amortización de préstamos por sistema de cuotas variables en

Título del trabajo:

AMORTIZACION DE PRESTAMOS POR SISTEMA DE CUOTAS VARIABLES EN PROGRESION GEOMÉTRICA:

UN SISTEMA DE AMORTIZACIÓN PARA AMERICA LATINA

Autor:

CASALEGNO, CLAUDIO ANDRES [email protected]

Facultad de Ciencias

Económicas y Estadística

Año 2016

Resumen: El presente material expone la deducción algebraica de un sistema de amortización de cuotas variables en progresión geométrica. La creación de nuevo conocimiento científico, el plus que se añade por medio de este texto al campo del saber financiero, no es en esencia la determinación de cálculo de estas cuotas o de su respectivo valor actual, ya que la literatura financiera desde hace ya muchos años se encuentra ampliamente familiarizada con este tipo de rentas. Lo que se expone como conocimiento nuevo es la sistematización de los cálculos de las variables que intervienen en la evolución de este tipo de operaciones, una metodología particular tendiente a simplificar su puntual determinación. Por otra parte, se hace hincapié en la utilidad que presenta dicha variabilidad de cuotas en este tipo de operaciones, como así también su sistematización, a la hora de ser utilizada como herramienta de planificación financiera. Particularmente se toma el caso de América Latina, con sus cuestiones de tipo estructural, como lo son la escasez de capital, la falta de innovaciones tecnológicas y su acentuada dependencia de inversiones extranjeras, explicando que este tipo de sistema resulta ser muy útil dada su adaptabilidad a las tendencias o fases de los ciclos económicos, utilizándose en épocas de expansión económica cuotas crecientes, tomando como fundamento las tan mentadas cuestiones de apalancamiento, cuotas constantes en épocas de estabilidad y cuotas decrecientes en períodos de contracción. Para finalizar y dar comprobación a los desarrollos y fórmulas expuestas, se presenta un ejemplo numérico, un caso hipotético de aplicación a las explotaciones vitivinícolas del noroeste argentino.

AMORTIZACION DE PRESTAMOS POR SISTEMA DE CUOTAS VARIABLES EN

PROGRESION GEOMÉTRICA:

UN SISTEMA DE AMORTIZACIÓN PARA AMERICA LATINA

Introducción: El Contexto Latinoamericano Las economías latinoamericanas, a lo largo de toda su historia, no solo han demostrado una marcada diversidad en lo que a aspectos políticos, geográficos, sociales, culturales y demográficos respecta, sino también a lo que a decisiones de política económica se refiere. Notoriamente Latinoamérica es una región tan diversa como inestable, bastará con hacer un breve recorrido por su historia económica e institucional para comprobar la veracidad de esta afirmación. Durante los últimos años, en esta región, hemos podido observar que dicha inestabilidad fue atemperada, en cierto modo, gracias a lo que desde siempre ha sido su principal y fundamental fuente de ingresos y divisas: la exportación de commodities y materias primas, mercancías que por cuestiones coyunturales experimentaron un incremento temporal en sus cotizaciones, en muchos casos llegando a sus máximos niveles históricos. Esta situación sin dudas reconoce su origen en el crecimiento conjunto de todas las economías del sudeste asiático, fundamentalmente en el de China, principal socio económico de esta región desde hace ya un par de décadas, propiciándose una situación coyuntural de bonanza económica para la región. Ahora bien, en la actualidad, dicha situación coyuntural ha perdido su vigencia. Se ha demostrado que el modelo de crecimiento propuesto, basado en un alto nivel de consumo interno y en el elevado precio de commodities y materias primas, tenía fecha de vencimiento y ya no será capaz de seguir funcionando, tal como lo hizo durante años. Y es aquí donde la “Teoría Del Subdesarrollo Y El Deterioro De Los Términos De Intercambio” de Raúl Presbich se hace presente otra vez. El grave problema que se presenta en la región es que nuestros países han seguido sosteniendo a la agricultura tradicional como el principal motor del crecimiento económico sin haber llevado a cabo un programa sustantivo de reemplazo de su fuente genuina de divisas: una industrialización integrada y coordinada. Y es aquí en donde el crecimiento económico latinoamericano muestra con un singular realismo los efectos de la crisis económica mundial. La actualidad, con la disminución en el precio de las materias primas y los commodities, trae aparejada una disminución de nuestro crecimiento, niveles de inversión y empleo. Y es aquí donde la falta de industrialización y de proyectos alternativos, que hubiesen aprovechado los recursos de la bonanza económica para generar una industria capaz de sustentar el crecimiento futuro, se vuelve notoria. Otro problema de antaño que afecta nuestras economías es el flagelo de la inflación. A lo largo de toda nuestra historia se puede observar una tendencia alcista en los precios promedios de casi todos los bienes, cuya persistencia no es otra cosa que el fiel reflejo de políticas macroeconómicas insuficientes, tendientes a abordar con efectividad el comercio y la inversión internacional. El crecimiento deliberado de la base monetaria, las fugas de capitales, la disminución en los niveles de reservas, la falta de inversión, se traducirá en un ritmo de expansión perfectamente correlacionado de la inflación, que a su vez empeorará el problema ya existente en las tasas negativas de interés, los escasos

