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Universidad de Ciencias de la Informática.Escuela de Ingeniería.Carrera de Ingeniería de Ejecución en Informática.

Algebra II

Miguel Angel Muñoz Jara.

Universidad de Ciencias de la Informática.Escuela de Ingeniería.Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.

Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. Curso: Algebra II.

Contenidos

1 Matrices.

1.1 Definiciones. 1

1.2 Matrices Especiales. 3

1.3 Operaciones entre Matrices. 4

1.4 Matrices Complejas. 9

1.5 Matrices Invertibles. 19

1.6 Sistemas de Ecuaciones. 25

2 Determinantes.

2.1 Definiciones. 39

2.2 Calculo de Inversas vía Determinantes. 42

3 Espacios Vectoriales.

3.1 Definiciones Básicas. 50

3.2 Independencia Lineal y Bases. 52

3.3 Matriz Cambio de Base. 59

3.4 Vectores en el Espacio. 62

4 Transformaciones Lineales.

4.1 Definiciones Básicas 73

4.2 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal. 76

4.3 Matriz Asociada a una Transformación Lineal. 78

Universidad de Ciencias de la Informática.Escuela de Ingeniería.Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.

Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. Curso: Algebra II.

5 Material de Apoyo.

5.1 Solemnes y Pautas Año 2001. 88

5.2 Solemnes Segundo Semestre Año 2000. 115

Universidad de Ciencias de la Informatica.Escuelas de Ingeniería.Carrera de Ingeniería de Ejecución en Computación.

Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. - 1 - Curso: Algebra II.

1. Matrices

1.1. Definiciones.

Definición 01: una matriz sobre el cuerpo de los números reales es unordenamiento rectangular de números denotado por:

=

amnaa

aa

aaa

A

mm

n

................

.

.

.

.

.

.

.

.

.................

................

21

2221

11211

donde njmiIRa ij ,....,2,1,...,2,1, ==∈ .

La i - esima fila de A es ( )inii aaa ............21 con mi ≤≤1 . Mientras que laj - esima columna de A es:

mj

j

j

a

a

a

.

.

.2

1

con nj ≤≤1 .

si una matriz A posee m filas y n columnas, diremos que A es una matriz deorden m por n )( nm × . Si nm = , se dice que la matriz A es una matriz cuadrada

de orden n y que los elementos nnaaa ,....., 2211 forman la diagonal principal de A .

Y nos referimos a los elementos ija como las entrada ),( ji de la matriz A con lo

cual podemos escribir:

A )( ijnm aA == × .

El conjunto )(KM nm× denota el conjunto de todas las matrices de orden nm × sobre

el cuerpo K( IR= o C) . si nm = )(KM n denota el conjunto de las matrices

cuadradas de orden n sobre el cuerpo K .



Definición 02: dos matrices nmA × Y qpB × son iguales si y solamente si qnpm == ,

y njmiba ijij ,...,2,1;,...,2,1, =∀=∀= .

Ejemplo 01: observe que en cada caso los pares de matrices dados sondiferentes:

a)

−

≠

−

12

31

00

12

31

, ya que los ordenes son diferentes, mientras la primera

matriz posee orden 3x2 la segunda matriz posee orden 2x2.

b) BA =

−≠

−=

432

010

432

011, ya que los elementos 11a Y 11b son

diferentes.

Ejemplo 02: determine cba ,, y d si existen de manera que en cada caso las

igualdades sean validas.

a)

+

−−=

−+21

13

2

122

ab

aa, en )(2 IRM .

b)

=

+

+−16

23

12

12 c

dc

dcc, en )(2 IRM .

c)

+=

++

−++db

ca

cba

baa

2

21

2

12 22

, en )(2 IRM .

Solución:

a) ab

aa

ab

aa

ab

aa

+=−=+⇒

=+=−=−−=+

⇒

+

−−=

−+1)2(

32)1(

22

1

11

32

21

13

2

12 2

2

2

.

De la ecuación (1) vemos que una solución es 21 ia +−= , con lo cual ∈ba, Casí la igualdad no es posible en )(2 IRM .



b) si

12)3(

2)2(

31)1(

16

23

12

12

2

=+==+−

⇒

=

+

+−

dc

cd

ccc

dc

dcc

de (2) y (3) obtenemos que 65=c , pero este valor no satisface la ecuación (1).

Con lo cual deducimos que no existen cba ,, y d números reales para que la

igualdad sea valida.

c)

( ) 221021

24

21)3(

)2(

12)1(

2

21

2

12

22

22

=

−==

=

⇒

==−=++

+=++

⇒

+=

++

−++

d

c

b

a

d

c

bcba

abaa

db

ca

cba

baa.

1.2. Matrices Especiales.

Definición 03: definimos la matriz nula o matriz cero por la matriz que posee todassus entradas cero, la cual denotamos por 00 =×nm .

Ejemplo 03:

a) 2000

00=

. B) 430

0000

0000

0000

×=

.

Definición 04:(Matriz Diagonal) sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es una

matriz diagonal si y solo si 0=ija para ji ≠ .

Ejemplo 04:

a)

=

100

000

001

A b)

=

00

00B c)

=

4000

0300

0020

0001

C



Definición 05: llamamos matriz identidad o unitaria de orden n a la matrizdiagonal de orden n definida por

==

1......00.

.

.

.

.

.0......1

0......01

nII

Definición 06: (Matriz Triangular Superior e Inferior) Una matriz)()( IRMaA nij ∈= se denomina matriz Triangular Superior si jia ij >∀= ,0 ,

analogamente diremos que )()( IRMaA nij ∈= es una matriz Triangular Inferior si

jia ij <∀= ,0 .

Ejemplo 05:

a)

300

000

321

matriz triangular superior.

b)

0200

0000

0000

0001

matriz triangular inferior.

1.3. Operaciones entre Matrices.

Las operaciones entre matrices producen nuevas matrices a partir de las matricesdadas.

Definición 07:(Adición) sean )()(),( IRMbBaA mnijij ×∈== definimos la suma

entre A y B por:

( )ijijijijij bacbaBA +==+=+ )()()( .



Observe que la suma de matrices solo esta definida entre matrices de mismoorden.

Ejemplo 06: sean

−−

−=

−

=412

3211,

210

321BA entonces

−−

=

−−

−+

−

=+622

0232

412

3211

210

321BA .

Teorema 01: ( )+× )(IRM mn es un grupo abeliano, es decir la suma es asociativa,

conmutativa, existe elemento neutro y existe elemento inverso.

Definicion 08: sean )()( IRMaA mnij ×∈= y IRk ∈ definimos el producto de un

escalar k por la matriz A por:

)()( ijij kaakkA == .

Ejemplo 07:

−−−−

=

−

−420

642

210

321)2( .

Definición 09:(Multiplicación de Matrices) sean ( ) ( )IRMaA nmij ×∈= y

( ) ( )IRMbB pnij ×∈= definimos el producto de A y B por:

( ) ( ) ( )pmijpnijnmij cbaAB

×××==

donde

∑=

=n

kkjikij bac

1

pjmi ,...,2,1.,...,2,1 == .

Ejemplo 08: sean

−

−=

−=

12

34

52

,413

121BA entonces

−=

−

−⋅

−=

166

24

12

34

52

413

121AB .

Observación: el producto de matrices no es conmutativo.



Ejemplo 09: consideremos

=

=

000

001

000

,

000

001

001

BA entonces

=

=≠

=

=

000

001

000

000

001

001

000

001

000

000

000

000

000

001

000

000

001

001

BAAB .

Definición 10: si A es una matriz cuadrada de orden n y ∈k IN, definimos laspotencias de la matriz A por

1

0

−=

=

kk

n

AAA

IA

Ejemplo 10: sea

=

01

01A determine 3A

=

=

=

=

13

01

12

01

11

01

12

01

11

01

11

01

23

2

AAA

A

Definición 11: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Idempotente si AA =2 .

Definición 12: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Nilpotente si existe

∈k IN , tal que 0=kA .

Definición 13: sea )()( IRMaA nij ∈= diremos que A es Involutiva si nIA =2 .



Ejemplo 11: sean

−=

−=

=

10

11,

010

000

010

,00

01CBA observe que:

a)

=

00

01A es Idempotente.

b)

−=

010

000

010

B es Nilpotente de orden dos ya que 02 =A .

c)

−=

10

11C es Involutiva.

Definición 14:(Matriz Traspuesta) Sea )()( IRMaA nij ∈= , definimos la traspuesta

de A por tA ( ) ( )IRMb mnij ×∈= donde

jiij ab = .

Es decir la traspuesta de una matriz A se obtiene a partir de A intercambiandolas filas por las columnas de A .

Ejemplo 12:

−−

−=⇒

−−−

=

−

−=⇒

−

−=

1075

1150

231

1012

7153

501

104

63

51

1065

431

t

t

AB

AA

Teorema 01: sean ( )IRMBA nm×∈, y IRk ∈ entonces

a) ( ) AAtt = .

b) ( ) tt kAkA = .

c) ( ) ttt BABA +=+

d) ( ) ttt ABAB =



Definición 15:(Traza ) sea )()( IRMaA nij ∈= definimos la traza de A por

∑=

=n

iiiaATr

1

)( .

Teorema 02: sean ( )IRMBA n∈, y IRk ∈ entonces

a) )()( AkTrkATr = .

b) )()()( BTrATrBATr +=+ .

c) )()( BATrABTr = .

Definición 16:(Matriz Simétrica ) sea ( )IRMA n∈ diremos que A es Simétrica sitAA = .

Definición 17:(Matriz Antisimétrica) sea ( )IRMA n∈ diremos que A es

Antisimétrica si AAt −= .

Proposición 01: dada ( )IRMA n∈ existe una descomposición única de A como

la suma de una matriz simétrica con una matriz antisimétrica, tal descomposiciónes:

876876 icaantisimetr

t

simetrica

t AAAAA

22−++=

.Ejemplo 13:

AAA t =

−=⇒

−=

3363

662

321

3363

662

321

, entonces A es simétrica.

AAA t −=

−−−

=⇒

−−−=

063

602

320

063

602

320

, entonces A es antisimétrica.



Observación: note que si una matriz es antisimétrica los elementos de sudiagonal están obligados a ser ceros.

Definición 18: sea ( )IRMA n∈ diremos que A es ortogonal si IAAAA tt == .

Ejemplo 14: sea

−−

−

=

94

91

98

97

94

94

94

98

91

A es ortogonal.

Definición 19: sea ( )IRMA n∈ , diremos que A es Normal si AAAA tt = .

Observación: note que si ( )IRMA n∈ es simétrica, antisimétrica u ortogonal

entonces obviamente es normal. Sin embargo no todas las matrices normales sonde los tipos de matrices ya mencionados.

Ejemplo 20:

−=

63

36A es normal.

Teorema 03: sea ( )IRMA 2∈ una matriz normal entonces a es simétrica o bien lasuma de una matriz escalar y otra antisimétrica.

1.4. Matrices Complejas.

Denotaremos por (mnM × C ) al conjunto de matrices de orden mn × sobre el cuerpo

de los complejos.

Definición 20: sea ()( mnij MaA ×∈= C) definimos la conjugada de la matriz A por:

( )ijij aaA == )( .

Definición 21: sea ()( mnij MaA ×∈= C) definimos la traspuesta conjugada de A

por:

tij

H aA )(=



Ejemplo 21: sea

−++

=ii

iiA

16

132 entonces

+−

−−=

ii

iiAH

11

632.

Definición 22: diremos que una matriz (nMA∈ C) es:

a. Hermitica si y solo si AAH = .

b. Antihermitica si y solo si AAH −= .

Observe que si A es Hermitica entonces todos los elementos de su diagonaldeben ser reales. De forma similar si A es Antihermitica entonces los elementosde su diagonal deben ser complejos puros.

Proposición 02: dada (nMA∈ C ) existe una descomposición única de A como

la suma de una matriz Hermitica con una Antihermitica, tal descomposición es:

4847648476 icaantihermit

H

hermitica

H AAAAA

22−++=

Definición 23: diremos que una matriz (nMA∈ C) es Unitaria si IAAH = .

Ejemplo 22:determine en cada caso si la afirmacion dada es valida.

a)

+−+++−−

=011

11

11

21

ii

ii

ii

A es Unitaria .

b)

−−−++−

=2274

2421

74213

ii

iii

ii

B es Hermitica.

Solución: a) solo basta ver que IAAH = .

=

−−−−−−−

+−+++−−

=100

010

001

011

11

11

011

11

11

41

ii

ii

ii

ii

ii

ii

AAH

b) falso ya que el elemento IRb ∉22 , por lo cual B no puede ser hermitica.



Ejercicios.

1. Dadas las siguientes matrices:

−

−=

=

−−−

=

−=

−

−=

415

653

122

43

12

312

765

422

18

23

10

403

212

ED

CBA

calcular si es posible:

( ) ( )tt ECAEACECAABDDADABBAABDCBCE ++++++ ,,,,,,,,, 2

2. Resolver la ecuación matricial para ( )IRMX 2∈ ; 22 BAAX t +=+ , donde:

=

=

21

13;

01

12BA .

3. Determine la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, que

conmutan, respecto al producto, con la matriz A =−−

2 13 1

.

4. Si

=

012

220

112

A y B =−−−

1 1 1

2 2 0

1 0 1

, determine la matriz ( )IRMX 3∈ en la

siguiente ecuación matricial: [ ]AX B A Xt t t− = + .

5. Encuentre la matriz X, de orden 3, tal que ( )X A B− −+ =1 1 , si se sabe que

−−−

−−=

010

101

011

A y B =

1 1 1

1 1 0

1 0 0

.



6. Si A =

1 1

1 2

1 1

, demuestre que tt AAAAI 13 )( −− es idempotente y encuentre su

rango.

7. Resuelva la siguiente ecuación matricial, de acuerdo a los diversos valores dela constante a:

Xa

a

a

a a⋅

=

1

1

1 (donde X es una matriz cuadrada de orden 2).

8. Se define la matriz A a M IRij= ∈( ) ( )4 , donde

≠=

=ji

ji

si

sia ij 1

0 . Sea

A bij2 = ( ) y c a bi ij

jij

j

= += =

∑ ∑1

4

1

4

. Calcule 3 42 3c c− .

9. Sea A aij= ×( )4 4 , tal que aij = 1, ∀i j, . Encuentre el único valor del número real

x, que cumple con la igualdad: ( )I A I xA41

4− = +− .

10. Suponga que A aij= ×( )3 3 , donde a

si i j

si i j

b si i jij

i j

=>=<

+ −

0

1

2

,

,

,

, y N A I= − 3 .

Demuestre que N 3 0= y que A I N N I⋅ − + =( )32

3 .

11. Si B bij= ×( )3 3 , donde bsi

si

i j

i jij =≠=

1

0

,

, . Determine todos los valores

reales de p y de q, sabiendo que A pI qB= +3 y A I23= .

12. Si A =

1 0 0

1 0 1

0 1 0

, demuestre que A nA n In2 231= − −( ) ; ∀ ∈n IN . Calcule A30 .



13. Utilice el principio de inducción matemática para demostrar que:cos sen

sen cos

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

x x

x x

nx nx

nx nx

n

−

=−

; ∀ ∈n IN .

14. En cada caso, encuentre matrices particulares que cumplan la condición dada(justifique la no - existencia cuando corresponda):

a) A I22 0+ = b) AB BA I− = 2 c) A I2

3 0+ =

15. Demuestre que, en general, para dos matrices A, B cuadradas del mismoorden, se tiene que: ( )( )A B A B A B− + ≠ −2 2 .

16. Demuestre que ( )A B A B AB+ = + +4 14 , si A y B son matrices cuadradas deorden n, idempotentes y que conmutan.

17. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, tales que A B In+ = y

AB O= . Demuestre que A y B son idempotentes.

18. Suponga que A y B son dos matrices cuadradas de orden n, invertibles y talesque A + B también es invertible. Resuelva el siguiente sistema de ecuacionesmatriciales, con X e Y son matrices cuadradas de orden n:

AX BX AYB A B I O

AX BX AYB I A B O

+ + − − − =

+ − − + + =

2 2

2 23 3 2 3 2 2

19. Si A, B y C son matrices tales que AC CA= y BC CB= , demuestre que( ) ( )AB BA C C AB BA± = ± .

20. Dada la matriz

=

111

111

111

A deduzca una formula para nA .

21. Si

−=

−=

−=

=

=

123

410

542

;52

23;

312

514

313

;

23

12

01

;412

321EDCBA

a. Calcular si es posible: C+E; AB; 2C-3E; CB+D; AB+DD.

b. Si es posible calcular: ABD; A(C+E); CB+D+E; 23A+2A.

c. Calcule : B t A t ; (C+E) t ; C t +E t .



22. Si [ ]33×

= ijaA y [ ]33×

= ijbB tal que:

−−

−=

≥−

<+=

imparesjisii

paresjisib

jisiji

jisijia ijij

)(3

)(2

2

Determine: A-B; A+B; AB-2A.

23. Determinar IRwzyx ∈,,, tales que

+

++

−

=

3

4

21

63

wz

yx

w

x

wz

yx.

24. Demostrar que tAA y AAt están definidas para cualquier matriz A .

25. Demostrar las siguientes afirmaciones suponiendo que AB esta definida.

a. Si A posee una fila nula, entonces AB también.

b. Si B posee una columna nula, entonces AB también.

26. Sea

=

63

21A determinar una matriz B de orden 32× con entradas distintas

tales que 0=AB .

27. Sea

−

=34

21A determine )(Af donde 542)( 3 +−= xxxf .

28. Sea

−

=34

31A . Determinar una matriz de orden 12× no nula, B , tal que

BAB 3= .

29. Sea

−−−

=5125

152

321

A , determinar todas las matrices columnas u tales que

0=Au .



30. Determinar todas las matrices de orden dos

=

tz

yxM que conmutan con

10

11.

31. Determine si existe una matriz triangular superior A de orden tres tal que

−−=

6202

332613

456333A .

32. ¿ Existen matrices que sean a la vez triangular superior y triangular inferior?

33. Determinar ℜ∈tsyx ,,, , si existen, de tal modo que

=

tss

y

x

A31

32

32

32

sea

ortogonal.

34. Demuestre que si

=

dc

baA es ortogonal entonces 122 =+ ba .

35. Demostrar por inducción que:

( )

−

=

= −

−−

n

nn

nnnn

n

p

npp

pnn

npp

p

p

p

A

00

02

1

00

10

011

21

.

36. Si INnna ∈= ,tgα , demuestre:

( ) ( )( ) ( )

−

=

+=

− αααα

nn

nn

na

na

na n

n

cossen

sencos1

1

1 22

.

37. Calcular:

−

=+++=11

01,....2 AAAAS n

n donde .



38. Determinar todas las matrices de orden dos que conmuten con

−20

11.

39. Determine ( )IRMBA 2, ∈ distintas tales que 0=AB .

40. Considere BkIA n λ+= , donde ( )IRMB n∈ es tal que todos sus elementos son

1 salvo los elementos de su diagonal los cuales son nulos.

a. Determine λ,k de manera que nIA =2 .

b. Determine todas las matrices de orden tres que satisfacen a.

41. Resolver el sistema matricial para ( )IRMYX 2, ∈

( ) INnBYAX

BAYXAtntt

nt

∈=+

=− 24

donde

−

=

−−

=01

10,

23

23BA .

42. Sea ( )IRMA n∈ una matriz antisimétrica. Probar que si A es no singular,

entonces n debe ser par.

43. Sean A, B [ ]IRM n∈ y c IR∈ demuestre que:

a. Tr(cA)=cTr(A).

b. Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B).

c. Tr(AB)=Tr(BA).

44. Demuestre que no existen dos matrices de orden dos tales que AB – BA = I 2 .

45. Encuentre tres matrices de orden dos tales que AB = AC con B ≠ C y A ≠ 0.

46. Sea A una matriz de orden n x m y c IR∈ demuestre que si cA=0 entonces0 c = o A=0.

47. Sean A, B, C [ ]IRM n∈ demuestre que A (B + C) = AB+ BC .



48. Sea A [ ]IRM n∈ . Diremos que A es Idempotente si y solo si A 2 = A. Diremos

que A es Nilpotente si y solo si existe Np ∈ tal que A p = 0. Muestre que:

a.

−−−

−−=

321

431

422

A es Idempotente.

b.

−−−=

312

625

311

B es Nilpotente.

49. Sea A [ ]IRM n∈ Nilpotente de orden 2 demuestre que para todo INp ∈ se tiene

que AAIA pn =± )( .

50. Sean A, B [ ]IRM n∈ demuestre que si AB=A y BA=B entonces las matrices A y B

son idempotentes.

51. Demuestre que si A, B [ ]IRM n∈ son triangulares superiores(inferiores)

entonces AB es triangular superior(inferior).

52. Deducir una formula para hallar el producto BA de una matriz B de orden mn ×por una matriz A de orden m diagonal.

53. Si A=

−

121

211

312

demuestre que 092 23 =−− AAA pero que 0923 ≠−− IAA .

54. Demuestre por inducción que para todo n natural se tiene que

=

−

n

nnn

x

nxxx

x

00

1 1

55. Demuestre que si A [ ]IRM n∈ es simétrica entonces: A t A; AA t y A 2 son

simétricas.

56. Demuestre que si AB = A y BA = B entonces se verifica que:

a. B t A t =A t y A t B t =B t .

b. A t y B t son idempotentes.



57. Diremos que una matriz A de orden n es Involutiva si A 2 = I. Demuestre quesi A es Involutiva entonces las matrices ½ ( I + A ) y ½ ( I – A ) son idempotentesy que:

( I + A )( I – A )=0.

58. Sea ( )IRMA nm×∈ , demuestre que los elementos de la diagonal de AAt son

elementos positivos.

59. Pruebe que lo elementos de la diagonal de una matriz Hermitiana son reales,mientras que de una matriz Antihermitiana son imaginarios puros.

60. Pruebe que si A es simétrica, entonces APP t es simétrica para toda eleccióncompatible de P.

61. ¿Qué puede concluir si una matriz es triangular y simétrica?

62. Si ( )KMA n∈ es triangular estricta pruebe que es nilpotente, esto es que

INk ∈∃ tal que 0=kA

63. Pruebe que para cada ( )KMA n∈ se tiene que: mTDTA ++= 1 , en forma

única, donde 1T es triangular inferior estricta, D es diagonal, y mT es triangular

superior estricta.



1.5. Matrices Invertibles.

Definición 24: sea ( )IRMA n∈ , diremos que A es invertible si B∃ ( )IRM n∈ tal

que nIBAAB == y diremos que B es la inversa de A y denotaremos 1−= AB .

Propiedades: sean ( )IRMBA n∈, matrices invertibles entonces:

a) ( ) AA =−− 11 .

b) ( ) 111 −−− = ABAB .

c) ( ) ( )tt AA 11 −− =

Observación: sea ( )IRMA 2∈ una matriz invertible, tal que

=

dc

baA entonces

es fácil comprobar que A es invertible si y solo si 0≠− bcad y su inversa es:

−

−−

=−

ac

bd

bcadA

11 .

Observación: si una matriz A es invertible, esta es llamada habitualmente matrizRegular o No Singular.

En lo que sigue de esta sección trataremos de proporcionar las herramientasnecesarias para poder determinar cuando una matriz es invertible y si lo es poderdeterminar su inversa, ya que para matrices de orden 2>n no es tan fácil deduciruna formula para la inversa.

Definición 25: sea ( )IRMA n∈ . Llamaremos operaciones elementales por filas

sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A .

a) Denotamos por ijF al intercambio de la fila i con la fila j.

b) Denotamos por )(rFi al reemplazo de la fila i por r veces la fila i, 0≠r .

c) Denotamos por )(rFij al reemplazo de la fila i por la suma de la fila i mas rveces la fila j, ji ≠ .



Análogamente podemos definir las operaciones elementales por columnas.

d) Denotamos por ijC al intercambio de la columna i con la columna j.

e) Denotamos por )(rCi al reemplazo de la columna i por r veces la columna i,0≠r .

f) Denotamos por )(rCij al reemplazo de la columna i por la suma de la columna

i mas r veces la columna j, ji ≠ .

Notación: si ( )IRMBA n∈, y B se obtiene a partir de A efectuando sobre esta la

operación elemental E ,entonces denotaremos

BAE

→ .

Ejemplo 23: sea

−

−−−=

1052

7340

2121

A entonces vemos que:

−−

−−→

−−

−−→

−−

5290

7346

2121

;

1052

7346

2121)2()2( 3113 FC

AA

observe que a partir de la matriz identidad podemos formar las siguientesmatrices.

)2('

1000

0102

0010

0001

1000

0100

0010

0001

13

)2(13

−=

−→

−

EC



)2(

102

010

001

100

010

001

31

)2(31

−=

−→

−

EF

Definición 26: Una matriz elemental de orden n es la matriz identidad de orden nluego de efectuarle una operación elemental y la denotaremos por:

)('),(','

)(),(,

)()(

)()(

rEIrEIEI

rEIrEIEI

i

rC

nij

rC

nij

C

n

i

rF

nij

rF

nij

F

n

iijij

iijij

→→→

→→→

.

Proposición 03: Sean ( )IRMBA nm×∈, tales que podemos obtener la matriz B vía

operaciones elementales sobre al matriz A , ya sean operaciones filas o columnas.Si enumeramos las operaciones por orden de ejecución y distinguimos lasoperaciones filas de las operaciones columnas, entonces existen matriceselementales filas tEEE ,......,, 21 de orden n y existen matrices elementales

columnas sEEE ',......,',' 21 de orden m tal que

BEEEEAEEEE sstt =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −− 121121 ''

Proposición 04: toda matriz elemental es regular, es decir es invertible. Además:

a) ( ) ijij EE =−1 .

b) ( ) )()( 11 −− = rErE ii .

c) ( ) )()( 1 kEkE ijij −=− .

Definición 27: sean ( )IRMBA nm×∈, entonces:

a) Diremos que A es Equivalente por Filas a B si y solo si B se obtiene por unnumero finito de operaciones elementales filas sobre A . En tal caso

anotaremos BAF

→ .



b) Diremos que A es Equivalente por Columnas a B si y solo si B se obtienepor un numero finito de operaciones elementales columnas sobre A . En tal

caso anotaremos BAC

→ .

c) Diremos que A es Equivalente a B si y solo si B se obtiene por un número

finito de operaciones elementales sobre A . En tal caso anotaremos BA→ .

Observación: A es equivalente por filas a B implica que existe una matriz regularP tal que BPA = .

Análogamente A es equivalente por columnas a B implica que existe una matrizregular C tal que BAC = .

Por ultimo si A es equivalente a B implica que existen una matrices regulares P ,Q tal que BPAQ = .

Teorema 01: sea ( )IRMA n∈ entonces:

a) Si A es equivalente por filas a la matriz identidad, entonces A es producto dematrices elementales.

b) Si A es equivalente por columnas a la matriz identidad, entonces A esproducto de matrices elementales.

c) Si A es producto de matrices elementales entonces A es regular.

d) Si A es regular entonces A es producto de matrices elementales.

Proposición 05: sean ( )IRMBA n∈, entonces se tiene que:

a) Si A es singular y BAF

→ , entonces B es singular.

b) Si A es singular y BAC

→ , entonces B es singular.

c) Si A es singular y BA→ , entonces B es singular.

Proposición 06: si ( )IRMA n∈ posee una fila o columna nula entonces A es

singular.



Ejemplo 24: las siguientes matrices son singulares.

a)

000

000

001

. b)

−

091

012

021

.

Ejemplo 25: usando operaciones elementales determine la inversa, si existe, de la

matriz

=

210

101

621

A .

Solución: consideremos la siguiente matriz

( )

=

100

010

001

210

101

621

| 3IA

y realicemos operaciones elementales tratando de obtener en el lado izquierdo lamatriz identidad vía operaciones elementales por filas.

( )

−−−−

→−−

−−→

−−

→

=

211

522

221

100

010

001

)1(

)2(

211

100

010

100

210

101

)2(

)1(

001

100

010

621

210

101

100

010

001

210

101

621

|

13

23

32

31

23

123

F

F

F

F

F

FIA

Así vemos que A es regular y que su inversa es

−−−−

=−

211

522221

1A .



Definición 28: sea ( )IRME nm×∈ diremos que E es una matriz escalonada

reducida por filas si y solo si:

a) El primer elemento no nulo de cada fila no nula es igual a 1 y la columna enque aparece es columna de la matriz identidad mI (los demás elementos de la

columna son ceros..

b) Las filas nulas si las hay están bajo las filas no nulas.

c) Si los unos, con que comienza cada fila no nula están en las posiciones),(),.....,,2(),,1( 21 rcrcc entonces rccc <<< ......21

Ejemplo 26: las siguientes matrices son escalonadas por filas.

a)

=

000

100

021

A en este caso tenemos 31 21 =<= cc .

b)

=

0000

0100

0010

A es este caso tenemos 32 21 =<= cc .

c)

−=

1000

1100

0010

A es este caso A no es escalonada.

Teorema 02: si ( )IRMA nm×∈ entonces existe una única matriz escalonada

reducida por filas ( )IRME nm×∈ tal que EAF

→ . Denotaremos )(AEE = .

Definición 29: si ( )IRMA nm×∈ definimos el rango de A por el numero de filas nonulas de la matriz )(AE , que denotaremos por )(Aρ .

Teorema 03: sea ( )IRMA n∈ entonces A es regular si y solo si nA =)(ρ .



1.6. sistemas de ecuaciones.

En esta sección resolveremos sistemas de ecuaciones con las herramientasexpuestas en las secciones anteriores.

Consideremos el siguiente sistema:

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

=

==

+++

++++++

.

.

.

.

.........

.

.

.........

........

2

1

2211

2222121

1212111

(1)

observe que (1) es equivalente al sistema matricial

bAX = (2)

donde ( )IRMaA nmij ×∈= )( , ( )IRM

x

x

X n

n

1

1

.

.

.

×∈

= y ( )IRM

b

b

b m

m

1

1

.

.

.

×∈

= .

La matriz ( )IRMaA nmij ×∈= )( se denomina matriz asociada al sistema.

Definición 30: diremos que ( )IRM

t

t

X n

n

1

1

1 .

.

.

×∈

= es solución del sistema (2),

equivalentemente del sistema (1), si bAX =1

Es importante mencionar que los sistemas de ecuaciones se dividen en dos tipos,Sistemas Homogéneos y No Homogéneos.



Definición 31:(Sistemas Homogéneos) El sistema de ecuaciones (1) se dice

Homogéneo si

=

0.

.

.0

b ( )IRM m 1×∈ , es decir el sistema (1) se transforma en:

0.

.

.

.0

0

.........

.

.

.........

........

2211

2222121

1212111

=

==

+++

++++++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

(3)

Observación: un sistema Homogéneo siempre posee solución, ya que siemprepodemos elegir la solución trivial 0......21 ==== nxxx .

De la observación anterior vemos que es importante determinar cuando unsistema Homogéneo posee una solución distinta a la trivial.

Proposición 07: si ( )IRMXX n 121 , ×∈ son soluciones del sistema homogéneo (3)

entonces pata todo IR∈βα, , ( )IRMXX n 121 ×∈+ βα es solución del sistema

Homogéneo (3).

Observación: por la Proposición 07 vemos que si un sistema de ecuacioneshomogéneo posee una solución distinta de la trivial entonces este posee infinitassoluciones.

Teorema 04: Dado el sistema homogéneo

0.

.

.

.0

0

.........

.

.

.........

........

2211

2222121

1212111

=

==

+++

++++++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

entonces:

a) El sistema posee solución única si y solo si nAE =))((ρ .



b) El sistema posee infinitas soluciones si y solo si nAE <))((ρ . En tal caso elgrado de libertad del sistema es ))(( AEnL ρ−= , es decir existen L variables

independientes.

Ejemplo 27: determine las soluciones del sistema

0262

033

032

=−++=−=+++

wzyx

wy

wzyx

Solución: consideremos el sistema matricial asociado.

=

−−

0

0

0

2162

3030

1132

w

z

y

x

(*)

Si realizamos operaciones elementales a la matriz asociada al sistemaobtenemos:

−

−−

−−−

−−=

0000

1010

1132

31

0000

3030

1132

)1(

3030

3030

1132

)1(

2162

3030

1132

23231 FFFA

vemos que 2)( =Aρ entonces 2)(4 =−= AL ρ , es decir el sistema posee grado

de libertad dos. Por lo cual posee infinitas soluciones.

Por otro lado vemos que el sistema (*) es equivalente al sistema.

wxz

wy

wy

wzyx

420

032

−−==

⇒=−=+++

Así podemos observar que el conjunto de soluciones esta dado por

( ){ }

( ){ }IRwxwwxwxS

wxzwywzyxS

∈−−=

−−=∧==

,/,42,,

42/,,,



Definición 32:(Sistemas No Homogéneos) El sistema de ecuaciones (1) se diceNo Homogéneo si este no es Homogéneo.

Definición 33: dado el sistema No Homogéneo

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

=

==

+++

++++++

.

.

.

.

.........

.

.

.........

........

2

1

2211

2222121

1212111

(*)

definimos la matriz ampliada asociada al sistema por la matriz [ ]bA donde

( )IRMaA nmij ×∈= )( ( )IRM

b

b

b m

m

1

1

.

.

×∈

= .

Teorema 05: Dado el sistema No Homogéneo

mnmnmm

nn

nn

b

b

b

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

=

==

+++

++++++

.

.

.

.

.........

.

.

.........

........

2

1

2211

2222121

1212111

entonces:

a) El sistema posee solución única si y solo si [ ]( )( ) ( ) nAbAE == ρρ .

b) El sistema posee infinitas soluciones si y solo si [ ]( )( ) ( ) nAbAE <= ρρ . En tal

caso el grado de libertad del sistema es ))(( AEnL ρ−= , es decir existen Lvariables independientes.

c) El sistema no posee solución si [ ]( )( ) ( )AbAE ρρ ≠ .



Ejemplo 28: determine si el siguiente sistema posee solución

6262

333

132

=−++=−=+++

wzyx

wy

wzyx

determinemos el rango de la matriz ampliada

[ ]

−−

−−−

−−=

2

31

0000

30301132

)1(

5

31

3030

30301132

)1(

6

31

2162

30301132

3231 FFbA

con lo cual podemos deducir que el sistema no posee solución ya que[ ]( ) 32)( =≠= bAA ρρ .



Ejercicios.

1. Si A [ ]IRM n∈ es invertible, demuestre que (A t ) 1− = (A 1− ) t .

2. Si A, B [ ]IRM n∈ y A es invertible. Demuestre que

(A +B ) A 1− ( A - B ) =( A – B ) A 1− (A +B ).

3. Sea

−−

−=

0152

3210

4321

A . Encuentre las matrices que se obtienen aplicando a

la matriz A cada una de las siguientes operaciones elementales.

)1(..)2(.. 1323312 −−−−−− FdCcFbFa

4. Hallar A )(3 IRM∈ de modo que A= [ ][ ][ ])5()4( 32312 −− FFF .

5. Si A =

−

564

331

101

hallar una matriz B de modo que:

B= [ ][ ][ ] [ ])3()1()2( 2123112 −−− CAFFF

6. Obtener A 1− si A=

−

814

312

201

.

