algebra y principios del análisis
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eta_asde la
T
a.n.e. TableEasLa numeración sumena(sexagesimal) ycunei(ormes. el _lgebra(resolución deecuacionesdelOy 20 grado por losbabi lonios).ecimjento decorrespondencia s
al 600 a.n.e. Numeración decimal por yuxtaposici6n ;
nSigloV1ll-pnnci -
50-450 a.n.e. _imogeomet_ade lospit agóncos.Irra -onalidad de; inconmensucablesen-as(consecuenciadel teoremade__oras).
lo Va.n.e.
EO_OROdeCirene, el matemático_cubrimiento delairracionalidad de:, _, ..., _.
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_
Na.n.e. Teo a delos números: ARQUlT_ ham_sibilidad deencon-
Un nÚmerOentefOCOmOmediaOmétnCaentfed05 nÚmerOS en laF_Ón
CeS
TEETETES (hacia4 l O-368 a.n.e.): Teoas números; estudio delosirracionaN
o- HERmoT_Mo decolorón; cont_nuac_ónde1ostrabaJosdeEudoxo y de Teetet
a.n.e. EUCLIDES: Teoa delosnúmerosirra-les.
_QUlMED_: Teo_ade_os números; 'emadenumeracin por clase; des-ubrimiento del c_c. ulo inrlnitesimal.
O< _ _ 3 l 070
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_ _ _ _
ONlO:Nolacióndelosgrandesnú-ros; n=3_l4l6
-I a.n.e. HIPSlC_: _ogresioneseeomélncas_
o _ d.n.e. HlR_CO(l6I -I26 a.n.e.): _trónOmo,izalasFraccionessexagesimalesparar losngulos (estasfraccionescons-ados'',tOS'' Y''SegUndOS''); PreCUrSOf dela
ucción aIa_itm_tic0 (auetendráunagran innuen-n laEdad Media)_ONde_mirna(l20-l80): MposiciónconocimientosmalemáticosútilesalalecturadePlatón. Desarrollo de
I y IVTEN deAJejanda (siglo IV): CálculoFraccionessexagesimales_eIC.J_ _tfaCCiÓn def_CeS CUa-
_SU_la_ HIPat_a(mUe_aen 4l5)_
ma Caam05a'OFVTE (hacia325-QlO): Autor delas
eoremasobrelateoa devy vl losnúmerosy, pnncipalmentet teoa de
acionesdeI Oy 2^ grado (sin dudamicas).
MlNUS deLa_sa: _blicauna_tmé-_na.
-
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ZADOS
eI Siddhanta_ del matemático hindú Brahmagupta,llamado
hind, por Ja'qub ibn Tariq (m. 796) y al-Fazari, delgani (m. 833.), conocido en laEdad Mediacon elEucIide_ por al-Hajjaj.
mad ibn Musaal-Khare2mi (o _-Jwarizmi),deBagdad: in-quetraladela resolución deecuaciones,titulada:educción) , dedondeseonginar lapalabra''átgebra''n ala palabraálgebra.si (m. 883), el Almageslo y los_lemenrospor TabitHazan y Muhammad Banu Musa(reanudacin de
con comentanos_ trabajosoriginalesdeal-Battani (877-tili2adahastaentoncesen tne_nometja, por ladeIatngonometa esFérica; deAbu'l-WaFa, llamado
cionó lat_gonomeljaintroduciendo lasnocionesde
tado deálgebrasobrelasecuacionesdel tipo _n+b_ c.987- l 038), descubrelapruebadel nueve. Al-Biruni
cas. AJ-Hajjami (l044-I l23) abordalasecuacionesnicasyestudialos''postulados'' euclidianos; dio,
m. hacial l23) da ciertassotucionesgeométncasparatascación importantedelas ecuaciones. Al Tusi (l201 -srRctángu Iosy unatraducción delos_(emen-' declina. El soberano UlugBeg daunas Tablass. iU-Kalcadi daun proced_miento deadiciónador FueBahaal .Din muhammad al_Amili 1547_
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_,.,'N'__. ._..:Y..:__''_._o,_S'''MA!'',!.TEMA-- _-_ -c-.'''o''''s.;D_'__E__-_s' rG.Lo,' _' _AL.' s_GL__- xn!._ - --'---"-
ecisione_sob_lateaíade. l_snúmero_
), traduccionesdelos matemáticosárabes(y, atravésde
I l 75, despuésdel 240) introduceen Europaoc-mticos árabes, su sislemadenumeración y sus); estudialaspropiedadesdela seneO,l, l, 2,3, 5,
mlnOS qUeepfeCeen. UOraeVa etltUlO
349), arzobispo deCanterbury, teólogo, seinleresaenlageome-telanoción de loganEmo.introducela' representación deun sistemadecoordenadas
mo alemn, per Feccionalatrieonome_aplanay esféncaOSe_UbtiCafa, haS tal 553, _O_ StUmamente).
nparty sur tasciencedesnombres_ uso delosexponentes,reglarsor delanoción delogajtmo.atado deajtmélica, en el cual emplea, porvezpjmera,
n del88 _uaone8 de30 y 40 grada. _ .. ..'ción delaecuación_+px=q.tartamudo'') redescubreel método desolución de laecuaci6n
á_cas, ycomunicasu descubnmiento aCard_o.icael Arsmagna_ tratado en el cuat dala (rmula eeneralllamadarórmu IadeCárdano, utili2ando el método
uerse, queconlienelaexposición desu método deo.
ntroduceel signo."), discípu lo de Cardano, descubreel método desolución
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athematicus, quedasu formadeF_nitiva alatngonometria.
publicasu iMthmetiqueintroducci6n dela noIación deci-deun sistemadeunidades Fundado en el sistemaco).
mpleo de letraspararepresentar cantidadesnumncasncógnita,sy delasconsonantesparalascantida-losmétodosde cáIculo (haslaentoncesexpresa-
cas. Numerososdescubnmientossobrelaleoa deión del número n medianteun producto ilimitado
problemasdegeomet_a.
,,,. ,,_, ?_ ,_,__n_,_,,__,__g,_?,_J,_,_?,_,,_,?_,,_,?,s,,,,,0,,,,?,_,J_,_v_ _,__,,,___,,?,,,?_ c_v,_,_,,_,,;,?_ __ _.__ x,,,,_, ;,
es), del cálculo di Ferencial-integraI (Leibnitzy Newton),rena-eojadelosnúmeros (Bernoulli_ Pascal).
cipiosdel siglo XVlI: Laen0_ delageomelnae, pnncipalmenleadel tratado deClanus, aquien sedio e1 sobrenombreclidesdel Siglo XM''.
Geometríedelos jndjvj_ l637_ DeSCa_eS: InVenCiÓn deel cálculo integral. la_eOmeta analítiCa(en elfaCio eS el DiS-
_ PaSCal: _C_be(a lOS I6S) el Tf_t0dOSObrelaS CÓ-
étic_ in_nitofum,o jntegral. Fófmulal6_2-l6__: Tr0b0iOS de DeS_r-ues, queco_stituyen labase
uguran lageome_/asupe-
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athematicus, quedasu Formadef_nitivaalatngonomet_a.
0) publicasu iMthmetiqueintroducción delanotación deci-n deunsistemadeunidadesrundado en eI sistemao).
mpleo de_etras pararepres ent_ cantidadesnuméricasncógnita,sydeIasconsonantesparalascantida-oslosmétodosdecálculo (haslaentoncesexpresa-icas. Numerososdescubrimientossobrelateoríade
n del número n medianteun producEo itimitadosproblemasdegeometa.
?_g,,, ,_,u______q gq, ,e_ __ ,,,,,n,__0__ev?m,m _ _,,_,__ _,, ? ___ _v,,_, ,,?_, __ ,_,_,_, _, _ _
tes), del cálculo di Ferencial-integr_ (leibnit2 yNevvton), rena-teoa delosnúmeros(Bernoulti, _scat).
cipios del sielo XVII: Laanza dela geometjaa_e_ pnncipalmenteadel tra_do deClanus_ aien sedio el sobrenombreli desdel Siglo XVI''.Geome__adelos indi__ l_1- DeSC_eS: lnVenCindeel c_culo integral. l4 geOmeta analítiCa(en el
ßfefaCiOeS el DiS-
639_ P_Cal: _Cnbe(alOS l 6) el TfatadOSObrelaS C_
méfic_ in_ini(orum,_c,1o jnteg,a_. Fó,mu_al6g2-l_5: Tr_b0iosdeDesar-gues, queco_stituyen la_sectivaeguran lageometfl_asupe-
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scal: _opiedodesdel triÓngu Io l656. TrabajosdeHuygensso-(ßrellml_af al CálCUlO1nte- brela cjcloide.d
ddeunca/lculosobrelosqueos.
DelaHire: Nue,vo méto-assec.
método parala
UPertOr),
lli: Cálculo integral_ (so- l690. leibnizintroducelapa-acionesdi Ferenciales, labracoordenadas.eBernoulliJ.
unaFuncjón noarsemásdeunavezen el
SepafaOS IalCeS realeutivasdesu denvada. 16gg
c(o,'_es.sinnni_a-
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: ... ...... _.. ' ,,,...5l__,. L, o.:._ _XvI... ' .__..I.':_ D'_,._'',,.:,_ , ' '_'- ò.____: _ _'Q:.D.._._ ._!. '_.'' '.:--- =._._ _:---,-s,:--_--,--'_ ':';:..:;.' '::: :: :'::...::._;;__=__- W:-___'- -___Y':'::'''''..::'''.:'.'':':.:.''''''.'-'-''n-_'----n_-' :"-O::
ados, lamayoríadematemáticos_ en el siglo XVI I I, explotaronon: El c_cuIo diferencial einlegral, queseconvie_eentantosobjetosmalemáticoscomo lasfuncionesde unaométncas, IasprobabiIidadeso lamecánicaceleste.
cionando el Análisis,, seainvenlando mediasparasimplin_carer_nicionesy desus razonamientos, con lostrabajosomela nueva. Heaquí lasetapasesencialesdeeste
stumo) , s_ obrelas "leyesdel azar''.
ectae( jnuena(Mélodo delos ''incrementos'' direcloseejedeunaFunción de unavariablereal (Fórmula
+R,(x)
onesprácticasdel cálculo deprobabilidades; teore-
esdelaforma
málico suizo Euler, sobrelas Fraccionesconlinuasaspectosdel Análisis_ lostratadosdeEuler sobrerablesmemonas, artículos, etc.; proporcionaron
XIXun matejal cuya_que2atodaa esmaniF1estaen
doublecourbure.
ginariosen t_gonome_ay establecelaFórmula__
atus. Saccheri esel primero en establecer un métudc7robar el valor del postul_do deEuclides; e__ _ldel si__lo siguiente.
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evanacionesc_ problemaqueseplantea(y quere-Icular lavariación 6/ de ciertostiposdeintegralestesis en queeslafuncin vae asu vez6y.nimen( peti(s. Estetratado eslaobramásimportantedeesu lralamiento medianteel cálculo diferencial e
uIbes_(_éb_ques(uno delospnmerostratadosdegeo-n sistemadeecuacionesdepnmer grado (mé-
erminanles.0lis.ticas.
arían alageomela descnptiva (aprox. l 799).meta esFénca. TrabajassobreIascónicas.
ecuaciones dequinto grado., introducción del conceplo deinvnanIe. Laobradeuler, pero sus fundamentossondeun ngor que
gica.ecáica celestetratadacomo unaramadeanálisis.Es
os (vanos) p_ademostrar el postulado de
n_íticas( l 797) y Lecanssur lecalcul desfonctions( l 799).noción de función un signif_cado má general
ylor (hacial 7 l 5J.
me_edesrripliue.
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_m,:^'\____,,?
oluciones, tanto enmatemáticascomo enlosoEroscamposdelugar lacreación del álgebramoderna(teo a de losgr uposdes(Gauss, Riemann_ Poincaré), lareconsideración delageome-eI análisis, lo cual tlevaaCantor ala elaboracióndelaleoría
snúmeroscompfej0s,
s_dio de_scongruenciasxf_en_adel_ Sef'_eSt etC.
nC_On (eeO'
et: rr_ilédesprDpié-juesdesn_gures(edi_ca-
cionessobrelaslransFor-esmedi_tePolaresreCí--
ker: lntroduceen geo-ticalascoordenadas
o delasrun- l829. Lobachevski_ Lageometría
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ión por Liounlledel l833. Boly_: GeometríanoMathémaliquespureseuclidiana.ées.,sso,. Teon/ede_aproba.
ones,na(,_tJ-
,., o,, e,t,e
ntes.
Slaudt: GeDme_ade
n:_studiodelasf un- I852. Chasles: Apercuhjstonqueeia. sur Iesmé(_odesgeomét_ques.
Weierstrass: Funcionesde l85_. Riemann: Fundamentospótesjsdelageometrí_
anOeUClidiana)_
57. _emann: E_in_c0cjón deogía(llamadaenlonces
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usMe: Noción degru-fo_acionesy descu-latrans(ormación
rrea l (l850-l923), nacido en Tucuman, Lambayeque,cuandouevo mélodo paraelevar un polinomio acualquier potencia.rsal.al deLosaday Puga, ledio pro Fundosestudiosal descubri-'polinomiosnll areal'', considerándolo realmentenuevo,''a b-
aun p_ael caso deun binomio resultó másfácil,seguro yrápido
re: LasFuncionesFu-Funcionestrascenden-nvanables
n ser l.Ds nú__, ?- -- _ __ jt_ _as__onesi' ' m
= _ _las_on' ''___' _os:_ : ' ' ''; '''. : :__ _ .. '' "lerra; Direrenciale sh - l899. Hilbert; Fund_menrosdela!,í4.
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usieron en orden el conJunlo deconocin_ientos matem_ticos, mos-ntreel Algebra_ el Análisisy laGeometjay crearon-según latico._''. Sin embargo_ seabreaunac_sisgraveen el Siglo XX_que
n los aos 30. Trasestaépo_a, los esfuerzosdelosmatemáticoslasestructurasalospro_lemaslgicos y a ciertosdominios
dholm: Teoa delasecuacionesintegraleslineales(''deter-
eseue: LeccjonessobreIaintegracjón y lainuesli_acjóndentegr_esen el sentido deLebegue'').
omadeZermelo._init2; Fundadordel_gebramoderna.
neraljzados_ concepto debsoluto.i.
cionalidad Alemana, elaboró alo queha dado en llamar eln teoremadelógicay retomando losinnnitesimalesquenosharáacadesarr ollar todo el c_lculo '_nr_n_'tes_'mal, s'_ucionespueden hacersedemaneram_ssimplequeutiIizando el
andelbrot, con el apoyo delas computadorasl ogravisual i2ar diver-teirregularesoriginadaspor alteracionessucesivasdefunciones.
ales(del latín FRACTUS; quebrado o roto sîno qu_ hacever laescnbir el mundo natural. Aunquesusteoríasno fueronasumi-lic_ sehaido introduciendo en rnuchasramasdelaciencia,física, informática, economía, lingüística.incluso la psicología,zay lossis(emoscaótjros.delaur_iversidad dePrincelon, demoslróquelaecuaci_nZ v, n>2,llamado el ''u Itimo teorem0 deFerma('' pl0teado haceI Oaos delrabajo, aplicó lo__ lrabajosdelu.sjaponesesSh__muraueocupacien páginas,ho Manco, resuelveproblema__ deecuaciones di Ferencialesot _' _ouquet en I 854, su traba' jo y esFuerzo fuereconocido_. 'n_o He_,_-riqueC ardoso.
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dm ;q;'~__ ___ _,, wg_'_,_ ____ ;' ''___,__?_''' _9 _,__,y_,,__',m_ _____ ?00'_:n_'n_ ,_,_ _.o, , _'_' _:''_ __ __:_'__ .,,__.__ n' : : _ 'C'__ , ,._''_ _'9'_ '_'_' _' __' , ,, ;, , __ ____., _' :__'.,
uadrado perrecto v, suscarasson lnángulosequiláteros
recibeperpendicularmentelalu2 deSirio y al pasar por elión qu_terminaen la cámaradel Rey.
queconducealacámarasubterránea; paraletaaellahaycialaestreIl_ polar dela_poca(AlradelaconstelacióndeleI mundo_ acau.sadel mavimiento debalanceodelaT_erra,y espreciso quetrans curran veinticinco mi1 uchocientos
ríaaladeentrada, tacuaI recibelaluzdelaestrellap_larejdiano.
roporcionalesa3. 4 y 5, numeros_uesegún PIutarcorespectivamenEe.
unaespeciedepiIón degranito rujo pulin_entadc_tallado enue_7emil pulgadascúbicaspirarnidales, queesun décimo
adas(rracción del ejeterrestre), por la den._idadmediadenidad depeso en la esc_ladelapirámide., y el volumen
u capacidad y coinci_econ el del ArcadelaAIian2a,que,araguardar lasTablasdela Ley y cu_'amediUaano_aenel
iegosatnbuyelainvenci6n deIageometríaalosegipcios(si-necesidad devolver aencantrar laslímitesdeloscampos
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_-ö' _í1___ï__.ì_8ì2'j' .'^_^_-V_ _
ent el amásEj st ey l amentabl edetodaIahi s tori adel a
le-CJrand deRas, dondelasmateriasprincipales eraelgnaturase ran mediocresy decidió seguir un curso optativoida, 7eentró una exaltación sin precedentes: terminó en
s. Lev, ó y asimiló atodoslos maestrosde su tiempo, taleso creador lo ltevó ahacer descubrimientos inesperadosado, con Iasque habían tropezado muchosmaEemáticos
radicales).
conocieron paranada s_ Eale__Lo ni su geI_io. _st_sson losres:
eo claramentesu engreimiento,. ..ha descuidadogran partese _ámenes''.
_ lo hevisto Lod_via; no lIegar anada, su trabajo solo
lasituación empeoracadadía''.
otrasasignaturas v, ques'e dediqueexclusivamente alase haapoderado deeste joven, aquí estáperdiendo el
conductaes pésima, su carácter muyreservado''.
ue_ lamejor escueladematemáticade francia,y sepre-asmreeunt_s, F_einsolenlecon losexa_ minadoresy no Fue
eC ienci asunamemori asobrel aresolución deecuacionesas malemáticasmásimportante sdel siglo''; desgraciada-rabajo; esmuy probablequeCauchy, el principaf mate-
l_'techni_uey por seeundavezsepeleó con lose_aminadorese. Enq_iô un segundo trabajo alaAcademi_a; es_tavez Poisson,
declaró _l trabajo "incomprensib_e''.
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Fueranalmente admitido en la''EcoleNormale'',de menoro connictoscon losprores_res, pa_icipó en tuchaspoliticas
áticas, sed__dicó alafucha re__olucion_riav. llegó aser u__ líderseenamor deunajo__en (''une_uquette de_as étage'') que
corta y dramáti_-a_ salió delacál'cel el 29 d_ mav.o d_I832 yíc'ulo (sesos_echaque _3 coquete_' laprovocacióna duelol aos.
unassesentapáginas dematemáticas. En ellasfundando así el álgebraabstracta moderna,que ibaamatemáticos y defí_sicos.
aIemn del sio__o _, dijo deeste testamentooriginalidad y laprofundidad dela.sideasque contiene,so detodala Iiteraturade lahumanidad''.
frasede su ú_timacartapedía: ''Conserv_d mi recuerd_,vidaparaquemi paí s_onozcami nombre' ' , pueselioso le_ado alahurnanidad.
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0__0_v___o_e00_v___0_________00_0qo__________c_c0_c______9__v_______e_on_c000____00coo____o__D0_______0__0___0_o0_c_o0D_D______0_________c0________0_0___00n__D________________________e_____o___o____0_________D__D_______0___0_____e_______o0__oo_0___o___D__________0____e00o_0_____0_c__________0______o____00_____0__Do_____0___o_o_oD__D______0____0___oo_o_0oo0_u__o_0___on____00____o_o0__ce__c______________t_o___o0____oe______cceca__9_____v_0___c__c_0oc____v_0_e?_r___c_____o_o_o___0o,_oe0__r_____________0_0____00_0ct0___0r0?___________t_a___000_0__c__0__________________________o___,___0_0__o______o____________________?_________________0______t____________v__oo0o___o_o0___o___________o0_0oo_0__o_____o___0_c__o_0o_o00o_o__o_?_DDaD___o___D____0o0______0_0__0_o0____c_____0o_____0__________D______o_______o0__0c_o__000__0_D____0aR_sht tad_ __ _____r_____n_0'___t_____ ____________n4___tt_____'______m______________m_1____tm_2____t_th3_v________t_________ __ ________?____)t______>_____r__________ _____________/_ 0
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_,0 c' _0___9_, "'___, _0,o'O_o___,'o' __o_v, 0o'_u, _'o00',c' O_'O___'_,o___ _ '_c'0___' '_,'00 _a___,,_0''_'0aeo___''_, . .'' '''' _' __?;_S_,_._ll_;,' _V___' _?_,v'j ___J_' __.',, _i_' ,,c, _q,_0 _,o _0,c_0_ __, _D_0_, __'_____,,_0o,_0,,o, _L___, _,, __,o __'_,,, 0 _'0_,'_0_?__' _ 0_,o, ,0___,,__ _,_c0_u__',___00,' _0,0 _P00_'0__0, _ _,'__, __o,'_v__,ec' _'_'__,__e,'__ See S em aS a_ t 9 UOOC Um e rlO ' ' ' ''_.,,', ' ' ' ~___. q_c,__"__'_0__, ___'n,___' '_00 __o' v_ 0_' _,___0___0 _"o0_0_8_'__,_c_0___'_00__0_0,_____'_ __' _0___'' sobretoS COnocimientOS matemtICOS si____' ' ,_v ,,n;_^ _ ,___~m '_.'x,__0_,______ ' __'0,_,'_,'0___ __ ___0_ __o_,__ _0'_ _,_'c__0 __T_ __ _o,_ _'0 Rv'_,c ,' _D^ '_, '' e0 ' _ _xq _m' ___ ___ .me____w __n-_,o o,0''_00__0_,D__,__^ _o_D,____0o0_0,_ '_,____,_ _,o_,__,o__,_ß, 0__,,,_,0_ _c__,_, ___0L_o__,,,_, _0__,0_,'D,i_0_0_,,_0,__0_,0'o, ,_0_0'__,____n,__e',0__,, defos ea_Dc_osde aquel pefioda.._ _ _.._ ___n._X , __ _._. -, --' _ ' c_c c 0 _ ' ' _ , ' ' q' _ _ , C _0 ' ' '
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llG'PYSOp l'01lOcllIl IeJltO.n pc_Jrn,lecido íJlriJJ,4J,,pJJte lignrJo nIn rco Iogín .?' n InJiIoso_rn,nbínJ, /,pcI,o dlrJ_nJrreeI J-_JJaciJJJic,,to, su_J-erodo e,,el re,7-eJ7oJo,JJín, /,n_ín97 __i_o z,iol_J,JrnJ,JeJlrecoJJJbntidnspoJ' In ig/esin .?7 Inre,J/4bn relr lli/' e1J,,J, coJ,JirJ,ro L'o/J,J-e,,tc rodo eJsn_pJ' des,Jcianislndn, InsposicioJlesieIieiosn__ deJsigIo ,__I ,1o_nz'oJ_ec_ieyotJ
nJf7__iL'esn Cnli Ipo, Ivp/eJ_, DcscnJf_?s,Lei_J,j__ _' ,\_eT__ro,J.Jr'oJl._ic'rosfeoJó_i,_os, _?'4 _JJeIn i__l__si4,_,rc /ln_í4 coJ,de12ado47l Jiic'o eJ, s,r __isióJl d,l 7JJlJ1rrIo. DiscípIJlo de_1istórelcs.,,opllede
J_c_irJo poJ' le_?'esJJ,4/e,J,ár ic-nsJ_, si,JeJJ7_nJgo, Iossn_iosdeI sigIo.?' c_íI,-Jr IopeJfe?c'c_io1lr_/,du deJJl,lcJsrJ_r2,,rJlle eseI soI e7 _,rcesrá eJJe_I
e,_R9lo es7r1JIí_J/i_o c._rnJ,c_ndo. SiJ, eJJ,_nJgo,pnJ_n In JI,n?'oJ-índc /osJ-cdicJJo ''. _ In JJll,,J1edcCJisriJ1n deS,re c_in, e( __,_rpo desnbios_,rJ_opn, peJ_segl,irIos.J/-ecl_eJ,le1J,c1,repo/' Jn ,-o1,l,-n ,-e_oJ1Jln.PeJ-o,,Jtip/icnJ, _J_ncinsrl lI,l nJ/ligo deDcscnJ1es, eJpndJ_e_'__erseJJJ,e,densJJ,nsJ__7_'o Ilrc'io/,nJnins, e,J,p,vn,,do pu_ InsdeGnJi Jeo+
I _j8_j. SedPdicó n csrJJrJiaJ'pJ-iJlcipio__ de_J__JIíJJ7,des.Jte, es(edis,-ípJr lo dcCopé,1liL_o J__iJ,lel_pJ-Rtrl el JJ,o'_!iJJ,iel,to dei/_n,lrJo r,IJ-ededoI- deI sol.icns_JJ7 eI sPJ,u d_?/r___ cieJ,L'ir_s.?' In ,-eIixióJ,.Rc_/Jo, In g_?o Iogír_, Ir_s11JnfeJJlá/ic-ns_' In Jj/yso__n,dolnJo dc lr,rc'r/_jJJn de_esc_nJ1c._. _lr Jlro coJ, _!_'e1L_toJ,dcsnJ1-oJJnel c'IL' , l Jo
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f
_ _ _m_\ __=; _-"_____"_-_uesom,, cons,_,.en,esde___e, ,ec_o, eces,.,,_
b_icosde_ __ebra_omo:s (adici6n, _ust_acci6n, multiRlicaci 6n, di_i6n,
r en el de; __,_0 del texto. '
, parado para_provechar con mayocer_cenc ia el desanollo ___,_-: , _''''X''
artiremosdealgunosejemplosprácticos.
los. Si los junt_ramosen unasolabolsatendríamosl2ar delasiguienlemanera:
uisiéramosjuntarlosen unasolabolsa, sólo diríamos: "sed ía eFectuarseoperación antméticaalguna,
elementosde un mis_no conJunto.
obJelo o cantidad deobjetos,trasequivalenlesal nombre.
esar delasiguientefonna:s_anciassetendr_ 7_+5_ y se obtend_aI_.
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_ __ _ __ _ _ ____ _ _ ____ _ __ _ _ _____ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ , _ ___ ___ __ _ ______ ________________
etalladamente. \-asdebenser semejantes. __ nnx sí y sólo sí x tieneel mismo exponenteen'por laIey distributivademultiplicación respecto alaadici6n
ones_ - 5_
lIar el eQUiValenlede. l. A+ BIIl. 2A+ 3B, ,__
, _ _3,s(') ,+ (-5 _
_J-7,-5y')=_-l4xy_lO_'0)_ + (- _o_9)_-
el lector. ,;
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_ __ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _
ar dea_
2+ 5ab + I
ab+l ';__ __.. ._ _-_.... N_. ..... _ ........ ... ..._:'
_
+ 5ab + _ _ 3a2
mPlO8
b)J+3b) +4aJ
'lf_ lOS afeCtadOS
+(2
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__?_0___0t__0___0_________\0_0___0__)____2____c__0______0p_n_____3__)__o__+0(0_00300)__00__00___0_000_0_03_00_0_00_00__0____0_0_0__0___0______________a___0_5___a___0_o_0______0____o_m0y____(0____0__0m_____________o+____o______+5_)_____000____a____(_0__0n____00__0_2n_n____t_mJ)____0_00500_0_+0_00_000o+02_000_00_0_0__0_000_0_0_ _0__0m___0__0_(y_0_0_0m____)___0_+_0_________+__o__o____n__nn___)_00y00on00000__0__0__0_0__0__0_00_0_0__0_o0__00__0___0__________0____________0____0_0oo0o_o0_o_____ _ R2p_a(a+2__nym32 a_m__+____n 22n_ _/As_3n3)_(__ma_a_3n _t3+_a+anmyan6_ a_+man m6na2)
elamultiplicación como:
)(a3b+mn + abmn_)
_,''_'__,'''', '''_,,_'0''''''''' ''' '_'_''_ __'''.'_'_'''''___'__' _ __'_'''_ _____*___' __"_ _'_e__%''__ ___' __'_'_____''''''__'__'_d_,___D_ __ __' _ _'' _0__ _ ' ' ^ ' ' ' '''_'__0, 0 '_- _'' '_,_..; '; _'' _:_ _ ::._, ';; ___, _ _,d'__d _0'_D,
_t.'D,0,
s__g_DD_,,,_
^^__' _ _ "_' "_ _b;___0J,000.._, ,(,_... .,,,,,___, _0 .,_,,,,_6.,.
_,.,,. ; _ ' D
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___ _ _ _ ____ _ _ _ ____ __ ___
x+3)(x-2)(x+l)
ducido es: I4x - l l
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_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _
ndo lasequivalenciasnotables
(3_-5Y4)2 = (_)2-2(3_J(5YQ)+ (5Y')'O_y9+ 25_
) (__ 5y4) = (_)2 - (5v4)'
= (2x)2 + (1+5)2x + _.5
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__ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __ __ __ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _
D..,_D.,..,..,,.,.d.,..,...,.o.d...,...,....,,...o.........,.......Sedebetener presentequela__i,.i _0_,,.._,.D__''_,:_'_,___:'.__::'._S'''''',:_::_;_,'__',''''_'_,,.''','_''''''_'_,''''_,''_'''_,_'_'0'''''''''_,''''''?'''''''''''' ____''_,,a'____0__,,0_,__,__,_00'_0_0a0__,,i00,o0__'0,a0,o_0_o0a,'__,o__0_0,,__0,'__,,'___'_0'__'_,'__'_''__0___'______ii',',__,__0_,0___,'__8_'_,'___i_,____'_,_'____.__',,_0___,._e'___,____,''_'__.i'___i_'_,i____,_i'__'_.''__i'_,i___,i.____,i'____,i d!V!S!Ón _rCerO' nOeStá_'___0'''0____i''_'''''__..'_.__.__'__''''__...'__',;'._ _'' t' _'____i'''_.._,'__,___,_,_____i'_,_O..'0,0o____' '^P___...._.=,._'_''':'=_'._''''''':'''==......,=_.ao.'_.._.._ii.i_ii''_.'_..i'_._iii'_._ii deF_njdoior lo tantoel '_'_''_._.:''_:'_. '''''' ::': '''.', ::. '__:'_'_.'' ''''_.,_ ''c' '' '''' ' ' '_'_ ''''' '''' '' ''' '''' ' ': ' ' ' '''' '''' ''''' "' '' ' '' '' '' ' ' _ :; __ ' _ ___ ''. '. '...' ''... c: i_, _ ___...__,,__; ___., _ 0 __,'_.,.,0.._,. _._9.;._..;_..;;._:_,!v,::.__.,';,,_,,:_;,denom __nadordebe 'se, i.__,_.iii__.,
0 '0"' '0''0"_00P'''^'''"P''0'0'0''0'"'0'0'0'0'''' diferen tedecero. ____.?'''_..
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l +_X
dOr
y
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____D_0_s__n___0_s____0____D__0_____o_t______________F_______f___u_0_______a0_0_0______0______c______0c_p_(_____0___0_p________c__0_06____0___0_____________ ___0______on__po___o________>__)____p_______o___y___0__n___________e_________________a___ts______________2___0________t____p_______________________6__p______e(/____________p__________________0______p____e_p___4__)_p____p_____s________)p_____________t___________paa______________t__2__________________(___________o_____________(_____________rm___p____________00____N______________p)________e_________00 ________0___________________________s_____________e________________t_____________N________________a__N____p__________p_0__________n______p0_____0_0_______pa___p_____0___________n_p________________________________D______D__________________________t____tttt__N_____________+____l__J_ __________ /______xr_____+_ ___ _x _
anotase
_____.'__'_i___'___'0a'_'''_da'_____,o.ida____'_a0'_'_0__.0___.'_.,_,_,_,___,__,0___?,___0,_e. __.__,__,__0i_____,_e,_,_,_,,_,'_a0_0,0,___, 0__,,'_,0'_,,'__,,_'_,_i_+ b + b a+ by ",_i0'''D_,x(x _ 2) _x_0_^ _P..__D.____'___'''^__'_____i^_______ c+x_+x _+xi'__,_ - x ______:,'__.'_,'_.'__:'v_'__:','_'_v''__''_''_._'_,:_.'''_,__ Y_ i__'',___,
s
utilizando expresionesque seconsiderarán bien
dividiendo ambosmiembrosenlrer)
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_ _ __ __ _ . __ ____ _ ___ __
-l
6_ - 5XP(X)
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_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _
o Efectuar
+ c_a2bc
=_ - l
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_
)'_2x(_x_5)+(x_l)2
3J + 2x(x+5)
entesexp Fes_,
I
J
4
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_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
n - l. + 1
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___ _ ______ __ _ __ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _
M + 5y - _ x x
_l
, __J__ N
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C PÍTULO
Leyes de exponentes
rquímedes (287 a 212 a.n.e.)
Sin discusión fue el matemático griego más
genial. Vivió en Siracusa de 287 al 212
a.n.e. Su padre fue el astrónomo Fidas. Se
atribuyen a Arquímedes numerosos
inventos, entre ellos el Tornillo sin fin
detinado a traer el agua subterránea
de
las
minas
de
Egipto. Participó en la defensa de
Siracusa. La originalidad
de
Arquímedes
convirtió
junto
a Platón, en la flor innata e
genio griego. Descubrió las propiedad
del número
rr
y las enunció en el l it
Medida del círculo
En este libro existe
importante teorema que afirma el valor
n
varía entre:
3 10 3 1
B · 1
d
. t
f
.
71
Y
7 .
usco
os proce
1m1en
os 1s1c
de los descubrimientos, dando ensegui
una exposición lógica y demostrativa
de
resultados obtenidos; llamaba no a
intuición y al tanteo, sino a la lógica físic
matemática.
En su teoría
de
los métodos, anticipándo
en 2000 años a Newton, descubrió y usó
conceptos básicos del cálculo integral y
el uso
de
sus problemas anticipó
creación del cálculo diferencial.
Murió asesinado por un soldado romano
la cárcel. mientras resolvía un problema.
~
f
f
\ ·
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_ ";';n, _
sp J_só e1_ _J_rDpn In JlJ____e_/_n_,'ó_l _lJ14,,n.p, y ,s-PisnJ1o,nl __o/_'e/' de,I1J InJ_o _'iniepo,' ,_J_i_'n _' eJ
ndo _i_erAbaci do1J_ee_'poJlír_ ._'pJ_poJlir_ el_JpIenJ' InI __e_ In /lnb/n1, npJ-_J1rIi_o deIosIlixlrIIícs.?_ r/_JeJ,o
_1l /lec/l o li_'o Il_cioJlnJ_io, _ebi_o n _IJeI_o estnbncJ_IMi ttissigIospnJ_n _J_eJ,_iJ_n c'o,_oc'i_neJJ_o_n
7cn pI-ecolo1IJbi1In, IJIs precisnJJleJIteeJJ1r_los1Ile_ glIeellose1J_plen6n_l eJ_ sJI sisl_I,n _R
es_I_'_e,_cio1JesdpI geI_io IJ_I1IJn1Io _'n _I_e_-4_'ins1nl ln, ndoplJIdo5R ln dpci_IInl _'igeJIrenIíJJe1JI_IIrslrosJ-acioJ1esnni_IIéJicns.
_rJ. .__ I__rl_.
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_ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ __ _
e5 _ _osteoremascarresP0ndjentesalos _Pon_ntesde
en eC CU0 C_n Can l aeS mUy peQUenaS OmU y s_
mresdecacientes, praducto5, potenciasora_ces_; _
nentea e0onenteen laresolu_i6n delasecuacione5
capíEulo atravésdealgunosejemplos:n papel muy importanteen lanotación decimal y sellamandicar estaspotenciasesmedianteel uso deexponentes:
za laquintapotencia". El numeral 5 en lO' sellama
ialesestáen e l trabajo cientíF_co, debido alanecesidadmuygrandeso númerospequeos. CitamoslossiguienEes
estáa25.OOO.OOO.OOO.OOOmillasdelatierraquepuedea25. l0'_ millasde latierra. .orteamencano RobertAndrewsMilfikan2gdedujo quelacarga
ial?adeo Avogadro determinaunaconstantellamándolael
nencial en el trabaJo cientíF_co.blemadeastronomía. Seacostumbradescribir lasdesllamadasaos luz. Por deF_nición, un ao luzeslaas}. Si laluzviajacon unavelocidad de3, l _ lO' kmrs.o _u2?
