ALGEBRA LINEAL

UNIDAD 1

JOSÉ EFRAÍN TORRES MORENO - CODIGO 1.022’347.189

LIANA MARCELA ARIZA SUAREZ - CODIGO 1.101’177.077

NORMAN RODRIGO ABRIL ROBLES- CODIGO 80’112.368

KEVIN GIOVANNY GÓMEZ – CODIGO 1.033´747.634

PRESENTADO A:

VIVIAN YANETH ÁLVAREZ

GRUPO: 208046_39

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

SEPTIEMBRE 2015

INTRODUCCIÓN

Los cálculos matemáticos afianzan las capacidades de cada estudiante en la medida que cada uno

se acerque al conocimiento para dominarlo y llegar a aplicarlo en el ejercicio de las profesiones

que estamos decididos a ejercer como Ingenieros de alimentos, por ello en esta primera etapa nos

acercamos a poner en práctica las bases estudiadas en esta Unidad 1, comprendidas por los

vectores, matrices y determinantes que nos ofrece la Universidad Nacional Abierta y a Distancia

en el transcurso de este curso de Algebra Lineal (E-Learning).

1. Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores:

a. 𝑢⃗ = (-2.5)

b. 𝑣 = (-√5, -3)

a. 𝑢⃗ = (-2.5)

Triangulo de Pitágoras

𝑟 = √(−2)2 + (5)2

𝑟 = √42 + 252

𝑟 = √29

𝑟 = 5,385

Función trigonométrica

𝑡𝑎𝑛 ∝ = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢⃗𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 =

5

−2

𝑡𝑎𝑛 ∝ = 5

−2= −2,5

∝ = 𝑡𝑎𝑛−1(−2,5)

𝑡𝑎𝑛 ∝ = −68,1°

b. 𝑣 = (-√5, -3)

Triangulo de Pitágoras

𝒓 = √(−√5)2 + (−3)2

𝑟 = √−52 + 92

𝑟 = √42

𝑟 = 2

Función Trigonométrica

𝑡𝑎𝑛 ∝ = −3

−√5=

−3

−2,236= −0,764

∝ = 𝑡𝑎𝑛−1(−0,764)

𝑡𝑎𝑛 ∝ = −37,37°

1.2 Dados los vectores 𝑢⃗ = (-1,3), 𝑤⃗ = ( -2,-3) y 𝑧⃗⃗ = (4,1), realice:

a. 2𝑢⃗ - 3𝑤⃗

b. -2𝑢⃗ + 4𝑤⃗ - 𝑧⃗⃗

a.

2u⃗ − 3w⃗⃗⃗

2(−1,3) − 3(−2,−3)

(−2,6) − (6,9)

(−8,3)

b.

−2u + 4w − z

−2(−1,3) + 4(−2,−3) − (4,1)

(2, −6) + (−8,−12) − (4,1)

(−10, −17)

2. Dados los vectores v = i – j +4k y w= -2i - j-4k, encuentre:

a. El ángulo entre v y w

b. El producto escalar entre v y w

c. El producto vectorial entre v y w

θ = cos−1 (a

|a|∗

b

|b|)

(Magnitud de cada vector)

|V| = √(1)2 + (−1)2 + (4)2

|V| = √18

|W| = √(1)2 + (−1)2 + (4)2

|W| = √21

θ = cos−1 (−2 + 1 − 16

(√18)(√21))

θ = cos−1 (−17

√378)

θ = 150.97° Angulo entre V y W

B.El producto escalar entre V y W

V ∗ W = (1, −1,4)(−2,−1,−4)

V ∗ W = (−2,1, −16)

V ∗ W = −17 Producto escalar

C.El producto vectorial entre V Y W

V ∗ W = (i j k1 −1 4

−2 −1 −4)

V ∗ W = |−1 4−1 −4

| − |1 4

−2 −4| + |

1 −1−2 −1

|

V ∗ W = [(−1)(−4) − (−1)(4)] − [(1)(−4) − (−2)(4)] + [(1)(−1) − (−2)(−1)]

