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Capítulo 6A.

AceleraciónPRESENTACIÓN POWERPOINT DE

PAUL E. TIPPENS, PROFESOR DE FÍSICA

SOUTHERN POLYTECHNIC STATE UNIVERSITY

© 2007

El cheetah (guepardo): Un gato diseñado para correr. Su

fortaleza y agilidad le permiten sostener una rapidez tope de

más de 100 km/h. Tales rapideces sólo se pueden mantener

durante unos diez segundos.Foto © Vol. 44 Photo Disk/Getty

Aceleración uniforme en una

dirección: El movimiento es a lo largo de una línea

recta (horizontal, vertical o inclinado).

Los cambios en el movimiento resultan de una fuerza CONSTANTE que produce aceleración uniforme.

La causa del movimiento se discutirá más tarde. Aquí sólo se tratan los cambios.

El objeto en movimiento se trata como si fuese una partícula puntual.

Distancia y desplazamiento

Distancia es la longitud de la trayectoria real que sigue el objeto. Considere el viaje del punto A al punto B en el siguiente diagrama:

A

Bs = 20 m

La distancia s es una

cantidad escalar (sin

dirección):

Sólo contiene magnitud

y consta de un número

y una unidad.

(20 m, 40 mi/h, 10 gal)

Distancia y desplazamiento

Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección específica.

Una cantidad vectorial:

Contiene magnitud Y dirección, un

número, unidad y ángulo.

(12 m, 300; 8 km/h, N)

A

BD = 12 m, 20o

q

Desplazamiento =Δx = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖

Distancia y desplazamiento

Para movimiento a lo largo de los ejes x o y, el desplazamiento se determina por la coordenada x o y de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que viaja 8 m al E, luego 12 m al O.

El desplazamiento es:Δx = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 8 – ( - 4)

¿Cuál es la

distancia

recorrida?

20 m !!12 m,O

D

D = 4 m, Oeste

x8 m,E

x = +8x = -4

Los signos del desplazamiento

El desplazamiento es positivo (+) o

negativo (-) con base en la UBICACIÓN.

2 m

-1 m

-2 m

El desplazamiento es la

coordenada y. Si el movimiento

es arriba o abajo, + o -, se basa

en la UBICACIÓN.

Ejemplos:

¡La dirección del movimiento no importa!

Definición de rapidez

Rapidez es la distancia recorrida por

unidad de tiempo (una cantidad escalar).

v = = s

t

20 m

4 s

v = 5 m/s

¡No depende de la

dirección!

A

Bs = 20 m

Tiempo t = 4 s

Definición de velocidad

Velocidad es el desplazamiento por unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.)

v = 3 m/s, 200 N del E

¡Requiere

dirección!

A

Bs = 20 m

Tiempo t = 4 s

D=12 m

20o

v=𝑥𝑓−𝑥𝑖

𝑡=

12𝑚

4𝑠

Ejemplo 1. Una corredora corre 200 m, este, luego cambia

dirección y corre 300 m, oeste. Si todo el viaje tarda 60 s, ¿cuál

es la rapidez promedio y cuál la velocidad promedio?

Recuerde que la rapidez

promedio es una función sólo

de la distancia total y del

tiempo total:

Distancia total: s = 200 m + 300 m = 500 m

Rapidez prom.

8.33 m/s

¡No importa la dirección!

inicio

s1 = 200 ms2 = 300 m

s 60

m 500

tiempo

a totaltrayectoriomedioRapidez pr

Ejemplo 1 (Cont.) Ahora encuentre la velocidad promedio,

que es el desplazamiento neto dividido por el tiempo. En

este caso, importa la dirección.

xo = 0

t = 60 s

x1= +200 mxf = -100 m0fx xv

t

x0 = 0 m; xf = -100 m

100 m 01.67 m/s

60 sv

La dirección del

desplazamiento final es hacia

la izquierda, como se muestra.

Velocidad promedio: V= 1.67777 m/s al oeste

Ejemplo 2. Un paracaidista salta y cae 600 m en

14 s. Después se abre el paracaídas y cae otros

400 m en 150 s. ¿Cuál es la rapidez promedio de

toda la caída?

600 m

400 m

14 s

150 s

A

B

600 m + 400 m

14 s + 150 s

A B

A B

x xv

t t

1000 m

164 sv 6.10 m/sv

La rapidez promedio sólo es función de la

distancia total recorrida y el tiempo total

requerido.

Distancia total/tiempo total:

Ejemplos de rapidez

Luz = 3 x 108 m/s

Órbita

2 x 104 m/s

Jets = 300 m/s Automóvil = 25

m/s

Ejemplos de rapidez

(Cont.)

