algebra 2 bimestre

y = x2 + ... + x3

Álgebra

5to grado – II Bimestre

diceÍnIndice

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Pág

125

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167

Historia de los números enteros

Conjunto de los números enteros

Expresiones algebraicas

Términos semejantes

= Términos semejantes con coeficiente fraccionario

Repaso

Propiedades de Potenciación I

Propiedades de Potenciación II

Propiedades de Radicación

Repaso

125Álgebra - 5to. grado

Conexión con la Historia

Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de maderas para representar los números y realizar en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas.

Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos.

Para tratar este tipo de problema, los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer a los números negativos de los hindúes: que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 - 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de "p" para los positivos y "m" para los negativos.

Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.

En la Matemática actual el conjunto de los números enteros abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el "cero".


Conjunto de los NúmerosEnteros

(Z)

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros.

Z = {. . . -4; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; +4; . . .}

- +

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de refe- rencia, podemos indicar con un signo "+" si está hacia la derecha y con el signo "-" si se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos:

Z+ Conjunto de números positivos Z- Conjunto de números negativos

- + - +

0 +1 +2 +3 neutro

-3 -2 -1 0 neutro

Relación de Orden en Z

Z es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha.

Analicemos los siguientes ejemplos:

=• Ordenaremos de menor a mayor +7; -6; +4 y -2 en la recta numérica, a partir del 0.

Así, tenemos que:

- +

-1

0 +1 +2

+3

+4 +5

• Representa: -3

-3 +-

-4

-3

-2

-1

0 1

128 Álgebra – 5to. grado

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

El número menor es -6, porque es el que está más a la izquierda; luego viene el -2, el +4 y el +7. En símbolos queda: -6 < -2 < +4 < +7.

• En el siguiente ejemplo, ordenaremos de mayor a menor: -1; +2; +5; 0 y -3.

Tenemos:

- +

2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

El número mayor es +5 y el menor es -3. Nos queda: +5 > +2 > 0 > -1 > -3

Analizando los ejemplos anteriores, podemos deducir:

-Todo número entero positivo es mayor que cero.

-Todo número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

-Todo número entero negativo es menor que cero.

-Todo número entero negativo es menor que cualquier número entero positivo.

Ejemplos:

• +7 > -12 • +88 > 33 • -4 > -10

• -45 > -72 • +57 > 0 • 0 > -4

RepResentación GeométRica de un númeRo

enteRo

Todo número entero se puede representar por una flecha que parte del cero y luego al punto correspondiente a dicho número.

Ejemplos:

• Representa: +5

2• Representa: -2

- +

-3 -2 -1 -0 +1 +2 +3

¡Listos, a trabajar!

1. Representa en la recta numérica los siguientes números:

+3; -2; 0; -4; -8; +6

- +


+7: -10; -8; -7; +1; -3; -9; +11

- +

a. ¿Cuál de ellos está más próximo al cero?

b. ¿Cuál de ellos está más alejado al cero?

3. Ordena de mayor a menor los siguientes números:

-8; +7; -3; 0; -11; +9; +5

4. Ordena de menor a mayor los siguientes números:

+12; +15; -13; -15; +20; -31; 0; +1


25. Indica mayor (>) o menor (<) en cada :

-4 -8 -7 +9

+5 +7 +5 -2

6. Escribe los números enteros mayores a -7 y menores a +5.

7. Escribe los números enteros menores a +7 y mayores a -10.

8. Representa geométricamente al número: +7

9. Representa geométricamente al número: -8

10. Representa geométricamente al número: +10

Demuestra lo aprendido


-17; +8; -10; +15; -12; 0; -1

- +


+15; -8; +12; +10; -15; -7; -1; +3

- +

2


a. ¿Cuál de ellos está más próximo al +2?

b. ¿Cuál de ellos está más alejado al +2?


-13; +7; -8; -7; -5; +2; -15; +10; +17

- +

a.¿Cuál de ellos está más próximo al -2?

b.¿Cuál de ellos está más alejado al -2?

