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CAPITULO 3ºSOLUCIÓN ECUACIÓN DE ESTADO-

02

Ing. Diego A. Patiño G. M Sc, Ph.D.

Solución de ecuaciones de estado no estacionarias

El método aplicado para deducir la solución en el caso estacionario no sirve para el caso no estacionario.Una condición suficiente para la existencia y unicidad de solución de la ecuación anterior es que la función matricial A(t) sea una función continua de t.En el caso estacionario la solución planteada se baso en la conmutación de funciones de matrices y es de la forma:

Sea el sistema no estacionario descrito por las ecuaciones


De la propiedad

Se puede extender a la forma matricial?

Extendiendo para el caso no estacionario la solución de la ecuación escalar no estacionaria x’(t) = a(t)x(t) con condición inicial x(0) es


La extensión de la solución escalar al caso matricial no es válida en el caso no estacionario pues

La exponencial matricial puede expresarse como el desarrollo en serie de potencia:


dado que para distintos tiempos t y τ las matrices A(t) y A(τ) son distintas, y por ende en general no conmutan, A(t)A(τ) ≠ A(τ)A(t). Se concluye que en general,

no es una solución de x’(t) = A(t)x(t) y se debe usar otro método para derivarla.

El método que se usará requiere la introducción de la matriz fundamental del sistema.


Se asume que existe una solución única para cada condición inicial x(t0) y para cada entrada de control u(t). La solución de las ecuaciones forma un espacio vectorial lineal.

Existe solución única si todos los elementos de A, {aij}, son continuos.El conjunto {xi} define n soluciones LI en el intervalo [to t1] de la ecuación homogénea:

)()()()( 0txcontxtAtx iii =&


∑∑==

=⇒=n

iii

n

iii txtxt

1100 )()()( αξαξ

Cualquier solución adicional ξ(t) debe ser una combinación lineal de los xi(t):

Como la dimensión del espacio solución es n, existen n vectores de condiciones iniciales linealmente independientes xi(to) y cada uno define una solución de la ecuación homogénea, notada xi(t) para t ≥ t0

Un conjunto particular de los n vectores de condiciones iniciales es:

;][)(;....][)(;][)( 00201T

nTT ttt .1 0. 0.0 1. 0.0 0. 1 === υυυ


[ ] nxnnn tttt ℜ∈= ),(),(),()( 2211 υυυ xxxΨ

Las n soluciones obtenidas se agrupan en una matriz ψ n × n

La matriz ψ tiene las propiedades:

[ ][ ]

)()()(

),(),(),(),(),(),()(

)(

21

2211

0

ttt

ttttttt

t

n

nn

n

ΨAΨ

xAxAxAxxxΨ

IΨ

=

==

=

&

&&&&

υυυυυυ

n21 (t)(t)(t)

Teorema (No singularidad de la Matriz Fundamental). Una matriz fundamental ψ(t) es no singular para todo t.


n

o

tcontttIΨ

xΨx=

=)(

)()()(

0

)()()( 000 ttt xΨx =

Si la matriz ψ(t) existe, se define la solución de la ecuación homogénea como:

Condiciones iniciales:

Verificación:

)()()(

)()()()()()()(

00

ttt

ttttttt

xAx

xΨAxΨxx

=

==

&

43421&&

La solución propuesta es una solución única de la ecuación homogénea.

Solución de ecuaciones de estado no estacionariasEjemplo: Dada la ecuación homogénea

La solución de la primer componente x1’(t) = 0 es x1(t) = x1(0); la solución de la segunda componente x2’(t) = tx1(t) es

Para condiciones iniciales:


se tienen las soluciones

Como los estados iniciales v1 y v2 son linealmente independientes,

Como las columnas de ψ(t0) se pueden elegir LI de muchas formas, la matriz fundamental ψ(t) no es única; pero es no singular para todo t.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+= 222

11)( 22 tttΨ

Solución de ecuaciones de estado no estacionariasSolución no homogéneaComo la matriz fundamental es no singular:

[ ])()(

)()()()(

)()()()(

0)()()()(

0)()(

)()(

1

11

111

11

1

1

tAttttAt

tdttdt

dttd

dttdtt

dttddt

ttd

Itt n

−

−−

−−−

−−

−

−

Ψ−=

ΨΨΨ−=

ΨΨ

Ψ−=Ψ

=Ψ

Ψ+ΨΨ

=ΨΨ

=ΨΨ

Solución de ecuaciones de estado no estacionariasLa ecuación dinámica de estado:

)()()()]()([

)()()()()()()()()()()()()()()()(

)()()()()(

11

111

111

1

tttdt

ttd

tttttttttttttttt

ttttt

dtd

uBx

uBxAxuBxAx

uBxAx

−−

−

+

−−

−−−

Ψ=Ψ

Ψ=Ψ−Ψ

Ψ+Ψ=Ψ

+=

−4434421

&

&

&

ψ

Solución de ecuaciones de estado no estacionariasIntegrando a ambos lados:

4444 34444 2143421

321

tiempoel con VarianteLineal Sistema nConvolució

HomogéneaSolución

ττττ

ττττ

ττττ

dtttt

dttttt

dtttt

t

t

t

t

t

t

)()()()()()()(

)()()()()()()()(

)()()()()()()(

10

100

1

100

11

0

0

0

uBxx

uBxx

uBxx

I

−

−−

−−−

ΨΨ+Ψ=

ΨΨ+ΨΨ=

Ψ=Ψ−Ψ

∫

∫

∫

No existe un método general para evaluar ψ(t)


)()(),( 1 ττ −ΨΨ=Φ tt

444 3444 2143421

tiempoel con VarianteLineal Sistema nConvolució

HomogéneaSolución

ττττ dtttttt

t

)()(),()(),()(0

00 uBxx ∫Φ+Φ=

Matriz de Transición de Estado: Sea ψ(t) cualquier matriz fundamental de x’(t) = A(t)x(t). Entonces la matriz

se llama matriz de transición de estados de x’(t) = A(t)x(t). La solución para x(t) :

En el caso estacionario (A(t) = A constante), la solución es directamente X(t) = eA(t−t0)X(t0), y la matriz de transición depende únicamente de la diferencia t – t0

)(0

0),( ttett −= AΦ

Solución de la Ecuación de EstadoEjemplo. Para el sistema en el ejemplo anterior obtenemos

→y así

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+=−

21

4

211

4)( 2

2

1

t

t

tΨ


τττττ ∀=ΨΨ=Φ −nI)()(),(.1 1

Propiedades de la Matriz de Transición de Estado:

)(t,(t)

)()()(),(

)()()()( ),(

2

1

1

)()(

1

τ

ττ

τττ

ΦA

A

=

ΨΨ=Φ

Ψ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ψ

=ΨΨ=Φ

−

−

Ψ

−

ttdttd

dttdt

dtd

dttd

ttA43421


43421

HomogéneaSolución

)(),()( 00 tttt xx Φ=

21002

01

2

01

111

20112

,,),()()(

)()()()(),(),(

ttttttt

tttttttt

∀Φ=ΨΨ=

ΨΨΨΨ=ΦΦ

−

−−

4434421I

La solución de la ecuación homogénea es:

φ(t, t0) es un operador lineal que toma al vector de estado en t0 y produce un vector en t.

[ ]),(

)()()()(),(

0

10

10

10

1

tt

tttttt

Φ=

ΨΨ=ΨΨ=Φ −−−−

La matriz es simétrica respecto al tiempo:

Solución de ecuaciones de estado no estacionariasLa salida y es

La respuesta a entrada nula es

y la respuesta a condiciones iniciales nulas se puede escribir como

que corresponde con la representación entrada/salida


Comparando estas dos última expresiones se concluye que la respuesta del sistema a un impulso aplicado en el instante τ está dada por

Resumiendo, la solución general de la EE en sistemas no estacionarios requiere resolver

para obtener X(t), o bien la solución de la ecuación

para obtener Φ(t,t0). Estas ecuaciones son difíciles de resolver, salvo para casos especiales.


