Download - Algebra de 2do Año Secundaria II Bimestre
Propiedadesa1x + b1y = c1a2x + b2y = c2
Determinado Indeterminado
se cumple se cumple
2
1
2
1b
b
a
a
2
1
2
1
2
1c
c
b
b
a
a
Compatible Incompatible
se cumple
2
1
2
1
2
1c
c
b
b
a
a
SISTEMA DE ECUACIONESEs un conjunto de ecuaciones que verifican para una solución común.
Ejemplo:
x + y = 2
x + y = 5
No se cumple
No tiene solución llamado también absurda.
Incompatible
Tiene solución
Tiene una cantidad ilimitada de soluciones
Ejemplo:
x + 2 = 2
2x + 2y = 4
Se cumple para:
x = 1 y = 1
Tiene una cantidad limitada de soluciones
IndeterminadoDeterminado
Compatible
Ejemplo:
3x – y = 3
x + y = 1
Solo se cumple
Clasificación
I. Resuelve los siguientes sistemas:
1){x+ y=7 ¿ ¿¿¿
2){3 x+2 y=9 ¿¿¿¿
3){5 x+4 y=31 ¿ ¿¿¿
4){6 x−6 y=60 ¿¿¿¿
5){−3 x−2 y=7 ¿ ¿¿¿
6){x+13
= y ¿¿¿¿
7){x+3y =2 ¿ ¿¿¿
8){x=2 y+3 ¿¿¿¿
9){2 x+5 y=−1¿ ¿¿¿
10){2( x+ y−3 )=0 ¿ ¿¿¿
11){30−(8−x )=2 y+80 ¿ ¿¿¿
12){(x− y )−(6 x+8 y )=−(10 x+5 y+3 )¿ ¿¿¿
13){12( x+2 y )−8 (2x+ y )=2(5 x−6 y ) ¿ ¿¿¿
14){35 x−14 y=2 ¿¿¿¿
15){x+52
+2( y−1 )3
=x+ y2
¿¿¿¿
1.- Resolver:x + y = 5
x – y = 7 Indicar: 3x + y
a) 18 b) 19 c) 17
d) 20 e) 5
2.-Resolver:x + y = 8
x – y = 10 Indicar el valor de “y”
a) 9 b) 8 c) 18
d) 1 e) -1
3.-Resolver:2x + y = 3
y + x = 2 Indicar: E = x - y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) -1
4.-Resolver:3x + 2y = 5
2x + 3y = 5 Indicar el valor de: E= x
y
a) 2 b) 5 c) 3
d) 1 e) 0
5.- Resolver:5x + 7y = 17
2x + y = 5 Indicar: 3x + 6y
a) 3 b) 6 c) 8
d) 12 e) -2
6.- Resolver:17x + 2y = 36
x + y = 3 Hallar: x - y
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) 4
1. Resolver:4m
+ 2n=6
3m
+ 2n=5
e indicar “m + n”
a) 0 b) -1 c) 1
d) 2 e) -2
2.- Resolver:5x+2 y3
=1………..(1)
2x+ y2
=1………..(2) e indicar el valor
de y/x
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 2 e) 3
3.- Sea el sistema incompatible:(n + 3)x + ny = 1
5x + 2y = 2 Indicar: “n + 2”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4.- Sea el sistema compatible determinado:(3m + 1)x + my = 2
12x + 3y = 1 Indicar lo correcto:
a) m 2 b) m 1 c) m 3
d) m -1 e) m -2
5.- Sea el sistema indeterminado:(a + 1)x + (b + 2)y = 12
2x + 3y = 4 Indicar: “a + b”
a) 2 b) 5 c) 7
d) 12 e) 3
6.- Resolver:3x+1
− 1y+1
=7
1x+1
− 1y+1
=13Indicar el valor de “x”
a) 35 b)
45 c)
−45
d) 34 e) N.A.
7.- Resolver:2abx + by = 1
ax + y = 2Indicar el valor de “x”
a) 1 – 2b b) ab c) b−aab
d) 1−2bb e)
1−2bab
8.- Resolver:
3√ x+3−√ y+2=44 √x+3+2√ y+2=12 Indicar: “x - y”
a) 1 b) -1 c) 0
d) -2 e) 2
9.- Si el sistema:mx + ny = 3
3x + 2y = 1
tiene infinitas soluciones.
Indicar el valor de: E =m−n
3
a) 3 b) 9 c) 1
d) -1 e) -3
10.- Sea el sistema incompatible:(a + 2)x + 2y = 7 ……..(1)5x + 3y = 8 ……..(2)Indicar el valor de “a”a) 3/4 b) 3/5 c) 4/3d) 1/3 e) 3
11.- Sea el sistema incompatible:(m + 1)x + ny = 52x + 3y = 8Indicar el valor de: “3m – 2n”
a) 3 b) 5 c) -3
d) -5 e) -1
12.- Sea el sistema compatible determinado:2x + 3ay = 73x + y = 8Indicar el valor que “a” no puede tomar:
a) 5/4 b) 2/7 c) 2/9d) 3/9 e) 9/3
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Por el año 800, Omar Janamina empezó con el desarrollo de lo que son las expresiones algebraicas, lo mismo por el siglo XII.
RECORDAMOS:“Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo”.
Ejemplo: ¡AHORA TU!+ 2 + 4 = 6 3 + 4 =-3 – 7 = -10 -13 – 9 =
I. “Si dos números son de signos diferente se restan los dígitos y se coloca el signo del mayor”Ejemplo: ¡AHORA TU!3 - 2 = +1 7 - 5 =-4 + 2 = -2 -13 + 8 =
1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO.- Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son:Parte Constante: Es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente
mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 43
Parte Variable: Es aquella que varia y se representa generalmente por letras (x, y, z, …). Ejemplo: x2, xyz, x5y7.La unión de dichas partes origina el Término Algebraico.
Así:
−2 x5 y4
No se coloca, se sobreentiende
Parte Variable
Bases
Parte Constante
Exponente
E. Antigua E. Media
XII
E. Moderna
Descubrimiento América
En el Mundo
En el Perú
1453
1492
800476
300
6
AHORA
Término Algebraico
Parte Constante
Parte Variable Bases Exponentes
-3xy4xyz
-3abc7M2n3
-4abc3
-x5
-44xyzt4
-3x2z3
2. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma parte Variable.Ejemplo:
3x4y5 es semejante con −2 x4 y5 porque tiene la misma parte variable.