4. Ordena de mayor a menor los siguientes números:

+200; -100; -80; +210; -500; +400; -50; +1

5. Ordena los siguientes números de menor a mayor:

-8; -15; -3; -4; -18; -20; -1; 0; -14; -17

6. Indica mayor (>) o menor (<) en cada :

-3 -2 -5 +7

+3 +2 +5 -7

7. Escribe los números enteros menores a +9 y mayores a -1.

8. Escribe los números enteros mayores a -5 y menores a +5.

9. Representa geométricamente al número -201.

10. Representa geométricamente al número +507.


2 Desafío

Arianita sale de su casa y camina 30 pasos a la derecha; luego regresa a su izquierda, 15 pasos y vuelve avanzar hacia la derecha, 10 pasos, diga: ¿A cuántos pasos de su casa se encuentra Arianita?

9

3

7

3

4


Expresiones algebraicasNotación: Es la representación que nos indica el nombre y las variables de la expresión matemática.

4 5 4R(x) = -3x6

notación

Variable: x

R(x;y) = -3x y z

notación

Variables: x, y

Ejemplos:

• F(x;y;z) = 4x

y

+ x8z4

• R(m;n;p)= am2

+ bn2

+ cp3

variables: variables:

=• H(x) =

ax

+ bx2

+ ab

variables:

téRmino aLGeBRaico

Es el conjunto de números y letras que se encuentran relacionados por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y/o radicación.

• Partes de un término algebraico:

notaciónmatemática signo

exponente

M(x) = - 5 x 4

variable

parte numérica(coeficiente)

parte literal

Completa:

• M(x;y) = -7x y


Parte literal: Parte numérica:

Variables: Exponentes:

Parte numérica:

Exponentes:

2• R(x;y) = -

4x

6y11

Parte literal:

Variables:

cLasiFicación de téRminos aLGeBRaicos

El término algebraico se clasifica en:

1. Término racional: Es cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros.

a. Término Racional Entero: Es cuando todos los exponentes de sus variables son enteros positivos o cero.

b. Término Racional Fraccionario: Es cuando al menos un exponente de una de sus variables es entero negativo.

2. Término irracional: Es cuando al menos un exponente de una de sus variables es fraccionario.

Ejemplos: Clasifica los siguientes términos algebraicos:

• P(x;y) = 4x4y3

9 6 -2• F(x;y;z) = 3x y z

• R(x;y) = -4x1/2y-3

− 4 3 −5 4 3• A

(a;b;x;y) = x y a b

3

3

2 −2 4• B(m;n;x) = 3 x m n

2

2 4

Nota: Observa la recta numérica de números enteros

números

- enteros

negativos

números 2enteros positivos +

..... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

cero

.....

"El cero no es positivo ni negativo"

eXpResión aLGeBRaica

Es el conjunto de números y letras, relacionados por los signos operativos de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Ejemplo: • P(x;y) =

3x

+ 4y3

+ 2xy tiene 3 términos

1• Rx 3x 2x 3

− x

tiene términos

2 3 9• P(x;y) = 3 x y

5x tiene términos

Ejemplo: P(x;y) = 3xy + 2x + 6

En esta operación algebraica existen tres términos algebraicos, donde:

• "3xy" : es el primer término, siendo "3xy" el producto de la constante 3 con las variables "x" e "y".

• "+ 2x" : es el segundo término, siendo "+ 2x" el producto de la constante+ 2 por la variable "x".

• "+ 6" : es el tercer término, siendo "+ 6" una

constante. Además P(x;y) es la notación matemática.

3.

En las siguientes expresiones algebraicas, señala cuáles son sus coeficientes: 2

3 4

Es importante aprender a leer correctamente las expresiones matemáticas; mostremos algunos ejemplos:

a. x + 2x se lee: x más dos x.

b. 3x2 - x3 se lee: tres x elevado al cuadrado menos x elevado al cubo.