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ , _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ __ _ _ _ _ __
_;;_:x"v___ ,,'. ,__,,';_v_,,___,' _ ,__n,\,_ _ .',;:'''_'
dicael num/ ero devecesqueserepi_e unaexpresi6n
'._' ' _ _ ;,, v___';,'x__:_'_,5"'"Y
/ '^__ v_; . , , _, '
úmero
exponentecero eslaundad.
e_aci6
esión no esta/ der_ida.
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__ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __
invierte(inverso multiplicativo).
os radicaJes, dondeel denominador dedicho
a
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_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ _ . _ ; _ __ __ _ _ _! __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __
_ ' ': ., __' '_?''_;' .. _^ ' -_'en hallar unaexpresin Ilamadapo_encia,pa_iendo deo_as
mente.
3_ __-4 ._s=x__ .x___ =__' _
_o o,
r1al de50 _,_
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_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
' _^ ' ' ' ^ ^ '' ^ ^ _^ ^ __^ ^ ^ ^ "^ ^ __ _^ ^ __ __^ ^ ' ' "_______"__ ' '_' ___0__' '_'__'__"'_' ~_ ' ' ^ i__' ___"^ 8 " _''_ '_' '"~'0'"'' '"'"^ _^ ^ _^ _ _"__"___ _"___ __^
0',___,__'_'_____' _,__,_'0'_a________i0_____do,_,___..__._0_, __,'_o,,,___Do,___,,_o_'_____.___,__o, ,,'__o,,__,a,_,_,___,___,__? ,.....___..,,_9__._ L o st eo r em as exp ues t osy _i_i____'_,____.~__'__, _______'_____'?'''''_! . demoslradospa raexponentes ____i.,._'i?,,_:__:_''' naturales, puedenampIiarsea '__'_,_''_,_,,' _D_,,_,troselementosde__l,__,,,,,
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e enn________o___tTa_Epoa_____r________E__A___________o_D___D_____0___ m__y__________+__y___________________________n_________________________a______________0____________0__0 _N_________________________________0________________0__0________________0____0________0_____0__x__00_________________N0_________p__________________________________n0__D_____________0____e___c_t___0____a____y____os____o_oe___N_______n__________t_______0_n_________________0__________e_0>__)0s2__M_____________Ty_p0__a_____0_E__r__________0__e___p_____9__A____o___ooo0_0n_ a(t Ro)__n_)__E__c__e_s__3A__e_________>___ 2o___ >o___ _
' _ '''' _:''_._;_'_____:''.,_ _.. __.,........ ''''''''''''''''''''''''',_'____',.. ' ..'''';:.ral n mayor que1, "b'' sellam__ raí2 n _ ésimaprincipal
c,_
__'__.:''''''''''..''' _.._:.......'''"'. '_.,_. ..: ''
2
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________________ _________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ __ _____________________________________________________________________________ _ __ _______________________________________________________________ __________________ _______________ _________________ _______________________________ ___________________________ _______________________________________ __
''''__..;__''''_,__,._:_: 3
''''''_;';'_'.:''' . _'' __ __ ' ' .,, '''' ' ...,.'' ..__:_'''''''._,,._,_''''''__''_'_'',''''''''''' __ ..::..._,.,.,_._.,_.'_,';,,''''''''' ....,._, ,...... '._ ._..::''__.:._:__,._'..''' '.:..,,,...;: ,;'' . .......'' ..;___._:.;_;,v. _..__''.,
''' ^ ' _ __ _ ' _'_''''''''''''90D 0'"0 _''__'_,__Y.0_'_'''' _'__. '.. _,.. ''''''' ',''.':'' ' ' -.. ' _o,__o, 2. 3 x5 _ _ 6
n' ' (l_4+3)3+4 _ 24 2S
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0"'_.'' '___''''_''_9_' '_.'"'':'.' '''______,:_..______... ,_....__,,.,., ____,.''''a __ __ ''''_._ _._.: '''y _,._,_...:'' t_. .;._.'''_. )R...+ '.Y..__'__. __3
^ _ ^ ^ ^ __^ ^ ___'' _______ ' __0d00'0d 0_' ' ' %x-x+__n
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0_oo_____00ppp_____00o_o0000__0_0_0_00009_)__0oap_______000o_ooo0_oo00o__pp__00_______00o0ooa_____________0_______0D00q0q0_______________o________e________________________0__________________________p_q_(_q0pp_0p_o0_(_(__00____00___0D_0__0_________0o_______________________________+0________________70_)____0__0_____x_00___00)__0___)00_00_0000__0__000_0_0__0_0o___________o________o__o____________oo_2____000___o4_p_0___00300__0_x_00o0o_0_0_0_0p020p0__0_000_0)00___2_0____q___oy_____0____________________0o______0___0___0_______0_____0________0_0__000__000_0_____000_0__00_0______0____0__________________4+ ) (____8_2__)2__x3__3_x___(xo_3__x__83_3_)3__3__t_24x__2_24___4_t__x_ _5>_M__2o2____x_o_2_2J_
plosaplicativos:
ión:reg lapr áct icaI_o' - _x{J,2_J_,3__ . x2 _x22. x
_)'_
Unt_S: 3 4
á
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_ _ _ __ __ _____ ___ __ ____ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ __ ____ _ _
nes
xx O
ominador)
i._,.,..,._._,.__.,,.__.,,,,_o,,.e_,_ai8,___,,_,6,_?____.__,__._._,,__a.,__,,.i__,,_,_,,__,.,___?i_.,._,,,_o.i_.,._i,.i_..,_,0.e_._i_._a_.____9_..i.,.__'____^^'_D,o..g.._.__.._._..'0..-_,:_=_'_.'':___,:'__'____;,';_;;._;;;?__?M__.__o,..,.___;'__...... O' noestádeFlnido 0_____^^__,,,0,......... (F)'_,_,,_,_,,_,,0,,_,_,,0,,_,,0,,0,,0,,_,,0,,_,,_,,_,,__,_,_,_,_,,_0,9_.__,_a.8_._8,_,_,_,_,_,_,,_,,_.__._,0._._._,.__,_._,0._,.,0,9,,,,,.,,,0.,,,.,,,,.,,.,9,,,,,9,..,,,..,,,,,.,,0,.0,,9.,..,,,.,.,,_,,,,.,,,,,,,.,.,,, ,,,,_,8,,o _ ___ ' '_ _ ' ' '
o Con respecto alaexpresión
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_ _ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ ____ _ _
_+ 3
da-- 45
delas:
_isteenIR; sixeN/_ y>O
ioural_f_ Z,
V. (F)
accionariosse
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_ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _
_2'.x(24)4
nan , I
n ,_ 2
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__iii._..i _ii'i,._ ,2 , '_,__ '_0
n''''''_'''''''''''''''"''''''''''''"' __,__,,,__ ''"^ ' ""_ MY_"'' __' "''d___"''___'' _'' ''_""____''"'''_" "___ ' ' ^
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
__'''^% _'_'_____~_'____''_^__' 3_ _8 3_J3_ c_
_3_ +3_)
sió
e unaoperación.es,esultae_ Usaremosel cnlerio sieuiente
ión se"Inrr_io e_ _4c0nti_ad inmen. sA_e____n% quesi !nces, _'if_sJ. ,=_,.,;J_;,._.n. ;''nFdY,,m- s'_, re__,_____' njro_.._
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_ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _. __ _ __ _ _
_o_n..
2en el mayor valor den setomar_
0,,.,,..i_. _ _..''0 '' _ O_ "_''_=' _0 ' _V_' __._ _.__ _ _'_ _'._'. _' _' '_' __,__ ___ ________,___ _. ;_h a_ ' ' !_ ____.,, ''_,,,,,,',,,,,
...,....,. ..........,,, ..,.,,.,..,, ,,p.,,,.,,,., ....,..,,,.,, ,.,,,.....,, .,,,,. ,..,0., .. .,.,._ __.,_,..
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0___t__0__t__________o_____________0______q/___ __00_0__00_0___000)__0n)_____00____________(00_______0__D_____n____t_0_______0_________0________t________0__0__p____________0___________+__0_________________________________0___0_______0____t____ap5_00o________0__m0___________)__0_____o_0_0__________________________o__0___o0__________v______o_o______n___0xD___0_________0_(______0_(___02________4n____0__v_____p______________t_____0_0q_3_0______0_________000_________p_______00___Tx__t____0__n__0______0n04a__0__0_0__)__0x)0__n0___0__K__00___________062_T____x____0rm__t_______0___70___0____0___00___e______0___0_0__00_00__+___0_0_t00_0_00__0____0_0x_00___00_____(_00_00(_00__0___0>__n0__0__________(0______0____)_0______L____________________0_0____0_t__0_o_0_00+_0_0__0__a_____o____)__t___0______00_0__00_(_0___000y0_)___(___)_____l_xlgsfl(na_lul_ao2d___e_r3eaJ_or7_derm3x4a_ecllN4a__38ml2_e35_xxr_rl_oxe2ap_o2xs_gtl(_xdod__5l_x_u2_labn3c_n_et4apJg_an7l4lr__xe__aL_/__el6s____ce3l3x_)x3bytd_l2_5t33_cxoe__q__a1x___6__u_x24txe_x___4834e__n34x(n6olx_o___3ls7_h)t)tGp_____5xpe521foJ_xms_____l__6t2a0_xxh___Ja__nr_1_l7larruna
__;. _ _._. i ;. _.. ;,_;, ;,, '_,_ ' _, '_,' _, i_ ': ! _ r,,0,,,,_ oo,,,,
_, _ _ ' __. '_, _._ 0: : : __ e., ' "_ _ _ _ 0 ' ,,,D_ 4, j _
cales
uctivo).,adical
fáCtlCaen ve,moslaFo,mación desus ex one,tes
4
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_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _
ando y de_ = _ se tiene
OndeX= 3
ad.
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nde_ _y _ _=y_y ..... (,)
= y......... ... (ß)
_'.D3_ _J_''__ ' ' ' ''''_,D'_,,,,,, ae n D: 72 + y
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __
E_ va_o, ap,ox;
,,,,,,.,,,.,,.o,.,.,..,,,.0...,,,a,..,,,,.,,,.,.0.., a+ar+a+ + _ a'_,_'_,''''_'''''_i'_''''''__''''_'''_'''_'''''''''''''''''_'''_''''_!''_''''''__''^''''_0_"_''__'_,_',_'_'_.'_i''__ '-'''' - _- r '''_.''_.
-__'__''_---''"' l' ' < r < _'_.
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_ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ ' _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ __ _ _ __ _
dicales, luego para
__a
nte: _
a__ _ _
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_ _ ___ _ __ _ __ __ ___ ______ __ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _____ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ __ _ __ _ __ __ ___ __ _ _ ___
exponentesde
al dex en
Ee
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _
2 c) _
onencial._
_ex tomalafo_ma4ndonde ''n"es
n
naA) _ B) __ c) 3
-4
ntesucesiún
d X3 _x_o
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___ __ _ _____ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ ._ . ___ ____ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ __ __ _ ___ _ _ _ . ___ _ _ _
a_ lasproposicianessiguientes:_
n ;R: _(-_)(-2j = ___ _-2
FFF c) wv
deve,d,d dela.s
_ = -_
x o
a
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____ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ ___ ___ ________ _ ___ _ _| _ _ _ _ _
= 3 _ ,_ además_ y=2_/3
__n.(48)n.9
...
n_
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___________________________________cc______________________________________________________________'______________________________________________7___________________________________________________________________ _t_______7_____________________________________________________________________________________t)__________________ ____________________________________________________________________________ _________________________r__________'___________________________________________n____________________________________________________________?___7_______________________________________________________r____________________________________________________________l______l__________________________________________________________________y_h__________y___________7________________________________________r____________________ll_____l_______________y__________y________________________n________________________________l_______________________________________________________________________________n_________________n__________________________r_____________________________t________________?_____l____________________________t_______t________________n_r__y_h_____h_r______________________________________r__J________________m____m__________________________________________________y_______________________________________________y_____h______________________________________________________________________l_______l___l_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________?__________________________________________________________________________________7________0___________________l____________________0________t___t_7____t____________l_______________________________f___________________________________________________v_______________________________________________________________________________________________________________________________r____________________________________________________________________________________________________________________?___________7______________________m________D_________________________________________'___________'__________________________________________________t__________n__________________y__7___
n?,0__'__, _, V_ '_'_ ; _: ' _ ?_ ' __._,v_ : ' ,i p ' '3 ?_ ' m,' :._._ m _ _ _ ; si ,_.. '.n.\ ' ' ' ' _.._._. _: __' ' ' ':v,._t._,_._4, !a_:-_,2 _.,.,.,_nnm,_ ,x,._-_ ;- _;__ __ '-; __ !m_ _ ', ' ' ''_.'i__..<, :_-,,_.......;.. _1 _;'_ An,_1 1 _ g _2 1 __g _ _v:__''.:,,.._'._n__._.;;_-y,.__,-a: A,_.,_._12 _,_i_ c_, ,2..2. . i A_32_if ___-___:-n_.__y;; E _13 __;; A_2j3 _' B_3 3 __ '__,_''',_:.:_._...._.._;:.,__..'_'_::_;___.''_,.___;. _4._,___'- cm _c_,,0.1o4o..,,. ..... A' _, ,,,,2,,4,,, ;_A __,,,,_4,,,,, ,,_ _, _-n__;_____,,.-__:--:;-:
___35 _.D;;:____-_--,,--_=-------__'-e__ D_16 _€-. A_26 __i Am_,_36__D_'__,);,'_,,'____ imÉ _2 7 __A_3 7 _ '__','':_:._..':_'__'';,..:..;_;___,;;':__.__._''!_.(...__._.. _, , 8 ,,,p, ,p_'-€ D_ _1_8, ,,,,,,;_,: E _,,,,,,,, 28,o,, 0,,_3,. A ' _3._,8. B '_v_':x_!;_._9_ _;_.A' _19_''_'A_29___''E' __ ......_....;,,,_..;,'';_ _..'?,,''.?,''''_ *_, 1 o___;; B _2o , ,,C_, B _3o 3_ _E' _ _4o . B"'. ': _ -,
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CAPÍTULO
BrookTaylor 1685-1731)
Las cuestiones relativas a las series
infinitas, lo que es justificado por
el
hecho de que el cálculo con los
infinitamente pequeños lleva la
cálculo de las series. Demostró que
una función de una sola variable
puede ponerse
en
forma de serie
desarrollando en serie de una
función) conjuntamente con Abraham
de Moivre 1567-1759), francés
exiliado en Inglaterra. Colin Maclaurin
1698-1745), Jean
y
Jacques
Bemoullí 1667-1748 y 1654-1705),
desarrollaron
el
cálculo exponencial.
La
fórmula de Taylor:
Si
f x) admite
unas derivadas continuas de orden
1,2,3, .
..
nen
[a b]
y usa derivada de
orden
n+
1 en <a
b
se puede escribir:
h2 hn
f ( x + h ) ~ f ( x ) + h f ( x ) + - f ( x ) + ...+-flnl x)+Rn x)
2
n
Rn
es el resto de la fórmula de Taylor).
Polinomios
h
h
f x
+
h)= f(x)+ hf ' (x)+- f (x)+- f (x)+
... +
R x)
2 3n
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____ '' ''
'' _,,_,;,_;,,_,,, ,,,,;;,,_,,_____, _,'';,,,,;_; ';_,_,,,,,,,; ''.,_.;_.,_.. .,. ..'. L.......__,,0,,, ,,,?,._c ,,,,:,_,,,,,, ,_,, -_l_-li:_'o... ..__'_''o -- ' ' __'' "
_-rJ_éJJ,oJ,ose,, eJc_JJ_JiJ__o _, _J_eeseJ _e/ Ig_bya eJe_,pii_a/,J_.nJ_l_ieJ_n _lo cJ_I, coJJlo /___'o/_JnJJios, seesc_bex_ e _).IedeseJ- e_ectJcndo sob1_RJos1J7j1JIeros__oJJJov_'.d ,-,Jd,f,J,JJ,',7,da,,,,d,'d, ,,JJJJ,rJ,os. ,J,fo,,,,so delndo v_ J,' v_ ' eI __oIJ_11Je?IJdeJIJJ_'l_bo denJ_istr_,x.
y4+l_es_'ecesn Ialo1Jgi/,r_ di _K, esdeciJ-J__ JJIelJ_s._,
_,' estacJIe1_daL-7resrn p,Ies:
eJ_jciel_K' ie1J,J,_,//_os_'JrI__J_ndosJ, nIpr_r'io deJ_estetnbleJ _ cJIest4 ___+_. /_ = _1._'_ soIes.(cJI JJIerJ_osc'líbicosJ, n Ipl '_9c-io del su Jese?I Iir,_
gJI__ e9JJIJJ7Jret1_u L'Ijbi_'o /JaJ' 1000 7irJ_osJ,_ _'JI.este
Oso Jes sepi_eevK'pl_esn/' In slIJIJn _J_e_esrn peJJ_so1'_nee_'ide1Ire_,_eesrn s,I,Jln depeJ,__ dcvK?' _J_J7o sepJrcdei7ndo,' si1Je7JI_a/gopJ_ede_,x'p/_esnJ_s_,e,_ so Jeshnjo la_oJ7JJn
apo IiJJoJJ,io deIJJ,n iJJdetRJ1JJiJJndn (lnaL_o1l _/_ecJIeJ1ciapo1- P(.KJ, _JJeseIce"P de_K'' (P esIn
le_'n1ín17 n es'tn_Iec-eJ; poI' ejeJJJp Io,eIpo IiiJoJJJio:
_rl(J'_,rJ lç_Jren Jns_) Js_nJ= Ji - l._' + 2._n', ercérer_.
P, , P,, .... , JJo es In preseJJci4 _ l4reJ_cio l. etc., siJJu el coJ,iJ,9Jro dec'oeJic'ieJllcs:
JoIJlio,+
sJ__,_isto, o_eI'acioJlescoJl IospoIii7oIJ7ioscoJ_ro
de_i1lició1l n(go J1_s geJ7e1-nI delos poIiJloJJJios.JJ,4g1JirJrd illJelcl7llilJa_ sobJ__ Ja_lres'ec4IcJr/a, J,losetJ-ns1JlillJíscJIlnscoiJJo n, b, c,... o -pnJ-n I1o agornr
eJJ7iJJJjsclil4sn_c__I4daspoiI,__ j1,dice, es deciJ-,_r II1_nJ-ncteJ_es_4lieMloseJ, In paJ_eiJ,_eJioJ-.?' n IndeJ__cl_a
?'a_Joses_n1/liJin/-, nreJ1Jo__?n n__ecesalosJ,oadeiJlistelioso.' siJJJpleJJJeJJreesJ__J1Jledioc_7JJodo
_._' _i1K_rl1-r_.
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__ _____________________ _ ___ _ _______ ___ _ _____________ ________,_ __ __ _____ __ ________________________________ ________,,____ ___ _ ___ _____, _ ____ __
m_m_ y
___,,'_,,;' ,; _
___x _:-_s_,__, __''___ ____r_, c_a_, a_qu___!'_ere_____ac__?__' r_se___' ; v'' ' ;':''',,,'_ ,, _' ;;, ' ''",y'_'v__
de_ S_poM0mta_ _ __ Ver con _ac_I1_ad l_ o_iä_ones'___ '_ _ ;__,'' i_ _;;_J,J,:?__ __,5,____' _s:_,. _,_''_'v,x_,?x_'c__e___6n_eun' 6__erta_xpîài6nmaEe!__c a. '_ ''
__;___x;_,,_,_'___,_ '_, '',n;_';,,i', "' _ _vn_,;n,;,__,"_ ,n ' ', '__"n; '____n;,, ,, , , ' ' __',s, ' ', V'/
tir_ comprender lautiIidad delospol'_omiosen nuestraparaproyectosm_s_ndes:apenasunahabilaci6n de"y_ metrosdelargo,"_''etros, demandarálossiguientesgastos: ''8"solesenlaacalidad del suelo, 4c"solesen laconstruc_ióny Ud'' soles
ariablescon lacual se tendr_ un presupuesto totaI6n), quedependerádedichasvariablesy lo denotaremos).niero civil paraelaborar un proyecto deconstrucciónnesno necesariamentehomoséneas.
--:_
__ _, ' __, _ _' __x_! i_ ; ___ _ _ __. _ _ , - - ____?,D ______c--,_
os, queF_nalmenteobedecen aciertosmodelos
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_ _ _ _ __0__o__________0______o__0_0__o__o_________o____________o_0______________________o____o___0_____0_0______o_____o______0___o_0___________0______________________________0_____________________________0_____________________o__________________o____0__o_________o________0__o________0____o_____________________0_____0_0___________o___________o____________________________0_________________________________0__________7_______________0__________________0__0_ yJ ___
rosy letrasligadospor losdi Ferentesoperadores
esionesliterales
og(_ _ 3)
resión matemáticaquenospermitediferenciar las
car lasvariablesy constantesen;ta_ R(xy) __ 9gx_y + _sen(x_
or
'_____ __
asson: P
ón dele
alavariableo vanabless6lo seden_nen laso_racionesación, división, elevaci6n a exponentenatural, extracciónde
odecombinacionesdeestos.
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__ __ __ _ __ _ _ , _ . _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _
ducidadondeno sedeF_nelasoperacionesdeadici6n
__ + a__ '96
tasexpresionesasu vezpueden ser:
una expresión racion_I, _ondepuraableo uariab(esno estápe__tidaladiuisión.
y_ab+-C
iujsión que reng0 en elujsorpor ro menosaunaua_able.
G(X_ Yt _) = -32x + _
entesradicación queinvolucrealasvariables.leza)
x _ 4
s(x y ,J_ 45 _ __3
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__ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
x__'n,''_' Ete_plo ,
l_- l7___
raicasalascualesse les_lamatra8cendentes, lasm_simport3ntes:
eslog0rítm_c4s_eF_nidaspor logaritmos.
d F e ?
+_3 +_4 _ _
ý '_ nx__ _ ' _ '
ticasehalladeF_nidaasí:
eXCe_tOen
_o _ x__r-3,3]
seasignea x quepuedeser realo cornplejo
osìbili_, _d' __irlo,que.__es,_. ' p0lino__.
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__ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
__ ''''..,.
ard_cionai entera, queasu vezestádefiniclasobreunmérico paralasvariables.
__0dOC_V_A_(RO_)
::''_;., .;, ,_.: :''''' '''. ''_' _: '' .. '_' ' ' ' '
nteformageneral:
^'^'''___'''. _^:_''^"^^ "''_^^'^ '_ _'_'' :P 2'''__ _'''' _' _^ ' __'"' ' '_' _ W_'_'_' '-"_____,'+. _._._ +..a. n _a_0...._,,,
+ _
2x' + l6x''
_R__E___'__6.Mmn__Cn'''''' ''''''''__'''''''' '''''''''''' ''' /..'_' _'__ _
las_'ajablespor algunaconstante.
_ derin_ido,o o denl_unasniciones matemáticas.
) = _ + 2x_ l
1n__
o ex._steo no esta, der_nl.
perado,d,.v._s.lo,,esta, __,,___0_,____,'_o_0,__,_,_o_0'__'__0__'_,____i,____'____0',___o____,__0_,"_ . ,. . '___i__,__^___'_'__g'o. delnl O SOOSl edenOmlnadOr eS t_'_,,i_0_o .__,_,e,_,
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_ _ _ _ __ _ _ _
. En_aex ,es._o,n. _;.
_:.:_,?____' P(x+ l ,_'-3) = 2x-y l''_''___,.
+ _ _
nidoampo deG 2 3 _ _ 42 _ g 3 _mos. _ 2
=__3__+y__
oen (l,3,5
y__=2
_ 4- 12 +8_ O
umedesus coef_c_entesseobt_iene
_,depe,d.,e,te,eobt.,
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__ _ ___ _ _ _ ___ _ __ _ _ _ _ _ ___
riable:_ii__ _ Lasuma decoenc__
unadel aSv_rlablespoC
ntedelasvariableslazando cadaunadelasero cero.l__ ' _'00 _ 0'_ 0''d_,_,8i8,_d,_,d8_,_,,_d,8,__d_._,_d,_,,8_8, ,_._,__,___,_.i_Dd_.d_D_,_D,_, d_.__.0_,__m__.__. .!,e0____0_0._,_8__.,,_,_00,,,_,__0,_0,i_._, ,8__,_,_,___,,__,_,__,_,8i_. _,e_,,8_,____,__o,_,8_0__8__08_,0__,_,o_,8____9_ _.,.\, ..,_ ,____,_,_,_,,0___0,,_,,0,,0,,_,_,_D, ,_0i_-,_w___,8i_,d__,8_,_,d_,, 8i_,d8_,_,,__,_,d8i_,,_,d_, d__,_D,_,d0,00_,_e0
t. ind. _ o
nte)7 lasumade
funcionesdentro deun conjunto devaloresadmisibles.s_or otras.
do
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_ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _
m_lO_
5 6x=_I
ivamenteparalospolinomios_ relacionado con los
x'y'sgradosabso_utosde_osmonom_.osson._2 respect__
_3_14x"-5_+__"ón:mo i(x_y) esun polinomio, los
onentesdelasva_ablesdeben seFlOentefosy posit_vos.
N
eo i(x,y)=__-I4_y'+__
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__o_______0__00___0_000_0__0________0___0___0_0____00____0pq0_0_00p_0_(p_0___0pp__p0p_0_)0_p00o____00____00__0D_pp___0(p0__0_,00pT0_____p00E__o0__0__0___o_0_q0)op00_0___00__R___p0_00_0q_p0___E0__________p______m_0_o__________o___)A____0__0_____p_____e_0___00____p_0__0__0p___0__T__0_______00_________0____0_____________________________________0_0_0__0_0____0_0_____0_0,___0_0_0__0_____0_________v_______
8_,_,____,_,,'_,,,,,__,,__,_,,_o_,.._,,,,,__,_,_,,'_,,_a_'_o0'_09o____0,,a,o__0%__'_a_,_,_0 _,g'_00__,__a_,,,__0,o_ R_,_,_,____._ __,. i _,__ _.,.. _,... _... __'_'._. _,:_'._0....,.__,._,,'.''_: '_.. _ _ __' _ %^'_:_: _ 0^0a__O_,^^ _'__.:_, _''D_ ___, '"0,,,^o_,,,,,
omo el exponentedela___
__,^^'0,
^enderáqueserenlerealgradoabsoluto. _____
rtascaracterísticasy deacuerdo aelloson:
oun_olinomiocomplet_enunaveriebte,elOdetfmlnOS eS igUal aSUerado
a+4_+ (__ 1)_do 5 y tiene6 térmir_os
RE._A'' ''
pectovoser_eren
emplos:,
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___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
icoso Doso máspolinomiosen lasmismaso varia_lesson idénticos_ cuando tienen losoresnuméricosparacualquier
_Q(x,y) = (x-yJ_
+b 2 4ab _ a2+b_
smo valorrminado valor dex e
tesp _
mismo
_ , a, = b, .......... _, , -_ b,
+c
osHa__ar (a+b_
_'_'___'0'___'0,'___,_,__'_____. En esteProblemasehallaqueM y N__,'ese jg_eles. __._,'_'0.. _ a+ +C'_
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_ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
onpolinomio esidénticamentenulo_ si sus
CUalqUler ValOf OOfeS aSi_nadOS a laS V^nableS feSUltaSef
p (x y) es_.dent__
osquesi x tomael valor de8,
P( J= _("+2)J _ ' (' - 2)2 8a
8a'8at P(')_O ?_a_i
esdec__,.
rX- -+C+xeS
amentenUlOSi...................,.. (l)
, - -
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_ _ __ ____ _ _ _ _ ____ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _
ualeslaSi P(X) eS _linOmio ; (n -- l) e__ setiene:OJ
ef_ __nCiPal: l _6_2_(-5J "'60
= _2 _ n_-3(X) eS
queResolución:4
6n:P(P(P(X))) eSlineal
+b = a(_+b)+b
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__ ___ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ _
ecesel término independiente
mO_ene0 y
(__,y) es el po!inomio
b--l5 ..... ......... ', .... ... (I)
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__ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _
0
solut_dismir_uye.
3 y p=4
. nx_2 - l
O'd'^"d0' 'd'm_' '""e4" '
ntedea_ - ' a-
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_ _ _ _ _ ___ __ _ __ ___ _ __ _ _ __ __ ___ _ __ _ _ ____ _ _ _____ _
, calcular lasuma deuex+3)+f(3_x)
zseen _(x_ I) _ F(x+3J+ f(3-x)
I l ParéntesisF(x} -- 3x - 22 = 3(3x_2)-2
x)) = 2
3 _ 3 ' -3+2)
inducción
mio_ IJm + (2x+ IJm - 2x+ l'm'' si se cumpleen el
omio quelasumadecoerlcienlesy su_ o
2Ic_ 7.
OlUCiÓn:
. p(_) p(o)
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _
J_+(b+c)x+a+c
Os
a= b
c
P(x)=_+px+q decoe F_cientesamínima, queveriF1calass:
o
p+q esmínimo ; p , q eN
p+3l=7
_+ l5
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_ ___ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __
Of(t,+_,) = f(ta). F(tbJobtenemosheb t _ _sl53 b
+e_+-+ ..... + e'' _
minoaDe_ o__.nom._
(x,y) _ 3'5_'' ym 2+ xn+2 ym '
n-_ lo ....... (,); Gi,, = m_2-_n
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_ __ __ _ _ __ _
nelpolinomiop(x) = (1 +2x)n + (I +3x)nsexcedeen 23 alfmino jndependiente.
E_ po_;nom,_o p(x) e, de gr,do -2
eXßreSlÓn -xJ___ (x n -2 )3. x 'n -3 _2. x '
do grado,
y DJ4 E) 5
sNl e_ pol__nom__
x,y) -- (a'-+ l)x"'2y'+ (a+I) ^ 'y"- l
__cientes.
d delas
ValOr de_ eS 0_ l _5
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_ _ _ _ _ ___ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
eidentidad:(x- l)7 = (_+9x+l8)A(x)+_+bndeA(x) = a_'+a_x4 +....+ as_ ao_o_
) 2(47 + l) B) 3/47 + l) c) 2/47
l) EJ4325na
_(a+b-c-d2J_+(b_de) _+g(b+c-a-e_ntenulo, calcular
mio
em+nCOn aCOnqueelpol inomio
adiferenciadea6.
hOmO_
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_ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _
queposeegrado absoluto
Pecti_'amente.
ado P(x) = 6_' + 5_4a+ 4_' + 3_'a
alcular el valor dea, sj secumplequelan sumadecoe Flcientesesigual asu te/ rminoel jndependjenteincrementadoenJ6.
coer_cientesdeldo
nadosasu vanable
c(a+b)(a+cJ(b+c)
l63 C) 16 l
2o E) _o
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__ ___ ___ _ __ __ _ __ _ ___ ____ _ __ _ _ __ _ _ _ _
. Dado el polinomio
término independiente es
os:
nde
geb,,;c,
lasabiendo queel grado deEp(x) l2 lQ(x}lJes
Q(xJl' esigual a22.
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^_0_ __', ",_' __c,_ ''_ _,^0_,^'_,__ ,,____ '__,_'',c___ __ '_,_' _,_,_o''__,0'__v, ,__,'_,^D,,_'_0_dn,_,'', '0_,,__',v _v"O_c,n' ^''__,, vD''o,_,'__,_a^__' ''__''e00^,,c_ '_,^'_ _,_ ''co0Matemtico. astrónomo,nacido en_o_o_o___,:_c__,_O__8_,c?__''"____o'____D',,_,'__?'_,,'0_o___'__^'_,,0,_0__,'D__0D,"_,,,0'v,00_0o__,_',''__,'0_,,o___;^'__'_o'_,___P__,,'_,'_u___^'',,OItatiay desangrefrancesa. Alos16
0,___0,a_8','__^'0,,''o_,_'___'0o__,_'_____,'_,___0,_'_o,_%'_^__o__^__,__"c_,__,0_,0__,_'_^_''__,,o_,__o___',o_cec_____'___'_c,__,_;_"c0a,_0D__,'___,_cc,0__vaos fuenGmbrado profesor de0_0^0,v,___,_0''____0,,0o,_,'__''_0,'^'_0_u__,_o_'__',D0,,^_o_,,_,;_'_00'_o,o__o_,_,''0_oo,_e_0''___,_'0',c0____,''_c0,,_,'_'a_,___,'_,,_'__,^'__,__''_______i'_'0__',__^'cD' Matemtica enlaReal Escuelade_o'_e,_______'__,t'____0____0_,,___i'_0_o,_o000____,''_,0_,,___'_o_,^o,__o_''_,cc,_,________ _'_o,,_,,_^_g_,''_,o^_,,_,'___'_,_O'coo^o__,__DnD_0'_,,0_o AItilleríadeTurin.__,o,_,,o_____,_ 'c_,_,o_____ooo, _^0__00,D_'__^___,,_,_,___,D0_,,_o_,,__,_'__,_o,__,c,o0,___D'',0_,_o_'c,v,___,^'__,'_c_0_D_'___,D_'0,i_v_,u_,o____'^v,o,e__'_,_'n,fueunodeI_s ms grandesanatistas__'_,',_'0_,,_,_,V_''_,___''_,_'___0a___'_,'_0,'C'_,_,_,'____00'o,,,00a0_'_'_,'0'_0c0_0_c0_^^,_,^___,,'_,c,'__,,__''_,'_,,_'0,_______,'o,^'_c,_______D_'_,eo:,'____'^'ec,,',___0del siglo XVlll, lamayor contribucin ,,' >'._._m^_w "''''__,'_ ' 0_ou___, ____v ' ' '_,0,, __D, _0D_,c'0,o_c,_____ _, _'_ 0'_ __, ___ _ _0_ __0,,', _ _ '__ '0,_6 _ D_' c__D_ 0'_,_ ___,, _''_' _''__, ''__DO0c__0 __ '_o__0L, _:_'_ _, '___,__ __ '' _a, _DD^'_o0_ '__0, '_cc _oat Álge bra est enla memoriaque es- __..,4,_ _0,_;,_',___D'_'_"____v__0_;g'__,_o0_0,'_,'_''_,_'',,a___'__,^_o_ec,_cc__''''__0,^00__0_,__0___o^''_,_,a_o'_,__,__'oc__,^0'_,_''o0_,__v___'''u_0,_,_0'_,,_0___'__,_0o__e__^'_,'_,oOo0, cribi enBerlinhacia1767. ''Sobrela!._>'_,._,,__-_-o _''_'_'__c
__,_^0'o,_,,_,_D__D''v ",,,__''_D00_,,^_'ccc,o____,'c_^,_' ___D^'___'0__ _0,__o0 _00__oD,,c'_vc,,_,_'_,0'__,_00 _,,_s'_,_''v_0, _o00__ '__,_''_,,_c_0___,_,__, ''___^__o___, _'__'_'_,__''v____Resolucin detas Ecuaciones_00_'0' _D0,,,''__',0'''__'' -\_,-_'__i's_,o'______0_0,_____''___,o____,___0o__o,__'v_,,90___'___,___o_n'___'''_^_'_,0_____o,___'^''o0__,__,'_^'',o'c__,_^'_'^e,,,__'' Numricas''_ sehizocélebrepor su , _' _ ; _:_ '''___,__0_,___-_ :__,,c\_'_,_','-,'__'_^'v_",___o__'''__'_,___'^0___^'v',_0u__,''__i,%__,''_o"c:^_''c_c_'_eDU'_,,_''_,_,^'__'_,00teor__ao re_ __ - _ _ 9 "'__,Ç_c_,' __,_0c___0':___ _0__00_oD____ 'v^_00_o_ _, ___ __0n__'_00'_,c___?_0_ ___v _,__n,'_o_______ ''0'o,___ 0,____ '^_,'0',_n _^___,c_ S ?_ _- ' x'_/ ___,_, __,',_'^,;',___G_'__,_0__,_'00,______,00v,'0a_,,___,___,_'_0^o_,n,____0D_0'oc___'_____^^''_,,___,'_c_0___:^__,o,c_0oec!__v^'__''__,_,__u_'0_____^'_,'0,0_o_,___v_0'_,,^c_o,_,____0oyporsumatemati2acinyracionaliza- '__\. __-q'_._;_,_,_,,_,_'_-;__
e__^^D,'^c_O__^___'c_,____e,_____'__,,'_'0,,o_,0o,_c_o_,^'_,_ao___0o_,'_00'o_n,0'_,_0__o_,o0__,c_____0'_0,_o___'_v,"a_c,;,_,_^v__,0'^__,,''cc0_0,_^'_0'v,,^Oc_,o__,__^'_,,00,_cin delamecánicaen suobra _:D,. 0 ,,_. nc__..,_._,,nc_'__^i':._!'0 _c____ '''__,, a0,0,___ _,0q,,''__,,_o,,_0,_0,,^c_,v_ P'0,_0,_e0 '''_,_0,o _n_ _ _'_,,0 0,0,__,oo__n'_,,^'v,,_ 'c,,o__,'__,, 0^''_,0' 'cc0_c_ ' ,' __o__ '''a,,,_o_,,,____, _'__ 00___,o__''_,_ _,, '__,' _'c,, O__, ____, '^v,0_,_,_,'o0,, lWecani4ueAna/ _ique. Descubri __ o ____ _ _ ^''_0' ~___-d9_^' ''_^_,0 _',_nh.'s-'_' ,7,, . ,_;,_'_c_cc__ _' __ ''' _''___ '^'0,0e'_c, _'_ ' _''J_,__,v^o',__ __D,^ ''''_,O"0_,,co0_'_ _'_ae^,__, '^0__ ' _'0_0'0 _,_' ^_''_ ^ 'c_, O_^0,^' ___, ^''_o_ ' _^ _^'_^_D,__ ' _''_'0'0_0c,c_6"_ '^0_ '__,,0''D_ _'''___'^o00_u0o_0_'0, ' _0___' __ 0'__ _0'_,c 00 _c^"'^ _' _____^'''_0 _,"__,'otambié n las__amadasseries de _' , _ _o "_ '___ __'v__ ___ '''' ' ' '___'_''^'___'__,_c,,__n,_v_,,_o__,_,___00,,0_'_o^'_,0,0_,o,___,___,__00__,___0___,c_O_______,e,c_,___0__0,,_'____,_0__0,c,_,,__,_c,_o__,,'__,_,_,a, Laran elafrmuladeinter olacin ' -^ '_' ''_; ___t ,__' o___oi__>__,.__ _;a,,_ _' ___, __ 0_e,, _ __ _ ___,D"__L0'_,0 _;_o ___0 _, _0_o _0'_0o00o'_,_, _,'_ _0,_o_ __ _v,_ _0,0 _0__ _ __,,_, 0c_0_n,_ ''____^__,_ ' 0'_,__,,__ '''__ _0_, ''_cao_'oD^''___ ',,'____,, _ _,c_ _' __0 qv___ _____,_que Itevasunombre.' ' _' \ '' _ .,_' ._,, __,,___,__a'n9,___ %_;'_, '_'_; _-"' _ ^_,
___,o_0c______''__oie_0,__'___,_''__,_n^__,___^_'___0___00,_____00__^0_,,00_oon_,^'__0'_____,,__^0v''c0_,_0_,gv___,__,'_0e,v0_D_,_;,_0u0c,,__',______;,00n0_,__''_'___,^_ecc,en'_Respetado por Ia revolución fueami- ' ',__o, ' __ ' _' '_''~^^>''''"'' .__,__o^'_,00,,i__'_'0_o^'_,o___'_,D^'"'_,,'o______,_D'__,__'___'_'_oi'_,0__0''___,'C'__,_'_,co0__0____0__,_,c,'c____g_____o,__,'o__o'_,___'_,_?_,,0''_'__,'__co__,'_Dc_c,,0_go de Bonapa_equienlonombr - ;_ '__' ,,, _,. ,_ J_ ;-7';,_'_,o_,''0__'0_,_,___,_'_'____,_,o'^_o^',_,_D__,,^_v,___>'0_'_0_c___,____,^a;_^_''0,___,__0__,'D__,^'0,'e_,,0:_______'_0_,'',''o_,0e'_,_,,_'___,g0_,'^'_,,0e_n,___'_o,oSenadorporsuscualidadesdecientí- '_!.\ _' _"'__.___ ' ' _n, ' s' ' _ _0, _ ' e00, __0, ,,DOo _ _,c_ _ ' ' ' v,,0 ___, _ ' _ ,, _D^ ' _,0 , _',_0, _ ' _ _,_D,0 _ _,, ' 0' _ _,0 , __,_, __o ' _ _, , 0 0 0 ,, _00, _0 __^ _0, , 0 ' o_, _ _o _o, _ o ____ _, _ , c _0_, ,D , _, ',' ' __, , _,o __ _,o_, __ ; _, _, 0__, ' 0_0_, , ce, __ ' _, c__,^ ___ o _ ' ' _ c, ', _ ' _, __ _ __L__v ' v cu_ _ __ ' _^ ' _ _ _,, _ co y g e n i o. '_
_0 _,0 'c,D_,_ &,__,eo_, ?_, ' ', _',,_0__o _ _, ', ' _,,, ',_, _,0,0,,__, _o _,'_o,0 ; - :___?____'0_??__''_'_o___0__,_,_cc,,c,c_'__'___,,__n___;__;;o_,,____,c_,,_v_'0_v;_^_o,0__,,_0,_0__,^_0__,',,_,o__,_,_,_,,v0o_______,,_,0__','0_,,___',o_,_',0'_,ax+b2+ abx 2 _ a2+b2x2
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JJpJic-rl nIgo iJJJJJpJlso eil)7posib IedeIl,gnJ-n c-oJJocpy._JJeJ Je,,_,,nJ,_ln pn)n_J-n pnyn iJJdicnJ' de.roJJJJn _'ngn "ev_'ryeJJIndnJJJeJJ(egJ_nJJde'' u_c9ltelJlellteseciln eJ1llj1JleJ_DdeestJ_RIInseJ2e/ cielo o deeJ-nJ7ossJJo so1J, des_ IIIego, J-enIJJleJIreiJ7JiJliros,sólopodeJJJosobseJ__nJ-_scJJIJJl iJIs-tnJJtedndo. De/Jec-I1o, eJ) In _'i_rJdinJin jrJI1Jcn /eIle1JJos,iro.Jt_-n JJIJIcIJns_'eceseI i1J_jJ1iro, eJJocnsioJJesde/o_1In
po rJIleIosJJ_n/eJJJlic-os e9JJpe_nJ_uJJn iJ,reJJtrlJ'oIJreJleJ'I,9JnJJJe_i_npeI7JIiriernJ_ _JIeeI iJ1_iJJiro eJ1grosnrn Ins_iJnsdeorJ-os o_je_os_ieJJcoJ_ocido ?' discip IiJJndo. IbnJJn 1e?JJe_JJJJ__'IJnsso JprRsns.Ji1JJifndospJ_ogJ-csos, ?' JJoJJ_esiJ1o /Instn eI siglo___.cJ_nJIdosernbnjo degJ_nJJr Ies 9JJnre7JJ1icos coJJJoGeoJgeC_nllror .?! JV/_l
J-n JJJJ_c'IJose_ecros, so In1JJeJJle7n iden Ii_ncióJ2 de JIJJne_JlecoJlsider JJ_ola co1JJo esrJ-ic_rnJJJeJJreiJJ_iJJirnsec_oJJ_eleJ1 cIInJJdo, In npn_iió1JdeI ilJJjJJiro eJJ__J,n reoJínJ(sicniJzdic_nJdeIn JJJisJJlafeoJín o bieJJrJelo _lIeésfn__sL'_i_e. _steeseI cnsopo. GJ_ncinsneJJns1los eJJcoJ7(J__rR1JJosc_nJ_an cnrn co_I elelnJJdo nlgo JJJ2I_1Jpl_o_J,JJdo.' _,Ie/JeJ1JosIIegndo nIJilJdeI IIJJi__e_so.
I .1Jr_r Ji1'17r_ _ I_I/il/irI1_1 J__. JIr_11ellI__J._.
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a_ul_plicar _lin_m as.ble8 por ser desuma ^_portanci_ en lasimpli_caci6n
ca5osparalarRso1u_i6n deecuacíones._s
ticatienesu origen en lasescuelascientír_casyescubiertoslosnúmerosirracionales, enlaaún no fortalecidaar paralainvestigación cientír1caunateoríamatemáticacionalescomo paralosirracionales.ionalesresultó quelacolección demagnitudes
amáscompletaqueel conjunto delos número racionales,ulo másgeneral en formageométrica.Estecálculofueométricapuesdesdeeste momento losproductosnotables_retación geométnca.ntinuación:
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2 _ b2_!_m i___m___ _S! !_, :,;nnJn,_.mn
__ac_ 2bc?_;
_'"____' '-'-'' '__ _ v_,_ _'emáticaqueconsisteen hallar unaterceraexpresiónllamadasmultiplicando [ M (x) Jy multiplicador l N(x) J
mo producto _+_-x-
E_emplos=
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et p,oduc_o r_e_,ab, es,_a,, s,.y so__os._
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__0s_ ... _ '' ' ... ':_,_,.. ::.gebraica, con laparticulajdad quesuselementossonentidad entretalespolinomios.
)(_) = __ Tad_0 P X_ _fadD_(X),,.,,,0 ___,, 0 , ,,,, ,, ,,,,,,, , , ,,,., ,, ,, ,,_00,,,,,,.,,, ._,,, ,,,,,, _,\_,__.__' ._. ,.___ ,,, d,,0 __'
''''''''''''''''''_''',:'._,,':,'__:_'__,_._,'''_:?,_...__'_,M'___,,_''.__,;,m_,__e__.__'.:'; = Pvr'''^ + ... + B__,_,''''''''''''''''' El grado dep(x) ser m.n, su término ___,__,,,_,''
_,,'_,,
"__^^^"'i' P_"'"'P_''_d'___'''0_ ''' ''''i'_O''''__'^"_ '^_' __0'_ '__^^00'_^'^' _^^_' '^''_^'''_0"' _ ''"0_''0 ^_'^"'"^O'''""P^'^^^_^_'^'i'''^'_'^^_^'"^_^__^_^"^'"^""' ''n0'__''__'''"_'^''_^__"'^''"_"^""^_'_^_^'^'^"^'''_^^^'^^^^^
_+9x+l
_).Q(x) es5+g _1_
_ _1
7(3) y el grado _e
__ tC1 X"' + _v _ + C3
esindicadasqueseobtienen en rormadirecta,butivadelamultiplicación, por laformaquepresentan:
m__nn_n__v_'n___ ___; l. (2_' +3_)' = (2_)'+_' (2_)(3vx3) + í3_)'
__ lox_y6+yI2 -
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m + n + ß = O
3
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uivalentede
elaidentidad Setienea= _ = c
..:.:...:._._.._...:....::p_.:._p_:._p.,.._..p..,...p._.,:,.:,._,,,,,;p._,._.,,,,.,0,..,,,,...,.,,o..,.,,..,,,,....p.,,,,,,.,.,,,,..,,,0,,,,o...,,,0.,,,do,,,,,o,.,,..,p..,,..,,,.0,.,0000oo,p,0,p,p,,.,pp,,.00.0,,,p,,.,0p,,,,0,,,,,0,,,,,0,,,,,0.,,,,,,...,.,,,...0.,,..,.0,,0,.0..,,,.0,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,o0..,0,,,p,0,,0,..0,00.,,,,0,,.,.,,.,,,,,.,00,,p,0,,,,d,,0,,..DD,0,,,,,,,,,,,,,,,.0D,.,,0,,,,d,,.,0.0,,,,,0._,___,,,,,_____,.,,o Luego lobuscado esequivalentea
"'_:/.__'_________''_"'_"'_::_''____"::._'_:'..'-_:,.__.' '''.. '__''_.___._ 5 a2a3a2 5a7 5.._____.;2__:(:a..4_. __:b'__ +__c__?,._;j! '___ _____ ____/__:_._ ____ ___'_____._:____:.._.:: ;__. ._;.,__..._.:. :___ ,._.,,..__::_.j/_ 3. Haar eVaOr nUmerlCOdelaeXpreSlÓn3.':!
_>>: si x, y, ?son realesque cumplen la...n..___ __,_.:_?,.___":_:;_;;:_;__,'__:_.. ____..__._ ___ _._;__.;:_,___._.__5___ siguiente
___:___.__,.__._.,__.__' _ ' '' _'____'_____'n_ i + _ + 2y - 4x+ 5 + 9_' O_,X_ R_ ./
__' . . y_;_ El dato esequivalentea
_ 2
ea
_o
_+y_)
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__ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _____ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ ___ _ __ ._ __ _ _ ____ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _
de
relvalor
e_a ntesse
_- 1)(_ +_+1)(_t-_+l)
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__ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
+ .....
o__.,om,.
5 gradolp(xJl= 12.2 +22.3 +32.4 +42.5+....+ lo2. l l
7 + 55'- "55(7+55)
olosbinomiosal cuadrado en el
+4b 2 + x2 _+ c2
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_ __ _ __ __ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ __ ___ _ ___ __ _ _ _ ___ _ _ _
ica
ácil inte_retar quelastir_que
_uex3 Jy3_ +__3 6
o.
n) Operemosy Ordenemosconvenientemente,da. Así por
b2_J/a2 bJ__7)i: xev er i r _ ca n J4 ,3 b !3 / _ ' l! 4 J ,3! b , /
r laexpresión
seobtieneesoluctón:
COmO
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ial iroDlgmg 1_4b ' a)'- _ara: x_o, simp1ir_car
mios:
3xy4 - y'
_4
esPOr lOtantOualizar x 2 + 3 _ x 2 + 3 _ 1
m o a7_ b + ab7_ _ _d e_ aco n d._ c_. o,
_g elevemosalcubo
/a3b3 _ I
2a3b3 __
efa
_ + bx + a
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_ __ __ ___ __ _ _ __ __ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ ___ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ __ ___ _ _ __ __ ___ _ _ __ ______ _ __ _ __ __ _ _ ___ _ __ __ __ _ ___ _ _
b _ ab _ l
+y) = AzJ3 __ 3+3A
bc_ o n a+ b + c_
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_ ___ ______ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __
e( l) al cuadrado:
_ _ __
reducidaa
mpliéndOSeqUe- _t t _ t _ (IJ
de
a_
no, X + Y+ _ + 2(a+b+C) = 3(a+b+C)
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ |_ _ _ ___ _ _ _ _ _ ____ ______ __ _ _____ _ ___
3. 3
.......... ... _
ab 2+ bc2_ ca2c._...... _ _ (2l
3abc
GaussJ
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ____ _ _ _ ____ _ ___ ______ ______ _ _ _
x + y + _?= _
iÓn_
o__menteeh Y+ X__ = _ + X) _ + _)
x+ _?) _ +x) _ + _) (_ +x)(_ +y)_ __ + _J+ (Xt _J+ (X + Y)+ x)
l ___+y3+_'+3(x+y)(x+?)_+_)= I
_+_?) = I
l_ando (_) en (_)
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__ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __
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E ' _2 - _' _ _ -
c
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_ _ __ _ __ __ _____ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ __ ___ __
3
) w2 C) í-w2
y
llrlCaf -
O
sión
8 A) I B) 2 c) 4
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _
b,a_,
) l B) -l c) 3
b+c= O
CUanli FlCaF el ValOF de
n
X(_+_+_3+3') es:
OS ValOreS de
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_ ___ _ _ _ _ _ _ ___ _ ___ ___ _ __ _ _ __ ___ __ __ _ _ _ _ _____ _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ __ ___ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ___ ____ _ __ _ ____ __ _
relvalorde
D) 36 E) 3 2
+3a_)
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_ _ _ _ ___ _ __ _ _
4__
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c_ aJ2
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14
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23
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25
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35 s
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_ _ ___ ____ __ _ _ _ _ _0o_________0____0_____0___0e_______0____0______0___0_0_______00_o________0_________0_______0_0o______0______@_0___D____________0________0_D___0___________0_oo____0______________00_ao_______000____o_0__________________0_______0______00________0____0__________t__o0__0____0___0_______0_______00______p_________p____v_______________________t_____0____________t___0_______________________0____0____________________________________0_p__________________________________________________0_________t______________t0____________0_______________p______a0______o_________________0o____________________00__o0__o________0___o0pp__________________0__a_______t_0__________D_________________________________________________v___o_____0_______________0_o___________0_____0_____________o_o_0__0____0___0___p____0_0_____0o______0___p__00________ro_
g,;___!x,.. ,,'_.____?o.__,__i,0_g:_.,;.0;____..._; ____;._o____,,_.,,_,-o.__o.._____d_0_., i,_. ,__9.'__i__', ,_._,.0__0_,_,0_.0____:;'_ ____!'.__.____'_d_..._._?_,__._, __,_',io,i_,____,d. _,_____'..;0_'a.0_,_'____' _o,,____..:--______ii_;, _'_0__''' d,__ __''_: _ _._. 00_0'_.__d_0___"'___,?_"=__d_,,_ __'''i''__ 0j _'__i_-__'__'_' '___, _ _9?'._. ..0 '.__.__. ,0
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______________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________ ____________________ __ ______ ________________________________ _____ ___________________________ _ __ ___ _ ___ _ _____ ____
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_ ' :'' _0 _JAp/__c__/JospJ _/J_rodo dg HoJ__eyco12_r o______J__1'eJ_ro _ lospol i__o9J_ iosnsce_Jdg9J_ei_Je_Jre.bte77i_o poseei1i_i2itostémJi12os.
12re_>_ Ios_ Ia_!a__ble.
,. _x_ <_
_;
K//2t.
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ivisión
enter
de polinomios
INTRODU OÓN
La división
de
polinomios
se
origina con la división entera
de
números naturales; como se verá hay
un relación entre las propiedades de ambas divisiones.
Asimismo, se debe tener presente que los matemáticos Guillenno Homer y Paolo Ruffini fueron
quienes desarrollaron y esquematizaron los métodos para efectuar dicha operación
con
los polinomios.
La
división de polinomios tiene múltiples aplicaciones, entre ellas:
l.
En la obtención de los factores de un polinomio, mediante los divisores binómicos.
11
En
la resolución de ecuaciones polinomiales mediante la aproximación (aplicación de la regla de
Ruffini .
111 En el desarrollo
de
las series
de
potencias, como:
P(x) =
o
x +
a, x
1
+
~
2
+
ª
que mediante divisionés sucesivas por la regla
de Ruffini es
posible escribirlo mediante la forma:
P(x)
=
b
0
(x-a) + b
1
(x - a)
1
+ b
2
(x-a)
2
+ + bm
que en aritmética se conoce como el cambio
de
base.
Las
operaciones algebraicas
de
polinomios son análogas a las operaciones de los números naturales,
de
este modo, vemos que la adición y multiplicación de números naturales generan números naturales,
en cambio la sustracción y la división
de
los números naturales no siempre genera números naturales.
Del mismo modo, en la división
de
polinomios las operaciones de adición, sustracción y multiplicación
de
polinomios, h n generado siempre otros polinomios llamado suma, diferencia o producto
respectivamente, es decir, dent,ro de los polinomios
son
siempre posibles estas tres operaciones enteras.
En cambio dados dos polinomios P(x), h x) no siempre será posible hallar otro polinomio q x) que
multiplicado por
h(x)
genere
P(x).
Es decir, dados los polinomios
P(x)
y
h x)
no siempre existe q(x)
de
tal modo
que se
cumple
117
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____0)_______0___D_______o_0____0_________p_____________________D______0________0______p____________D______0_______D________00____________0__________0_____0____D____0___________D________0__________o_______________o_____D_________)_____D_____t____0___________________0_______________0_______t___p______________0__________0_____r________0__________________________________0___________n_____________0________p______________0________________0________0__________0______0_____________________0__________0__0____0__0__0______________0_________0___0__________0_________________________o________0____0______________________________________0_________0______________________________________________________0____0________________________________________________________0____________________________0_________n______________x____0________
nStantenOnUla.polinomiosse haprocedido demaneraanálogaalagando ladeF_nición deresiduo.
nida, pero deFlniendo como división enteray uncierto
sible efectuar en losnaturalesni siquieracon residuo,o modo 2_+3x- l entrex'_2x+3 no seráposible, puesto quequeel segundo (7) imposibilitando estaoperación.o objetivo resolver operacionesdedivisión de polinomiosseen cuentalasiguiente der_nición:
_: _:,,._,_._.__.0.:._:.__:__::_:_...___,.___.__,___,. _. .____ :ími' .. .'''''' 0''''''_'' ''__;::__'''_D. (x_:_':.^'_:______'y._'__'__, .ix__''',_:_.,d_._..:_,_:_'..!__:'.0_ ._r.._..____.._______'___:___._''___,._m_'^_;_''...,.,_., ..,'_:_,_.,;_','"'.n_i__'_''''_'.re. .'.s.''_0__,,c......M:_. _.a_.m'._._nt.e....Ç.m._:_nJ Ila. rn.a..dDs'._._;___a__ _e_d_________'__.,._.;_'__ ,__!... .: _.0r; dNi_f. ' 'i_:_0.'_ix') _e''n_ed___x__:_:________'_:_c_ :a._ n_ ?. i..__.e.'. .:'_n'' ''h_. l.a._'_:0_t_r_o____d_o_? 'g0_inanu_' . s_q''' _x''''') Y:.''R(x) __,,_'''_'__' '''____''_'' 'i__e_ __ ______T__s__d. _'___''''''''''''._. o'' n' d. eel ____ad0d' e'''''''''_''''''_:'_. .Cx) es_.____:_m..__:R.. _n:a_..r que' :.... v_..:ß' ' .'' ',,..__.! .,. b.i_m .R(x);-_-O. ; .de_ tal '___._,__,,.s....'.':'''_0!' _..':'':_.__'_____...;___..____:......_.:::;....o......___tXu....:.. ______' '_c' .um_., 'p_,__.. 'Iaiden_da..d.. '_u_nd. _a;ment_..de..'_. _.a.... :d.,._..i:'' '''..s_'_6.........'n'' e'''nte....i..a.....,.....,.,,.__,.,......,.:_:..,,. ' ......__.,___,_
a_..._,. _0_'_ _'_._;_,.;.__;.._____....!...;.. _;_.. __' :_. __.:_'__._.....__. E_.. 'n....._' __''_'''''''.E'' .' ':aN_si_: .a..._.h___.____.._:..E___ __^__ _ __. . : ,__Rh''' '' ''_'''''''''''''''''_.''''_,''''':_.''>''_'__,:'__'__':,'_,'_,___.:,:_;,.;'_,,,:,_.,,,,.,..,,,,____.,,__,'_.',:..,,,,,,.,.,.:_;_;.,__....._,....;_... ;':__'___.___:.:.'_''...,,_:.:_:_._;:''..,_..__.,_,__.:,,,,.,.,,,,,...,,'_.'_. _ ._ ';. _._,_._,_::___.;_.:n'.::__ :_,..,::_!,:___'.::_::_:,_.,._.__.'''''-'__:;.,;.;,_._,,.,,.,,,.,,,.:,''.,. ..........,..... .....
sor (d(x)), cociente(q(x)) y residuo (R(x))e:;.'_:a...'..__..'.._x. '_ )_ _;.__''''.q,..: '(...._............._...:...,;,._. _'' '_,_:'.R''0. : ' ''' ''''_.._ 'x. ..)..::.. _''_,,,,
00'^_:O'___o''____0__0'_,_!_,"_,'''__'_,___ Su residuo es idénticamentenulo __i0d____,_'__'___:'__'_._._.''__:__.:.2'_____._'''''''_''''___''_'___'__:''''__'' __._'__,_'_.
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_ _ __ _ _ _ _ __ _ _ ___ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ ___ _____ __ ____ _ ________ _ _ ____ __ _ _ ___ _ __
os
datambien Di__t6n no ex8ctgt toma, losestenombcecuando el Fesiduo no esdénticamentenulo, por lo queder_nimos
Rìx)
'^i_-_ i_,:5' ___
_ __ (ß) Al dividir _-3x+4 entre_+x_ _
_ + 4 =_ (_+x_ l) (x- _) + 3 - x
deUedeSe, Demane,ae uN_va_entecualx3-_+4 x_ 3_x
_0_i_ad_ deGradOS
grado de_ dividendo y e_ grado
_v _ ad(dT
ad(q) _- Grad (DJ- Grad (d )
mo que puedetomar eI residuo
_n_.,_,d:_'____n._R.._-?_ .r6dC__ )__'_'divisor e5 deg Fado _ln'_t e_ Fesiduo alo_rado (n- l)
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_ _ _ __ __ _____ _ _ _ __ _ _ _ __ ___ __. _ _ _ _ _ _
._
Ue
_
- _ _ n dep o _ _ n o_ _-om_.lel cual seIlama
,;s;6, e,te,a..
S
=o_ P (O) = d (O) q (O) + R (O)
;_
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_ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ ___
os
+b_l0+c= (2+3)q(l) + 15
5
D_v___Rio__Nom_osstoser completosy ordenadosen _or_nascendente. Sifaftasealgúntérmino_ensulugar
mino con coeFlcientecero.
_3 _ _p,ev_NamenteSeo,dena,a/ y ag,ega,a/
2
POLIM0MlaS _ cvisión enteradenúmerosenteros
elos
CO
ndeq(x) = _+x+3
Sl0n
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__ _ ____ _ _ __ __ ______ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _
on lacons. En estecasasí seexigequelos
o dividendo y divisor_ seaner_dente.
me su prop Nl
2x+3J
n
ar_lo 2ividir x+2_+_+2_+x4+2 entre x4+2
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_ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _| _ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
ios
,
s,
nOr: - '' ;
n ;, ;,
nteCoef.del reBiduo
ey ereSldU
tadosen unaFlla, deunacolumnahacia
dOS atrás.
como Il)'
_c_ _' ,'__-..._b,_',' .. .... -c__._b1 \'';.
.a.. ',:_,
uela
ción toquelaúltima
os
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_ __ _ _ __ __ _ _, _ _ __ _ _ __ _ _ _ _
a_ + axn-1 + an-2 + +
of lo _antoisor _
. __' _ , ''' __,_,o Y' __ ___ ___l ' - , '' ;_, ' _are_la
rdenado)
7 78 204 648
6
c_ R(XJ"_663
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ | _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _
;
-----C_-l_
.d,do,o.a0. ,,....,.......,. .._,,,,,, _ _, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w_.,, ,,,,,,,,,,o__..... .,. .,.
- Cn f
.''' . , ' '.
_..
E_. DE.__ .R. M._Q,_, '' '''''' ,,_,_ '_._ _''_:: '
unadivisión depolinomios sin lanecesidad deeFectuar dicha
ax+b), el resto sehallamedianteel valoro x tomael _,elor de b
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_ ___ _ _ ___ _ __ __ _ _ _ _ _ _
l 9 3
adel reSto
ual
3)(_+ 2_+ x - 5
x - _
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_ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ ___ ____ . _ __ .._ _ _ _ _
+ 7x 3_ _
nUnCiar el VaIOf deVerdad OfaISedad deCada
_+2_+ l
deHOfner
O
= + 2 + l _''_
r_ni
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__ _ __ .| _ _ __ _ _____ .. _
_ _
EnunCiar et VaIOr deverdad o falsedad deCada
_+2_+ l
e Horner
2 O
a_lar lasumade_oscoc.l
__ l __) _2x3+__ 7
RuFFlni
x-2
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
:
q_3
p-2)
mg _
n
_l_m8lglx424 _ 5x _
3)____5(_3)__g_4 + _5 __
sea33.
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__ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ | || __ __ _ _
S!On_ e3P_O!nOnll
éntjco a
HOm_'
4edonde a2Q) - _ 3o - 24
__ cla d_'v'Is!o_n
o resultaser -3.
aus ar Ho m er.
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
en la
def(xJ
R_ y_
615 39132
3 t 6
(x+3)=2x4+23_+97_+l82x+I3I
__al
nomio
- _ución:esiduo dedividif
e
x+2
_ _
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_ _ _ _ _ _ _ ___ ____ ____ __ __ __ __ __ _ _ ___ _ __ _ __ __ _ _ _ ____ ____
mios
adivisi6nl entre(_+ 2x) tienelasiguienteforma
_ax+ bsegu_n e__o sen_ala'r
a"8'') división Resolucin:
plicaT _ l -a
eS 2
_2) + 2
P
or el teofemadel resto
ienteindica_-2x+ l)(xJ(_ _2x)
el coc__o es el dividendo?
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_ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ __ _ _ ___ ___ _ __ __ _____ ___ _______ __ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ __ _ ___ _ _ _ _ __ _ __] _ ___ _ _ ____ _ _____ __ _______ __ ______ _ _ __ ____
ellpolinomior esiduo.
residuo de_er.
C _+ C_x+ ___
+r_
ismo: r_ = 2
,i,ión
_._.......,,_, ..0,..,._...,_......_.d_, .,..,,._,d,,.,,......._.. .....,........... ... .._., ............... ............ .o;b__ _' _g._ __ ..'i_)___ _ _n______ in_ +i x, .nf.N.___eR / ..._..'''''_'' ''' '_''' _____'_'''''' '''' ' ''''d'•_-_______'__ ' '':'''_'-___''_- d_ _ _'0''_'0'__'''''''0' m___ __'_ _____''' ' ' ''_ ' '
_ = 5
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_ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ .. . . _ _ . ._ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __
m_
x- 1)2) = o __ p'(I) = o
e
_''_''.0____''__________' ,,_'__'_=0___'d_''___' _'_i'''_'. P'(x)es1aprimeraderivadadeP(x) ''ii''...,,.....,,.,,.,,0.,. ,,,,.0........ ... ...,........ ............ ..,...,, 9...,.,.0..,,, .,,0,,...,... .......,.,.,, .,,,.,.,,,o,, ,..,.,.,9,,,. ,.,0,,,,.,,,,, ,,,,.,.0,,,. ...,_,..,.,...,.,., ,,_,__ii.
_ + 9 deflCientesnaturalesy desumamínirna, quesadicionales3! eS di_SiblePOr 6
le_or IO
Resoluci6n:
Homer _- + P+q = ___.t"'''__-'N
l5m p espar
_endr_
__+8x+_s
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_ _ _ __ ___ __ _____ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _ _ ___ _ __ __ _ _ __
-;-';,_=-;-;=_-_; _ ;- _ _--_' !_
S_+1 l ; _+3
ceseldelaPOr datOn_I
5n+l _ n+3
OnCeS
ene
deB.
de_ ,es__duo Delaidentidad fundamental
_)+2x+ l
''_'__'''''_ (a)
l resto De(a) y (ß) sumando obtenemos2B= 2
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__ _ _ _ _ __ _____ _ ___ _ _ _ _ _ ___ _ _ | _| _|_||_ __ _____ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ __ __
os
3 a2 3/5 _ a3
inomio
n AB_ O
epor
A
An __ o+l)= O; A'''' r O
suman 8.
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_ _ _ _ _ _ _ _ __ __ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6. Al efectuar ladivisión_+_3+__2+3x+2
allar el residuo en3n+3
uiente
división
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_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _
mos
-9)(x+3) seobtuvoresiduo de
ivisión deor
_ + px 2+esx J_ _ ,,
lar b_asj ladivisión
l D) _ E) _ 6
nte
x_2 c)1Jo E) -- _
r ladivisjón
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_ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ___ _ __ _ __ _ _ _ _
dividir el polinomioy-(b+2)x+2bs_os7x_4 ?,_ 5x-8
e
s'j al d'lv'ldl'rabx5t b2x_+bcx3_ abx +acx2t c_
_a, _b (a+c)
_ 1) (x +2)
oljnomio de_l)es(_+2x_3)yel
la,elrestoobtenidoald_v__ir
5 C! _ 4_D) 4E)
c__ _-__ abc
rm._
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_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
i
ntede36. Al eFectuar la división siguiente5 + 9x _ _
assiguientes
constante
o esx- 2
+bx+c es
^ 3-
eobtieneun residuo deprimer grado.siduo.
llo
3_+4 ab(,n+bn)x n+2-ab(a__b_ _ _bna- l)x __+_ _abx _ T l
dir P(x) entre(í' +x+ I) se obtu\/o _or
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_______________________>____vM__x___t__s_t___0________c/______________m_____m__,__rrt_r__ns__nnr _____)_____________r_________________n___?_____0____________m__t)___m_____rr_t_______n__y_____m_____t___________________y_________________ry_______t_______n___n_______________o__________________?___r____________t_________y___ s____________t____________________00_____________________r________<____r____________________________________?__________________________________________m__________________m_______nx_______x__o________0__________________r__________________t_________K____________________________________________________t_____x_______?_______________________x____m_________________________________________n_____________________tx_______________?___n_____/________________m___x_____n____________________________________r___________
;_. ''_' _:___,;::_'_.':...'::..,_;',.5_,;_'__,_.._,'__':''_C''' ';';.' __'t?';,,_;'',__;____'"'_'":., :___,. :'''' " ' _: _'._:':,_.:._ ,,_:_._:'!_'':._,.':'';_.: _::;,':;::_...''.::':: :::._.:'''':_':'._;'''.;.:_.;c_.;._'';.:xt_j;'_'i'?__:_'' '';; ,;_.;!'._,:;;.,;_,;.__;.'?,'.'_,''_.'"i__:;---_.:__-;_---_._Sn-._.__-=_-__;.-=;-.._;=_._;'-;.y-_::--_--_-?_--'.__=-:-_,.._.._':_'..__;;'''.:_'._;'__;:;.:.'__'._!;'..':.v;.. _:_.:i_ ''; =:;___._-'-"-_:-_ __.;=;=-___-----_,!5___._,-_'.'::' :. ''',_'''_'__.__;:_;,;,._.:::;._.,:_:; .;._-_____-_._'-_-_:.-_-;._=-:_--_-_;-.:i-___'-_:-?__:_;-_.._-_-_'--_-_=_:.__;;'...._.:.. ;...:.';t_.:::...v__;;v:.'::_'_'.:;_:_'.__._';!._...:._.:!_;_.':...._;___i_-.--:n_-_-_-_;:_.;___^_.:_-_.;..-_=-___-,.__'-_n-_n:':v_n___.:.. _.____"'_ -' --_ i''' _ ';'_ .;C_.!'_'^'_',;-''!.J'_____;'___ _g,i''_::'_'_0 -_-'_- ;__,_4N__.,*,!_' -_ j'_, __- !_._...._..._!' _.n 'mxt
,.??_?_,.__''_;::__;'_'5_::,__.. _1 ___; c_1 1 __:: E Wc_ __5'',;;''_.._'_,.;_,,.__,__.....;..;...;.._.......!.. 2 _;... _'-____' 1__ _;.,n_''_" 22 C. 32_-_ ,__...__....._.x'_._,_,._, __3 __. g _1 3 ;; B_23 __ _ ___;___-;_..:___,_;_.;.____.__'';__.__,_v_.__.'._,_;iv_;.___,v.;:, 4 ___+ A 1 4'__E 24 _34_ __: _?,?.,._-_,_',,_''
_ _5 __ c_1 5 _;'! A_2 5 !__ _ __;m__v, __-.-_''. ';__,__.,._Vi,.._;'-;;__.__;._'_'.__;_;._.;..'_;.,;. _n...M6___,,,,,,0 ;_'' E __t 6___; A_, ,2.6,, ,_g _3_6 _B_,?_._.__,....._;'__'_':.-::-,-_--- _7 :^--. g _1 7 ;_'--. _ WÈ '0'_V,.:,.;.. ;;.:'__.,_._,,.__:'__:__'.;._,::;s'__..;._.,___''_,.,:,__._v.n._v:''__..._,;_i..,;. __8__,.. _'-!' D._,o,o,1,,,8,,,,,,,,,,,__;._ A_.....2.8.... . . A _.. .38 ....p 'g'' ' ______, ~_..;:m-._._:__-_.--.-;.,.. _9 ---_: B__ 9 _ D._g'_v_:__'__Ldi:0 _1 o _!. g 2o __-_., A3o _ _4o CD;q'' 'i'' -
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ivisibilidad
Pierre ermat
(1601-1665)
Famoso matemático que nació en Beaumont
de Lomagne, Francia, y murió en Castres. La
mayor parte de su vida transcurrió en Toulose,
donde fue consejero del parlamento local. Fue
el matemático más original de su tiempo y el
primer geómetra. Estudió preferentemente la
teoria de los números. Publicó pocas obras; la
m yorí
de sus
tr b jos
consisten en
anotaciones marginales en obras matemáticas
que había leído. Entre sus trabajos merecen
destacarse el conocido principio de Fermat,
sobre óptica geométrica, y dos teorema que
llevan su nombre, uno de los cuales ha sido un
enigma para los matemáticos de todos los
tiempos.
