Control AutomáticoControl Automático

Control por realimentación de estado

ContenidoContenidoContenidoContenido

Controlabilidad De estado De salida En tiempo discretoe po d sc e o

Realimentación de estado Cálculo por sustitución directa Cálculo por sustitución directa Cálculo por transformación FCC

Cál l l fó l d A k Cálculo por la fórmula de Ackermann Ejemplos y ejerciciosE. Interiano 2

ControlabilidadControlabilidadControlabilidadControlabilidad

L t l bilid d t t d l i t i d La controlabilidad trata de la existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue a algún estadoestado del sistema llegue a algún estado arbitrario en un tiempo finito.

El concepto de controlabilidad es la base El concepto de controlabilidad es la base para solucionar el problema de la ubicación de polosde polos

Si el sistema es de estado completamente controlable entonces es posible seleccionarcontrolable, entonces es posible seleccionar los polos en lazo cerrado deseados (o las raíces de la ecuación característica) )

E. Interiano 3

ControlabilidadControlabilidad de estadode estadoControlabilidadControlabilidad de estadode estado

Partimos del sistema)()( tt BuAxx

Para que este sistema sea de estado

)()()( ttt DuCxy

Para que este sistema sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz de controlabilidad M desuficiente que la matriz de controlabilidad M de n x nr tenga rango n

]B A B A AB[BM 1-n2

E. Interiano 4

Pruebas para la Pruebas para la controlabilidadcontrolabilidadde estadode estado Si M no es cuadrada, se puede formar la

matriz MM’, que es de n x n; entonces si MM’es no singular M tiene rango n.

El par [A, B] es completamente controlable si A y B están en la Forma CanónicaA y B están en la Forma Canónica Controlable o FCC, o son transformables a la Forma Canónica ControlableForma Canónica Controlable

E. Interiano 5

Pruebas para la Pruebas para la controlabilidadcontrolabilidadde estado (2)de estado (2)

Si l l i d A dif t A Si los valores propios de A son diferentes y Aestá en la Forma Canónica Diagonal el par [A B] es completamente controlable si todos[A, B] es completamente controlable si todos los elementos de B no son cero

Si A está en la Forma Canónica de Jordan, el par [A B] es completamente controlable siel par [A, B] es completamente controlable si NO todos los elementos en los renglones de B que corresponden al último renglón deB que corresponden al último renglón de cada bloque de Jordan son cero

E. Interiano 6

Ejemplo 1:Ejemplo 1: ControlabilidadControlabilidadEjemplo 1: Ejemplo 1: ControlabilidadControlabilidad

Sea el sistema descrito por:

12 1

La matriz de controlabilidad es

1- 0 1 2

A

01

B

La matriz de controlabilidad es

2- 1

ABBM

Que es singular y por lo tanto el sistema es

0 0

no controlable.

E. Interiano 7

ControlabilidadControlabilidad de salidade salidaControlabilidadControlabilidad de salidade salidaS l i tSea el sistema

)()()()()( tt

DCBuAxx

El sistema posee controlabilidad de salida completa sí y

)()()( ttt DuCxy

El sistema posee controlabilidad de salida completa sí y sólo sí, la matriz de m x (n + 1) r posee rango mp g

] [ BCA BCA CAB CBD -1n2

Así, la presencia del término Du(t) ayuda a establecer la controlabilidad de la salida.

E. Interiano 8

ControlabilidadControlabilidad de estado en de estado en tiempo discretotiempo discretoPartimos del sistema

)()())1(( kTkTTk dd uBxAx

Para que este sistema sea de estado)()()( kTkTkT DuCxy

Para que este sistema sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz de controlabilidad M desuficiente que la matriz de controlabilidad M de n x nr tenga rango n

]2ddddddd B A B AB A[BM -1n

E. Interiano 9

Ejemplo 2: Ejemplo 2: ControlabilidadControlabilidad en en tiempo discretotiempo discretoSistemas completamente controlables

