algebra 2do sec

7 8

9 10

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES

CONCEPTOEstudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones

que existen entre ellos, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.

POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número denominado

base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.

Representación:

. .

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

LEYES FUNDAMENTALES1. Producto de Potencias de Igual Base

. xa . xb = xa+b .

Ejemplos:1. 33 . 34 = 37

2. 5–5 . 5–4 . 57 = 5–2

2. Cociente de Potencias de Igual Base

. . x 0

Ejemplos:

1.

2.

3. Producto de Potencias de Diferente Base

. xa . ya = (x . y)a .

Ejemplos:1. 33 . 43 = (3 . 4)3

2. 82 . 22 = (8 . 2)2

4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes

. . y 0

Ejemplos:

Álgebra Álgebra


1.

2.

5. Potencia de Potencia

. .

OBSERVACIÓN:(XA)B = (XB)A = XA . B

6. Exponente Negativo

. . . . x 0 y 0

Ejemplos:

1.

2.

7. Exponente Nulo o Cero

. x0 = 1 . x 0

Ejemplos:

1.

2.

8. Exponente Fraccionario

. . b 0

Ejemplos:

1.

2.

9. Producto de Radicales Homogéneos

. .

Ejemplos:

1.

2.

10.Potencia de un Radical

. .

11.Raíz de Raíz

. .

OBSERVACIÓN

Álgebra Álgebra

11

12

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplos:

1.

2.

TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE, INTERPRETA LA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD, Y APROVECHARÁ LA SITUACIÓN PARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Simplificar:

Rpta.

2. Si

Hallar

Rpta.

3. Reducir

5. Reducir:

Rpta.

6. Reducir:

Rpta.

7. Luego de reducir:

Rpta.

Rpta.

4. Reducir

Rpta.

8. Si:

Hallar:

Rpta.

9. Simplificar:

Rpta.

10. Indicar el exponente final del número 2

Rpta.

11. Reducir:

n Q

Rpta.

12. Simplificar:

Rpta.

13. Hallar el valor de “M + 3”, si:

Rpta.

14. Indicar el valor de “K” si:

Rpta.

15. Luego de reducir el radical, indicar como respuesta, 6 + M

Rpta.

Álgebra Álgebra

13 14

15


COMO UN IR Y VENIR DE OLA DE MAR, ASÍ QUISIERA SER EN EL QUERER, DEJAR A UNA MUJER PARA VOLVER, VOLVER A OTRA MUJER PARA EMPEZAR

LEONIDAS YEROVI

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Simplificar:

A) 510 B) 515 C) 512

D)513 E) 515

2. Si:

, hallar Q + 3

A) 3 B) 4 C) 5D)6 E) 7

3. Efectuar:

A) 5 B) 6 C) 7D)8 E) 11

4. Reducir:

5. Reducir:

A) B) C)

D) E)

6. Reducir:

A) B) C)

D)E)

7. Simplificar:

A) B) C)

A) A–1 B) A-2 C) A-5

D)A-6 E) A-7D) E)

8. Indicar el exponente final del número 3. en

A) B) C)D) E)

9. Luego de reducir el radical, indicar el valor de M + 2:

A) 2 B) 4 C) 6D)8 E) 10

10.Reducir:

A) B) C)D) E)

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”

V.L.E.B.

LA BELLEZA ES UNA FORMA DEL GENIO; MÁS ALTA EN VERDAD, QUE EL GENIO, PUES NO NECESITA EXPLICACIÓN. ES UNA DE LAS GRANDES REALIDADES DEL MUNDO, COMO EL SOL O LA PRIMAVERA, O EL REFLEJO EN EL AGUA OSCURA DE ESA CONCHA DE PLATA QUE LLAMAMOS LA LUNA. NO PUEDE SER DISCUTIDA; TIENE SU DEFECTO DE SOBERANÍA

OSCAR WILDE

Álgebra Álgebra

16

17 18


CLAVES

1. C

2. D

3. B

4. D

5. C

6. D

7. C

8. E

9. C

10. A

¿SABÍAS QUÉ...

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El químico farmacéutico, como miembro de las profesiones médicas del equipo de salud, es el especialista del medicamento, alimento y tóxico, con sólida formación científica, tecnología y humanística, con capacidad ejecutiva y de liderazgo.

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TEMA: POLINOMIOS

CONCEPTOEs aquella expresión algebraica en 2 o más términos.

GRADO DE UN POLINOMIO

1. Grado Relativo (GR)

Álgebra Álgebra

19

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Es el mayor exponente de la variable en referencia.

Ejemplo:

Luego:GR(x) = 10GR(y) = 7

2. Grado Absoluto (GA)a) Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos.b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto

de los monomios que lo conforman

POLINOMIOS ESPECIALESSon aquellos que tienen ciertas características y de acuerdo a ello

son:

1. Polinomio OrdenadoCuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada:Ejemplos:1. P(x;y) = 5x + x2y + 4x5

Es ordenado creciente respecto a “x”

2. Es ordenado y creciente respecto a “b”Es ordenado y creciente respecto a “a”

2. Polinomio CompletoSi existen todos los grados incluyendo el término independiente, hasta un grado determinado

Ejemplos:1. P(x) = 3x2 – 5x + 7 – 2x3

Es completo de grado 3

2. Q(x;y) = 3x – 2y2 + 5x2y + x3y4 – 2x4y3

Es completo respecto a “x” e “y”

Propiedad:En todo polinomio completoNúmero de términos = G.A. + 1

3. Polinomio HomogéneoEs homogéneo si cada uno de los términos tiene el mismo G.A.

Ejemplo:P(x;y) = 32x3y4 + 20x6y – 10x2y5

Propiedad:Términos Semejantes:Dos o más términos no nulos son semejante si solo difieren en los coeficientes.Ejemplo:T1(x,y) = 21x7y4

T2(x,y) = x7y4

T3(x,y) = x7y4

4. Polinomio IdénticosDos o más polinomios son idénticos cuando tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor de la variable

Ejemplo:P(x;y) = (x + y)2 – 4xyQ(x;y) = (x – y)2

a) Polinomio Idénticamente NuloUn polinomio es idénticamente nulo, si para cualquier valor de su variable el polinomio se anula.

b) Polinomio MónicoUn polinomio es un monico cuando el coeficiente principal es 1.Ejemplo:A(x) = 1 + x2 + x3

Álgebra Álgebra

20

21

22

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO B(x) = 9x4 + x3 + x5

Propiedad:1. Cambio de Variable

Ejemplo:Sea P(x)=3x + 1 P(x + 1) = P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1P(x + 1) = 3x + 3 + 1P(x + 1) = 3x + 4

2. Suma de Coeficientes

. .