Corredora = 10

m/s

Caracol = 0.001

m/s

Glaciar = 1 x 10-5

m/s

Rapidez promedio y velocidad

instantánea

La velocidad instantánea es la magnitud y la dirección de la rapidez en un instante particular. (v en el punto C)

La rapidez promedio depende SÓLO de la distancia recorrida y el tiempo requerido.

A

Bs = 20 m

Tiempo t = 4 s

C

Los signos de la velocidad

Elija primero la dirección +;

entonces v es positiva si el

movimiento está en dicha

dirección, y negativa si es

contraria a esa dirección.

La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento.

-+

-+

+

v promedio e instantánea

Dx

Dt

x2

x1

t2t1

2 1

2 1

avg

x x xv

t t t

D D

( 0)inst

xv t

t

D D D

Dx

Dt

Tiemp

o

pendien

te

De

spla

zam

ien

to,

x

Velocidad promedio: Velocidad instantánea:

Definición de aceleración

Una aceleración es el cambio en velocidad por unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.)

Un cambio en velocidad requiere la aplicación de un empuje o jalón (fuerza).

Más adelante se dará un tratamiento formal de fuerza y aceleración.

Por ahora, debe saber que:

• La dirección de la aceleración es la misma que la dirección de la fuerza.

• La aceleración es proporcional a la magnitud de la fuerza.

Jalar el carrito con el doble de fuerza produce el doble

de aceleración y la aceleración está en la dirección de

la fuerza.

Aceleración y fuerza

Fa

2F 2a

Ejemplo de aceleración

El viento cambia la rapidez de un

bote de 2 m/s a 8 m/s en 3 s. Cada

segundo cambia la rapidez por 2

m/s.La fuerza del viento es constante, por tanto la aceleración es constante.

+

vf = +8 m/sv0 = +2 m/s

t = 3 s

Fuerz

a

Los signos de la aceleración

La aceleración es positiva (+) o negativa

(-) con base en la dirección de la fuerza.

Primero elija la

dirección +. Entonces

la aceleración atendrá el mismo signo

que el de la fuerza F,

sin importar la

dirección de la

velocidad.

F

F

+a (-)

a(+)

a promedio e instantánea

Dv

Dt

v

2

v

1

t2t1

Dv

Dt

tiemp

o

pendient

e

2 1

2 1

avg

v v va

t t t

D D

( 0)inst

va t

t

D D D

Ejemplo 3 (sin cambio en dirección): Una fuerza constante

cambia la rapidez de un auto de 8 m/s a 20 m/s en 4 s.

¿Cuál es la aceleración promedio?

Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo.

Paso 2. Elija una dirección positiva (derecha).

Paso 3. Etiquete la información dada con signos + y -

.Paso 4. Indique la dirección de la fuerza F.

+

v1 = +8 m/s

t = 4 s

v2 = +20 m/s

Fuerz

a

Ejemplo 3 (continuación): ¿Cuál es la aceleración

promedio del auto?

Paso 5. Recuerde la definición de

aceleración promedio.

2 1

2 1

avg

v v va

t t t

D D

20 m/s - 8 m/s3 m/s

4 sa

+

v1 = +8 m/s

t = 4 s

v2 = +20 m/s

Fuerz

a

a = + 3 m/s, a la derecha

Signos para el desplazamiento

Tiempo t = 0 en el punto A. ¿Cuáles son los signos (+ o -) del

desplazamiento en B, C y D?

En B, x es positivo, derecha del origen

En C, x es positivo, derecha del origen

En D, x es negativo, izquierda del origen

+ Fuerz

a

vo = +20 m/svf = -5 m/s

E

a = - 5 m/s2

A BC

D

Signos para velocidad

¿Cuáles son los signos (+ o -) de la velocidad en los puntos B,

C y D?

En B, v es cero - no necesita signo.

En C, v es positiva de ida y negativa de vuelta.

En D, v es negativa, va a la izquierda.

+ Fuerz

a

vo = +20 m/svf = -5 m/s

E

a = - 5 m/s2

A B

CD

x = 0

¿Cuáles son los signos (+ o -) de la aceleración en los puntos

B, C y D?

La fuerza es constante y siempre se dirige a la izquierda, de modo que la aceleración no cambia.

En B, C y D, a = -5 m/s, negativa en todos los puntos.

Signos para aceleración

+ Fuerz

a

vo = +20 m/svf = -5 m/s

E

a = - 5 m/s2

A BC

D

Definiciones

Velocidad promedio:

Aceleración promedio:

2 1

2 1

avg

x x xv

t t t

D D

2 1

2 1

avg

v v va

t t t

D D

Velocidad para a

constanteVelocidad promedio: Velocidad promedio:

Al hacer to = 0 y combinar lo que se tiene:

0

0

f

avg

f

x xxv

t t t

D D

0

2

f

avg

v vv

0

02

fv vx x t

Fórmulas basadas en definiciones:

Fórmulas derivadas:

Sólo para aceleración constante

210 0 2

x x v t at 21

0 2fx x v t at

0

02

fv vx x t

0fv v at

2 2

0 02 ( ) fa x x v v

Uso de posición inicial x0 en

problemas.