Hay casos especiales que pueden ser muy útiles:1. La matriz A(t) es triangular; como por ejemplo

2. La matriz A(t) posee la propiedad conmutativa

En este caso se puede resolver la ecuación escalar x1’(t) = a11(t)x1(t) y substituir la solución en la ecuación de x2,

para todo t y t0 (como es el caso de A(t) diagonal o constante).

Solución de ecuaciones de estado no estacionariasEntonces puede probarse que la solución está dada por

3. La matriz A(t) es nilpotente Ap = 0 para todo p > q. Empleando la serie integral de Peano – Baker:

...)()()(

)()()(),(

012210

0110000

1

0

0

00

0

000

+

+++=Φ

∫∫∫

∫∫∫

ττττττ

ττττττ

ττ

τ

dddAAA

ddAAdAItt

tt

t

t

t

t

t

t

t

Sistemas Discretos

La definición de estado se puede extender a los sistemas discretos:

Para el caso lineal:

( ) ( )( )kkkk

kkkk

ttutxhtyttutxftX

),(),()(),(),(1

==+

( ))()()()()(

)()()()(1kukDkxkCkykukBkxkAkX

+=+=+

Sistemas Discretos

Discretización:Una aplicación directa de la fórmula de variación de los parámetros es la discretización de sistemas para simulación o diseño de controladores digitales. Dado que la gran mayoría de los sistemas de control se implementan en forma digital, será necesario en alguna etapa del diseño convertir señales análogas a discretas o modelos de sistemas continuos a modelos discretos.

Sistemas Discretos

• Analógico/Digital, o muestreador, convierte la señal medida en tiempo continuo y(t) en una secuencia de valores discretos y[k], aptos para ser procesados digitalmente.

• Digital/Analógico, o retenedor, convierte la secuencia discreta de control u[k] producida por el controlador digital en la entrada analógica u(t) a la planta.

Se asume por simplicidad que los dos conversores operan en sincronismo y con un período T. Dado un sistema en tiempo continuo G representado por:

Sistemas Discretos

La ley de conversión del retenedor de orden cero es

mientras que la ley de conversión del muestreador ideal es

Se obtendrá un modelo discreto Gd asumiendo un retenedor de orden cero (D/A) a la entrada y un muestreador ideal (A/D) a la salida, que son los casos más simples de estos conversores.

Sistemas Discretos

Discretización Exacta:

Se puede obtener un modelo discreto exacto del sistema continuo usando la fórmula de variación de los parámetros que da la solución general de la EE. La salida del retenedor de orden cero (D/A) se mantiene constante durante cada período de muestreo T hasta la próxima muestra,

Para esta entrada que cambia de valor en los instantes de muestreo, se puede emplear la solución del sistema continuo para evaluar el estado del sistema en el instante de muestreo t = (k + 1)T,

Sistemas Discretos

donde en la última línea se define σ = (k + 1)T − τ.

Sistemas Discretos

El modelo discreto

donde

Este modelo proporciona el valor exacto de las variables en t = kTpara una entrada constante a tramos.

Sistemas Discretos

Para calcular Bd se emplea la expansión en serie de potencia:

Si A es no singular:

....!3!2

232

0

+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++∫

ATATTI

dτT

ττ ...2!

AAI2

2

( )IA

IIAAAA

A −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++++

−

−

Te

TTT

1

33

22

1 ...!3!2

I)B(AAB d1

d −= −

Sistemas Discretos

Teorema (Van˜Loan [1978]). Dados los enteros positivos n1, n2 tales que n1 + n2 = n. Si se define la matriz triangular n × n

donde A1 ∈ Rn1×n1, A2 ∈ Rn2×n2 y B1 ∈ Rn1×n2.