2)(01 1 kx )(

32

)()(

2- 0 0 1

)1(2

1 kkxkx

k ux

001 0

)()(

1200012

)1()1( 11

kkx

kkx

)()(

000 30 0

)()()(

15200120

)1()1()1(

2

13

2

3

2

kuku

kkxkx

kkxkx

)(

1 20 0

)()(

50015

)1()1( 2

5

4

5

4

kxkx

kxkx

E. Interiano 10

ControlabilidadControlabilidad de salida en de salida en tiempo discretotiempo discretoSea el sistemaSea el sistema

)()())1(( kTkTTk dd uBxAx

El sistema posee controlabilidad de salida completa sí y ól í l t i d ( 1)

)()()( kTkTkT DuCxy

sólo sí, la matriz de m x (n + 1) r posee rango m

1

Así, la presencia de la matriz D en la ecuación de salida ][ d

1-ndddd BCA BCA CB D

psiempre ayuda a establecer la controlabilidad de la salida.

E. Interiano 11

ControlabilidadControlabilidad de estado de estado completo a partir de G(s) o G(z)completo a partir de G(s) o G(z)

L di ió d t l bilid d i La condición de controlabilidad necesaria es que no haya cancelación polo-cero en la función de transferencia o matrices defunción de transferencia o matrices de transferencia; ya que si se produce cancelación el sistema no se podrá controlarcancelación el sistema no se podrá controlar en la dirección del modo cancelado.

)5.0()( zG

Debido a la cancelación del polo (z+0 5) el)8.0)(5.0(

)5.0()(

zzzzG

Debido a la cancelación del polo (z+0.5), el sistema no es de estado completamente controlablecontrolable.

E. Interiano 12

Realimentación de estadoRealimentación de estadoRealimentación de estadoRealimentación de estado

Tenemos un sistema descrito porBuAxx

Hacemos la señal u comoKxu

Sustituyendo obtenemos)()( txBKAx

E. Interiano 13

)()( txBKAx

Realimentación de estadoRealimentación de estadoRealimentación de estadoRealimentación de estado

P d b l i tPuede observarse que el nuevo sistema posee una nueva matriz )(~ BKAA )(

Que posee nuevos valores propios 1, 2, …n

0))(det( BKAIE. Interiano 14

0))(det( BKAI

Condición necesaria y suficiente Condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de polospara la ubicación arbitraria de polos

La ubicación arbitraria de los polos para un determinado sistema, es posible si y solo si, el sistema tiene estado completo controlable, es decir, la matriz M tiene rango n (tiene inversa en un sistema SISO).

Los valores propios de la matriz A – BK (que se designan 1, 2, …n) son los polos dese designan 1, 2, …n) son los polos de lazo cerrado deseados

E. Interiano 15

Ejemplo 3: Ubicación de Ejemplo 3: Ubicación de polos por tres métodospolos por tres métodosConsidere el sistema continuo

xx010

u

x

xx

01106.20

y

u

Requisitos: se desea colocar arbitrariamente los polos de lazo cerrado en 1 8 j 2 4 es

x01y

los polos de lazo cerrado en = -1.8 j 2.4 es decir, los valores propios de (A – BK) deben ser:ser:

1 = -1.8 + j 2.42 = -1.8 – j 2.4E. Interiano 16

Ejemplo 3: Prueba de aptitud, Ejemplo 3: Prueba de aptitud, controlabilidadcontrolabilidadV ifi l l t i t l bilid d MVerificamos la que la matriz controlabilidad Mtiene rango 2; por lo que es controlable

0110

ABBM

La ecuación característica del sistema es 01

106.20

6.201 2

AI

Y las raíces características son = 4.539. El i t i t bl !El sistema es inestable !E. Interiano 17

Ejemplo Ejemplo 3.1: Solución 1 3.1: Solución 1 por por sustitución directa de Ksustitución directa de KPor sustitución directa de K = [k1, k2] en el polinomio característico deseado

10

06.2010

00

21

kk

BKAI

6.20620

112

2

kkkk

Comparando con (-1)(-2) = 2 + 3.6 + 9

6.20 21 kk

K = [ 29.6 3.6 ][ ]E. Interiano 18

Transformación a FCCTransformación a FCCTransformación a FCCTransformación a FCC

ˆ Se define como un nuevo vector de estadox̂xTx ˆ

Si el sistema tiene estado completo controlable, es transformable a la forma FCCcontrolable, es transformable a la forma FCC y entonces la matriz T tiene inversa.