V ∗ W = (8 − 4 − 3) Producto vectorial

3) Dadas las matrices:

𝑨 = (𝟐 𝟑 −𝟕

−𝟏 𝟓 𝟒𝟒 𝟎 𝟒

) 𝑩 = (

−𝟐 𝟎 𝟒𝟓

𝟑𝟏 𝟐

𝟓 −𝟏 𝟗

) 𝑪 = (

𝟕 −𝟒 −𝟒

𝟓 𝟏𝟏

𝟐

𝟖 𝟔 𝟑

)

Hallar

a. A+B+C

(

2 + (−2) + 7 3 + 0 + (−4) −7 + 4 + (−4)

−1 +5

3+ 5 5 + 1 + 1 4 + 2 +

1

24 + 5 + 8 0 + (−1) + 6 4 + 9 + 3

)

(

2 − 2 + 7 3 + 0 − 4 −7 + 4 − 4

−1 +5

3+ 5 5 + 1 + 1 4 + 2 +

1

24 + 5 + 8 0 − 1 + 6 4 + 9 + 3

)

Rta/ (

𝟕 −𝟏 −𝟕𝟏𝟕

𝟑𝟕

𝟏𝟑

𝟐

𝟏𝟕 𝟓 𝟏𝟔

)

b. A-3B-2C

(2 3 −7

−1 5 44 0 4

) − (

3(−2) 3(0) 3(4)

3 (5

3) 3(1) 3(2)

3(5) 3(−1) 3(9)

) − (

2(7) 2(−4) 2(−4)

2(5) 2(1) 2 (1

2)

2(8) 2(6) 2(3)

)

(2 3 −7

−1 5 44 0 4

) − (−6 0 125 3 615 −3 27

) − (14 −8 −810 2 116 12 6

)

(2 − (−6) − 14 3 − 0 − (−8) −7 − 12 − (−8)−1 − 5 − 10 5 − 3 − 2 4 − 6 − 14 − 15 − 16 0 − (−3) − 12 4 − 27 − 6

)

(2 + 6 − 14 3 − 0 + 8 −7 − 12 + 8

−1 − 5 − 10 5 − 3 − 2 4 − 6 − 14 − 15 − 16 0 + 3 − 12 4 − 27 − 6

)

Rta/ (−𝟔 𝟏𝟏 −𝟏𝟏−𝟏𝟔 𝟎 −𝟑−𝟐𝟕 −𝟗 −𝟐𝟗

)

c. A x C

(

2 ∗ 7 + 3 ∗ 5 + (−7) ∗ 8 2 ∗ (−4) + 3 ∗ 1 + (−7) ∗ 6 2 ∗ (−4) + 3 ∗1

2+ (−7) ∗ 3

(−1) ∗ 7 + 5 ∗ 5 + 4 ∗ 8 (−1) ∗ (−4) + 5 ∗ 1 + 4 ∗ 6 (−1) ∗ (−4) + 5 ∗1

2+ 4 ∗ 3

4 ∗ 7 + 0 ∗ 5 + 4 ∗ 8 4 ∗ (−4) + 0 ∗ 1 + 4 ∗ 6 4 ∗ (−4) + 0 ∗1

2+ 4 ∗ 3 )

(

14 + 15 + (−56) (−8) + 3 + (−42) (−8) +3

2+ (−21)

(−7) + 25 + 32 4 + 5 + 24 4 +5

2+ 12

28 + 0 + 32 (−16) + 0 + 24 (−16) + 0 + 12 )

(

14 + 15 − 56 (−8) + 3 − 42 (−8) +3

2− 21

(−7) + 25 + 32 4 + 5 + 24 4 +5

2+ 12

28 + 0 + 32 (−16) + 0 + 24 (−16) + 0 + 12)

Rta/ (

−𝟐𝟕 −𝟒𝟕 −𝟓𝟓

𝟐

𝟓𝟎 𝟑𝟑𝟑𝟕

𝟐

𝟔𝟎 𝟖 −𝟒

)