niveles de ahorro y la licuación del poder adquisitivo de los mismos, perjudicando la inversión, generando una mayor dependencia de capitales extranjeros y un sinnúmero de desequilibrios que la economía va a terminar ajustando tarde o temprano. Este es sin dudas nuestro pasado y presente, nuestra historia pendular.

IMPLICANCIAS DE ESTE NUEVO SISTEMA DE AMORTIZACIÓN

Creemos, con toda seguridad, que la realidad económica latinoamericana exige la existencia de un sistema de amortizaron superador, capaz de brindar mayores respuestas como herramienta de planificación financiera, dadas las diferentes situaciones que presentan los vaivenes de las economías en esta parte del Globo, las tendencias de los ciclos económicos, y demás problemas que agravan su situación por cuestiones de tipo estructural. Latinoamérica es una región extremadamente rica en lo que a factores productivos respecta. Su abundancia de recursos naturales y de población en edad de trabajar, junto a sus atractivos niveles de matriculación técnica y universitaria, la convierten en una tierra de oportunidades para un sinnúmero de proyectos. Su deficiencia radica en la escasez de capital y en nuevas tecnologías destinadas a aumentar la productividad de las explotaciones económicas ya existentes y a financiar la creación de otras tantas. Es aquí donde la “Teoría De Las Fases Del Crecimiento Económico” resulta ser nuestra brújula, nuestra cruz del sur, en nuestra implacable búsqueda por alcanzar el camino del crecimiento y desarrollo de nuestra región, proponiendo la acumulación acelerada de capital a través de la utilización del ahorro doméstico e internacional. Por otra parte, la escasez del factor capital a la que hemos hecho mención se relaciona directamente con la “Teoría De La Madurez Económica”, la cual afirma que el capital como factor productivo tiene una menor productividad cuanto mayor abundancia exista del mismo, propio de la tan mentada “Ley De Los Rendimientos Decrecientes”, por lo que en las economías emergentes, como es el caso de América Latina, el rendimiento del capital, la utilidad marginal del último peso invertido, tiende a ser más elevado que en otras economías del mundo. En otras palabras, la escasez de capital trae aparejado que la utilidad marginal del último peso invertido sea mayor que en aquellos países en donde existe abundancia de este factor, por lo que en las etapas de crecimiento de los ciclos económicos, la evidencia indica que las inversiones en esta región generan altas tasas de rentabilidad, resultando la financiación de nuevas empresas y de proyectos de expansión por demás de exitosas. En este sentido, el concepto de apalancamiento asume un papel trascendental. Queda más que evidenciada la necesidad de financiamiento que poseen las inversiones productivas en nuestra región, por lo que resulta imprescindible reunir los recursos económicos necesarios para tales fines. Un problema aún sin solución es la falta de confianza en las autoridades políticas y monetarias. El presente trabajo no pretende, ni puede pretender, resolver esa cuestión. Nos limitaremos sólo a proponer un sistema de amortización alternativo, que permita anticipar cobros como medida paliativa en situaciones de incertidumbre, mantener cuotas constantes en situaciones de estabilidad; o postergar el pago de obligaciones en situaciones de expansión, siempre dependiendo de las distintas fases del ciclo económico que se este atravesando, persiguiendo como máximo fin el reducir la incertidumbre y mejorar la captación de capital destinado al financiamiento de inversiones productivas. A modo de ejemplo, sabemos que en las fases de crecimiento del ciclo económico resulta útil, por cuestiones de apalancamiento, postergar el pago de obligaciones a momentos futuros, permitiendo a un empresa capitalizarse y expandirse, aprovechando