Si elige el origen de sus ejes

x,y en el punto de la

posición inicial, puede hacer

x0 = 0 y simplificar estas

ecuaciones.

210 0 2

x x v t at

210 2fx x v t at

0

02

fv vx x t

2 2

0 02 ( ) fa x x v v

0fv v at

El término xo es muy útil para

estudiar problemas que

involucran movimiento de dos

cuerpos.

0

0

0

0

Repaso de símbolos y unidades

Desplazamiento (x, xo); metros (m)

Velocidad (v, vo); metros por segundo (m/s)

Aceleración (a); metros por s2 (m/s2)

Tiempo (t); segundos (s)

Repase la convención de signos para

cada símbolo

Los signos del desplazamiento

El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la UBICACIÓN.

El desplazamiento

es la coordenada

y. Si el movimiento

es arriba o abajo, +

o -, se basa en la

UBICACIÓN.

2 m

-1 m

-2 m

Los signos de la velocidad

La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la

dirección de movimiento.

Elija primero la dirección +; entonces

la velocidad v es positiva si el

movimiento está en la dirección +, y

negativa si está contraria a esa

dirección.

+

-

-

+

+

Aceleración producida por una fuerza

La aceleración es (+) o (-) con base en la dirección de la fuerza (NO con base en v).

Se necesita un empujón o

jalón (fuerza) para

cambiar la velocidad, por tanto el signo de a es igual

al signo de F.

F a(-)

F a(+) Después se hablará

más de la relación entre F y a.

Ejemplo 6: Un avión que inicialmente vuela a 400 ft/s aterriza

en la cubierta de un portaaviones y se detiene en una

distancia de 300 ft. ¿Cuál es la aceleración?

300 ft

+400 ft/s

vo

v = 0

+ F

Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo.

Paso 2. Indique la dirección + y la dirección

de F.

X0 = 0

Ejemplo:

(Cont.)

300 ft

+400 ft/s

vo

v = 0

+ F

Paso 3. Mencione lo

conocido; encuentre

información con signos.

Dado: vo = +400 ft/s

v = 0

x = +300 ft

Encontrar: a =

¿?; t = ¿?

Mencione t = ¿?, aun cuando

no se pida el tiempo.

X0 = 0

Paso 4. Seleccione la ecuación que contiene a y

no t.

300 ft

+400 ft/s

vo

v = 0

+ F

x

2a(x -xo) = v2 - vo2

0 0

a = = -vo

2

2x

-(400 ft/s)2

2(300 ft) a = - 267 ft/s2

¿Por qué la aceleración es

negativa?

Continúa . . .

La posición inicial y la velocidad

final son cero.

X0 = 0

¡Porque la fuerza está en una dirección

negativa!

Aceleración debida a la

gravedad

Todo objeto sobre la Tierra experimenta una fuerza común: la fuerza debida a la gravedad.

Esta fuerza siempre se dirige hacia el centro de la Tierra (hacia abajo).

La aceleración debida a la gravedad es relativamente constante cerca de la superficie terrestre. Tierra

Wg

Aceleración gravitacional

En un vacío, todos los objetos caen con la misma aceleración.

Las ecuaciones para aceleración constante se aplican como es usual.

Cerca de la superficie de la Tierra:

a = g = 9.80 m/s2 o 32 ft/s2

Dirigida hacia abajo (por lo general

negativa).

Convención de signos:

Bola que se lanza

verticalmente hacia

arriba

• La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento.

• El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la UBICACIÓN.

Punto de

liberación

ARRIBA = +

Tippens

• La aceleración es (+) o (-) con base en la dirección de la fuerza (peso).

y = 0

y = +

y = +

y = +

y = 0

y = -

Negativa

v = +

v = 0

v = -

v = -

v= -

Negativa

a = -

a = -

a = -

a = -

a = -

Misma estrategia de resolución de problemas, excepto a = g:

Dibuje y etiquete bosquejo del problema.

Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.

Mencione la información dada y establezca la que se tiene que encontrar.

Dado: ____, _____, a = - 9.8 m/s2

Encontrar: ____, _____

Seleccione la ecuación que contenga una y no las otras cantidades desconocidas, y resuelva para la incógnita.

Ejemplo 7: Una bola se lanza verticalmente hacia arriba

con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Cuáles son su

posición y velocidad después de 2 s, 4 s y 7 s?

Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo.

a = g

+

vo = +30 m/s

Paso 2. Indique la dirección + y la

dirección de la fuerza.

Paso 3. Información dada/encontrar.

a = -9.8 ft/s2 t = 2, 4, 7 s

vo = + 30 m/s y = ¿? v = ¿?