7. Dadas las matrices A y B con A regular determine condiciones para que lamatriz A t BA sea simétrica.

8. Encuentre las inversas de :

−=

−−−−

−

=

=

141454

32 52

2 5 63

2 3 42

4 1 32

11 2 1

32 3 1

2 11 2

,

541

431

331

CyBA

9. Demuestre que si A es cuadranda y B es ta lque AB = I, entonces 1−= AB .(Ayuda: Use traspuestas)



10. Demuestre que si A es no-singular y simétrica, entonces 1−A también essimétrica.

11. Encuentre una matriz P no-singular tal que PA = B, donde:

−−

−=

=

1 12

2 1 1

12 1

421

134

432

ByA

12. Demuestre que la traspuesta de una matriz elemental es otra matriz elemental.

13. Encuentre la inversa de:

=

4121

0312

0021

0001

T

14. Demuestre que si T es triangular inferior y no-singular, entonces 1−T estambién triangular inferior.

15. Demuestre que si ( ) ( )CIF

BA || , entonces BAC 1−= . Esta es una forma muy

eficiente de calcular 1−A ; úsela para calcular:

−

−

−

−−

−

3100

0410

0031

0003

01128

01 44

0112

11 01

)

302

010

414

101

013

001

)23

5 2

43

21 )

11

1

cba

16. Si

−−=

0126 0

1210

14 2 1

62 1 4

A , encuentre P no singular tal que PA esté en la forma

escalonada ¿Es P única?

17. Exprese las matrices siguientes como productos de matrices elementales:



−

=

=

=

4532

0314

0023

0001

,

001

013

101

,21

12CBA

18. Si A, B, C son matrices cuadradas tales que A, es no-singular y A = BC,demuestre que B y C también son no-singulares.

19. Para las matrices

−=

−=

01 2

211

11

02

21

ByA

Calcule ( ) ttttttt BBAABAABAB , , , ,

20. A y B son matrices no singulares tales que

( ) ( ) ( ) IABABBAtttt =+− −−−− 1111

Despeje A en términos de B.

21. Demuestre que: A y B conmuta tt ByAssi conmutan.

22. Si ( )KMBA n , ∈ ¿En que caso se cumple ( ) ( )? 22 BABABA −+=−

23. Para

−−−−

=111

2 2 1

6 5 3

A verifique que

−−=−

121

03 1

21 0 1A . Encuentre

( ) ( ) 11y

−−AAA tt

24. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique surespuesta.

a. Si la matriz A es antisimétrica entonces A + A t =0.

b. Si A y B son invertibles entonces A + B es invertible.



c. Si A nI≡ entonces existen P y Q matrices invertibles tal que A 1− = QP.

d. El producto de matrices triangulares es triangular.

e. Si A, B, C )(IRM n∈ , B regular y AB = C, entonces A = B 1− C.

f. Toda matriz diagonal es invertible.

25. Sea A )(IRM n∈ invertible y U )(IRM n∈ tal que U t AU = A.

a. Demuestre que U es invertible.

b. ¿Es U t invertible?

c. Si U t es invertible determine ( ) 1−tU .

26. Sean

=

−−

=

=

z

y

x

XBA ;

110

101

103

;

100

021

201

, resuelva la ecuación:

3AX-I 3 X=A t BX+

1

0

1

27. Sea A=

−

−

335

121

041

. Encuentre la inversa de A si existe y resuelva el siguiente

problema:

0335

02

04

=+−=++=−

wvu

wvu

vu

28. Sea A )(2 IRM∈ tal que 022 =−+ AIA , demuestre que A es invertible y calcule

su inversa.



29. Sean A y B=

=−

−−

2 3 4

4 3 1

1 2 4

1 2 1

1 1 2

2 1 1

a. Encuentre una matriz P )(3 IRM∈ tal que PA = B.

b. ¿Son A y B regulares?

c. Determine la inversa de P.

30. Sea A =−

−−

1 1 1

2 1 1

1 1 2

, usando operaciones elementales,

a. Determinar A 1− .

b. Exprese A 1− como producto de matrices elementales.

31. Encuentre la matriz E A (matriz escalonada por filas) de la matriz

A=

1 2 0 0

1 1 1 1

2 1 2 1

−−

. Cual es el rango de la matriz A.

32. Sean

−

=

−−−−−−

−

=

1111

1423

2914

3465

2576

1531

1823

6512

CA y determine si son

equivalentes por filas.

33. De un ejemplo en cada caso si es posible de:

a. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que no poseasolución.

b. Un sistema de dos ecuaciones que sea inconsistente.

c. un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas que posea soluciónúnica.



34. Si A =

6 4 0

4 2 0

1 0 3

−−

−

determine todas las soluciones de los siguientes sistemas:

XAX 3= y XAX 2= .

35. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a

x y z

x y z

y z

b

x y z

x y z w

y z w

x z w

c

x y z

x y z

x y z

x y z

d

x y z

x y z

x y z

e

y z w

x z w

x y w

x y z

f

x y z

. . .

. . .

− − =+ + =− + =

+ − =− − + = −

− + =+ − =

− + = −+ − =

− + + =− + =

− − =+ − =− + =

− + =− + = −+ − =+ − =

+ − =

1

2 3 2

5 1

2 5

2 2 3

3 2 5 1

2 0

3 2

2 3 0

3 3

2 1

2 1

3 4 2 11

3 2 4 11

3 3 5

2 3 4

3 2 5 12

4 3 5 5

−+ − =+ + =

+ − =

− − + =+ + =+ + = −

− − + =

+ + + =+ − = −

− + + − =+ − =

1

2 2 1

3

2 3 1

5

2 9

3 3 5

4 7

2

2 3 1

2 3

4

x y z

x y z

x y z

g

y z u

x y z

x z u

x y z u

h

x y z w

x z w

x y z w

x y z

. .

36. Analizar según los valores de a, b, c, d la existencia y los valores de lassoluciones de los siguientes sistemas lineales

a

ax y z

x ay z

x y az a

b

dx y z a

x y z b

x y z c

c

x y z

x y z

x y z a

x y z b

d

ax y z

x ay z

x y az

. .

.

+ + =+ + =+ + =

− + =+ − =− + =

− − =+ − =+ + =

+ − =

− + =− + =

− + =

0

0 2

2 3 3

3 5 0

4

3 13

3 3 4

3 2

9 7 8 0



37. Determine los valores de a de modo que el siguiente sistema posea infinitassoluciones:

x y z

ax y zx y z

− + =+ − =

+ − = −

2 1

02 3 1

38. Determine el valor de m para que el sistema

mx y z

x my zy mz

+ − =+ + =

+ =

0

2 00

a. Sea inconsistente.

b. Tenga solución única, y determínela.

c. Tenga infinitas soluciones y determínelas.

39. Dado el sistema

x y a z b

y a z

x y a z

− + + =+ − =

− + − = −

( )

( )

( )

4 1

3 0

2 7 2

2

con IRba ∈, , determine condiciones

para a y b de manera que el sistema:

a. Tenga solución única.

b. No tenga solución.

c. Tenga infinitas soluciones. Determínelas todas en función de a y b.

40. Determine t de manera que A

t

=−

−

1 2 1

0 3 1

2 2

sea singular ¿Tiene solución el

sistema AX

t

t

=−

1

1

.

41. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. El número de variables independientes de un sistema bAX = conA )(IRM mn×∈ es )(An ρ− .



b. Si el sistema CAX = es consistente, A )(43 IRM x∈ , tsC ),2,1(= y2)( =Aρ entonces s=0.

c. Si el sistema CAX = es consistente, A )(43 IRM x∈ , C=(8, , )−7 s t y3)( =Aρ entonces s ≠ 0 .

d. Si A )(IRM nxm∈ y nA <)(ρ entonces el sistema 0=AX tiene solución

no trivial.

e. Si A )(3 IRM∈ entonces el sistema 0=AX tiene solución no trivial si Aes singular.

f. Si A )(3 IRM∈ y | A | = 0, el sistema BAX = con 0≠B no tiene solución.

42. Determine IRcba ∈,, tal que el sistema

ax by czx cy bz

x y cz

+ + =+ + =

+ + =

3 4 53 4 6

5 7

tenga como

solución a C= ( , , )12 3 t

43. Resuelva el sistema:

3

2

1

653

542

32

bzyx

bzyx

bzyx

=++=++=++

donde a) 1321 === bbb

b) 5 ,3 ,1 321 =−== bbb

c) 2 ,2 ,0 321 −=== bbb

44. Encuentre la matriz escalonada reducida por filas para:

−

−=

−−=

100031

01011 2

001213

121

03 1

21 0

ByA



45. Demuestre que si BAF

→ entonces AX =0 y BX = 0 son sistemas equivalentes,pero el recíproco no es cierto.

46. Resuelve los tres sistemas siguientes, simultáneamente, reduciendo por filas lamatriz ( ) :||| 321 BBBA

a)

==

1

1

1

1BAX b)

−==

2

3

1

2BAX c)

−==

2

2

1

3BAX

donde

=

653

542

321

A

47. Sea

=

341

431

331

A Resuelva simultáneamente los res sistemas:

=

=

=

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

,1

AZAYAX , usando la técnica sugerida

en el problema 46. Si [ ]ZYXB = calcule AB y BA



2. Determinantes

2.1. Definiciones.

La idea intuitiva de determinante de una matriz )(IRMA n∈ es la siguiente. El

determinante de A denotado por )det( A o por A , es un numero que pertenece al

cuerpo de los números reales.

Para matrices de orden dos y tres es fácil calcular su determinante ya que esteesta dado por:

a. Si bcadAAIRMdc

baA −==⇒∈

= )det()(2 .

b. Si )(2

333231

232221

131211

IRM

aaa

aaa

aaa

A ∈

= . Entonces

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaAA −−−++== .

La expresión obtenida para calcular el determinante de una matriz de orden treses fácil recordarla por el siguiente algoritmo.

Ley de Sarrus

1. Se escriben las dos primeras columnas a continuación de la matriz.

2. Se desarrollan los productos triples según los signos de las flechas delsiguiente diagrama.

- - -

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

+ + +



Para un desarrollo mas general, primero definamos para )(IRMA n∈ la submatriz

ijM , como la matriz de orden )1()1( −×− nn que se obtiene de la matriz A al

eliminar la fila i y la columna j.

Ejemplo 01: sea

−=

124

112

031

A entonces observamos que

=

−=

24

31;

12

112311 MM ; etc.

Observación: note que si )(IRMA n∈ entonces podemos formar 2n submatrices

de la forma ijM .

Estamos en condiciones de definir recursivamente el determinante de una matriz.

Definición 01: sea )()( IRMaA nij ∈= entonces

[ ]

>−

==

∑=

+ 1)det()1(

)det(

1

1111

nparaMa

aAsia

An

jijij

ji

Ejemplo 02: si

=

312

431

021

A entonces si escogemos 1=j obtenemos que:

151664943

022

31

02

31

43

)det()1()det(2313

221231

3332

131221

3332

232211

3

1

=+−−=+−=

+−=−= ∑=

+

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaMaA

jijij

ji



Proposición 01: sean )(, IRMBA n∈ y IRc ∈ entonces

a) )det()det( tAA = .

b) Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A por un intercambio de filas(ocolumnas) entonces

)det()det( AB −=

c) Si A tiene dos filas (columnas) iguales entonces 0)det( =A .

d) Si A tiene una fila(columna) nula entonces 0)det( =A .

e) Si B se obtiene a partir de la matriz A al multiplicar una fila(columna) por unescalar c entonces )det()det( AcB = .

f) Si B se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar la fila(columna) i por lasuma de la fila(columna) i mas c veces la fila(columna) j )( ji ≠ entonces

)det()det( BA = .

g) Si A es triangular superior(inferior) entonces el determinante de A es elproducto de los elementos de s diagonal, es decir nnaaaA ⋅⋅⋅⋅= 2211)det( .

h) A es regular si y solo si 0)det( ≠A .

i) )det()det()det( BAAB = .

Ejemplo 03: sea

=

312

431

021

A si aplicamos la operación elemental 12F

obtenemos la matriz

=

312

021

431

B así 15)det()det( −=−= AB .

Proposición 02: si )(IRMA n∈ es no singular entonces )det(

1)det( 1

AA =− .



2.2. Calculo de Inversas vía Determinantes.

Definición 02:(Cofactor) sea )()( IRMaA nij ∈= el cofactor ijA de ija se define

por:

ijji

ij MA +−= )1( , donde ijM es la submatriz ij de la matriz A .

Ejemplo 04: sea

−=

217

654

213

A entonces vemos que

1017

131)1(

.3427

641)1(

2332

23

12

2112

−=−

−=−=

=−=−=

+

+

MA

MA

.

Definición 03:(Adjunta) sea )()( IRMaA nij ∈= la matriz adjunta de A denotada

por )(AAdj esta definida por

=

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdj

21

22212

12111

)( .

Ejemplo 05: sea

−

−=

301

265

123

A entonces podemos calcular la matriz adjunta.



2865

23)1(1

25

13)1(10

26

12)1(

201

23)1(10

31

13)1(6

30

12)1(

601

65)1(17

31

25)1(18

30

26)1(

633

532

431

523

422

321

413

312

211

=−

−=−=−=−=−

−=

−=−

−=−=−

−=−=−

−−=

−=−==−

−=−=−

−=

AAA

AAA

AAA

así la matriz adjunta es

−−−−

−−−=

2826

11017

10618

)(AAdj .

Teorema 01: si )()( IRMaA nij ∈= es una matriz regular entonces A

AAdjA

)(1 =− .



Ejercicios

1. Calcular los siguientes determinantes:

a b c

dx x

x xe

x y x y

x y x yf

x

x x x

g

x y x y

x y x y

x y x y

h

a b c a a

b b c a b

c c c a b

i

. . .

.sen cos

cos sen. .

.

cos( ) sen( )

sen( ) cos( )

sen( ) cos( )

. .

1 2 1 4

2 4 3 5

1 2 6 7

5 2 6 7

1 2 1 2 1

0 0 1 1 1

1 1 0 0 0

0 0 1 1 2

1 2 2 1 1

3 4 0 0

4 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1

1

1

1

1

2 2

2 2

2 2

1 1 1 1

1 2

3 2

−

− − −−

−+ −− +

−+ +

+ ++ +− +

− −− −

− −

3 4

1 3 1 0

1 0 3 0

2. Pruebe que A ( Adj(A)) = 0 cuando A es una matriz singular.

3. Para dos matrices cuadradas particulares A y B, compruebe la propiedad:adj AB adj B adj A( ) ( ) ( )= ⋅ . Demuestre que ésta propiedad es válida en general.

4. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, tales que A es invertible,demuestre que ( ) ( ) ( ) ( )A B A A B A B A A B+ − = − +− −1 1 .

5. Sean A y B dos matrices de orden 2 1× . Demuestre que I ABt2 − es invertible y

que su inversa es IA B

ABtt

2

11

+−

; donde la matriz A Bt , de orden 1 1× , se

considera como un número real. Generalice el resultado para matrices deorden n × 1 .



6. Determine los valores de la constante a, de modo que el determinante de la

matriz A

a a

a a

a

=−

− −− −

1 1

2 1

1 1 2 1

, sea cero.

7. Encuentre los valores de las constantes “a” y “b” , de modo que la siguiente

matriz sea invertible: A

a b a

a

b a b

=−

−

1 0 .

8. Si A =−

−

6 2 2

2 5 0

2 0 7

, resuelva la ecuación det( )A xI− =3 0 , donde x es una

variable real.

9. Sea A aij= ×( )3 3 , donde a cij = ; ∀i , ∀j . Demuestre que det( ) ( )A bI b b c+ = +32 3 .

10. Demuestre que

a b c a b

c b c a b

c a a c b

a b c

+ ++ +

+ += + +

2

2

2

2 3( ) .

11. Exprese el determinante de la matriz A

a a bcd

b b acd

c c abd

d d abc

=

2

2

2

2

1

1

1

1

, en forma

factorizada.

12. Demuestre que

a

a

a

a

a a

++

++

= +

2 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

143( ) .



13. Sea A

a

a

a

a a b

=

−

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0

, donde a y b son números reales. Exprese el

determinante de A en forma totalmente factorizada y a partir de esto calcule elrango de la matriz A, dependiendo de los valores de las constantes a y b.

14. Si A aij= ×( )4 4 , donde ab

si

si

i j

i jij =≠=

1 ; demuestre que

det( ) ( ) ( )A b b= − +1 33 , usando propiedades de determinantes. Encuentre elrango de la matriz, de acuerdo a los valores del parámetro b y determine lascondiciones bajo las cuales existe A−1 .

15. Si A es una matriz cuadrada de orden 4, cuyo determinante es igual a -3;encuentre el determinante de cada una de las siguientes matrices: 2A, At , A−1 ,A2 , P AP−1 .

16. Encuentre la forma general de las matrices cuadradas de orden 2, tales que

det( ) det( ) det( )A B A B+ = + , donde A =

2 1

1 1.

17. Demuestre que si x y z+ + =32π

(radianes), entonces

1

1

1

0

sen sen

sen sen

sen sen

x y

x z

y z

= .

18. Demuestre que

x y

x y

x y

1

1

1

01 1

2 2

= , representa la ecuación de la recta que pasa por

los puntos del plano cartesiano ( , )x y1 1 y ( , )x y2 2 .

19. Demuestre que el área del triángulo de vértices ( , )x y1 1 , ( , )x y2 2 y ( , )x y3 3 es el

valor absoluto de 12

1

1

1

1 1

2 2

3 3

x y

x y

x y

.



20. Si A es una matriz cuadrada de orden n y simétrica, demuestre queA An= −( )1 . Deduzca que si n es impar, entonces A = 0 .

21. Si A es una matriz cuadrada de orden n, demuestre que adj A A n( ) = −1 .

22. Sea A =

−−

−− − −

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

. Demuestre que A A AA It t= = 4 4 y a partir de ésta

relación deduzca la inversa de la matriz A.

23. Sean A y B matrices cuadradas de orden n, tales que A, B y A + B soninvertibles. Demuestre que A B− −+1 1 también lo es y que( ) ( ) ( )A B A A B B B A B A− − − − −+ = + = +1 1 1 1 1 .

24. Calcule A A A A n− − − −+ + + ⋅ ⋅⋅ ⋅ +1 2 3 , en función del número natural n, si

A =−

1 0

1 1.

25. Suponga que A y B son matrices de orden n × 1 . Demuestre quedet( )I AB B An

t t+ = +1 .