4 Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleado para ello primer Gauss Jordan y

luego empleando determinantes aplicando la fórmula:

𝑨−𝟏 =𝟏

𝑫𝒆𝒕𝑨∗ 𝑨𝒅𝒋𝑨

(2 3 −7

−1 5 44 0 4

⋮ 1 0 00 1 00 0 1

)

𝑓1 ↔𝑓12

(1 3 2⁄ −7 2⁄

−1 5 44 0 4

⋮ 1 2⁄ 0 00 1 00 0 1

)

𝑓2 ↔ 1𝑓1 − 𝑓2

𝑓3 ↔ −4𝑓1 − 𝑓3

(1 3 2⁄ −7 2⁄

0 −7 2⁄ −15 2⁄0 −6 10

⋮ 1 2⁄ 0 01 2⁄ 1 0−2 0 1

)

𝑓2 ↔𝑓2

−7 2⁄

(1 3 2⁄ −7 2⁄

0 1 15 2⁄0 −6 10

⋮ 1 2⁄ 0 0

−1 7⁄ −2 7⁄ 0−2 0 1

)

𝑓1 ↔ −32⁄ − 𝑓1

𝑓3 ↔ 6𝑓2 − 𝑓3

(1 0 −31 4⁄

0 1 15 2⁄0 0 35

⋮ −2 7⁄ 0 0−1 7⁄ −2 7⁄ 0−20 7⁄ −12 7⁄ 1

)

𝑓3 ↔35

𝑓3

(1 0 −31 4⁄

0 1 15 2⁄0 0 1

⋮ −2 7⁄ 0 0−1 7⁄ −2 7⁄ 0−49 4⁄ −245 12⁄ 35

)

𝑓1 ↔ 31 4⁄ 𝑓3 − 𝑓1

𝑓2 ↔ 15 2𝑓3 − 𝑓2⁄

(1 0 00 1 00 0 1

⋮ −10601 112⁄ −7595 48⁄ 1085 4⁄

5137 56⁄ 8559 56⁄ −525 2⁄

−49 4⁄ −245 12⁄ 35)

5 Calcule los siguientes determinantes (Sugerencia: emplee algunas propiedades para

intentar transformarla en una matriz triangular)

𝐴 = [−12 9 104 6 50 2 1

]

𝐹1 ↔−12

𝐹1

[1 −3 12⁄ −10 12⁄4 6 50 2 1

]

𝐹2 ↔ −4𝐹1 + 𝐹2

[1 −3 12⁄ −10 12⁄

0 7 21 5⁄0 2 1

]

𝐹2 ↔7

𝐹1

[1 −3 12⁄ −10 12⁄

0 1 21 5⁄0 2 1

]

𝐹3 ↔ −2𝐹2 + 𝐹3

[𝟏 −𝟑 𝟏𝟐⁄ −𝟏𝟎 𝟏𝟐⁄

𝟎 𝟏 𝟐𝟏 𝟓⁄

𝟎 𝟎 −𝟑𝟕 𝟓⁄]

Matriz Triangular superior

𝐵 = [

−2 01 2

0 7

−1 05 04 2

−1 53 2

]

𝐹4 ↔𝐹4

2

[

−2 01 2

0 7

−1 05 02 1

−1 53 2⁄ 1

]

𝐹2 ↔ −7𝐹4 + 𝐹1

𝐹3 ↔ −5𝐹4 + 𝐹1

[

−16 −71 2

−21 2⁄ 0−1 0

−5 −52 1

−15 2⁄ 03 2⁄ 1

]

𝐹3 ↔𝐹3

−15 2⁄

[

−16 −71 2

−21 2⁄ 0−1 0

2 3⁄ 2 3⁄2 1

1 0

3 2⁄ 1

]

𝐹1 ↔ 21 2𝐹3 + 𝐹1 ⁄

𝐹2 ↔ 1𝐹3 + 𝐹2

[

−𝟗 𝟎𝟓 𝟑⁄ 𝟖 𝟑⁄

𝟎 𝟎𝟎 𝟎

𝟐 𝟑⁄ 𝟐 𝟑⁄𝟐 𝟏

𝟏 𝟎

𝟑 𝟐⁄ 𝟏

]