Ejemplo:Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1

3. Término Independiente:

. .

Ejemplo:Sea: P(x) = (5X + 3)2

T.I. = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9

CUANDO TE ACERQUES A LOS PRINCIPALES Y MAGNATES, ACUÉRDATE DE QUE HAY ALLÁ ARRIBA UN PRÍNCIPE MÁS GRANDE AÚN, QUE TE V Y TE ESCUCHA, Y A QUIEN DEBES COMPLACER ANTES QUE A NADIE...

EPICLETO

EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DE MATEMÁTICA

1. Calcular: (a – b) si el monomio:M(x,y) = 5x2a + b ya + 2b; tiene G.A. = 15 y G.R.(x) = 8

A) B) C) D) E)

ResoluciónM(x;y) = 5x2a +b ya + 2b

G.R.(x) = 82a + b = 8 b = 8 – 2a .... (I)

G.A. = 15(2a + b) + (a + 2b) = 153a + 3b = 15 .... (II)

Reemplazamos (I) en (II):3a + 3(8 – 2a) = 153a + 24 – 6a =15

9 = 3a . a = 3 .

Reemplazamos el valor de a = 3; en (I)b = 8 – 2(3) . b = 2 .

. a – b = 3 – 2 = 1 . Rpta. A

2. Si el grado de: F(x,y) = es 2. Calcular el grado de Q(x;y) = xaya + 5

A) B) C) D) E)

Álgebra Álgebra

23

24

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO ResoluciónAplicando la propiedad:

En el: F(x;y) = ; obtenemos:

F(x;y) =

Por dato:

a + 3 = 2(a – 2) a + 3 = 2a – 4

. 7 = a .

Luego, reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio:Q(x;y) = xa . ya + 5

Q(x;y) = x7. y7 + 5 = x7 . y12; siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19

. El grado de: Q(x;y), es: 19 . Rpta. D

3. Calcular: “m + n”, si se sabe que el monomio:P(x;y) = 4nxm + nym + 2n es de:G.A. = 10; G.R.(Y) = 6

A) B) C) D) E)

Resolución Por dato:

G.R.(y) = 6m + n2 = 6 m = 6 – 2n .... (I)

G.A. = 10(m + n) + (m + 2n) = 10 .... (II)

Reemplazando (I) en (II); obtenemos:2(6 – 2n) + 3n = 1012 – 4n = 3n = 10

. 2 = n .

Reemplazamos el valor de n = 2; en (I)m = 6 – 2(2) m = 2

. m + n = 2 + 2 = 4 . Rpta. B

4. Siendo F(x) =

Determinar: F(98)G.A. = 10; G.R.(Y) = 6

A) B) C) D) E)

Resolución Aplicando: . (A - B)2 = A2 – 2AB + B2 .

Obtenemos:

F(x) =

F(x) =

F(x) = x + 2 de esta expresión, calculamos:F(98) = 98 + 2 = 100

. F(98) = 100 . Rpta. D

5. Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique:i) f(0) = 5 ii) f(–1) = 3Según ello determine f(1)A) B) C) D) E)

ResoluciónComo f(x) es un polinomio de primer gradoSerá de la forma: f(x) = ax + b

Luego: f(0) = a(0) + b

. 5 = b .

Álgebra Álgebra

25

26

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO f(–1) = a(–1) + b

3 = –a + b3 = –a + 5 . a = 2 .

De la expresión: f(x) = ax + bf(x) = 2x + 5

Calculamos: f(1) = 2(1) + 5

. f(1) = 7 . Rpta. E

6. Si: P(x;y) = 2yxm + 1 – 3xmyn + 5 . yn + 2 . x. Tiene el grado relativo en “x” a 7, y en “y” a 9, hallar el grado absoluto del polinomio.

A) B) C) D) E)

Resolución G.R.(x) = 7

m + 1 = 7 . m = 6 .

G.R.(y) = 9n + 2 = 9 . n = 7 .

Del polinomio: P(x;y) = 2yxm + 1 – 3xmyn + 5 . yn + 2 . x

Luego el grado absoluto del polinomio es:

. m + n = 6 + 7 = 13 . Rpta. B

7. Si el grado de “A” es 8 y el grado de “B” es 4. Calcular el grado de:

A) B) C) D) E)

Resolución Grado de “A” = 8

Grado de (A2) = 2 x 8 = 16

Grado de “B” = 4 Grado de (B3) = 3 x 4 = 12

Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman:Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28

Grado (A2B3) = 28

Cuando la expresión está afectada por un radical el grado se divide por el índice radical

Grado

. Grado . Rpta. C

8. Indicar el grado relativo de “y en el polinomio homogéneo:

A) B) C) D) E)Resolución Como el polinomio es homogéneo, el grado de cada monomio

debe ser igual, o sea:n2 + 4 = 2n + 3 = 5 – mi) n2 + 4 = 2n + 3

n2 – 2n + 1 = 0(n – 1)2 = 0 . n = 1 .

ii) 2n + 3 = 5 – m2(1) + 3 = 5 – m5 = 5 – m . m = 0 .