26. Encuentre el rango de la matriz A

a ab

b a b

a b

=−− −

1 0

1 2

2 0 1

, de acuerdo a los

valores de las constantes reales a y b.

27. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a. El cofactor a 32 para la matriz A=

2 0 2 3

1 3 4 2

5 6 0 5

2 1 1 9

− −−

−

es 60 o 342.

b. Si )(IRMA n∈ entonces − = −A A .



c. Si A A Itn= entonces A = ±1 , donde )(IRMA n∈ .

d. Si )(, IRMBA n∈ entonces AB A B= .

e. Si )(IRMA n∈ es regular, entonces |Adj(A)| = |A|n −1 .

28. Calcule los siguientes determinantes, usando propiedades

2100

1220

0121

0012

,

3520

2021

1432

0221

−−−

−−−

−−−−

29. Usando solo propiedades de determinantes demuestre que:

))()()()()((

1

1

1

1

zwywyzxwxzxy

www

zzz

yyy

xxx

−−−−−−=

30. Calcular el determinante de

=

0111

1011

1101

1110

4A . Determinar los determinantes

de las matrices 32 , AA , con ceros en la diagonal y unos en las demás

posiciones.¿ puede determinar el valor de nA ?

31. Demuestre que si )(, IRMBA n∈ y AB = I n entonces ambas matrices son

regulares.

32. Sean )(, IRMBA n∈ tales que | A | = 5 y | 4AB | = | B −1 | calcule | B |.



33. Demuestre que

++++=

++

++

−

++=−−

−−−−

−

11111

1111

1111

1111

1111

.

)(

22

22

223

dcbaabcd

d

c

b

a

cba

cbacc

bcbab

aacba

b

a.

34. Dada la matriz

=

101

012

301

A determine los valores de k tal que 0=− kIA .

35. Determine sin son validas las siguientes igualdades

a) 0

111

111

111

=−−−

b) 0

010

321

301

=−−

c) 032

32

32

=zzz

yyyxxx

d)

1111

111

1111

11 2

xzxy

x

xzy

x

−=−

36. Resuelva las siguientes ecuaciones

a) 0

0

0

0

=xx

xx

xx

b) 0=bxb

mmm

xaa

c) 2123102

11 2

=−

−xx

37. Mediante un ejemplo demuestre que en general BABA +≠+ .


Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara. - 50 - Curso: Algebra Lineal.

3. Espacios Vectoriales.

3.1. Definiciones Básicas.

Definición 01: sea IK un cuerpo, V un conjunto no vacío y las operaciones ⊕ y∗ llamadas suma y producto por escalar respectivamente donde:

( ) vuvu

VVV

⊕→→×⊕

,

: ( ) ucuc

VVIK

∗→→∗∗

,

:

diremos que ( )∗⊕,,V es un espacio vectorial sobre el cuerpo IK si solo si se

satisfacen las siguientes propiedades:

Suma.

(S1) Vvu ∈⊕ para todo Vvu ∈, . Clausura.

(S 2) uvvu ⊕=⊕ para todo Vvu ∈, . Conmutatividad.

(S 3) ( ) ( ) wvuwvu ⊕⊕=⊕⊕ para todo Vwvu ∈,, . Asociatividad.

(S 4) existe un único elemento ∈0 V , llamado vector cero tal que para todo Vu ∈

uu =⊕ 0 .

(S 5) para todo Vu ∈ existe un único elemento Vu ∈− , llamado inverso aditivo tal que

0=−⊕ uu .

Multiplicación por escalar.

(M1) Vua ∈∗ para todo Vu ∈ y para todo IKa ∈ .

(M2) ( ) vauavua ∗⊕∗=⊕∗ para todo Vvu ∈, y para todo IKa ∈ .

(M3) ( ) uauauba ∗⊕∗=+ para todo Vu ∈ y para todo IKba ∈, .

(M4) ( ) ( ) uabuba ∗=∗∗ para todo Vu ∈ y para todo IKba ∈, .

(M5) uu =∗1 para todo Vu ∈ .



Observación: Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.Además es importante tener en cuenta que en la definición de despacio vectorialno se especifican ni los vectores ni las operaciones.

Ejemplo 01: ( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅+ ,,,,,,,, 32 IRIRIR son espacios vectoriales sobre el cuerpo de

los números reales con la suma y producto por escalar usual.

Ejemplo 02: ( )( )⋅+× ,,IRM nm es un espacio vectorial real con la suma y producto por

escalar usual.

Ejemplo 03: El conjunto de los polinomios de coeficientes reales con la suma yproducto por escalar usual, ( )( )⋅+,,IRP , es un espacio vectorial real.

Ejemplo 04: El conjunto de todas las funciones reales con dominio real con lasuma y producto por escalar usual, ( )( )⋅+,,IRF es un espacio vectorial real.

Ejemplo 05: ( )∗⊕,,IR donde vuvu 2−=⊕ y cuuc =∗ no es un espacio vectorialya que la propiedad (S2) no se satisface.

Definición 02: Sea VW ⊆ donde V es un espacio vectorial entonces diremosque W es un subespacio vectorial de V , lo cual denotaremos por VW ≤ , si y solosi W es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto definidas en V .

Teorema 01: Si VW ⊆ entonces VW ≤ si y solo si

Wvbua ∈∗⊕∗ WuIKba ∈∀∈∀ ,, .

Corolario 01: Si VW ≤ entonces W∈0 .

Ejemplo 06: Observe que todo espacio vectorial V posee dos subespaciostriviales, los cuales son { }0 y V.



Ejemplo 07: Toda recta que pasa por el origen en 2IR es un subespacio de 2IR ,es decir si ( ){ }axyIRyxW =∈= /, 2 entonces 2IRW ≤ . En efecto sean

( ) ( ) Wdcyx ∈,,, y IRkt ∈, entonces es fácil comprobar que:

( ) ( ) Wdckyxt ∈+ ,,

Ejemplo 08: El conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n , ( )IRPn , es

un subespacio vectorial de ( )( )⋅+,,IRP .

Ejemplo 09: Sea ( ),,*,+= QV es un Q espacio vectorial.

Observación: Algunas propiedades elementales en un espacio vectorial( )•+ , K, ,V son:

a. Vvv vk ∈∀=• ,00

b. Kvv ∈∀=• αα ,00

c. ( ) ( ) ( ) VvKvvv ∈∀∈∀−=−=•− ,, αααα

d. vKv vv 0 00 =∨===>=• αα

e. ( ) ( ) VvKvv ∈∀∈∀•=−•− , ααα

f. vuvu =⇒≠•=• 0y Kααα

3.2. Independencia Lineal y Bases.

Notación: veV . denotara la expresión: V espacio vectorial.

Definición 03: Sean { } vek Vvvvv .21 ,,.....,, ⊆ diremos que v es una combinación

lineal de { }kvvv ,.....,, 21 si existen IKaaa k ∈,.....,, 21 tales que:

kk vavavav ∗⊕⊕∗⊕∗= ..........2211 .



Ejemplo 10: Sean { } ( )IRPxrxxxqxxp 32323 1,,1 ∈+−=−−−=++= determine si

r es combinación lineal de p y q .

Solución: Para resolver el problema planteado solo basta ver si podemosencontrar escalares IRba ∈, tal que:

( ) ( )3232 11 xxxbxxaxr −−−+++=+−=

igualando los coeficientes de los polinomios vemos que solo basta ver si elsistema

1

0

1

0

−==−=−=−

a

ba

b

ba

posee solución. Por otro lado es fácil ver que la solución del sistema es ,1−=apor lo cual podemos afirmar que r es combinación lineal de p y q .

Definición 04: Sean { } vek Vvvv .21 ,.....,, ⊆ definimos el conjunto generador de

{ }kvvv ,.....,, 21 por el conjunto de todas las combinaciones lineales de { }kvvv ,.....,, 21 .

Denotaremos el generador de { }kvvv ,.....,, 21 por:

{ } { }kkk vaavvavVvvvv ∗⊕⊕∗⊕∗=∈= ...../,.....,, 221121 .

Ejemplo 11: Demuestre que ( )IRPxxx 332 ,,,1 = .

Solución: Sabemos que cualquier elemento de ( )IRPp 3∈ es de la forma:

32 dxcxbxap +++=

así claramente p es una combinación lineal de { }32 ,,,1 xxx .



Definición 05: Si { } vek VvvvS .21 ,.....,, ⊆= , diremos que S es un conjunto

Linealmente Dependiente si existen escalares IKaaa k ∈,.....,, 21 no todos nulos

tales que

0..........2211 =∗⊕⊕∗⊕∗ kk vavava .

En caso contrario diremos que el conjunto S es Linealmente Independiente.

Ejemplo 12: el conjunto }44,2,2{ 222 xxxxxx +−++− es Linealmente Dependiente

en ( )IRP3 , ya que:

( ) ( ) ( ) 0442222 222 =+−−+−+− xxxxxx .

Ejemplo 13: el conjunto

−

−

−22

10;

20

01;

02

11 es Linealmente Dependiente

en ( )IRM 2 , en efecto observe que:

=

−−

−

−

−00

00

22

10

20

01

02

11.

Ejemplo 14: el conjunto { }nxxx .....,,,,1 2 es un conjunto Linealmente Independiente

en ( )IRPn , en efecto:

0........2210 =++++ n

n xaxaxaa para todo IRx ∈

entonces 0....210 ===== naaaa .

Ejemplo 15: demuestre que el conjunto { }xxx +−+ 1,1,2 es un conjunto

Linealmente Independiente en ( )IRPn , en efecto:

Supongamos que ( ) ( ) 0112 =+−+++ xcxbax , entonces 0,0,0 =+=−= cbcba , dedonde podemos deducir que 0=== cba .



Observación: El ejemplo 15 puede ser resuelto de la siguiente manera; masadelante podremos mostrar que ( )IRPn puede ser identificado con nIR de una

manera muy natural. En efecto a todo polinomio nn xaxaxaa ++++ ....2

210 le

podemos asignar el vector ( )naaaa ,...,,, 210 , observe que la asignación es única.

Por lo tanto para mostrar que S ( )IRPn⊆ es linealmente independiente basta

mostrar que su conjunto asociado nIRS ⊆~

lo es.

El estudiante puede pensar que no hemos avanzado mucho pero ver que el

conjunto ~

S es linealmente independiente en 3IR es mucho mas manejablecomputacionalmente, en efecto:

Podemos mostrar que ~

S es linealmente independiente si y solo si ( )

=

~

# SAρ

donde A es la matriz cuyas filas son los vectores de ~

S .

Así Volviendo al Ejemplo 15, para mostrar que S { } ( )IRPxxx 32 1,1, ⊆+−+= es

linealmente independiente solo basta ver que ( ) ( ) ( ){ } 3~

0,1,1;0,1,1;1,0,0 IRS ⊆−= lo es.

En este caso vemos que la matriz asociada es:

−=

011

011

100

A y ( ) 3=Aρ .

Proposición 01: sea veVS .⊆ entonces:

a. Si S∈0 entonces S es linealmente dependiente.

b. Si WS ⊆ donde veVW .⊆ es linealmente independiente, entonces S es

linealmente independiente.

c. Si S posee dos o mas vectores iguales entonces S es linealmentedependiente.

Definición 06: diremos que veVB .⊆ es una base de V si y solo si:

a. B es un conjunto linealmente independiente.



b. B genera a V , es decir si Vv ∈ entonces existen escalares kaaa ,....,, 21

tales que kk vavavav +++= ......2211 donde { } Bvvv k ⊆,......,, 21 .

Definición 07: Diremos que V es un espacio de dimensión finita si y solo si Vposee una base finita. Denotaremos la dimensión de V por ( )Vdim .

Observación: Si V es un espacio de dimensión finita, la dimensión de V nodepende de la base.

Proposición 02: si veVW .≤ donde V es un espacio de dimensión finita entonces

( ) ( )VW dimdim ≤ .

Observación: si veV , es de dimensión finita n entonces toso subconjunto S con

cardinalidad mayor que n es un conjunto linealmente dependiente.

Definición 08: sea { } vek VvvvS .21 ,.....,, ⊆= definimos el conjunto generado por S

por:

{ }kvvvvVvS ,.....,,/ 21 de lineal ncombinació una es ∈=

claramente VS ≤ .

Ejemplo 16: Muestre que { }neeeB ,....,, 21= es una base de nIR . Donde B se

denomina la base canónica y ( )i

ieposición laen solo uno

0,....,0,1,0,....0,0,0= . Con lo cual podemos deducir

que la dimensión de nIR es n .

Ejemplo 17: ¿ Es el conjunto ( ) ( ){ }0,1,2;0,0,1=S una base de 3IR ?

Ejemplo 18: ¿ Es el conjunto ( ) ( )( ) ( ){ }5,1,1;1,0,10,1,2;0,0,1 −=S una base de 3IR ?

Proposición 03: sean veVWU ., ≤ entonces:



a. VWU ≤∩ .

b. { } VWwUuwuWU ≤∈∧∈+=+ / .

Definición 09: sean veVWU ., ≤ diremos que V es suma directa de U y W s i y

solo si:

a. { }0=∩WU .

b. VWU =+

lo cual denotamos por WUV ⊗= .

Ejemplo 18: determine una base y la dimensión del espacio generado por( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1,1;6,3,0;2,0,1;0,1,1 −=S .

Solución: Claramente el conjunto S es linealmente dependiente, así paradeterminar una base de S basta determinar la matriz escalonada de la matriz A

asociada al conjunto S , cuyas filas son los vectores de S .

→

→

→

→

−

=

000

100

210

011

100

000

210

011

100

630

210

011

111

630

210

011

111

630

201

011

A

con lo cual podemos garantizar que una base para el espacio generado por S es:

( ) ( ) ( ){ }1,0,0;2,1,0;0,1,1=SB

en este caso vemos que ( ) 33dim IRSS =⇒= .

Ejemplo 19: Dados los subespacios:



( ){ }

( ) ( ){ }0,1,1;1,0,1

0/,, 3

−=

=+∈=

W

yxIRzyxU

a. Determine si U es subespacio vectorial de 3IR .

b. Determine una base y la dimensión de U y W .

c. Determine si WUIR ⊗=3 .

Solución:

a. observe que ( ) U∈0,0,0 .

Sean ( ) ( ) Uzyxcba ∈,,;,, y IR∈β verifiquemos si ( ) ( ) Uzyxcba ∈+ ,,,,β , enefecto sabemos que:

( )( ) 00

,,

,,=+∧=+⇒

∈∈

yxbaUzyx

Ucba

y que( ) ( ) ( )zcybxazyxcba +++=+ ββββ ,,,,,,

observe que: ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+++=+++ 0yxbaybxa βββ ( ) ( ) Uzyxcba ∈+ ,,,,βpor lo tanto 3IRU ≤ .

b. Para determinar una base de U basta resolver el sistema:

0=+ yx . (*)

Observe que el sistema (*) posee infinitas soluciones por lo tanto podemosreescribir U de la siguiente manera:

( ){ }( ){ }( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }1,0,0;0,1,1

,/,0,00,,

,/,,

/,,

0/,,

3

3

3

3

−=ℜ∈ℜ∈+−=

ℜ∈ℜ∈−=

−=ℜ∈=

=+ℜ∈=

U

zyzyyU

zyzyyU

yxzyxU

yxzyxU

con este procedimiento podemos garantizar que una base de U es:



( ) ( ){ }1,0,0;0,1,1−=B

por lo tanto la dimensión de U es dos.

Observe que en el caso de W es mas fácil determinar una base ya que bastaescalonar la matriz asociada al conjunto generador, es decir escalonar lamatriz

−−

→

−

=110

101

011

101A

con lo cual podemos concluir que una base de W es ( ) ( ){ }4,1,0;1,0,11 −−=B ypor lo tanto la dimensión de W es dos.

c. Ejercicio.

d. Ejercicio.

3.3 Matriz Cambio de Base.

Sean { } { } ⊆== nn wwwBvvvB ,......,,,,.....,, 212211 veV . bases y V espacio vectorial de

dimensión finita. Es claro que todo vector de 2B puede ser expresado como una

combinación lineal, única, de los elementos de 1B es decir:

nnnnnn

nniiii

nn

nn

vavavaw

vavavaw

vavavaw

vavavaw

+++=

+++=

+++=+++=

.....

.....

.....

.....

2211

2211

22221122

12211111

donde unicosson Ka ij ∈

observe que podemos formar la matriz:



nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

la matriz que hemos formado se denomina matriz cambio de base y ladenotaremos por:

2

1

B

BI

.

Observaciones: Algunas propiedades importantes de la matriz cambio de baseson:

a.

2

1

B

BI

es invertible, y su inversa es

1

2

B

BI

.

b. Dado Vv ∈ se tiene que [ ] [ ] [ ]1

2

22 BBBB vIv = donde [ ]

iBv son las

coordenadas del vector v en la base iB .

Ejemplo 20: Consideremos { }211 ,eeB = la base canónica de 2IR y la base

( ) ( ){ }1,1,1,12 −=B . Determine la matriz cambio de base

2

1

B

BI

y compruebe las

afirmaciones anteriores.

Solución:

a. Para calcular la matriz cambio de base debemos resolver los siguientessistemas:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1,11,11,0

1,11,10,1

−+=

−+=

dc

ba



podemos comprobar fácilmente que:

21

,21

,21

,21 ==−== dcba

por lo tanto la matriz cambio de base es:

−=

21

21

21

21

2

1

B

BI .

b. Análogamente observamos que

12

1

1

2 11

11 −

=

−=

B

B

B

BII

c. Dado el vector ( )2,4 −=v vemos que

[ ]

−

=2

41Bv de donde deducimos que [ ] [ ]

−

=

−

−=

3

1

2

4

21

21

21

21

12

1 BBB vI .

Por otro lado es fácil comprobar que [ ]

−

=2

42Bv . Por lo tanto

[ ] [ ] [ ]1

2

22 BBBB vIv = .



3.4 Vectores en el Espacio.

En esta sección consideraremos como espacio de trabajo ( )⋅+,,nIR , donde lasuma y el producto por escalar son los usuales. Trataremos de escribir elcomportamiento geométrico de los vectores, es decir al final de esta secciónpodremos calcular sumas, restas, longitudes vectores normales direcciones yángulos formados por vectores en ( )⋅+,,nIR .