Además recuerda que:

2x2 : se puede escribir como +2x2

3yz : se puede escribir como +3yz


1. En cada una de las siguientes expresiones algebraicas, señala su respectiva parte literal.

• P(x;y)

= x2y • P(x;y;z)

= 3xy2z3

• P(z)

= 5z8 • Px;y;z

5 x y z

8

2. En las siguientes expresiones algebraicas, escribe ¿cuáles son los exponentes de cada una de las variables?

• P(x)

= x2 • P(y)

= y3

• P(x;y)

= x3y4 • P(x;y;z)

= 7xyz2

2 8

3• P

(x) = -5x2 • Px;y x y

• P(x;y)

=

8x

2y3 • P(x;y;z) =

4x

2y3z

4. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes:

Ejemplo: 3a2 = a2 + a2 + a2

• 2x • 4y2

• 3xy • 5x2y3

5. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos exponentes:

Ejemplo: x2y3 = xxyyy

• x3 • z7

• x5yz • x4y5z2

6. En cada uno de los siguientes términos algebraicos, señala sus elementos:

• P(x)

= 7x3 • P(x;y)

= 3xy2z

coeficiente: coeficiente:

variable: variables:

2 22 3

2 3 5

• P(x;y) = -8x

y

• Px;y;z − 3

x y z



7. Clasifica los siguientes términos algebraicos:

P(x;y)

= -

4x

7y-3

D(x;y;z)

= -5x9yz4

F(x;y)

= 7x1/2y4

Q(x;y;z)

= 3x9y-2z1/2

8. Señala el número de términos de las siguientes expresiones algebraicas:

P(x;y)

= 7x2y + 3xy2 - 7 tiene

R(x;y)

= 3x2y5 + 7y3 + 3x8 tiene

F(x)

= 3x5 + 7x2 + 3x - 1 tiene

Q(x;y)

= 7x2 - 1 tiene

9. Señala cuál es término y cuál es expresión algebraica:

P(x;y)

= 3x2y5

R(x;y)

= 3x2 + y5

F(x)

= 3x3 + 7x - 1

10. Escribe un ejemplo en cada caso: 2

• Término racional entero

• Término racional fraccionario

Q(x;y)

= 4xy

• Término irracional

• Polinomio


1. En cada uno de los siguientes términos algebraicos, señala su respectiva parte literal:

• P(x;y)

= 7x2y8 • Q(x;y)

= 9x3y

• R(x)

= -x • F(x;y)

= 5x2y3z

2. En los siguientes términos algebraicos, escribe cuáles son los exponentes en cada una de sus variables:

• P(x)

= -x5 • Q(x;y)

= 7x3y7z3

• R(x;y)

= 5x2y3 • S(x;y;z)

= -8x4y4z3

7.

Clasifica los siguientes términos algebraicos: 2P

(x;y) = 3x-

2y-3 1/2

R(x;y;z) =

7x

y

Q(x;y)

= -

8xy

• P(x)

= -x3 • Q(x;y)

= x3y4

• R(x;y)

= -83y • S(x;y;z)

= -10x2y3z

4. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos coeficientes:

• 3x • 8x5

• 4x2y • 7xyz

5. En cada una de las siguientes expresiones, indica el significado de sus respectivos exponentes:

• x4 • x2yz

• x3y3z3 • 8x4z2

6. En cada uno de los siguientes términos algebraicos, señala sus elementos:

• P(x)

= -5x3 • Q(x;y)

= 3x2y3z4



• R(x;y)

= 8x2y3 • S(x;y;z)

= -7x2y3z4


variables: variables:

S(x;y)

=

4xy

2/3

8. Señala el número de términos de las siguientes expresiones algebraicas:

P(x;y)

= 3x + 5y + 7 tiene

R(x;y)

= 5x2y - 2xy3 + 7x - 1 tiene

G(x)

= 15x2 - 7x + 3x5 - 10x2 + 11 tiene

S(x;y)

= 4x + y tiene

9. Señala cuál es término y cuál es expresión algebraica:

P(x;y)

= 5xy

R(x;y)

= 5x + y

Q(x)

= 7x2 + 5x + 1

S(x;y)

= 8xyz

• Término racional entero

• Término racional fraccionario

• Término irracional

• Polinomio

Desafío

• Calcula la suma de los dos menores valores que puede tomar "a", si la expresión:

Dx;y

x7y6

a− 2 a−1

x 3 y 2 y8 es un polinomio.