Encontrar desplazamiento:

a = g

+

vo = 30 m/s

0

y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2

La sustitución de t = 2, 4 y 7 s

dará los siguientes valores:

y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m

210 0 2

y y v t at

Paso 4. Seleccione ecuación que

contenga y y no v.

Encontrar velocidad:

Paso 5. Encuentre v a partir de

la ecuación que contenga v y

no x:

Sustituya t = 2, 4 y 7 s:

v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s

a = g

+

vo = 30 m/s

0fv v at

230 m/s ( 9.8 m/s )fv t

Ejemplo 7: (Cont.) Ahora encuentre la

altura máxima alcanzada:

El desplazamiento es máximo

cuando la velocidad vf es

cero.a = g

+

vo = +96 ft/s

230 m/s ( 9.8 m/s ) 0fv t

2

30 m/s; 3.06 s

9.8 m/st t

Para encontrar ymax

sustituya t = 3.06 s en la

ecuación general del

desplazamiento.

y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2

Ejemplo 7: (Cont.) Encuentre la altura

máxima:

y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2

a = g

+

vo =+30 m/s

t = 3.06 s

212

(30)(3.06) ( 9.8)(3.06)y

y = 91.8 m - 45.9 m

Al omitir unidades se obtiene:

ymax = 45.9 m

Resumen de fórmulas

Fórmulas derivadas:

Sólo para aceleración constante

210 0 2

x x v t at 21

0 2fx x v t at

0

02

fv vx x t

0fv v at

2 2

0 02 ( ) fa x x v v

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Movimiento de proyectiles

Un proyectil es una partícula que se mueve cerca de la superficie de la

Tierra sólo bajo la influencia de su peso (dirigido hacia abajo).

a = g

W

W

W

Movimiento vertical y horizontal

Simultáneamente suelte

una bola amarilla y

proyecte la bola roja

horizontalmente.

¿Por qué golpean el suelo al mismo

tiempo?

Una vez comienza el movimiento, el peso

hacia abajo es la única fuerza sobre cada

bola.

W W

Considere por separado los

movimientos horizontal y vertical:Compare desplazamientos y velocidades

0 s0 s

1 svox2 s 3 s

1 svy

2 svx

vy

3 svx

vy

La velocidad

horizontal no

cambia.

Velocidad vertical

tal como caída

libre.

vx

Cálculo de desplazamiento para

proyección horizontal:

Para cualquier aceleración

constante:

Desplazamiento

horizontal :oxx v t

Desplazamiento vertical: 212

y gt

212ox v t at

Para el caso especial de proyección horizontal:

0; 0; x y oy ox oa a g v v v

Cálculo de velocidad para

proyección horizontal (Cont.):

Para cualquier aceleración

constante:

Velocidad horizontal:

x oxv v

Velocidad vertical:y ov v gt

f ov v at

Para el caso especial de un proyectil:

0; 0; x y oy ox oa a g v v v

Ejemplo 1: Una bola de béisbol se golpea con una

rapidez horizontal de 25 m/s. ¿Cuál es su posición y

velocidad después de 2 s?

Primero encuentre los desplazamientos horizontal y vertical :

(25 m/s)(2 s)oxx v t

2 2 21 12 2

( 9.8 m/s )(2 s)y gt

x = 50.0 m

y = -19.6 m

25 m/s

x

y-19.6 m

+50 m

Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuáles son los componentes de

la velocidad después de 2 s?

25 m/s

Encuentre la velocidad horizontal y vertical después

de 2 s:(25 m/s)x oxv v

20 ( 9.8 m/s )(2 s)y oyv v at

vx = 25.0 m/s

vy = -19.6 m/s

vx

vy

v0x = 25 m/s

v0y = 0

Considere proyectil a un

ángulo:Una bola roja se proyecta a un ángulo q. Al mismo

tiempo, una bola amarilla se lanza verticalmente

hacia arriba y una bola verde rueda horizontalmente

(sin fricción).

Note los movimientos vertical y horizontal de las

bolas

q

voy

vox

vo

vx = vox = constante

y oyv v at 29.8 m/sa

Cálculos de desplazamiento

para proyección general:Los componentes del desplazamiento en el tiempo t

son: 21

2ox xx v t a t

Para

proyectiles:0; ; 0; x y oy ox oa a g v v v

212oy yy v t a t

Por tanto, los componentes x y y

para proyectiles son:

212

ox

oy

x v t

y v t gt

Cálculos de velocidad para

proyección general:

Los componentes de la velocidad en el tiempo t

son:

x ox xv v a t

Para

proyectiles:0; ; 0; x y oy ox oa a g v v v

y oy yv v a t

Por tanto, los

componentes de

velocidad vx y vy para

proyectiles son:

vx = v0x

vy = v0y + gt