El
teorema para el cual no era posible
hallar una solución general es
el
siguiente:
No existen tres números enteros que satisfagan
la
siguiente ecuación:
x +y =z s n
>2
Este problema sólo fue resuelto por Euler (para n=3) y por
el
propio Fermat
(paran=4)
Se supone que Fermat poseía la demostración. Los grandes matemáticos no han
podido resolverlo, hasta después de 350 años; el matemático inglés Andrew Pilles,
luego de 1O años de investigación, logró demostrar el teorema de Fermat en la
Universidad de Princeton en 1997.
Fermat también hizo trabajos sobre el cálculo de probabilidades.
x y
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_ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
'-, '--.:= -,;__n- _, _,,'_, ' _,'_,,;_i___0s,= :_ ,,'; :__'_; '
JleI-4 __e_ e9Jel sigIo pnsn_o, c'JJeJ_tn c_oJJln siJIJpnt1_aJee_l /icos
_leS, evX___SJOlJesell laS _JIPJill2to c'oJJsíJll_o IosJllareJJláricossMJlples.PnJ__ exprisn_7eces_noslossi_2os deIas cJ_ar_ o_y_ciolJesipIicnrJ_ di_i_iy.
r_l0_rll.
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________ _______________ ___ __________ _ |____________ ______________________________|_____________ ______________________________________________________|___________________________________________________|___|______________ ___|____ _______________ ___ _____ ____________________________________________________________ _________________________________ _______ ______________ ____________________________________________________________________________________________________________________________,___________ |______ _ ____ _ ________________________a______________0____0____________________e_______________|_n___________________o___a____>_________(s_v_________0_________)_q____\_s0t__u___e_ _r_ _e__t_m_______________________J_o___________t______s_________ts___J___a_________t_____t_____t_0______0__e_____p___________r_______0
_''''-':....
;;.;_..,._;._'____;_.._,___;,..,.._..,..:,__.;;_;._;_;_^'',,,,0',,_,0,,_,,,_,,_,0,,_o,_.,,,_,__,,_0__,o,__,,o_,,;,____'_,,,;.;,_,,,,,,_,,,_,,,,,;,,_;,_'_'';__;,___,__ ;0. m' ^' _
_;' _'', ' ' ' '' ''''_. ' ''''''_.___.0"' ''i_ ___''___ ' .^_^^,"__. P.?..0 _.^_P'' _ '__. ' __,, ,_' ,,,___,,,'_,'?'',_,, _''_,,,____,_,_'_'_,,,,_'''_'g'__'_\ 0. __'_____'P '_,__0 _o'_'_0_,;._,_: '' ' ._._''_; ' ' ' ' ' ' .. ' ' ._. '.''"'_''';,'_---''"_' ''''_d'_"____''''_';' :' s_P'd_''?' '''_' ''''''__.' "^' '' ' a'''''' _,,..____,.,'':_''. '''''''' '' ''' ' '' ' '''' ' '' ,,_'''' _'::_'_''N;:'_;:_:,.- _ ' ''_: ''.. '_'_'_' ':,.,. '' -- ;-_---=-=--c_, --.-' __ ' / ;. , 9_M' _ane.sex. actas.. .. ._ _' . , ''''_ 'X' ;,, ;, . _ ' '_____''__:: ..._/ x _;'_ , ' '3vii.on__e_smt.able._..'''...:..:_"'_'''.'.'''''';_':..'''''_'' ;_.,. _ ''_, __. _, '"'__-,__''''', ' '' ' '... gre__'_' a.._?aptai_ _:la. :i_d_.a;?_,.;c!''..'''a'.' b.. al'''de.laFact0nz_ci6n' (_._ .ce.m. âde_ E_cto_). __'_i__'._......_...0.........d....e..,,'_/ ___ m!_ î__n__n Fun___c___: i6._n__ _'_a_ ': .l.'o.'s''''.'' 'g''.i. .__d......os d_._,l0n__ _, fi_'_m'' ....î0.s.,;,'';.:''''''''''..'';;'_'.' , '';,': ,,''_n__,,,,,.,,;,,''';,,,, ,, ... .. _0'0__
udialaspropiedadesque tieneunadivisión exactaenlreosenteros_ ladivisibilidad nosda aconocer diversoscritejosual lapa_eopera_vasereducenotablementey sobresa_ela
os: dividendo, divisor, cocienEey residuo) también tieneentasparareconocer divisionesexactas_puesesto permite
al esfundamental enlateoríadeecuaciones.b_idad depolinomiossinren parafactonzar polinomios.inomiosesuna teoa básicaquedebeconoce-rseparan loscapítulosen lascua_essetengacomo elementosalospodía ser el siguienteejemplo:ave_ocidad va_acon el liempo según laexpresiónsedose_ auto sedetiene/ n sedeliene.locidad escero, paraello ree_nplazamosen laexpresi6n
5, entonces, el auto sedetiene. Ahoraveamos,si parane_ paraello vamosa transformar nuestraexpresiónen una
aCta, en eSleCaSO dl CemOS QUeVt eS dlVlSlblepOC
nemos
ro tiempo di Ferentede''5'' lavelocidadno escero-
no sedetiene.
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____________________________________________ ____________ _ ___________ __ _____ _______ ___________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________ ___________________ __________________ __________________________________________________ __________________________
o nuloscon coeflcientesrealeso complejos_ si el restomentenulo, entoncesg(xJse llam_ divisor def(x).
..,. ...snonulos sedi_ queF(x) esdinsiblepor g(x) si existeela identidad dedinsión exacta.
-3- !__(xJ; r(x)=-g(x)_h(x_ '_
entede ladivisión f(x_) entreg(h-) esh(x).sun factor der(x-).
ax=a_ esO_ decir_ P(a) = O _ el resto dedividir _(x) entreuef(x) (x- a) escero_ luego P(x-) esel producto de(x -- a)sporot Fopolinomiodegrado (n-l),sie__do_cn''e!doquegrado del polinomio i(x), esdecir,i(x) es
dedividir divisiblepor (x- a).equivalenteaaparax=a.
Lacondición necesariay su Flcientep4_ raquesiblepor (x-a) esqueX=a.
n X-
2do. grado
dir
x). g(x) 20 0 _ -12
l -4 ; Ox-a) es_
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_ _ ____ _ _ _____________________________________________ _ ___________________________________ _____________________ ___________ ______________.___. .______ ________________________
os, coc_entesnotabl
' ..:..''''' ..... ''' ''___,,,__',_':..,..;.._._,._:.,_._.....'.....,--.::--_. _'_,..,.;..;..... ..__; _:_____,:_:_,,,.h'' -:._,,,...._;.''''_' ..,- ' ''__ '
^' '-_'_ Delosteorem&s2 y 3sededuce:
lei_''P' _ _- v '' ' ''""'''_ __., .,. ' 'V' _- '' '' - -- '' - _,_ '__'__, _ '......_C_aUm,0,, ,,8, e l__Iin0mJaS_ ,;' ,,;_'.'' :_;_ _''_,..,,._-_-._,____'_____) _. _-_n divìsi__l'e___ _r _x:); _'',
X.) _ __.._._ _'d0_d_'_' '_l_?'_ _2(X)' ..'._''_. '_' 4'''''''(X) __'_'__,,'_i&n. es_ _i_g ' ---' '_1.inomi0. fÇxJ_'''_'''' _1vi?ibte__'' '''_''' _,__m:íodescadD_ro. ' ' ,''_'
x)_'' _c, _'"_v''_un Mom___ '
x)I, ___.,,,,,,, arbitrariode,2rad,ocero. .,_0__'_(x) ___, MIO__. __ ''' ''' .. . '''' _x .o,
__ ' ___o__,
e_r g(x), fix) :tumay ,__. '' estambiem d'_msible_r c.g(x), dondeces ___r h(x) __g _acons__e_ n___....' ,_ _€Cx)-_h, (xJ,gtxJ'_h x c_ x. ___x) y g(x_' ','so_ 4m_' ('b_"''i_
oy_s_ó_ocuand_ f(x) _'''__.g(x), ;'_'___te_o nW_ _'''_-_''__''____0'"_ __dm_-v___0''_'_''__ w__'' _'__'__'a'0___ _ - _ ______ _______' _ __'__''_'0'_____' _ ___ "___ _' ' ''
n(X) ' Osi el po_inomio p(x) es divisibleseperadamente/a_b_c_
(x.a x_b x_c
_''''''__.._' _M..__''__. J_..,:'_'_:._g'__,_'_'_'','___;_ ...-- ,_',''_',._,_,_:'._''''''''''''''' Demostrac16n;) l ComoP(x) esdivisiblepor (x_a)_ _(x) _ (x-a)q_(x)__v__s_.
x_c) / atbtc__(x-C) Q3(x)
_-(X_a)(x-b)(x-C)Q3(x)_ !ue_Ose
) (x_a)(x_bJ(x_c)
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
. ___ '_;.._,_,,.;;_.,.:;;._,.......:;..._.;,__,.:_--;----_-__-----;;-------_--;---_-_;--:----;---__--:-_---_--;--_--_--:--------_:_::,_;_'_,__'_____:'__,_:_,____::._.,_:_._,___,:_:__,_:_::_;,._;_,_:__-----_------_;--___-__-_;--_--__--_--=_---=_-;__'---------=-_?__..'_;':_-__- ';g--;___'''_;,__'__' xg,..',,=_--_-=__:_:__:.n._,___;;__:._'_,'_:,_..'__.'_____,'__.__.;__,___-_---_-_-___--_--_=_-;,_===a-__-:.,.;_.;'_.c_._.,::._.____,-'0_0_'_'______R_m___d______'_',''|'"__i_''''''!'.i,.i____i___,_.'_ _r (x_a)(x-b)(x_cJ; axb_c,será' _'' ____-_-'-'__^^"_"'^. '":'''':''_-__--' _ ' : -' :'' ' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''_-----_-------- ' ''''''''
__,''_'0_, d'Nisjbleseradamenter (x_a) _ ntOdaIVlSlÓn ePOllnOmlOS,SialdiVidendOyal_' cx-bJy cx_cJ' __ , diviso_, seles mu__i_lica_cun _linomi,,p.pp0.,,, ....,........,...... ........ ..,.,.p.,..,.,,.,,,,.,........,.,..grado no nulo, el cocienteno seallera; pero elmio.
, D(X) ' S(X)=-_d(X) ' S(X)l4(X)+ lR(XJ_ S(X)_r DedondeseobSe_aque el residuo quedac_.multiplicando _rS(xJyel cocienteesel mismo.
__ o EiemPlo
X'_
ividendo y divisor por x+ l_ _ _'_;__;;.;__ _.__'''___.._:_';____ _.;_____...__.__:_.; _:____ _.___._,,,,.;_''__'':-'':.a.__'' _'_,_.î ::,__0_0,,_0, _,._,_ ___.: __. _ :.;;,.__,;'_,,_'' '' _':____''_::__;::'''',,__,_'::'':,_;,'_': '' '''''':;:'; '_::,_.' '__' '_,' '' ' ' ' "' ''' ____^''_'____e_;__"''''__:/__"''::'__: (2x__7x + 4)(x + _)(2x.w_ 7x_ 4)(x+ _J_ _ _3 _
idirar_eS l2( ). X_7X+4l(_X+
+ l)dó mWtiplicado por x+ I, se_ queR(x) -- '9x + 4
.'....---_-,___;_-----_=;;-__;=_-__--__--;-__-_;-;,-;-;_;=--__,....,..::_.,.,.;_._'0_=_.gE..._0,,.0w,_,0___ _J' -_--- ,,._g,.,:..__.._:.;.:.__;'' ___ .-_,_.s._o,n_epol._num.,oss.,ald._v_.sdindepor un polinomio de_r_dOc_ientenosealtera; _roelresiduo
l- D'v'd'endOPO' S(X) ' Oc) _D(x! ___ _d(xJ. q(x) + _R(x)S (x JndeseObSeNaqueel residuOmUedamo.
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________ _ __________________________________)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________o______n__________________o________________________0____p____________D0__0DD_______________0________t____________0_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________J___________________J_\__________________________________________________________________________J_____________________________________________________________________________ ____________ _____ _______
o,, cociente, notab_
to en cada
(x+ l) __ (x 2- _ + I J3l + x
_+_)(x_2)52J6
___=-'- - _i- -_-' --c---=-=-------- _ ' '' _:_ _.:__':- -_-_-_=---i----__--_-_-_- -------_------_-_-_-__-___-_' -_'______^ ______0^ -____P_:--5_---_--_______;_, ,_/'''__;__,;' , q__ ?____ ' ' ':'':'. ___:__'t_'/:;__._______, ____,.,';''_;; ,'(__'''___',____' _;'_t',_,_,_;_' __, ' ^ _''_^ _,__^ ' _, '_ _, '_^ ' ___'_ _,_^ _ '_, , ___,'__:_;'_::_:____:_' '_~___':____::': '''''_'' ''___'''.'' _:'.''''' :'_._':_:'_'_' ':''':' _':_':'_:'' ''':_''_'' _X__'J'X''__'_: '''___';_o ___;__ _ _________'__:--_______-__-= __-___-_ :_ _' ....'''__.__''._.._, .'_._ _:'.,..._:.__----_-- -'--:__--_-_-__--:_-__-- _----____--_---._--___.---:. _--_--___----__;_--_-_-=--_- _;.-_;-__-___;-----.- -.______.=_.__d_,,;,__.d_.,, ,._,,. ___0____8____ _dD____ --__-___. _ __ ___ '_.'',,''; ____,'_;_,,''______'_' ;__.;'' n,__.y P'' . ,':'. .. _ ....::::. .:' ::.::...,,..,:,,; .:__:_,,;;._: __;_.,_,i_._.;;_. '_,_. ;_;__:__,;_,_;_,____,,;___,_;;, ;_;,;,' _ o ,, o',_' __0_, o' _,'_,,'_,'_,,' _,'_,,'_,_, o'_,,,,_'_,, o__,,_,, o', o,,_' ,_,',,,, _,_,______g.__.__;_;.._...__. ;_....:_;'_: :_.,.._,: __ .. _...... ... ......:___..___;....._:_,_' _. ..__::___....._._.__,._._,____'_ ._'__..,__:, .__'_:_._._,',;n_?v' ,, ,;;'___, ,_?,__X__
cocientesqueseobtienen en Fo_adirecta, esdecir,sinnsión.stoscocienlesnotablesson delafo_a:
___ '?___'___._ __ __ ' :__ _ ___ _ '___; ___ ___.: __ _ __ _ _ _ _ _._ /'_.;_ _ ___._ ': _ '__; P._' _ ' ''___' P___ ' __ , '_. '____ _' _ ' _ ' '''. _'__'.: '; ; _''_. : '_,_''_.: , __ ' '___m _ _'__''' ____ :___, _ ___'_ :__ _ _ _ __ :,'':'' _' ''''' '''' _ ___ ': _''' _:' '''''. _ _''''_,'' ''.', __':'_. ___''' '___ ''''' _.' _'' ''''_' ______._.__ ' '_._'_ _____.''' __ ;,__.____' _'_ '_'.____;_.____. '' ___5__, _ ~'__~_ __. _ __;-.___. '- _'_. : '_ _.__ _'_ ___.;: '____-_ :__ ____.___' '_ ____._' _.:;___-___ __;;.' '' ____ _'' _._ __ ____._____ ' __-' __'' _ _ ______ _'_' _ ___'__ ____ _ '_._: _ _' _' ________ _'_.__:' :_' " _'' n ' '- _ ' '' _ ' 0''''''''''''' '''''''' :'''':'' ''''''' . '''_:_._''' _''':'__''' .'''_:?_,_,___:____. ____::.;.__.'_;: ._.::'',:' _'_''__ ;___''.__.:_, .._'__..,.n._...2' , __.'_--,- -
_:__.;. .:.:_:_..;__:___. _.;_;.;;.;: '_..:_'___;.! _..;_:,,_'' :._''' :v_'''''' :__,___:_;._._,__. :_;;__:; _;',_.: '_'',:__';_,' _,:_.:'__,..;: :;::,,___,:: _.',,__:_,__.,, .;,_____,:.;_,_.. ,_._;::;,,: _._.___.,_...,___;-,.: ..,_:__:_..,:_, _.,:_,-.,:,;_. :_':,_.,__.,:: ._____,,:,; ;,_..,:__.,___.,. :._,,:_:.;__.m_._. :...;: .__., '__,_;.,m:.,_,,: _,:;_,..,:P,. .,__\v. .._;0_. .;_. ._.
. Su cociente: _ectuando ladivisión por la
__ n-Yn setendrá
__0':_.: _:._'_____:___._:__i.' __,:_____._._,:.__'': _ _:___ d'_'d__' '' '_ ' ' ' '_''_'_n'__i __ __,_,.:..;........_'.. :___.'''..:. . X''Yy l
_= :_-___ ::=y-. ---=:----------- -:---,---_;._. ,_,:m,....... .....,......: ........... ....:..:... ............. ..........; ...,,...,.,., ..,.,...:.; ._,..;,..;._. ..../.:_''i .l Y. .."'..
l de
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_ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ ____ __ _ _
uiente_, _ _ . ..'_.__;.._;:.:_.::.:.;:_.....__'___;-__.._T. '''E.Q_-__,_. ,__o_ ... _.,,...'' '' _
_'''''''!''''''''''"' _ _ '______;''_,___"__ __;,,,, ';,',_'__'___________.____.,:o_ '________:.. __.______-____''____'__ ________ _' _''' '''''' ''''''''''_,,!___.''e___ '' '__ _- '' '' _'_'_'___^'^___^^_^_,^'_^_'_'_:_^_'_'^^^_,_^__y:____' ':'.__i;_'_/''_,_'..__ _:i'' ''_'_ __' _'_"_' :;__._'''_,_ __;_,.'' _'_'_' ,,__W _ DadOel CoclentenO_able:_ n-_l___,_.,i_0__,8'_ _e_;'o._'___0___',_^'0;^',^'^'^'_^'__0___._''_.,:__::_. ,_._' ;_,'__;''''..____;:__:_'_.''___i___'__;n... _,_._f_.___:,___'_''' ''0x n,_,_ ' ___x _____:n___' '' _ !_,' '''::'_''''_"'''''':___ i"' ___,_,. _ ,_ '__ i.____ ;_'v 4,_ -, un lérmino cualesquieralh esigual
_:_''}_''_____"... ..,.....,..,..:..'_.',__.;,_;'..:._';_X"''_ ' .-_ ' ------__;_:___ _-,-_._':'_'.._:_'/_'._::',_.'''_;:.^__,:...........,...._....:...,..1 . x -y
y_'l
2
_ _ -- _
5
nneCeSidada40 _ b _ugar 2 l
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_ _ _ _ __ __ __ ______ _ _ _ _ ___ ___.. ..__ _ _
s, cocientesnotables
___ ____ s
a. Ve_o_ su resto:a_
o, RnY' -- -Y-
.
_
le
x -_ +xn-_2 - ...,. -yn-'
et OOO_______NO-_
elEntOnCeS
ero la
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__ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ __ _ _ __ _ _ __ ___ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ntecuadro__
_nh_ _ _ \ _?_ __,n_?- ' __'/ , ' ';_ ' _n ' ' ò_' b__ _ __ ;;'w_'__,_ ,' ' '' , _q'n ?' ___ ' x ' J J_ J' _! ó Q___' _uo,v,
laResolu_6n;
o
x 2 _y
+k_I_3Q__-_5___Lueo el te_ino en mención ocu ael uinto_? __' ,_,___
m____
eracocientenotable
___ ._ n ,_ y
o _ (5m+ _)(m_2) __ o.,
ner _'
=2 seobtendráun cocien_e
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_ _ _ _ _ _ _ _ __ _
visibleUn polinomio P(x) detercer grado sedivideesseparadamenteentre(x_l); (x-2) y (y+3);ando como resto com_ 5. Adem_sal di_dirlo29. Calculaf el2) y té__no_'nde_ndientedep(x).
_6n..ueal djvjdir p(x) entfe(x_ l)N, (x_2)te, dejael mismo
ir el polinomio P(x) entre-2)(x-3Jdejaráalmismo res_o5.2J(x+3) q(x) + 5
x- l) (- l- l)(- l-2)(- I +3)q+5 = 29nte. _ q -_ntre
mo resto_vl.d__, (p(x))_a
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_ _ _ _ _ _ __ __ __ __ ____ _ __ _ _ _ ___ _ _ __ ___ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _
_e (m_OJ
x- I, se3 __
por s_. el o__.nom_,o p(x) _ x__ + _3+x7 esd,___s,._or de_ es,
sdivisiblepor
+ _ + _ esd_._._.s_.b_eo,_
Luego por Ho_er
lepoc_ _ _ _ =
; h _h
ución:
x 4 _ _
o en el dividendo reemplazamosx4-- lx) _- O'
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, cocientesnot4bles
Sea n
n = 5e_o ladivisión indicadaes
_''i___0_'_'_a_,'_i_'0a0_,'___i,'__,__0'0_,__'0a__'0a___a___,_',__,'_8_,_,_',__,'_8,_,,__,__,_0_,_i,'0a,__,'_,__,'0a,__,_,__'0___,'0_,__,'____,_0,_io'0_,___'_,__,'0_,__,'0___._,'0_,_i,'_,'_'_nn _,_'_i''_,,__,,^'_,,,__0^. "^'^_y_____i_'''^''_^o^'',^',^_'___^''_0'^'^'^'^^'^''^'^'^''__^',i^',,'',^',,'___,_0_,__o'__0_,_,___,_.,.0"_,_,_0,0__,o.en. a- . t _ an__ 1,.__,^'_,.',::.''',,,'_ ' a_b ' k' ____..__o,^^,.,.
__i'________'_'___'____'-0__0_0'00__-'_0____________'0-___0_-__,____'0___________ ___0i ___ _____________________ii-_________-___ __________ ___i_______i_____i_____i__ddo___-___i,___-i___i________i_'_--___-___d_,__i____,i0_iii,____i_i__ii___'V,i
n el
3_, ademásPa'+b2
a+b 9p _ a_b 9p a+b 'p_ a_b _p
r l(a2+b2_bJ8 (a+b)_-(a--b)'1
tonces_.nos
- '
visión
ro de
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__ _ _ __ _ _ __ _ _ ___ __ __
eHallaF el númeFodete__inosde_ sigujente
visión
ococ_t
CUtiVOS.
nticos40
x78 _x16 +x74 _x72 +. .. .x2 _ l
denomi
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s, cocientesnot4bles
sracional entero sisva_ablesson enterosy
acional
alores, 6 términosserán
s: Si la diViSi6n:
;naun coc;entenotableen e_ cua_ un te/rm__25__l)Y.
ido por
ón: __,,_,,_'___~v ______'_,_____,__0_.._o0_,_,o' _ox_ 5x _ + sx+_ ___,___,__,__.!,____..'_^ :,,: - __'__,,__,_,,,__,,,, ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,,,,.0,,,0, ..,,0,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,.,,, ,,,,,,,,,_,,, ,,,,,,,,,,,, ,.,,_,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,.,,,.0,,,, ._..,.., .0,., .,9.,.,,._,,.0. 0..0.. ,. ,o.,0....,..,.. ,..,...,.... .,.......... ..........,,, ,,v, .,.,,,,,_o.,,, ,0,,,,0,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,.,, _,,_ '_,, __
t l o
cua_qu;
+
x__)B(5x+_)B_ 9g__ __ ___. x__
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deté_inos.
al6y8
i._,_,_..i__D.,_,,._i...,.,_,._.,_,.,.,,.,,,_i_.,d_i.,a,i,._ii,,._.i,.,_,_,.i.,.._. ; , _''i__0'. x:(3"-l)(a-2)=16 .................. (I)__0:_g'g'_____.____v_,o__i/' 8_(_+r) = (X+Y)' - (X'Y)' ______'...,_0,,_ . n_ __ ,
a
OlUCt6n:ladivisión
^pael lugar 6.
en_eunpo__nom_o p(x) de5to.g,ado estal
__v_.dl_ecomaresiduo _ _+ 1 7.
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_ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ ___ _ _ _ ____ __ __ _ __ __ __ __ __ _ _
os, cocientesnotables
mos al dividendo yr ?- 2, el cocienteno sealtera; peromultiplicado por ? _- 2
__ _ 2
R(Z -2)
x-4. 83+ l+ bratlCOeS ' a- _ ' _ - '
enede
el F_nal,esonales
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_ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ando se_aR_.(x+ l), siendo R_ el resto en:
2(_)s+ _ 2
e
eSeeUndO_fadOalnCcoc_Nen t eQ( x) y u n, e st o _ 2 s_. sed__v __enteaurnenIadoen4, la
_.d_.
_ (x + 3) Q(x) + 12
enePerO)
+ (a+4+bJx+b(a+4)
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_ _ __ _ ___ _ _ _ . _ __ _ _ _ ___
cociente, notab1
polinomios
Q(x) I
mios no cons_ntes.
(_+x+ I ); enloncese neP(x) = (_+x+ l) q_(x)................. ..( l)
X- l)(X-2) _ f(x). i(xJ_ (_+x+ l) f(xJ. q_(xJ
POlinOmiOP(X) eS diViSibl_ POC(_+i+ l ).(xJy B(x)
VJ
delresto(x-l) (_+x+l)= O)= xA(_)+B(_)
el resto de
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_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si el residuo deladivisión del po l inom iotre(x_+4) es7 yla sumadelosel cocientees6, hallar el
x) entre_+x-+ I seobtuvocomo residuox+l, v, al divjdjr i(x) entrex-_ l.Calcular el resto de
naDJ_+x E) x+ I
deefeciuar ladivjsión+x_
) l B) 2 c) cx__ _xJ+ t E 2_ + 1
sdivisib leentr___
s nula. si al dividir p(x) entre(x-2) se3 obtuvo como residuo 50.
Hall,,e_restodedi ,l_d;,p(.x)enE,e (_7__)
y
ablegenerado por
U<331talqueexist enl3té_inosente rosenudesa,o__o.
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___ _ _ _ _ _ _
os, cocientesnotables
Unpolinomio m6nico denoveno gradocúbicaexacta, ademásesdi_sible
omo en_e(x_4)entede dicho
o decuartoseadivisibleseparadamentepor_v N_d__-3 dejaun resto igual alOO_ luegocho
omio entrex+ t
un te_ino del cocientenotable
Um ax_+yIo
' equ__d__
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_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _
m_salserd'__'dido_r(x+_)seobtieneendiente
olinomio de grado n y devariablex esleen_re_ l+_ 2+ _iente2. Sabiendo que
nte, calcular el
+ l)"
- l_
q2 - l _pqq2
E) pa_ _ __
e
Hallar el
_c) (X- l)(X-2)
Vament_ Se
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_ _ _ _ _ ___ __ _ _ _ _ _
/ coc;entesnot,b_
4 ; se36. Simpli Flcar+xp+x2p +x3p + x(2n - _)p
_P_ l
nEenOtable; el Se_undOeStáadosareS del ß_meCO. _CUál eS el té_inoeCentral en d_ChOCOClentenOtable_ SabiendO
) se38_ HallaC el g CadOabSOlUtOdel déCl mO_ Pnmef téCmlnOen el COCientenOtableQUeSeeObtleneal diVidif:
ble9 sl, el poll_noml_) _ b_ _ b _ d. .sl.
x _ + __2
: D) 2 E) - '/2
_j ;
SYmnpq t Oobtiene?
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n?,___,?vv__?_,,__s_,,__s_;__v__?_,v,,_?__n,_?_?____?v__?,q?,,_;_t____vn_t?v__?__,_,vs_v_v___v_____sss;__;n_?nvn_?_____?_v____,,_?__v__,,v?n,___?v??v_vv;__,_?_vs_?;______,_,v__nv____?,?_;_,?_m?v;s_??_?___nt,r,_?_?,J?u__?_,ss??_____?__v_v_t_s?;_?_v__s_;_?,t_?s,?v___?,?vs_v_s?_s,_c?n__v;_?vs___?__,;_;____?_v,_,_;__?;,_;__n__v_ss?_?___vvs;_;?_v__;__vv_?,,,_?_n;_____?,_,n,v?_?_?__?_????n_t?v?_v__?nv__9___?;,,___?_s_;,_n;;_,;;__v__t_;__,_?,_vv,nv_?__?s?_?_;_s_,,_st;?tv______;_ns;n_?;_v?_?__;;,t;_?__?__s?_;____s?___?n__v_??;?___s__oe_fmea_a__ntolrsn_caonu_st_letme0nu___ccasenapuouf_ee9yaa__Asermccn__obeno__oploorrluno_r_anpsumsrt__eatcee_taesc1aJ9_(onr9a_caoo9tsule_ls9eaeyayaeenn_ntta)etrobreaoosrurc_haoar1n_lt_ot_+_nJsf__aca0fdoa9eccelstrrm_adnataedemesoanenel__(r_cFacc______ttg___0
_c_?__?r______qe5t________K_____?__?cre_c____r?___t__x_???_n_f_?_%____n_t__h0?J________?t??___________?a_?r___?______v__n_v_/l__t____?b__ty__l__t_J_q__?__2t______________?/_gv_v_J_r__?___xy_t______a______ny\_r__\nv_ry__;__t___M__t_\__n_____v__x____c___t____nqs___tt_v_rn__________?____t___tv__yv_s/_??_______9___n??___mt___qx______?_______t?sxx____?__?__v____0??___t_F_l?_??_?_?tt??__?tt___t_\_____??______??__n_?_?_?_?__?_m?_____nc__??__xce__sto___?_q___0__;?_?_tt?__J___??__J__?v____?__JeJ_______n____9_,_?_r_q?_0_?__xo___t___h_t?(xc\_x______n_D???_?_?v
_,,5_ __,____%,
n cond iciones? L, __,, \ _ ___ ' _ _ _> _cX' _, ' '_ __,,'__A lOS 16 anOS, __L__,:'' ''' __ ,, _ __,os n _,n_\_ .,. ' ___G_ _i_
-___ ___y"'__'___; _ _"_,:_',__.___;_'__ '! _M_;____n ,_"elativa! ,_n_;_,,__' ', _,,_ _,__ __e_q j _\v __ ;_ _; ;;,c_x__ ',\ ?',_ _' ;_,' ' :v,_v,,cior :_ ,,", n',_/n, _',,__nsesc,.. ''' 'x ,,"' , ' _;_.,x ; __
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_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________ ________ __ _ __ _________________ ______ ______ __ _____ __ ___ _________ ____ _____ _ ___________________ ____ _____ _ _ _______ ___ ___ _ ______ ___ _ ___ _ _ _ ______ _______ ______ ___ __ __ ______
'' _.''''_'_.' '_''' 9__.:'''_.'' __.''_:''_'_.' '_'''_.'_'_. _'''_'___:'__'_, ''__'__'_.__''' _.'_''s_'_,'___' __:_''_._:':' _''''''___'__' _,''_''_.?'__' ''_.__4mv,__'y_'__v!_?.v.! _'.'''__';' .'_!'__._.;_''' ''_'''_:: ';__'' ._'_.;''__5_'___.? _'_n_;___'__.:_?___;_:______._/ '__;_'_:__._, _______;:______.n'' :;':i.n.'' .;_'''''_' !:_.'iqM:'_:' ''y_'':_.__'_' _._'g'__.'0_ ''_X'.'___' _.''_._''__'' '_''_'''_:' '_'__'_.''_'' __''_''_'''_. __'_____._'''.''_' ''_.__'î''. '''_'.'____'__' '_.'__:'__''_' _'_:''___'_.'__ .'._'_'._'_'.x''_: ,__:i.'_'_._'_, i___'__;!6'9._s_.: _._;___;_:_:i:'' ___i'''''' '''''.;_. _'''''_ '___:'__' ___''_''_:':_' _.'__'' ' _ ' ' ____..'_ _._.'____ _. ___ __., :'_::.__,''_. _,__'.,_.'::,i __'_.._.__..,__,'__i '.'_::,_''_: .._'_::._:,____.. .,_':.__._::._. y_'_.i:._..:.' ;.__.:'_::,, _,_':'_,y__.:,.' :::_j.:_.; y'::._:',.' :.'':x__. .:__. n_'_y__.,,_,, m____.,;y.,_,,.M_,>____,_;_' '_:)''_''_' .:'__._._'.,'' __.i'':_',. _.__.'_:.____.','' 'v_s:::.j_____,. .'i.:'_~n.__.: __/_';'?i__.. .;vi__n,,,':;' _K;;_;e,''' _;.,_''!,;:. i,_._._;_'_,;' .'','__'__;;__, !_. :_,,..,_,.;.; i,..,__'__ .,;.. ..._.0..._..., ......_....._,. ?....._:.__..,. ,,;._.... ..._........ ..2......._,_.. _....,...__._'.. ,.'':___,j,_.. ,..v.'__. _;. .h'q.;i 's:''..: _._;,___V_:; n,/,;_...;,,. ._.;_,_:,''' _.:_':_':._: .'_:;.._'_:' __,._.:.:. ':!___':.'_; :;..'' ' ,, ' __''':'.:' '_'_'.:___...:, ::_:__.: .__'::__.__:' _
_, _'''', ''''''_ ''''','''''' : '''''''''_ ::''''','''''_, :_'''','''_::''''' '''''' Al expyRsay24 =J.8 se)_a_4cro__?4do 24 e97p_d7_ctodeeJ2reyos,_ sic92doJ?_ 8_4ctoyess7_ vem l4 =J._;' J__ 2 so17 raJJ2biéi2 JacrorRsde24 _7seJl4_JIn17 _4ctoJ__s
JJJo Jn 1JIJIltipl-icncióJJdeotyospoIi17orJ7iospeJ1e12ec_ie_7t_sn JI1J.ct o__?ació12 depoIi12o1JJios.
cro___ay. DeacJieido nl4scaJ_acteJísricasrl_Ielic4r ral o c7_.al c_ieiio, poy ejeJ'JIp Io:
_ _spadobleespeci4Icos
Ios poli12oJ17ios:
Jrdo e1l esreJJlnJ_n_'iII oso reJiI4 _JIee._ /nJncroJih_ncióJ 7.
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ , _, __
_/?_?î6n i_cadae_0_' n'__X_ _sdem_or_' _\_''_.uact_n.es, __ent_ /en la_ e_i___es, _tc. ?h'__n ?î-';_ \ __ '' ,_ - - "_ '
__ inc____,c, __,n.n,es,,,. ''nn v',n' 'S ,, ,,,,, _
sdetodo _nsamienlo matemá_co, surgelateoríadeealgebraica.siones_ esta ayudanoslabjndalateoríadelasimpli F_cacálculosengorTososy pennitelaresolución deunciones, etc. Paraello, desanoIlaremosel temaconco, polinomiosirreducti bles, Faclor pjmo,etc. _ así como losmios, sobredeter minadosconjunt osnumericos.
ctoreslineales.caremos''diferenciadecua_rados'' o "aspasimple''.et_aparagraF_car ciertasregior_es.ipalmentealgunasecuacionescuárticas.aresolver ciertasecuaciones, de preFerencia,con grado
mosfact onzar.debemos facto_zar numerador y denominador para
vasFormasdeoperar, paraaplicarlasenotroscapítulos
sentecapítulo.
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._.''_';\__:'_';'';v' ____'.,_;,,_,.,;,;V,,'''_,,__'''_,'_,;;''J"''_'_'__::' _''_,'_,''__,_'___ '''';'''''':':':''_,''_''''__''_'','''''_:'''''''''''''__'__'''''''''','''''''''''''':'';,''''''''''',:';''':''':''',':'_;'_'';'''_'__''''Y__=_=__=:;--=--:--,______,_,-_---_-=--'_-_=__--__=:;--__----_------;----=--------_---_-------------_--;--=--=--=------------_----_''' ..:'... /'''__-,__,-=;_-_--:_-___-__'=_=-_-___-_-_ m-'_'__=.''__:',;=';...,..;.=;:':.:' ..,.'' :-------------- -----------------_-''_.'' '
eracionesbinanas: adición (+) y multiplicacio'n(.)mpo numérico si secumpIen lossiguientes_iomas:
elementosay b deun conjunto Kt existeun únicoconjunto / c=a+bdapar deelementosa, b del conjunto K, setendrá:
elemento a, b, cdet conjunto Kt lasumadeestosese.
o como neutro aditivo. Paracadaelemento del conjuntoO''; OfK; a+O=O+a=ao de''&'' o simétrico: Paracadaelemento 8 del conjuntoa, (-a)eK_ a+(-a)=(-a)+a=O
mentu a, b del conjunto K, existiráun único elementoceneceal conjunto K.lemento a, b del conjunto K, secumple: 8b b8ro ''.o 8t b, celementosdel conjunto K,se lendrá:
como seasocia0 loselemen(os_, b, c,' esdecii,el
tivo: Paratodo elemento "8'' del conjunto K, existeun8
&do inverso multiplic8_vo: Paracadaelementono nulo aotado or a- _ deK, aal _ a 1.
mu_n___CAc_6_coNREs_E_on ln AD_c_óN;
os numé_cosconsideradoscomo camposson loss(_).