Definición 10: sean ( ) ( ) nnn IRyyyvxxxu ∈== ,....,,,,....,, 2121 definimos el producto

punto o producto interior entre u y v por:

nn yxyxyxvuvu +++==• ......, 2211 .

Proposición 04: Sean IRcIRwvu n ∈∈ ,,, entonces son validas las siguientespropiedades:

a. uvvu ,, = simetría.

b. wuvuwvu ,,, +=+ Linealidad.

c. cvuvcuvuc ,,, == homogeneidad.

d. 0, ≥uu además 00, =⇔= uuu definición positiva.

Definición 11: dos vectores nIRvu ∈, se dicen ortogonales si y solo si 0, =vu .

Definición 12: definimos la norma, también se denomina longitud o magnitud, deun vector nIRu ∈ por:

uuu ,= .

Tomando en cuenta la definición de norma podemos definir la distancia euclidianaentre dos vectores nIRvu ∈, de la siguiente manera:

( ) vuvud −=, .



Definición 13: un vector nIRu ∈ se dice unitario si y solo si 1=u .

Ejemplo 21: dados los vectores ( ) ( )0,0,1,0,1,1 −=−= vu determinar: vu, , ( )vud , ,

vu , y si vu, son vectores unitarios.

Solución:

a. ( ) ( ) 10,0,1,0,1,1, −=−−=vu .

b. ( ) ( ) 50,1,2, =−=−= vuvud .

c. ( ) ( ) 10,0,1vy 20,1,1 =−==−=u .

d. Gracias a c. podemos deducir que u es un vector normal.

Definición 14: sea ( ) nn IRxxxu ∈= ,....,, 21 un vector distinto de cero, definimos el

vector unitario en la dirección u por

==

ux

ux

ux

uu

v n,...,, 21 .

Proposición 05: dados nIRvu ∈, se tiene que:

a. vuvu ⋅≤, , la igualdad solo se satisface si u y v son múltiplos escalares

entre si. Esta desigualdad se denomina desigualdad de Cauchy – Schwarz.

b. vuvu +≤+ . Esta desigualdad se denomina desigualdad triangular.

Observación: observe que gracias a la desigualdad de Cauchy – Schwarz setiene que para vectores no nulos:

1,

1 ≤⋅

≤−vu

vu.



Definición 15: definimos el ángulo formado por dos vectores nIRvu ∈, no nulos

por:

( )vu

vu

⋅=

,cos α .

Motivación: dados los vectores nIRvu ∈, no nulos deseamos determinar dos

vectores cpr uu , tales que:

cu

cpr uuu += pru v

donde pru es un múltiplo escalar de v y cu es ortogonal a pru . Como vemos en la

figura esta descomposición siempre es posible y además es única. El vector v sedenomina proyección ortogonal de u sobre v y el vector cu se denomina

componente vectorial de u ortogonal a v .

Observe que:

v

vu

vv

vucvcvvuvuvuuvu cprcpr

,

,

,0,,,,, ==⇒+=+=+= .

Por lo tanto:

2

,

v

vuu pr = y v

v

vuuuc 2

,−= .

Definición 16: sean ( ) ( ) 3,,,,, IRzyxvcbau ∈== . Definimos el producto cruz, vu ×como el vector de componentes:

( )bxxyazcxcybzvu −−−=× ,, .La relación anterior puede ser expresada en notación de determinantes:



−=+−==× k

yx

ba

zx

ca

zy

cbk

yx

baj

zx

cai

zy

cb

zyx

cba

kji

vu ,, .

Proposición 06: sean ( ) ( ) ( ) 3,,,,,,,, IRtsrwzyxvcbau ∈=== y IRc ∈ , entonces:

a. uvvu ×−=× .

b. ( ) ( ) ( )wuvuwvu ×+×=+× .

c. ( ) ( ) ( )uwuvuwv ×+×=×+ .

d. ( ) ( ) ( )cvuvcuvuc ×=×=× .

e. 00 =×u .

f. ( ) wvuvwuwvu ,, −=×× .

g.

tsr

zyx

cba

wvu =×, .

Teorema 01: las siguientes identidades son validas:

a. 2222

,vuvuvu −=× identidad de Lagrange.

b. θsenvuvu ⋅=× donde θ es el ángulo formado por los vectores u y v .

Proposición 07: dos vectores u , v 3IR∈ no nulos son paralelos si y solo si0=× vu .

Teorema 02: El volumen del paralelepipedo formado por los vectores u , wv, 3ℜ∈es:

wvuV ×= , .



Ejercicios

1. Mostrar que IR es un espacio vectorial real con la adición y multiplicaciónusuales y también que IR es un espacio vectorial sobre Q., pero Q no es unespacio vectorial sobre IR .

2. Determine en cada caso si ),,( ⊗⊕V es un IR - espacio vectorial:

a. ),(),(),(),(),(2 yxyxbaxbayxIRV ααα =⊗+=⊕=

b. ),,0(,,(),,(),,(),,(3 zyzyxzcybxacbazyxIRV ααα =⊗+++=⊕=

c.

=

⊗

++++

=

⊕

=

αα

0)(2

yx

wz

yx

xddc

ybxa

dc

ba

wz

yxIRMV

3. Probar que { }Qba, / 2 ∈+= baV es un espacio vectorial sobre Q.

4. Sean [ ]{ }función es fIRbafIR ba /,:],[ →= y [ ] [ ]{ }continua es fIRfbaT ba /, ,∈= .Determinar cuál de los siguientes conjuntos de funciones es un espaciovectorial real, con las operaciones de [ ]baIR , .

i) [ ] ( ) ( ){ }bfafbaCfV =∈= /, .

ii) [ ] ( ) ( ){ }xbfxafbaCfV −=+∈= /, .

iii) [ ] ( ) [ ]{ }ba, de losubintervaun en x cada pra ,0/, =∈= xfbaCfV .

iv) [ ] ( ) ( ){ }xfxfbaCfV −=∈= /, .

v) [ ] ( ) ( ){ }xfxfbaCfV −−=∈= /, .

5. Sea ( ){ }IRyxyxV ∈= ,/, . Se definen:

( ) ( ) ( )0,,, cadcba +=⊗( ) ( )baba ααα ,, =•

¿Es V un espacio vectorial real? ¿Por qué?.

6. Sea ( ){ }IRyxyxV ∈= ,/, . Si se consideran:



( ) ( ) ( )dbcadcba ++=⊗ ,,, y ( ) ( )baba ,, αα =•

¿Es ( )•⊗ ,,V un espacio vectorial?

7. En nIR se definen las leyes de composición:

( ) ( ) ( )( ) ( ) IRxxxxxx

yxyxyxyyyxxx

nn

nnnn

∈∀−−−=•−−−=⊗

ααααα ,,.....,,,......,,

,.....,,,....,,,......,,

2121

22112121

¿Qué axiomas de espacio vectorial se cumplen para ( )•⊗ ,,nIR ?

8. Sea 2IR con las leyes de composición definidas por:

( ) ( )

++=⊗

2,

2,,

dbcadcba

( ) ( ) IRbaba ∈∀=• αααα ,,,

9. Probar que en un espacio vectorial V(K) se tiene:

i) KVvovvv ∈∀∈∀==⇔⋅=⋅ βαβαβα ,,,0

ii) 00 =⇒=+∧−=⇒=+ vuvuuvvu

10. Determinar α sabiendo que 0≠v , en V(K), y que:

( ) ( ) ( ) KyKVvuvuvuu ∈∈∀−=−+− ααα ,,1

11. Sea ∞IR el conjunto que consiste de todas las sucesiones infinitas:

( ),......, 21 xxx =

de números reales, Si ( ),......, 21 yyy = es otra de tales sucesiones, se definen:

( );,......., 2211 yxyxyx ++=+ y ( ) IRxxx ∈∀=⋅ αααα ,......, 21

Demostrar que ∞IR es un espacio vectorial real.



12. Determine en cada caso si el conjunto dado es subespacio vectorial delespacio dado, demostrando o refutando según corresponda.

a. .}015/),,{( 33 IRVzyxIRzyxA ==+−−∈=

b. .}0303/),,,{( 44 IRVwyzwxIRwzyxB ==−+∧=−∈=

c. ).(032/)( 22 IRMVdcaIRMdc

baC =

=−+∈

=

d. ).()()/()( 322

3 IRMVbabaIRM

ihg

fedcba

D =

−≥+∈

=

e. ).,(}0)(/),({ IRIRFVxfIRIRFfE =≤∈=

13. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de )(2 IRM son subespacios? El conjuntode las matrices:

a. Simétricas.

b. Singulares.

c. Regulares.

d. Triangulares.

14. Demostrar que:

a. Una recta L que pasa por el origen del plano es un subespacio del plano.

b. Una recta L que pasa por un punto distinto del origen del plano no es unsubespacio del plano.

15. En cada caso determine el conjunto generador de:

a. }.038/),{( 2 =−∈= yxIRyxA

b. .0503/)(2

=+−∧=−∈

= dbcbaIRM

dc

baB



c. }.23/)({ 22 caccbaIRPcbxaxC =+∧=−∈++=

16. Sean VCBA ⊆,, V un K - espacio vectorial. Demuestre que:

a. Si BA ⊆ entonces BA ⊆ .

b. AA = si y solo si .VA ≤

c. BABA ∩⊆∩ .

17. Determine si los siguientes conjuntos son Ld o Li:

a. )}.1,0,0(),0,1,0(),1,1,1{(=A

b. }.1,,1,1{ 2xxxB −+=

c. .11

84,

20

11,

11

00,

10

75

−−

−

−

−=C

d. }.52,7,12{ 223 −+++−= xxxxxD

e. )}.exp(),{exp( 2eeE =

f. .3

sen,sen,cos

+= π

xxxF

g. )}.3sen(),2sen(,{sen xxxG =

18. Determine en cada caso el valor de IR∈α , para que los siguientes conjuntossean Li.

a. A={(α ,3),(1, α)}.



b. B={(2α ,1,3),(1,2,- α),(1,0,1-α)}.

c. C={ 2),1(,)1( 2 −++ ααα xx }.

d. D= .1

01,

.3

11,

01

0

αα

α

19. ¿ Si vuwvu ,,, = , entonces { }wvu ,, es L.d ?

20. Determine [ ]Bu si:

a. ( ) 1,1,1=u y ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,1,1,2,1,0,1=B .

b.

=

11

21u y

−

=

11

20,

00

40,

10

00,

00

01B .

c. 132 ++= xxu y ( )( ){ }3,1,12 −−−= xxxB .

21. Determine la matriz cambio de base [ ] 1BBI si:

a. ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1,0,1,15,2,6,1 1 == BB .

b.

=

=

21

03,

21

00,

00

03,

12

23

01

00,

22

00,

00

13,

00

101BB .

c. { } { }4,32,13,1,13 21

2 ++=−+= xxBxxB .

22. Sean veV . sobre un cuerpo K y { }321 ,, vvvB = una base, demuestre que

{ }2132131 5,,3 vvvvvvB −−−= es una base de veV . . Determine [ ] 1BBI .



23. Sean ( ) ( ) ( ){ } 31 1,0,0,1,1,1,1,0,2, IRBB ⊂= bases , tales que [ ] =1B

BI

−

102

111

011

determine B .

24. Sean { } [ ]IRPxxBB 22

1 9,32,8, ⊂−−= bases, tales que [ ] =1BBI

−

102

111

011

determine B .

25. Determine [ ]IRPu 2∈ si [ ] [ ] tBu 145= y [ ] =1B

BI

−

102

111

011

donde

{ } [ ]IRPxxxBB 22

1 89,23,28, ⊂+−−= son bases.

26. Determine la dirección y la magnitud de los siguientes vectores:

a. ( )4,4=→v .

b. ( )1,3 −=→v .

c. ( )8,5−=→v .

27. En cada uno de los siguientes casos determine

−+

→→→→→→→→badbababa ,;,;43;2

y →

→

a

a:

a. ( ) ( )4,5;3,2 −==→→ba .

b. ( ) ( )3,2,1;4,5,2 −−=−=→→ba .

c. kjbkjia −=++=→→

; .



28. Un vector →v posee dirección opuesta al vector

→u , si la dirección de

→v es la

dirección de →u mas π .

→u ,

→v en el plano.

Determine en cada caso un vector unitario →v que tenga la dirección opuesta a

la dirección del vector dado →u :

a. ( )1,1=→u .

b. ( )3,2 −=→u .

c. ( )4,3−=→u .

29. Determine el ángulo formado por los vectores:

a. ( ) ( )1,1;1,1 −==→→vu .

b. ( ) ( )1,1,0;1,1,1 −==→→vu .



4. Transformaciones Lineales

En este capitulo estudiaremos funciones definidas entre espacios vectoriales dedimensión finita que satisfacen ciertas condiciones, las cuales se denominantransformaciones lineales.

4.1. Definiciones Básicas

Definición 01: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK yconsideremos WVT →: función. Diremos que T es una transformación lineal si ysolo si IKsVvu ∈∀∈∀ ,, se tiene que:

( ) ( ) ( )

( ) ( )usTsuT

vTuTvuT

=

+=+

)2(

)1(

Observación: las condiciones mencionadas en la definición pueden ser reducidassolo por:

( ) ( ) ( )vTusTvsuT +=+ (3)

es decir una función T es una transformación lineal si y solo si satisface (3).

Ejemplo 01: consideremos 33: IRIRT → tal que ( ) ( )xzyxxzyxT +−= ,2,,, ,

determinemos si T es una transformación lineal.

Solución: sean ( ) ( ) IRtIRcbazyx ∈∧∈,,,,, entonces

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )cbaTzyxtT

acbaaxzyxxt

acbaatxtztytxtx

atxctzbtyatxatxctzbtyatxTcbazyxtT

,,,,

,2,,2,

,2,,2,

,2,,,,,,,

+=+−++−=

+−++−=++++−++=+++=+

por lo tanto T es una transformación lineal.

Ejemplo 02: sea IRIRT →3: tal que ( ) zyxzyxT +−= 32,, , entonces T es una

transformación lineal.



Ejemplo 03: sea ( ) ( )IRIPIRMT 22: → definida por ( ) axcbaxdc

baT +−+=

2 ,

entonces T es una transformación lineal.

Ejemplo 04: consideremos ( ) ( )IRIPIRMT nn →: definida por ( ) AXXT = donde

( )IRMX n∈ es una matriz fija, entonces T es una transformación lineal.

Proposición 01: Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK yconsideremos WVT →: una transformación lineal entonces:

a. ( ) WVT 00 = .

b. ( ) ( ) VuuTuT ∈∀−=− .

Proposición 02: Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK ,WVT →: una transformación lineal y { }nvvvB ,....,, 21= una base deV entonces:

( ) ( ) ( ) ( ){ }nvTvTvTuTVu ,....,, 21∈∈∀ .

Ejemplo 05: sea 33: IRIRT → una transformación lineal que satisface( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,22,0,5,0,01,1,1,2,11,0,2 ==−= TTT determine ( ) ( ) 3,,,,, IRzyxzyxT ∈∀ .

Solución: no es difícil mostrar que ( ) ( ) ( ){ }2,0,5,1,1,1,1,0,2=S es una base de 3IR porlo cual se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )2,0,51,1,11,0,2,,/,, ++=∈∃ bazyxIRcba

observe que para determinar cba ,, basta resolver un sistema el cual tiene

asociada la matriz ampliada:



yzxc

yb

zyxa

zyx

y

yzx

yz

y

yzx

z

y

zx

z

y

x

+−==

+−−=⇒

+−−

+−

−

+−→

−−→

2

532

532001

010

2100

201

010

2100

211

010

2110

211

010

512

por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )zyxzyx

yzxyzyx

TyzxyTTzyxzyxT

853,954

1,220,02,1532

2,0,521,1,11,0,2532,,

+−−−+=+−++−+−−=

+−+++−−=

Ejemplo 06: sea 33: IRIRT → una transformación lineal que satisface( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,12,1,3,0,21,1,1,2,11,0,2 ==−= TTT determine ( ) ( ) 3,,,,, IRzyxzyxT ∈∀ si es

posible.

Definición 02: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK yconsideremos T y H transformaciones lineales de WV → , entonces HT + es

una transformación lineal de WV → definida por ( )( ) ( ) ( )uHuTuHT +=+ .

Definición 03: el conjunto de todas las transformaciones lineales definidas deWV → , donde V y W son espacios vectoriales sobre un cuerpo IK , será

denotado por:

( )WVHom , .

Observación: ( )( )⋅+.,,WVHom es un grupo conmutativo sobre el cuerpo IK con lasuma y ponderación por escalar usual.

Ejemplo 07: dadas las transformaciones lineales 22: IRIRTi → definidas por:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )xyxT

yxxyxT

yxyxyxT

−=+=

−+=

,0,

,,

,,

3

2

1



calcule: 3211321321 ,,, TTTTTTTTTT oooo++ .

4.2. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal.

Definición 04: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T unatransformación lineal, definimos el núcleo de T o Ker(T ) al conjunto:

( ) ( ){ }WuTVuTKer 0/ =∈= .

Observación: Es fácil mostrar que ( ) VTKer ≤ .

Ejemplo 08: sea 44: IRIRT → definida por

( ) ( )wyxzyxwzywyxwzyxT 42,23,2,2,,, ++−−++−−+=

determine base y dimensión de ( )TKer .

Solución:

( ) ( )

=++−=−+=+−=−+

=

042

023

02

02

,,,

wyx

zyx

wzy

wyx

wzyxTKer

si resolvemos el sistema:

( ) ( ) ( ) ( )8,1,6,20,,,,,,

8

6

20

1800

0000

0610

02001

1800

0000

1210

3401

3040

1210

1210

1021

4021

0231

1210

1021

−=⇔∈⇒=

−==

⇒

−

→

−

−−

→

−−

−

→

−−−

−

zwzyxTKerwzyx

zw

zy

zx

por lo tanto ( ) ( ){ }8,1,6,20 −=tKer .