Luego, calculamos el grado relativo de “y”G.R.(y) = 5 – m = 5 – 0 = 5

. G.R.(y) = 5 . Rpta. D

9. Determinar “m” si el siguiente polinomio es homogéneoP(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2

A) B) C) D) E)

Álgebra Álgebra

27

28

29 30

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Resolución Como el polinomio:

P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2

Es homogéneo:m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2 m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2

i) m + n + 4 = 2m + n + 2

. 2 = m . Rpta. B

10.Si el polinomio P(x;y) es idénticamente nulo, hallar

P(x;y) = (9 – n)x2y + mxy2 + 3x2y – 2xy2

A) B) C) D) E)

Resolución En primer lugar agrupamos los términos semejantes de la

manera siguiente:P(x;y) = (9 – n)x2y + mxy2 + 3x2y – 2xy2

P(x;y) = (9 – n + 3)x2y + (m – 2)xy2

P(x;y) = (12 - n)x2y + (m – 2)xy2

Para que este polinomio:P(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb + x2m . yn + 2

Sea idénticamente nulo, debe cumplirse que:

i) (12 – n) = 0 . 12 = n .

ii) m – 2 = 0 . m = 2 .

Luego:

. . Rpta. E

11.Hallar A + B + C en la identidad:

Ax2 + Bx2 – Cx + B = x2 + 3x – 1

A) B) C) D) E)ResoluciónAgrupamos los témanos de manera la siguiente:

(Ax2 + Bx2) – Cx + B = x2 + 3x – 1

(A + B)x2 – Cx + B = x2 + 3x – 1

Identificando:

i) . .

ii) –C = 3 . C = -3 .iii) . B = –1 .

Luego: A +B + C = + (–3)

. . Rpta. C

12.El siguiente es un polinomio ordenado y completo de grado 2:P(x) = xa – b + 2xa + 1Hallar: a2 – b2

A) B) C) D) E)

ResoluciónComo el polinomio es ordenado y completo de grado 2.P(x) = xa – b + 2xa + 1; debe cumplirsei) a – b = 2

ii) a = 1

Remplazamos (ii) en (i)1 – b = 2 –1 = b

Luego:

Álgebra Álgebra

31

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO a2 – b2 = (1)2 – (–1)2 = 1 – 1 = 0

. a2 – b2 = 0 . Rpta. B

13.Sea: B(x) = x+ 5 B([P(x)]) = 2x + 3Hallar: P(1)A) B) C) D) E)

Resolución De la condición: B(x) = x+ 5

Calculamos: B[P(x)] = P(x) + 5 2x + 3 = P(x) + 5 2x + 3 = P(x) P(x) = 2x – 2

De esta última expresión: P(x) = 2x – 2 P(1) = 2(1) – 2 = 0

. P(1) = 0 . Rpta. A

14.Siendo: A = mxm + 3 y2m + n A = mx2n – 1 y3m + 1

Términos semejantes. Dar su suma:A) B) C) D) E)Resolución Por ser términos semejantes,. Debe cumplirse:

i) xm + 3 = x2n – 1 m + 3 = 2n – 1. m = 2n – 4 . .... (I)

ii) y2m + n = y3m + 1 2m + n = 3m + 1. n – 1 = m . .... (II)

Reemplazamos (I) en (II)n – 1 = 2n – 4 . 3 = n .

Reemplazamos N = 3 en (II)3 – 1 = m . m = 2 .

Luego, reemplazamos el valor de “m” y “n” en “A” y “B”, obteniendo:A = 2x5y7 B = 3x5y7

. A + B = 5x5 y7 . Rpta. B


1. Si P(x+1) = 3x – 2Calcular: P(2)

Rpta.

2. Si P(x) = 2x – 2x – 1

CalcularP(1) + P(2) + P(3)

Rpta.

3. Calcular (a – b) si el

6. Sea: R(x) = 4x + 3 N(x) = 2x – 5Hallar R(N(3))

Rpta.

7. Sea F(3x – 1) = 2x + 3 P(x) = 4x – 1Hallar P(F(2))

Rpta.

Álgebra Álgebra

32

33

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO monomio:M(x;y) = 5x2a + b ya + 2b

Tiene G.A. = 15 y G.R(x) = 8

Rpta.

4. Determinar “m”, si el siguiente polinomio es homogéneoP(x;y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . yb ++ x2m . yx + 2

Rpta.

5. SeaP(x) = 3x90 – 27x88 +3x2 – 4xHalar P(3)

Rpta.

8. El siguiente es un polinomio ordenado y completo de grado 3:P(x) = xa – b + 4xa – 7xb + 5Hallar a2 + b2

Rpta.

9. Sabiendo que:

A(x) = y B(x) = x2

+ x – 1Halar el valor de A(B(2))

Rpta.

10.Si P(x + 1) = x2.Hallar: P(P(P(2)))

Rpta.

11.Sea P(x) = 4x + 1

Hallar

Rpta.

12.Sea P(x – 5) = 5x + 5

Hallar

13.Si:P(x) = 2x + 3Hallar P(P((2))

Rpta.

14.Determinar “n” si el siguiente polinomio es homogéneoP(x;y) = 6xm + 2 . yn + 3 + 4xm + 1 . y2n – 1

Rpta.

15.Sea B(x) = x + 5 B(P(x)) = 2x 3Hallar P(1)

Rpta. Rpta.


1. Si P(x – 1) = 5x – 3Hallar P(3)

A) B) C)D) E)

2. Si P(x) = 3x + 1 + 3x – 2

Calcular

A) B) C)

D) E)

5. Sea

P(x) = 5x100 – 25x99 + 6x2 –

3x

Hallar P(5)

A) B) C)

D) E)

6. Sea R(x) = 3x + 4

N(x) = 5x – 1

Hallar R(N(2))

A) B) C)

D) E)

Álgebra Álgebra

34

35

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 3. Calcular (a – b), si el

monomioM(x;y) = 8x3a + b . ya + 3b

Tiene G.A = 16 y = G.R(x) = 10

A) B) C)D) E)

4. Sea:P(x;y) = 3xa–8y6 + 4xa–11 . y5 + 7xa–13 . y20

Cuyo G.R.(x) = 7, hallar el G.A.

A) B) C)D) E)

7. Sabiendo que:

A(x) = y B(x) = x2 – x

+ 1

Hallar el valor de B(A(2))

A) B) C)

D) E)

8. Sea: P(x - 4) = 4x – 4

Hallar

A) B) C)D) E)

9. Si: P(x) = 3x + 2Hallar P(P(–2))

A) B) C)D) E)

10. Sea: M(x) = x+ 7 N(M(x)) = 3x + 2Hallar N(7)

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. B

2. C

3. B

4. B

5. C

6. B

7. D

8. B

9. D

10. B

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El Microbiólogo Parasitólogo estudia los microorganismos y los parásitos, considerando sus aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, evolutivos taxonómicos, así como sus interrelaciones entre sí, con otros organismos y el medio ambiente.