_Losirr8cion8les(_') forman un c8mpo?_
iemßreCUmpleel aXiOmade
_ _) __'
osi_acionalesno fo_an
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_ _ ___ _ _ _ __ ___ _ _ _ ____ __ _
_y_ __ , _v,_N ,' ' "_,_ ' , ' ,__ '' -,, __, '
s,,_,,,,, ,, , cno e, consI,o por ser degrado nulo.
o dete__.nado campo nume_,__co s__ noadm___sado como la mu_t__ p___cac__o_n dedoso ma_
ocampo.
; E.x) __ __1 _ _
=4x4_ I no esirreductibl een _ porquepUedeeX_reSarCOmO
I_ F(x) = 2_- l esi_eductibleen _' _ero no en
pero
m_'___v,_________, _ ,, , , _ eslaunidad ima_inariadenotado_?_ _ '_ . . , J
"_' _ adela,te D
, _' '' _ _ __ _ __ _ __ _
dOPOlinOmiOdRPrimef _fadOeS iffedUCtibleen_
XSl
ledeun
_sonx__2,_+__+Ien
v_- 2)
2) n, ,___"; _,,,__,_?AlfaCtOCde Un_lInOmiOtamblRnSe _0eno '
-y_''
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_ _ _ _
_;';, s5_;_ Enp(xy_,) __ _yz2acto_spjmosson tres: x, y, _
nlCOSOfeS en tOtal.
namultiplicación indicadadesusFactorespnmoso sus
cAmio esúnica,
maquepresenteel polinomio.
esoIución:
so P(x) = _(4_+5), donde_usfactoresmino. pnmosson' x_ 4 +5
FJem_ O_Y) '' (X+Y) + 5_(X+Y)
y
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_ _ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _____ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ ______ __ __ _ _ __ ___ _ __ __ _ __ _ _ ___ __ ___ _ __ _ ___ ___ _ __ __ _
op(x ab) __ _ + 2(a+b)x + (a+b)2
tnnomio cuadrado pe_ectoar
(x) __ x4 + 2_7
a___andOCOnVenlentemente3 2_ 2x 2
lUCiÓn:
-ac-bc) :'............................. ;_
+ (- 2)'
a.
E _P_
alospolinomiosdeen_efo_, ene,,_..
__ym + Cy_ 6
_Y) = _ '"+ _m + C_
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_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _
olucl6n:- Descomponjendo los ext Femosadecuadamente
2 _ gy2)
(x, y) -_ (_+6 _) (2x+3 y) (2x_3n
___,,TEoRE__,,,,_,.....v ''m), T
(x) =_+_+c__ (A_B,c) cz, _A, o,_
5x + 2, sí
lo 2sractor'_ableeng 7.
dO
Zab e
mOs
+(_+t)x+_
_) _ _'_+2_+ l -4_ = (__ _)'-_ _)2 esun cuacl,ad
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____A______________e____t_______D ___t______e_o______B______o_______________r_____0___E ________________e______o_o______n________0___f_0______0a____0_0_00______0_0________0_0_0_______v______0_____r_0_____0______________r_________e__0___________0_____00____0________________________________p____________________________o__________t____________x______________________J_________ __________________________________________________________________________________________________________________t_________________________________________________________________r_t_____t___ __________________________ ___ __0__________________________0________________o0________o_o )
gotenemos:adr_tico en unavariable, si esP (XtY) = (a__+ C__ + F_) (a_ + CW"+ _j)
__rqueno es
.................................................................,..........,,.....,.......................,...........,,........,..,..,......,....,..,. Factori2ar
_i. Re8oluc16n:______''' =_._'_,!'.,_'_.' ,''__!,.!_,_!_!__!,, . ,,,. Aplicandol asaspa ssimples :
eneral, li_ii_i''_,.pa '-__''_'',,. D.o. _ t l_ + 6_ + 7_ + 8 + 2
S de_ - _ly - 3
,,,, , , ,, ,, _, , ,,,,, ,,_ _ __,., ,, , _,, ,,,, ,,_,,,,,,,,,,_,, ,, 5_ D-2y -3.:;_':.:._::_:_:__'::.::.;_:.....''_' ...._:.... , _,, , ___so_b_i
_.___ _:'?____.___'_,_...__. ..._q._.,.....; ...,.._;_; +_'''_C_2,___ '';..__.,._,_; .,_'___!0:.!i,,, ,,,,,,,,,_,,, ;,;,_,,,,__,,_, ,,,,,,,, _,,, _; ;_,,', ;:' _ 3yl
3)(2x + 3y + l
en su EJempIo 3
) -- _ - 25_ + 20z2 - 5__ 2Mz_5y_
eacuerdo alaFonna_eneralterceravariablecomo si (uera
O_
suFo_afacton.zadaes.2x _ 5 _ 5_,
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__ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _______ __ __ _ _ ____ ___ _ _ _ __ _ _ _ _ ___
cto_zar F(xJ=_(x+ l) + 2_ + 5(x-3)olución_..'':_:._'''__ __:,. .,,,.,.,,.'0 '' i''': _' _': _,.':''"''i''_''''''i'''''''_,__,''',...'._ EFectuando y ordenandodeacuerdo ala Forma._,',__.:___':. :....B' ,,. _: _'''''t' _;__,;.._. _' ,,_... __' ' _''''''___''_E, ,_,_'_;;,. . genefal_
5x - l5 SDT:
___: 2StV
te_ p __ ,2_s_ +6 2 ,2_5, +q 2
ntal. _ -2Y_ -Y
_ __ _+_ _Juc_o/
_ SDT: llx_4
+3 4)(_+2 +2 _J
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_ _ ___ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ ___ _ __ __ __
S
unto-_n5___v__ delos_siblescerosracionales._or, _ _ _Factor EJ.e_plo.
ona_esson l o,Asl/m_,smo p(_) _
O.
lOnaeS, pOf _l.nea_es.,nd._
acionales.
eS :__:__ 0_s, ' ___n _____. 'do unpo1_nom_o p(x), e1 número _b_,es undeun cero de este_linomio, si y sálo si (x- b) seráunOr deP(XJ_
6 = O
Dado el polinomio_n 2 + ... +a, _, ao.a,,o
noss._ u_.en_emane,a.
S QUenOS
ClOnal_
Rufflni entreele, grado depolinomio y el pnmer factor encontrado,neraícesSlendOel COClentedeeSta dIVISlÓnel OtfO
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__ _ _ _ _ ______ ____ _ _ _______ ___ _ __ ___ __ _ __ __ __ _ _ _
cton_za,6
on,_es..
orcutivamente.
_tan lao;
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_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _
, lasuma defactoresRrimoses:x + 5 + x + 2 + _ + 7x + 3 = _ + 9x + lO
amARYRESTAR
mponer algúne, unaensFo,meen otro ra/c_._
Nom_osDE G_o pAR: consist
varlo aunadiferenciadecuadrados.
,maf y rest,, 4_)
mosde
x_2x)
+ 2x + 5)(_-2x+5)
oluc_'o/ n:
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________ ___ _________ ______________________________ ___ _____________________________ _____________ ____ _________________________________________________ ___ ____ ___ _ _________________________________________ _________ _ __________________________ __ ______________________ __________ _____________________________________ ___ _ __ __ __ _ _ _____ _ __ __ _ ________ __ ___________
R_CíPROCOSnomios4uetienen pori un_raiz cuo Iqu ieraesKla
= ax3+b_+bx+a+_+bx+a
_,,--_.-_--'_ ' _'__., ;n__, - -i_ _- +_ _ "'l::_:-_- :''' ., ... '''___,::'_,:';'''_,::''_;__'_. ' ' '''__ii .. ,.,....,._, __ E o &_ M A,.__?;,?_.='-_-----=_-J'' .', . ..._'''___ ''ii ' '' '''''''''''''''''''''' '' _' ''x__'_:'_i_ l) _ Todo polinomio recíproco degrado impar se anula
_.,:,.;.................,,,;D,, :;.,,_,;..;.,;0:..,,. ,. ,.,.,:_:;,.:.;;,;._;____;. .... paraI ó - l
,,,8,,0d,..,,8,,,_,D,d,,,,Ddd,,.,...,,,..,.,,_....,.,,,,0,.,..,.,_,,.,.._=,_,,......,._.g_.,..,..,.,._...,_SeaP (x) un _ l ino m i o de grad o i m p ar i ___o '_, '' _=:_' 'P'_'.P_ '_,___i'_''_ _'_'_''_''_i_|'_i'_''''_ en_onces(x- l)6 (x+I)seráunodesus'__ __ _''_ __'_d'_ ractores. ____,'d''0o0___....____''_'_'_'_'_''''''''-'''''_''0'''_ '_'-'i''''__''''-____'"'''_'''''-'''''"'''''''''''''''''_'_'_'_''__'_'''___'_'_''__''''_'__ __0 '''''''''''''''''''''''''''''''''''9''_'__'-__'-'__''____'"-'__''_'''_'''''-''''''''''_''''''_''_'_''''__''_'-'''_'-_'__'--_''_''_"''0'''''"_''''''
actorizar polinomiasar;
al
grado del
eral del término central.
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_ _ _ _ _ _ _
_
nde el ractor demayor sumade
OS SIM_' l_OS
r
_
r.
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__ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ , _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
cos:
2_ --- '''' ' ''_'__'':''''''''''_''___'''':,,''''_''','_::'';_;,:'''''/''..''_:___'?'_:s_' _/n___.____'"''_' ''___''',,'''''''''_'_''''''':''.''_'''__;''''''_','_;_, ':' '.__;''__' _,''' - _ ... .. ....O_ ' ' ;:..''..,: ''___,';_,'__''____''''',:;:.;'_.__''.___.'_._'_____: _'^ iq' .,'_:... .,'' ....;:.,;_"'';,;,'''''_ _. _''''''.: , rBO ' ..:'' ,__.' _... :: '' '' '; ;
__ __. .. __ ', ___ ____'_ _ ; . _.. '' ' :'_,,_,,:,;'',_,__,_ ____, '' : ' ;,,'_',:' '_'. ' ' :''_ .. _' _, '''' _,_,___'._, ;_,:;.', :,''''___'_ _ __' ' ' '' '' : _'__ .. _' __, ' ' ' ;' ' ' ', _ ' ' _ ' :' : _ ..,,;'__'_''_:''__ _' '_- :-- __ _--- : : ' _- _:-- _'- '-' '-- ' '--'-: :-'-'--- ' , '''_' _ '_: _d_'_;n ' _ '_' ' ' ' ' :_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' '_''' _' ; ';.__' _' '_ ' ' _ :. ; ' ' ,,''_' x-- ' _ ' , _._''_ ''''' ' ' '
y+_)
d:al (x + yJ5 _ _-_ _- _(x + y) a(x. y)e,. g,ado _2do. g,,d
N
ac_.endo.
.:,.._, . .:,_' _ l_2S
ón det 5M _ 2N __ l5 ....___N__ (_)
X,1 = _ X+y 5 + + 5xy)x _
algunaEJe_PlO
a __a3c+c3b+ Ja_a_Jb_ 3_ 3bleResoIu_ón:ier par devariab_es, el
_-M(bta,cJ. Entonces, el polinomj'omado, ade_násparaa=b setieneunam(b,b,c)_o _ (a_b) esun Factof dem. Luegr polinomiosalternados, losotrosfactoressonay (c_a)
a-b b-C(C-a. k(a+b+C)
menteal procedirniento del problema
M(a,b,c) = (a-b)(b-c)(c-_a)(a+b+c)
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__ _ _ __ __ _ ____ _ _ _ _ _ _ , , _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ __ __
alor __)+__)+_'_) ,por lo tanto P(x,y) __ (x+Y+z)(_+_+?2),delOS FaCtOresprimoses:y2+_'
lojzar, indicar un Factor primo de2__2+2_)
__m+_?)2 + (m__,)2_ + 5(m2__,2)V
o desus
385
oresprimoslineales.olución:
aP(xJ=x4+_+ l+7__385ivamente. Reduciendo seobtieneP(x)=x4+_-389
3 como =_ (_+24)(x+4)(x-4)
_4), cu asumaes2 x
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_ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _
a+I=O
x)
mos
xJ.
ct or n.
orizando por aspadoble:6 xg_ _ 3 x2
) = (3_+2_+3)(2x'-3__2)zables
omios; sin embargo, no_UYeentOnCeS qUe2_-3_'2 eS eles.
dar lasumadesus(actoresprimos.
a+b)'- _ l)obtiene
ntoncesK(a,b) -- (a-b)(a+b+ l)(a+b- IJOCeS ßnmOS SOn
; a+b_ ICt_ pnmOS eS 3a+b
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_ _ _ _ ___ _ _ _ ____ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ , _ __ _ _ __
decoeF_cientedeun factor prirnomio S(x) = _ - 2b2x - b8 - b4 - l
,...,.,. .,,,,,.,,,.,. ,.,,,.,,,,,, ..,._,,.,.,,, .,,, , ,, __ _D_D'd0d0.. ___i__'____'___0_____..'_' _..q_,.__,_,,_,,,,, ,_,,_,,_._.'_'_... '_0_','_'_'__;,, _,..',,.,. ' 2b-X+ b' --' _ "b) _ _,,'_0a, ,''?_... , ,............................ ,... ,........ ,............,........ ,.... ,........... ,....,.......... ,............................................ ,. ,.......,............... ,..... ,.. _... i i. i i i
s+ l
teses
Ci r b - b + 2 _ -b ' b
s
del POl!'nOml'O
imo R' C
+ + a+ CC+
: -- C+ a+CaC+c+l 6 a+c ó ac+I
OS
_ ( 6 _ )2d derfeCtOt
efOS COnSeCUtIVOSmbossean cuadrados
nConSecuencia, _ + 6_ + l no es factojzable
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_ __ __ __ _ _ __ __
+ _2 = m
cir setendr;2bcms _ 3n2m + 2n3and o 3 n2
m+2n)(m_n) _ (m-n)'-(_n+2n)
+ _+,2
_)'_actoresalgebraicoses
pnmOdemayOf SUmadeOeFlCiente5 en36x_
or común monomio: 6xy', sel Ox-_+y+6)
(_ + O_ - _ + l ax + y + 6)
pOlinOmiO._.H(x,yJ= __(2x+y+2)(2x.-y+3)
y + , X-Y+decoeF_c, Nenteses 2
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_ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ __ __ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ ___
x-4)x+4 x_rimo dedonde un Factor primo puedeser
ner el nu/ me,o de factoresa_eb,al.
Factoresal eb,a_.+ _)(_+ 1)_ _ -_ 7
primo
un cambio devariablex -3 = _I__ + 243
N+_N+
_ =
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__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ ___ _ ,
+27I J(x,yJ= (_+y2-y_6_)(í+y2-_+2_)
Factor demenor sumadecoeflcientesesctor Y_'
Oi(x) _ xG-9_+30x4-45_+30ì_9x+ Ior pnmo mónicov_ + l-3x
_ ' ' _3 --_ -3?
_) v _l) F lll) _/
em8 28
_b_C-- a+ tC - -- ' '
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__ _ _ _ _ _ ___ _ __ __ _ __ _ _ _ ___ _,
oQlem8 30mio
z) X- X' - _+ ^ + ,delas siguientes
(x,y,z) l_ Tlene4 (aCtO reS PC_mOS
m(x) pol_.noml.o recl/p,oco degrado l.r Ay Bm(_ _ j __o _ueo o, d_.v._so,e,b.lno/ ml.cos.
J
nosde
+30x4-Q5_+3O_- 9x+ I
proco degradpa, Facto,;zado (_) set;ene.
x + 30x - 45 + - - - _ -, i
mismo
x+_ _ 3 __ (x2 _3x_ _);_
+I)J
_T. F _T_. v
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_
sT. lndicar unfactor pjmo de
resionesno es_ino de un factor pnmo de?.
9. Indicar el Factor primo cuadrático demayorespuésdefacLori2ar4__
+2x 4 c)_+x_g
_ospol,_nomN_y+_5y2_ 1 _x_ 17y+4
como respueslael factor pr_monoe coerIcientes.
+5y_4 B) 2x+3y- l C) x+y+4_ E) 2x+y+4
uadrático demayor
)__2x+5 C)__4x-2
tesdeun raclor
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_ __ _ _ _ _
DJa+b+c+2 EJ 2a+2b+2c. _
s
actory'-
-
posicionessiguientes:
ade_1_ a_ c7_ no esun rac_o, pn.
ode Q(x) -_ aa_ + (2,_+,__J_+ (_a+2,__a)x+a_3
_ __ __ 4ro o falso con fespecto a
ns2- 2c'- ; O< c< I
A) VWBJVFF C) FVF
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b+ l _ a_ I cuadradosper€ectos.
x+ 2dad deoPosicianes:
x + lprimo es_ _ x + l
eS l
FV
or dealeaquel queno es factor
x + 1
n Factor primo de
+bs+c.5+abc(a2b2cJ_
Y"2x)'+ (3_-x)5
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_ _ _ _ __. _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ . __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ___ ___ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _
) en l o ss (a_ b ,c) _ ( 2 a2 + a b + ac+ b c) 2 + a_ ( b c)
F d ev e, d ad dec ad au na d eIi en t e p (x ) __ __5y. 1 _
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_ 3 1 _ . _ j E
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_ _ __ _ _ ,__ _ ,_ _ __ ,__ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _
ud _ossobre,?,__ ___ ,_M_________5,_-m____'a ?_ , "^ß' v_ ' vw'' _'_,c3_,n_a_U__ade /aJ__^Ç_'J;cy' ' ' _ ; ' ,_, ??_;,_f l0s_,?, m'?__J' _ ', ___, _ _'_''af_sic, J,_,_ __?__'i, _ n ! _ _ _'.VXcc__y' ' " _,_ 'C,___-___, 'e,
___,d, _c_,_,__,__ _._ ___ _ _ t,_C___ _'_, 5_, x '___'_'_v_,''_'. _
ndo en ''_,_c0__ _ ,'__'_5'?___,,,?_?___, _5___ç'z_,''__ ,n,v,_ __, '- \' ?___,_
_,____ ,_,_ ' _ '_ ?__
SU %___ ,n :_ M_5_ ,_ _"_?,_v ____ _ / _ _____ __c________'c!,,__,x?__ __ _^ c_ _',_x';_ ! ' '1741.se' '' ' ''"-"'_ _' '__ _ 'J__' ';;' g,,_ . '
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_ _ _ _ __ | _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ , _ _ _ _ __ |_ _ _ _ _ __ _ | __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ,_ __ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _
_ , 'S_esde{ m__mo' ' com5X'^~ __ša___^ __ com_YS _ m' __.__i_, _-_ _h___' as'p__ ' _ _s_, r cua_ c_mÓ_' nes,;__;_ _ ;"'_ '__; "'
m. y M.C.D.son consecuenciasdela teo_ademúltiplosmética. Unadelas aplicacionestécnicasdel m.c.m.y
deobjetosgeométjcossemejantesde unaFormaexactaen
^_____^__ ''m' 'n___h~"?__M_
trar lacantidad decajaspequeas que en_anen lacaja__ M-C.D.
úmero deplanchasque sedeben utilizar en laconst_cci6nsnecesario utilizar el concepto defracciones.
C.D.segeneralizan aexpresionesalgebraicasy esteecapítWo.
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___ , __ __ _ _ ____ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ___ ____ _______ _____ _ _ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ ___ _ ____ _ __ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ _ _ _ __ ___ ___ ___ __ _ __ _ __ _
._,.::,_:_._..:_..?,''';_'':;;_.'_:_"'"' '"_'_._.___,_.''__.;,,'':'._',.!'..^'":""'._:__.;:__.:_,_.;:____'__.;;__'5.:,_;''....:'_.;...._:....,.._;'''_''''_;____.:_'__:____._:_.'/.:,';;__;_'_;,..:.._.._..,,.;,:'.../.''_'';.,_:'__.,'''':..,.::.''''' "''._'__,.'_,.____:._.'__''':'':;..""'._'.'''..,..''::;_;._;,;_:_;_,'' .:.:'';':''''_,_.'_,:_''_,:.___'_''_;,''' ''. _ :_',_.____. _'_,'__'_,_',:_..._ .: :'...;,_._;_:__:;'._.:'_' ,,''_,.... :,_.,... ...spolinomiosde gradosno nulosP (x) yQ (x ), sed icequeQ (x)esexacta. En tal caso seráposibleexpresar lo por:
x_____' .; H.ix' ' J'...:_'... n'u_0..........,.::'_
mlOS, DiremosqueM (x) ser áun factor com ún a dosnomiosf(x) y g(x) nonulosde tal maneraqueseaposi b le
o tanto, susfactorescomunesson:) '-
,_,.,,_t P(xJ= 2x 4 - 3 _ + _ + Ax+ B ytor Q(x) = 3x 4_ 7 _ + NTx + N
n te,
_2 ;,^,.^'.^^^o^^0^^......^_^,a'_,^__,__^__.___'_.__:_____._^^_._____,.._Og._0,_,,_ _'__,t _t00''___,.___'oi,_ 6 ; 12 72esse'0_,__D'00___0o0 2 - l l 2 ; O O
6 + 12-_ o _A= _6poseen __D,_., _,,.0,,
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_____________________________________________________________________ __ ___________ ____ _ _ __________________________________ _________ _____ _ _ __,____ _____ __ _ ___ _ ,
E UNPolIN0Mlo
sisible
masepaFada.
Q(x),
x+l)(_+3)l)(x+I)'(_+3)3, ...
polinomio múl_pIo comun demenor grado.
x). A(x). C(x)) B(x) A(x) c(x)
M'C'D'(P,Q) m'C'm'(P,Q)-- M.C.D.(P,Q).m.c.m.(P,Q)
El m.c.m. dedospolinomiosA(x) y B(x) es_x _ 2. Hallar ell) número defactoresprimosdeA(x).B(x)
_,':_.',_.,.__:_.._:__:_'_'_,:._._,_:M.....:_......:.,__._'_'_,__.__:_: '',..._._:.__,__,_'_a'''_0......_,_..R.''''E: _. .._.' _ '' ..,... :..'_''_:_' _. ,'_.' ,,,n.,,__.;';,''' ., A(x) B(x) =eque _ _3 x2 4 _ + 4 _2
+2J(x- IJ
+2)2(x_ _)2(
) _._ene3 Facto,esp_.
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__ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _____ __ ______ _ _ __ ___ _ _____ _ _ __ ____ _ _ _ ___ ___ _ _ _ _ _ _ __ ___ __ __ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ ___ ______ _ _ _ _
OmlOS en (x2 + _)2 _ _2 (x 2 _ l)2OllnOmiOS eS 2
mOdedondem.c.D.(A,B) -_ x4+ _ + l
s:
_) A(x) __ x4+ 2x2 _ 3
x 6 + x2 + 1
en el;5) -_
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_ _o_____________________0pu____E________o_0_____________0__________________________A____________________________________c_______________p_0_p____x_____________00_____0_______________o______________________N___+_______________E5x___________s____________+________________7_______________E_____________N____________________T_________________R__________________E________________________________N______________u___r________m________E_________________o________s_____________________
s
''_'''''':.:_''':'''__:,'''',''''._''':_'':'_'_';__''_'''-.'''__._'':'''__'_;:_.''_'.,,;_'_. ';_ _---- _,':.'''__'___:.''_'''''_'''''___'_'''''''''''.':''''' _ -__;=,--=---/---_: _-;__--:_--___;'________'_'___''Y';'__.'_''':,;.,''',':h_';'''_,_',..''''_.':.''''',;'__.''___.''_',;'''''_''',,'',.''''_.;,...;..__:''.'',,''':''__,_..:,.,'_'::_::---... :- .. _:;_._,_:_,___;,m_~::;_;.____:;:____:____;___,_____.:'__;;__:_:____:'___-'i__':_:___':-..,_.:-_.,_....:_:,.;_;-^,;:;--_..,__..;;:Y:,:'',, ____,_:_,_,;_;;;:''_,:__,''___';''_:___.-,__._,,_:,.'-:__:-':--'-'' ' ''' ___,;_.;_,,:_:_____::______.,__'__ X_,Y_V''-_:_;;____;,;_':__,,,_:_:.__;,_ '_ ..
_';:'::::__.'.:,.:;:,.,.'_,::._'_,''''_,:'.,__''_:_,:::''''_.,___;____,_::_'''_,_'''',''';,N''''''''''_'__'x_'__ J'' ''::'..,.:/'_;;''_____::.''_:_:___:_:____^'^''_^''_:,_:n__n_:.,..'':: ..''':'':''''_'0vv^_^^'_'_''_"'D(x), i..;........._..._',,,,_0i_._a_i0_,,o'_''_ ;~im-- :.. ..D.:_. _.:- ----:--- ___m__n___,__,;.__,__':___.;_;_._ ,_ ''' ' _' ' ' ' .. .....
;;.;-_--_-____--_-_;-,_----'---:--:---_---_---__-__=__-_=--_----_-,=-_-:-'''' _,,.,....:.:..,:..:.._,:..,..__.,.:._;_..........,...',._:'. _"?_.,,','';' ,.. .. '.... _:., _:-' m: - .. _.;.;./,.'__;';;:^'':_
_'__,'_,'_;''__'__;__'''::,''____''''__,'''''''''':_''_:'__,''._.___''__n''''___''''':'''',,'''__:'''''._'_..__._'-_''.__:__,_,_x:__:__;__:._,_____ '_,,_''_,,,a,,_____0,_'ix_' _?'.___:'_,_:'_._'___''''''_,;____',_''____' :; "_d__''"_0 :'__''0o:'0'_'_'^^___'_"' 'm'''''''''' '' _'__'' '_' ''-':''''=''' '0''___ __ j .
encial).
JemPlos_
do
caexcepto _2 y _I_porquedetomar x talesaloF deido lafracción.e,c.v.A. (f)-_& _ (__2, _ _)
-
adOF_ x2 + 4
mero Fealc'x"_pues_+4nuncaescero.C_ Entoncesc.v.A.(_ _ _
___
___.__,_o0.__0.,__,_'i'_i_"'''''_''_.''___'_i'''_____'______=''_,i'=__=_''__'''''''-'''____________',,_,,_n__,,_',,_o,'_,,,0'_,, presenteque debemoseliminar ''__'_,_,_.,,,,.:_:,,'.:;;:.,. ____:_ valoresdelavariableque anulei_t_____'.,.
era, el ___._.im encordar:
nOS ac
aun. _iCiÓnbC
en b d bd
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______c___________________________o___________________o______v_D_____________________o___________0______(________________________________c_______________________r______________________________t______________)______________________________x____o__________________o_(__________________o_0__o____)_o______________o___00_____________________0_________________________________________________D__(_p___________(__)______________)___r_______________0_______o_____y___o_x__p______0_s0___o__t___20____o___________________________________0___________(__________________)________0 3N((J )__t_(x(__txx)t+_+x__)_x2(____F_)x__ aa2c)_v_A_oe
+I)+(x-I)(x-I)+l)
x_U- (I, -l)
..'''''''':':' _N_tXJ_2L_X)''t N_(X_---D____;_--_) .:''''' '''--' D_._xJ' ._.'D2(___:_-' :_- _--=----.:. '' '. r_cc_oN_n_GEB__c_ REDumB_Es'o'''i' '''' __''''''''-'_''-'''''''v''-'' '_'i '_''''e' '''''''''''0d'd'_ddd''0_0'o__d'"d' '''''''' u F . , f() N(x) d.bl .
tr
ctible, seprocedeala__.:_._/_''A':__:_,_.:_ _ _ ( _''"o, simpliF_cacióndefactorescomunesconsiderando_..._. X_,,,,' 2 .,__D0 comocvAde _arracct_o,nreduct_;:'' _,''x'''''''n_''D-;'?_. J...,.. _2_X_J_:-':-:___:'--;___.... lafracción inicial.
O) l. LaFracción en_
''_-_-- __ -= , N--f'_''':''x' '''_''' ':..;.._^__-_C__'-___0_,i. Puedereducirsea_;_......._....__=.,.,,,_!'''' _ ' ,,,.,. ''' . . ------_----;;:-:-_:.;;:-_''_,i_
X^''____ ,; 2_ X..._:_ F(X) = _X'' ' '__ : ;:: ;_. ___ ;___'__._.:_;. _'_;_., ;....__.:;..____. _,;:;. ..,_n;_.:._,.:\. _,_:_ _: ':..:.......dd. .......,.........,_;..v.,.. ;: _ ' __ '_, ,_ :'_,d_:,_;;__:..._,...._' :....;_.__;_:: __0 ::_' x - 5:J_(x)--o) C,V,A_(_ -- _ ' (3, 5)
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_ _ _ _ ________ _
g_poscomomogeneas
_ICAS homogéneassi todas poseen igual polinomio
(aS.
cionesal_ebraicassonf
nadoF
erogéneas.
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_ _ _ _ __ _
de8 '4 7eune
N E_
nes, por ejemplo+d7_)
_2 ' (x_2j(x+ j
r.decir_di
l6n PrOplaIr fedUCtlblel denO
mio
v8 que
eneracomo sumando al a
_,. _,, ,,,,,,,,,,,a,,,,,, ,,,.,_,,.,..,.,. ,,,,.,,,o.,., .,
a _' ''' ': ''' ' ''' '''' '' '' '''' S'' _
esle ^'_,_,v0 .....,.,,o_o ''..:. . ' :'''' _' '_'_ ,,, _n ' _ ''' ' ' ''' ___
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_ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ __ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _
+ _ _
_A(x_l!(x+2!+B(x+!!(x+2!+C(x+!)(x-'!)l)(x- IJ(x+2)
x+2)
r del_ fO_a(_+bJ" n 8tO
ade
,,-,,,,, ,, ,, , ,..,,..,_ ,._ ,,..,,,,_ ..-...... .. .,,, ,,,e-,,,,-,,..,.,,, .....,,.,,d ,.,,'''' ''B,,'_'' c''' '''''''' ___ ' M ''''',''
_'_,,-,'_
e
_ 1 3_ l 4 no _o esento x__ l 3
actor
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_____ _ __ _ __ _ _____ ______ __ ____ _ _ _ __ __ ____ ____ _ _ __ _ ______ __ _ ___ __ __ _ _ ___ __ ___ _ _ _ __ _ __ _ ___ __ _ _
_ + BJ(X2 + 2X+ 2) + _ + D
resdeben ser
radores
2ue puedeexpresarse
escomponeF en laadición indicadad
+ 4 t ene,a__ t Co_n '
-'''- '-'' ''' ''-' "' ' ''' '''''''' '''''' '' '-_':'-'__'D''_' '_ --- - ' i-'---------,'__----- ____i f(X)-+-
--=+____î-:_-'''-----'''_ x _2 x2+4_' _-l,''_
_i_2 ,.___'__i. f(xJ= _+ X+ +- _--:.?- _).,=m i.' (x + 2)(x_ + Q)
0^"0'^^____ '"' ' '"''^' ' _0'0^i__0^___'_'_ __ i'_'_"i"^_0^^''' Entonceslos polinomiosnumeradoresdebenser
B+C)X+ 2C+ _
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_ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _______0___)______________(_____________________________________0__________________J0__o0_____K__(______________________)__________o______________o____o_o_0____2o_______)_(______+___F______________x________0_________________0___________)___0(_______(__________0__)_______0______________+_o____(_)____!___(0___0)_0____0___0__0_3____________)___(p)0__o_____p_____0__0____D_t_t___cc)
una fracci6nropia quedebemostransformaflaen laadicinonesparciales.
deDescomponer en laadición defracciones
quelafracción esimpropia,
pueselegrado del
_x_ _x- _
x + l -
propia
_'_!'_'a_B_'_'_'_'^"'0_'"_B___7_..____i__.' x__1 __. (x+ 1)(x _)(,-2+ _) '',
ible:
x-l (x-I)(x2_l) X-l x_+l__ _______-____-_______0__ __ _____ __d_D_____Dd_______________________-____ ______________D__ ______________________,..... _2 A(x 2!
+-_4_ - _''_.' _2 -- '! ' X_! 1B_ K
'-l)(Bx+C)
alOreS COnVe_lenteS a''__'':
2A- 2( - _+c) _ B= l
lÓn J_ x _ 2
MM'M_'^m'^'?, LaF,_cción im fopia
,,,,,,,,,,,,,,o ,,_,,,,,,_,_,,,____ ' x __ y2 +! .__ _ l x2
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_ ___________|_ __ _________|___
C.D.delos polinomios4_+ _ + b_
B(xJ=_+_+d es(x- I )(x+3)m.
sOS
(xJ_ M.C.D.y B(x) _ M.C.D.
)(x+3)(x+2) _
x+2)(x--2)b
b Sean lOS ßOlinOmiOS4 + _ - 9_+n y otro Q(x) cuyo5x + 6/;
esReSOlUCiÓn:COmÚnaP(X) YQ(X)
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_ _ _ _ _ __ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _
M.C_D. = (m+n)(m_n)(m2+mn+n2)(_--mn+n'')
eS Luego; m.c,D.(Tn,_) _ m_ + m2Jn_ + r)_m_C_m_ m.c.m.(m,N) __(m_ _n_)(m_+m__n__ + ,,'iJ
N) ,_ ,
(P,Q) Reempl,z,, do m _, n set;ene .
C.D.(x,yJ
mos.
uel po1inomio _uecon9)'(x+2) tenga como M.C_._demás; _ = x' - 13x?+36 ?
Q(x) el polinomjo, sabemos_ue.C.D.(P,Q). m.c.m.(P ,Q)
). m,c.m. (P,Q)
c.m.
= _
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_ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ ___
Facto_zando el numerador -
) x_+ 2
ne
+b _ab_b2 _a+ab_b _bJ_ -' _(_ _bj2
_e(j bj b(_ bj -' j bj
2
_' __
. I + b
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_ __ __ __ __ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
"
m_ 13
-c) + (x _ b)(x ' a)
C+ C-a_ _ (a+C)X+aC_
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__ _ __ _ _ ______ _ _ _ _ _ _ _
lor deT losvalaresdeA y Brespectivamente.
lirá7x _ l _ A+ B
.___ (D)
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_ __ _ . __ __ _ _ _ _ _ _ _ .| __ _ _ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ _ __
+ X - X_
es impropia, descomponiendo
25x2-lox lox2+ 14x+46_2+25x_lo---..-...
2 = _5 2 +
2)(_+C)B)_ + (5C-2B)x + _A-2C
A+_B= lO_) 5C- 2B= l4
A= IO, _= -2 , C_2
_+46 _o _2x +2
(X) --X'_+
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_ __ ________ _ __ _ _ _ __ _ _ ___ _ ___ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ ___ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _
a __ ( x)
_
ución:ectuando
y2 +y4)
+y4)x2y2 x2_y2
2
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_ _ _ _ __ _ __ _____ _ __ _ __ _ _
__ I -l 7;. 12
ndrá4)+(x-5) = 2x-9
esta' ' + _2 + ( 2 _j j x + _ 2_
a
dentQ _ + _+ _ +
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_ _ _ _ _ __ _
2
. es20
_(ß)
--
__828inomios
nO
)(X+3)(X+FJ. deB(X) '' (X_ l)(X+3)(X+5)
nA: -l+3+r= _2_f= -4C.D.) _ A(x) _ (x_ _)(x+3)(x-q)
UneS SOn
_-6X+8
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_ __ __ __ _ _ _ _ __ ___ __ _ _ _ _ _ __
omios6. Si lospolinomios5_+Tnx+ n+ px - qcomo M.C.D.a2_ + 2x + l
M.C.D. delospolinomios+ _y + y4
y M.C.D.dedos+ I )2 _ 4x2, además2 - 4x'.D. es:
M .C.DD) (x+ l )(_- l J
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_ _ _ _ ____ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ ___ _
uelafracción
+ b 2 _ p 2 - m
transforma
nteaA+ B+ C
dondeA, B_ Cson constantesreales.
l E) 5
n+_
ax)+a'1x_
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___ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Fracciones:
onesen la:
+ l)
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__ _ _ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _____ _ _ _ _ _
plo delos
2 b2c2 c2 a2_j ' -j ' _j _
_.
n
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_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ __ _ , _ _
+ac) + (I _ab)(I _bc) + (I +ac)(I _bc)
E __a2b2 _ n-
madedoble
o.