AHORA TÚ
4x3y4; -x3y4 ………… son semejantes x5y3 ; x7y3 ………… son semejantes -a3b4 ; -3b4a3 ………… son semejantes
OBS.:Un término algebraico NO puede tener como exponentes a:a) Números Irracionales
Ejemplos:
4 x√3 y√4 z√5 ……………………. no es término algebraico.
2 xy3 z√2 ……………………. no es término algebraico.
b) LetrasEjemplos: -xxyyzz ……………………. no es término algebraico. -2x2y3za ……………………. no es término algebraico.
Vocabulario: Semejantes: Entes que guardan algo en común. Términos: Expresión unitaria que conforma un tono. Álgebra: Estudio de la unión de parte variable con parte constante y sus diversas operaciones.
1. Relacionar los términos que son semejantes: a) 4x2y5 ( ) x7ay4
7
b) 5x7y4a ( ) 2za3b4
c) -3a3b4z ( ) 5abzxd) 15xabz ( ) 3y5x2
2. Completar:Término Algebraic
o
ParteConstante
Parte Variable
Término Semejant
e
–12x4 y3
7xabn
27
54z2
√3 x2 y2
3. Son términos semejantes:I. 4xy2; -2x2y II. 3abc; -3a2b2cIII. 15m2n3; 3n3m2 IV. -20z2; 2z2xa) I b) II c) IIId) IV e) N.A.
4. Colocar si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):I. En un término algebraico los exponentes de
las variables no pueden ser letras. ( )
II. 5 x√3 yz es un término algebraico. ( )III. 5x4y3z2; -2x4y3z2 son términos semejantes.
( )
5. Si los términos t1 y t2 son semejantes.t1 = 30x4 t2 = 4xa
Calcular: M=√a+5a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 0
6. Dado los términos semejantes :
23am+3 ; −√2a14 .
Calcular: A=m+1
2
a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3
7. Si los siguientes términos son semejantes:4xa+3y4 ; -5x8yb+5
Calcular: R=√a+ba) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
8. Dados los términos semejantes:
2xa+8yb+5 ; 3x12ya+2b
Calcular: R = a . ba) 1 b) 0 c) 3d) 4 e) 5
9. Dados los términos semejantes:
t1=(2a+b )x 4 yb+3 t2=(b−3a )x2 a y6
Calcular: La suma de coeficientes.a) 10 b) 4 c) 12d) 7 e) -3
10. Indicar los coeficientes de los términos semejantes siguientes:
-13axa+8y7 4bx9y3b
a) -13 y 4 b) -26 y 16 c) -13 y 16d) -26 y 4 e) N.A.
11. Dados los términos algebraicos semejantes:(c + 4)ac+3bd+4 ; (d+2)a2c+1b2d+2
Calcular: √c+da) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
12. Calcular de los términos semejantes:(a + 4)x5 ; (2 + a)xa+2
Los coeficientes:a) 7 y 5 b) 5 y 3 c) 3 y 2d) 4 y 5 e) N.A.
13. Si: t1 = 4x3y5z4 y t2 = -3xayb+1zc+2 son semejantes. Calcular: A = a + b + ca) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
14. Si los términos semejantes presentan iguales coeficientes:
(a + 4)xayb+3 ; 7xay7
Calcular la suma de los exponentes.a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6
15. Dados los términos semejantes:7xa+1yb+2zc+3 ; -4xb+1yc+2z7
Calcular: A=a+b+c
3
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
8
VALOR NUMÉRICOCuando más variables adoptan un valor, los monomios o polinomios arrojan un valor que se denomina valor numérico.Ejemplo:1. P(x) = 4x + 14
P(1) = 4 . 1 + 14 = 18P(1) = 18
P(2) = 4 . 2 + 14 = 22P(2) = 22
P(3) = 4 . 3 + 14 = 26P(3) = 26
2. M(x; y) = 4x2y3
M(2, 1) x = 2 y = 1M(2, 1) = 4(2)2 (1)3
M(2, 1) = 16
3. P(x, y) = 4x + 5xy P(2, 3)x = 2 y = 3P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3)P(2, 3) = 38
Ahora inténtalo tu:4. P(x, y) = 4xy + 2x2y
P(2, 1) =P(1, 2) =P(1, 1) =
5. M(x) = 4xM(2) =M(3) =M(4) =
1. Sabiendo que: a = 1; b = -2; c = 3; m = -1;
n=12 ; p =
23 . Halle el valor numérico de las
expresiones siguientes:a) 3a + 3b + 5c.b) ac + bc + c2
c) 5a2−2bc−3m
d) am+bn+cp
e) 3b3 n2+2c3 p3+ (np )−m
2. Si: P(x) = x2 + x + 4Halle P(2)
3. Si: Q(y) = 10 + 2y – y2
Halle: Q(4)
4. Si: F ( x ; y )=x4−3 x2 y3+ y 4
Halle: F(2; 3)
5. Si: P(m; n) = 2n + 3n2 – m2
Halle: P (3 ; 13 )
6. Si: Q( x )=3x2 √2−2 x √2Halle: Q(4)
7. Si: M ( x )=( x+1 )( x )( x−1)( x+9 )
Calcular: “A”Si: M(x) = 4x
A=M (1 )+M (2 )M ( 4 )
Si: P(x) = x2 + 3x + 4Calcular: P(2) + P(3)
P(x) = 2x + 4A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) )
Si: Q(x) = x + 5 P(x) = x + 3Calcular: P ( Q ( x ) )
A(x) = 2x + 4 R(x) = 2x + 5Calcular: A (R (x) )
9
1. Monomio :
Cuando se refiere a un solo término.
Ejemplo:
M(x, y, z) 4x3y4z5
Parte Variable
Parte Constante (Coeficiente)
10
a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión.
Ejemplo: Sea:
M(x, y) = 135x4y3
GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x”
GR(x) = 4 (exponente de x)
GR(y) = 3 (exponente de y)
b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables.
Ejemplo:
M(x, y) 135x4y3
GA = 4 + 3
GA = 7
Monomio
M(x, y, z)
Parte Constante
(Coeficiente)Parte Variable GA GR(x) GR(y) GR(z)
39x3y
-4
– √3 x4 z
5x2yz3
18z
-4x5y4
8
Exponente de Variable x
Exponente de Variable y
¡Qué fácil!