rentabilidades superiores a su costo de capital. En este sistema de amortización, que permitiría planificar cuotas crecientes, constantes o decrecientes en progresión geométrica, encontramos aplicación en los momentos iniciales de la vida de una empresa, cuando la misma necesita capitalizarse, por lo que si el contexto económico así lo justificare, en los casos de tomar fondos puede postergar el pago de grandes sumas a momentos futuros, precisamente por las tan mentadas cuestiones de apalancamiento a las que hemos hecho mención, pagando al principio una cuota mas pequeña y creciente. El problema puede presentarse en el crecimiento exponencial de las cuotas. El mismo problema de crecimiento lo presentan las tradicionales rentas de cuotas constantes diferidas. La cuestión radica en que ese crecimiento sea cuidadosamente controlado a la hora de planificar dicha operación. Bastará con mantener los valores de la razón dentro de ciertos límites razonables. Un destacado profesor de la cátedra de Costos de nuestra facultad, a quien no podríamos dejar de hacer alusión en nuestro trabajo, enseñaba que el método de las amortizaciones progresivas, en temas estrictamente contables, era muy útil en las etapas iniciales de la vida de una empresa ya que el mismo permitía postergar dichas imputaciones a períodos futuros para no castigar a los ejercicios presentes con amortizaciones excesivamente grandes para el nivel de actividad. Encontramos en esta afirmación cierta analogía. Cuando la razón de la progresión que vincula a cada cuota sea igual a uno (q=1) se anularán ciertas variables y términos, coincidiendo las fórmulas de este sistema con las del Sistema Francés, constituyendo de este modo, este último, un caso particular de nuestro sistema. En situaciones de incertidumbre, cuando una institución financiera, empresa u otro organismo de crédito desee cobrar lo más rápido posible, una cuota decreciente en progresión geométrica puede resultar aún más útil que el propio Sistema Alemán.

AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS POR SISTEMA DE CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Este Sistema Latinoamericano, como lo hemos denominado, al igual que los tradicionales sistemas de amortización, se caracteriza por ser un conjunto de herramientas de cálculo integradas, tendientes a sentar las bases metodológicas a utilizar al momento de planificar la cancelación o pago de una deuda, siempre respetando los 2 principios fundamentales sobre los que se sustenta toda la disciplina financiera:

• El principio del Valor-Tiempo del dinero; • El principio de Equidad Financiera.

Posee, además, una particularidad que lo caracteriza: La forma de cálculo de sus cuotas, variables en progresión geométrica, por lo que sus amortizaciones e intereses periódicos variarán dependiendo del valor que asuma dicha razón. Sin mayores preámbulos procederemos a su determinación. CUOTA DE UN PERÍODO CUALQUIERA (CK)

Tal como sabemos, las cuotas serán variables en progresión geométrica, distintas en todos los períodos, siempre que la razón que las vincula sea distinta de uno. Cuando la misma asuma dicho valor, cada una de las fórmulas de este sistema de amortización presentará una anulación en sus variables, coincidiendo con las fórmulas propias del Sistema De Cuotas Constantes, convirtiéndose de esta manera el Sistema Francés en un caso particular de nuestro Sistema. VALOR ACTUAL DE LA RENTA (VV)

(Formula Conocida)

AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA ( tK ) Determinación De La Amortización Del Período 1: ( t )

Determinación De La Amortización Del Período 2: ( t2 )




Distribuyendo


Podemos apreciar que en cada una de las amortizaciones, la cantidad de términos se corresponde al número de período del que se trate, por lo que también evidenciamos que las mismas siguen un comportamiento de patrones, que determina reiteradas progresiones geométricas en sus variables. Por cuestiones de síntesis expositiva, procederemos a determinar t6 mediante este seguimiento de patrones, aceptando tal formula como válida, para luego generalizar. Siguiendo el mismo razonamiento podríamos demostrar que:

Hemos determinado una a una las amortizaciones hasta t6 para evidenciar el patrón que siguen cada uno de los términos que las componen. Podemos repetir el mismo procedimiento de cálculo con cada amortización y por generalización llegaremos siempre a la siguiente expresión