CldOdeh,
_?y2____? _?2-_?y
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ra
__
__ i
D
ro
_ _
3
6
¡
·
-· D
r
__
~ ¡
8
i
E
10 iE
Sub preguntas
__4 _ ~
.--
__5 _ ¡
__1_6_fA
17 ro
18 rs
19 r
r
22 ¡
25 ¡
26 rs
27 r s
32
rs
_ 3 L f A
38
re
40
Jl
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C PÍTULO
IX
Jean Le Rond D Alambert
1717-1783)
Fue junto a Diderot, uno de los
impulsores
de la
Encyclopedie
Discours preliminare), pero también
distinguióse
como
matemático
especialmente por sus trabajos para
demostrar el teorema fundamental del
álgebra en 1746 este teorema sería
demostrado
completamente
por
primera vez, algunos años más tarde
porGauss).
Recibió una sólida educación en
derecho, medicina, ciencias naturales
y matemática.
Halló la solución de l ecuación de la
onda unidimensional.
Tuvo una participación activa
en
la
Revolución Francesa.
* º·ª*
adicación
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t
E
e·
T
u
R
A·
La
historia. del núníéro
irracional
JI
7r = 3 141592653589793 .•
Los antiguos le daba111t11 valor de
J
con lo que errabau e11
u11
So/o. Arquí111edes le dio
el valor
22
los
cliiuos en el siglo
le
asignaron
el
·1.:alor
de ,fl0co11en-orde1150.
E11
la
7
India
de J
1416
cou
error de l
1400. 000.
En
el siglo
A.VII
Adria110
Mecio le asig11a
la
fóm111la
355/J
JJ
co11 u11
error de
1/10 000 000
Lege11dre en l i94, demostró que 7r 110 podía ser 1111a fracción, y en 1882 Linde111a1111
probó que era
11IÍ111ero
trasceudente. y por
lo
tanto
110
podía ser solución
de 11i11g1111a
ecuación
c11yos
coeficiellles
fuera11
e11teros.
Act11al111e11te las 111áq11i11as
electró11icas
lo calc11laro11 co11
más de diez mil decimales.
Semejaute precisión 1w tiene aplicación práctica.
El
valor asignado
por los
chinos, o sea
.flO,
es
s1111w111e11te
práctico; basta constmir
1111
triángulo rectángulo de
la
siguirnte fonna: uno de
los
catetos
se
lo constncye igual al diámetro
de la
circu11fere11cia y
el
otro
cateto igual a tres veces diclto diámetro.
La
hipotenusa del
mismo es ig11al a la
lo11git11d
de la circ111ifere11cia.
Si
consideramos
el
diámetro de una circunferencia
ig11al
a
la
unidad,
su
1011git11d será:
:r.d; si d /
la
longitud de
la
circw{ferencia es igual a
:r.
l
7r
Aplicando el teorema de Pitágoras al tiiángulo antes 111e11cio11ado cuyo cateto menor es
/ y
el mayor
J
su
hipotenusa será f
= J3
2
1
2
=
fIO
Fu te:
/ ~ n c i c l o p n / w emáltca
.1rgo.\
Vn'}. ma.
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owmvos
Extraer la raíz cu dr d
de
polfnomios. ·
Manejar l simplificación de radicales
• Transformar los radicales dobles a simples.
Racionalizar'y simplificar ecu ciones e inecuaciones ifr'adonales.
INTRODU IÓN
El
desarrollo
de est
operación estuvo a la
p r
con
la evolución
de
la aritmética y la geometría, y
su
descubrimiento en Grecia lo debemos a la Escuela Pitagórica ( escuela cultural - religiosa fundada por
Pitágoras, cuyos adeptos, rigurosamente seleccionados,
se
seguían
por
severísimos principios).
Los pitagóricos solamente conocían los números enteros y fraccionarios, pero al calcular la longitud
de
la diagonal
de
un
cu dr do de
lado igual a la unidad por medio
de
su teorema;
se
encontraron con
la sorpresa
de que
dicha longitud
de
la diagonal no pertenecía a ninguno
de
los números conocidos por
ellos.
Este descubrimiento puso a los pitagóricos
en
notable aprieto, hasta que uno de ellos, Hiparo reveló
el secreto, siendo arrojado al m r por dicha osadía.
Dicha revelación trajo
como
consecuencia, el estudio
de
lo
que más
tarde recibirían el nombre
de
nfuneros irracionales, expresado esto por medio de radicales, símbolo que caracteriza a una nueva
operación a desarrollar llamada radicación
Siglos
más
tarde
con
el desarrollo
de
la simbología
m temátic
(es decir
cu ndo
los símbolos
tomaron un rol protagónico en la matemática), los radicales tuvieron utilidad importante,
como
por
ejemplo,
en
la resolución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado; sus raíces se expres b n
por medio de radicales o una combinación
de
ellos.
En
aritmética tiene aplicación al averiguar si un número es primo o no; en geometría, expres r el
iado
de
un polígono
en
términos
de
radicales, etc.
/ ~
\
\
,a h=a fJ
/ \
,, )60 . ....6 º
•
Teorema
de itágoras
a
a
I = { ,12, .fJ,{5,. .. }
223
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Lumbreras Editores
DEftNIOÓN · ·
Es
aquella operación matemática a través
de
la cual,
dados
dos números llamados radicando
e índice, se busca encontrar un tercer elemento
llamado raíz n-ésimo del radicando,
de modo
que se
cumpla
la siguiente identidad:
E : : : : ~ : : = ~ :J
Donde
n es el índice (n E N 11 n 2)
a
es
el radicando o cantidad subradical
b
es
la raíz n-ésima
de
a
DEFINICIÓN DE
RAÍZ ARITMtnCA
Sea a un número real positivo y n un número
natural
m2.
Se llama raíz
n-ésima
aritmética
de
a al número positivo b , tal que b =a; la cual
se
denota
por b=
.¡a, es
decir:
n.¡a
= b - a=b"
TEOREMAS
DE
llDlCACIÓN EN R
Álgebra
Ejemplos:
5
l.
'./32
= 2 - 32 = 2
5
=
2 es raíz aritmética de
32 de orden 5.
4
11.
'.j81
=
3 -
81
=
3
4
=
3
es
la raíz aritmética
de 81 de
orden
4.
En R existe
Ja y
es igual a b , donde b es único.
l. Si
n
es
par:
a ~ ,, b ~
11. Si
n
es
impar: a
E
IR
/\
b
IR,
además b
tiene el mismo signo de a
Ejemplo:
'Vf6
2
Ejemplo: .[7i i
=
3
Como vemos -27
r. -3
tienen el mismo signo.
Sean {a,b}
e /\
{n,p}
e
N -
{ },entonces
se
tiene:
l.
4.
E;¡emplo: ../8 = ,/4:2 = i
.
fi. = 2(1,41) = 2,82
2.
5.
.
181 V8I 9
Ejemplo: ~
25
= fi5 = S
3.
mr ¡
m.n¡::-
V ya = ya
6.
Ejemplo:
Jf§ =
4
·
5
y19
=
LOyT§
224
3 Ri2
Ejemplo: Y -
(
nr.:-)P nrp
ya =..¡a
3. V25 = 15../32
3 ,
85
=
3
8
)5
Ejemplo: vo· yo = 2
5
= 32
n ~
p
Jb
= ya
nP.
b
· 4 ¡;::;¡ ;:: 4 4
Ejemplo: 2 ./3 = v
4
• 3 = =
'/48
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__ __ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __
RJ' n cN,n > 2; ac_daunadelas n raícesdiFerenles
2_ -2, 2i. -2i ; i =
r suEJemplo;_esiduo 2
esel ,ora_o2 d Ee_ q(Xd! e _ m 1 'nO' _^P el _'adO
Cl_NcuAD_DADE uNpoL_Nom_o__\__v___ I. El polinomlo radicando _eneralmente_c_ef_enado en __na vafia_l_N___ 9 ' -3 forma_escendente__ si Falta._eaIgún término
panalos' términos_el po_inomio _eosi, su dOS en dOS a _art_r _el ÚlllmUt_rmîIiO_; 3 _ Se eXtfaelaral'2 CUadI'ada_l mn' _ner le/ fln'lnO
_' í_,a_ay elmio.jguientes_ term;nos_e1
ajzvideel rid?S ?ntfe_St?YRIaí2,
__;u si du_____ceday todoe_loquedamu_t__p_N__teel segundo téfm_no _e_araí_ p_ra_
tasdos t_rmi__ossiguientesy seor tantasveceshastaq_e
adeg Fado menor quelafc_í__ oe
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__ ___________________________________ ___ ________________________________ ______________________________ ___ __________________________ _________ ______________ ____________________________ ____ ____________________________ __ ____________________ _____________ _______ _________________________________________________________________________________ _ ______________ ____ ___ __ ____________ _______ ____ ___________ ___________ ______
p x __ x4_2,_1 _ __ _+_x 3 +4 4enteResoluc_ón;
K_J- ( -_) (-_)-
_+_+4Y4
__'___'_'_'___'__'''0_g__'_,__'0'O'_'__'_''___''__'^'0___'___'_'__''_''''___'i'__'_.___i_i0___,a_,_0....___,_,_ __''_ '_._.^:_ '_'
n,;nosdele,a__z
2y2.
dadp_ polinon,;
tro deun radical, seer__uentra_trosradic_,r=
no sustracción n t m_B
DOBLE ENtal que(_', y} c _' _ x> yxpfesio___e_
_leYandOal CUmdr_dOB+2 _B_ qx
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______________________________________________________________________ ________________ _____ _______ _________ _ __________________________________________________________ ____________________________
mplo 2:_ca_ess__
o
+ _ x x x x
__.__, _.___,._...i__'___,,.______.__'___-__'____',___i'__i__,ii__.__,,'__,.____i.._______, a.__.___D_00_,___'0_,,__0___',__,__,_____0,_______'__,d,__,,_0___o_0,oo, ,',,,i'____'_,,i,,__,''__'_::,,,.;',,,,,,,,,__ _.,'__,.._,.m_,____,_,,__,.__'_,_:'__,._:'_,,_''__,.__,__'__,.::'___,.::''_,::'._'_,; __,,,_i_'_o_'_,,e es'a'rans_ormación es_'_i''.
cto en ?___,_
,__.
a, si b--_?A = x+ y _''',i''__.,'_,..
x>__ _i'_ ' _ _,'.''=_
icalessimples
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___ _________ _ _ __ _ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ ______ __ __ __ _ __ _ _ _ __ _ ___ __ _ _ _ _ __ __ ____ _ __ _ _ _____ ___ _ _ __ __ ____ __ __ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _
__________ 00 m_\______________m__________,_ __-__ ._ _________,,0,_,.._
_m,__h,_,,.,,,,,m,_m_,,,,,_M__ _' '
+_ __- _+ _+__ 2 __ 2__xy +, __ _6 .......... (T)
_y__2g _ _.J....... (lfl)
ando en un trinon_;,.__
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___ _____ __ ____________________________________ _ _ _______ _____________________________________________ _______________ __________ _________
A_ __B
__o Al r _esolver seobtienelosvatoresdex; y ; _.
-_
ob_eese_uiva_ent
_
_______,'__,____.',__________.___0_,_.,___. '_'"____-_'___ae____,___,'0_0__'___, _,,'___,_;__',,__': _,,_,,__0_'.__,oo__%___,_____ii____' 0_.__,i''_..___._@___.. _,_',i?__.__'_''''_'' ''__'__:_''' __.:_'_'_''_'' ___g=i=;_0._,0,
tetipa____,,'__,,,ooooo8, la'___r,^'_,oacá sujelaa l p_incipio deductivo de8___i_,e-__,'''' ____
_e_'_,__,,_
eprovenlr deun trinomio al Cuadradodela ___o_,_, 0,
ado _ ____,'__o',
_,'__'_0,______'' '__'_____'_'_'__'"'_' "'""'d___'''_-_-'_- '-_-"'-_--'_''_' _'_o'''' _'''''''_"_''_'__'''_"_' '_'_'9__'9__''___'_' '''_'_'_'"_' _'_"___""_"_''-m''_'_-' _D''D''"'"'d' n0'''''''' '__'a'___'''-_"' '''i'-'' ''''--'--' '-_''___'_____"'' "_
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_ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
miembro amiembro se
ndOA+ B A- B_ x2 -ÇJ'
cilmentepodremosobtenef ''_"e_
e_uidaveamoS al_unoseJemplosde
adicalessimples.
os
_c__J,__ _ ,ox _c._7) __ o
toncesx= - I
deestadex el COmOX'' _I ' Y ^n ( - l )2 + l t Y'' 2
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_ _ _ __ ___ ____ __ _ _ _ ___ _ _ ___ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _
lo __ o
x___2 __n ico raciona_ que_esue_ve_a
. 2)a_ 2_ y __ 2,
_ _12 __ _ (2-_- _
ea
in:r
_2b:_, ; a_vjendo este sistemasetien_. que
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_ __ _______ _________________________ ________________ ______________________________________________________________________________ __________________ _______ _ __ _ _ _ __ ___________________ _____ _____ _ _
ominaracionalización aaquel proceso _ue permiteional.
n_lidad en losdenominadoresdelas expresiones,salvosediga
racional, al cuaI sele llamar_ Factor racion__li2ante.
) EJemplo lquella1oe_ sde_ RaClOnal2ar el denOmlnadOr de
._
2antees_ _d__ _ _2_5_3
__,,'__,____,'_,__,_,__'_,__'______e..o_'._,oD.,.,_,._,..____._._,a.,.__a_,,_.g.__o__,._...,.i._,i_..,._ao.i...ii_... ,,, _'D__ IndICaf el denOminadOr raCiOnali2adOde_'^'_'__-__,_0S____0_'"i_'_'''_ . _- a__D__..__,,,.. 24
_00'__'0''_'''''''''' _'''''''''''__'i'''''_'_0'__0___00'-''_'_'_'__'_0__0_0_'0_'__'0_'0_'_'__'_'_'___ __'''_'''''_'-'_ _''_"' _ '' '__''''00'-'''_''''''_"-''''''_'"''00'''_'-__00'_'''_'''''-'''__'' '''''''''''_''_' ' ' ' ''' ''0__'-"_'0-''"0ii'''"' . 3
,c_ly. _ _aclor racionatizantees. .
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__ __ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ _ __ _ __
e
2(_ _ 3) = (3 _ _m2) (2 _ _)
, _(3-_2)(2___3)
_..__
,N_, __x_,_q&_,,,,,,.,__.v\. ,_ x_. _ ' ' 'acjon_lj2ado esJ
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,,;,, g_,,_,,__,.,,_o,,,,_,,,_.,,,,,_,.,,,,,,,,n,d ,,,,,,0,,,,,_,_,_,,,0d_,,,,,o ,_,,,,,,,,,o,,,,,,,,_,d,,,,,,o,0,0,,,,o8,,,.. E1 polinomio p(x) es o,denad0en D, _,,o___'___ _V'_ formacrecientepues to quetiene___,__,__oo,:_i.. _ '' '_' raizcuadradaexacta. l'_,^_^^^,;
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a + b con (a_,b) ,_-z+,
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4_o Qx_8+ _2,,__+x 6+_+g - (2x_J___+3)_
te, tendremosm = - 6
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HallarelvalordeAyBen_ _ B
CtiCa.
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_t_________nrn__ ______________________________yy_________________________________x,______t_______c_y___y_____t______t_______________x_____x_____________n___________________s_______________________r_____________________________?__f___________________y___rr ___________________________________________________________t___________________,___n___________r_______________________r_r_____________________________________________________J____________________________r__________t__________________ ____________r___________c__ _____r____________________________________t_____________________________________/___ ______________________,__________t ________________________________________________________________________________n___x_______________________r______________________m__,_______________________________________m____________________________________________o____________________
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. C PÍTULO
r · 1
1
X
nálisis combinatorio
ottfried Wilhelm Leibnitz
(1646-1716)
Fue político, historiador, jurista,
filósofo, pedagogo, viajero
de
origen
alemán, a mente más universal de su
época. Se pasaba días enteros en
la
biblioteca su padre, leía indiscrimi
nadamente a Platón, Aristóteles,
Cicerón, Descartes,
y
a los 15 años
era estudiante de la Universidad de
Leipzig donde asombraba a sus
profesores, a los 19 años quiso recibir
el grado de Bachiller pero es impedido
por su juventud, a los 20 años escribe
Disertación del Arte Combinatorio
a
los
21
años recibe el título de Doctor
en Derecho, a los 26 años se
encuentra en París, allí es donde
comienza
el
periodo más fructífero
y
relativamente constante de sus
trabajos de matemática, paralelamen
te a Newton descubre el Cálculo
Diferencial, desarrolló notablemente
El Análisis Combinatorio .
Murió cuando escribía la historia de la
familia Brunswick en la Biblioteca de
Hanover.
l
p
=p p-1) p-2). p-q+1) q
N;
R
q
1 2 3
q
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_ín r1-Rscnso._posib Ies'.' c-J1l_, e11cl pln iJ77eJ- t i/-o, cJ''II.n_dec'i_' dosc'nso._ Jn__ol_nl_Iess-ol7l__ rl__sposi_Ies.
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_7JeeJ1 eIpJiJJlei' InJ7_' ,n1JIie9Jlo In 1JJiInddeJoseel JO_/c, esJpciJ- Jn J/ 1 pnl1e_el totn I seJ_ trllll _ i éJ7 _-J_l,_._J/J
c'ns, pJ-o_oJ7_ eJs iglJiclJtelJegoc- io r_ 1rJ7 nlJl igo slr.1'o
J7o co1Jlo p7_J7ro deprll_ idn. 5'o rednl_ c-adn_ ínJes. _ cnJ_rbio, rlj JJJedn1_s elpJ-iJIJeJ'dín JsoI, el seglIJl do
_'naJre11te. r_c'eptnseI tt_nto?igo e_ J csrl( dinJ' rn17_n._ 1Jlnt__J1l át icnsJeIln _ ía1/JeJ7te, J' rJJlp i__?n n IlnceJ- pJ_o_?'ectos- pnJ_n e1JI_ lenJ' el, JJ_nJ7 /rncp cIcJJlos pnJ_n sn _el- cll Jlto leJ___97tal- 1J sllsil2teJ- ésc'o9llp7lesfo. 'sJJJo ?
_._plrestn.'OOO= J OOOO OOOso /es, .... .. ,- es_ecir, In slr1J7n delllln Jtl-ogJ-csi _Jl
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_ '''n'\ ,, t'_' '_'''' ,i;e' cc'_ones- ques_',giib-leFonn_ conl0s.elem_enlosde_
0sde'' _' uicï ' a;ßn de'_' ue_n-Io postejor ap_quen lare5oluciónde__\ ,,i_,,':,c,,,,omb1n_to_o,yp, _,,,,,b,__ bi_esque_,sw_genenel_anscwsod_elav_ida__,.
nac?_n, _ermutai_n o c0m_in8ci_n' q' _e.est_n relacio' na' dos ___' _ ,_ ; '' -_' __ _,_,
nación (permutaciones, ordenaciones, combinaciones).inguir ladiferenciay laaf_nidad entrecadaunadeellas.gaal "tiercés'' (apuesta........ lostresprimeroscaballosdeuna
inicialesA, B,C.y cuántasson?ar aestostreselementosA,B, C; veamoslas posiblesv .... .... ..._._
ellegar.premio! Alapartidatenemos20 caballosque designaremosNuestro jugador deshace, dando muestrasdeprudencia,ercés'' tienequejugar en Eotat paraestar seguro deganarrente(2,l,3). EI problemaconsisteen detenninar deetosdelresen _res, considerando quedosordenamientosrden diFerenteson diStintaS. AJ= 20 xl9 x l8
céses demasiado oneroso parasu bolsillo puederenunciaron Formarsecon unaganancia(en el desorden).Por5} esidéntico a(4, 5, 3) ; (5, 4, 3); (4,3,5). etc., enluga_-uno.ntonces6 vecesmenoselevado queen el delas
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c___pt___u_0_____________r__p__p__0a_0o_p___e______x____________p____________r___0__t__e_t__p_t___s__0t___p_0__o_0____n__________o_____0__f_00____o0_0__f_0_p_______p_______o__________0_________________p____0_____________0__p__p_0______00_om4__________0________LL_0__p_______0______0____0____*_________________________o0_f__0__0A______o_____p___0e__0_________r______a__r0_______t20_e_0_____00n_________r__e_____m0_____o____s__0__0t___p_000_______ ) ______ __2_7 t_27_
.. ''' como aquel producto queresultademultiplicar todos
ael número n.
lorial.
_l__' :^D_D__;. _,;_,, _ _ _'' :: : ' ' ' ; xn _ ' ; ' ' ' '. ; ; _: ;,_ ' '; ' ' ' '.,,' ' _n___ _ _ ' ___0,,,,,.. _: '.. ' ' ' _' _ _. '... '''' ' ' ' ' ' ' ', ', n.,.2, ' ' : '__ _ _ _ _ _
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__ __ __ _ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ __ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _
an Se, , , ,alCl6_gn Si un evento designado como AsepuederealizarBpuede
mentOS, ;, rea___2a, de__b_, manerasd__yaSea_Or la' simultáneamente) en total puedenrealizarseden de"a+ b"maneresdit'erentes.seg u i m i en t o,_,0_,0,_v,,.?s_,._,_._,,,_,,_,_v,,_o,_,, ,,,,,.,v,,,,_,,,,,0_,,,0_,_0o,,_,0_,0o,,,,,0,_,,,_?o,,0
b' ca. II, Pm_pio demul_pli_ciónE.
vaala_niversidad lleva
: n> k > O(acorde_ pero el cuentaen el ciclo con treslibrosden) y en el caso ;_' análisismatemático (A,B, C) y 2 libros den _?_i_, álgebralineal (D,E)De cuántasmanerasdistinta.spodráIlevar
nto al ____ suslibros?c. Re_olución:
NTEOMale_tico L_ae_D Puedellevar de6
B0 m an ef aS
ocurrede''ddaunade ellasotron O_ evento des__ nado como Bocurre,Eb_,reas. '__ d;re,entesentoncese_ evento Asegu__do de_o__.car su^_,_'',,'', evento Bo amhosAy Bocurrensimultáneamente
_e__,_T_e_qTT__T__0_c___,___o__ ncc,c____?_______,______,o_,___c?0_____0__,_0__,0__,_a_0____ _?_?
.._ _ _ __. _ 4 l_neasaereas_
. E_ nu/mero de ordena,n__onesde',n_'^^^_^^^^^^^_^^^_^^^^^^^^^^^^^^^^_^^ ^^'^^^^^ __''_' - ' - ' '~ -_''_'^__^'^'C__'_yo (diStintOSJdiSpUeSlOS de''k'' en "k'' eS i_Ual al
laS. -__!
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umamosqueprimero seeligieraal delegado.uesto quecadaalumno deI g_potieneIaosdeposibilidad deser elegido como delegado,esdentequeexistan 20 manerasdeser elegido.Luegocadaunadelasl 9 personasq_equedanodetendfán lafacultad deser tomadas comoo deleg_do suplente. Demodo que cadauno del'' los20 modosdeelegir al delegado tendráquesderelacionarsecon cadaunadelas l 9 posibilidadesn de oblener al subdelegado. _ decir existjrán
do 20. l9 = 380 manerasdeelegir al detegado ysubdelegadodeestesal6n.ir unmplo 4
ecuántasmanerasdiferentespodrán sentarser al cuatro personasal entrar en un vagón deestasre_ocaml queposeeseisasientos?deResolu_ón:
osLaprimerapersonapodráescoger su asientodealosseismaneras, lasegundadecinco,latercefade
) cuatroylacua_ade_es,ademáscomocadaunasdeeslasmanefaspuedeasociarsecon cadaunao dek delas otras, pues, resultaquepodrán sentarsede5. 4.3= 360manerasd'jstjntas.
mo, ObseNación: Si multipljcamosy di_djmosporos, !__o.
mo - An- n(_ - 1!(n - 2!__-[n - _ - l!JN- IJJ_ _I)
uidodaos
aordenación enlacual los''n'' elementossedispon_o_- _
entespermutassólo varían en Función al orden c__
btener con loselementos: 8, b, cserían seisasab___
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___________ _____ _ _ _ ___ _ | _ _ _ _ _
a_6n;
iferentesentresí yoselementosfe5tantes,entoncesdos(_. CadaUnadefaS Pn pefmUtaCiOneS 0btenidaSero depodemos tener _ per_nutacionesdiferentes
mentosL d_UtaClOneSmosP,,. !_ pe_ut_ciones_
amente
aC_Ones,Conteniendo cadauna yUaleS entfeSí_ etC_asen Al Se_ir eStRProCeSOnnalmenteßodremos_ _!_ _ _..N...... = __cualesestaríanformadascon ''n''' objetos distintos.
ras. EJem_lO8Determinaf el número dePefmuEacionesenlesqueserían posibleformarsecon lasrasdela palabraacacias.
ftO_eS 3 SOnequecca,, 2 son __c,, y el festo d__onamiento anter_erdeP7 = _2 = ___'_ '_1 ' = 420elas' - ' 'esel Ahoraconsideremose_ número dearreglosde nelementosdi Ferentesalrededor deun círculo.e_lossedenOminauna
tosdistintosnearectaydesignemosaunodeepuedesser al inicio o (inal realjcemoslosdiversos
n a_eglospermisiblesperosoloaniveldelos__n- l,'ose_ementosrestantes. sideUn ug esto no se darjaen unae_utacjón cj,culardeun d o n d e_ ao s_. c. _o, n d e_ e_ em e nt o A_ eb e-'
S reS lar_tesintas
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
n obtenerse
_ número impar y a lasmujeresen loslugareso par.es
entemosprimero a lasmujeresalrede_or de_ forma_ (según el teorema3).
, Ue_Oqlleaflan 3 lU_areS attemadOS PaF_
nto, elesse_u, mero total defo,m_sd,.fe,entesse,a/ ._os2 _ !_ -- l2
delosdi(erentesgruposq_e puedan formarsetomando anto, sin considerar el orden des__selemer_tos.
bOlO_laC(n.k) i i
diferentesmentosnt_, deor C_) _t o _ as _ _ sc o mb_.nac_.nquees_os!' (_r)! ._ d _. e, n d o se_. __ a ln f _ _ n u,?iónde._' ' '
másn_oa- lo order_acio__e,_ de__n_. efementosdi,tin€usanl seren.
_ ,.__, ,,_\n _j(,_2j ...,. _n _(_ _ j_J
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_ __ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _
cias, Un eStUdIanEedISPOnedeUnabIbllOteC_ COnl2unalibros, idecu_nt_smaneraspodráreali2ar una
_Deluido
Nb) cuando u, determ__na_o 11Nbfo se_ s__
_,, con C8SO8_remus_ueun libro es_ciflco estésiempree_+ ello el
lOn.' ' -
_ _In determinado libro no_____i__i__i__.__i_;._'0. __._.___, _0___ _,o_0_0_,___'O,_0___''__._0_ - ____D0,' ' ' / t. ' ' '__'''_'_'__''0_'' _roblema___scit ar un sen(imienEo de__,D'_0,_ ,-antjdad ___,,,0''_,,,, d_ SeleCCiOnaf 5 llbrOS_ de1_S l 1 reS tanteS_____,,._'_.,_ Es decir, el n'_mero dem_ner_sserá
dade__'_'_0D'_,,_o con i___0,,,'__n este'P'__.'_'0,?,'__. c_l_ _ _ 1 l . IO.9_8_7_'e_,_ S i_6l5_.l.2._.4.5gelc_ ___'_Lie__'__,__o.'__,
Ropig_ADEsGENE__esDE cn'. d,,a.,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,., ,,,,,,,.,,,, ,,,,,,,.,,,,, ,.,,.,,,,,,. ,,..,.,..... .,_.,..Rd0,..., ....0_.0.,...,., .,,...,..,.. ..,..,.,.... ..,..,,,..0,.. ..........0. .....,...,., -...0._..,, _ , _ ', ' ' k
2
tosn _obtene,ft__ n ' _ _ 1
C,omblnat_floS COmßlement arloS
_'^i_M"'_-^'''_mM' '__'__nn'''''_' ''"'' '''_''d''0"'i--'''- '''"_'_-'_'__'"""_'_''
4__*m_,,,,, _,, ,,,. ..n._._wf.v, .,,..,..,m...... ,..__.,,.,,_,,.. _,,,-_,__D
_'__O'ia_' 0i f_ n .__'k = p _ p= n - k _D,,,,,_
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_______ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
ecto, cuando: n = l /\ k = O,
'l -'-
_"'_ __' ' ' '_'''''_ '_ O' Cuando: n =2 "(k=O'__ k= l ) tendremos
O, l, 2)
_rmade
s
tenom1'
O 10 5 1
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_ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __
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OrCl
or _o tan_o 7/ _ '"35
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,
aDel prOblemaanleriOr, pUedeUd. indiCaCráel inVesti_ador si
t, d
eSi como mínimo 2 caracteresson diferentes;cal entOnCeS ßOdemOS t0_farlOde2 rOfmaS _
c__p__o l. _os c8racteresd1ferentesmas
ccionadonadeentre35opcionestal como lo h_bíamo_gresa, visto en el problemaantejor. Ahoraunaave_ escogido e_l p_mer carácter, yano
eecafactefesden s f d__fefentes._ntOS intentOS pafael segundo car_cter sólo tendiemos34ar opciones, cun esto __ase satisfacel_
gundo carácterpuedetambién ser escogido
Oyar deposición tambjén tenemos3_ opciones, pord''. serseleccionesindependientesaplicaremos
25 T T t5 x 34 x 33carácterhOfa_afalap_mefaCaSilfatenemOS 35sseOpCiOneS,unavezesCO_ldOel CafáCtef,nasuedan 34 opcionesy unave2 escogido este
CCefapOSiCi6n.
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_ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _
ón:steproblemapodemosresolverlo apoyándonossen el gráFico
cionaF losdígitosen cadaunadelas 4 casillasúltimas, así, enlata.casill a,elmenordígitoas eleccionardebese r6n es 6por condición (número mayor a6 OOO) pero noodemosseleccionar a7 ni a9. Así nosquedanlade2 opciones: 6 y 8. Parala5ta. casilla,6tay 7maualquier cifradi IerenteopCiOnes.
s_ así Or On 0_ eXl _CaraCteStiCaS.
gistrar
On
er_jacomponede3letrasseguidasde2 dígitos, yelllaalFabeto tiene25 letras.
ResoIución:illa, Nospodemosapoy,, en e_ g,a_f,
de
eas
trasay para
ántosd_/gito, tenemoslOopciones. En total 25'-. IO7 y Fo_as.ifraspor lo tanto, se pueden ,eg;stra, 6 25o placa,con_stlN
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
e losEn unareunión Familiar seencuentranel padresde Familia, su esposay sus3 hijos. Si esta,n
mar Unaalrededor deunamesa circulaF enlreteniéndoseO._Decon un juego de salón. iDecuántasFo_asse
SidenteS , pueden ubicar aIrededor delamesasi los 3 niñosben estar siemprejuntos7.Re,o_u__o,n.
t_jarles'',alesEstamosfrentea un caso depe_utación circWarosya auedeseamossaber cuántasFormas
masdiferentesdeubicaci6n pueden tener losPero si los3 chicoss
bíanenaa
pe_utar susp;t,_ posicionesde3! fo_as. Luego en totalostendremos2t . 3! Formasposiblesde
ordenamiento.pital?Por lo tanto_ laFarniliapuededisponerseen la
s2 sonasde__oDl_mg 1ß
uántasordenacjonesdj(erentessepueden
nOi acamisetasdeUniversitano deDeportesy2misetasdeAlian2aLima, dispuestasenForma
Rego_uci6n.
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_ __ _ _ _ _ _ _
defactoresesdependiente, por el pnncipio demultiplicacióno lendremos:
snl) _~_eCeSsRrOeSte"ÛmeFo defaCtOcesincluyeel factoral, _iVial l
eses
steResolver alaecuación expresadacomogea_ _( n 3 )_ n 4_ ' l20
arln
nOde_ -_ l20
e'
eUnal
esde4 ' 5
_car
1
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_ _ _ _ _
Dlgmg 12ace_aduradela_óvedadeun banco constade_mOS 3 disCos, cadaunade ellas con 30 _siciones.es_ Unave2cerradal abóveda,paraab_rladenue vo,stassecadauno delos3 discosdebeestar en la___sposi ción co_ecta. Si un a_go delo ajenodese ao, ello abnr labóveda, icuánlosintentosinf_ctuosostendráquerealizar?
d Nlsco e,teen _aos._cl.o,
2do.asy 3er. d_sco tamb_en hab,ían 3o opc;ones., en
2aLimatotal habrían querealizar 30Jcombjnacionesascomo máximo paraabrir lab6ve_a, pero comoos_iden, cuántosintentosinf_ctuososcomomáximo tendráquereali2ar nues_o personaje,
mero deen remOS
miSetaS deM jguel deseafes tejar susl 8 anosy deseainvitaf 9 compajeros.
o más
r en una._: O__o_ l_nv__to o no _o l_n_,to t-lenej o c.ltepa,ael segundo com__ne,o._esivamenteconcad_ uno desus9 com_eros.
onesdelnaen re eren eS'itea_aClOneSión yaeS' ueur lo menosdebeinv;tar_ 1.lrar 5! por _o tanto ml_gue_ tend,a/ 29 __ Formasd_le_idaS en el deinvitar asu f,esta.
mas4!ales
nsresEantesdiferentes.e+ l)2' - l
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__ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_
__0__'___"'_O_'0_ _L_^___' _'___0'_:___'^___a__y^_,_.cu_ndo n _ _. ! _ u _'-___
._..,,,..........,..,.,,0,0,..0.,po.,,,o,_,,,,..,.,.,...,,.o._.,...,...,..,0...,,,.,,,,,0,,,,,,,.,,,,,.,...,...._ ,,,..0.,p,,,,0,,0,,,,,,,,0d.,...0.,,,,,..,.,0,0,,,o,,.,,,,0,0_,0 ,,0 ,,,0,0,_0_,,,. ,. ,...,.,,,00,... ,,,, .,0. _,. .,, q, ,..0.,0,,0 , ,, , o.. ,, ,,0 ,0 ,, _,0 ,0,0 _ ,0 _0 o , ,, , ,._,. ,0. .. 0. ... ,.. .. ,. , ., ,., ,. .. , , , .0. , ,. ,. v ,. __?__ ,'__0g
entOSetlene
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_ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ______ __ _ __ _ _ ____
elam g _ _ _
= 29 _ m = 2_
adiciór,, Dedondem + n + _+ n + es66 _ 5_,
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ . _ _ _ _ _ _ _
I6 C) 3332E) 25
_. Un agentevendedor deproductosacéuticosdeprimeracalidad visitaafjamenteJfarmaciasen el Centro den Lima. parano tratar dedar prefefenciasaec;dj
o7
n con ,eso deEstudl.
asaladeexposiciones, dondeparticipal_7. I Oestudiantes, loscualesdeben ag_parsedeeden agrupar
rsA) lOB) 8 C) 36I6 E) 4 200
En unareunión entre5 comp_nerosdeel colegio quesereencuentradespuésdel O
ÓlOañosdehaber egresado; ello.svanmp-añadosdesusrespectivasesposas.cuántasmaneraspueden d;sponersedlnaS SOn en unamesacircular sj siem re_eben es(ares en (orm_ alte,r_eda7
o
scom an_e,as_e _, unl.ve,s.l
n un evenEo Eecnológin_o.erm inar, _cu ántossalu dossembian como mínimo, 5i 2deell_sestán reunidas?
OA) 6 B) 3o c) 1;
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__ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ __ __ __ __ ___ __ ___ __
unareunión lOamigosdeseanesordenarseparatomarseuna(oto. Si entreelloshayunapareJadeenamoradosque no
separarse. iDecuántasmaneras
) 2. 9!! E) 3. 9!
snmentep objetoseraspuedelld.
senPB) (m+ l )(n+ I )P ' ln C) (m + l )(n + I )2P -- l
úmerosprimos,
Stalaf en n ,)+ 1 , t
allarlasumade
s, l7. Avejguar el valor de"n'' _uejusti Flque alagualdad
nar SU!_ = n_ + 6n3 + l I n'- + 6n,u e_ al v a_ o r au m en t ad oe n su t, _.