Es un estudio profesional con criterio científico, tecnológico y humanístico; con capacidad de aplicar los conocimientos de la microbiología y parasitología para el control de plagas y

Álgebra Álgebra

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37

38

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO enfermedades que afectan al hombre, animales y plantas; así como para la prevención y el control de la contaminación. Aplica sus conocimientos de la ingeniería de diseños y procesos para la explotación industrial de microorganismos benéficos.

Evalúa y califica la calidad microbiológica de materias primas, insumos empleados en la producción de alimentos, bebidas, cosméticos, fármacos, etc.

Posee capacidad de gestión empresarial y de organización de proyectos de inversión, producción y de servicios.

TEMA: PRODUCTOS NOTABLES

CONCEPTOSon los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se

obtienen en forma directa.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES

1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)

. (a b)2 = a2 2ab + b2 .

Identidades de Legendre (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b) = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)

Ejemplos:

(a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a

2. Diferencia de Cuadrados

. a2 – b2 = (a + b) (a – b) .

Ejemplos:

(x + 2) (x – 2) = x2 – 4

3. Binomio al Cubo

. .

. .

Ejemplo: (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33

(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27(2 + 3)3 = 125

4. Producto de Binomios con Término Común

. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .

5. Suma y Diferencia de Cubos

. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) .

. a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) .

Ejemplos: x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2) (x2 – 2x + 4) x3 + 27 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ x3 – 64 = x3 – 43 = (x - 4) (x2 + 4x + 16) x3 – 125 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

6. Trinomio cuadrado

Álgebra Álgebra

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40

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO . (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .

Ejemplos: (x + y + 2)2 = x2 + y2 + 4 + 2(xy + 2x + 2y) (a + b + 3)2 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Ejemplos de aplicación:1) Simplificar:

Rpta.

2) Si: a2 + b2 = 25, simplificar

Rpta.

3) Simplificar:

Rpta.PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Simplificar:

Rpta.

6. Reducir “M”:

Rpta.

2. Si se cumple que: a2 +b2

= 3ab. Reducir:

Rpta.

3. Reducir:

Rpta.

4. Efectuar:

Rpta.

5. Siendo:

Hallar x2

Rpta.

7. Efectuar:

Rpta.

8. Efectuar:

Rpta.

9. Si se cumple que:

Calcular

Rpta.

10. Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1Calcular: (x + y)2

Rpta.

11. Reducir:

Rpta.

13. Si: m + n = 2; m . n = 1Hallar m3 + n3

Rpta.

14. Si: n2 = n + 1 Hallar

Rpta.

Álgebra Álgebra

41 42


12. Si: ; hallar

Rpta.

15. Si: (a + 3b) (a – 3b) = 0

Calcular

Rpta.


1. Simplificar:

A) B) C)D) E)

2. Si se cumple que: x2 + y2

+ 4xy

5. Siendo:

Hallar x2

A) B) C)D) E)

6. Reducir:

Reducir:

A) B) C)D) E)

3. Reducir:

A) B) C)D) E)

4. Efectuar:

A) B) C)D) E)

A) B) C)D) E)

7. Efectuar:

A) B) C)D) E)

8. Efectuar:

A) B) C)D) E)

9. Si se cumple que:

Calcular:

A) B) C)D) E)

10. Si (x – y + 2)(x – y + 2) = 4Calcular (x – y)2

A) B) C)D) E)

CLAVES

Álgebra Álgebra

43

44


1. C

2. D

3. A

4. D

5. C

6. B

7. E

8. D

9. C

10. A

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEFÍSICA

El físico estudia los fenómenos físicos de la naturaleza, la estructura y propiedades de la materia. Elabora modelos teóricos y experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el comportamiento de la materia. Diseña experimentos, construye

prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, aplicando sus principios en la solución de problemas relacionados con los procesos industriales y de tecnología diversa. Se busca desarrollar habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo globalizado en que vivimos normalmente. La formación que recibe un físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias básicas, lo capacidad para dedicarse a una carrera en investigación científica, y actividad profesional en física del medio ambiente, física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo áreas alejadas como telemática y finanzas.

TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIOPara dividir polinomio entre un monomio, se divide cada uno de

los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor:

Ejemplo:

= 6x5y3 – 3x2y5 + 5x4

DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOSPara dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla práctica:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor según la misma letra, dejando espacios para los términos que faltasen.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente.

3. Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo. Para ello se coloca cada término de este producto debajo de su semejante cambiando de signo.

4. Se divide el primer término del residuo, entre el primer término del divisor, para obtener el segundo término del cociente.

5. Este segundo término se multiplica por todo el divisor y este producto se resta del residuo anterior.

Álgebra Álgebra

45

46

47

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6. Se divide el primer término del segundo residuo, entre el primer

término del divisor para obtener el tercer término del cociente.7. Se continúa análogamente a los pasos anteriores hasta que el

residuo sea un polinomio de menor grado que el divisor.Ejemplo:Dividir7x – 3 + 2x4 – x3 entre 2x + 3

ResoluciónOrdenando en sentido decreciente y completando2x4 – x3 + 0x2 + 7x – 3 ente 2x + 3

Sería:

El cociente es x3 – 2x2 + 3x – 1 y el residuo es cero

Ejemplo:Dividir

Cociente Q(x) = _ _ _ _ _Cociente R(x) = _ _ _ _ _MÉTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIÓN

Coeficientes SeparadosEn la división de polinomios de una sola variable podemos

prescindir de la parte literal.

Ejemplo:Dividir20x3 – 2x2 + 16 x + 2 entre 4x – 2

Q(x) = 5x2 + 2x – 3R(x) = 2

Ejemplo:Dividir: x5 + 2x4 – x2 + 3 entre x2 – 2x + 1

Cociente Q(x) = _ _ _ _ _Cociente R(x) = _ _ _ _ _Método de Horner

Primeramente se trazan dos rectas que se intersecten, una vertical y otra horizontal. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. Encima de la vertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio signo en ese mismo sitio y debajo de la

Álgebra Álgebra

4849

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO horizontal se coloca el resto de coeficientes del divisor con el signo cambiado.

Ejemplo:Dividir: 2x4 – x3 + 4x2 + 5x – 1 entre 2x2 + x – 1

Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre los coeficientes del dividendo, el número de columnas a contar de derecha a izquierda es igual al grado del divisor, ésta raya servirá para separar el cociente del residuo. Además se traza otra recta horizontal para colocar debajo de ella la respuesta.

En el ejemplo:

Para empezar a dividir1. Se divide el primer término del dividendo entre el número

encerrado en un círculo el resultado se coloca debajo d la segunda raya horizontal y se multiplica por cada uno de los número que estén a la izquierda, de la raya vertical y debajo de la recta horizontal, colocando los productos debajo de los números que le siguen al primero.

2. Se suma la siguiente columna, el resultado se divide entre el número encerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de la raya horizontal, se procede igual que en el paso anterior.

3. La operación se realiza hasta completar el resultado correspondiente a todas las columnas, después de la 2da raya vertical, luego de esa raya la suma de las columnas ya no se divide entre el número encerrado en la circunferencia.

PESA MUCHO MÁS EL ODIO QUE EL AMOR DE LOS HOMBRES, YA QUE TODO AQUEL QUE SE DEJA LLEVAR POR EL ODIO TRABAJA PARA SÍ, MIENTRAS QUE EL QUE SE GUÍA POR EL AMOR ACTÚA PARA EL PRÓXIMO; NADIE LLEGA A EXALTARSE HASTA EL PUNTO DE SERVIR A LOS DEMÁS POR ENCIMA DE SÍ MISMO.

EPICLETOEjemplo:Dividir6x5 + 7x4 – 18x3 + 10x2 + 7x – 9 entre 3x3 + x2 + 2

Álgebra Álgebra

5051


Q(x ) = _ _ _ _ _ _R(x) = _ _ _ _ _ _

Método de RuffiniEste método es aplicable a divisiones de la forma: (x a) y con

ciertas restricciones a divisores de la forma (axn b).

1. Divisor de la forma (x a)Para dividir por el Método de Ruffini, se trazan dos rayas que se intersectan, una vertical y otra horizontal. Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la vertical se coloca el valor de “x” que anula al divisor.

Ejemplo:Dividir:x3 – 2x2 + x – 5 entre x – 2

Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera:

Q(x) = x2 + 1R(x) = –3Ejemplo:Dividirx5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre x – 2

Q(x) = _ _ _ _ _R(x) = _ _ _ _ _

Teorema del RestoEste método se emplea para calcular el residuo en forma directa,

sin necesidad de efectuar la división. Se emplea cuando el divisor es de la forma ax b o transformable a ella.Procedimiento:1. Se iguala al el divisor a cero encontrándose un valor de la

variable.2. El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo

obteniéndose un resultado el cual será el residuo.Ejemplo:Calcular el residuo del divisor:3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3

Igualamos el divisor a cerox – 3 = 0

Álgebra Álgebra

52

53

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO . x = 3 .

Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo 3x3 – 5x2 + 7Residuo (R) = 3(3)3 – 5(3)2 + 7

= 3 . 27 + 5 . 9 + 7= 81 – 45 + 7 = 43

Ejemplo:Calcular el residuo de dividir:x3 + 2x2 – x + 2 entre 2x – 1

Igualamos el divisor a cero2x – 1 = 0 . x = _ _ .

ReemplazandoResiduo (R) = _ _ _ _ _

EL AMOR PURIFICA EL ESPÍRITU Y ALIMENTA LA FANTASÍA; EL AMOR PURO, EL AMOR SANTO, EL AMOR SIN EL VIL INTERÉS Y SIN INTENCIÓN RUIN, ES LA ASPIRACIÓN MÁS ELEVADA DEL ESPÍRITU, LA ESTROFA INMORTAL QUE EN CORO CANTAN TODOS LOS SERES DE LA CREACIÓN, DESDE EL ÁTOMO QUE SE ARREMOLINA AL CONTACTO DE LA LUZ Y DEL CALOR, HASTA LA MÁQUINA ADMIRABLE QUE AFIANZA A LOS ASTROS EN SUS ELIPSES GIGANTESCAS, EN LOS CÍRCULOS QUE ETERNAMENTE TRAZAN EN EL AZUL DE LOS INMENSOS CIELOS

RUBÉN DARÍO


1. Dividir e indicar la suma de coeficientes del cociente2x5 – x6 – 3x2 – x x4 – 3x3 + 2x2 + x

Rpta.

2. Efectuar la división:

5. Aplicando el método de Horner efectuar la división e indicar el resto

Rpta.

e indicar el término independiente del cociente

Rpta.

3. Efectuar la división indicar la suma de coeficientes del residuo:

Rpta.

4. Efectuar la siguiente división e indicar la suma de coeficientes del resto

Rpta.

6. Aplicando el método de Horner, efectuar la siguiente división e indicar el coeficiente del término cuadrático del cociente

Rpta.

7. Aplicando el Método de Horner efectuar la división e indicar el coeficiente del término cúbico del cociente

Rpta.

8. Calcular abc, si el polinomio:x3 + 3x3 + ax2 + bx + c, es divisible por:x3 + 2x2 –x + 2

Rpta.

9. Hallar m + n, sabiendo que el polinomio:4x4 + 2x3 – mx2 + 8x + n, es divisible por:(x – 1)2

11. Aplicando el Método de Ruffini efectuar la división e indicar el cociente

Rpta.

12. Aplicando el Método de Ruffini, hallar el cociente de

Álgebra Álgebra

54 55


Rpta.

10. Calcular la suma de los coeficientes del dividendo en la siguiente división:

Rpta.

Rpta.

13. Aplicando el Teorema del Resto, hallar el residuo de:

Rpta.

14. Hallar el resto en:

Rpta.