Matriz Triangular Inferior

𝐶 =

[ 8 −1 03 1 −12 2 −2

4 12 05 1

0 0 43 2 6

−1 6−1 1

]

𝐹1 ↔8

𝐹1

[ 8 −1 03 1 −12 2 −2

4 12 05 1

0 0 43 2 6

−1 6−1 1

]

𝐹2 ↔ −3𝐹1 + 𝐹2

𝐹3 ↔ −2𝐹1 + 𝐹3

𝐹5 ↔ −3𝐹1 + 𝐹5

[ 1 −1 8⁄ 00 11 8⁄ −10 9 4⁄ −2

2 1 8⁄

−4 −3 8⁄

1 3 4⁄0 0 40 19 8⁄ 6

−1 6−7 5 8⁄

]

𝐹2 ↔𝐹2

11 8⁄

[ 1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄

0 9 4⁄ −2

2 1 8⁄

−32 11⁄ −3 11⁄

1 3 4⁄0 0 40 19 8⁄ 6

−1 6−7 5 8⁄

]

𝐹3 ↔ −9 4⁄ 𝐹2 + 𝐹3

𝐹5 ↔ −19 8𝐹2⁄ + 𝐹5

[

1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄

0 0 −4 11⁄

2 1 8⁄

−32 11⁄ −3 11⁄

83 11⁄ 15 11⁄0 0 40 0 85 11⁄

−1 61 8⁄ 14 11⁄

]

𝐹3 ↔𝐹3

4 11⁄

[

1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄0 0 1

2 1 8⁄

−32 11⁄ −3 11⁄

−332 11⁄ −15 4⁄0 0 4 0 0 85 11⁄

−1 61 8⁄ 14 11⁄

]

𝐹4 ↔ −4𝐹3 + 𝐹4

𝐹5 ↔ −85 11⁄ + 𝐹5

[

1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄0 0 1

2 1 8⁄

−32 11⁄ −3 11⁄

−332 11⁄ −15 4⁄

0 0 0 0 0 0

−1449 121⁄ 21

1195 532⁄ 121 4⁄ ]

𝐹4 ↔−1449 121⁄

𝐹4

[

1 −1 8⁄ 00 1 −8 11⁄0 0 1

2 1 8⁄

−32 11⁄ −3 11⁄

−332 11⁄ −15 4⁄

0 0 0 0 0 0

1 −69 121⁄

1195 532⁄ 121 4⁄ ]

𝐹5 ↔ −1195 532𝐹4 + 𝐹5⁄

[ 𝟏 −𝟏 𝟖⁄ 𝟎𝟎 𝟏 −𝟖 𝟏𝟏⁄𝟎 𝟎 𝟏

𝟐 𝟏 𝟖⁄

−𝟑𝟐 𝟏𝟏⁄ −𝟑 𝟏𝟏⁄

−𝟑𝟑𝟐 𝟏𝟏⁄ −𝟏𝟓 𝟒⁄

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟏 −𝟔𝟗 𝟏𝟐𝟏⁄

𝟎 𝟒𝟏 𝟏𝟑⁄ ]

Matriz triangular Superior

CONCLUSIONES

Mediante el desarrollo de los ejercicios se logró poner en práctica las propiedades

existentes y los conceptos estudiados para el desarrollo de los cálculos como suma, resta

y multiplicación entre determinantes

De igual manera la realización de actividades de vectores y sus graficas mediante el uso

del programa geogebra

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Vicerrectoria Académica y de Investigación (2015). Guía integrada de actividades

académicas, curso Algebra lineal (E-learning). Universidad Nacional Abierta y a

Distancia.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (2015) Campus virtual, Recuperado el 15 de

Septiembre de 2015, en

http://66.165.175.209/campus17_20152/mod/lesson/view.php?id=775