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_
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_t____________y__n_y__y__yy________f______________n________sy__y____yy________4f__nsm________n______x___________________r_t r_s _____y__________________x_t_____________________ _________y______rnr_______________________ys____________________________y____rn_________________________r_________________x_n________________________n______________________nx___________J_)__t ___ ________________n__________y_______________________________________________________________________x__rx__________________________rr__________________________________\________c____?_______________________________________________?___________________________________________7____r______x_______n______________r_____________________________s_____x______________rr__r__nm_____n_____________________________________y______r___________________________________xn____________n__________________________________________________________x______________________________________________________x________?7__?___________________r_________x_____________________________________________________________r_____________________________________?nr__n____________n____________________rc__h________________________t____,_?_________________________n_______________rr__r__________________________________________________n____________________________________________x_________n___________________x__________________J__________________l_____y____________________xr_____________________________________________r_______y____y____________________________c_____s___________x_______________r_r_______c_________________rr___________?___________________________t____r______4?_______________________x__________,_,,_________________________________vr__v___________v_______y_æ_x_______________y____________________________________A_______________________0___________________tn____________7_________E______t_?_r__r_________7______________________r__________________________________m__________________________M________p__t0_________p________________________________y______t_3_____4__________ç___________________________,____t____J___7_________________________________________________________________________________0_________0__o0__po________________________________________________________n________\___________________0_E_______________________________________________n__________________________________________________________r_________t__________________r___________________________________________________________________________________________________________________________________s_____________?______________tt_t1
__ _, ''-_/i_____i,,;ji---_. ;:i;._.v;' ';;__._ ,_,_ __wm,mx ,n_;., _, ' ;i__ :._._--,,___ ______,. ''_; !;.._ ..i_
1 1 ._.. c_1 6 E '-_---_--' ' ':: :;,_ :;; ''', :?' '''_ ''' : !,,_ 'i :,, ' _ _,,.' ___4;v_..,_;_.' __..;,..2 ___. 7r,_c' _2 ,___D17
8 E,13 18_____w__ 0_ __ __ _ - _ __ _____ __ __ __ _._.
__-;-- ; 4 !c cg_ _-;; D_ 1 4_ _c1 g_ _ _A_;;..:_,,, _5__'''' DM_1 Om__;' A_15, , _3 E _20 _
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C PÍTULO
inomio de Newton
saac Newton 1642-1727)
De origen inglés. fue alumno de
Barrow, comienza investigando los
trabajos de Galileo, Fermat, Huygens
y Descartes y en 1664 inicia los
trabajos con el binomio
de
Newton
y
el
cálculo de Fluxiones. En 1672 fue
elegido miembro de
la
Royal Society
Londinense y en 1703 llegó a ser
presidente. Las áreas principales de
la
actividad científica de Newton
fueron la física,
la
mecánica,
a
astronomía y la matemát:ca.
A
Newton
le corresponden la
deducción y formulación de las leyes
fundamentales
de la mecánica
clásica, la ley de
la
gravitación
universal,
la
descomposición
espectral de la luz, cálculo diferencial
e integral en la forma del método de
fluxiones, entre otros.
Fue probablemente el mayor genio
conocido y a su vez poseía una gran
sensibilidad humana que lo llevó a ser
miembro del parlamento inglés.
a+ bt ' ¿ c ~ . a n - k . b k
lN
k O
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__ ____ ___ _________ ____ _ ___ _________________
cl__icrt_ _' r/__'_/7__l)n__ poJ- I,rrrJJri)ryJ( _,JJ_ _1_J.
_'uJls/J__1_osn _nJtJJ- d__l _,.Tpr_rio ì'_c'_oJ-inJ r I__ r/u_-ieJldo n _' __JJ1(í1JleI-DsJ-_n Ics. CoJJsi__J-eJ/7osnI7oJ'rl __/!
JIJe__ J__n Ics__7osì'ec'/or_7s (_, _, c,r(J.
' _X__ = (r2, , __,,r'_7, rJ_,J, _r_'1-_17 1__J_n7c__ si,'
i17Je/11nJse _9sc'J-i_e.' _XJ+ _X_ = (r_/+n '._/ +_,.r'J+c_ ,,
IJIX7 _ (1JInJ, 1J7_,, l/1c',, J,I_, J i
illteJJln (_1-__l_c-tuJ, __liJirJJlysrIJJn l7ns_9 cu1r _'JIrrIJ-o-_nc'io. ._iLJ77rfrJé cJ_'IeJ11caIru JJcJl1J-u,_r_J_n cl_J-_rJJIc-ru. .\-o7JfJ_rus_J-_JJ/(o//__J((o J(7r}.cc-J/_J rJ,.J,?J_(_9sr Ic,s(o.c z,t,(,rr) ),e,s-. _,r, (nlj Jr_lirlrl r uIJIrJ._i__JI_J.' l
_lIeet1i C__II7e 1l1o Il_Iltl-CJDllIi_ __'fll ___I7-ll_'l(Jll.'
' rJep_9Ja_crJ_/ uJ'_leJJ,JJ cl rJJri ser_/7rrlJJ_'Jsf_nc-tu!-__-. __1._j
2Itt__l'Sl n_ r___tl'L't.T_l, _i)t rl_'_ 7 lI.'DtiltlCI-
_'_nr'lrI _'e_ 'rrJI -irli r-olsirIcJilclr_ s_' r_._c'J'I__' n(_-_'bJ___c-rIJJ_eJJ_e'
_c__Jc'71r_re9/_/7lo.
__.i_,,JJJ). l.. lJ_tJJ _J_1)_._. !
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__ ______ _____ ________ __ __________ ____________________ ________________________ ______ ____________|__ __ _______ ____________ ___ ___ ___ _ ___ __ _____________ ______|__ _________ _ __ ___ _____ _ ______________ ____________________________ _____________________________ _ _______________________________ _________ _ _____________ ___________ ________________________________________________________ _______ __ ____________ ________
............. ' _ _
_0__c.annnte(x'+a)"_ .. ,., __ ' ' ''__''''' _''_e_xpresi_n de- (x+a.i,_...'__..'_''confando dederechaaiz_uier_dao ''_,__'_'/ ' ; __
einec?ac_onesiiTacionalesarac_e_osin_e_alosen05'' _ _,. '' :: ' ' '''' '' , ,,, ' .: , ,' ' 'i
ordaremosen estecapítulo desempeñaun papeliguientesde álgebray, en especial, en el análisisciclosen todaslascarrerasdeingeniejay cie_ncias.ciones, por ejemplo, en ladesigualdad deBemoulli
l .... esmuy importanteen el an_Iisismatemático.eoríade ecuaci0nes, desigualdades, funcionesy
es v seriesqueson temascentratesen el análisismatemáticoo deuna serie:
chasaplicacionesen losdiferentescapítulos.
Al _:. _____ ,__ ' '' _)^ paran _ N, mediantelossiguientes ejemplos:
ollo de(x+a)^ ; n?_
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__ _ _ _ _ _ _ __ __ ____
_Xa+ 2Xa+ 3X a
e4S_-2 X' a -
+a)^ esun polinomioeneOy COm_letOde(n+ I) téfminOSariables"x'' ; "a'' de
a,io,_ en _a_
Losexponentesde"x'' disminuyen deuno
C__-ta+ C2_'2a2
O_ I i2 ;... :n
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_ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ , __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _
e\_t_
efeChàat_'_' i2 uierdasó_o secembia et ?,se s_ así en _
t_ , _ _ c_an k x k _
_n _ _C____aXdN_' ''a_c3__ :,..:'m__c,n_.,
_,s _,_ _'x'_;,_' , ' ' ,,, ' .?_!'M ,_\ ' ___,v v ,,_, .
_cn
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___ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
byP)n se_iene;
3 + ... b. Lasumade gradosabsolurosdetodos
n_- ' + ... Demo8!_8ción_
ueelcoerlciente
o es
o
(n) +ODl + l a(n- l) + DJ + l a(n- 2) +2PJl
2
sdempar, eS i_Ual alaSUmadR
C,a_. x_ _ . a_
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ ___ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _
evvton
nterOt l amemOS le
. detu_af par
uelostérminosdelugares
os dem_imo valor en el
elugar
edeSarfOO_
_té_inosdelugaresr y r+ l_r'I
3
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_ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ ____ _ _ _ __ _
g 2 3
forma
al coeF_ciente
eno ante_'i(_rco _e' rmino cu_quiera''+l
_ X5 + _' X9at _' X 'a
On lOS de'
+ _ 3 + _ 4 + l
3a2+I x_a3+5xa_+aJ
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_ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _
deNevvt
jempIo:
''' ' ' ' '
ollo Resoluci6n;uieraEl desarrollo esel producto de__n"fa ctores
+d+.....+ cado una
_ol_o de _eE,adecadauno dee,t os__,_,
r..... apa,eceráen el
2 producto rlnal, esigual al número demanerasdeel o,dena, n _et,ascuando ade e_losson a., p dllossonb.ydee__ossoncas__sucesN_et ra_sdec_.r e i coer ,c_.ent e d eaa bpcn,d6 es .
os ''x''de_ _ _! _..,.._'' de
delosdOndea+D+_+6+ NN_'_= n
uego, untérmino cualquieraes:elosci r es_ aab _ cy d 6
lo de: (a+bx+_+_'+.....)"es_
al '''_''_' , ' '''''' '
ldOeS: a_,'._ aab CYd..... x _Y
_ ' ' "
e-_ en el desarrollo de
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__ _ _ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
mos
' S 24 3_ + _ 22 3_ + !_ 2o 3 3
E_ desa_o__o de(a+ b + c + + p )n _._
_, _0S ai..
e
,,, _ ,,.,..o.,......... ,,,._o_' _ i_ Qx3 x _ _
ode
_, -- 20 términos.
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__ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Newton
_no aat_ral! ,.jemplo llaexpansión de(I _x) "
3
_rmulaser_v_lidasi xc_ <_1,l>
asi xe- <_ l,l>
...
l- '-4"'__ '-16"'-g '-_' "''nO_ _5 _35 g45
______0_0___,___________'4__ ,__ _vm_\___. , ___,,,,32 4 16 64
_nn__m,_m.._.. .,..D,.,,..., ,.,...,,,,,. ............ .......,_ _ 32128 X' 512X2o48
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__ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ __ ___ _ _ __ _ _ ___ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __
_5) (-6) (-7) (_gJ7 .,
l desarrollo de
2 3 4 _
-_ _3 625 -- -_jg75
decuando x tiend
o_,_,,__o'0,ao__0__,__.0''_,,8o_,__,_'_____'''_''_''_'__''__0______,__,,'_,,'_'__'__._''_'_._'_'..''_i..'_..._'i.._.._ii.l_ii'_._i..__i._..__ii...___t.__.i._._._..'_i_,.'_ii'__,'i_i._..___'_..,_'_'__''_.,d_.,,._,.__d._,'__,._..,_g___,_..__'_,._...'_ SlelValOf de XeS tan_qUenO_ SUS_a__''''_'''_'0_'_'''____''__,i''d_!!' potenciasapartir de lasegunda,________,______'__''.___;_''':''_:''_:''.:'''_'''''_:'.''_:._ pueden ser despreciad
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__ _ __ _ _ _ __ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _
Nevvton
nte773 275 277
es-7, _ OtOOO059 ' '. ' '
_
o; eno centra l.
NDEualq Llier n
n los
mentando
vamenteen
On e. .eeleeestepunto sevuelvenecemenorsetermino m_ximo.
,______,8'_____,______,__'00,_'____,__,__', ._-___,._ n '_',,_a''"_ _' ' __ _;;_="''''' ':' _=__'_,_________._.._.,_,( a+x)n=T ar_-kxk.,n___,, _,__,_ ___,0,_,
,,,,,,,,,,,o, ,,,,,,,o,,,,_,, o,,.,,..,.,., ..,.....,,., ,,.,.,,,,,o,,. ,,.,,o,,,,,,, 00,,,,,0,.,0,p0,.o,, ..,.,,.,..., .,,.,,.,,... .,,.,...,,.. .....,,,,,.0,. ,0,0,,,,.,.,,. .,.,,.,,,,,, 0,,,,,,,o,,,.o.. ........,o,., ,o,....,,,,,.. ,,,,,.,,,,,, ,0,,0,0,0,,0,,0,,, ,,,0,,,,,0,,,., ,,,0,,0,,0,0,... ,0..,...,....0. ......,..... ,.,.,.,0_.,... ,,,...0,0,.,,0,, ,0,00_..0,0,.,,,,. ,o.,.,.,,,,,,, ....,__..._,ii ,
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_ _ __ _ _ _ _ __ .__ _ _ _ __
dex debeser deno del grado nulo.
_________-_-_____-_-_-----N_-_---__. LUe_O, el lefmlnOlnde_endlente Serael téfmlnO
_7_ tG+_ _ C_9 .'. t_,,,_,_ _ 84
Halleelos.
s
+2 esdec_., t , _son te,m_.'''-'de_ 4n_3(n_ _ )__o _ n__ _
:
lr,ac__teen
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___ _____ _____ __ ____ __ _ __ _ _ ___ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _
té1mino independientede"x'',
en t e, o Luego, no existete_ino independiente
_
t c2nx2 2n_k 2n _n 2___
u vaIor, Luego su coef_c._enteesc2n
4a_cu__f e_ coer_cl.
C_Ón:
fUefaUn
_ _ _ _ _ ' _ ' ' _ _' - ' - _ ' '.,
, a
d8to lo -2K-2p+p=7 _ 2K+p _ 3 / h ,_ p
s; K-_ _ _, p___ en(a)
Ual lI K_ O/__. i - 3 N
-- o ' 3 ' ' --
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ __ _ _ _ __ ___________ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ ___ ___ __________________ _ __
-- 2' '
ncnn_ . E _ 2n- I
llo de3c_ _cx (2x _Jcx 2( t) g23
slos___i,,__,_,_',,,__,___' _'_,i'_i'_,'__' _0''0__d'd_'__,__w______d;.a__. ..__.__,__,_,____'_,,____i_,. ,___'_,_i__,_a__,.i,__' a.a__..._...ii i____,x x,- .._,_i_'_.
__,_,,.:,,,,,,, ,,,,,,__,,,,... ' k - k ' k __,''_,,_'',,.__i____i0i__,_,_ ,______0_,__,__,_,_,_i0,_i____•____0___0_0__,_,_, ______i,0i___0_,____,_,_,_i_00,__,_, ,,___,_i__,0___0_,__,____,oi___i_i _,__,_,_,0_,0,0,0,_0__,_,_,_,_, _____,_o_,_,,,_____,__i_,__,__,_,_, D__a_____,__,,__,_____,0,_, _,,_,_____'_
2C; + C_,') + (4 CÇ- - + C;') + .,... + (2xC; + C_,} + 1
_ +2C_ +3C3+
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_ _ _ . . __ __ _______ _ _ ___ _ _ _ _ _ _ ___
e___ton
rrollo de
4 _ a=6
8 o __
5g 52o
_ coenc__entedex_7
lo desu te_,m._no gen'e,a_ es
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_ _ ___ _ ___ _ __ _ _ _ _ ___ _ ___ _ __ _ ___ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ ____ _ __ _ __ ____ ___ _ _ _ _ ___ _ ___ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _____ ___ _ __ _ ____ _, ___ _ _ _____ _ ___ __ ____ __ _ _ __ _,___ ___ ___ _ ___ __ _____ __ __ _ ___ _ _ __ ___ _ _ __ __ _ __
n_l ,
alesa
m _n OS C On S eCUt _ VO S _ _1 _ h + _ i t h+ 2
_
7---3n .....
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_ _ __ ___ _ __ __ _ __ _ _ __ _ __ _ __ __ __ __ _ __ ___
evvton
mino del Sealar el coeFlcientede__ en el desarrollo dees. P(x) -- (I+x-_)6
eral
_ ( _ _ )y_x p_3y
o deHallar el té_ino independientedexen el
ollodex+_+ _
_ 2a+y =4
y__
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_ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ _____ ________ ___ ____ _______ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
sión Hallar el tercer te_ino delaexpansión de
Se
x3 I03 x2"4 2 4 3203x2
te,ce,te/_._noes297x2
_9'_'''_'''____'_:;__-_,C__:;._-___;._;,_____,0,__,0_0,o00,_,'_0;_o_^_ (I _a) =l+3a+6a+ IOa3+l5a_+ ... '
''''''''''''^'''''_'''''''''''''''' ''''i'''i'-i'''''''''''i''i''' ''''i'''i''^'''i''''''''''''''''i''''''''''''''- _ _^ ''_'''-9''''''' _'''i''''^'''i'^'''_''''''_'''''''''_'''''''''i'''''^'__''^''^__''_-''''' _
lo(2x_3_J)3
4 es- 66
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__ _ __ __ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _
Nevvton
+r=2
_ _n l ; ,-_ _
y' es:
I_ónde+ _3 .
S tf+l y tr eSta/n en
:k ino
o
n = I Ok ____NNN__
n= IO/1 k= 3dato
ef(x;y) cn _r cn _ r
eN, n= lO
x_)
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_ _ __ _ , ____ _ ___ _ ___ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _
6. Hallar el lugar queocupael términondependientedex en el desarrollo de
flc,_entedel te/ fm_Nno quellevax6
8. Hallar el término independientede"x'' enelladese,o__o dex __
') ( 1 ! 2 ! 3!. .. .. n! )2 = (4o 32o)9
b / r cuadradadelasumadecoeF1cienteses2 I6_a parteliteral (variable) del 5to. término es4to. término si
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_ _ ___ _ _ _____ _ _ __ _ _ _ ____ _ _____ ___ _ _ _
Newton
+ ..... .,, _ N
b A2n sen 2n_B_ ,+, 2n sen 2n_da
,__af e_ l 6. Hallar el término independientedexen el
independientede x en el
n
_
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_ __ _ _ __ _! _ ___ _ ___ __ _ _ ____ _
elaexpansión
+ l )^i 25. Hallar el valor delasumatoria
2+_+__ +__ ' +.....
ABI
lo ao+a_x+a_+_,_,_+a,_+_,_+a2,_nallarelValOrdea_+a4+a-,+.....
llo de
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_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __
evvton
eHallar el grado del término delugar (n - l ),remo inicial.
ro E) 30
stérminosdelu_ares: n ; (n+ IJY (n+2)"X)m Sehallan en
ión geométrica; se_ún esto halle el
odos
cular el valor de
te
D) 7 E) l4
de.. 39_ CalCUlar el ValOr aßrOXimadOde
7A) 80 B) 8 l C) 82
; hallar el
ero par no nulo.
A) 420 B) 420i 560 C_)-420; 5656 E) 560
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___________________r__t___________________________m_____m____________________ ________________________________________________________________________00o_________r__________?______________________________________________________________ __0_,_______________________________________________________________x____________________ r____________________________r_______________________t___________________________________________?J?___?___________y__________________________________________________________________________y______________________________________n__x___________________________,___J__rr_______________________________________________________________________________________________________e__?x__________________s____________________________________________________________________________________________________________________v______m_______________n______t___r________ _ _________t_____m_____________c_________________0___+_________t ____y___________7____________l______v________________J___________
_".___,?,. _ '._ '.:_ ,.;'^/::':'-__-;., ,_';_., _._?__;._:-__'-x,._i_., _,,.,__'^ '. .;;;__ ,; ;-.' _._'''.__i''_ '' _'' __ '_,_,,__'_'._.._..,_.._._..,-.;. _1 _;.,E _1 1 __' g _2 1 _, _3 E _3 _ _ :_;;''::':.:.'';,..;,':;,._;.:_____,.,.::;;:._..''_''_...,;,__:.._.',.._ __2v_wm;_'_,..' À"_1 2____' m _22 i. - ___3m_J__!.__-_.....'5'!!5:..:...';'_'::__..:!!!_.!.(..'!!)!.(.(...''__,_..,; __3 __;,_B_1 3_C, B_ _23 _A_3_3 ._c:.:_'_;._.;:._'_.;..._'.:.;,;.'_.,.;.;_;;.__;..'_.._;; __y._n.4nmm____ _ __1._4 m'r. c_2_4. ...,p. c m___3__ Mr,N6'
;''_......'_.;..._._''_,:._...._;;;;__._;,;;,_;'__.:..:;,;' ___ _D_15 _g_25 J_B__35_,__ A_V_.,_;__i_:...;'è...'_...;_..:''_..:_',.;.. 6 ;,_-,B "1 6___ c26 _r_c~' 36 JCc_.,::;,:'_....V;,_.__._.':_;..'_'__,_;..''_,._._5_;,__,__,_.__._,::5__;,'_,._''5,:,,.; _7 ;-. c_1 7 __.-_ D_2_7iB____7 _____' _.V';_..;;..V;._._,.,..____,__,.),.''_...,'_N,,.',._..,, ___8 __, A _,,,, 1,,8,,,,,,,,,_- A m,w2_8 D .._3_____ g;,'.;,__;.:'_,.Vvv_...:?_,.,_''_..'''_,__ _9 __ D_19 C..E _g _39 ?i_E___ E nn_30 j_g _4O__
._._, :;_.______- y4__W---
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_ _ __ _ __ _ , __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ ,_ __ _ _ _ _ __ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _
8 1 1 - 1832)
ms precoz. fuereto ala
30, y expuIsado de1 por
uchalibradapor losquia. Murin duelosinr asuChevalier quecientí_co,sideassobre1araicas, i deasbra __,__ni,
gni f_cat ivo al _,__ _ _,'?_? ' ', __x_ n_ , _;_,degr upos. ,: _._____._,_____,_ ____ ' _?_ _, __?_ ' _, ____ ' _c,
obrelaresolucin _ _,; __ , __ _'_ __', _,_
emticas m s ì _' '_, t "_q ___Desgraciadamente, "._ _,_ _,., _ __,
hy, el principal _,, _,,__'_ c___ ,_ __ _,a, _ahaya_'_' x0 _ _v__ _'_ ' ,__ _____,_: ;', _?,,aJOa 1aACademla_ _._'j____;x_.___ _\ 'J- _n, _/__'_,a_??__
maxem tico de , '' '- _'__s_ , ,_ ' _- _?_ ; _; ;_ _n_", _,,._-1 trabajo ' _'_ __n _ _ _
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_ _ _ _ _ _ _ _
J_Jr_riz'o _n1__ de._jJ7ji' eI J7aíJJ7eJ-o J__nl n pnJtiI' de_U__J,__JJ.
IdlIJ_rl e1l _ si_?' sóIo ._-i sez'eJ_i_ic'n.+ t
C'oJfnd7IJ-n cJJ_ esJl Jln _nJ1,7pJ_opio .?' JJoz_nc'ín dc_nJ_cc'e de1Jl,_niJJJo.
c-n/-n_'rcJ-j.__n JiJInpn71icióJ7 e7JJ_ _l_edeJJorn1JJos_o/'
__- C,
__sll 1I CoJ1nrlor.- _ = ( x' __ _/ vin < J/J)
,sd,c,_,_ ,,I J.1_,JJ,J_ ,/çJJ,,,J,fo d_J,.oJ7 _,
Jrc-_7sro_o cJe JJJe97ro de_l es1JIcJJoJ' _lIetorIo cIeJJleJ1Jro
_' F_,_, eJIroJ7c'espoJ- ln c_o1Idic-ióJJ(IJJ dc/n rIeJi,Jic'ió_Jio nIn /J7pótr7sis.
_J7 i97n Il JIn _;o/1nrIJIJ-n eJF _ _c/ïJJidn poJ'
/-n J-nc_ioJJr_/ de Ir_ _;o1_ndJ_1_n .?' ._eirIcJJ(!_Jic'n _-o/I eI JJJí'1JiJJJo
I l i_lt__JI(rJr/i12
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_____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________ __ ____________________ ___ __________________________________________________________________________ _______________ ___ ________ __________ ______________________________________________________________________________ _________________ ____________ _________________________________ ________ ___ ___________________ ___ _______________________________________________________________________
__''''''_''x'n_',','__, '_''' '''''
..':.';';'m"'' '''..__' ,,,_':' ' '' _
c_asesden_mero5-, ^' '' ' __uido estec0njunto .nwn__c0. ,__egoría' d, ecamponumé_ca. ' '__llo_ cam' po), , __,_0_ l0saxi0ma,,s_delosnijmerosreal_es. _ ___
reglas, podíamos mover un peón 4 espacioso unade lasmos trabajar con losnúmerossin conocer lasreglasque
acionesteóricasy pr_cticas. Por citar el casodonde lahamenteyaquesehadescubierto queexisteunarelaciónunaliray lasrazonesentrelaslongitudesde lascuerdas
amosal decir queel mundo estágobernado _or los
mportante_ incluso marcahitosen lahistoria, así:erizaalasociedad pn_iivay esacondicionadopara
prác_casdel hombre.iospositivosfueacondicionado alanecesidaddeefectuar
osFueprovocado por el desarrollo del álgebraen laVll).rrollado unateoja_gurosadelosnúmeros realesen lostrabajoss.
sido creadospor extensión debido alasnecesidadesoncretosde lavidacotidiana.
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__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _
a_ _ __nabC-- ma
Y) ' - _9_' _9go
allela Fracción equivalentea
S
428sj _ l42857 - O!g - 7
a
ner parteas
SUo_inomiosde coeF_c__entesenteros.
oef_cient
itosnoperiódicosperiódicosdicos
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_ __ _
a_
ansitiva : si un número na_ral esmosquei_ual aun Se_undo y estesegundo esiguaI a,Un tefCefO, entOnCeS el _fimeFOeS i_Ual aleCCeFO.
mbóli carnente:v ab c, N. a__ b,_ b __ c_ a __
eración binaria. -- Llamadatambién leydedaen un conjunto noenciatosde
ncaqueanico
a_ao ley deto Ano
deAxA
umna
a(g, b) c
elosLacorrespondenciabiunívocaladenotaremosepor _, entonces_ esunaoperación binariaenAa_: Ax A _ A, esdecir a_A._ b_.'A_ a__b? A
:es l. Laadición usual en Z esunaoperaciónodo par de
osenteroses atroentero:
Lasust racc_No_n e, _n, esunao perac__o_sto que_ ' d__ferencl_o
7= -.3 __ N
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_ _ _ _ _ . _
ón Resoluct6n:mosen lasiguientetabladedobleesen_rada;
A._
n.n,_o/
eraClOn lnarlaO
OideS lOS COn_UntOS _.Ón Ordinana, eS deCir,_ (R,+)elaUnaleYdeCOmPOSlClOn
El Par (Y, _)_ dOnde_ SedeFlneCOmO_m_ (a,b) _enelaeSt_CtUfade
daetabla:
sse
_ddd._,__.,_d__'___d_dd_''''_'''_______ddd''_B'^___'_'_'__''__'____d__'0___e___i_'___''__'___'__''''_____'''__'_'___'_____-__'_''____'''_'__._',,_'__._,.__,'_'_______d'_,,.Todao_ración binariacumplela ___,.n p m n__,__,,_,_,__,_,'^____,_'_ ley declausurao cerradura.'i'
..,,,..,......._.....,....,.............................,......,.....,_..,,....,.,...,..,.,,.,...,,,,..,,,,__'_,'_.P m n P
DefiniCiÓn (ley aSOCiatiVa) '--naria___ esasociativaen A. s.i (a_b)x_c-- a__(b_c) Ya, b, ce A
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_ _ __ _ _ _
eales
Veamosa_b = a+ b = b + a_ b_an ___'0'
_atativaen_
sego diremosque_ es
no vacjo Ay unaoperacióntidado laoperación _ si y sólo si
es._dent._dad auea+o__2 En (NJel nu,s' _.de,t_.d_d puesto quea___ _a__
grupooerac_,o/n__eF_n__
_ ab c
+b+ I
a. CCa b
naFiaa_C= C = C_ao si dedondeseconcluyequeaesel elemer_to
On_Unto AConlaoperación _.
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__ _ _ _ ._ _ _. _ _ ,
ónl. la adicjón y lamul_iplicación en _sonpe,ac_onesb_na_asy _a segundaes
_butl.vacon,especEo a_apF.l
ivaa
qUeque(a.b)n=a''.bn
/ On
o ematema,t._cass._mblte/, en ot,ascl_enc_,ascomo en _ar_/s_l
radoaimpon;endo cond_cionesa_,sest_ctu,,sde
juntolOy X_ Una
G_ XcJsellamagrupo s;1 sólo si _ esunaoperación binat'i,aa?ociati_'_.emento de_
mbólicamente:A(G, X_) eS Un__ßOSi ySÓlOSi SeVenrlCanlO_
si aXlOmaS 'GJ__:GxG_GG__ x_ esasaciativo, esdecir, (a_b)__c= aX_(b_,c,. __ a,b1 c_ !_
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_______ _____________________________ _ _ _ _ ____ ___ ____ _
dad 6. Sea(a, __) un grupo _ a,b eGprobar laciay unicidad dexeGtal quexxcab
StfaClÓn:
etal x
ex esúni
mosquex, y .x,, ve__jcan lacio/n.x,_a= b = x,_a_ x,_a _ x,4a
_e= X2X_e' X_ = X_.
trar que(a_b)'--b'_a' Yab _ Gi
(P_rael lector)
e con Der_nición (grupo abeliana)Si en el grupo (G, _Jsecumplequea_.,b = bx_aivo Ya,b?_ G, sedjcequeel g_po es abelianoo
co. ___^''_,,^'oo,__0__,___,__0_i__,_~_,_,_______0_,___~_D_,______,,___,_%__,_,,,_,___'_,_,_,'_,___,_'_0,,D, El tefmlnOde_rUßOabellanOSe__^^'_,^^oo_'_'__i_^'^__'_^''___,',___0,__,^__o_,0__,__,__,,,_,,debeen honor al ce_lebre'__,,^'_,^^o,o ''_,'__;'_''_i:'_,___'''_,'__,_'_,_.,,. . __ '_' '__,''''_,_''_,: matemático no_ego NielsHenrik _-__adosacerca____._
or la_.,0_bilidad de resotvef tas__m____o'_cinco por __'___,_o__'_,
entes. ___.,_,,0
e:a, a'' = a4a__a_... 4_a"n'' veCes.
uesi a_b 2 _ a2 2ano.
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_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _
deA = {a, b, c, d } y la
ab cd
4) esun g_po abel iano.sun
a, b, c)oessu bg_po de( A, x_) y a
__H/', beH
n g_po
a) Asociatividad garant izadapues H__ _ento neutro:a4a' f H_ ec_H
Cl C l O,e, e,_H,,, a,_Ht e_a_ ,_ Ht a_ ,__ H
de aeH_ b' _H_ a4 (b' J' eH _ a_ b eHsólo si (Demuestreque( b J' = b)
_ , 4) y (H_, 4) son subg_posde( G,_)_POdemostrar que(H_ _ H,,x_) esun subgrupo de
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_
re4les
n _ y iRlosconjuntosy +,. lasleyes dena, lenemosque: f(x) = a"
H2 con a>O n af l).
mOmOnlsmOdeZ y TR
mOmO_lSm0de _ y _'
F es
_l. f esepimor F_smo si y sólo si f essuyectivo.yectivoun automor Flsmo si y sólo si A= A'
eyes
tal queh(x) = - 7xh(a+b) = -7(a+b) = -7a+ - 7b h(a}+h(b)h(x) esun automorf_smo eisomof Fjsmo.
momo,F_smo dmef el neutro del segundo grupo.
el)
x
4, e,ncelación f(e) = e'
omor Flsmo degrupos,
esdec;, F(x_) -_ (F(xJ)_, dondex_ ese_
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_ __ _
n_lo:exisleun elemento l _Atal que
ces(A, +, .)anillo con elemento identidad. Si a.b = b.a_ a, b f A, entonces (a_+_.)
es:
_b,A
6n
Y t _ ,.o +a.o __ _ ,.o +a.o + a.o
ano
O
ntesO
ién_= (a+ (_a) ). b Oa).b=O__(ab)+ab+(-a)(b)=-' (ab )+O
)b _- (ab)
o _(a+ (_a))(b+ (_b)) _ oibutividad
xiste
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__ _ _ _ _ _ _ _ _
rea_
lo Lascondicionesl, ll y Ill setraducen en losquesiguientes_iomas:leyessy a. b , s
sa.b = b.a
nillo deC3: Lasoperaciones+ y. son asociatjvas,espo,_diiA_ ,+) decir:a+(b+c) (a+b)+cy a(bc) = (ab)clOde(A,+t.) c4 .. _ec_ st a+ o __ a__o+a,es decir oeselAy e_emento __de/ nt__co baJNo laoperac__o_
mento itiplosdeadenotado por:lo (-a) / a+ (-a) O = (-a)+aepto el ceroxisteun inverso bajo laoperación. , es
ulivarespecto ala
nulosl. Lastemas(_ , +, .) y (_, + , .) son cuemos.Todo
CU'mO. 2. Latema(z, + t .Jno esun cuemo, pueslososqueadmjlenun inverso rnultiplicativo son - l y l.
3. El anillo _ detodoslos númerosfealesesunasg propiedadadede campo.
;.) esun campo _rquealas8propiedadesdecampo, _ eselalaconjunto delosnúmeros complejosO=(O;OJ
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_ . __ __ _ , . _. _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ _ _ _ ., _, _ __ _ _ , _ ._ ' _ __ .__ _ . _ _ _ _ ___ _________
R_oRD_.OY''_.,,_OmRlm 'v ...' '.S_aCeh_3 : Ley 8SOCi8tt_&'. PafatOd0a, b1C _ _:ultiplicaci6n detresmásnúmerosrealespfoduceel mismoS pOr resultado, sean ag_padosde cualqujef iÓn demanera.
S dOS __.. _;,tenc;gyun;,;d8ddele_ementoneut,oCl n mul_pI_ca_vo: _jsteun elemento en_ y
mentesolo uno, denotado por cc l tl djstinto de cero.det,l uear, todo af _. al __ l ., __ aa. ' . . ' .e' ' . . .v. aae ex. te' U^ m O
+b)
RParatOdo a. b, cen i _:a. (b+c) = ab + ac). c_ ac+ bcién esu_.
, a,, uel,te,n, _.+. ,eaunt_cue,ado com _eto,, t.lene_es,tl.sface, ___
OS _ . .o
de lassiguientesproposiciones:M, ll.-xeM, ITI. O_ M, escie_aajo ._,-
' . _. . -:
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_ _ __ _ _ _ _
,ea_e,
ostr8ctón:osO+ O = Oneutro aditivox
M, x.O+ x.O= x.Opropiedad distributivanosx.O+ x.O= x.O+ Oneutro aditivopor Io . x o _ o _edecancelac.l
ado.
ntOdelosuna
e_Uraf . , . , . .cia_ass__gu__entes_rop__edades.
puntos
_asII. Si aRbt a t bIII. Si a, b, c,eA, aRb r\ bRc_ aRc
ráunes < (menor que) setendr_:
oncesaysolamenteuna delas
f bR, se
on-
lementosentoncesAtieneunximo y uno mínimo. Perotambiénsnnl,
mplos:unto el elementol Oy el mínimo es - 3.
otiene_nimo que
enl_ max/ l_mon_l
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__ , _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ . _ __ _ _ _ _ _ _ __._ _ _ _
tadoscRSean _el conjunto delosnúmerosrealesy LcR.onjunto L está acotado si existeun nu/meroiR,talqueparatodox__; -c__x__ c,esdecirmayOf Oel conjunto L esacotado si esacotado su_eFior e
o_ente.
'___ ,_ _ '_'___' . / ___oS_,___, "_ ._,_'__ e_OUC_0lI_____?__,_____,__'_',___' ,, ,!__v!n' ;_,C
fmentees. El
<__ 5) y_5)junto es
IRacotado5ecc_or decot e.
_ acotada__ esodas
E_em_lO_
net end r a/
c _, _ _ _l , _-_ _-_ ... ,. - _ inF.A= - I
xisje__.ual _ l
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_ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ _ ___ _ _
Sea: b = e donde"e'' esel elemento neutro
problemaN^ 2 demostrar _uee l elemento
' + e' = O(del prob. anterior)
quepro__gmg _n A__ ( _, 2, 3, 4) sedeF,neun, ope,,c_,o/n x,.
uyosvaloresestán dadospor latabladedo_le
ar quea
va_ _ Lao e,ac._o/ n x, esconmutat_.
e_Ún: 444__ _
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_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ _ __ __ _ __ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
reales
nelaoperación 4 por: Va, b _- R_
de PrOal_m8 9aturalesampliados) sederlne
lassiguientespreguntas:álaOPeraClÓn'_tO_lmentederlnidaenNoaoperación !_'_ asociativa
nidaenNo1 Si:
OSl'me/ trl'COS ._.lao eración ;,; no est_ totalmentederlnida.
n ;__ esasociativasj_.No, (a!__b)í:_,c= a__(_! ;'c)
o,n n
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_ __ _ _ _ __ _ _ __ _ _ ,
ciatividad sep_ebadelV)
O) para+ y
Si en losnúmerosnaturalesden_nimoslaac_.o,n _ med._antem_n _
Nm _ n
:__ (faISO)P) > (m_P)las_ _+ _ >_ _
m ' _ ' P '-
On j 2
= _m2 _ n_ -2mn _ mn
)_+ _m _+p J_
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_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ __ _ ________ _ _ ___ _ __ _ _ _ __ __ _
ma*.
