elipse
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Elipse
• La elipse, se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice del cono y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono.
Vértice
Eje
Plano
Elipse Generatriz
La Elipse como lugar Geométrico
• Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Elementos de la Elipse
• En toda elipse convine considerar:
F y F´: Son los puntos fijos llamados focos.
2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos.
P: Cualquier punto de la elipse.
PF y PF´: Son los radio vectores de la elipse.
2a: Es la suma de los radio vectores.
B
B´
A A´
F F´
P
2a
2c
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF´.
C: Es el centro de la Elipse.
B y B’ A y A’ : Son los vértices de la elipse.
AA’: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2a.
BB’: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b.
Elementos de la Elipse
B
B´
A A´
F F´
P
2a
2c
C
2b
Ecuación Analítica de la Elipse
• Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0).
• Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y).
• En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x.
• Entonces: PF + PF' = 2a.
• Aplicando Pitágoras tenemos que:
•A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que:
a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2
•Piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c •Reemplazando en la ecuación tenemos que:
b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0 b2x2 + a2y2 = a2b2
•Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:
• Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
• Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0 • Si hacemos: A = b2 B = a2 C = – 2pb2 D = – 2qa2 E = p2b2 + q2a2 – a2b2
• Tendremos la ecuación: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no necesitan ser iguales.
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
Ejemplo
• Esbócese la elipse 9 + 25 = 225.
Al dividir entre 225 se obtiene:
Como el denominador de x2 es mayor que y2, el eje
mayor esta a lo largo de el eje x.
Además a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por consiguiente los vértices están en ( ±5, 0), los extremos del eje menor en ( 0, ±3) y los focos en ( ±4, 0).
1925
22
yx
2x
2x 2y
Caso particular de la elipse
1
44
22
yx
2
4
4
2
22
r
r
yx
)0,0cos(
04422
fo
cba
No hay eje mayor, ni eje menor porque son iguales
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