Observe que para determinar el núcleo de una transformación lineal basta resolverun sistema homogéneo.

Proposición 03: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T unatransformación lineal, entonces T es inyectiva si y solo si ( ) { }WTKer 0=

Definición 05: sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo IK y T unatransformación lineal, definimos la imagen de T por el conjunto:

( ) ( ){ }wvTVvWwT =∈∃∈= :/Im .

Observación: Es fácil mostrar que ( ) WT ≤Im

Teorema 01: sea WVT →: una transformación lineal dada entonces:

( ) ( )( ) ( )( )TDimTKerDimVDim Im+= .

Proposición 04: sea WVT →: una transformación lineal entonces:

1. T es inyectiva si y solo si ( ) { }VTKer 0= .

2. T es epiyectiva si y solo si ( ) WT =Im .

Definición 06: sea WVT →: una transformación lineal entonces diremos que:

a. T es monomorfismo si y solo si T es inyectiva.

b. T es epimorfismo si y solo si T es epiyectiva.

c. T es isomorfismo si y solo si T es biyectiva.

Definición 07: sea WVT →: una transformación lineal entonces diremos queT es invertible o no singular si y solo si existe VWT →− :1 transformación lineal talque WV ITTITT == −− 11 oo y .



Proposición 05: sea WVT →: una transformación lineal entonces:

a. T es invertiste si y solo si T es biyectiva.

b. 1−T es una transformación lineal única tal que ( ) TT =−− 11 .

Ejemplo 09: 33: IRIRT → tal que ( ) ( )zxyxzyxzyxT +−−−+= ,2,2,, es una

transformación invertible.

Observación: WVT →: es una transformación lineal inyectiva si y solo si laimagen de todo conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

4.3. Matriz Asociada a una Transformación.

Consideremos WVT →: una transformación lineal donde los espacios vectorialesson de dimensión finita n y m respectivamente.

Sean { } { }nn wwwSvvvS ,......,,,......,, 212211 == y bases de V yW

respectivamente. Así para todo vector V∈α existen IRaa n ∈,.....,1 tales que:

[ ]

=⇔++=

n

Snn

a

a

vava

1

11 1........ αα

análogamente se tiene que existen IRbb n ∈,.....,1 tales que:

( ) ( )[ ]

=⇔++=

n

Snn

b

b

TwbwbT

1

11 2........ αα

así obtenemos que:



=

nmnmm

n

n a

a

aaa

aaa

b

b 1

21

112111

donde:

( )( )

( ) mmnnn

mm

mm

wawawavT

wawawavT

wawawavT

+++=

+++=+++=

.....

.....

.....

22111

22221122

12211111

la matriz:

=

mnmm

n

aaa

aaa

A

21

11211

se denomina la matriz de la transformación en las bases 1S y 2S la cual

denotaremos por:

[ ] 2

1

SST .

Observación: [ ] [ ] ( )[ ]21

2

1 SSSS uTuT =

Proposición 06: sea mn IRIRT →: una transformación lineal tal que( ) ( )IRMAAuuT nm×∈= , , entonces:

a. La imagen de T es el espacio columna de A .

b. T es inyectiva si y solo si las columnas de A son linealmente independientes.



c. El sistema bAu = posee solución si y solo si b es combinación lineal de lascolumnas de A .

Proposición 07: Sea WVT →: una transformación lineal donde ( ) nV =dim y

( ) mW =dim , consideremos { }nuuuS ,....,, 211 = y { }naaaS ,....,, 212 = bases de V con

matriz cambio de base de 2S en 1S dada por [ ] 1

2

SSIP = ; sean

{ }nwwwS ,....,, 213 = y { }nbbbS ,....,, 214 = bases de W con matriz cambio de base de

4S en 3S dada por [ ] 3

4

SSIQ = entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ] 1

2

3

1

4

3

4

2

1 SS

SS

SS

SS TTTPAQT == −

.

Ejemplo 10: Sea T : 23 IRIR → una transformación lineal tal que

[ ]

−=

310

121BAT , donde ( ) ( ) ( ){ }0,0,1;2,1,0;1,0,1 −=A y ( ) ( ){ }1,5;1,1 −−=B

a. Determine T(2,1,-3).

b. Determine la matriz de cambio de base, de la base canónica de 3IR a labase A.

Solución:

a.

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )2,341,581,163,1,2

8

6

3

1

5

310

1213,1,2

310

1213,1,2

=−−−−=−∴

−−

=

−

−=−

−=−

T

T BB

b.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

−

−=⇒

++−−=−+−=++−=

121

010

120

0,0,12,1,01,0,11,0,0

0,0,122,1,001,0,120,1,0

0,0,12,1,001,0,100,0,1

3

A

CI



Ejemplo 11: Sea 33: IRIRT → transformación lineal tal que

[ ]

−−−

−=

133

445

4673

3

CCT donde 3C es la base canónica de 3IR . Resuelva los

siguientes problemas:

a. Determine ( )zyxT ,, .

b. Determine base y dimensión para ( )TKer .

c. Determine base y dimensión para ( )TIm .

d. Determine si T es un isomorfismo. Si su respuesta es afirmativa determine1−T .

e. Considere ( ) ( ) ( ){ }1,2,2,1,1,2,0,1,1 −−−−=β base de 3IR , determine [ ]ββT ,

utilizando [ ] 3

3

CCT .

Solución:a.

( )[ ]

( ) ( )zyxzyxzyxzyxT

zyx

zyx

zyx

z

y

x

zyxT C

+++−−−+=⇒

+++−−

−+=

−−−

−=

33,445,467,,

33

445

467

133

445

467

,,3

b.

( ) ( )

=++=+−−=−+

∈=033

0445

0467

/,, 3

zyx

zyx

zyx

IRzyxTKer

consideremos la matriz asociada al sistema

unica solución∃⇒

−−−−

→

−→

−→

−−

−

200

810

701

2230

1420

701

133

721

701

133

445

467



por lo tanto se tiene que ( ) ( ){ }0,0,0=TKer

c. Considerando el resultado anterior se tiene por el teorema de ladimensión que ( )( ) 3Imdim =T por lo tanto ( ) 3Im IRT = .

d. T es un isomorfismo ya que T es inyectiva, por la parte b, y esepiyectiva, por la parte c.Además

[ ] [ ]( )

( )

−++−−−+=

⇒

−

−−−

==

−

−−

2233

,2

857,434,,

123

23

425

27

434

1

11 3

3

3

3

zyxzyxzyxzyxT

TT CC

C

C

e. [ ] [ ] [ ] [ ]

−=

−−−

−

−−−

−

−

−=

=

100

020

001

110

211

221

133

445

467

111

011

201

33

33

CB

CC

BC

BB ITIT

ya que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1,0,21,2,21,1,20,1,11,0,0

1,1,01,2,21,1,20,1,10,1,0

1,1,11,2,21,1,20,1,10,0,1

−==−=⇒−−−+−====⇒−−−+−====⇒−−−+−=

cbacba

cbacba

cbacba



Ejercicios.

1. Sea ( )IRMA mn×∈ demuestre que nm IRIRT →: definida por ( ) AuuT = es una

transformación lineal.

2. Sea 32: IRIRT → definida por ( ) ( )xyyxyxT ,,, += demuestre que es

3. Sea ( ) ( )IRMIRMT nn →: definida por ( ) MAAMVT += donde ( )IRMM n∈ es

fija. Demuestre que T es una transformación lineal.

4. Sean 222111 :,: WVTWVT →→ transformaciones lineales, demuestre que

2221: WWVVT ×→× definida por ( ) ( ) ( )( )vTuTvuT ,, = es una transformaciónlineal.

5. Determinar cuales de las siguientes funciones determinan una transformaciónlineal:

a. ( ) .2,;: 2 yxyxTIRIRT −=→

b. ( ) ( ).,,,,;: 22 ywzyxwzyxTIRIRT −−+=→

c. ( ) ( ).,,,;: 32 xyyxyxTIRIRT =→

6. Considere V el espacio de todas las funciones reales continuas sobre elintervalo [ ]1,0 y sea W el subespacio que consta de todas las funciones realescon primera derivada continua sobre [ ]1,0 , demuestre que VWT →: definida

por ( ) 'uuT = es una transformación lineal: determine si es posible definir T enV .

7. Sea WVT →: una transformación lineal y suponga que las imágenes de

kuuu ,....,, 21 , ( ) ( ) ( )kuTuTuT .....,,, 21 , son linealmente independientes. Demuestre

que kuuu ,....,, 21 forma un conjunto linealmente independiente.

8. Sean S y T transformaciones lineales definidas de 2IR en 2IR tales que( ) ( )xyxS ,0, = y ( ) ( )0,, xyxT = demostrar que TSST oo ≠ .



9. Sea ( ) ( )IRIPIRIPGF nn →:, definidas por ( )( ) ( )xpxpF '= y ( )( ) ( )xxpxpG '= ,

demuestre que S y G son transformaciones lineales.

10. Sea WVT →: una transformación lineal. Si { }kvvv ,......,, 21 genera al espacio V

demuestre que la imagen de T esta generada por ( ) ( ) ( ){ }kT vTvTvT ,......,, 21 .

11. Sea ( )IRMA n∈ fija demuestre que nn MMT →: definida por ( ) XAAXXT −=es una transformación lineal.

12. Dada

−−

=22

13A determine el núcleo y la imagen de ( ) ( )IRMIRMT 22: →

donde ( ) XAAXXT −= .

13. Dada la transformación lineal 33: IRIRT → definida por

( ) ( )zxzyyxzyxT 2,,2,, +−+= determine una base para el núcleo y la imagende T .

14. Sea de ( ) ( )IRMIRMT 22: → definida por ( ) XAXT = donde

−

−=

22

11M ,

determine base y dimensión para los subespacios núcleo e imagen de T .

15. Sea 23: IRIRT → una transformación lineal definida por:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )0,00,1,1

1,20,2,0

2,13,0,0

===

T

T

T

a. Determine explícitamente ( )zyxT ,, .

b. Determine base y dimensión del ( )TKer .

16. Dados los vectores ( ) ( )3,7,5,3,5,3,2,1 =−= vu determinar un sistema homogéneotal que el conjunto solución de dicho sistema este generado por vu y .



17. Determine si 33: IRIRT → definida por ( ) ( )zzyzyxzyxT ,,,, +++= esinvertible, si su respuesta es afirmativa determine su inversa.

18. Determine si la transformación lineal 33: IRIRT → definida por

( ) ( )zyzyxzyxzyxT +−++++= 2,33,32,, es invertible.

19. Sea 33: IRIRT → una transformación lineal tal que ( ) ( )3,2,10,0,1 =T ,

( ) ( )0,1,20,1,0 −=T y ( ) ( )3,1,31.0.0 =T .

a. Determine ( )zyxT ,, .

b. Determine una base para el Núcleo de T .

c. Determine base y dimensión de la imagen de T .

20. Sean UWSWVT →→ :,: transformaciones lineales, demuestre que:

a. ( ) ( )STS ImIm ⊂o .b. ( ) ( )TSKerTKer o⊂ .

21. Sea ( ) ( )IRIPIRIPT 42: → definida por ( )( ) ( ) ( )tptttpT 12 ++= demuestre que Tes una transformación lineal y determine la imagen de T .

22. En cada caso determine una transformación lineal 33: IRIRT → que cumpla lapropiedad dada.

a. ( ) ( ){ }1,1,3,2,1,1 −− sea una base para ( )TIm .

b. ( ) ( ){ }2,0,1,1,1,1 − sea una base para ( )TKer .

23. Sea ( ) ( )IRIPIRIPT 32: → una transformación lineal tal que: ( ) 21 2 −= xT ,

( ) xxxT += 3 y ( ) 12 232 ++= xxxT , determine cual de los siguientes polinomiospertenecen a la imagen de T .

a. 32 +− xx .

b. 12 +− xx .



c. 534 3 +− xx .

24. Sea 33: IRIRT → definida por ( ) vuuT ×= donde v es un vector fijo no nulo delespacio:

a. Determine si T es una transformación lineal.

b. Determine el núcleo de la transformación.

c. Determine la matriz asociada a la transformación en las bases canónicas.

25. Considere 24:, IRIRTS → transformaciones lineales definidas por:

( ) ( )

( ) ( )ywzxwzyxT

wzyxwzyxS

−−=

++=

,,,,

,,,,

a. determine la matriz asociada a TS + en las bases canónicas.

b. Determine una base para el núcleo de TS + .

26. Considere la transformación lineal 33: IRIRT → definida por:

( ) ( )yxzxzyzyxT +++= ,4,3,,

a. Determine la matriz asociada a la transformación en la base canónica de3IR .

b. Determinar [ ]WBT donde ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1,2,2,0,1,3,1,3,20,0,1,0,1,1,1,1,1 −−== WB y .

27. Sea 23: IRIRT → una transformación lineal tal que [ ]

−=

013

312WBT donde

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }0,2,1,13,2,1,0,2,0,1,0,1 −=−= WB y son bases de 23 IRIR yrespectivamente.

a. Determine la matriz asociada en las bases canónicas.

b. Determine el núcleo y la imagen de la transformación y sus respectivasdimensiones.



28. Sea V un espacio vectorial de dimensión dos sobre el cuerpo de los númerosreales considere VVT →: una transformación lineal tal que:

( ) ( ) 212211 2 uuuTuuuT +=+=

donde { }21 ,uu es una base de V .

a. En cada caso determinar la matriz asociada en la base indicada.

i. { }21 ,uu .

ii. { }2121 ,2 uuuu ++

b. Determinar la matriz que representa 1−T en la base { }21 ,uu .

c. Determinar ( )21 buauT + en términos de la base { }21 ,uu .



5. Material de Apoyo.

Solemnes Segundo Semestre del 2001

Primera Solemne

Alumno : Nota

Asignatura : Sección:

Profesor : Rossy Rivero – Miguel Muñoz J.

Carrera : Ingeniería de Ejecución Jornada: Diurna

Tipo de Prueba : Teórico Teórico Practico Fecha 09/10/01

Duración : 80 minutos(una hora 20 minutos).

Indique el numero de pregunta que NO responderá: (la cual NO será corregida)

1. Sea

=

31

31

32

32

32

bc

b

a

A determine IRcba ∈,,, si se sabe que A es una matriz

Ortogonal.(15 puntos)

2. Dado el sistema:

2

1

aazyx

azayx

zyax

=++

=++=++

determine los valores de IRa ∈ , si existen, de tal modo que:

a. El sistema tenga infinitas soluciones. (5 puntos)

b. El sistema sea inconsistente. (5 puntos)

c. El sistema tenga solución única, y determine dicha solución. (5 puntos)

3. Determine usando operaciones elementales la inversa de:



−−−

−−−

=

2121

1021

1010

2131

A .(15 puntos)

4. Resuelva los siguientes problemas:

a. Demuestre que si ( )IRMA n∈ es una matriz regular tal que 0=AB , donde

( )IRMB n∈ entonces 0=B .(06 puntos)

b. Si 1

111

321 =zyx

calcule:

231

221

211

−−−

z

y

x

.(09 puntos)

5. Demuestre por Inducción que:

( )

−

=

= −

−−

n

nn

nnnn

n

p

npp

pnn

npp

p

p

p

A

00

02

1

00

10

011

21

(15 puntos)

Observaciones:

1. Solo debe responder cuatro preguntas.

2. No se permite el uso de apuntes, calculadora ni formularios.

3. Justifique sus respuestas.

4. Nota final 10

10+= obtenidoPuntaje



Pauta.

1.

032

32

092

32

032

92

32

191

195

198

91

32

32

92

32

32

32

95

32

92

32

92

32

32

92

32

98

22

22

22

2

2

=+=++

=++=++

=+=+

+++++

++++

+++++

=

bcbac

babc

ba

bcbcbac

bcbba

bacbaa

AAt

de donde obtenemos que 32

,32

,31 ±=±=±= cba .

2.

=

≡

=++

=++=++

22

1

11

11111

a

a

z

yx

a

aa

aazyx

azayxzyax

consideremos la siguiente matriz asociada al sistema:

−−+−−−−−

−−−−−−

322

2

2

32

2

22

1200

11011

~

1110

11011

~

111

1111

aaaaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

a

aaaa

,

por lo tanto el sistema posee solución única si y solamente si:

( )( ) ( )( ) 2102121 22 −≠∧≠⇔≠−+−=−−− aaaaaaaa .

Si 1=a se tiene:



=

−−+−−−−−

0000

00001111

1200

11011

322

2

2

aaaaa

aaaaaa

.

Por lo tanto se tiene que el sistema posee infinitas soluciones.

Si 2−=a entonces:

−−

−=

−−+−−−−−

30006330

4211

1200110

11

322

2

2

aaaaaaaaa

aa.

Por lo tanto el sistema no posee solución.

3.

( )

−−−−−

−−−−

=⇒

−−−−−

−−−−

−−−−

−

−

−−−−

−

−−

−−−−

−

−−

−−−

−−−

−−

−−

−−

−−−

−−−

=

−

1011

0111

1001

1111

1011

0111

1001

1111

1000

0100

0010

0001

~

1011

0111

1001

2112

1000

0100

0010

0031

~

1011

0111

1001

2023

1000

0100

0010

0131

~

1011

0111

1001

0001

1000

0100

0010

2131

~

1011

0111

0010

0001

1000

0100

1010

2131

1001

0101

0010

0001

0010

1110

1010

2131

~

1000

0100

0010

0001

2121

1021

1010

2131

|

1A

IA



4.

a. si A es regular entonces existe 1−A por lo tanto se tiene que:

001 =⇒=− BABA

b. 2

111

3212

111

321

111

2

222

321

111

231

221

211

==−−−

=−−−

=−−− zyxzyxzyx

z

y

x

5.i) Claramente la igualdad es valida para 1=n .

ii) Hipótesis de inducción. Suponemos que para kn = se tiene que:

( )

−

=

−

−−

k

kk

kkkk

p

kpp

pkk

kpp

p

p

p

00

02

1

00

10

011

21

iii) por demostrar que para 1+= kn .



( )

( )

( ) ( )

( )

+

++

=

+

−++

=

−

=

+

+

−+

+

+

−−+

−

−−+

1

1

11

1

1

111

1

211

00

102

11

000

21

00

02

1

00

10

01

00

10

01

k

kk

kkk

k

kkk

kkkkk

k

kk

kkkk

p

pkp

pkk

pkp

pkppp

pkk

kpkppp

p

kpp

pkk

kpp

p

p

p

p

p

p



Segunda Solemne

Alumno : Nota


Profesor : Rossy Rivero – Miguel Muñoz J.

Carrera : Ingeniería de Ejecución Jornada: Diurna



Indique el numero de pregunta que NO responderá(la cual NO será corregida):

Pregunta 3: Pregunta 5:

1. Considere el espacio de las matrices cuadradas de orden n , con lasoperaciones usuales, ( )( )*.,+IRM n . Determine si:

( ){ }TAATIRMAW n =∈= /

es un subespacio de ( )( )*.,+IRM n , donde ( )IRMT n∈ es fija.(12 Puntos)

2. Sea { } VwvuB ⊂= ,, una base del espacio vectorial real V . Determine si elconjunto { }vuuwwvS +−+= ,4,23 es una base de V .(12 Puntos)

3. Considere como espacio vectorial el conjunto de los polinomios de gradomenor o igual a tres, ( )IRIP3 , con las operaciones usuales. Dados

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }{ }32232

3

232,2,1

0111/

xxxxxxxW

pppIRIPxpU

++−+−++−=

=∧−=∈=

a. Determine base y dimensión de WU ∩ .(4 Puntos)

b. Determine base y dimensión de WU + .(4 Puntos)

c. ¿Es ( )IRIP3 WU ⊕= ? Justifique su respuesta. (4 Puntos)

4. Determine si ( ) { }2222 1,73,523,142 xxxxxxxxxp −−−+−+∈−+= .

5. Considere los siguientes subespacios de 4IR :



( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }3,4,3,1,3,2,3,2,2,2,2,1

1,3,3,2,0,3,2,1,1,0,1,1

−−−=

−−=

W

U

a. Determine WU ∩ .(4 Puntos)

b. Determine una base y la dimensión de WU + .(4 Puntos)

c. ¿Es WUIR ⊕=4 ?. Justifique. (4 Puntos)

6. Determine una base ortogonal del subespacio de 4IR generado por el conjuntode vectores ( ) ( ) ( ){ }7,4,2,1,4,2,1,1,1,1,1,,1 −− .(12 Puntos)

Pauta1.

a. ∅≠⇒∈ WW0 .

b. Sean IRWBA ∈∧∈ α, de donde se tiene que:

( )( ) ( ) WBABAT

WBABTATTBTATBA

∈+⇒+=∈+=+=+

ααααα , que ya

Por lo tanto de a y b se tiene que ( )IRMW n≤ .

2. consideremos la combinación lineal:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )wbaubcvcavucuwbwva VV ++−++=⇒=++−++ 24300423

ya que { }wvu ,, es una base de V entonces se tiene que:

{ } I. L es tanto lo por wvucba

ba

bc

ca

,,,0

02

04

03

===⇒

=+=−=+



Por lo tanto, ya que { }vuuwwvS +−+= ,4,23 es un conjunto linealmente

independiente con cardinalidad tres, igual a la dimensión del espacio se tiene que{ }vuuwwvS +−+= ,4,23 es una base de V .

3.{ }{ }{ }1,1

,/

00/

32

32

32

−−=

∈++−−=

=+++∧=++++=

xx

IRdcdxcxxdc

dcbadbdxcxbxaU

Sea Wdxcxbxa ∈+++ 32 por lo tanto se tiene que:

( ) ( ) ( )3223232 23221 xxxrxqxxxpdxcxbxa ++−++−+++−=+++

de donde se deduce que:

{ }0230/

2

3

2

2

32 =++∧=++++=⇒

=+=++=−−=−

cbadbdxcxbxaW

d

c

b

a

rp

rqp

rp

qp

a. { }00230/32 =+++∧=++∧=++++=∩ dcbacbadbdxcxbxaWU así paradeterminar WU ∩ basta resolver el sistema

=+++=++=+

0

02

0

dcba

cba

db

así considerando la matriz asociada al sistema y realizando operacioneselementales obtenemos:

−→

−→

3100

1010

0101

1120

1010

1111

1010

0231

1111

de donde se puede deducir que:

{ } { }3232 33/33 xxxIRddxdxdxdWU ++−−=∈++−−=∩

por lo tanto una base de WU ∩ es { }3233 xxx ++−− y su dimensión es uno.



b. { }3223232 232,2,1,1,1 xxxxxxxxxWU ++−+−++−−−=+

consideremos la siguiente identificación:

( )( )( )( )( )

−−−

−−

−

=

−→++−

−→+−

−→++−−→−

−→−

2320

0102

1111

1001

0101

2,3,2,0232

0,1,0,22

1,1,1,11

1,0,0,11

0,1,0,11

32

2

32

3

2

A

xxx

x

xxx

x

x

matriz la osconsideram si

si realizamos operaciones elementales a la matriz A obtenemos:

−

−−

→

−

−−

→

−−−

−−

→

−−

−−

−

→

0000

1000

0100

1210

0101

0100

1000

0100

1210

0101

2320

1100

0100

1210

0101

2320

0100

1210

1100

0101

A

de donde se deduce que:

{ }( )

{ }32322

32322

,,2,1

4

,,2,1

xxxxxxWU

WUDim

xxxxxxWU

++−−+

=+

++−−=+

es de base una

c. ( ) { }03 ≠∩⊕≠ WUWUIRIP que ya .

4. Para determinar si ( ) { }2222 1,73,523,142 xxxxxxxxxp −−−+−+∈−+=basta determinar si existen IRdcba ∈,,, tales que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−

−−−−⇒

=−+=++

−=+−−−

⇔−++++++−−−=−+

⇔−+−+−++−+=−+

11031

20321

41751

13

232

475

3327542

17352314222

2222

es sistema al asociada matriz la

dba

cba

dcba

dbaxcbaxdcbaxx

xdxcxxbxxaxx

si realizamos operaciones elementales se tiene que:



→

−−−−

−−−−→

−−−−−−−−−−

→

−

−−−−

30720

11310

41751

30720

21430

41751

11031

20321

41751

soluciones infinitas posee sistema el que ⇒

−−−−

−−−−

521300

11310

41751

por lo tanto ( ) { }2222 1,73,523,142 xxxxxxxxxp −−−+−+∈−+= .

5. ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }02033/,,,1,3,3,2,0,3,2,1,1,0,1,1 =−+∧=−+=−= yxwyxzwzyxU por

otro lado se tiene que:

( ) ( ){ } ( ){ }0220/,,,1,2,1,0,0,2,0,1 =−+∧=+=−−= yxzywwzyxW

por lo tanto:

a. { } ( ){ }0,0,0,0022002033 ==−+∧=+∧=−+∧=−+=∩ yxzywyxwyxzWU

b. ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1,2,1,0,1,3,1,0,1,0,1,11.2.1.0,0,2,0,1,1,3,1,0,1,0,1,1 −−=−−=+WU

por lo tanto una base de WU + es ( ) ( ) ( ){ }1,2,1,0,1,3,1,0,1,0,1,1 −− , con lo cual ladimensión de WU + es 3

c. WUIR +≠4 ya que 4IRWU ≠+ .

6.

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )

−=

−−−−−

−−

−−−−−−−=

−−=−=

=

64

,2,67

,61

1,1,1,11,1,1,1

1,1,1,1,7,4,2,12,0,1,1

2,0,1,1

2,0,1,1,7,4,2,17,4,2,1

2,0,1,11,1,1,11,1,1,1

1,1,1,1,4,2,1,14,2,1,1

1,1,1,1

223

22

1

w

w

w



Tercera Solemne

Alumno : Nota

Asignatura : Algebra II Sección:

Profesores : Rossy Riveros. – Miguel Muñoz J.

Carrera : Ingeniería de Ejecución en Computación Jornada: Diurna

Tipo de Prueba : Teórico Teórico Practico X Fecha

Duración : 90 minutos(una hora treinta minutos ).

1. Sean 33:,, IRIRTHGF → transformaciones lineales definidas por:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )yzzyxzyxzyxH

zxzxzyxzyxG

zyyxzyxzyxF

−+++−=−++−=

++−+=

3,,3,,

5,3,,,

,32,42,,

Determine:

a. HGF 53 −+ .(04 Puntos)b. FH o .(03 Puntos)c. 2F .(03 Puntos)

2. Determine 33: IRIRT → transformación lineal tal que ( ) ( )0,0,00,1,1 =−T y

( ) ( )TIm1,1,1 ∈− (10 Puntos)

3. Sea 33: IRIRT → transformación lineal tal que [ ]

−−−

−=

133

445

4673

3

CCT

donde 3C es la base canónica de 3IR . Resuelva los siguientes problemas:

a. Determine ( )zyxT ,, .(05 Puntos)

b. Determine base y dimensión para ( )TKer .(05 Puntos)

c. Determine base y dimensión para ( )TIm .(05 Puntos)

d. Determine si T es un isomorfismo. Si su respuesta es afirmativa determine1−T .(10 Puntos)



e. Considere ( ) ( ) ( ){ }1,2,2,1,1,2,0,1,1 −−−−=β base de 3IR , determine [ ]ββT ,

utilizando [ ] 3

3

CCT .(15 Puntos)

Pauta

1. Si( ) ( )( ) ( )( ) ( )yzzyxzyxzyxH

zxzxzyxzyxG

zyyxzyxzyxF

−+++−=−++−=

++−+=

3,,3,,

5,3,,,

,32,42,,

se tiene que:

a. ( )( ) ( )zyxzyxzyxzyxHGF 178,272,2610,,53 −+−+−+−=−+ .(05 Puntos)

b. ( )( ) ( )zyxzyxzyxzyxFH ++−+−+−= 42,363,2,,o .(05 Puntos)

c. ( ) ( )zyxzyxzyxzyxF ++−+−+= 42,8138,1285,,2 (05 Puntos)

2. consideremos la base ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0,1,0,0,1,1 − y definamos

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1,0,01,0,0

1,1,10,1,0

0,0,00,1,1

=−=

=−

T

T

T

por otro lado se tiene que para todo ( ) 3,, IRzyx ∈ se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

zcyxbxa

cbaacbazyx

=+==⇒

+−=++−=

,,

,,1,0,00,1,00,1,1,,

por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyxxyxycbbbcba

cTbTaTcbaTzyxT

+−−++=+−=+−+=

++−=++−=

,,,,1,0,01,1,10,0,0

1,0,00,1,00,1,11,0,00,1,00,1,1,,

3.

a.



( )[ ]

( ) ( )zyxzyxzyxzyxT

zyx

zyx

zyx

z

y

x

zyxT C

+++−−−+=⇒

+++−−

−+=

−−−

−=

33,445,467,,

33

445

467

133

445

467

,,3

b.

( ) ( )

=++=+−−=−+

∈=033

0445

0467

/,, 3

zyx

zyx

zyx

IRzyxTKer

consideremos la matriz asociada al sistema

unica solución∃⇒

−−−−

→

−→

−→

−−

−

200

810

701

2230

1420

701

133

721

701

133

445

467

por lo tanto se tiene que ( ) ( ){ }0,0,0=TKer

c. Considerando el resultado anterior se tiene por el teorema de ladimensión que ( )( ) 3Imdim =T por lo tanto ( ) 3Im IRT = .

d. T es un isomorfismo ya que T es inyectiva, por la parte b, y esepiyectiva, por la parte c.Además

[ ] [ ]( )

( )

−++−−−+=

⇒

−

−−−

==

−

−−

2233

,2

857,434,,

123

23

425

27

434

1

11 3

3

3

3

zyxzyxzyxzyxT

TT CC

C

C

e.



[ ] [ ] [ ] [ ]

−=

−−−

−

−−−

−

−

−=

=

100

020

001

110

211

221

133

445

467

111

011

201

33

33

CB

CC

BC

BB ITIT

ya que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1,0,21,2,21,1,20,1,11,0,0

1,1,01,2,21,1,20,1,10,1,0

1,1,11,2,21,1,20,1,10,0,1

−==−=⇒−−−+−====⇒−−−+−====⇒−−−+−=

cbacba

cbacba

cbacba



Solemnes Primer Semestre del 2001

Primera Solemne

Alumno : Nota


Profesor :

Carrera : Ingeniería de Ejecución Jornada: Vespertina


Duración : 80 minutos(una h ora 20 minutos).

6. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:

a. Para numero natural n se tiene que:

=

−

n

nnn

x

nxxx

x

00

1 1

(0. 7 Puntos)

b. La matriz

=

111

110

341

A es invertible. (0.7 Puntos)

c. Si ( )ℜ∈ nMBA, son matrices idempotentes que conmutan entonces

( )A B A B AB+ = + +4 14 .(0. 7 Puntos)

7. ¿Existen números reales x, y, z, tales que xA yB zC D+ + = , donde

A =−

1 2

1 4 , B =

2 2

1 3 , C =

−

2 3

4 0 y D =

1 0

0 1?. Fundamente su

respuesta.(1.5 Puntos)

8. Determine los valores de ℜ∈m , si existe, para que el sistema

0

02

0

=+=++=+

mzy

zmyx

ymx

a. Sea inconsistente. (0.5 Puntos)



b. Tenga solución única, y determínela. (0.5 Puntos)

c. Tenga infinitas soluciones y determínelas. (0.5 Puntos)

9. Demuestre solo usando propiedades de determinantes, sin calcularlo, que:

( )3

22

22

22

zyx

yxzzz

yxzyy

xxzyx

++=−−

−−−−

(0.9 Puntos)

Pauta Primera solemne Algebra II

1. a. La afirmación es valida; en efecto lo demostraremos por inducción:

I. Claramente la igualdad se verifica para 1=n .

II. Supondremos valida la igualdad para kn = , es decir:

=

−

k

kkk

x

kxxx

x

00

1 1

III. mostraremos que si 1+= kn entonces es valida la igualdad es decir:

( )

+=

+

+

1

1

0

10

1k

kkk

x

xkxx

x

en efecto:

( )

+=

=

=

+

+−+

1

111

0

1

00

1

0

1

0

1

0

1k

kk

k

kkkk

x

xkx

x

kxxx

x

x

x

x

x

x

x

con lo cual demostramos nuestra afirmación:

b. La afirmación es verdadera, en efecto:

013223

11

230

110

341

111

110

341

≠=+−=−−

=−−

==A



c. La afirmación es valida, en efecto: sabemos que BAABIBIA === ,, 22

por lo tanto obtenemos que:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

ABBA

BAABABBABA

ABABBABBABBAABA

ABABBABABABA

BBAABABBAABABABABA

14

4442

444

2222

222

222

222

2222224

++=+++++=

++++++=

++++=++=

++++++=++=+

2. Para resolver la interrogante resolvamos el sistema:

=

−+

+

− 10

01

04

32

31

22

41

21zyx

que es equivalente al sistema

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

solucion posee no sistema el

25863

000

42500

1910

1221

274700

42500

1910

1221

11670

42500

1910

1221

11670

1230

1910

1221

11670

1230

01140

1221

11670

0411

01140

1221

1034

0411

01140

1221

1034

0411

0322

1221

134

04

0322

122

25

47

73

1142

434232

23314323

⇒

−−

−−

→

−−−

−−

→

−−

−

→

−

−

→

−

→

−

−

→

−

−

→

−

−

⇒

=+=++−=++=−+

−

−−

−

FFF

FFFF

yx

zyx

zyx

zyx

3.



a. El sistema nunca es inconsistente ya que es homogéneo por lo cualsiempre admite la solución trivial ( )0,0,0 .

b. Para que el sistema tenga solución única basta ver que la matriz asociadaal sistema sea invertible.

( )

( ) ( ) 33001202

si soloy sisolucion posee sistema el

200

10

12

20

10

12

022

10

12

01

10

12

10

12

01

22

22

−≠∧≠∧≠⇔≠−−⇔≠−+−

∴

−+−→

−−

→

→

→

mmmmmmmm

mmm

m

m

mm

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

por lo tanto si { }3,3,0 −−∈ IRm entonces el sistema posee solución única.Claramente dicha solución es la trivial.

c. Claramente el sistema posee soluciones infinitas si { }3,3,0 −∈m

4.

( ) ( )

( ) ( )3

00

00

111

22

22

111

22

22

111

22

22

22

22

22

zyx

yxz

xzyzyx

yxzzz

yxzyyzyx

yxzzz

yxzyyzyx

yxzzz

yxzyy

zyxzyxzyx

yxzzz

yxzyy

xxzyx

++=−−−

−−−++

=−−

−−++=−−

−−++

=−−

−−++++++

=−−

−−−−



Segunda Solemne

Alumno : Nota


Profesor : Carlos Figueroa – Miguel Muñoz Jara


Tipo de Prueba : Teórico Teórico Practico X Fecha 13/06/01


1. En el conjunto V IR IR= ×+ + , se definen las operaciones que se detallan acontinuación:

( , ) ( , ) ( , )a b c d ac bd⊕ = ),(),( ααα baba =∗ , α ∈IR .

Determine si ( )∗⊕,,V es un espacio vectorial real.(1.6 Puntos)

2. Considere 3IRV = como espacio vectorial real con las operaciones usuales ylos conjuntos:

( )

=−+=+−

ℜ∈=02

0/,, 3

zyx

zyxzyxH .