Utilizando la matriz T se puede transformar el sistema a la forma canónica controlable:s s e a a a o a ca ó ca co t o ab e

BuTxATTx 11 ˆ̂

E. Interiano 19

Cálculo de la matrizCálculo de la matriz TTCálculo de la matriz Cálculo de la matriz TT

S T l t i d t f ió M lSea T la matriz de transformación, con M la matriz de controlabilidad MWT

Y con

011

32

121 n

aaaaa

Y con

W

00

00

01

11na

donde los ai son los coeficientes del polinomio característico

E. Interiano 2001

11 aaa n

nn

AI

Ecuación característicaEcuación característicaEcuación característicaEcuación característica

La ecuación característica del sistema realimentado se encuentra como

0BKTTATTITBKAITBKAI 111 ))(()(

Donde KT de define como la matriz de coeficientes

110 n KT

Sustituyendo T-1AT, T-1B y KT en

0 BKTTATTI 11E. Interiano 21

0 BKTTATTI

Ecuación característica (2)Ecuación característica (2)Ecuación característica (2)Ecuación característica (2)

Obtenemos

00

001000010

I

110

101000

0 n

aaaa

I

1210 1naaaa

010001

1000

010

11221100

1000

nnaaaa

1E. Interiano 22

0)()()( 00111

11 aaa n

nnn

La matriz KLa matriz KLa matriz KLa matriz K

Igualando los coeficientes del polinomio característico de (A-BK) con los coeficientes de potencias iguales de obtenidos de los polos deseados obtenidos de los polos deseados

0)())(( 011

121 n

nn

n

0)()()( 1 nn

000000 aa 110KT

0)()()( 00111

11 aaa n

nnn

111111 aa

1

110

110

TK

KT

n

n

Finalmente:111111 nnnnnn aa

1TKE. Interiano 23

1111100 TK nn aaa

Pasos para el diseño por Pasos para el diseño por ubicación de polos por FCCubicación de polos por FCC1 V ifi l di ió d t l bilid d d l i t M1. Verifique la condición de controlabilidad del sistema con M.2. A partir del polinomio característico de la matriz A,

011

1 aaa nn

n AIdetermine los valores de

3. Determine la matriz de transformación T que transforma la ecuación de estado del sistema a la forma canónica controlable

011n

ia

ecuación de estado del sistema a la forma canónica controlable (si ya está en forma FCC, entonces T = I).

4. Utilizando los valores propios i deseados, halle el polinomio t í ti di tcaracterístico correspondiente

determine los valores de i

011

121 )())(( n

nn

n

i5. Determine la matriz K de ganancia de realimentación de estado

1111100

TK nn aaa

E. Interiano 24

00 nn

Ejemplo Ejemplo 3.2: Solución 2 3.2: Solución 2 por por transformación a FCCtransformación a FCCY l i t t f FCC T IYa que el sistema esta en forma FCC, T = I

Se tiene de la ecuación característica queSe tiene de la ecuación característica quea1 = 0, a0 = -20.6

De los valores de deseadosDe los valores de i deseados

(-1)(-2) = ( + 1.8 - j2.4) ( + 1.8 + j2.4) = ( 1)( 2) ( j ) ( j )

2 + 3.6 + 9

1 = 3.6 , 0 = 9E. Interiano 25

Ejemplo 3: Solución por Ejemplo 3: Solución por transformación a FCC (cont.)transformación a FCC (cont.)Por lo tanto

K = [ (0 – a0) (1 – a1) ] T-1

K = [ (9 + 20.6) (3.6 – 0) ] I-1

K = [ 29.6 3.6 ]

E. Interiano 26

Fórmula deFórmula de AckermannAckermannFórmula de Fórmula de AckermannAckermann

Para sistemas SISO, existe una forma sistemática de calcular la matriz K

1

φ(A)MK 1100

( ) í

φ(A)BAABBK 1n 1100

φ(A) es el polinomio característico del sistema realimentado, evaluado en la matriz A del sistema originaloriginal.

Si el sistema es completamente controlable, la matriz de controlabilidad M tiene rango n y es no singularde controlabilidad M tiene rango n y es no singular.