Rpta.

LA CARRERA PROFESIONAL DEMATEMÁTICA

El matemático se ocupa del estudio de la ciencia matemática, base del desarrollo científico y tecnológico de un país. Su carácter general le permite aplicarla en el estudio de problemas de diferentes orígenes y características. El uso de un lenguaje simbólico universal hace que la matemática se aplique en la actualidad a casi todos los ámbitos del conocimiento.


1. Dividir e indicar la suma de coeficientes del residuo

A) B) C)D) E)

2. Efectuar la división

4. Efectuar la división e indicar el término independiente del residuo

Indicar el término independiente del resto

A) B) C)D) E)

5. Utilizando el Método de Horner, efectuar la división

Álgebra Álgebra

56

57

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO e indicar el resto

A) B) C)D) E)

3. Al efectuar la división

Indicar la suma de coeficientes del residuo

A) B) C)D) E)

Indicar el coeficiente del término lineal del cociente

A) B) C)D) E)

6. Aplicando el Método de Horner, efectuar la división e indicar coeficiente del el término cúbico del cociente

A) B) C)D) E)

7. Aplicando el Método de Ruffini, efectuar la división e indicar el cociente

A) B) C)D) E)


A) B) C)D) E)

9. Calcular el valor de “m” para que: x3 – 5x2 + 6x – 12m, sea divisible por x – 2

A) B) C)

D) E)

10. Al dividir

El resto es:

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. C

2. D

3. C

4. B

5. C

6. A

7. C

8. C

9. E

10. C

TEMA: COCIENTES NOTABLES

CONCEPTOSon ciertos cocientes que se escriben por simple inspección,

sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división.

1. Cociente de la diferencia de cuadrados entre la suma o diferencia e los mismos

. . . .

Ejemplos:

1.

2.

Álgebra Álgebra

58

59


3.

4. = _ _ _ _ _

5. = _ _ _ _ _

6. = _ _ _ _ _

2. Cociente dela suma o diferencia de cubos entre la suma o diferencia de los mismos

. . . .

Ejemplos:

1.

2.

3.

4. = _ _ _ _ _

5. = _ _ _ _ _

6. = _ _ _ _ _

En general: los cocientes notables son de forma

Se presentan 3 casos:1er caso

. .

Ejemplos:

1.

2. = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2do caso para todo impar

. .

Ejemplos:

1.

2. = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3er caso para todo “n” impar

Álgebra Álgebra

60

61


. .

Ejemplos:

1.

2. = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

En general

Sea:

El número de términos es

El término de lugar “K” es:

Tk = xn–K . yK–1

Para que una expresión de la forma

Sea cociente notable ante todo deberá cumplirse que:

LA DIFERENCIA QUE EXISTE ENTRE LOS NECIOS Y LOS HOMBRES DE TALENTO SUELE SER SÓLO QUE LOS PRIMEROS DICEN NECEDADES Y LOS SEGUNDOS LAS COMETEN

MARIANO JOSÉ DE LARRA


1. Hallar el número de términos del siguiente cociente notable:

Rpta.

2. Efectuar:

Y dar la suma de los coeficientes del cociente.

Rpta.

3. Hallar el cuarto término de:

Rpta.

4. Hallar el tercer término de:

5. Hallar el valor de “n” para que:

Rpta.

6. Hallar el cuarto término en:

Rpta.

7. Hallar el término central en:

Rpta.

8. Efectuar aplicando C.N.

Rpta.

9. Efectuar aplicando C.N.

Álgebra Álgebra

62

63

64

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Rpta.

Rpta.

10. Calcular el sexto término de:

Rpta.

11. Hallar el quinto término de:

Rpta.

12. Hallar el valor del término central de:

Para x = 4; y = 5

Rpta.

13. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo de:

El término cuyo grado es 34?

Rpta.

14. Indique el grado del décimo término de:

Rpta.

15. El grado absoluto del término del lugar 6 del siguiente cociente notable es:

Rpta.

EL ALMA ES UNA COSA QUE LA ESPADA NO PUEDE HERIR, QUE EL FUEGO NO PUEDE CONSUMIR, QUE EL AGUA NO PUEDE MACERAR Y QUE EL VIENTO DE MEDIO DÍA NO PUEDE SECAR

MAHABHARATA


1. El número de términos que tendrá el siguiente cociente notable:

; es:

A) B) C)D) E)

2. Efectuar:

y dar la suma de los coeficientes del cociente

A) B) C)D) E)

3. Hallar el tercer término de:

A) B) C)D) E)

4. hallar el cuarto término

de:

A) B)

C) D)

E)

5. Hallar el valor de “P”

para que:

Sea cociente notable

A) B) C)

D) E)

6. Hallar el tercer término

de:

A) x6y140 B) x40y6 C) x140y6

D)x140y8 E) x140y10

Álgebra Álgebra

65

66

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 7. Hallar el término central

de:

A) B) C)D) E)

8. Al efectuar la división:

El término independiente del cociente es:

A) B) C)D) E)

9. En el cociente notable:

Se sabe que el desarrollo tiene 14 términos. El valor de (m + n) es:

A) B) C)D) E)

10. Hallar el lugar que ocupa el término de grado absoluto igual a 101 en el desarrollo de:

A) B) C)D) E)

EN TODAS LAS COSAS EL ÉXITO DEPENDE DE LA PREPARACIÓN; SIN PREPARACIÓN SIEMPRE SOBREVENDRÁ EL FRACASO. CUANDO LO QUE GA DE SER DICHO HA SIDO PREVIAMENTE DETERMINADO, NO HABRÁ DIFICULTAD EN LLEVARLO A CABO. CUANDO UNA LÍNEA DE CONDUCTA SE DETERMINA PREVIAMENTE, NO HABRÁ OCASIÓN PARA VEJACIONES. CUANDO LOS PRINCIPIOS GENERALES HAN SIDO DETERMINADOS PREVIAMENTE, NO EXISTIRÁN PERPLEJIDADES SOBRE LO QUE HACER.

CONFUCIO

CLAVES

1. D

2. B

3. C

4. B

5. B

6. C

7. C

8. C

9. E

10. C

TEMA: FACTORIZACIÓN

CONCEPTOLa Factorización es un procedimiento mediante el cual un

polinomio se expresa como producto de sus factores.

Ejemplo:

Álgebra Álgebra

67

68

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 1. 5a + 5b = 5(a + b)

2. 49 – 25x2 = (7 + 5x) (7 – 5x)

3. m2 + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3) = (m + 3)2

POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLEUn polinomio P(x) es primo o irreducible cuando no se puede

descomponer en un producto de polinomios de grado positivo menor que el grado de P(x). en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o irreducible o no primo.

MÉTODO DEL FACTOR COMÚN1. Factor Común Monomio

Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable común con el menor exponente.

Ejemplos:1. Factorizar:

2. Factorizar 6x3 – 15x2

Hallamos el M.C.D. de 6 y 15

6 - 15 32 5 M.C.D. (6,15) = 3

El menor exponente de x es 2 el factor común es 3x2

Luego3x2 (2x – 5)

3. Factorizar: 3x2y + 6xy2 – 3x2y2

2. Factor Común PolinomioEl factor común es un polinomio.

Ejemplo:5a(x – y) + 10b2 (x – y)

Se procede de igual forma que en el caos anteriorM.C.D.(5x10) = 5

Factorizando tenemos5(x –y) (a + 2b2)

3. Factor Común por Agrupación de TérminosLos ejercicios con los cuales nos vamos a encontrar frecuentemente, no son tan simples como los resueltos anteriormente en los cuales el factor común se nota directamente. Generalmente se obtienen estos factores comunes agrupando términos, éstos se agrupan en forma conveniente con la finalidad de conseguir factores comunes y el número de términos que se reúnan dependerá del número de términos del polinomio dado.Ejemplos:1. Factorizar

x7 + x6y + x5y2 + x4y3 + x3y4 + x2y5 + xy6 + y7

ResoluciónEl polinomio dado no tiene un factor común a todos sus términos, para conseguir factores comunes, se debe agrupar términos. Como el polinomio tiene 8 términos se puede agrupar términos de 2 en 2 ó de 4 en 4.

Agrupando de 2 en 2 resulta:(x7 + x6y) + (x5y2+ x4y3) + (x3y4 + x2y5) + (xy6 + y7)

Sacando factores comunes en cada paréntesis:x6(x+ y) + x4y2(x + y) + x2y4(x + y) + y6(x + y)

Luego sacando el factor común binomio:(x + y) [x6 + x4y2 + x2y4 + y6]

Dentro del corchete agrupando de 2 en 2(x + y) [(x6 + x4y2) (x4y2 + y6)]

Álgebra Álgebra

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70

71

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Factorizando:(x + y) [x4 (x2 + y2) + y4(x2 + y2)]. (x + y) (x2 + y2) (x4 + y4) .

2. Factorizar(ax + by)2 + (ay + bx)2

Resolucióna2x2 + 2abx + b2y2 + a2y2 – 2abxy + b2x2

Reduciendo términos semejantes

Agrupando convenientemente:(a2x2 + a2y2) + (n2y2 + b2x2)

Factorizando:a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)

Sacando el factor común binomio:. (x2 + y2) (a2 + b2) .

3. Factorizarx4a + z4a + x4y + z4yResoluciónAgrupamos convenientemente:

Tenemos:(x4a + x4y) + (z4a + z4y)

Factorizando en cada grupo:x4(a +y) + z4(a + y)

Sacando el factor común binomio:

. (a + y) (x4 + z4) .


1. Factorizar:12x5y6 + 3x4y5 + 6x4y7

Rpta.

2. Factorizar cada una de las expresiones:a) 8x2 – 16x =_______________b) x3 + 3x2 – 5x =____________c) m5 + x4 – m3 =____________d) 6y4 + y3 – 12y2 =__________e) 3x – 6x2 + 9x3 =__________f) 4x4y – 2x5 + 6x3y2 =_______

3. Factorizar cada uno de los polinomios:a) 2(a+b)+x(a+b) =_________b) x2(a–1)–y2(a–1) = _________c) 3b(2x+3)+2x+3 =________d) (a+b)x–(a+b)7–a–b = ____e) x2+y2–5y(x2+y2) = _______

4. Factorizar:xz + yz + x + y

Rpta.

5. Factorizarab + ac + b2 + bc

Rpta.

6. Factorizar:ab + bx + ay + xy

Rpta.

7. Factorizara2b3 – a2 + 2b3 – 2

Rpta.

8. Factorizar:6b2x2 – 3x2 + 4b2 – 2

Rpta.

9. Factorizar14y2 – 8y3 – 16 y + 28

Rpta.

10. Factorizar:

Rpta.

13. Factorizar:18m3 + 12m2 – 15m – 10

Rpta.

Álgebra Álgebra

72

73


11. Factorizar:4x3 + 12 + 6x2 + 8x

Rpta.

12. Factorizar:

2 + + 5 + 1

Rpta.

14. Factorizar:xn + 2 + x3 + xn + x + x2 + 1

Rpta.

15. Factorizar:

Rpta.


1. Al factorizar la expresión:x2 – 2x + cx – 2xUno de los factores primos es:

A) B) C)

5. La suma de los coeficientes de uno de los factores primos de:3ax – 3ay – 2bx + 2by; es:

A) B) C)

D) E)

2. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de:2yz + 7y – 2z – 7

A) B) C)D) E)

3. ¿Cuántos factores primos tiene:mx – m – x + 1

A) B) C)D) E)

4. Al factorizar la siguiente expresión:mx – m – x + 1Uno de los factores primos es:

A) B) C)D) E)

D) E)

6. El factor primo de mayor grado de:2ax2 + 2ax + 2x – a2 – a – 1; es:

A) B)C) D)E)

7. Hallar el producto de los términos independientes de los factores primos de:

A)B)

C)

D)E)

8. Uno de los factores primos de:x2n + 1 + 3xn + 1 + xn + 3 – xn + 3x3 - 3

A) (xn+1–3) B) (xn–3) C) (x4+3)D) (xn+1) E) (xn–1)

9. ¿Cuál es el factor primo de mayor grado de:

10. Uno de los factores primos de:xm+a – xm . yb + xa . yn – yn+b – xazp + zpyb

Es:

A) B) C)D) E)

Álgebra Álgebra

74

75

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO P = (x–8) (x–7) (x–6) + (x–7) (x–6) – (x–6)

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. C

2. D

3. C

4. D

5. A

6. B

7. E

8. C

9. B

10. B

TEMA: M.C.M. Y M.C.D.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro

polinomio que tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes afectados de sus menores exponentes.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

El Mínimo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios y viene expresado por la multiplicación de los factores primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes.