( ) ( ){ }0,2,2;1,1,1 −−=W .

a. Demuestre que 3IRH ≤ .(0.4 Puntos)

b. Determine la dimensión de WH ∩ .(0.4 Puntos)

c. Determine una base y la dimensión de WH + .(0.4 Puntos)

d. ¿Es WHIR ⊕=3 ?. Justifique su respuesta. (0.4 Puntos)

3. Resuelva los siguientes problemas:

a. Determine si ( )IRMS 211

11,

21

12,

10

01⊆

= es un conjunto

linealmente independiente. (0.7 Puntos)



b. Sean ( )∗+,,V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y { }321 ,, vvv una base

de V , determine si { }2131231 32,, vvvvvvvB −−−−= es una base de

( )∗+,,V .(0.7 Puntos)

4. Sean { }A = − −( , , ), ( , ,2 1 2 5 2 1 y { }B = − − − −( , , ),( , , ),( , , )4 7 8 15 7 11 1 subconjuntos de

IR3 . Demuestre que A B= .(1.4 Puntos)

Pauta Segunda Solemne Algebra II

1.

a. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]fedcbabdfacefebdacfedcba ,,,,,,,,, ++==+=++ .

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )badcbdacdcba ,,,,, +==+ .(0.2 Ptos)

c. ( ) ( ) ( )baba ,1,1, =+ .(0.2 Ptos)

d. ( ) ( ) ( )bababa

ba , de Inverso1

,1

1,11

,1

,

⇒=

+ .(0.2 Ptos)

e. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )baqbapbababbaababaqp qqppqpqpqpqp ,,,,,,, +=+===+ ++ .

(0.2 Ptos)

f. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )dcpbapdbcabdacpdcbap pppp ,,,,,, +===+ .(0.2 Ptos)

g. ( )( ) ( ) ( )( )baqpbabapq pqpq ,,, == .(0.2 Ptos)

h. ( ) ( )baba ,,1 = .(0.2 Ptos)

2.

a. 3IRH ≤ (0.4 Ptos)

b. ( ){ }0/,, =+= yxzyxW por lo tanto

( ){ } ( ){ }0,0,00020/,, ==+∧=−+∧=−−=∩ yxzyxzyxzyxWH(0.4 Ptos)



c. ( ) ( ) ( ){ }0,2,2;1,1,1;3,2,1 −−−−=+WH para determinar una base de

escalonamos la matriz

−

−−→

−

−−→

−−−−

→

−−

−−=

1400

410

321

620

410

321

620

230

321

022

111

321

sA

claramente el rango de sA es tres así el conjunto ( ) ( ) ( ){ }0,2,2;1,1,1;3,2,1 −−−− es

linealmente independiente por lo cual es una base de 3IRWH =+ . (0.4 Ptos)d. por b. Y c. HWIR ⊕=3 .(0.4 Ptos).

3.

a.

cacbcb

cba

cba

cb

cb

cba

cba

=∧−=⇒

=+=++

⇒

=++=+=+=++

⇒

=

+

+

0

02

02

0

0

02

00

00

11

11

21

12

10

01

Por lo tanto el sistema posee infinitas soluciones, por lo cual el conjunto encuestión es Linealmente Dependiente. (0.7 Ptos)

b. consideremos la siguiente combinación lineal

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

02

3

032

032

321

3211231

===⇒

=−−==

⇒=−+−+−−

⇒=+−−+−+−

cba

cba

cb

ca

vacvcbvcba

vvvcvvbvva

v

v

por lo tanto ( ) ( ) ( ){ }3211231 32;; vvvvvvvS +−−−−= es un conjunto linealmente

independiente de dimensión tres en un espacio de dimensión tres por lo cual esbase. (0.7 Ptos)



4. a. ?=A sea ( ) ⇒∈ Azyx ,,

+−++

−→

+−−

−→

−

−→

−−

zy

zyx

y

zy

yx

y

z

x

y

z

y

x

230

3400

21

230

290

21

12

52

21

12

21

52

por lo tanto ( ){ }034/,, =++= zyxzyxA (0.7 Ptos)

b. ?=B

+−+−++

→

+−+−−−−

→

+−−

−→

−−−

−

yz

zy

zyx

yz

zy

zyx

yz

y

x

z

y

x

021

78190

34000

021

78190

44190

021

157

114

178

157

114

( ){ }034/,, =++= zyxzyxB (0.7 Ptos)



Tercera Solemne

Alumno : Nota


Profesor :


Tipo de Prueba : Teórico Teórico Practico Fecha


1. Sean ( )1,1,1=→a , ( )1,1,1 −=

→b y ( )1,0,1−=

→c vectores :

a. Determine →→→→→→→→

−−−− bacbcbba ,,, . (6 Ptos)

b. Determine un vector unitario ortogonal a los vectores →→

− ba y →→

− cb .Ptos)

2. Determine 44: ℜ→ℜT transformación lineal tal que ( ) ( )TTKer Im= .(9 Ptos)

3. Sea 33: ℜ→ℜT transformación lineal tal que

3

3111

101

111C

C

−

− donde 3C es la

base canónica, determine si T es un Isomorfismo, si lo es determine).,,(1 zyxT − (15 Ptos)

4. Sea ( ) ( )IRMIRMT 22: → tal que ( ) BAABAT −= , donde

−=

20

21B .

a. Demuestre que T es una transformación lineal. (4 Ptos)

b. Determine una base para el subespacio imagen de T .(4 Ptos)

c. ¿ Es T un isomorfismo? Justifique. (4 Ptos)



5. Sea T : 23 IRIR → una transformación lineal tal que [ ]

−=

310

121BAT , donde

( ) ( ) ( ){ }0,0,1;2,1,0;1,0,1 −=A y ( ) ( ){ }1,5;1,1 −−=B

a. Determine T(2,1,-3). (0.3 Ptos)

b. Determine la matriz de cambio de base, de la base canónica de 3IR a labase A. (0.5 Ptos)

c. ¿Cuál es la Nulidad de T? (0.4 Ptos)

Pauta Tercera Solemne Algebra II

1.

a.

( )

( )

3

2

2,1,2

2,0,0

=−

=−

−=−

=−

→→

→→

→→

→→

cb

ba

cb

ba

b. ( ) ( )( )

−=

−−

=⇒−=−

→

0,20

4,

20

20,4,20,4,2

osConsiderem0,4,2

212

200 w

kji

2. consideremos la base canónica de 4IR y una transformación lineal tal que:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )0,0,,,,,

0,0,1,01,0,0,0

0,0,0,10,1,0,0

0,0,0,00,0,1,0

0,0,0,00,0,0,1

wzwzyxT

T

T

T

T

=⇒

====

3. ( ) ( )zyxzxzyxzyxT ++−++−= ,,,,

a.



( ) ( )

( ){ }0,0,0

0

0

0

/,, 3

=

=++−=+=+−

∈=zyx

zx

zyx

IRzyxTKer

por lo tanto T es inyectiva. Por el teorema de la dimensión tenemos que( )( ) 3=TIMDim , por lo cual ( ) 3IRTIM = .

Con lo cual podemos concluir que T es un Isomorfismo.

Para determinar la inversa de T basta determinar la inversa de la matriz3

3][ C

CT

−

−−

→

−→

−

−→

−

−

2/102/1100

011010

2/112/1001

2/102/1100

011010

010101

101200

011010

001111

100111

010101

001111

por lo tanto ( )

++−−+−=−

22,,

22,,1 zx

yxz

yx

zyxT .

4.

−

−+−=

−−

−

=

zz

wyxz

wz

yx

wz

yx

wz

yxT

23

2322

20

21

20

21

a.

+

=

+−−

−−+++−−=

++++

−−

−

++++

=

+

dc

barT

wz

yxT

rczrcz

rdwrbyraxrcz

rdwrczrbyrax

rdwrczrbyrax

dcba

rwzyx

T

2233

22332222

2021

2021

por lo tanto T es lineal.

b. ( )

−−

=23

02,

0

10TIM

c. T no es Isomorfismo ya que T no es sobreyectiva.

5.



a. ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )2,341,581,163,1,2

8

6

3

1

5

310

1213,1,2

310

1213,1,2

=−−−−=−∴

−−

=

−

−=−

−=−

T

T BB

b.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

−

−=⇒

++−−=−+−=++−=

121

010

120

0,0,12,1,01,0,11,0,0

0,0,122,1,001,0,120,1,0

0,0,12,1,001,0,100,0,1

3

A

CI



Solemnes Segundo semestre 2000

Segunda Solemne

Alumno : Nota


Profesor : Miguel Angel Muñoz Jara




1. Sea V= 3ℜ y sean los subconjuntos:

=−+=+−

ℜ∈=

=+ℜ∈=

02

0/),,(

}02/),,{(

32

31

zyx

zyxzyxH

yxzyxH

a. Demuestre que 2H es un subespacio de 3ℜ .

b. Encuentre una base para 21 HH ∩ y determine su dimensión.

c. Encuentre una base para 21 HH + y determine su dimensión.

d. ¿ Es 3ℜ = 21 HH ⊕ . Justifique?

2. Sea V={ }ℜ∈= xexfxf x ,)(/)( , se definen en V las siguientes operaciones:

ℜ∈==+ + αα αxyx exfeyfxf )()()(

Demuestre que V es un espacio vectorial sobre ℜ .

3. Dados u=(1,0,-1,2), v=(-1,2,3,-1) y w=(0,-1,1,-1), determine si (1,2,5,2) y(1,1,8,4) pueden ser escritos como combinación lineal de u,v y w.

4. Si { })1,0,0,1();1,0,1,0();0,1,0,1();1,1,1,1( −=W determine W por comprensión y su

dimensión.



Tercera Solemne

Alumno : Nota






1. Determine 34: ℜ→ℜT transformación lineal tal que 2)(( =TKerDim y

T(1,1,1,1) = (1,1,1) .

2. Sea 34: ℜ→ℜT lineal tal que T(x, y, z)=(x + y, w - y, y - x)

a. Determine una base y la dimensión para Ker(T).

b. Determine una base y la dimensión para Im(T).


3

3111

111

111C

C

−

− donde 3C es la

base canónica, determine si T es un Isomorfismo, si lo es determine).,,(1 zyxT −

4. Demuestre que si WVT →: es un isomorfismo y },......,,{ 21 kvvvB = es

linealmente independiente entonces )}(),.....,(),({ 21 kvTvTvTW = es Linealmente

Independiente.



Solemne Recuperativa

Alumno : Nota






1. Si A, B [ ]ℜ∈ nM y A es invertible. Demuestre que

(A +B ) A 1− ( A - B ) =( A – B ) A 1− (A +B ).(5 Puntos)

2. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique surespuesta.

a. Si A )(12 ℜ+kM es antisimétrica entonces |A t | =0.(5 Puntos)

b. Si A y B son invertibles entonces A + B es invertible. (5 Puntos)

c. Si A nI≡ por filas entonces existe P invertible tal que A 1− = PA. (5

Puntos)

d. Si A, B, C )(ℜ∈ nM , B regular y AB = C, entonces A = B 1− C. (5 Puntos)

e. Sea A )(ℜ∈ nM invertible y U )(ℜ∈ nM tal que U t AU = A, entonces que

U es invertible. (5 Puntos)


{ }

=−+=+−

ℜ∈=

−−−=

02

0/),,(

)0,1,2();2,1,0();1,1,1(

32

1

zyx

zyxzyxH

H

a. Demuestre que 2H es un subespacio de 3ℜ .(5 Puntos)

b. Encuentre una base para 21 HH ∩ y determine su dimensión. (5 Puntos)



c. Encuentre una base para 21 HH + y determine su dimensión. (5 Puntos)

d. ¿ Es 3ℜ = 21 HH ⊕ . Justifique? (5 Puntos)


β

β

−

−

111

111

111

donde

β={(1,1,1);(0,1,0);(0,0,-1)} es base 3ℜ , determine si T es un Isomorfismo, si lo

es determine ).,,(1 zyxT − (10 Puntos)



Examen Final

Alumno : Nota



Carrera : Ingeniería de Ejecución Jornada: Nocturna




mx y zx my z

y mz

+ − =+ + =

+ =

02 0

0

a. Sea inconsistente.b. Tenga solución única, y determínela.c. Tenga infinitas soluciones y determínelas.

2. Determine si V= 3ℜ con las siguientes operaciones es un espacio vectorial:

ℜ∈=⊗+++=⊕ kcebeaecbakczbyaxcbazyx kkk ),,(),,(),,(),,(),,(


{ }

=−+=+−

ℜ∈=

−−−=

02

0/),,(

)0,1,2();2,1,0();1,1,1(

32

1

zyx

zyxzyxH

H








β

β

−

−

111

111

111

donde


es determine ).,,(1 zyxT −



Examen Recuperativo

Alumno : Nota







1

02

1

=+=++=−+

mzy

zmyx

zymx

a. Sea inconsistente.

b. Tenga solución única, y determínela.

c. Tenga infinitas soluciones y determínelas.

2. Determine 34: ℜ→ℜT transformación lineal tal que 1)(( =TKerDim y T(1,1,1,1)= (1,1,1), T(0,0,0,1)=(0,0,0,1).


=−+=+−

ℜ∈=

=+ℜ∈=

02

02/),,(

}022/),,{(

32

31

zyx

zyxzyxH

yxzyxH








β

β

−

−

111

111

111

donde


es determine ).,,(1 zyxT −



NOMBRE ALUMNO :

ASIGNATURA : Algebra II SECCION 1 y 2 NOTA

PROFESOR : Daniel Munar, Miguel MuñozCARRERA : Ing. Ejecución en Informática JORNADA DTIPO DEPRUEBA:

TEORICO X TEORICO PRACTICO FECHA 08 11 00

TIPO DEEVALUACION:

SOLEMNE X EXAMEN ORD. EXAMEN REP.

NUMERO DE PREGUNTAS DE LAPRUEBA

4 TIEMPO MAX. PARA RESPONDER 80 Min.

Instrucciones

1. Conteste cada pregunta en una página, Hoja 1, pregunta 1 y 2, Hoja 2, pregunta 3 y4.

2. No Puede usar calculadora, apuntes ni libros.3. No se permiten consultas.4. Cada pregunta tiene puntuación de 1 punto.

Solemne 2

1. Determine si D pertenece al espacio generado por { A , B , C }

A =

−03

21 ; B =

−16

24 ; C=

−30

12 ; D =

−86

12

2. Determine si el conjunto A = { }4,923,73 234 ++++++ xxxxxx eslinealmente independiente.

3. En el conjunto IR2 se definen las siguientes operaciones

(a , b ) + ( c , d) = ( a + c , b + d )),( baα = ( )0,a⋅α

Determine si IR² con estas operaciones es un espacio vectorial sobre IR

4. Dados los siguientes subconjuntos de IR 3 :



H = { ( x , y , z ) }0/3 =−∈ zyR

W = { ( 2, -3,-3) ; ( 0 ,0 ,1) ; ( 2 , -3 , -2) }

Demuestre que H es un subespacio de 3IR , determine una base y sudimensión.



NOMBRE ALUMNO :

ASIGNATURA : Algebra II SECCION 1 NOTA

PROFESOR : Miguel MuñozCARRERA : Ing. Ejecución en Informática JORNADA VTIPO DEPRUEBA:

TEORICO X TEORICO PRACTICO FECHA 13 11 00

TIPO DEEVALUACION:



4 TIEMPO MAX. PARA RESPONDER 80 Min.

Instrucciones

5. No Puede usar calculadora, apuntes ni libros.6. No se permiten consultas.7. Cada pregunta tiene puntuación de 1,5 punto.

Solemne 2

1. Sea 3IRV = y sean los subconjuntos:

( ){ }02/,, 31 =+∈= yxIRzyxH

( ){ }020/,, 32 =−+∧=+−∈= zyxzyxIRzyxH

a) Demuestre que 2H es un subespacio de 3IR .

b) Encuentre una base para 21 HH ∩ y determine su dimensión

c) Encuentre una base para 21 HH + y determine su dimensión.

d) ¿Es 213 HHIR ⊕= ?, justifique su respuesta.

2. Sea { }IRxexfxfV x ∈== ,)(/)( se definen en V las siguientes operaciones:

IRexfeyfxf xyx ∈=⋅∧=+ + αα α)()()(demuestre que V es un espacio vectorial sobre IR.



3. Dados ( ) ( ) ( )1,1,1,01,3,2,,1,2,1,0,1 −−=−−=−= wyvu determine si

( ) ( )4,8,1,12,5,2,1 y pueden ser escritos como combinación lineal de de u, vy w.

4. Si ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,1;1,0,1,0;0,1,0,1;1,1,1,1 −=W determine W por comprensión,

una base y su dimensión.



NOMBRE ALUMNO :

ASIGNATURA : Algebra II SECCION 1, 2 NOTA

PROFESOR : Daniel Munar, Miguel Muñoz

CARRERA : Ing. Ejecución en Informática JORNADA DTIPO DEPRUEBA:

TEORICO X TEORICO PRACTICO FECHA 29 11

00

TIPO DEEVALUACION:



4 TIEMPO MAX. 80 Min.

Instrucciones

5. No Puede usar calculadora, apuntes ni libros.6. No se permiten consultas.7. Cada pregunta tiene puntuación de 1,5 puntos.

Solemne 3

1. Sean:

{ }

{ })1,2,1(;)0,2,4(;)1,0,1(;)1,1,1(

020/),,( 3

−−=

=+∧=++∈=

W

zxzyxIRzyxH

a. Demuestre que 3RH < .

b. Determine una base y la dimensión de WH ∩ .

c. Determine una caracterización para el espacio W

2. Determine 33: IRIRT → tal que 1))(( =TKerDim , y

T(0,1,-1) = (1,1,1) y T(1,1,1) = (1,1,0)

3. Sea 34: IRIRT → lineal tal que T(x, y, z, w) = (x + 2y, w - y, y - 2x)

c. Determine una base y la dimensión para Ker(T).

d. Determine una base y la dimensión para Im(T).



4. Sea 33: IRIRT → tal que

3

3111

110

011C

C

−

−− donde 3C es la base canónica,

determine si T es un Isomorfismo.

algebra lin cap01 - profemunar.weebly.com · matriz posee orden 3x2 la segunda matriz posee orden...

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