11
2. Polinomio: Es la agrupación por adición de monomios no semejantes.
Ejemplo: P(x; y) 2xy3 + 4y4 – 3x + 2
Polinomio de 4 términos
P(x) = x4 + x3 – x2 + 2x + 3 Polinomio de ________________
P(y) = ax2 + bx + c Polinomio de ________________
P(x; y) = x + y Polinomio de ________________ ( )
a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada
monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio.
P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2
Entonces: GR (x) = 5 GR(y) = 4
Ahora te toca a ti:P(x, y) 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y
GR(x) =…………… GR(y) =………………..
b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma al
mayor.
P(x; y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2
GA = 8
Término Independiente
GR(x) = 3
GR(y) = 4
GR(x) =5
GR(y) =3
GR(x) = 1
GR(y) = 2
GA = 7 GA = 8 GA = 3
12
Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)
x6 + xy + x3y4z
x + y + z
zxy + x2y3 + 4
a + abx + bx2
3x3 + 4y4
-x3y4 + x5 + y8
4z3 + 4z – 3
Dado el monomio: M(x, y) = -3abxa+3yb
Sabemos que GR(x) = 7 y GA = 10Calcular: El coeficientea) -36 b) 36 c) 12d) -12 e) N.A.
Si el siguiente monomio: M(x, y, z) = -4xa+1yb+2z4
Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z)Calcular: “a . b”a) 15 b) 10 c) 5d) 3 e) 6
Si el monomio: M(a; b) = -4xyax+2by+5
Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7Calcular: “El coeficiente”a) 24 b) -24 c) 25d) 26 e) 12
Si en el monomio: M(w, t, ) = -2a2b3wa+3tb+26
El GA = 17 y GR(w) = 5Calcular: “El coeficiente”
a) 512 b) 251 c) -512d) 251 e) 521
Si: GA = 15GR ( x )=
GR ( z )2
=GR ( y )3
=2
De: M(x, y, z) = -4xayb+2zc+3. Calcular:
A=a+b+c7
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
Si: GA = 10; GR(x) = 5 del polinomio:P(x, y) = 4xa+1yb + 5xa+2yb+1 + 3xayb+2
Calcular: A = a + ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
Dado el polinomio:P(x, y) = xayb+2 + xa+1yb+4 + xa+5yb + ab
Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6Calcular el término independiente:a) 5 b) 6 c) 7d) 12 e) N.A.
Si: P(x, y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3 + cxa+b+3yc + abcEs de GR(x) = 14 GR (y) = 6Calcular la suma de coeficientes:
13
a) 3 b) 4 c) 5
d) 7 e) N.A.
Dado el polinomio:P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a
Calcular el término independiente si GA = 8
Dado el monomio:M(x, y) = 4abxayb
Si: GR(x) = 2 GA = 7Calcular: “El Coeficiente”a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50
En el siguiente monomio:M(x, y, z) = 3xm+1 yp+2 z2
GA = 12 GR(x) = GR(y)Calcular: m . Pa) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
Si el monomio:M(,) = 2xyx+4y+2
Donde: GR() = 7 GR() = 5Calcular el coeficiente:a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 24
Si el monomio:M(x, y, z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3
Si: GA = 15 GR(x) = 6 GR(z) = 4Calcular el coeficiente:a) 2 b) 4 c) 5d) 16 e) 14
Si: GA = 24GR( y )=
GR( x )5
M(x, y) = 2xa+bya-b
Calcular: a . ba) 96 b) 108 c) 64d) 25 e) 15
Si: P(x) = axa + (a + 1)xa+1 + (a + 2)xa-4
Es de GA = 5Calcular la suma de coeficientes:a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18
P(x, y, z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc
GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3Calcular el grado absoluto.a) 1 b) 14 c) 12
d) 10 e) N.A
POLINOMIOS ESPECIALES
POLINOMIO HOMOGÉNEO
14
Es aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.
Ejemplo:
P(x, y) 4x3y4 – 3x7 + 2xy6 – x5y2
P(x, y) = 2x3y5 + 5xay2 + 3xby7
3 + 5 = a + 2 = b + 7
POLINOMIOS IDÉNTICOS
Son aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.Ejemplo:
P(x) = (x + 1)2 Q(x) = x2 + 2x + 1
P(0) = Q(0) = 1
P(1) = Q(1) = 4
P(x) y Q(x) son idénticos.
Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.
Ejemplo:
P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x) = Ax2 + 5x – B
Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).
P(x) = 0x2 + 0x + 0
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) ….. = P(1000) = 0
Así si tenemos:
Que si P(x) = (A - 2)x2 + (B - 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.
Entonces: A = 2; B = 3; C = -2
¡AHORA TU!Si son idénticos:
GA = 7 GA = 7 GA = 7 GA = 7
a = 6
b = 1
B = 3
A = 4
Observa que cuando es
idénticamente nulo el
15
P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2 con Q(x) = 2x2 + 5x + 3
Entonces:
A = B = C =
AHORA
Si: P(x) = ax3 + (b - 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14
Es idénticamente nulo.
a = c = b = d =
8. Dado el polinomio homogéneo.P(x, y) = 2xay3 + 3x5y7 – xby8
Calcular: (a + b)a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
9. Dado el polinomio homogéneo.P(x, y, z) = 5xyz – x2ya + zb + xc
Calcular: a + b + ca) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
10. Si el polinomio es homogéneo:P(x, y) = 3xa+2yb+8 + xd+3y7 + 2x8y5
Calcular: a + b + da) 1 b) 13 c) 6d) 5 e) 8
11. Dado el polinomio homogéneo:P(x, y) = axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10
Calcule la suma de coeficientes.a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) N.A.
12. Dado el polinomio homogéneo:
P(x, y) = 2bxbyc + 5x7y2 + 3cxb+7yCalcular la suma de coeficientes.a) 30 b) 31 c) 32d) 33 e) N.A.
13. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde:P(x) = ax5 + 3x2 – 4Q(x) = (2a - 3)x5 + (c + 2)x2 + bCalcular : a + b + ca) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) N.A.
14. Si : R(x) = 2x2 + 5x – 3Es idéntica con :S(x) = (a2 - 2)x2 + (b2 + 1)x + cCalcular: a + b + ca) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) N.A.
