Álgebra - teoría de conjuntos

UNIDAD I

TEORÍA DE CONJUNTOS

LA TEORÍA DE CONJUNTOS ES UNA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS QUE ESTUDIA LAS PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS: COLECCIONES ABSTRACTAS DE OBJETOS, CONSIDERADAS COMO OBJETOS EN SÍ MISMAS. LOS CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES MÁS ELEMENTALES SON UNA HERRAMIENTA BÁSICA EN LA FORMULACIÓN DE CUALQUIER TEORÍA MATEMÁTICA.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas

Junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Teoría Basica de conjuntos: La teoría de conjuntos más elemental es una de las

herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto.

Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos. Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el

conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

N cZ c Q c R c C C = subconjunto.

Álgebra de conjuntos:• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos:

Por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc.,

La palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto.

Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

{ a, b, c, ..., x, y, z}• Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por

comas (,).• El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se

denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.• Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:• El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }• En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por

ejemplo:El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

MEMBRESIA• Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B,

C,... por ejemplo: A={ a, c, b } B={ primavera, verano, otoño, invierno }• El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es

miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï .

Ejemplo: Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B

SUBCONJUNTO• Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 } En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B

es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL• El conjunto que contiene a todos los elementos a

los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero)

representados por la letra N donde N={ 1, 2, 3, .... }

• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }• Conjunto de números racionales (números que se representan como el

cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q

• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

DIAGRAMAS DE VENN• Los diagramas de Venn que de deben al filósofo

inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

• La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

• Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:

Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de esta imagen se indica por medio de un color azul por ejemplo:

PRODUCTO CARTESIANO: Se trata de una operación entre dos conjuntos,

de tal modo que se forma otro conjunto con todos los pares ordenados posibles.

• Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.

• Entonces:• El poducto cartesiano de dos conjuntos

cualesquiera A y B, será un nuevo conjunto, identificado como A x B, y consistirá de un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.

También podríamos decir que un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento".

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

G R A C I A S