Términos semejantesSe dice que dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte

literal. Ejemplo:

a. 3a2b3x5 ; 5a2b3x5 ; 2a2b3x5 Tienen la misma parte literal a2 b3 x5 por lo tanto son términos semejantes.

b. 9x2m4 ; 6m4x2 ; 3m4x2 Tienen la misma parte literal x2 m4, por lo tanto son términos semejantes.

c. 5x4 ; 7x4 ; x4 ; 4x4 Tienen la misma parte literal x4, por lo tanto son términos semejantes.

Reducción de téRminos semeJantes con coeFiciente enteRo

Reducir dos o más términos semejantes, significa expresar a todos ellos en un solo término, mediante la suma algebraica de sus coeficientes.

• Observa algunos ejemplos:

a.

c.

e.

+3x + 4x = (+3 + 4)x = +7x

5z + z = (+5 + 1)z = +6z

-p - 7p = (-1 - 7)p = -8p

b.

d.

+y + 9y = (+1 +9)y = +10y

-4m - 3m = (-4 - 3)m = -7m

Ahora, completa los siguientes ejercicios:

• -2x - 3x = (...............)x = -5x • +4z + 8z = (...............)z = .........

• -2p + 9p = (...............)p = ........ • 5q - 8q = (...............)q = .........

• -10pq -3pq = .......... = ........

REGLAS DE LA SUMA ALGEBRAICA:2

Regla 1:


Para sumar dos cantidades algebraicas del mismo signo se suman sus valores absolutos y al resultado se antepone el signo común.

Ejemplos:

• +4 + 3 = +7 • -9 - 2 = -11

• +5 + 1 = +6 • -3 - 6 = -9

• 3 + 10 = +13 • -1 - 9 = -10

Regla 2:

Para sumar dos cantidades algebraicas de signos contrarios, se restan sus valores absolutos y al resultado se le antepone el signo de la cantidad con mayor valor absoluto.

Ejemplos:

• -2 + 5 = +3 • -8 + 3 = -5

• -7 + 9 = +2 • -7 + 4 = -3

• +9 - 2 = +7 • -9 + 1 = -8

• 10 - 6 = +4 • -5 + 2 = -3


Reduce los siguientes términos semejantes:

1. x0 + x0 + x0 + x0

2. x + x + x + x + x

3. 2x8 + 3x8 + 5x8 + x8

4. 3x + 7x + 2x + x

5. +3x + 5x + 10x + 50x

6. +x2 + 2x2 + 3x2 + x2

7. +5x3 + x3 + x3 + x3 + 3x3

8. x5 + 3x5 + x5 + 7x5

9. 100x6 + 200x6 + x6 + 2x6

10. 8m + 16m + 7m

11. x + 2x - x + 3x - 3x

12. 3x - 3x + x - 3x

13. 2x2 + 5x2 - 4x2 - x2

14. 5x2 - 4x2 + 7x2 - 6x2

15. 6x3 - 6x3 + 13x3 - 2x3

16. 5x + 3x2 - 3x2 + 3x

17. 7x3 + 3x + 7x - 3x3 - x3

18. 10x4 - 3x4 + 3x + x4 - x

19. 6x - 3x + 2x2 +3x + x2

20. 3m + 2p + m + 2p - m


1. x5y3 + 2x5y3 + 4x5y3

2. 7ab + 6ab + 3ab

3. 8nb2 + 15nb2 + 6nb2


2

4.

9q2t + 6q2t + 5q2t


2 5. 8xy + 2xy + xy

6. 8y2z4 + 2y2z4 + 5y2z4

7. 30ab + ab + ab + 8ab

8. 7xy2 + 18xy2 + xy2

9. 2a2b2 + a2b2 + 7a2b2 + a2b2

10. 28nb + 7nb + 12nb + nb

11. 3q + 5a + 10a - 2q - 3a

12. 17ab - 3ab + 5ab + 3x + aq

13. 28nb + 7nb - 12nb - 3nb

14. 2b2a - b2a + 3x2y - x2y

15. 7x + 2pq + 3pq - 7x

16. 4x2 + 3y2 + 5x2 + x2 - 3y2

17. z4 + z3 + 2z4 + 3z3 - z3

18. 30x8 + 3x - 26x8 + 3x - x8

19. axy + 3axy + 3xyz - axy

20. x2y2z2 + 3 x2y2z2 + 3x - 2x

2

2 2

2

3 3

2

3


Términos semejantes con

coeficiente fraccionario

Para reducir términos semejantes (T.S.) con coeficiente fraccionario seguimos el mismo procedimiento que usamos para reducir términos semejantes con coeficiente entero, además debemos recordar la reducción de fracciones homogéneas y heterogéneas.

Vamos a recordar:

T.S. con coeficiente fraccionario homogéneo:

1. 1 x

2 x −

1

x2 2 2

(como los términos son semejantes se reduce solo los coeficientes)

1 2 1 − x 1 2 − 1

x(se suman o restan solo los

2 2 2 2 numeradores y se coloca el mismo denominador)

2 x 1x

6 2 7y x − y x y x

4 4 4

6 −

2

7 y2x 4 4 4

6 − 2 7 y2x

11 y x

4 4

7 2 10z p − z p z p

− z3p

5 5 5


4.

9q2t + 6q2t + 5q2t

−

5

z3p z3p

Rpta.:

T.S. con coeficiente fraccionario heterogéneo:


33 −

3

4

4

6

6

3

22 11. y − y3 2

2 1 3

Multiplicación en aspa

2.2 − 1.3

y3

4 − 3 y3 1

y

3.2

6

6

6 12. x x4 2

6

1.2

x4 4 2.2

Homogenización de fracciones

6

2 x4 6 2

x4

8x 2x

4 4

4

4

13. x

3 x6 1

3

x6

Hallando el M.C.M. de los denominadores

9 - 15 3

9 15 9 15 3 - 5 31 - 5 51 - 1 M.C.M. = 32 x 5

M.C.M. = 45

5.1 3.3

x6

5 9 x6 14

x

45 45

45

3 64. y − y2 7

Ahora tú elige cualquiera de los tres procedimientos anteriores.

Estás aplicando:

2

2

2 2


Reduce los siguientes términos semejantes en tu cuaderno:

1 3B − x − x

2 2B =

3 1P x − x

8 4 P =

2 1 1 3I x −

x − x x I =

10 10 10 10

3D x −

1 x2 D =

5 10

N −3

x2 2

x2 − 1

x2

7 7 7

N =

1 1A x − x

5 6A =

1 5 6L x x − x

9 9 9L =

E 5

x3 − 2

x3E =

10 6

R 5

x3

−

2 x3

3 x3

−

1 x3 R =

23

11 11 11 11

7 3S x − x

2 4S =

• Ahora, completa la frase y coméntala con tus compañeros.2


o

0 1X

30 5 311

1 36

11 34

1 28

−2 27

11 34

1X

30−2x

3X

100 3

10 1 22

130

1 22

4 4 4

3 3

X X X X X X X X X X

t H G

1 3X6

1X

30

5 3X11

1X

30

5 3X11

1X

30

−2X2 1 2X

2

1 X3

67

La frase es:

" "

¿Qué significa para ti este valor?


Resuelve o reduce los siguientes términos semejantes en tu cuaderno:

1 1Q x x

2 3Q =

2 1 3 1M x − x − x − x

6 6 6 6M =

5 1I x x I =

3 9

3 1 5S x x x S =

10 10 10

L

3 4 x8

9x

10

3x

2

16x3 5

x6

3 4− x4

7x4

x3 3 4 x8

9 x

9 24

4

4

4

1 1U − x − x

2 4U = 2

16 3 7R x x − x R =

8 8 8

2 3E x − x

3 8E =

4 7 1P x x x P =

5 5 5

1 1A x x

8 4A =

Z −1

x3

−

7 x3

−

7 x3

3 x3 Z =

12 12 12 12

• Ahora, completa las frase y coméntala con tus compañeros.

− 10

d

7x4 1 4− x

2

16x3 12

x5

7x4 3

x2

− 3

x4424 9 24

Responde:

1. ¿Qué valor reforzamos el mes de julio?

2.

¿Qué significa para ti el Perú y cuáles son sus riquezas?2


Desafío

• ¿Cuántos cubos hay en la siguiente figura?

2


Repaso

1. Grafica el desplazamiento de la recta numérica en cada ejercicio propuesto. (Resuelve en tu cuaderno.)

a. +6 + -4 b. -8 +10 c. -4 + -

1 d. +6 + 4 e. +7 + -3 f. -6 +

4

2. Copia en tu cuaderno los siguientes términos e identifica cada uno de sus elementos:

a. M(x) = -8x3 b. P(y) = 64y6

3. Reduce en tu cuaderno los siguientes términos y relaciona correctamente:

a. 2x3 + 6y - 4x3 - 12y + 6x3 + y ( ) 2ab2 - 3b3 - 3ab3

b. ab2 - 4b3 + ab2 + b3 - 3ab3 ( )13

6y x2

34c. 6pm - 4m + 4p - 10p + 4m ( ) x

5

1d. x 6x − 4y 10y

2

( ) -2x - 2

2 4 1e. − y − x y

3 3 3( ) 6pm - 6p

f. -5x + -2 + 3x ( ) 4x3 - 5y


2.

¿Qué significa para ti el Perú y cuáles son sus riquezas?2

1 3 5 6 11 1 2 4g. − x x x − x x ( ) − y − x

2 6 2 5 2 3 3

4.

Ayuda a nuestro amigo a encontrar el camino hacia su alimento favorito.2


m m


Propiedades de la Potenciación I

Producto de Potencias de Bases Iguales

am.an am

n

Ejemplos:

a. x4 . x3 . x7 . x = x4 + 3 + 7+ 1 = x15

b. m2 . m4 . m3 =

c. y5 . y7 . y8 =

d. za . za . za =

Cociente de Potencias de Igual Base

a am−n

ana

a0 1 am

Ejemplos:

78x

a. 72x 78x −2x 76 x

b. 3x ÷ 3x = 3x - x = 30

= 1 c. a7x ÷ ax =


4.

Ayuda a nuestro amigo a encontrar el camino hacia su alimento favorito.2 d. b4m ÷ b4m =


2 ¡Listos, a trabajar!

1. Completa los espacios en blanco:

a) mx . m = mx + 3 b) a . a2x =

a4 + 2x

c) x4 . x . x5 = x15 d) (xm)4 . (xm)2

= (xm)

2. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F), si es falsa:

a. x2b . x3m = x2b + 3m

...................................................................... ( ) b. x3 . x4 = x12

.................................................................................. ( ) c. x5a

x2 = x5a + 2 ......................................................................... ( )

d. x8a x8a = 1

............................................................................... ( )

3. Reduce:

a. x4 . x7 +x11 + x3 . x2 . x6 b. (3m)2a . (3m)5a . (3m)a

c. 3(x8 + x2 . x6 + x3 . x5)


4. Resuelve:

a. (m8x m3x) + (m7x ÷ m2x) b. a4 . a3 . a a2 2

5. Simplifica:

x6aa.

x5ax9a

x8a

x12a

x11ax3a

x2a b. (x7 . x4 . x) : (x2. x)

x12b .x9b x12b .x3b c.

x8b .x5b

x8b .x4b


1. Completa los cuadrados para que se cumpla la igualdad:

a. x . x4m . x2m = x9m b. ap + m = a . a

c. ya . yb = y d. z2m . z = z2m + 2a

2.

Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa:


3

2 a. x6a x3a = x9a ( )

b. b4 . b5 . b . b2 = b12

( ) c. xa + xb + xc = xa + b + c

( ) d. x8m xm = x7m

( )

3. Reduce:

a. m4 . m5 . m + m3 . m5 . m2 b. (4x)2m . (4x)m . (4x)4m

c. 6(x4 . x3 . x2 + x9)

4. Resuelve aplicando propiedades de potencia.

a. (a7x a2x) + (a8x a3x) b. m5 . m4 . m . m9 m2 . m8

5. Simplifica:

b12xa.

b5 xb11x

b4x

b10x

b3xb14x

−b7x b. (m8. m4. m3)

(m2. m5)

a8x .a5 x a6 x .ax c.

a2x ax

Desafío

1. Simplifica la siguiente expresión:

3 3 3

3 3 3

2

2. "Los bomberos". El diagrama indica la ubicación de los 35 barrios de una ciudad. Los círculos son barrios y las líneas carreteras. La distancia entre barrios es 5 km. El intendente decide que ningún barrio debe estar a más de 5 km de un cuartel de bomberos. ¿Cuál es la mínima cantidad de cuarteles necesarios? Indica sus ubicaciones.