15. Dados los polinomios homogéneos:P(x) = 4x2 + bx + 7Q(x) = cx2 + 3x + 7R(x) = (d + 1)x2 + 3x – aCalcular : a + b + c + d
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Recuerda estas
16
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
16. Dado: P(x) = (4 + a)x + 5c + dQ(x) = 4c + 3 + (2a + 2)x
Son idénticos.Calcule: a + c + da) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) N.A.
17. Si los siguientes polinomios son idénticos.P(x) = mx2 + nx + p y Q(x) = ax2 + bx + c
Calcular: A=m+n+ p
a+b+c
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
18. Dado el polinomio idénticamente nulo:P(x) = (a - 2)x2 + bx + c + 3Calcular: a . b . ca) -1 b) 0 c) 1d) 2 e) N.A.
19. Dado el polinomio idénticamente nulo:Q(x) = 3x2 + 5x – 3 + ax2 + bx – cCalcular: a + b + ca) -10 b) -11 c) -12d) -13 e) N.A.
20. Si el polinomio es nulo:R(x) = 3x2 + (a2 - 1)x2 + cx – 2x + d – 4Calcular: a . c . da) 1 b) 2 c) 16d) 15 e) N.A.
21. Dado el polinomio nulo:P(x) = (a2 + 1)x2 + (b2 + 1)x + c2 – 1 – 2x2 – 10xCalcular: a + b + ca) 1 b) 5 c) 9d) 10 e) N.A.
22. Si el siguiente polinomio es nulo:P(x) = (m2 - a)x2 + (n2 – b)x + p2 – c
Calcular:
m2+n2+ p2
a+b+ca) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
1. Si el polinomio:P(x, y) = 3x3ya + 2x2y7 – x9; es homogéneo
Calcular: √a+3a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
2. Dado el polinomio homogéneo.P(x, y) = 2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7
Calcular: a . ba) 48 b) 24 c) 12d) 10 e) N.A.
3. Dado el polinomio homogéneoP(x, y) = 3xay2 – xby4 + 5x5y6
Calcular: a + ba) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) N.A.
4. Dado el polinomio homogéneoP(x) = axa + bxb – cxc + 2x2
Calcular la suma de coeficientesa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
5. El polinomio homogéneoP(x, y) = axayb + bxcyd + (c + d)x5
Tiene como suma de coeficientes a:a) 10 b) 11 c) 20d) 15 e) N.A.
6. Si: R(x) y Q(x) son idénticosR(x) = bx2 + 3x + cQ(x) = (2b - 2)x2 + ax + 2Calcular: a + b + c
17
a) 8 b) 7 c) 6d) 5 e) N.A.
7. Si: R(x) = 12x4 – 5x + 7 es idéntico con:Q(x) = abx4 – 5x + a + b (Nota: a > b)Calcular: a – ba) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
8. Dados los polinomios idénticos:P(x, y) = 5x5 – 2x3 + 4R(x, y) = ax3 + c – bx5
Calcular: a . b . c
a) 40 b) -40 c) 10d) -10 e) N.A.
9. Dados los polinomios idénticos:P(x) = (a2 - 1)x2 + (b - 1)x + c + 2Q(x) = 8x2 + 7 + 5xCalcular: a + b + ca) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) N.A.
10. Dados los polinomios idénticos:R(x) = (a + b)x3 + (c + d)x + 4
Q(x) = 3x3 + e + xCalcular: a + b + c + d + ea) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) N.A.
Dados los polinomios idénticamente nulos. Calcular: A, B y C
11. (A - 3)x2 + (C + 2)x + B – 5 P(x)
12. R(x) = (A2 - 4)x2 + (B3 - 8)x + C – 2
13. Q(x) = (A + 3)x2 – 5x + 4 – x2 + Bx – C
14. Si: P(x) = mx2 + nx + p es idéntico con Q(x) = cx2 + dx + e
Calcular:
c+d+em+n+ p
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
15. Si: P(x) = (a - b)x2 + (c - d)x + e – fEs idénticamente nulo.
Calcular: A=a
b+ cd
+ ef
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:
Una manera de entender este tema es mediante un ejercicio:
Sean: P(x) = 2x3 - 5x2 + 7x - 3
Q(x) = x3 + 3x2 - 9x + 8
R(x) = 3x3 - 2x2 - 2x + 7
Hallar: [P(x) + Q(x)] - R(x)
* Reemplazando los polinomios:
18
* Luego tenemos:
2x - 5x + 7x - 3 + x + 3x - 9x + 8 - 3x + 2x + 2x - 73 2 23 23
* Eliminando términos semejantes nos queda:-3 + 8 - 7 = -2
1. Si: P(x) = 7x5 + 3x3 - x2 + 1
Q(x) = 8x3 - 5x2 + 9Efectuar: P(x) + Q(x)
RESOLUCIÓN:
P(x) + Q(x) = (7x5 + 3x3 - x2 + 1) + (8x3 - 5x2 + 9)
Eliminando los paréntesis:
7x5 + 3x3 - x2 + 1 + 8x3 - 5x2 + 9
Reduciendo términos semejantes:
Rpta: P(x) + Q(x) = 7x5 + 11x3 - 6x2 + 10
2. Del polinomio:
(5a2b2 - 8a2b + 6ab2) restar (3a2b2 - 6a2b + 5ab2)RESOLUCIÓN:Tenemos:
(5a2b2 - 8a2b + 6ab2) - (3a2b2 - 6a2b + 5ab2)
5a2b2 - 8a2b + 6ab2 - 3a2b2 + 6a2b - 5ab2
Reduciendo términos semejantes:
Rpta: 2a2b2 - 2a2b + ab2
3. Efectuar las operaciones siguientes:
(4x4 - 5x3 + 8x - 10) - (-5x4 + 7x2 - 4x - 12) +
(-6x4 + 10x3 + x2 - 12)RESOLUCIÓN:
Eliminando los paréntesis y cambiando de signo:
4x4 - 5x3 + 8x - 10 + 5x4 - 7x2 + 4x + 12 - 6x4 + 10x3
+ x2 - 12Luego ponemos uno debajo de otro completando las potencias que faltan con coeficientes nulos:
-4x4 -- 5x3 + 0x2 + 8x - 10
-5x4 + 0x3 - 7x2 + 4x + 12
-6x4 + 10x3 + x2 + 0x - 12_____________________________
3x4 + 5x3 - 6x2 + 12x - 10
Cuando alguno de los polinomios fuese incompleto escribir las potencias que faltan con coeficientes nulos.