Ejemplo:Hallar el M.C.M. y M.C.D. de los polinomios:A(x) = (x + 3)4 (x2 + 1)6 (x – 2)2 (x + 7)6

B(x) = (x + 7)2 (x2 + 1)3 (x – 2)4 (x + 5)6

C(x) = (x + 5)4 (x2 + 1)2 (x – 2)3 (x + 3)3

Rpta. como ya están factorizados el:

M.C.D. (A,B,C) = (x2 + 1)2 (x - 2)2

M.C.M. (A,B,C) = (x2 + 1)6 (x – 2)4 (x + 3)4 (x + 7)6 (x + 5)6

PropiedadSolo para 2 polinomios: A(x), B(x)Se cumple:M.C.D.(A,B) – M.C.M. (A,B) = A(x) – B(x)


1. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x2 + 7x + 12Q(x) = x2 + x – 6

Rpta.

2. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x2 + 4Q(x) = x3 – 8

Rpta.

3. Hallar el M.C.D. de:P(x,y) = x4 – y4

5. Hallar el M.C.M. de:P(x) = x2 + 7x + 10Q(x) = x2 + 6x + 5

Rpta.

6. Hallar el M.C.M. de:P(x) = x3 – 64Q(x) = x2 – 16

Rpta.

7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:P(x,y,z) = 2x4y2z3

Álgebra Álgebra

76

77

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Q(x,y) = 2x2 – xy – y2

Rpta.

4. Hallar el M.C.D. de:P(x,y,z) = xz + yz + x + yQ(x,y,z) = x2 + xy + zy + xy

Rpta.

Q(x,y,z)= 8x2y6

R(x,y,z) = 6x5y7z4

Rpta.

8. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1Q(x) = x2 + x2 – x – 1R(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2

Rpta.

9. Hallar el M.C.M. de:P(x) = x3 – 1Q(x) = ax2 + ax + aR(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2

Rpta.

10. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x3 – x2 + x – 1Q(x) = (x4 – 1)

Rpta.

11. Hallar el M.C.M. de:A = z2x2 – 2x2 – 3z2 + 6B = (z4 – 4) (x4 – 6x2 + 9)

Rpta.

12. Hallar el M.C.D. de:A = m3 + p3

B = m2 + 2mp + p2

C = m2 + mp + mq + pq

13. Hallar el M.C.M. de:P = x2 – 2x – 15Q = x2 – 25R = 4ax2 + 40ax + 100a

Rpta.

14. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x3 + x2 – 4x – 4Q(x) = x3 + 3x2 + 2x

Rpta.

15. Hallar el M.C.D.:P(x) = x3 – 1Q(x) = x4 + x2 + 1

Rpta.

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”

Rpta.V.L.E.B.

SON LOS SABIOS QUIENES LLEGAN A LA VERDAD A TRAVÉS DEL ERROR; LOS QUE INSISTEN EN EL ERROR SON LOS NECIOS

RÜCKERT


1. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x2 + 5x – 24Q(x) = x2 + 4x – 21

A) B) C)D) E)

2. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x2 – 9Q(x) = x3 – 27

A) B) C)D) E)

3. Hallar el M.C.D. de:A(x,y) = x6 – y6

B(x,y) = x3 – y3

A) x + y

B) x2 + x – y

C) x – y

D) x + 2y

E) y – x

4. Hallar el M.C.D. de:P(x,y,z,) = xz + 3x + yz – 3y

5. Hallar el M.C.M. de:P(x) = x2 + 4x + 3Q(x) = x2 + 6x + 9

A) x3 + 7x2 + 15x + 9

B) x3 + 7x2 + 15x + 1

C) x3 + x2 + 3D) x3 + 1E) x – 1

6. Hallar el M.C.M. de:P(x) = x3 – 125Q(x) = x2 – 25Dar como respuesta la suma de coeficientes:

A) 744 B) 644 C) –744D)–644 E) 125

7. Hallar el M.C.D. y M.C.M. de:P(x,y,z) = 12x5y3z4

Q(x,y,z) = 4x4y2

Q(x,y,z) = 6x6 . y4 . z3

A) 4x4y3; 12x6y4z4

Álgebra Álgebra

808080

78

79

80

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Q(x,y,z) = xz + 2x + yz – 2y

A) B) C)D) E)

B) 4x3y4; 12x4y6z4

C) 4xy2; 12x5y6.zD) 4x5y3; 12x6y3z2

E) 4xy; 12xyz

8. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8Q(x) = x3 + 2x2 – x – 2R(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2

A) B) C)D) E)

9. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x3 – a3

Q(x) = pz2 + pax + pa2

A) x2 + ax + a2

B) x2 – ax + a2

C) x2 + 2ax + a3

D) x2 + bx + 2

10. Hallar el M.C.D. de:P(x) = x3 + x2 – x – 1Q(x) = (x4 – 1)

A) x + 1

B) x – 1 C) x4 + 1

D)x4 E) x2 – 1

CLAVES

1. C

2. B

3. C

4. C

5. A

6. C

7. A

8. D

9. A

10. A

ÍNDICE

PÁG.

TEORÍA DE EXPONENTES.......................................................................... 7

POLINOMIOS.......................................................................................... 18

PRODUCTOS NOTABLES........................................................................... 37

DIVISIÓN ALGEBRAICA............................................................................. 45

COCIENTES NOTABLES............................................................................ 58

FACTORIZACIÓN..................................................................................... 67

M.C.M. Y M.C.D.................................................................................. 75

Álgebra Álgebra

algebra 2do sec

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