n

Propiedades de la Potenciación II

Potencia de otra Potencia

pm m.n.p

a a

Ejemplos:

a. [(x2)3]4 = x2 × 3 × 4 = x24

b. (a2)5 =

c. {[(x3)7]0}12 =

d. [(m4)7]2 =

Potencia de un Producto

a.b n

an.bn

Ejemplos:

a. (x.y)2 = x2 . y2

b. (2ab)3 = 23 . a3 . b3 = 8a3b3

c. (3mp)2 =

d. (5xy)3 =

2 ¡Listos, a

1.

Resuelve, indicando el exponente:

[(x2)4]5

=a.


b. {[(y3)2]5}4

=

c. {[(a3)9]0}8

=

2. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa:

a. (x3)12 = x15

( ) b. [(m5)8]0 = 1

( ) c. [(y3)8]2 = [(y6)2]4

( ) d. (a7 . b)2 = a7 . b2

( )

3. Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

a. A = {[(240)5]0}8 + (x)8 + (x4)2 b. B = [(x2)7]10 +

5x140 - (x20)7 c. (x4)6 + (x3)8 + [(x2)4]3 d.

[(a7)4]0 + {[(a2)8]0}5 + (a2)0 e. [(m5)2]6 + [(m15)2]2 - [(m3)4]5


f. (x2y4)3 + (x.y2)6 + 3(x2.y4)3

2


2 ¡Listos, a

1.

Resuelve, indicando el exponente:

[(x2)4]5

=a.


1. Resuelve dejando indicado el exponente:

a. (m4)5)7

=

b. [(x8)3]9

=

c. {[(m6)0]7}4

=

2. Indica con una (V) si la proposición es verdadera o (F) si es falsa:

a. (x4)5 = x20

( ) b. (a4.b3)2 = a6.b5

( ) c. (x5.y3)4 = x20.y12

( )

3. Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

a. {[(x3)4]0}7 + [(x5)0]12 - x0 b. (a4)3 + 4(a6)2 - a12

c. 8(x2)12 + 3(x6)4 - x24 d. [(x5)4]2 + 5[(x8)5] - 3(x4)10

e. [(m3)7]0 + [(m12)0]9 - {[(m10)8]2}0 f. (a4b3)6 + 6(a12b9)2

- 2(a8b6)3

Desafío2Si: 3a = 2b; halla el valor

de:

1.


3a 3 2b

5

2b

2

2. Averigua la cifra que falta en el último cuadrado.

8 6 9 6 8 7 9 5

4

1

3 2

8

7 7

2

8 8

?

6


Propiedades de Radicación

¿Sabías que . . .

...las paradojas han tenido un papel crucial en la historia intelectual, a menudo presentando los desarrollos revolucionarios de las ciencias, de las matemáticas y de la lógica. Cada vez que, en cualquier disciplina, aparece un problema que no puede resolverse en el interior del cuadro conceptual susceptible de aplicarse, experimentamos un choque, choque que puede constreñirnos a rechazar la antigua estructura inadecuada y a adoptar una nueva.

Es a este proceso de mutación intelectual al que se le debe el nacimiento de la mayor parte de las ideas matemáticas y científicas.

Anatol Rapoport

eL eXponente FRaccionaRio

m

La representación de un exponente fraccionario x n tiene un equivalente como:

m

x n n

xm

donde: m, n ∈ IN; n > 2

Ejemplos:

3

a. x 4 4 x3

b. 2m x2m2m

x 2m

x1

c. 4 x44

x 4 x1

1

d. 8 3 − 3

8


Desafío2Si: 3a = 2b; halla el valor

de:

1.