4. Si: P(x) = 4a2x3 - 6bx2 + ax
Q(x) = 7a - 8a2x3 - 3ax
R(x) = 4ax - 2a - 5a2x3 - 2bx2
Efectuar: P(x) - Q(x) - R(x)Resolución:Ordenando y completando:
P(x) = -4a2x3 - 6bx2 + ax + 0
Q(x) = -8a2x3 + 0x2 - 3ax + 7a
R(x) = -5a2x3 - 2bx2 + 4ax - 2a
Piden: P(x) - Q(x) - R(x)
4a2x3 - 6bx2 + ax + 0
8a2x3 + 0x2 + 3ax - 7a
Ahí tienes algunos ejemplos
Observa:
19
5a2x3 + 2bx2 - 4ax + 2a_______________________
17a2x3 - 4bx2 + 0x - 5a
Rpta: P(x) - Q(x) - R(x) = 17a2x3 - 4bx2 - 5a
5. Si: P(x) = x5 + 2x - 1
Q(x) = -8x3 + 2x2 - 6x + 2
R(x) = 4x4 - 2x3 + 6x2 + x - 6Hallar: P(x) - Q(x) + 2R(x)Resolución:Completando y ordenando se tiene:
+ x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 2x - 1
+ 8x3 - 2x2 + 6x - 2
+ 8x4 - 4x3 + 12x2 + 2x - 12__________________________________
+ x5 + 8x4 + 4x3 + 10x2 + 10x - 15Rpta:
P(x) - Q(x) + 2R(x) = x5 + 8x4 + 4x3 + 10x2 - 15
I. Dados los polinomios:
P(x) = 4x5 - x4 + 2x3 - 7x - 8
Q(x) = 7x2 - 7x5 - 8x3 - 3
R(x) = 3 + 6x - x2 + 5x3 + 9x4
S(x) = 4x5 - 6x4 + 2x2 - x - x3 + 12CALCULAR:1. P(x) + Q(x)
2. R(x) + S(x)
3. Q(x) + S(x)
4. 2S(x) + Q(x)
5. R(x) + P(x)
6. [P(x) + Q(x)] + R(x)
7. Q(x) + [R(x) + S(x)]
8. 2P(x) + 3Q(x)
20
II. Si tenemos los polinomios:
P(x) = 2x - 2x3 + 3x2 - 5x4 + 6Q(x) = 7x3 + 10x2 + 5 + 2x4
R(x) = -3x4 - 2x3 + 4x2 + x - 3
S(x) = -8 - 6x + x2 - 8x3
CALCULAR:9. Q(x) - R(x)
10.P(x) - S(x)
11.R(x) - S(x)
12.[Q(x) - R(x)] - P(x)
13.R(x) - P(x)
14.P(x) - R(x)
15.[P(x) + S(x)] - R(x)
16.P(x) - [R(x) - S(x)]
21
Considerando los siguientes polinomios:
1x2
1x
4
3P 3
)x(
3x3
1x
6
5Q 2
)x(
3x3
1x
6
5Q 2
)x(
1x2
1x
3
2S 2
)x(
DETERMINAR EL RESULTADO DE:1. R(x) + Q(x)
2. 6[S(x) + Q(x)] + 4P(x)
3. P(x) + Q(x) + R(x)
4. 3[Q(x) + S(x)]
5. 2S(x) + 3Q(x)
6. 6S(x) + 3R(x)
7. [2P(x) + 4R(x)] - 2R(x)
8. 2[P(x) + R(x)] - S(x)
1. Si: A = 4a - 5b + 2c - d B = 3a - 7b + 2c + dHallar: 2A - 2B
a) 2(a + 2b - 2d) b) 2(a + 2b - 2c)c) 2(a + b + c) d) 2(a - b + c)e) a + b + c
2. Si: P(x) = 5x2 - 4x + 15 - 7x3
Q(x) = 6x2 - 4x3 - 3Efectuar: P(x) - Q(x)
a) -3x3 - x2 - 4x + 16 b) -3x3 + x2 - 14x + 18
c) -3x3 - x2 - 4x + 18 d) -3x3 - x2 - 4x + 20
e) -3x3 - x2 - 4x + 20
3. Si: P(x) = 4x2 - 5y2 + x
R(x) = 6x2 - 3x - (y2 - x)Efectuar: P(x) - R(x)
TAREA DOMICILIARIA
22
a) -2x2 - 4y2 + 3x b) 2x2 + 4y2 - 3x
c) -2x2 - 4y2 + x d) 2x2 + y2 + x
e) x2 + y2 + x
4. Si: P(x) = 5 - 9x + 8x2 - 7x3 + 6x4
Q(x) = -5x4 + 8x3 - 7x2 + 9x - 4Efectuar: P(x) + Q(x)
a) x3 + x2 + x + 1 b) x4 + x3 + x2 + x + 1
c) x4 + x2 + x + 1 d) x4 + x3 + x2 + 1
e) x2 + x + 1
5. Si: P = 5x - 7t + 30Q = -10t + x - 4t + 20R = x - t + x - 11 + 12t
Hallar: P - Q - Ra) 2x + t - 2t b) 2x + 4t - 21c) 2x - 4t + 21 d) 2x - t - 21e) x + t + 1
6. Dados los polinomios:
P(x) = x4 + 6x - 1
Q(x) = x4 - 2x3 - x2 + 6
R(x) = -4x3 + x2 + 6x + 11Efectuar: P(x) - Q(x) - R(x)
a) 6(x3 + 1) b) 6(x3 - 2)
c) 6(x3 - 3) d) 6(x3 + 1)e) N.A.
7. Si: A = x2 + 6x + 1
B = 3x2 - 5x + 2
C = 4x2 - 6x - 1
Efectuar: 2A - 3B + 5C
a) 10x2 - 3x - 9 b) 11x2 - 3x - 9
c) 12x2 - 3x - 9 d) 13x2 - 3x - 9
e) 14x2 - 3x - 9
8. Si:
A(x) = 2x3 - x2 + 6x - 1
B(x) = x3 + x2 + 3x - 2Efectuar: 6A(x) - 12B(x)
a) -18x2 - 18 b) -17x2 + 27
c) -17x2 d) -17x2 + 17
e) -18x2 + 18
9. Dados los polinomios:
A = x2 + x + 1
B = x2 - x + 1
C = x2 - 6Efectuar: A + B - 2C
a) 12 b) 14 c) 15d) 16 e) 17
10.Si: P(x) = 7x3 - 8x2 - 10
Q(x) = 6x2 - 5Efectuar: P(x) - Q(x)
a) 7x3 - 14x2 - 5 b) 7x3 - 14x - 5
c) 7x2 - 14x - 5 d) 7x3 + 14x2 + 5
e)7x3+14x2-5
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
MULTIPLICACIÓN
23
Para multiplicar polinomios, es necesario tener
en cuenta la siguiente propiedad:
a . a = a ; "a" , "m" y "n" IR INm n m+n
• El producto de dos polinomios se realiza,
multiplicando cada término de uno de ellos por
todos los términos del otro. Luego se reducen
los términos semejantes.
• En el caso de que hayan más de dos polinomios,
puedes coger a los dos primeros, los multiplicas
y el resultado multiplicarlo por el siguiente
polinomio. Este nuevo resultado lo multiplicas
por el cuarto polinomio y así sucesivamente.
Ejemplo 1
Multiplicar: (2x + 5x2) (x - 1) (x + 3)
Solución:
( 2x + 5x ) ( x - 1 ) ( x + 3)2
= 2x.x - 2x.1 + 5x .x - 5x .1
= 2x - 2x + 5x - 5x
2 2
2 23
= (-3x - 2x + 5x ) (x + 3)2 3
Observa comose ha usado laprop iedad
Observa también como se multiplican los
coeficientes.
Observa tambiéncomo se multiplicanlos coeficientes.
= -3x .x - 3x .3 - 2x.x - 2x.3 + 5x .x + 5x .32 32 3
= -3x - 9x - 2x - 6x + 5x + 15x3 2 32 4
= 5x + 12x - 11x - 6x34 2
Ejemplo 2
Efectuar y reducir: (x + 5)(x + 3) - (x + 1)(x + 7)
SOLUCIÓN:
Observa como multiplicamos:
x2 + 3x + 5x + 15 - (x2 + 7x + x + 7)
Atención; ha aparecido un paréntesis ¿Por qué? + 3x + 5x + 15 - - 7x - x - 7
Eliminando términos semejantes tenemos:
= + 15 - - 7
= 15 - 7 = 8
1. Multiplicar (x5) por (3x2 -2x + 1)
SOLUCIÓN:
(x5) . (3x2 -2x + 1)
Aplicando la propiedad distributiva:
Algunos problemas resueltos
(x + 5) (x + 3) - (x + 1) (x + 7)
24
= x5(3x2) - x5(2x) + x5(1)
Rpta: 3x7 - 2x6 + x5
2. Multiplicar (x2 + x3) por (2x3 - x2 + 2x - 1)
SOLUCIÓN:
(x2 + x3)(2x3 - x2 + 2x - 1)
Aplicando la propiedad distributiva:
x2(2x3 - x2 + 2x - 1) + x3(2x3 - x2 + 2x - 1)
Efectuando la multiplicación:
2x5 - x4 + 2x3 - x2 + 2x6 - x5 + 2x4 - x3
Reduciendo términos semejantes:
Rpta: 2x6 + x5 + x4 + x3 - x2
3. Efectuar:
(x2 + 2xy + y2)(x2 - 2xy + y2)SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad distributiva:
x2(x2 - 2xy + y2) + 2xy(x2 - 2xy + y2) + y2(x2 - 2xy +
y2)
x4 - 2x3y + x2y2 + 2x3y - 4x2y2 + 2xy3 + x2y2 - 2xy3
+ y4
Reduciendo términos semejantes se tiene:
x4 + x2y2 - 4x2y2 + x2y2 + y4
Finalmente: x4 - 2x2y2 + y4
4. Efectuar:
(5x3 - 3x2 + 6x - 8)(4x2 - 7x - 9)
SOLUCIÓN:
5x3 - 3x2 + 6x - 8
- 4x2 - 7x - 9 __________________________
20x5 - 12x4 + 24x3 - 32x2
- 35x4 + 21x3 - 42x2 + 56x
- 45x3 + 27x2 - 54x + 72 _________________________________
20x5 - 47x4 + 0x3 - 47x2 + 2x + 72
6. Efectuar:
(10x2 - 2 + 9x3 + 5x)(3x - 8 + 2x2)
SOLUCIÓN:
(9x3 + 10x2 + 5x - 2)(2x2 + 3x - 8)
Luego:
9x3 +10x2 + 5x - 2
2x2 + 3x - 8 _____________________________ 18x5 + 20x4 + 10x3 - 4x2
+ 27x4 + 30x3 + 15x2 - 6x
- 72x3 - 80x2 - 40x + 16_________________________________
8x5 + 47x4 - 32x3 - 69x2 - 46x + 16
25
PRACTIQUEMOS1. Determina el valor de las siguientes expresiones:
a) 2x . (5x - 6)
b) (8x + 5) (3x + 2)
c)(3x + 5y) (2x - 3y)
d) (y - 2) (y - 1) (2y - y - 1)
E) (x + 2) (x + 4) (x + 6x + 7)
5. Si: A(x) = 3x2 + 6x - 1; B(x) = x4 - x2; el
coeficiente de "x4" en el producto A(x).B(x) es:
a) 3 b) -4 c) 5
d) -6 e) 8
1. Multiplicar: 2x + 3y4 por 5x2 - y. Indicar el menor coeficiente del resultado.
a) 10 b) -2 c) 15
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
26
d) -3 e) 1
2. Efectuar: 3x(x + 3)(x - 2)(x + 1).
Indicar el mayor coeficiente del resultado.
a) 3 b) 6 c) -15
d) -18 e) 1
3. Al multiplicar: (3x2 - 5xy + y3)(-2x3y4) se obtiene
el siguiente resultado:
- x y + x y - x y3 7
Determinar: + +
a) 2 b) 6 c) 8
d) 0 e) 18
4. Si multiplicas:
(5xy2 - 3z2)(25x2y4 + 9z4 + 15xy2z2)
Obtienes: x y - z3 6 6
Determina:
a) 125 b) 98 c) 117
d) 16 e) 25
5. Reducir la expresión:
(x + y)(x - y) + (3x - 2y)(2y + 3x)
a) 10x2 + 4y2 b) 10x2 - 5y2
c) 2x2 - 5y2 d) x2 - 4y2
e) 9x2 - y2
6. Simplificar la expresión:
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 6x(x2 + 1)
a) x4 + 11x2 b) 6x3 + 6x
c) x2 - 6x3 d) 11x2 + 6x
e) x4
7. Reducir la expresión:
(x + 5)(2x - 3) - (2x + 1)(x - 4)
a) 14x + 11 b) 11x - 14
c) 11x + 14 d) 14x - 11
e) 0
8. Simplificar:
(2x3 + 5xy)(x - y) - (x3 + xy)(2x - 5y)
a) 3x3y + 10x2y b) 10x3y - 3x2y
c) 3x2y + 10x3y d) 10x2y - 3x3y
e) 3x3y + 3x2y
9. Si efectuamos: (2xm - 3xn)(xa - xb), uno de los
términos del resultado es:
a) 2xma b) -2xm - b c) 3xn+a
27
d) -3xn+b e) -2xm+b
EFECTUAR:
a) (5a2b2) por (-4ab4) =
b) (8ab2c5) por (-5b4c10) =
c) (2x2y) por (-3y2z) por (4xy2z3) =
d) -6x(-3x + 4xy2 - 6z3) =
e) 10abcd3(-3a2b - 3b2c + 5c2d3) =
f) - 5xy2z(-2x2yz2 + 5xy2z - 4xyz) =
2. Efectuar: (5x - 4)(5x + 4)
a) 25x2 - 16 b) 25x2 + 10
c) 25x2 - 4 d) 25x2 + 1
e) 5x2 - 16
3. Halla el producto: (a2 - 4a + 4)(a2 - 2a)
a) a4 - 6a3 + 6a2 - 8a
b) a4 - 6a3 - 8a
c) a4 + 6a3 + 12a2 + 8a
d) a4 + 6a3 - 12a2 + 8a
e) a4 - 6a3 + 12a2 - 8a
4. Efectuar: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12)
a) x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 24
b) x4 + 10x3 + 35x2 + 25x + 24
c) x4 + 8x3 + 35x2 + 50x + 24
d) x4 + 6x3 + 33x2 + 48x + 24
e) x4 + 24
5. Efectuar: (x2 - xy + y2 - 1) (x + y)
a) x3 - y3 - x – y b) x3 + y3 + x + 1
c) x3 + y3 - x - y d) x3 - y3 - x + y
e) x3 - y3 - 1 - x
6. Efectuar: (2x - 3)(7x - 2)(x + 4)
a) 14x3 + 31x2 - 94x + 24
b) 14x3 + 31x2 - 94x + 12
c) 14x3 + 30x2 - 94x + 24
d) 14x3 + 21x2 - 94x + 24
e) 14x3 + 10x2 - 94x + 24
7. Efectuar:
[(2x)3 - 3(2x)2 + 3(2x) - 1] por (4x2 + 4x + 1)
a) 35x5 - 10x4 + 16x3 - 8x2 + 2x - 1
b) 35x5 - 16x4 + 16x3 - 8x2 - 2x - 1
c) 32x5 - 1
d) 32x5 + 16x4 + 16x3 + 8x2 + 2x - 1
e) 32x5 - 16x4 - 16x3 + 8x2 + 2x - 1
8. Efectuar: (x2 - 1)(x2 - 4)
a) x4 + x2 + 4 b)x4 + 3x2 + 4
28
c) x4 - 5x2 + 4 d)x4 + 5x2 + 4
e) x2 + 4
9. Sea: A = a3 + x3 + 3ax(a + x)
B = (a + x)(a2 - ax + x2)
Hallar: A - B
a) 3a2x + 3ax2 b) -3a2x + 3ax2
c) -3a2x - 3ax2 d) 3a2x - 3ax2
e) 0
PRODUCTOS NOTABLES I
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin efectuar la multiplicación.
I. trinomio cuadrado perfecto
Es el resultado que se obtiene en forma directa al elevar un binomio suma o bino diferencia al cuadrado. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (Trinomio cuadrado perfecto)
Ejemplos:(x + 3)2 = x2 + 2(x)(3) = 32
= x2 + 6x + 9
(x - 5)2 = x2 - 2(x)(5) + 52
= x2 - 10x + 25
II. DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b) (a - b) = a2 - b2
Ejemplos: (x + 3) (3 - x) = 32 - x2
= 9 - x2
(m + np) (m - np) = m2 - (np)2
= m2 - n2p2
III.MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN(IDENTIDAD DE STEVEN)
U n B ino mio es la s uma
de do s M o no mio s .
U n T rino mio e s la s uma
de tres M o no mio s .
29
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
EjemploS:
(x + 3)(x - 5) = x2 + (3 - 5)x + (3)(-5)
= x2 - 2x - 15
(x - 4)(x - 7) = x2 + (-4 - 7)x + (-4)(-7)
= x2 - 11x + 28
PRÁCTICA
(x + 1)2 = x2 + 2(x) . 1 + 12 = x2 + 2x + 1
(x + 2)2 = x2 + 2(x) . 2 + 22 = x2 + 4x + 4
(x - 3)2 = x2 - 2(x)(3) + 32 = x2 - 6x + 9
(x - 4)2 = x2 - 2(x)(4) + 42 = x2 - 8x + 16
(2x + 1)2 = (2x2) + 2(2x) . 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1
(3x2 - 2)2 = (3x2)2 + (2)(3x2)(-2) + 22 = 9x4 - 12x2 + 4
(4xy3 + 3y5)2 = (4xy3)2 + 2(4xy3)(3y5) + (3y5)2 = 16x2y6 + 24xy8 + 9y10
Relacionar correctamente:
a) (x + 5)2 ( ) x2 + 4x + 4
b) (x + 3)2 ( ) x2 + 10x + 25
c) (x + 2)2 ( ) x2 + 6x + 9
2. Indicar la relación correcta:
a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100
b) (x - 6)2 ( ) x2 - 14x + 49
c) (x - 7)2 ( ) x2 - 12x + 36
3. Dar la respuesta en cada caso:
a) (2x + 1)2 = ________________________
b) (4x2 - x)2 = ________________________
4. Desarrollar cada caso:
a) (m + 2)(m - 2) =
b) (2a + 3)(2a - 3) =
c) (x2 + 3x)(x2 - 3x) =
5. Resolver cada caso:
a) (x + 2)2 + (x - 2)2 =
b) (x + 1)2 - (x - 1)2 =
c) (m + 5)2 + (m - 5)2 =
d) (p + 7)2 - (p - 7)2 =
6. Si: (2x + 8)2 = mx2 + nx + p
Hallar: m + n + pa) 94 b) 96 c) 100
d) 98 e) 102
7. Simplificar: (x + 1)2 + (x - 2)2
Dar como respuesta la suma de coeficientes.a) 0 b) 2 c) 4
30
d) 5 e) -4
8. Reducir: (x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2)
Dar por respuesta el mayor coeficiente.a) 2 b) -13 c) 13
d) -2 e) 8
9. La expresión: (x + 3)2 - (x + 2)(x - 2)Se reduce a: mx + nHallar: m + na) 13 b) 17 c) 6
d) 18 e) 19
10. Luego de simplificar:
(x + 2)2 + (x - 2)2 + (x + 3)2 - (x - 3)2
Indicar el menor coeficiente.
