

6 +

(𝑦:7)2

5= 1

5.(𝑥;1)2

10 +

(𝑦;5)2

12= 1

6.(𝑦;8)2

12 +

(𝑥;9)2

14= 1

7.(𝑥;9)2

8 +

𝑦2

10= 1

8.𝑥2

13 +

(𝑦:8)2

7= 1

9.𝑥2

169 +

𝑦2

225= 1

10.𝑥2

144 +

𝑦2

81= 1

Dibujar y determinar, el centro, los vértices, los focos de cada una de las siguientes elipses:

Para los siguientes ejercicios dibujar en el cuaderno cada elipse y encontrar los, vértices, los focos, la ecuación canónica de cada una

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Hipérbola

32

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos (x , y) de un

plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias

a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2 ), es constante e igual a

la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

aPFPF 221

V’ V F´ F

B

B´

oFocos: F y F´ oVértices: V y V´

oEje transverso: VV´ oCentro: C oEje conjugado: BB´

oLados Rectos:

LR y L´R´.

C

oAsíntotas

Partes de la Hipérbola

34

C: punto central de la hipérbola donde se cruzan las asíntotas. Eje transversal: línea que une los puntos focales (F1 y F2).

a : distancia del vértice al centro sobre el

eje transversal. Eje conjugado: línea perpendicular al eje transversal de distancia 2b.

b: punto de corte del eje conjugado con la

circunferencia de centro a y radio c.

Directrices, D1 y D2 : líneas paralelas al eje conjugado. Latus rectum: cuerda que pasa por el foco en forma paralela a la directriz.

222 cba

Hipérbola

35

aPFPF 221 Por definición

aycxycx 200 2222 )()(

Hipérbola - Demostración

36

1

020

200

2

2

2

2

22

22222

222

22222222

222

2222

2222

b

y

a

x

ba

baayxb

bac

acayaxac

ycxaacx

ycxaycx

aycxycx

)(

)(

)()(

)()(

Dividiendo por

Haciendo que

Elevando al cuadrado y reduciendo términos

Elevando al cuadrado y simplificando

aPFPF 221

222 cba

V’(−a, 0) V(a, 0) F´(−c, 0) F(c, 0)

B(0, b)

B´(0, −b)

HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE X

Ecuación Canónica de la Hipérbola

con centro (0,0) y focos en el eje X

38

12

2

2

2

b

y

a

x

122 ByAx

Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordenadas

• Ecuación: ,

• Centro: C(0, 0)

• Coordenadas de sus vértices: V(a, 0) y V´(-a, 0)

• Coordenadas de los extremos del eje conjugado: B(0, b) y B´(0, -b)

• Coordenadas de sus focos: F(c, 0) y F´(-c, 0)

• Longitud del eje transverso: VV´= 2a

• Longitud del eje conjugado: BB´=2b

• Longitud de cada lado recto:

• Excentricidad:

• Asíntotas:

V’(0, −a)

V(0, a)

F´(0, −c)

F(0, c)

B(b, 0) B´(−b, 0)

HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE Y

• Ecuación: ,

• Centro: C(0, 0)

• Coordenadas de sus vértices: V(0, a) y V´(0, -a)

• Coordenadas de los extremos del eje conjugado: B(b, 0) y B´(-b, 0)

• Coordenadas de sus focos: F(0, c) y F´(0, -c)

• Longitud del eje transverso: VV´= 2a

• Longitud del eje conjugado: BB´=2b

• Longitud de cada lado recto:

• Excentricidad:

• Asíntotas:

Ecuación Canónica de la Hipérbola

con centro (0,0) y focos en el eje Y

42

12

2

2

2

b

x

a

y

122 ByAx

Ecuación general de una hipérbola con centro en el origen y focos sobre los ejes de coordenadas

Hipérbola

43

hxb

akyhx

a

bky ;

Ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) para cuando el eje transversal es el eje x

y cuando el eje transversal es el eje y

Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y

xb

ayx

a

by ;

Hipérbola

44

xb

ayx

a

by ;

Excentricidad

Ecuaciones de las directrices para cuando los focos están sobre el eje x y cuando están sobre el eje y

Latus rectum

Ecuaciones de las asíntotas para cuando el eje transversal es el eje x y cuando el eje transversal es el eje y

a

ce

a

b 22

e

ay

e

ax ;

Consideremos el centro de la hipérbola el par ordenado C(h,k)

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Ecuación General de la Hipérbola

022 FDyCxByAx

Ecuación Canónica de la Hipérbola

con centro (h,k) y eje focal paralelo al eje X

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky

Ecuación General de la Hipérbola

022 FDyCxBxAy

Ecuación Canónica de la Hipérbola con centro (h,k) y eje focal paralelo al eje Y

Ecuación Canónica de la Hipérbola

con centro (h,k)

47

Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje x

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky

Si el centro de la hipérbola tiene coordenadas (h,k) y eje transversal paralelo al eje y

Ecuación general de una hipérbola con centro en las coordenadas (h,k) y ejes paralelos a los de las coordenadas x y y, siendo A y B del mismo signo

022 FEyDxByAx

1.(𝑦;3)2

49 -

(𝑥:1)2

16= 1

2.(𝑥;1)2

36 −

(𝑦:2)2

25= 1

3.(𝑥;6)2

4 −

(𝑦:7)2

36= 1

4.(𝑦:2)2

30 -

(𝑥;1)2

8= 1

5.(𝑥;9)2

24 -

(𝑦:6)2

26= 1

6.(𝑦;2)2

32 -

(𝑥;1)2

10= 1

7.(𝑥;2)2

19 -

𝑦2

12= 1

8.(𝑦;7)2

10 -

(𝑥:8)2

42= 1

9.𝑥2

16 -

𝑦2

9= 1

10.𝑦2

16 -

𝑥2

9= 1

Dibujar y determinar, el centro, los vértices, los focos de cada una de las siguientes elipses: