algebra mod 1 2015 b

U.N.JU. FACULTAD DE INGENIERA

Gua de Trabajos Prcticos Cartilla 1 -Temario:

Nmeros Complejos. Polinomios y Ecuaciones. Vectores en E2 y

E3. Recta en E

2 y E

3

CARRERAS:

Ingenieras Industrial Informtica

Ingenieras Qumica en Minas

Licenciaturas en: Sistemas, Tecnologa de los Alimentos y en Cs.

Geolgicas

Tecnicaturas Universitarias en: Explotacin de Minas, Procesamiento

de Minerales, Perforacin, Ciencias de la Tierra y Ciencias de la Tierra

Orientada a Petrleo.

PROFESORA A CARGO DE LA CTEDRA:

Esp. Torres Bugeau de Bernal, Celia M.

EQUIPO DOCENTE DE LA CTEDRA:

Ing. Condor, Patricio Ing. Flores, Roberto Ing. Grgeda, Adelma

Esp. Llanos, Lydia Lic. Medina, Jos Luis Ing. Saravia, Ismael

Esp. Tarifa, Hctor Ing. Vargas, Nelson

2015

pg. 1

REGLAMENTO DE CTEDRA

CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL ALUMNO PARA REGULARIZAR LA MATERIA

1.- ASISTENCIA

La asistencia a las clases tericas no es obligatoria.

Los alumnos debern cumplir con el 80 % de asistencia a las clases de Trabajos Prcticos. Se

computar como presente a los alumnos que en el curso de la clase hayan resuelto, como mnimo,

el 60 % de la prctica correspondiente.

Las inasistencias sern justificadas, nicamente mediante presentacin de constancia oficial

(certificado mdico del Ministerio de Bienestar Social, constancia policial, etc.). Esta deber ser

presentada, conjuntamente con el prctico resuelto correspondiente a la inasistencia que justifica,

al auxiliar docente a cargo de la prctica, en la clase siguiente a la de la inasistencia.

Se tendr una tolerancia de 10 minutos para el ingreso a clases. Superados stos y hasta la media

hora, se computar media falta. Si un alumno llegara ms de 30 minutos tarde tendr AUSENTE.

2.- EVALUACIONES PARCIALES

Se realizarn tres evaluaciones parciales, referidas a los Trabajos Prcticos, las que tendrn una

instancia de recuperacin cada una.

Los alumnos debern aprobar tres evaluaciones parciales. La aprobacin de cada evaluacin en la

primera fecha o en la instancia de recuperacin correspondiente, se obtendr teniendo correcto

como mnimo el 60% del Parcial.

Los alumnos que no hayan aprobado una y solo una de las tres evaluaciones parciales en las dos

instancias que corresponde a cada una, podrn recuperar el parcial que adeude en una nueva y

ltima fecha (flotante).

Los alumnos que hayan aprobado las tres evaluaciones parciales de Prctica, teniendo correcto

como mnimo el 60% del Parcial y en cualquiera de las instancias, adquirirn la condicin de

REGULAR.

3.- TRABAJOS PRCTICOS CONSIDERACIONES

Antes de comenzar el desarrollo del Trabajo Prctico, el docente a cargo dar las orientaciones

que correspondan y har una breve resea de los conceptos tericos que se utilizarn: frmulas,

definiciones, propiedades, etc. El trabajo del alumno podr ser individual o en grupo, a libro abierto

si as lo desea, debiendo llevar una carpeta en donde resolver los ejercicios propuestos en la

gua.

Al finalizar cada Trabajo Prctico, el mismo podr ser solicitado por el docente a cargo para su

control; si no estuviera cumplimentado en un 60% se anotar AUSENTE en la clase

correspondiente. La carpeta podr ser requerida por el Profesor de Comisin si as lo considera

necesario.

pg. 2

CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL ALUMNO PARA APROBAR LA MATERIA

APROBACION CON EXAMEN FINAL

El alumno que tenga la condicin de REGULAR, podr aprobar la materia rindiendo un examen terico,

a libro cerrado, en las fechas previstas por el calendario acadmico de la Facultad. Si el tribunal

examinador lo considerase necesario, podr pedrsele una exposicin oral. Los exmenes se calificarn

de 0 (cero) a 10 (diez) puntos, considerndose aprobado aquel que rena 4 (cuatro) o ms puntos.

APROBACION SIN EXAMEN FINAL (PROMOCIN).

Para aprobar la materia lgebra y Geometra Analtica sin examen final (promocin), el alumno deber

cumplir las siguientes condiciones:

ASISTENCIA

Bajo los trminos fijados en 1.

EVALUACIONES PARCIALES:

Los alumnos que aprobaran la 1ra, 2da. y 3ra. evaluacin parcial de prctica con un porcentaje

igual o superior al 70%, podrn rendir las EVALUACIONES PARCIALES DE TEORIA REFERIDAS

A LOS TEMAS CORRESPONDIENTES. La primera se realizar despus de la recuperacin del

primer parcial de prctica, la segunda y tercera se tomarn en las mismas fechas que se realicen

las evaluaciones recuperatorias de los parciales de prctica correspondientes.

Los alumnos que no hayan aprobado una y solo una de las seis evaluaciones parciales (3 de

teora y 3 de prctica) en las instancias correspondientes, podrn recuperarla en una nueva y

ltima fecha (flotante).

Cada evaluacin de teora se dar por aprobada si el alumno desarrolla correctamente por

lo menos el 60 % de dicha evaluacin.

El alumno habr aprobado la asignatura por promocin si aprueba las tres evaluaciones

parciales de prctica y las tres de teora.

La nota final del examen de promocin ser el promedio de los porcentajes obtenidos en las 6

partes evaluadas y redondeado al entero ms prximo.

HORARIOS DE CLASES

Clases Tericas

Da Turno Horario Aula A cargo de:

Lunes

Martes

Tarde

Maana

1400

a 1630

0800

a 1030

Anfiteatro

Anfiteatro

Esp. Tarifa Hector R.

Esp. Torres Bugeau de Bernal, Clia M.

Clases Prcticas

Da Turno Horario Com. Aula A cargo de:

Mircoles Maana 0930

a 1200

C1 Anfiteatro Llanos Lydia

Jueves Maana 0730

a 1000 C7 12 Grageda Adelma

Jueves Tarde 1400

a 1630

C2 12 Grageda Adelma Condor Patricio.

Jueves Tarde 1430

a 1700

C8 11 Saravia Ismael Vargas Nelson

Viernes Maana 0800

a 1030

C3 11 Medina J Luis

Viernes Maana 0800

a 1030

C4 12 Llanos Lydia Flores Roberto

Viernes Tarde 1400

a 1630

C5 Anfiteatro Ing. Condor Patricio

Viernes Tarde 1400

a 1630

C6 11 Medina J Luis Vargas Nelson

pg. 3

Clases de Consultas

Clases Tericas:


Clases Prcticas:


FECHAS DE PARCIALES

Parcial Fecha Hora

1ero

de prctica Mircoles 10/06 1245

Recuperatorio 1ero


1ero

de teora Martes 28/07 0845

2do

de prctica Jueves 17/09 0845

Recuperatorio 2do

de prctica y 2do

de teora Mircoles 30/9 1215

3ero


Recuperatorio 3ero

de prctica y 3ero

de teora Martes 17/11 745

Flotante 1 2 3 de prctica 1 2 3 de teora Martes 24/11 0845

NOTA: De producirse cambios en las fechas y/u horarios de los parciales, la ctedra comunicar oportunamente.

Pgina Web: Se podr consultar informacin de la Ctedra en: http://www.unjudigital.unju.edu.ar/

pg. 4

FACULTAD DE INGENIERA

LGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA

PROGRAMA CICLO LECTIVO 2015

CARRERAS:

Ingenieras: Industrial. Informtica. Qumica y En Minas. Licenciaturas en: Tecnologa de los alimentos,

Ciencias Geolgicas y Sistemas. Tcnico Universitario en: Ciencias de la Tierra, Explotacin de Minas,

Procesamiento de Minerales, Perforacin y Ciencias de la Tierra orientada a petrleo.

UNIDAD I: NMEROS COMPLEJOS

Forma cartesiana, binomial, polar y trigonomtrica. Representacin grfica. Conjugado e inverso.

Operaciones: suma, diferencia, producto por un escalar, producto, divisin, potenciacin y radicacin.

Propiedades de las operaciones con nmeros complejos.

UNIDAD II: POLINOMIOS - ECUACIONES

Divisibilidad. Mximo Comn Divisor. Algoritmo de Euclides. Ecuaciones Algebraicas. Races Mltiples.

Relacin entre coeficientes y races de una ecuacin. Races complejas. Races enteras. Races

Fraccionarias.

UNIDAD III: VECTORES

Vectores en R2 y R3. Definicin. Elementos. Igualdad. Operaciones: suma y diferencia, producto por un

escalar. Producto escalar y vectorial. Propiedades. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

Producto mixto. Propiedades. Interpretacin geomtrica.

UNIDAD IV: RECTA y PLANO

Ecuacin vectorial y cartesiana de la recta en el plano y en el espacio. Representacin grfica. Distancia

de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Angulo entre rectas.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Ecuacin vectorial y cartesiana del plano.

Representacin grfica. Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos. Angulo entre

planos y entre recta y plano. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre planos y entre plano y

recta.

UNIDAD V: MATRICES

Definicin de matrices. Operaciones. Propiedades. Matrices especiales. Matrices equivalentes. Rango de

una matriz: determinacin. Matriz inversa. Propiedades.

UNIDAD VI: DETERMINANTES

Definicin de determinante. Propiedades. Menor complementario. Adjunto o cofactor. Clculo de

determinantes: Diversos mtodos. Matriz Adjunta.

UNIDAD VII: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Distintas formas de representacin de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes.

Propiedades. Resolucin y clasificacin de sistemas lineales: Teorema de Rouch-Frobenius. Mtodos

de resolucin de sistemas lineales: Gauss-Jordan, Cramer, de la matriz inversa. Sistemas homogneos.

UNIDAD VIII: ESPACIOS VECTORIALES

Espacios Vectoriales: Definicin y propiedades. Subespacio vectorial. Criterio de subespacio.

Combinacin lineal de vectores. Vectores linealmente independientes y linealmente dependientes.

Sistema de generadores. Base de un espacio vectorial. Dimensin. Coordenadas.

UNIDAD IX: TRANSFORMACIONES LINEALES

Transformaciones Lineales: Definiciones y Propiedades. Ncleo e imagen de una transformacin lineal.

Propiedades. Teorema de las dimensiones. Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales.

Matriz asociada a una transformacin lineal. Autovalores y autovectores. Polinomio caracterstico.

Diagonalizacin de matrices.

pg. 5

UNIDAD X: CNICAS Y CUDRICAS

Circunferencia: definicin, ecuacin y representacin grfica. Elipse, parbola e Hiprbola: definicin,

ecuacin y representacin grfica, tangente y normal.

Cudricas: Superficie esfrica, elipsoide, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloides elptico e

hiperblico. Superficies cnicas y cilndricas. Definicin, ecuacin y representacin grfica.

BIBLIOGRAFA

1. Di Caro, H. lgebra y Elementos de Geometra Analtica. Volumen I y II. Grfica Munro Editora.

Argentina. 1.984.

2. Rojo, Armando. lgebra I y lgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de

1.993.

3. Sagastume Berra-Fernndez. lgebra y Clculo Numrico. Editorial Kapeluz. Buenos Aires.

Argentina. 1960.

4. Lehman, Charles . Geometra Analtica. Editorial Limusa. 1.995.

5. De Sunkel, Mara A. Geometra Analtica en forma vectorial y matricial. Editorial Nueva Librera.

6. Di Pietro, Donato. Geometra Analtica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina.

Argentina 1.999.

7. Selzer, Samuel. lgebra y Geometra Analtica. Editorial Nigar, S.R.L.

8. Ovejero, Salvador. Comprender y ejercitar el lgebra Lineal. Editorial Ediciones Tcnicas

Contemporneas.

9. Kindle, Joseph H. Geometra Analtica Plana y del Espacio. Editorial Mc Graw Hill. Mxico D. F.

Marzo 1995.

10. Hernndez, Eugenio. lgebra y Geometra. Segunda edicin. Addison-Wesley Iberoamrica.

11. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; Garca, A. Elementos de lgebra y Geometra Analtica. Vol. I.

EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.

12. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; Garca, A. Elementos de lgebra y Geometra Analtica. Vol. II.

EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.

pg. 6

TRABAJO PRCTICO N 1

NMEROS COMPLEJOS

BIBLIOGRAFA BSICA:

Di Caro, H. lgebra y Elementos de Geometra Analtica. Volumen I y II. Grfica Munro Editora.

Argentina. 1.984.

Rojo, Armando. lgebra I y lgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993.

Torres Bugeau, C; Lasserre, A; Garca, A. Elementos de lgebra y Geometra Analtica. Vol. I. EdiUnju

Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.

CUESTIONARIO DE REPASO:

Qu operacin no es posible realizar en el conjunto de los nmeros reales?

Cmo define nmero complejo?

Cul es el inverso aditivo de un nmero complejo?

Cmo determina el elemento neutro del producto de nmeros complejos?

A qu se llama conjugado de un nmero complejo?

Cmo se encuentra el cociente de dos nmeros complejos dados como pares ordenados de nmeros reales?

Cmo representa geomtricamente un nmero complejo?

Qu entiende por complejo real y por complejo imaginario o imaginario puro?

Indique una regla prctica para obtener las potencias sucesivas de la unidad imaginaria.

Qu entiende por mdulo de un nmero complejo?

Cmo halla la raz de un nmero complejo dado en forma binmica?

Cmo obtiene la forma polar o trigonomtrica de un nmero complejo?

Cul es la condicin necesaria y suficiente para que dos nmeros complejos dados en forma polar sean iguales?

Cmo halla analticamente el producto y el cociente de dos nmeros complejos dados en forma polar?

Cmo demuestra la frmula de Moivre, aplicando Induccin Completa?

Por qu las races n-simas de un nmero complejo son n?

Cmo se representan las races de un nmero complejo?

pg. 7

EJERCICIOS RESUELTOS.

Ejemplo 1: Determinar las races de la siguiente ecuacin. Representar grficamente.

3 6

2

( 2 i) 64 ( 3 i) 1i

2(1 i)

z

3 6

2

( 2 i) 64 ( 3 i) 1i

2(1 i)

z

Una de las formas de resolver (1 + i)

2 es:

(1 + i)2 = 1 + 2i + i

2

= 1 + 2i + (1)

= 2i

3 6 1( 2 ) 64 ( 3 ) 22

z i i i i

Realizando el producto de dos complejos

21 i 2 i 2 i2

i 2 ( 1)

2 i

i

3 6( 2 i) 64 2 i ( 3 i)z Para la potencia n de un complejo

66

330( 3 i) 2

= 641980 64180

= 64

3 ( 2 i) 2 i ( 64) 64z

3 2 i

2 iz

Haciendo el cociente de complejos:

2

2

2 i 2 i2 i

2 i 2 i 2 i

4 2 i 2 i i 4 ( 1) 5 1

4 ( 1) 54 i

3 1z 3180

1z

3180

1z

3 180 360 0,1,2

3

1 kkk

z

0 601z 1 1801z 2 3001z

La representacin grfica de las races obtenidas es:

pg. 8

Ejemplo 2: Representar grficamente el conjunto de puntos del plano que satisface la siguiente relacin:

* | | +

Como entonces el mdulo ser:

| | agrupando trminos semejantes

| ( ) | por lo tanto

( ) ( ) de donde

( ) ( )

Recordar que:

Una ecuacin de la forma:

( ) ( )

representa una circunferencia cuyo centro es

el punto ( ) y de radio .

Como caso particular si el centro es el origen

de coordenadas, la ecuacin ser:

Por lo tanto el conjunto de puntos del plano que satisfacen la ecuacin dada, son todos los puntos que

pertenecen a la circunferencia cuya ecuacin es: ( ) ( )

Esta circunferencia tiene como centro el punto (1, 1) y la longitud de su radio es 2 [ ul ].

pg. 9

EJERCICIOS A RESOLVER

1. Realizar las operaciones que se indican en cada caso.

a) ( ) ( ) f) , ( ) ( ) -

b) ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( )

c) 0( ) ( ) ( )1 h)

d) , ( )- i)

e) ,( ) ( ) - j) .

/

2. Dados los siguientes complejos iz 421 ; iz 22 ; iz 243 ; iz 34 ; resolver

grficamente las siguientes operaciones.

42z a) z 41 2z c) z

312

1z2 b) z

4322

1z d) zz

3. Dados los complejos: .

/ ; realizar

las operaciones que se indican.

a) ( ) c)

e)

b) d) ( )

4. Representar grficamente el conjunto de los puntos del plano que satisfacen las siguientes

relaciones.

1 2-z a) i 3 Re(z) / z d)

3 2-z b) z 2 Img(z) / z e)

4zz c) 1 Img(z) (z) Re / z f)

5. Dados los nmeros complejos: , ,

y . Efectuar las

operaciones que se indican.

a) e)

b) f) .

/

c) g)

d) h)

( )

6. Determinar y representar grficamente las siguientes races en C

6 i 3-1 a)

4 81 d) 3 2 43i 31 g) i

i - b)

5 i1- e) 5i)-(2 )1(

i 5-3 h)

i

3 27 - c)

4 344- f) i

3

3-1

i-1 i)

i

pg. 10

7. Hallar las races de las siguientes ecuaciones.

a) ( ) ( ) d) ( .

/

)

b) ( ) e)

( )

c) , ( )- , ( )- ,( ) ( )- f)

8. Resolver y verificar las siguientes ecuaciones en C.

03 2 ) 2 ixixa

012 ) 24 xxc

0103 ) 24 xxb

9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, donde a , b y c C..

a) {

b) {

10. Calcular x R para que:

a) 2 x-1 i sea imaginario puro.

b) se verifique la siguiente igualdad ii

ix

2

1

c) ixi 6 23 sea

c1) un nmero real

c2) un nmero imaginario puro

d) se verifique la siguiente igualdad: 51

i

ix

11. a) Indicar si cada nmero es solucin de la ecuacin dada:

a1) x2 + 2x + 5 = 0 ; x1 = 1 + 2i , x2 = 1 2i.

a2) x3 +4x

2 +9x +36 = 0 ; x1 = 4 , x2 = 3i.

b) Encontrar x e y, nmeros reales, que satisfacen las siguientes ecuaciones:

b1) ( )

b2) ( ) ( )

12. Determinar a y b R para que:

a) iz 1 sea solucin de la ecuacin 0 35 bzaz

b) se cumpla la siguiente igualdad: 1 34

23

i

aib

c) satisfaga la siguiente ecuacin 092 22 zzzz

pg. 11

EJERCICIOS ADICIONALES

1. Responder V (verdadero) F (falso) segn corresponda. No justificar la respuesta.

a) Si

, entonces la forma polar reducida de z es:

b) Si z = , entonces .

c) Sea z = 2 + 2 i, entonces

d) El cociente

tiene como resultado

2. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N

a) Si , entonces { z / z C Img(z) < 9 } representa:

A) A) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 9 C) C) Una recta de ecuacin x = 9

B) B) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 3 D) D) Un semiplano de ecuacin y < 9

b) Si , entonces { z / z C Re(z) 4 } representa

A) A) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 4 C) C) Una recta de ecuacin x = 4

B) B) Una circunferencia de centro (0 , 0) y radio 2 D) D) Un semiplano de ecuacin x 4

3. Completar la siguiente tabla

Cartesiana

(o par ordenado) Binmica Polar (reducida) Re (Z) Im(Z) Z Z

-1

( 3 , 1)

2 2i

4 4

pg. 12

TRABAJO PRCTICO N 2

POLINOMIOS - ECUACIONES POLINMICAS

BIBLIOGRAFA BSICA:


Argentina. 1.984.


CUESTIONARIO DE REPASO:

Cmo se define polinomio?

Cul es el grado de un polinomio? Que caractersticas tiene.

Qu relacin existe entre dividendo, divisor, cociente y resto en un cociente de polinomios?

A que es igual el resto de la divisin de un polinomio entero en x por el binomio (x a)?

Cmo se define el M.C.D. entre dos polinomios?

Qu pasos se deben seguir para calcular el mximo comn divisor de dos polinomios A(x) y B (x)?

Cul es el enunciado del Teorema Fundamental del lgebra?

Cual es la condicin necesaria y suficiente para que un nmero a sea raz mltiple de orden h de un polinomio P(x)?

Cmo se puede encontrar una ecuacin que tenga slo las races mltiples de la ec. P(x) = 0 pero con un orden de multiplicidad disminuida en una unidad?

Si una ec. P(x) = 0 a coeficientes reales admite una raz compleja a + b i, admite tambin su conjugada?

Si una ec. P(x) = 0 a coeficientes complejos admite una raz compleja a + b i, admite tambin su conjugada?

Cul es la relacin entre los coeficientes y races de una ecuacin de 4 grado?

Cmo se expresa una ec. P(x) = 0 de grado 5 en funcin de sus races, si todas sus races son simples?

Cul es la condicin necesaria pero no suficiente para que el n entero a sea raz de una ecuacin algebraica a coeficientes reales?

Cul es la condicin necesaria pero no suficiente para que el nmero racional

(con p y q

primos entre si y q 0) sea raz de una ecuacin algebraica a coeficientes enteros?

pg. 13

EJERCICIOS RESUELTOS:

Ejemplo 1: Sean: P(x) = 2 x4 + x2 + 2 y Q(x) = x 2 para dividir P(x) y Q(x), se puede proceder de

las siguientes maneras:

a) Aplicando el algoritmo de la divisin entre dos polinomios, para lo cual es necesario ordenar en forma

decreciente y completar el dividendo, mientras que al divisor simplemente lo ordenamos tambin en

forma decreciente.

Aplicando el algoritmo, se tiene:

|

Como el resto es de un grado menor (grado 0) que el divisor (grado 1) finaliza el algoritmo; obtenindose

como cociente ( ) y como resto ( )

b) Aplicando la regla de Ruffini, para lo cual previamente se realiza, con el dividendo y el divisor,

exactamente la misma tarea que en caso anterior.

Usando la disposicin prctica de la regla, se tiene:

2

2 0 1 0 2

4 8 14 28

2 4 7 14 -26

Con los coeficientes encontrados formamos los polinomios cociente y resto:

( ) y ( )

Recordar que:

En una divisin de dos polinomios se puede aplicar la regla de

Ruffini cuando el divisor es de la forma (x + a ) con a R.

Si se puede aplicar la regla de Ruffini, tambin se puede

obtener directamente el resto de la divisin aplicando el Teorema

del Resto. Para el ejemplo presentado se tiene:

( )

Ejemplo 2: Dada la ecuacin x3 3 x

2 + 4 = 0, encontrar las races sabiendo que tiene una raz doble.

Para encontrar las races de esta ecuacin se puede proceder de las siguientes maneras:

a) Aplicando derivadas.

pg. 14

Si el nmero es una raz de orden h del polinomio P(x), es una raz de orden (h 1) de la derivada

de P(x).

El polinomio dado tiene una raz doble (h = 2), esta raz tambin ser raz de la ecuacin asociada al

polinomio P(x) que se obtiene de derivar el polinomio P(x) = x3 3 x

2 + 4.

Derivando el polinomio P(x), se obtiene: P(x) = 3 x2 6 x + 0.

La ecuacin asociada a este ltimo polinomio es: 3 x2 6 x = 0

Factorizando esta ltima ecuacin, se tiene:

3x.(x 2) = 0, las races de esta ecuacin cuadrtica son: x = 0 x = 2.

La primera raz, x = 0, no es solucin de la ecuacin original, x3 3 x

2 + 4 = 0, ya que:

03 3.0

2 + 4 0

4 0

La segunda raz, x = 2, si es raz de la ecuacin original ya que:

23 3 . 2

2 + 4 = 0

8 12 + 4 = 0

0 = 0

Para comprobar que x = 2 es raz de multiplicidad dos utilizamos la regla de Ruffini:

2

1 3 0 4

2 2 4

2

1 1 2 0

2 2

1 1 0

Por lo tanto x = 2 es raz doble de la ecuacin original. Adems, luego de todo esto solo queda por

resolver la ecuacin: x + 1 = 0, (ecuacin asociada al polinomio cociente de la ultima divisin realizada)

cuya solucin es x = 1.

Finalmente las races de la ecuacin x3 3 x

2 + 4 = 0, son: x1 = x2 = 2 (raz doble) x3 = 1.

Recordar que:

La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la

suma algebraica de sus derivadas:

f (x) = g(x) h(x) f (x) = g(x) h(x)

La derivada de una potencia es igual al producto del exponente

por la base elevada a un exponente disminuido en una unidad:

f(x) = x n f (x) = n . x

n1

La derivada de una constante es cero: f (x) = k f (x) = 0

b) Aplicando M.C.D.

Por tener al menos una raz de multiplicidad mayor que uno, el polinomio P(x) = x33x

2+ 4 y su derivada

P(x) = 3 x2 6 x deben tener al menos un polinomio no nulo y de orden uno, como divisor comn.

pg. 15

El M.C.D. (P(x), P(x)) tiene las misma races mltiples que la ecuacin asociada a P(x) pero con la

multiplicidad disminuida en una unidad.

Aplicamos el algoritmo de Euclides para encontrar el M.C.D. entre P(x) y P(x).

x 1 x

x3 3x

2 + 4 x

2 2x (x 2)

x3 + 2x

2 .

x2 + 0x + 4

x2 2x .

2x + 4

R1 (x): 2x + 4 = 2 (x 2)

x2 + 2x

R2(x) = 0 .

M.C.D.: (P(x) , P(x)) = x 2.

Si x 2 = 0, x = 2. Por lo tanto P(x) = 0 tiene como raz doble x = 2.

Aplicando la regla de Ruffini dos veces, como se hizo en el tem anterior, se obtiene de nuevo la tercera

raz simple x = 1.

c) Aplicando las relaciones entre coeficientes y races.

x3 3x

2 + 4 = 0 a0 = 1, a1 = 3, a2 = 0, a3 = 4. Adems como la ecuacin tiene una raz doble:

x1 = x2.

Relaciones entre coeficientes y races:

)()1( 3211

0

1 xxxa

a )2()1(3 31 xx 32 31 xx

)()1( 3231212

0

2 xxxxxxa

a 0 2 )()1(0 31

213131

21

2 xxxxxxxx

)()1( 3213

0

3 xxxa

a 4 )()1(4 3

21311

3 xxxxx

Por lo tanto se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones: {

, -

, -

, -

De [a] despejamos x3: reemplazamos esto; en [b].

( )

( )

Verificamos si satisfacen [c]

02 . 3 4. Por lo tanto se descartan esas soluciones.

Verificamos si satisfacen [c]

22 . (1) = 4 4 = 4

Por lo tanto las races buscadas son

pg. 16

d) Finalmente podemos observar que la ecuacin x3 3 x

2 + 4 = 0 es mnica y de coeficiente reales.

La condicin necesaria pero no suficiente para que un nmero Z a sea raz de una ecuacin es que

sea divisor del trmino independiente.

Los divisores del trmino independiente son: 1, 2, 4.

Haciendo uso de la regla de Ruffini tenemos:

1

1 3 0 4

1 2 2

1 2 2 2

Como el resto R(x) = 2 es distinto de cero, 1 no es raz de la ecuacin dada.

1

1 3 0 4

1 4 4

1 4 4 0

Como el resto R(x) = 0, 1 es raz de la ecuacin dada.

El polinomio cociente es C(x) = x2 4x + 4 cuya ecuacin asociada es x

2 4x + 4 = 0. Se puede escribir

esta ltima ecuacin como (x 2)2 =0, en consecuencia x = 2 es raz doble.

FINALMENTE LAS RACES DE X3 3 X

2 + 4 = 0 SON .

pg. 17

EJERCICIOS A RESOLVER

1. Calcular el MCD entre los siguientes pares polinomios. Identificar aquellos pares de polinomios

primos entre s.

a) ( ) y ( ) b) ( ) y ( ) c) ( ) y ( ) d) ( ) y ( ) e) ( ) y ( )

2. Dadas las ecuaciones:

a) x4 2x

3 + 2x 1 = 0

b) x4 + 2x

3 3x

2 4x + 4 = 0

c) x4 x

3 3x

2 +5x 2 = 0

i) Investigar las races mltiples.

ii) Determinar todas las races de la ecuacin.

3. Utilizando el concepto de relacin entre coeficientes y races, reconstruir la ecuacin que tiene por

races:

a) 1 , 2 y 2 raz doble.

b) 3 , 3 , 2i y 2i.

c)

y 3, ambas races dobles.

d) (2 2i) , (2 + 2i) y 2.

4. Utilizando el concepto de relacin entre coeficiente y races hallar las races de:

a) x3 3x

2 4x + 12 = 0 sabiendo que la suma de dos de sus races es cero.

b) 8x3 14x

2 + 7x 1 = 0 sabiendo que estn en progresin geomtrica.

c) x4 2x

3 3x

2 +8x 4 = 0 sabiendo que x1 = x2 y x3 = x4

5. Dadas las siguientes ecuaciones, aplicar la condicin necesaria pero no suficiente para que un

nmero entero a sea raz de una ecuacin f(x) = 0 para determinar las races enteras de la ecuacin dada. Determinar todas las races de cada ecuacin.

a) ( ) .

b) ( )

c) ( )

6. Resolver las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen al menos una raz racional.

a) .

b) .

c) .

7. Determinar las races de las siguientes ecuaciones aplicando el mtodo de las derivadas.

a) .

b)

c)

d)

pg. 18

8. Escribir la ecuacin mnica desarrollada con coeficientes reales de menor grado que admita como

races a:

a)

b) ( )

c)

d)

9. Dados los nmeros 0, 2 y i; escribir la ecuacin mnica desarrollada que admita como races a los nmeros dados, tal que:

a) sea de menor grado posible

b) con coeficientes reales de grado 5.

c) de grado 4.

d) con coeficientes reales de grado 4.

10. Plantear y resolver los siguientes problemas

a) Dada la ecuacin

a1) Determinar los nmeros reales a y b para que 2 y 1 sean races de la ecuacin.

a2) Calcular la otra raz.

b) Hallar a en la ecuacin de tal modo que la suma de dos de sus races

sea 1.

c) Calcular k para que la ecuacin tenga la siguiente relacin entre sus races x3 = x1 + x2.

11. Resolver las siguientes ecuaciones

a)

b) , sabiendo que dos de sus races son iguales y las otras dos son opuestas.

c)

d) , sabiendo que al menos tiene una raz mltiple.

e) , admite a 5i como raz.

f) , sabiendo que todas sus races son mltiples.

pg. 19


1. Responder V (verdadero) o F (falso), segn corresponda. NO justificar la respuesta.

a) Dados P(x) = x2 + 8x +16, su derivada P(x) = 2x + 8 y MCD*P(x), P(x)+ = x + 4, entonces x = 4 es raz

doble de P(x) = 0

b) El polinomio R(x) = x3 x

2 x +1 no es divisible por (x 1)

2.

c) Los polinomios P(x) = x2 6x +9 y Q(x) = x 3 son polinomios primos entre s.

d) El polinomio R(x) = x3 + 5x

2 + 8x +4 no es divisible por (x + 2)

2.

2. Escribir en los recuadros, la letra que corresponda, relacionando las races con las diferentes

ecuaciones.

Races Ecuacin Factorizada Ecuacin desarrollada

A) 1 doble, i simple ( )( )( )

B) 1 simple, 2i simple ( )( )( )

C) ( ) ( )( )

D) 0, 2, 2 todas simples ( )( )

3. Completar con la respuesta correcta (sugerencia: utilizar relaciones entre coeficientes y races).

a) Si la ecuacin , tiene como raz x1 =

y adems se sabe que

x2 + x3 = 0, entonces a1 = y a3 =

b) Si la ecuacin , tiene como raz x1 = 0 y adems se sabe que

x2 x3 = 2, entonces a0 = y a3 = .

c) Si la ecuacin , tiene como raz x1 = 1 y adems se sabe que

x2 = x3, entonces a1 = y a2 =

4. Escribir, en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N

a) La ecuacin x (3x + 6) (x + 3)2 = 0, tiene como races:

A) A) 0 (cero) raz doble; 2 y 3; races simples. C) C) 0 (cero) , 2races simples y 3; raz doble.

B) B) 0 (cero) ; y 3; todas races simples. D) D) 0 (cero) ; ; races simples y 3; raz doble.

b) La ecuacin x (2x 1) (x + 4)2 = 0, tiene como races:

A) A) 0 (cero) raz doble;

y 4; races simples. C) C) 0 (cero) ,

; races simples y 4; raz doble.

B) B) 0 (cero) ;

y 4; todas races simples. D) D) 0 (cero) ;

; races simples y 4; raz doble.

pg. 20

TRABAJO PRCTICO N 3

VECTORES

BIBLIOGRAFA BSICA:


Argentina. 1.984.


Torres Bugeau, C; Lasserre, A; Garca, A. Elementos de lgebra y Geometra Analtica. Vol. I. EdiUnju

Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010.

CUESTIONARIO DE REPASO

Qu diferencias hay entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales?

Qu elementos definen un vector?

Dibuje tres vectores y realice geomtricamente su suma

Cundo se dice que dos vectores son iguales?

Cmo se define proyeccin de un vector sobre otro?

A que es igual el mdulo de un vector u

= ( u1 , u2 , u3 )?

Qu entiende por ngulos directores y cosenos directores de un vector?

Cmo define producto de un vector por un escalar ?

Cmo se define Producto Escalar?.

Cmo se define Producto Escalar en funcin de sus componentes?. Demostrarlo

Cmo se expresan las Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad entre dos vectores?.

Demostrarlas

Cmo se define Producto vectorial?.

Cul es el significado geomtrico de su mdulo?. Demostrarlo.

Cmo se expresa el P. Vectorial en funcin de sus componentes?. Demostrarlo.

Qu se entiende por producto Mixto de tres vectores ?.

Cul es la condicin para que tres vectores sean coplanares?

pg. 21


Ejemplo 1: Dados los siguientes puntos A(1, 1), B(2, 4), C(6, 4) y D(5, 1)

a) Comprobar que son los vrtices de un paralelogramo.

Determinamos los vectores Realizaremos a modo de ejemplo solamente el primer

caso, ya que los dems se obtienen en forma similar.

( ) ( ) ( )

Graficamos los vectores obtenidos: ( ) ( ) ( ) ( )

Se puede observar que lo que se comprueba ya que sus componentes homologas son

proporcionales:

Tambin se puede observar que Otra forma de comprobar que dos vectores son paralelos es

calculando el ngulo ( ) que forman los mismos.

| | | | Clculos auxiliares

( ) ( )

| ( ) | | ( ) | ( ) ( )

| ( ) |

Por lo tanto los vectores son paralelos.

Como los vectores formados por los puntos dados son dos pares de vectores paralelos, la figura que

forman es un paralelogramo.

b) Calcular el permetro del paralelogramo que tiene por vrtices los puntos dados.

Para determinar el permetro del paralelogramo calculamos los mdulos de los vectores que

determinamos en el inciso anterior:

| | | |

| | | |

Por lo tanto el permetro pedido es: , -

c) Calcular los ngulos interiores del paralelogramo que tiene por vrtices los puntos dados.

Para el ngulo en el vrtice A.

| | | |

( ) ( )

| ( ) | | ( ) |

pg. 22

Para el ngulo en el vrtice B.

( ) ( )

| | | |

( ) ( )

| ( ) | | ( ) |

Por propiedad de los paralelogramos, sabemos que Por lo tanto la amplitud de los

ngulos es:

d) Calcular el rea del paralelogramo que tiene por vrtices los puntos dados.

Para calcular el rea del paralelogramo necesitamos la longitud de la base ( ) y de la altura ( h ).

Solamente para evidenciar la aplicacin de vectores calcularemos estas longitudes aplicando los

mismos, ya que existe otra forma ms sencilla de determinar estas longitudes (cul es?).

rea del paralelogramo: base ( ) x altura ( h )

La longitud de la base es el mdulo del vector ( o sea, 4 [ul].

Para calcular la longitud del segmento h usamos la frmula del seno de un ngulo.

| |

| |

, -

Por lo tanto el rea pedida es:

| |

, -

Ejemplo 2: Dados los siguientes vectores en R3: ( ) ( )

a) Representarlos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.

1

1

1 x

y

u

v

pg. 23

b) Determinar si los vectores dados, son perpendiculares.

( ) ( )

En consecuencia los vectores no son perpendiculares.

c) Determinar un vector unitario y perpendicular a los vectores dados.

Para determinar un vector perpendicular a calculamos el producto vectorial de los mismos.

|

|

( )

Para que el vector obtenido sea unitario hacemos:

| | ( )

( )

.

/

d) Determinar el rea del paralelogramo que tiene por lados los vectores

El rea del paralelogramo es el mdulo del producto vectorial de los vectores dados.

| |

, -

e) Determinar el rea del tringulo determinado por

El corolario de la propiedad anterior establece que el rea del tringulo determinado por dos vectores es

la mitad del rea del paralelogramo que tiene por lados dichos vectores.

| |

, -

f) Determinar el volumen del paraleleppedo que tiene por aristas los vectores

El volumen del paraleleppedo cuyas aristas son tres vectores llevados a un origen en comn, es la

interpretacin geomtrica valor absoluto del producto mixto de dichos vectores.

|( ) | Clculos auxiliares.

| |

| | |

| ( )

, - |

|

pg. 24

EJERCICIOS A RESOLVER:

1. i) Dado los puntos Po(2, 3); P1 (2, 5), P2(1 ,1) en R2 ; P3(2 , 3 ,5) ; P4(5, 2 , 3) y P5(0, 1 ,1) en

R3; encontrar los siguientes vectores y representarlos grficamente.

a) ; ;

b) ; ;

ii) Encontrar el origen o el extremo segn corresponda:

a) ; con A(2, 3, 1), tal que sea equipolente a (5, 7, 2)

b) ; con A(1, 2, 5), tal que sea equipolente a (2, 3 , 5)

c) ; con B(2, 0, 2), tal que sea equipolente a (5, 2, 3)

d) ; con B(3, 2, 2), tal que sea equipolente a (2, 3, 0)

2. Determinar grfica y analticamente: siendo:

a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

3. i) Sean ; calcular:

a) ( ) d) ( | | )

b) ( ) e) | | ( )

c) | | ( )

ii) Sean ( ) ( ) ( ) ; calcular:

a) ( ) d) | | ( )

b) ( ) e) | | | |

c) ( ) ( )

4. Sean ( ) ( ) ( ) determinar tales que:

a)

b)

c)

5. Sean ( ) ( ) ( )

a) Determinar los nmeros reales , y para que se cumpla:

( )

b) Encontrar las componentes del vector que satisface a:

c) Determinar el vector para que se cumpla la siguiente relacin: d) Hallar, si es posible, x , y , z tales que: ( ) ( ) ( ) ( )

6. Sean ( ) ( ) ( ) Calcular en cada inciso la expresin dada.

a) | | d) | |

b) | | | | e)

| |

c) | | | | f) |

| | |

pg. 25

7. a) Calcular el ngulo entre los siguientes pares de vectores: en el plano (2, 4) con (1, 2) y en el espacio (2, 1, ,1) con (1, 1, 2).

b) Sean Determinar tal que:

i)

ii)

c) Encontrar , tal que

i) ( ) ( ) | |

ii) ( ) ( )

| |

8. Sean ( ) ( ) ( ) Calcular:

a) ( ) c) ( )

b) ( ) d) ( )

9. a) Sea el paralelogramo formado por los vectores ( ) ( ):

i) Graficar los vectores y el paralelogramo formado por los mismos

ii) Hallar, grficamente y analticamente, los vectores diagonales.

iii) Calcular las longitudes de las diagonales y el permetro del paralelogramo.

b) Dados dos vectores, , sabiendo que forman un ngulo de 60, que | | y que el

paralelogramo que ellos determinan es un rombo, calcular el mdulo de .

c) Encontrar, de ser posible, el rea del paralelogramo y del tringulo determinado por los vectores:

i) ( ) ( )

ii)

iii) ( ) ( )

10. Sabiendo que ( ) Calcular:

a) ( ) d) ( )

b) ( ) e) ( )

c) ( ) f) ( )

11. a) Determinar si son coplanares:

i) ( ) ( ) ( )

ii) ( ) ( ) ( )

b) Dado los vectores ( ) ( ) determinar un vector que sea coplanar con , adems ortogonal a ( )

12. Determinar el volumen del paraleleppedo que tiene por aristas los vectores:

a)

b)

13. Dados los vectores ( ) ( )

a) Calcular el ngulo determinado por y el determinado por

b) Determinar un vector unitario paralelo a

c) Determinar un vector paralelo a y de mdulo 4.

d) Determinar un vector paralelo a y de mdulo 6.

e) Determinar un vector perpendicular a , de modulo 8.

pg. 26


1. Responder V (verdadero) o F (falso) segn corresponda. NO justificar la respuesta.

a) Con los puntos ( ) y ( ) se puede formar el vector ( ).

b) Los vectores ( ) y ( ) son perpendiculares.

c) Dados los vectores ( ) y ( ), entonces: ( )

d) Los vectores ( ) ( ) y ( ), son coplanares

2. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N.

a) El permetro de un tringulo con vrtices en (1 , 1) ; (4 , 1) y (1 , 3) vale:

A) A) [ul]. C C) [ul].

B) B) 3 [ul]. D) D)

[ul].

b) Sea el vector 6 6, ,3u un vector unitario y paralelo a l es:

2 2, ,1 )A 15

2 ,

15

2 ,

15

1 )

B

3

2 ,

3

2 ,

3

1 )

C D) .

/

c) El volumen del paraleleppedo formado por: ( ) ( ) ( ); es:

A) 4 [ul]3 B) 8 [ul]3 C) 4 [ul]3 D) 8 [ul]3

d) Sean ( ) ( ), entonces los valores de a para que son:

A) 5 y 0 B) 5 y 0 C) 5 y 5 D) 5i y 5i

3. Sean ,y , wvu

tres vectores cualesquiera, relacionar, colocando letra que corresponda en los

resultados equivalentes.

w - v )

A w 24 v 3-

v 2 - u 6 )

B u 20 v 5

u v- )

C )w v (--

) u 4 - v( 5 )

D ) v u (3 2

) w 8 - v( 3- )

E v 8 - w 7 - u

) u v 8 ( - ) w 7 - u (2 )

F ) v u- ( -

pg. 27

TRABAJO PRCTICO N4

RECTA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

BIBLIOGRAFA BSICA:


Argentina. 1.984.


Kindle, Joseph H. Geometra Analtica Plana y del Espacio. Editorial Mc Graw Hill. Mxico D. F. Marzo

1995.

CUESTIONARIO DE REPASO

Dado un punto P0 y un vector u

en el plano o en el espacio, Cmo se obtiene la ecuacin Vectorial

Paramtrica de la recta que pasa por el punto P0 y es paralela al vectoru

?

Qu nombre recibe el vectoru

paralelo a la recta?

Partiendo de la Ecuacin Vectorial Paramtrica, a) Cmo obtiene la ecuacin Cartesiana

Paramtrica?; b) Cmo obtiene la ecuacin Simtrica?

Dada la Ecuacin General o Implcita de una recta en el plano: Ax + By + C = 0, Qu nombre toma el

vector que tiene por componentes los coeficientes de las variables x e y?

Si la Ecuacin de una recta en el plano, tiene la forma : 1b

y

a

x, Que representan las constantes

a y b?

Cuntos datos son necesarios para determinar una recta?

Cuando dos rectas, (en el plano o el espacio), son paralelas?

Cuando dos rectas, (en el plano o el espacio), son perpendiculares?

Cmo se calcula el Angulo que determinan dos rectas en el plano o el espacio?

Cmo se calcula la distancia de un punto P0 a una recta l en el plano?

Cul es la Ecuacin Simtrica de una recta del espacio determinada por dos puntos?

Cul es la Ecuacin de una recta, del plano, que pasa por P0(x0,y0) y es paralela al eje y?

Cul es la Ecuacin Simtrica de una recta, del espacio, que pasa por P0(x0,y0,z0 ) y es paralela al eje z

?

Cul es la Ecuacin Simtrica de una recta, del espacio, que pasa por P0(x0,y0,z0 ) y es paralela al

planoyz?

pg. 28


Ejemplo 1: Hallar la ecuacin vectorial paramtrica, cartesiana paramtrica, simtrica, segmentaria,

general y explcita de la recta que paso por el punto P0(1, 2) y es paralela a la recta de ecuacin:

. Representar grficamente la recta encontrada.

Para resolver, vectorialmente, este ejercicio es necesario conocer un punto perteneciente a la recta y su

vector direccin. En este caso como las rectas son paralelas sus vectores direcciones tambin lo son. La

recta solicitada debe pasar por (1, 2) y ser paralela a ( )

Por lo tano la ecuacin vectorial paramtrica ser:

( ) ( )

De la ecuacin anterior podemos deducir la ecuacin cartesiana paramtrica ya que:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) por lo tanto

{

A partir de esta ltima ecuacin se despeja el parmetro para formar la ecuacin simtrica

{

A partir de esta ltima ecuacin se puede deducir la ecuacin general de la recta ya que:

( )

( )

A partir de esta ltima ecuacin se puede deducir la ecuacin explcita de la recta ya que:

Tambin a partir de la ecuacin general se puede deducir la ecuacin segmentaria de la recta.

Para representar grficamente la recta encontrada se puede utilizar la ecuacin:

a) Segmentaria.

b) Vectorial paramtrica.

pg. 29

Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(2, 0, 3), B(3, 10, 7) y C(1,6, 3) estn alineados.

Una de las formas de resolver este ejercicio es encontrar la recta que pasa por dos puntos y verificar que

el tercer punto pertenezca a dicha recta.

Encontramos la recta que pasa por los puntos A y B por ejemplo.

Determinamos el vector direccin de la recta que estamos buscando.

( )

Por lo tanto la ecuacin vectorial paramtrica que pasa por A y tiene direccin ser:

( ) ( )

De la ecuacin anterior podemos deducir la ecuacin cartesiana paramtrica ya que:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) por lo tanto

{

A partir de esta ltima ecuacin se despeja el parmetro para formar la ecuacin simtrica

{

En esta ltima ecuacin es ms fcil comprobar si el tercer punto C pertenece o no a la recta

encontrada.

( )

Por lo tanto el punto C pertenece a la recta y en consecuencia los puntos estn alineados.

1

1

5

3

_

_5

a)

1

1

b)

Po

u

pg. 30

EJERCICIOS A RESOLVER:

1. Hallar las ecuaciones: vectorial paramtrica, cartesiana paramtrica, simtrica, general, explcita y

segmentaria de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones. Representar grficamente.

a) Pasa por el punto P0(1, 2) y es paralela al vector ( ).

b) Pasa por P1(4 , 1) y forma un ngulo de 135 con el semi eje positivo de .

c) Cuya ordenada al origen es

y pasa por el punto P1(2, 3).

d) Pasa por P1(3 ,2) y es paralela a: x + 2y + 4= 0.

e) Pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a y + 2x 2 = 0.

f) Pasa por el punto de interseccin de las rectas 2x + y 8 = 0 y 3x 2y + 9 = 0 y es

perpendicular al vector ( ).

2. Hallar las ecuaciones: vectorial paramtrica, cartesiana paramtrica y simtrica de las rectas que

cumplen con las siguientes condiciones. Representar grficamente.

a) Pasa por el punto P1(1, 2, 5) y tiene como vector direccin a ( )

b) Pasa por el punto P1(0, 1, 5) y es paralela a {

c) Pasa por el punto P1(4, 2, 5) y es paralela a

d) Pasa por los puntos P1(1, 2,. 5) y P2(2, 1, 0).

e) Pasa por el punto P1(1, 3, 0) y es paralela al vector siendo ( )

( )

f) Pasa por el punto P1(2, 1, 3) y es perpendicular a las rectas cuyas ecuaciones son:

{

( ) ( )

3. Determinar cules de las siguientes rectas son paralelas y cules son perpendiculares.

( ) ( )

{

( )

4. Hallar el valor de k para que las siguientes rectas sean:

a) paralelas: ( ) ( ) {

b) perpendiculares

{

5. Determinar el valor del parmetro k para que:

a) La recta: 13x + (2 k) y 23 = 0 pase por el punto (2, 3).

b) La recta: k2 x + (k2 1)y 18 = 0 sea paralela a la recta: 4x + 3 y + 7 =0

c) La recta: k2x + (k2 1)y 18 = 0 sea perpendicular a la recta: 4x + 3 y + 7 =0.

pg. 31

6. Hallar el ngulo formado por los siguientes pares de rectas que tienen por ecuaciones:

a)

{

b)

c)

d) {

( ) ( )

7. Hallar la distancia:

a) del punto P(2, 3) a la recta 4x 5y + 10 = 0.

b) entre las rectas 3x 4y + 8 = 0 6x 8y + 9 = 0.

c) del punto (7, 7, 4) a la recta

d) entre las rectas paralelas:

{

8. Hallar el lugar geomtrico de los puntos del plano o del espacio que equidistan de los puntos fijos:

a) (5, 2) y (2, 1)

b) (3, 2, 4), (5, 3, 2) y (0, 4, 2).

9. Usando haz de rectas, hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de las

rectas: , y adems:

a) Pasa por el punto (5 , 2).

b) Es paralela a la recta 6x 8y + 9 = 0.

10. Usando haz de rectas hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto:

a) P(3, 2) y es paralela a 2x 3y 4 = 0.

b) P(1, 3) y es perpendicular a 5x 2y + 3 = 0.

11. Plantear y resolver los siguientes problemas.

a) Encontrar las coordenadas del punto simtrico a P(2, 2) respecto de la recta 2x + y 3 = 0.

b) Demostrar que las tres rectas 3x 5y + 7 = 0, 2x + 3y 8 = 0 6x 7y + 8 = 0 son

concurrentes.

c) Encontrar la ecuacin de la mediatriz del segmento de recta que tiene por extremos a: A(2, 0)

y B(4, 2).

d) Determinar el valor del parmetro k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes

coordenados un tringulo rectngulo de rea igual 2,5 [ul]2.

e) Determinar si los siguientes pares de rectas se intersectan. En caso afirmativo, dar las

coordenadas del punto de interseccin:

i- {

ii- {

{

pg. 32

f) Comprobar si los puntos (0, 1, 1), (3, 4, 2) y (4, 5, 3) estn alineados.

g) Determinar si la recta {

se intersecta con algunos de los ejes coordenados. En

caso afirmativo, dar las coordenadas de los puntos de interseccin.

pg. 33

Ejercicios Adicionales 1. Responder V (verdadero) o F (falso) segn corresponda. NO justificar la respuesta.

a) La recta de R2 cuya ecuacin es:

, tiene pendiente

b) El vector direccin de la recta

es (3, 2).

c) El vector ( ) y la recta

son perpendiculares.

d) El punto P(1 , 0 , 2) pertenece a la recta

.

e) La recta que pasa por los puntos P(1, 0, 2) y Q(3, 3, 2) puede tener como vector direccin (2, 3, 2)

f) Las rectas {

y

son perpendiculares

2. Completar con las respuestas correctas.

Dado el siguiente grfico:

La ecuacin vectorial paramtrica de la recta es:. y la ecuacin simtrica es:.

3.a) Marcar los puntos que pertenezcan a la recta {

(1, 1, 1) (1, 8, 10) (1, 5, 1) .

/

b) Marcar los puntos que NO pertenezcan a la recta

(0, 1, 6) (1, 2, 3) (4, 3, 4) (2, 1, 9)

4. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N.

a) El ngulo que forman las rectas

es

A) 135 B) 45 C) 90 D) 45

pg. 34

b) La ecuacin segmentaria de la recta representada en el grfico es:

)

)

)

)

c) La recta {

es paralela al vector:

A) A) (2 , 10 , 18). C) C) (2 , 10 , 18).

B) B) (2 , 10 , 18). D) D) (2 , 10, 18).

d) La recta que pasa por los puntos (1, 2, 4) y (5, 10, 15) satisface la ecuacin

) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

)

)

e) La recta que pasa por el punto (7, 3, 4) y es paralela al vector satisface la ecuacin

) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

)

)

f) La ecuacin vectorial ( ) ( ) ( ) describe

A) La recta que pasa por ( ) y es paralela a

B) La recta que pasa por ( ) y es paralela a

C) La recta que pasa por ( ) y es perpendicular a

D) La recta que pasa por ( ) y es paralela a

algebra mod 1 2015 b

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