Amortización De Un Período Cualquiera En Función De La Amortización Del Período Anterior En función de los resultados obtenidos en páginas anteriores podemos afirmar que:

Aplicando el método de reducción, restamos ambas expresiones y simplificamos

Verificando lo anterior

Interés de un período cualquiera ( Ik )

Nótese que cuando la razón de la progresión q=1 la forma de determinación de las amortizaciones es igual a la del sistema de cuotas constantes

A medida que la deuda se vaya cancelando en forma periódica, los intereses calculados sobre los saldos de la misma serán variables y decrecientes, no obstante podrá ocurrir, cuando la cuota sea creciente, que los valores de la misma sean inferiores a los intereses periódicos adeudados, por lo que en esos casos se presentará lo que hemos denominado “El fenómeno de las Amortizaciones negativas”. En estos casos se dará una particularidad: los intereses presentarán un comportamiento creciente durante un cierto tramo de la operación, al igual que el saldo de la deuda subsistente. Este fenómeno dependerá, en todos los casos, del valor que asuma la razón, la tasa de interés y el plazo de la operación, ya que como veremos en las páginas siguientes, deberán coincidir estos tres aspectos para que este fenómeno pueda darse.

Total Amortizado después de k pagos ( Tk ) El total amortizado, tal como sabemos, se compone de la suma de todas las amortizaciones pagadas hasta un momento determinado. Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

El desarrollo de esta expresión requiere de un procedimiento medianamente extenso, que por cuestiones de espacio no podemos incluir en el presente trabajo. Abordaremos el tratamiento de dicho tema recurriendo a un camino alternativo de menor extensión. Esto será mediante generalización. Para ello comenzaremos determinando el total amortizado después del sexto pago. A saber:

Aclaración: El método utilizado en la siguiente página a los fines de realizar la sumatoria de cada uno de los términos de las respectivas amortizaciones tiene por

objeto evitar la desagregación y agrupación de los mismos mediante la propiedad distributiva del producto, las reglas de potenciación y la teoría de series numéricas, por lo que al evidenciarse la relación que guardan los mismos se evitan formalidades en su cálculo a los fines de adecuarla a la extensión exigida que debe guardar el presente material.

Podemos observar que, a excepción del primer término de la sexta amortización, y del último término de todas las amortizaciones, cada uno de los términos de las mismas guarda la misma relación:

Cada término se obtiene mediante la sumatoria de los términos de las amortizaciones anteriores en los que el valor de la razón esta elevado a la misma potencia, multiplicando dicho valor por la tasa de interés (i), a excepción del último término, el cual se obtiene multiplicando el último término de la amortización anterior por uno mas la tasa de interés (1+i).

(

Tenemos, pues, que cada uno de los términos de la expresión determinada en (**), a excepción del último, se vincula directamente con el valor de la razón de la progresión.

Podemos evidenciar que cuando la misma asuma el valor de uno (q=1) dichos términos se igualaran a cero. El único término no afectado resultará ser precisamente el último de cada amortización, coincidiendo de esta manera el total amortizado con la fórmula determinada por la doctrina financiera para el Sistema De Cuotas Constantes. Continuando con nuestro desarrollo:

CASOS PARTICULARES

AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA: Partiendo de la fórmula que hemos determinado:

Reemplazamos:

INTERÉS DE UN PERÍODO CUALQUIERA:

TOTAL AMORTIZADO DESPUÉS DE K PAGOS:

Partiendo de la fórmula que hemos determinado:

Remplazamos:

AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA EN FUNCIÓN DE LA AMORTIZACIÓN DEL PERÍODO ANTERIOR:

Caso particular

AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA:

INTERÉS DE UN PERÍODO CUALQUIERA:

Remplazamos

Aplicando el mismo procedimiento anterior:

TOTAL AMORTIZADO DESPUES DE K PAGOS:

AMORTIZACIÓN DE UN PERÍODO CUALQUIERA EN FUNCIÓN DE LA AMORTIZACIÓN DEL PERÍODO ANTERIOR:

PROPOSICIONES QUE AFIRMAN VERDADES DEMOSTRABLES

A continuación presentaremos una serie de proposiciones cuya veracidad ya ha sido comprobada. La determinación algebraica de los mismos será presentada en trabajos posteriores a los fines de sintetizar su presente exposición: Proposición Nº 1: “Siempre que q= (1+i), se presentara el “Fenómeno de Las Amortizaciones Negativas” cuando n > i-1+1”.

Proposición Nº 2: Siempre que q= (1+i) y n > i-1+1, el momento a partir del cual las amortizaciones pasen de ser negativas a positivas coincidirá con el momento k= n - i-1. El valor de la amortización en estos casos será siempre cero y esto es consecuencia de que en dicho momento los intereses generados por la deuda serán exactamente iguales al valor de la cuota. Proposición Nº 3: Sea q= (1+i); n > i-1+1, existirá un período k= n - i-1, tal que los intereses del período k y (k+1) serán iguales.

Proposición Nº 4: Siempre que q= (1+i) y n > 2.i-1+1, existirá un período k = n – (2.i-1+1) en el que la cuota de dicho período será igual a la amortización multiplicada por -1. Proposición Nº 5: Siempre que q= (1+i) y n > 2.i-1+1, existirá un período k = n – (2.i-1 +1) en el que la amortización de dicho período será igual a la amortización del período siguiente. Proposición Nº 6: Siempre que q= (1+i) y n > 2.i-1+2, existirá un período k = n – (2.i-1+1) en el que el Total Amortizado correspondiente a los períodos (k-1), k y (k+1) presentará una variación en progresión aritmética, siendo el valor de dicha razón “r” coincidente con el valor asumido por la amortización del período k. Proposición Nº 7: Siempre que q= (1+i), n > 2.i-1+1, el período k = n – (2.i-1+1) determina el momento en el que el decrecimiento de las amortizaciones llega a su máximo, es decir que las amortizaciones negativas alcanzan su valor mínimo. Proposición Nº 8: Siempre que q= (1+i), n > 3.i-1, existirá un período k = n – (3.i-1+1) que determinará el momento en el que la diferencia entre las amortizaciones negativas alcanzara su máximo valor, en este punto la función de amortización presentará un cambio en su concavidad. Proposición Nº 9: Siempre que q= (1+i), n > 3.i-1+1, el período k = n – (3.i-1+1) determinará el momento en el que las amortizaciones correspondientes a los períodos (k-1), k y (k+1) presenten una variación en progresión aritmética. La proposición anterior determina que este es el período en el que la diferencia entre las amortizaciones negativas alcanzará su máximo valor, siendo esta máxima diferencia la razón “r” de dicha progresión. Aclaración: La resolución de estos Proposiciones requiere de una extensión no permitida en el presente material, al igual que todo el tratamiento que requiere este importante “Fenómeno de las Amortizaciones Negativas”, por tal razón los mismos serán objeto de otros trabajos que presentaremos en las Jornadas de los próximos años. No obstante abordaremos una de las demostraciones alternativas de la proposición número 2:

Proposición Nº 2: “Siempre que q= (1+i) y n > i-1+1, el momento a partir del cual las amortizaciones pasen de ser negativas a positivas coincidirá con el momento k= n - i-1.”

Para demostrar este Proposición procederemos a determinar en qué momento las amortizaciones de algunos períodos se igualan a cero para luego llegar a una conclusión mediante generalización.

Igualamos a cero la Amortización del período 1:

Realizamos el mismo procedimiento con la amortización del período 2:

Simplificando y dividiendo el resultado obtenido por la tasa de interés:

Mismo procedimiento con la Amortización del período 3:

Haremos lo mismo pero ahora con la Amortización del período 5:

Generalizando

El estudio del presente Proposición, al igual que el de todos los demás, puede abordarse desde diferentes ópticas. A modo de ejemplo, un análisis gráfico de la función de Amortización de un período cualquiera (tk), nos lleva a observar , en la Figura 1.1, como la intersección de la función, con el eje de las abscisas, se corresponde al valor de K= n – i-1.

El punto donde la recta tangente a dicha función se hace plana, en donde encontramos un mínimo absoluto, se corresponde al momento K= n – ( 2. i-1+1 ).

El momento en donde esta función presenta un punto de inflexión se corresponde al momento K= n – ( 3.i-1+1 ). La determinación algebraica de estas proposiciones será presentada en trabajos posteriores. Quedarán muchas cuestiones por tratar a la espera de una próxima publicación, las que por cuestión de síntesis no hemos podido exponer en el presente material. En la disertación, y para finalizar, presentaremos un breve ejemplo

numérico a los fines de dar comprobación a las fórmulas hasta aquí expuestas.

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