ß Jelemento inversomultiplicativo
s e_emento neutroa
Oadit.) .N. (_) l = x l y l ley decan_e_ación
straF -X, -Y_ si __ o
ón:
sistamb._e_n al a__ _ dedondesetend,a/ a
Oen (l):ón
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_ _ __ _ _ _ _ _
ea_
_) es un g_poemas(C, .) no es un g_po, porquenoexisteel
operaciones
po?t ab u _ a, e s.
despara
ßeCtOaeStaS OperaClOne5
_cerT.andrán que_'enF1cerseio_-
__ xy i TT_ T _ _: T XT _ T
mutat__v_.dad po, s__metr1_
especto aladjagonal princjpal dondeelasoperacioneseS deCir Si XYF T_ y+x _ x.y = y_l c. . .d d . _.
Oel COn}UntOT liene2 elementOS,número decasos_uetieneba
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_ __ ___ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
"_b_ X' RYSi a'O, entOnCeS
ción:
cual prODl_m_ 21bparacada número real x, demostraf
do?
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_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
= O
efso ad;t;,, deo__1._ __ _l _ _ __ __
3XleT/x,___xlx__ ___ _ _x 1 __ _
ademostrado quelaterna(T, +_ .) es
bf]_:a(-b) = _.(ab) = (-a)b
:delprob. lI)deZ dela" (a(- l)b) (MJ)
OneS de_ (_ _)(ab) (m m J
_a)b = (- I )(ab).............. (prob. l I)................ (II)
b) = -(ab) = ( a)b
(-a)(-b)=a.b
)aJ(- b)...... (prob. I l.. _ _ _ _ _ __ (M_J_ M3)
= ab
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_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ __ ___
eA, si _roDl8mg 25en lasgujentes, respecto aun número
Ano es
de exponented y ,, e, el di FerentedeceroJ esracional-ajO__
ónen t On ' ' ' U
os__ Todaote c.,adex _.,ac_. na_ no s._uee. .rlrlCan lOS EjeInplo: ( _) ' = 8 ca
d) lII. Algunaspotenciasdex irracional esracionalpecto Ejemplo: ( _) 2 = 3 _iera,f_rmación carrecta.
trar Dadaslasar_rmaciones, indicar el valor deerdad.( _
,ac__ .,_re_ .,ex,_stea_xistef"
existe_eroO''noexiste
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
reai
ean ay b dos númerosrealestalesqueelego analizar lasional. Sl_UlenteS ßrOßOSIClOneS:queel l, Si aeS i_aCiOnal, entOnCeS b debeSer
I. Si aesracional, entoncesb debeser
no Reso_ucl,o/ n,
'J_'.
ent
ab e_' _a_;- g_ , entoncesb r__ _ v b c__
F
: Sea' Z__ -- (Otlt2'3,4} der'n!mO' l"'d'C'6n Y l"
istema:' ' ' ' ' ' ' ' (!!,
x -_ 2 t _, -_ _
o_s,_J_c,'ó,J._ 2. q = 3en _,c
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__ _ _ _ _ _ _ _ __
e4. Sede rlneunaope ración _ en el conjuntoralesde modo mue
Tndicar el valor devefdad en lassiguienteses:
o araestao er,cl.o/n ';;.,_
S obre_ - ( _ l ) sedeF inel aoperación
+b+ab.
siguientespFoposicjones:
ble1 T. El ,, _g. _ e, un _o conmut,t;,o
eal r es_
B) V_ C) FVVVFF E) FFV
_J, _) y laley de) ,ección) están dados_or lastablas
E _ _ _
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_ _ __ _ _ . _ _ . _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ _ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ____ _ _rea_esEstablecer el valor deverdad:_ un carnpo ordenado.
B _ cvFF
Establecer el valor dever dad de lasones:
conjunto_.
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_ __ _ _ _ __ _
m _ n= residuo dedi_dir (m+n) entreg
# (5_7)
acionesdef_nid,spo,;
cda aaa
_J(1+_+b2_a)+a_Jb+l+b'N)
n _ definimoslassiguienteS opefaciones
_ _x _9; y#y=2 I_+20
) 25 C) 26
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__ _ __ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ ___ __
e4les
_, B) a_ C) a3l D) a_ E) ao
aX'b = min {a;_b = maX(a;b} _ R
ay b
o,e:
2
_ IR; sp deFlnefaoperación _ como:+ b_ 1
CJl -2; 6J
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_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _
son 29. Si deFlnimosen & laoperación xcdeF_nidaor:a;b}
sas?= b X_ a
4cll. (x _ 4) _ 2 _ x= lx,N___ 2___x___ ,/ x___,
y;
es
l, (a. bJ-. - = l ab _O
steoremas.= b+c
=b _ a= c
Il_ Si a_- R_ (- l )a _a)=b
b númerosnaturales, si sedefine
- b_a
a+2b)''
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eales
. ConsideremoslasratacionesdeunáteFo ABCalfededor desu
n
nDemostrar si esteproceso con laoperacjón
neoperac_lo/n b__na,__
_+_' . . /
. iAdmiteelemenlo neutro?, jcuál es?
_v _.Todoelemento deA t_.enes._me/t,._
pUeStaativas.
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_________________r___r __________r______________________________?__x______________x________________________________r_______________________________nnv______ct__r______________ ___r_r_______t________v____y____________________r___________r_______________________________________________________nn__y_________________________mxm___________________________________________c____________m____________________n__s____________s_____________________________________________________________________________________________r________,_______________________________c______________________________r_____________s_________________________________________)_______ ____________________________y_____________________________s_________________________________________n_________________________________________________________________________________m__ ____________--i__
m _ :. _ ' v_ _ __.__ _. ; _ i_ ,. '_ '_!, _ _ ,.,_ ', , .;. _ _ ; _,,,' _ '_ - :s': ' ' ,.; _- ...,.. , ; ' ' ' ': _-- _ _,-c;, An,____1 mn.M__;', _ _21.__! D_W2 .w::; 'Bm,M2__v2___3--;_''__ .,_Mv__3..__,.mv,_' ' "_; c_m_1 3 _';--.__c NM_23 ;__ D__33_r--- :; A.M__19 ____. h n__24_._''_ Bm__34_.._ __.. A_1_ _;-_-_ c__2_5__E __35__p ,,1, 6,, _,_.___+ E ___2_6 m__D_.3,n_6 _v__ __;_ __m _1 7 _c_2__/ , '' 'g _3 i m_', 8,,, ,,__. A_1_8 _,,,__ A___28.,,d.p ..c__3.8._..._J _
r.__ _29_B___B' _3Mo_,m__ ' _ __4o_
' -6 _..;,_,'5: -_---x . .;_ - ____ ;''.;'__._''_''_'''n' '_-"-_'' '''''- ''
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C PÍTULO
l
¡ x ~
úmeros complejos
arl Friedrich Gauss (
1777-1855)
Fue el más grande matemático del
Siglo XIX y probablemente, junto con
Arquímedes y Newton, uno de los tres
grandes matemáticos de todos los
tiempos.
Gauss nació
en
Brunswick, Alemania,
en el
seno de una familia obrera. Fue
un niño prodigio y desde su niñez
mostró una asombrosa habilidad para
el cálculo. Cuando aún no tenia 3 años,
observó a
su
padre que era capataz,
quien hacia las nóminas de los
albañiles. El padre cometió un error y el
hijo
se
lo
hizo notar y cuando revisó los
_
números halló que el pequeño -precoz
muchacho- estaba
en lo
cierto.
La
sagacidad con que Gauss guardaba
sus teorías se explica
en
parte a
su
pasión por
la
perfección "poco, pero selecto" era
su lema.
Contribuyó a allanar el camino del álgebra abstracta superior con su pensamiento
sobre los números complejos, demostró por primera vez con tanta rigurosidad el
teorema fundamental del álgebra.
Procedió hacia 1819 a inventar otro tipo de números
al
cual
su
compatriota
Hermann Grassmann
en
1840
la
llamaría el álgebra de los hiper complejos
a+bí+cj+dk), contradiciendo a las leyes de la aritmética básica XY* yx; siendo
x
y
hipercomplejos
.
Ha dejado innumerables aportes a
la
ciencia principalmente a
la
matemática.
a
+b
-3abc= a+b+c) a
+b
-ab-ac-bc)
m
b
o
a
Z= a,b)
Z=IZICiS
a
a
lR.e
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__ se_- el _elos_'o_1lp I_7iu_', poI' cjeIJ_pIu, pel-o J__e.TUoJJ{a, _, ... ),_ dotndn _e?II11 c_I__JJJe7Jto (_J(idn_, e,__ sen_
eJ7.Tio_I_9_', Si Iosc_/c91Jc1Jfos_e l''sy11 iIF_ic_nJos_rJ/_(_X,ecf ol_ir_l.'
eJ1Jn, i1J_icndn "+ 'J, c_ol(11IJrtntiz'n, n._nc'inti__r_,__renl _J{ecndn z'ec'ro/"_Xt_1Jen _n/_n __._rn Ie_.)_ I_9Jop_resro
_teJ1Jn c_1l o__9l_rlc1oJ___s__JJI_ rlsrJc_inli_'r_ .)' _ist/i I_lrli__n r'oJIili_JJi91fos' __ lí,'
UJ. _U_n, ..,., _U,, tn Jes_JreJr17 z'_7c'to1"c'Jrnl_Jri_/_nrl__ r's-eeestus _'_Jctu/__Js.)' rJecoc,_ic'i_7/Ite_s/eJ, __,, ..., _,
,
rl-n _er_JJillo, cspJ-Rciso de_iJ_iJ- eJJeI JJJisJJJrJ( JJJr_ln, Irl o_r_J-nc-ióJJ''xn '' _IJces nsor'ir_liz_n, JisrJibJJti__rI _'/J/Ic'uIJIn Ie.?' c,__Ie?J_Jn, esdec-iJ-, _ rnl r In.Te_Jrc rc_JJ_nJJJos,__JJ
rJu _lIerIefiJJeeIpJDdJrcfo deI r_1Jillo coJJsirJr?J_n_o.e/ _'JrrI/ e_J__'oIJJp Iejo o, JJJcioJ' (IJJríJ__bJ_n. ,_Jrse Je_JJcJJ/os' s__us.__rrl 1J_o Iosele-JJJe_Jtos debnse_oJ1J_nJJJJJJ __J_rpo prI/_n/Jn._oJ1JJn_/o eI _7_____rn deI_J__po-
7rIJJr I':.. IJt__JJ'li_J._.
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x_00___0_0__0_0_________00__00___________0___0_0______________00__t___00_0__00________________________/______________________________________________________________________________t___________________0___t_____________________________o0o______________0__________o_______________________c________________________________________o____________0o_______________________________________________o__________D_________mp0p___________o_____o0________________________0_____________p_0______________________________________________,________e__________________J_0_____0__0_o,_______0____0__o_______0_______0_____0__0_____0______o____0___s_0____0p_______p_s________p____0____0__________________0___0____o_________o________0_________0_____00_____________________________________________________________________p_________0___________
'_'_,'_'_'_'_''_'_'''''____,''_,__'''' \ _'____'_'__''___'___'____;.,:_,;,__.,.__,:_,:.,_,._'_,.::.__, '_:'_,.___''__,.'__,'_,_,__,__,_'_,:',.::''_'_:':''_'''':_::'_:__'''''''' :__,:';_'_:''::'',,,___,:_,__,___,____,___,_,____,_.__:_,_,__,,__.:_:__,_, .:;..;..;,.'_,_:,',:'_,_'_,_''__,_;'__'___:,,,''',;__'''''''' ,.;__',,,,,,__'__:_:,'_;:____:''_,''__,'_,_,__,,,,_;,_;___',_:'_,:'_,,'__, ''_''_'__,,_,_'__,,,'_,,__
-- =-- _= = = -- - - _-- ; =_ _ =,--- ___--__ - - - -- __-_ - = =_ ' :. _ ___,_ ' ':_ :'.._,.. ____.: '_,:':: ' ' ' ' '_' ' _ ' _ _ Y' / ' _ _'_._:. _ _ __' _': ;_. _:__.;.,;,..:. _ _. _: ;. ; ;;,: __..;;.._.._: _,_;.__,;,:. _,., _. _..._ ;, _..,.. _. :_.. _. ._;,._.:,__.: _..,;._ :.:.. .::, '... :. __. '..._ ' :..' ' ' ' ' ' _' ' _
'''''' -- . , ' _'.m_,,mu_encollama'' d'o~Elca-_:__lejo_q_d__ _a_. papel ,?_?'_,_=,ne's' '':''',p0 o_omal_s. . ' ___'_amas, '_'' ,e,, I8, ___- - - íá y __lacienc_'._ _ '''':: ' ..' ?'
oselect_,c,, _'s, ,_ geo_t_a_racta_, etc. \ , ,_ / . ...._.."_ "_ .i_
el muyimportanteen el desarrollo del Algebraen especial lasecuacionespolinomialesobe deceal Teoremaón escomplicadapor medios algebraicos; en cam_io por et
eLioville; lademostraci6n esbastantesencillay rigurosa(ver
mico necesiEamoshacer uso delase cuacionesesolverdichasecuaciones seutilizan alosnúmeros complejosn problemadeonda sseutiliza el méEodo devariableser.
slasra masdela Ingeniería. Por ejemplo en lacos.
asseha desarrollado laGeometr{a Fractal ; dondeentreoscomplejoslos cualesson un componenteimportante
aplicac ionespropiasde laGeometría Fractal (Física,Química,ía, Arte, etc.). LaGeometríaFractal nacepor lamismaquela geometríatradicional o Euclideatiene limitaciones
como montañas, Iranjascosteras. sistemahidrográf_cos.objetosque no son Fácilmentedescritospor lageometría
descripción y unaFoimademodelo matemático paranaturale2a; todo esto esposiblepor queladimensión
uclidea.
actal esel deautosimilitud, esto quieredecir_ quecadaecon unalupaposeela mismaFo__ay caracteíslicas queel
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____ ____ ________ _____________________________________________________________________________________________ypxw________________4___0________0_________________o___________________________________0______0____________0___0__0__0__0_0_00_______0__0_______0__D____00___0D_00_D0______D0___0______0___00po____0__o____0__0__0__0_po__p__0_____p___0_______0______________0w_0__0p_0__D__0_0___0_D0_0___00___0____0_D00_0__0___o_D0____0__________0_0___0__p___0___p____________po___________________________________________0___0_o_________0_0_____0______________________\_____\_______n\__m__t__ __5__0___
sal8ebr_icash_ l'leuad0 at h0mbr_ de_deI_ n_mel_osnatura/_s0 los___,_
DS IrraCl On eS y 4 SIStemaConp etOeDsnUmeroS __a' es.l __mefc_rl_CodeJoslVnd_mentos' deJ_na__J-_r_smodgmodgsc__,b(._esra_,,,
mprensr_n del si_em_ d_ númeraspor el hombre. _abem0spor eiemplo, que'___i__x"'' con laproped_d deue___car.. _+ l _O; eI problem0 es_n4/ogo; _u0ndo ei '?__,L__re_sne.ia. rjuos;' s_lo contempl4b0 Iaec_aci_nxt___9,_eF n_mero -5 0u'n no _'___,_,
númeIoscomplej_ s' î_' uje' n'' do est4sm sm.. _sIjneas, l_sde_inicionesy __las____,,?___' '' ' '' _'_ '' ''' '_''L?sistem_ de' númerasesu_ n_ ext_nsF_n de/sjxe.made.J_ números r_oles.__''_,me_sco_pleiosy l_ pnmerap_b_ s0l_- _aclm del teorem0 .___71 -J8S5_ensud(irt_ri6n_to_tenl __ Mterm'nonúmero
n_'c_'_n denu'me_s'' co_reJ_Dsiomopa_so_d_n__e_nu_me_s_e4Jesruei____temdtjco ,ifIand_S _llIW' m R_n Hamilto_ lJd05 - l 865Jy Iue_o _,_di_ est_ den___, d_ los_tim_ comp_iosal_ n _d._sordenadas__XJ,' eStOS nÚm_iO_ hipercOm_l_iOS __J1er_l_an 0 l_n__ COm._leJOS y a_
aI jmport'anci0 en Á_eb_. En l4 teo__ d_ t_ funcjmes_n_/íticasde_rDscomp IeJosiueg_n _n p0pel j___teen lasecuaci0ne__erencjaIes; en _., iones, uib__c(ones, fenbneno_. md_loronos, n --7os_cr_les9ueesuno ___omo Iosd1rerencio Ies. ;__\-,
enumerosreales(x ; y) ; esdecir x ; y _ 7R ; donde''x''componente.
amosel conjunto delosnúmeros
Comple_os
_r4.
, __ (2+4 _, 3+5) __ (6 ., g)
(-7 i 22)
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_____ ___ __ ________ _____________ _______________._ ________________ _________________________________ _________________ __ ______________________________________________________ _________ _ ______________________________ __________________|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________ _ __ ____ ____ ___ _____ _ __
complejos; estamismaoperación deadición en V_aciÓn demultiplicación sedistingueen _ yV2; en losnumefos
mero complejo; en cam_io lamultiplicación dedos vectoresue un vector tienedirección; en cambio un número
_.;'',, '''' ':_ ' ' '':'''"' ' ' _'- ''_''' /
UC16n_
.2..,__'''''''_i__ ___Y2 ___,.___,__,, __=_2 4=X-3 _ Y+I_5-Y
X+ _'--9
d__ Ga. _s_ ,, ,,., ' _' _' ,,,
cual PROPlEDADES: _ _,; _, ; z3 e _el e)e"X'' A_: __+_2 f _ (Ley de ClaUSUfaOCeffadUraal deParalaadición)naAJ_; __+?J_ -- ?7_+Z_ (Ley Conmutativaparala
ma
ditiv_).
__(o.o) _, _,_!o)
CerradUfa_ara
v_ _arala__ _- ____- - - ______'__,,___,_,_,_____ multiplicación).
fm__--(I; O) tal_ue5. _'= _ __?__.C(e__istenciatiVO)_
?.- _. ' Nd ' _ V' Y?_ F '
erlnidasmu_t__p___cat__r D( + _) +
(le), d;stribut;_,a) -
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mero real 8_ obtenemosevidenternenteunascorrespondenciabiunívocaentreel conjunto
nsiderado depuntosy el conjunto detodoslosemásnúmerosreales. Como aplicación delasor. operacionesdeFlnidasen _ tenemos:
)S ean _
ealOS pUntOS (a;0) SemUltißliCan en_ Sí (X3 ;y3) l_Ual qUelOS nÚmefOS fealeS CO_eSßOndienteS_
ChOS nÚmerOS nOSediferenCian eny_+y3Jnada_Or SUS prO_iedadesal_ebraiCasdeloseS fepfeSentadOS OCdinaflamente
Of pUnt05 deUnafeCta; _Of lOtantOCOnClUimOS:
y2) C_
,+y,x,) Al Paf l2 i O) leCOrreSPOndeel nÚmerOreal l2OJ= l2; an_logamentecitamosos:
) ' 4 i O=
plejosi,n _ T E o g E M A__s'' ' -on , _F'_i Z = (XiY)ede_,_____, (x _ y} '_ _ _ secum_ler5 = (rXi fY)
O) el
n
dos e/stosel ma_s__m portantees_. ,a_ cua_eal d . .d d . . .
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__________________________ ______ ____, _______________________ _______ ________________________ _ ____________________________________ ___ ______________________________ ____________________________ ___ ______ ____ __ . _ ____
,maginaria; tienelaparticular notación i = (0 ; l)
Ao i"; 4_
P0f lOtantOi _ l
,,, ,m,,,,,;:,, ,o,,,,,,,,,,, ;';,,,,_';' ':'' ,,,,,,,,,, :,.__..,..,.b' :,:;,.,..o. .,_.....,,,., .,,,a..,.,.,a ,,..,...... _____i0''"'' Luegodeduc_mos que
Luego sededucedeece_N- ,j - k _ l_ _
do a_t __ .._. ( _ _ )_ ,_ k . _J_ ___-_
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_ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __
Ii FICar
V_- i 2! + i J! + i J'' _ ..... + i l20''
o de_"'_'_'a___0_____00___9__,___'P80O____'__,a__'___'_____''0__0__i'____'_,''0 '___'__,''_ CUatFO_ n > 4__',__,_"_,_'''__''__ (Por _ropiedadesarilmé_cas) ____.,_d__,o,,,. _ _q
UNC0MPLUO'
m__cao cartes__ar_.' ' _'__ ; _'_) escadauno delossiguientesnúme_osco_np_e,ic__dospoF suscomponentes.
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_________________________________________________________________________________ ________________ __________________________________________________ ____________ _ _ ____________ ____________________ ________________________________________________|_
Ejemplo 2o+ 12i
enEación Geométricade?= (x,_y), de su
_l'
;';!"! ;'__ _'' ' ''' '_'' 't ;' '''''4'tt'. '''''''''>
s_= _; __ ; ?__ _?_
e70fea1
mp_e__ imagin_ri
al 4, + -_
eF_ne_z_ _
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_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _
Ao cnRTES_m' ''..._._._..._ ,x __ . . ' , ',.,,xo.,,.,,,.,,,.,,,,,v,,,,,,, _'___^^'_
___^_o0 '''_______o_ '_ _____ _____?o' _ '__' __''' "'_ ''_'''' ''''_''' ''_'''''''_''''_' _'''_ ''''_'''' _'__''_ ''''_ _' __'0'__''d''0''' __'_'0'0_''_''dd'__' _''.'__'___'___0_dd_'_'_d.''___'__ 'd'D_DD__ ddDdD_,____._''_.._''__'''_'''_,0''._,^''_,'''__,._''_',._'',._^:,. _ '''_'___damosladennición rigurosade la__D__,,,0'_,,
pticación dedos complejoscomo par _D'''D__',''_,_ado, tenemos: _,,_0:'_D,__'_'-~_''"_i'''__'_^^"_'_'_'_''_''_'''''_'^_^i_'"^^"^^'_'_'_____ii_'_______'___,.?.,.y Io expresamosen formabinómica__D__o'_.
c_bd) + (ad+bc)i __''_,_"__'__d_'___ ' _' ___ __''D_______'__''____'v_ __' Llegamosal mismo resultado, esdecir ladeF_nici n __0_.__._.
____-______ '__-'-'_-_''____'a- _'0____'_'__'_'_ _'__''__'_'__'_'_'_'_'_'______0_0__00'_0___o__'-_ __-' ____'___0__'_d_0''__-__'__'_'_''_'_-'_'___'0_0__o______'_'___-____0'-__i__' _'_____-__'_00o00_0_0_'_'_0''_'_''__0___'_ _-_'_'__ _'''
acionesindicadasy halla_:
amultiplicación denúmeroscomp_ejossaet orden
OreS._ _ -' _ : ' ' = _ ' ' _ i ' __ 0 ' ' _ 0.; ' _ ' 0' ' P ' ' ' ' ' ' ' __ ' ' ' ' ' ' _ _ ' ' _' ' ' _ _ i __ __ __ i _ O,._. ' ' _ ' _ ' ' ' ' ' ' _ ' ' ' _ ' _ ' _' ' ' ' _ ' '- i ' i ' ' ' ' '''__ _ i ''_.. Lue,o_,e t.,a''''_"_'' _''''''"''"^'''^'"^'^''""_'P _ = ( l + i)( I +3i)(3- i))(6+g__
+8j+ 6j+8j2 = -2+l4j
S sean los númeroscomplejos___ , __2 pafaerectuar___n _ habrá4UemUltipIiCar a__ y___
l SeObtiene
.,.,,,,,,.,,...,,..,....,.......,.,.,p.,..p ,..,......,,,.,a,,,.,0_,...,,......0.,..,,.,...,, .._.., ?_ = a+bi ,_2= c+di_,..D?_ a+bi (a+bi)(C_dj)'_'"'^^"^'^''"'"i'''i''''''i '''i_i'i""'^00^"''' '''''' ' _2 C+ di (Ct di) (C - di)
_?."i'___"_''''''' ''m_'''D^^_^^_^^^_^^^^_''^_'__'_''''''_'''_''___"_^_^_'"'^_'_"^'^'0^^_^'^' -'____D__0''
__
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_ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
esolución:ndo EFectuando por separado2 2 __
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_ _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ __ _ ] _ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ __ _ _ _
_' _' ;_ ' _ __n.aEn FonnaanáIogaseobtieneemos
Nos_N
2+ y_ _ x+ x2_ v2aa ' t ; b _ t '
nCeS_ SetendralOS__U_ente
osignosdiferentes
or lo tanto
ro: cyx x22 sn , x xa 2 i
iene_ , , , j_
_i) = +-_(2"i)
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__0_______op_0__po_40p_p_n0___0_0____0_0_0__0___0__0__0_0__0_00_o_0___00_____0_____0_0__0___p____00__0__0p0o__0_0_po0_y_____D___0_06___0_p0_00_00_0pap_0p_00__0_00____0000__o0_00_p_0_p0_0_____0____0_0_p____0___o_____p_p___fttt0___0_o__0__________o____0_____0_o__________________________________t__0________p_0____0_0____pp_o__0_0J___00_00____0__D_0_D0pp0____D_0__0____0________________0_______0_____________o_______________o_____o_____________p_00_o_0oo0___o0_o0__p_p_________0_o_oo____000op___p___________________________________________________________________pa__________2______t___________1________2__n__ff_____E____v___et_____l____c___e_f__x_s________f_____(______E_______z_____f)___)________E____f_(___ ______ )t_t 1_______0________________o0_______0_______
NMER_ CaMP. L_.O' '' 'Oi IEDADE5ado DeladeF_nicjo/n demódulo sedesprendetaseS; Se an _?; Z_ ; __ _ _
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2 + 2 I_, l l _, l + _?2 l2_ ( l?, l+l_?, l )2
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prjncjpal de_os
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_ ' _ ' "_ ' ' ' ' ' ' ' ' ' _ t t > ''__^_^'_,'_,_D^'_,,_,____,__'____'____' __'i0'_a^____i._'_,_' ''"i____'_'_____._,_.___o_,_o__o______0__',,.____,_g_.i__,,__.?__,,_._..._a.__,_,.?._.._.__'0____",o'___=____=_,__,___'_.__.a_,__a_____,___,._i,?_.
_ a, gum e, t o d e, AF g( ,) t em b., e/, se_ e__,___o,,,
elángulogenerado_relradio ''00el _.,.........,...................,,....,,........d.,,,.....,,..,,.,,,,,,,,,,,.,,,.,..,.,.........._... ejereal posilivo haciaun pun(ocualquieradel
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__________________________________ ____________ _______________ _ ___ _________________________________________________ ________________________________t_________________,______________________0__0_____________________________________________________________________________________,______________________________________o0_________________________________0_____0_____p_0____p0__000_p00____0_0t_00__0______0_00____0_0_0_0000_Q_0__Q0__0__Q0___n0_______0__00_0_______0o0__)___q___sp_________________________o_____0___p_______,000p_00_30__2p_)_3p_0__s00___D___0__0x_____
reSenlaF en (O_aPOlaF ?t = 4- 3i
_,_,_,___,,__,_,_,,__,,__,_,____________,,__0__,____,,^'____,,0,,_,,_,,_,_,,_o_,'_, argumento prjncipal en et inte1valo'_.<-_;_I,esdecir_ __<0__;_rettono ___'.consideramosen _,.
l
1z l 1wl (Cos(0+a)+Sen(0+a))
,^^_,,,,_0_'_^'^^,,^^_^a0__^_'_a^'_^^_^'^_^__,^'__,^^'_,,'___'__,__,_^_,,'_^^__,,^^'__,''_,,^^'__,^',,,^^',,^,_,^^__,_,_,'__'_,,___,_,__^'_,,^__,^^'_,, '__,_^_,_,^__,__,^'_'_,,_____,,__,^'0,,,,^^_,, '_,,,_^''_,,,0^'_,,,,^^'__,,^^'_,,,.cued,en_e seencuentre eleF_)ode __r,_,,DemOStraCiÓn_^:.____^_'____':_,^____^_' y luego catculamosapactir de_D,_^_^' l. _w = l_t ._wt (cosg+isen8) (cosa+isena)
na)__ _____, ___0_____D_,_0!,,,____,0,,_00n, 0n_ ,,0_,__,_ 0_,_,_,__. _0_0,___n_0,0,_0,_0,0,_0,_,0,_0,0,0,_0,0,_0,0,_0,,,,,_,0__0,0,_0_,,,___,_,_, _0_,_ ,,,,,,_,0n__,0n0_8,,___0_,__,_,_ ,___0_0,,_0 _0,__8,,_,_n0_0,_,0,,_,_,_,,,0,__,__ 0,0,_,0,_0_0,_0,_0,_,,_,_,,0,_0_0_8,,__0o_0_,__ _,___,____ __ __ +i ( Co s 0 Se n a+S en 0 Co s a) I
)JY_
a)
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__ __________ __ ___ __ _ __ _ ____ _____________________________ __________________________________ _______________ ________________________ __________________________________ _____________________________ _____________________________________________________________ ___ __ _ ____ _
= 2_(Cos5_/6+ iSen5_/6)
Ar_(w) = _/4
enelproductoyelcociente;de__
_''_:'_ _:_____-_--i _''_. Ar_ _ = - _- _ -____,_;''_.._i.. w 6 4 l2
ar seii_..iii'__. lue._o
SR___i'_,,_..,s. _,_,,'__,'_
P'''P'''P'i'P'''''''_i ' ^ ''_''"i'P'''P'POP''P''''_'P"'''''''"'' '''''''''''''''''''''''''''''P'"''''P c7_ . sen7Tc
gumentosde_.wy =
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__ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ __ _ _ _ _ _
__
UCiÓn:nte
- - - - - - - -!_ ,. ,dD,d.,,.D,0,.,.,.,,,,,..,,.,,..,,..,.D,,. .,... .,.,....,.. ,,..,.,.,..,,,,.,.,....,,...,..,.,.0......,.,.. , ...,,,. ..,..,,,.,,,,...,,.. ,,,,,...,,........,,,,,.....,.0.,,,,.....,,.... t ! ;
_'0 _ Ar_(_)--2_-0erar ( 0)
_
- l _ en -
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____o___p__e____n____0____s___o_p______a______c___0___o___r____0_____e___________n________________o________ ___(_____e____c________o__c ____________(_o__s_______c__m_______________p____+_____p________________(______e_____________p0/__ _o_0___3____)_____________z__0____0____0_____________________)_______s_____________o________________,______0__0___e___0___po____p______/po________3____p0__0_p__p_0__)0____p_________p0o_00_p0__________e_p__p________m____8________________o______(_____________________)____0______________DD_0D___0____________________________________________p_______________0________D____0____ _LA __N_(t_)sc_e(_n(_()(_)N___2_)c_______ss____)t_0__mn_________pp__pto02___p_o___to_po_2_o00o_0____________(_)_2____0_0000________DD_0_0________0__D_______________________
O.'COm' Pl_O-- '' ' _._
presando en formapoler el compleJ_
= O+i = ( l) COS- + i Sen-
nte+ _ /2 _, -2 i -- ;
n ' ' l -
'___ _'___g__'__9^'_ ,' _______ ,q___., ___ 0 ____, ,0_,_'_ ___ ,_ _ ___,_ D__DDv_/__ :__ _ ' _ 0 0: 0 : '_ _, =_, = _B, = _ P_ _'_,_ '__ _ ''_, '__ _ _ 0 __, _,' '__ _,_''_ _ ''_,, ' '_ _ _'_d__ _ ___;___:.
0__'0'_,
ejo e _'''''''''''''''' '___'"'
ee'0 + e'0 = 2Cos0 e_
.. (4) _.'
_. 0,80,0,. .,_,,_,_ ,, __,,,_,__ , ,9,,_,,,_0, ,,,, ,e,,___,,_,,_,, ,_,_,,_,,,, ,_,,,,,_,,e,__,,oi,_,,,,, ,_,_.o _..,,,,,_,,,D,, _ _, 2i _ _0'__.__'_ _',,___ Si en dichasrórmulasreemplazamos0 _r _; _,_,'pmosalgo más general '''__':
sólo _'0' e'= _ e'N' 8_'
.......,..,... ,...,...0,...,,,,.,,,.........,,,,,,.,......,..,d.....0....,,,....,,..............0...,,...,,....,....,,.,.....,...,...0.0.,0..,a...,..,,..0,.,.,......,..,..,.,,..,,.,.,,..,..,..............,...........,...,..............,,,_,.....,,..,,0..,.,,,,..,0.,,00o0..,..,,..,,..,,o,......n..._,. , ,...,,_._D_._'_D
dap,,, represent,, en Fple_oensurormapolar. Así
0e' > O; _ x f _ __,9,i,_
_''_'i''_''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '' '^^' ' ''''i''^''''''''''''_'_P"^''''''''''''''''""'' '''''''''''''''''''''''''' EJemplos:sI2^
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'' )1.
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_ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Aa^ o:. _n;: ' - '--_ , 'Es decir W,+ J= W,..... y, _ o; t _ ; +_2 _vesLuego lasraícesn -ésimasdis_j'n_asson
problemaderaízésimaenéSlmaeS SUFlCientetOmaf lOS ValOreS de
O_ l_ 2_ 3_ N__'_ (n' I)
__0______0 _ _ ____0__________ Ejemplo lcúbicasde8iten n _a_cesRe'OlUCiÓn'_/2)
__ t4k_6
M = ?
en0}
0_ Si K=2 ; ?2 = 2Cis3_/2 _ 2(-j) = -2i
_e___i _ -2i
I +i = _(Cos_/4 + i Sen_/4)
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_ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _
_ '___ _ '''
nces_,_. _ ,Cl..U..S., ?vON.;,, _____D_,v_''''''''_''v'0'''_''''''''' ' ''_ __,,''_^d''_,_
_ - i __
on: l , w, ni esdecir ____;_
0
- ' - ' ' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' ' ' - ' - ' ' '' '' -- ' '' ' ' '- - ' - _. 0'__,_00,'
_0____,___,__,D_, ,,__._,,___,,,;,,, _;.,,,;'',_-_____- _-___-.___, 1 _.l _3. N; ____' 2'-2 l 2 21 __ ';
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_ __ _ . _ _ __ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ , _ . __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ __ __ __ _ _ __ __ _ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ __ __
__ _ ___^^^/, :osusencl_a__ Losar_josdelas raícesn - ésimasdeun númerowo __ complejo son los verticesdeun polígono regu- larde
_,a/,,e,
WDe_ re_r_coseobseNa. g _. _2_noses:
Donde__esunadelasraíces(n-esimal)de_
esra_cesn-ésim_ dela unided _ienen '_'cen especial 6_,
maS delaUnldad_ ,__,i_'elaunidad __-,,_''_.... __i._
ua dei_e_.''_.,,
vas; lescualesson __t;___8_'_'
0 con n_'__t_,
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__ __ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
- l _
_ -
ben se, cons.,
tivas_ gcl_
k_
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_ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _ _ __ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ __ __ __ __ __ _ _ _ _ __ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ __ __ _ _ _ _ _ __ || __ __ ; __ __ __ __ __ _ __ __ __ __ _ __ __ __ _ __ _ __ _ __ _ _ _| _| _ __ _ _
'__''_oo (l+i)__2i ?, ;! ; ;l-; _ . _;!;_; _._ _ _
_ - ' ! _; + i,. _ '; _!,;!,; ;; '!;_______________;_-;_-;-_;-_;=;-_;--;__;_-_--___''
valor
a
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_ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
ex; _ realesqueveri Flcan
do tapr opjedad dist_butiva
Jse
cen _ 2 a2
ad Seobse_alaunidad jmagjnariaen elsIaequivalencia
(._
acen son A= __ ,
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_ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _ _ __ ____ _ _ ___ _ __ _ _____ ___ _ _ _! _ _ __ ____ _ _ _ _ _ __ _ _ _
l problema
o, n seven.aunidad.
g __
_ _
nálisis:
_J),) = b+d = _m(__)+_m(N_,)
+w, ' w_+w,
= l;z
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__ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
von_ F_c, _a._2
_ 64 64N_
_ 64t ._;
' ' ' ' - '3i9+4i'+-.. + nin'' ..... (lI)
î4 ..... + jn _ _n+l
l m =
p___doelvalo,de men _aco,d-,c,_
a_rgDl_mg 16ti_an deOa 2_ radianesy
nes
w)
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__ __ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
.se,_ _ _+ _+ ( _- _ ),.
e,e,;
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3
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