E. Interiano 27

Ejemplo Ejemplo 3.3: Solución 3 3.3: Solución 3 usando usando la fórmula de la fórmula de AckermannAckermannConsidere el sistema

xx010

u

x

xx

01106.20

y

u

se desea colocar arbitrariamente los polos de lazo cerrado en 1 8 j 2 4 es decir los

x01y

lazo cerrado en = -1.8 j 2.4 es decir, los valores propios de (A – BK) deben ser:

1 = -1.8 + j 2.42 = -1.8 – j 2.42

E. Interiano 28

EjemploEjemplo 3 3:3 3: cálculo decálculo de φφ(A)(A)Ejemplo Ejemplo 3.3: 3.3: cálculo de cálculo de φφ(A)(A)2Calculamos φ(A) con

96.3 IAAφ(A) 2

96.3)( 2

9009

016.746.30

20.60020.6

φ(A)

φ( )

9006.70.60

6.36.29

φ(A)

Finalmente

6.2916.74

φ( )

6.36.296.2916.74

6.36.290110

101

K

E. Interiano 30

6.2916.7401

Ejemplo 3: ResultadosEjemplo 3: ResultadosEjemplo 3: ResultadosEjemplo 3: Resultados

RealimentadoOriginal

Respuesta realimentadacon u = -Kx

E. Interiano 31

Ejemplo 3:Análisis de resultadosEjemplo 3:Análisis de resultadosEjemplo 3:Análisis de resultadosEjemplo 3:Análisis de resultados

Se puede apreciar que la matriz K puede obtenerse por varios métodos y que el resultado esperado para los valores de los polos de lazo cerrado se cumple en todos los casos

También se puede observar que la realimentación de estado, de la forma planteada, no corrige el error de estado estacionario

E. Interiano 32

Ejemplo Ejemplo 4: 4: Usando la fórmula Usando la fórmula de de AckermannAckermannEl i t di tEl sistema discreto

)(1

)(675.065.1

)1( kukk

xx )(0

)(01

)1( kukk

xx

0.01sT )(825.01)( kky xTiene el polinomio característico (en z)

)()(y

6750651 z675.065.1

1675.065.1 2

zzz

zz AI

con polos en z = 0.9 y z = 0.75 y

1065.11

M

E. Interiano 33

EjemploEjemplo 4:4: continuacióncontinuaciónEjemplo Ejemplo 4: 4: continuacióncontinuación

Los polos de lazo cerrado deben estar en25.025.02,1 j

Y el error de estado estacionario debe ser cero ante una entrada escalón normalizada

2,1

cero ante una entrada escalón normalizada

El polinomio característico deseado esEl polinomio característico deseado es 125.05.0))(()( 2

21 zzzzz

Después de comprobar la controlabilidad φ(A)ABBK 110

E. Interiano 34

φ(A)ABBK 10

EjemploEjemplo 4:4: cálculo decálculo de φφ(A)(A)Ejemplo Ejemplo 4: 4: cálculo de cálculo de φφ(A)(A)

Calculamos φ(A) 125.05.0 IAAφ(A) 2

125.000125.0

05.03375.0825.0

0.675-1.651.1138-2.0475

φ(A)

φ( )

5.0005.00.675.65

77625.034.1

φ(A)

Finalmente

55.015.1

φ( )

55.015.155.015.1

77625.034.11065.11

101

K

E. Interiano 35

55.015.110

Ejemplo 5: El sistema Ejemplo 5: El sistema realimentado no homogéneorealimentado no homogéneo

Donde r(k) es una entrada forzada y K0 es una ganancia que se calcula para que el error de estado estacionario sea cero con

u(k) = K0r(k) - Kx(k)( ) 0 ( ) ( )E. Interiano 36

Ejemplo 5: El sistema Ejemplo 5: El sistema realimentado no homogéneo (2)realimentado no homogéneo (2)