1

e. 16 2

161

f. 50

3100

100

3 50

32 9

2 ¡Listos, a

1.


x

3

a. 5 x5 b. 6 x6

c. 2m x8m d. x12

2. Simplifica:

a. 4 x16 x18

24b. 4

x4

c. x4.x4 d. x9.x10.x

3. Halla el número que debe ir dentro de cada paréntesis:

a. 4 x2 .x3 x

x8.x9.3 x 15

b.

x

7 x21. x4

3 4 3 9

c. 3 x2 x2

x d.3 x6

x

x5.x6.x

x2

e. x

f. 5

x5

6 x6

7 x7


3x

2Demuestra lo aprendido

1. Resuelve:

a. x20 . x20 .

x20 b. 4 x12

y72c. 24

y48 d. 4 x20.x16

2. Simplifica:

x36 x9x72 x60

a. 12 3 b. 3 x24 x6 x24 x28

c. 2. x4 3.3 x

6

4.4 x 8

x4 . x2 . x4

d.x6 . x2

3. Halla el valor de "a" en cada uno de los siguientes casos:

a. xa1 x5.x6.x5

x6 . x4 .

x2

4 24 4 32 9 36b. xa− 4

x . x . x

x.x3

c. 10(x2.x3 + x4.x + x5) = 30xa

2 Desafío

Con los números a veces suceden cosas muy curiosas . . .

¿Lista para jugar?¿Listo para jugar?


• Piensa una fecha, la que tú quieras, por ejemplo 28 de julio de 1997.

• Ahora hay que escribir esta fecha como si fuera un solo número como julio es el mes

7, escribimos la fecha como:

28071997

• Ordena las cifras de este número de la más grande a las más chica.

99877210

• Ahora, ordénalas al revés, de las más chica a la más grande.

01277899

• Resta los dos números que te quedaron al ordenar las cifras (resta siempre "el mayor menos el menor")

99877210

01277899

98599311

• Suma las cifras del número que quedó como resultado de la resta:

9 + 8 + 5 + 9 + 9 + 3 + 1 + 1 = 45

• Ahora, suma las cifras del número que quedó como resultado de la suma:

4 + 5 = 9

El resultado es


9

¡Lo sorprendente de este juego es que con cualquier fecha que escojas, el resultado siempre será 9!

• Ahora inténtalo tú con la fecha de tu nacimiento, y con las fechas de tus seres queridos.


2 Desafío

Con los números a veces suceden cosas muy curiosas . . .

¿Lista para jugar?¿Listo para jugar?

Repaso


1. Escribe dentro de cada paréntesis (V), si la proposición es verdadera; o (F), si es falsa:

a. x2m.x3m.xm = x6m

( ) b. x2a.x5 = x2a + 5

( ) c. x5b x3 = x5b - 3

( )

d. x2a + 3 = x3 + a + a

( )

10a 8ax x e. x3a xa 2x7a ( )

2. Usa las propiedades de la potenciación y radicación para simplificar las siguientes expresiones:

a3za.

aza8z

a6z

a13z

a11za18z

a16z

x10x12 x16 x20 x24

b. 5 3 4 5 6 x5 x9 x12 x15 x18

c.8

x32

7 x28

9

x36

11

x44

3. Indica el valor de "a" en cada caso:

10 13x 7x 18xa. 8

x

x2 xa b b.b10x

b

b4xb

b15 x ba


c.3

x15 .

x10 x2a

2 Demuestra lo aprendido

Escribe dentro de cada paréntesis (V), si la proposición es verdadera o (F)

1.

16 10


a. x8 x .x( )

x16

b. {[(2x)3]0}35 = 2x ( )

c. x14 = {[(x3)4]5}2 ( )

x16d.

x8 x4 ( )

612 . 66 . 616

e.610.610.6

60 ( )

2. Resuelve:

x10x13 x16

a. 8 7 6 x2 x6 x10

b13xb.

b10xb10x

b7x

b7x

b4xb4x

b x

c. 9 x27 6 x18

7 x21 11 x33

3. Indica el valor de "a" en cada caso:

a. 2x2a 3

x6

4 x8


x10 .x5.x6b.

x6.x x3a

Desafio 2I. Expresa como potencia o como operaciones con potencias las

siguientes expresiones.

Primero observa algunos ejemplos:

a. 8 × 32 = 23 × 25 = 28 b. 82 = (23)2 = 26

¡Ahora, hazlo tú!

• 27 × 9 =

• 32 × 10 =

• 62 + 82 =

algebra 2 bimestre

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