Sistemas Discretosentonces para t ≥ 0

Aplicando el teorema para

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

00BA

C

se obtiene

( ) ( )TGBTFA dd 11 y ==

En MATLAB la función [Ad,Bd] = c2d(A,B,T) calcula Ad y Bd de estas expresiones.

Sistemas Discretos

)()()()()()1(

kkkkkk

DuCxyBuAxx

+=+=+

La solución de las EEs estacionarias en tiempo discreto

es muy sencilla. Para el caso homogéneo, con el valor inicial dado por x(0):

)0()(

...)0()1()1()2(

)0()1(2

xAx

xAxxAx

xAx

dd

d

kdk =

===

=

Sistemas DiscretosPara el caso no homogéneo, además de las condiciones iniciales se debe conocer la secuencia de entrada u(0), u(1)…..

∑−

=

−− −+=

+++==

++=+==

+==

1

0

1

23

2

)1()0()(

...)2()1()0()0()3(:2

)1()0()0()1()1()2(:1

)0()0()1(:0

k

jd

jkd

kd juBk

BuBuk

Buk

k

AxAx

uBAAxAx

uBAxAuBxAx

uBxAx

dddd

ddddd

dd

∑=

− −+=k

jd

jkd

kd juBk

1)1()0()( AxAx

Que se puede escribir:

Sistemas Discretos

∑=

−

−+=

=k

jd

jkd

juBjkjkk

jk

1)1(),()0(),()(

),(

ΦxΦx

AΦLa matriz de transición de estados discreta:

Para el caso discreto invariante los valores y vectores propios se evalúan lo mismo que en el caso invariante continuo.

)(ˆ)(ˆ)()()()(ˆ)(ˆ

)()()1()()(

kk

kkkkk

kkkkk

d

uDξC

uDMξCyuBξA

uBMMξAMξMξx

dd

dd

d

d1

d1

+=

+=+=

+=+

=−−

Sistemas DiscretosCaso No estacionarioLa solución de las EEs no estacionarias en tiempo discreto

es mucho más simple que el caso en tiempo continuo. A partir de un instante j:

[ ])1()1()()()1()()()1(

)1()1()()()()()1()1()1()1()1()2(:1

)()()()()1(:

++++++=+++++=

+++++=+++=+

jjjjjjjjjjjjjjj

jjjjjjjjjjjj

ddddd

dddd

dd

dd

uBuBAxAAuBuBxAA

uBxAxuBxAx

Sistemas Discretos

n

k

kid

k

jid

k

jid

Iicon

jkijk

jik

=

≥∀=Φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∏

∏

∏

−

=

−

=

−

=

1

1

1

)(:

)(),(

)()()(

A

A

xAx

estado de transición de matriz La

Por inducción:

Para el caso homogéneo:

)1()1()()()()(1

11

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∏∏

+=

−

=

−

=

iiqjik d

k

ji

k

iqd

k

jid uBAxAx

Sistemas Discretos

)1()1(),()(),()(1

−−Φ+Φ= ∑+=

iiikjjkk d

k

jiuBxx

La matriz de transición de estados es un operador lineal: transforma el vector de estado en el instante j al vector de estado en el instante k.

La solución general de la EE en el caso discreto es:

La matriz de transición de estados discreta cumple con:

kIkk ∀=Φ ),(

Sistemas DiscretosDado que la matriz fundamental en el caso en tiempo continuo es no singular para todo t, la matriz de transición de estados está definida para todo t, t ≥ t0 y t < t0. En el caso discreto, si la matriz Ad es singular la inversa de Φ[k,j] puede no está definida.Φ[k,j] está definida para k ≥j y controla la propagación del vector de estado en el sentido positivo únicamente.Por lo tanto la contraparte discreta de la propiedad

sólo es valida si k ≥ m ≥ j

kmjyjmkjkjmmk ≤≤∀Φ=ΦΦ ,,),(),(),(

REFERENCIAS

1. CHEN C.T. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999

2. BAY J.S. Fundamentals of Linear State Space Systems, New York: McGraw Hill International Edition,. 1999.

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