~ ~Las matrices yA B))()(()()()()1( 0 kkrKkkukk KxBAxBAxx

)(~)(~)1(

)()()()1())()(()()()()(

0

0

krkk

krKkk

BxAx

BxBKAx

125.05.0

]550151[1675.065.1~ BKAA

)()()1( krkk BxAx

01

]55.015.1[001

BKAA

0*

01~ 0

00

KKKBB

E. Interiano 37

Ejemplo 5: Haciendo cero el Ejemplo 5: Haciendo cero el error de estado estacionarioerror de estado estacionarioEncontramos la función de transferencia

125.05.0]82501[~)~()( 0

11

KzCG BAI

0 825)+(z01

]825.01[)()( 1

z

zCzG BAI

G(z) representa

0.125 + z 0.5 -z0.825)+(z)( 20 KzG al sistema

(estable) de lazo cerrado

Para una entrada escalón normalizada, con el teorema del valor final, (z 1), calculamos K0

K0 = 0.625/1.825 = 0.3425

E. Interiano 38

Ejemplo 5: ResultadosEjemplo 5: ResultadosEjemplo 5: ResultadosEjemplo 5: Resultados

Respuesta compensadacon u = -Kx y K0 = 0.3425

E. Interiano 39

Ejemplo 5: Análisis de resultadosEjemplo 5: Análisis de resultadosEjemplo 5: Análisis de resultadosEjemplo 5: Análisis de resultados

Los polos de lazo cerrado se encuentran en el sitio deseado.

El error de estado estacionario es cero; pero requiere conocer exactamente la planta, y ante cualquier cambio, debe reajustarse la constante Kdebe reajustarse la constante K0.

El método usado no es recomendable para eliminar completamente el error de estado estacionario es mejorcompletamente el error de estado estacionario, es mejor aplicar el método de la realimentación de estado integral.

Para este ejemplo el tiempo de muestreo parece muy Para este ejemplo, el tiempo de muestreo parece muy grande para la ubicación deseada de los polos. Se está exigiendo al sistema ser demasiado rápido.Se está exigiendo al sistema ser demasiado rápido.

E. Interiano 40

ResumenResumenResumenResumen

El proceso de diseño inicia con la selección de la ubicación deseada para los polos a partir de algún tipo de requisitos típicamente de comportamiento entipo de requisitos, típicamente de comportamiento en el dominio del tiempo.

La controlabilidad es un requisito sine qua non para La controlabilidad es un requisito sine qua non para la ubicación de polos por realimentación de estado.

Existen varios métodos de cálculo para la matriz ste a os étodos de cá cu o pa a a atganancia constante K.

La corrección del error de estado estacionario debe hacerse por aparte de la ubicación de polos.

El método es aplicable a sistemas en tiempo continuo y tiempo discreto.

E. Interiano 41

Ejercicio 1: Resuelva usando la Ejercicio 1: Resuelva usando la fórmula de Ackermannfórmula de AckermannC id l i tConsidere el sistemacontinuo

xx 05.0

00215.02

u

xx

10000

010002

u

se desea colocar arbitrariamente los polos de lazo cerrado en:

x100y

cerrado en:1 = -1 + j

= 1 j2 = -1 – j 3 = -5 Solución: K = [10 13 12]

E. Interiano 42

EjerciciosEjerciciosEjerciciosEjercicios

ukxkx

0.00039080.01931

)(0.999510.038630.02414-0.9319

)1(

1 Encuentre si el sistema es completamente )(1.250)( kxky

1. Encuentre si el sistema es completamente controlable,

2 Encuentre la matriz K que ubica los polos de2. Encuentre la matriz K que ubica los polos de lazo cerrado en = 0.6 +/- j0.25

3 A) Q é t d d b t?3. A) ¿Qué es respuesta dead beat?B) Encuentre la matriz K si el sistema

t l d d b t t d d b tcontrolado debe tener respuesta dead-beatE. Interiano 45

TareaTareaTareaTarea

Investigue el método para calcular K para sistemas MIMO. ¿Cuál función de Matlab realiza este cálculo?

Investigue la realimentación de estado integralintegral

Investigue que es un observador de estado Investigue que es un observador de estado

E. Interiano 46

ReferenciasReferenciasReferenciasReferencias

[1] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.

[2] Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en tiempo discreto“, Prentice Hall, 1996, 2ªtiempo discreto , Prentice Hall, 1996, 2 Ed., México.

E. Interiano 47