a) 2 b) 8 c) 4
d) 12 e) 1
11. Si: m2 + n2 = 5 y mn = 2Hallar: m + na) 2 b) 3 c) 5
d) 1 e) 4
12. Simplificar: (3ax + 2by) (3ax - 2by)
Sabiendo además que: a2x2 = 1 y b2y2 = 2a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
13. Si: (x + 1)2 = 3
Calcular: x2 + 2x - 2a) 3 b) 0 c) 2
d) 1 e) -2
14. Cuál es el grado del siguiente polinomio:
P(x) = (2x + 3)2 - 8x2 + (2x - 3)2 + xa) 2 b) 0 c) 3
d) 1 e) 4
15. Reducir la expresión:
(x + 1)2 + (x + 3)2 - (x - 1)2 - (x - 3)2
a) 2x b) 3x c) 10x
d) 12x e) 16x
1. Indicar la relación correcta:
a) (x + 5)2 ( ) x2 + 12x + 36
b) (x + 4)2 ( ) x2 + 8x + 16
c) (x + 6)2 ( ) x2 + 10x + 252. Relacionar correctamente:
a) (x - 2)2 ( ) x2 - 6x + 9
b) (x - 3)2 ( ) x2 - 8x + 16
c) (x - 4)2 ( ) x2 - 4x + 4
3. Desarrollar cada caso:
a) (x2 - 2)2 = ________________________
b) (3x3 + 1)2 = ________________________
4. Resolver cada caso:
a) (p + 3)(p - 3) =b) (3b + 2)(3b - 2) =
c) (2x + x2)(2x - x2) =
5. Dar la respuesta en cada caso:
a) (m + 3)2 + (m - 3)2 =
b) (b + 4)2 - (b - 4)2 =
c) (x + 6)2 + (x - 6)2 =
d) (a + 2)2 - (a - 2)2 =
6. Si: (x + n)2 = x2 + 16x + 64Calcular:
a) 6 b) 2 c) 3d) 4 e) -2
7. Reducir: (x - 3)2 - (x - 1)2
Dar la suma de coeficientes.
a) 0 b) 8 c) 16d) -16 e) -8
31
8. Simplificar:(x + 1) (x - 1) - (x + 5) (x - 5)
a) 12 b) 0 c) 14d) 24 e) 1
9. Luego de reducir: (x + 4) (x - 4) - (x - 2)2
Se obtiene: mx + nCalcular:
a) 5 b) -20 c) 2d) -5 e) -2
10. Reducir:
M = (x + 1)2 - (x - 1)2 - [(x + 2)2 + (x - 2)2]e indicar el menor coeficiente.
a) -8 b) -2 c) 4d) -1 e) 0
11. Si: m2 + n2 = 20 y mn = 2Hallar: m - n
a) 2 b) 3 c) -2d) 4 e) 0
12. Si: (a + 3b) (a - 3b) = 0Calcular:
a) 3 b) 7 c) 9d) 27 e) 1
13. Si: (x - 2)2 = 5 Calcular: x2 - 4xa) 2 b) 4 c) 0d) -1 e) 1
14. Cuál es el grado del siguiente polinomio:
Q(x) = (x - 5)2 + 4 - 20x - (x - 5)2
a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4
15. Simplificar:
(x + 3)2 - (x - 2)2 + (x + 2)2 - (x - 3)2
a) 12x b) 20x c) 8xd) 28x e) 16x
1.- Sabiendo a + b = 11; ab = 20
Calcular: 22 ba4
a) 11 b) 10 c) 9d) 8 e) 7
2. Si: x + y = 3 xy = 1
Indicar el valor de: (x - y)2
a) 2 b) 4 c) 5d) 7 e) 1
3. Si: . 3
x
1x
Calcular: 22
x
1x
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 8
4. Si: . 5
x
1x
Dar el valor de: 44
x
1x
a) 5 b) 7 c) 25d) 13 e) 10
5. Si: 10
1b.a
Hallar el valor de: W = (5a + 3b)2 - (5a - 3b)2
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
6. Reducir:A = (x + y)(x2 + y2)(x4 + y4)(x8 + y8)(x - y) +
y16
a) x b) 2x2 c) x4
d) x16 e) x8
7. Reducir la siguiente expresión:K = (m - n2)(m + n2)(m2 + n4)(m4 + n8) - m8
a) n16 b) n8 c) -n8
d) -n16 e) 0
8. Dar el valor mas simple de:16 16842 1)15)(15)(15)(15(26T
a) 5 b) 10 c) 25d) e) 15
9. Simplificar: 22
22
)162()162(
)37()37(R
a) 1 b) 0.2 c) 0.4d) 0.5 e) 2
32
10.Simplificar: x)4x)(10x(
x2)8x)(5x(P
a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4
11.Sabiendo que: x2 + 5x + 3 = 0Hallar:
K = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 6
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
12.Reducir la siguiente expresión:
1)4x)(3x)(2x)(1x(R a) x2 + 5x - 5 d) x2 - 5x - 5b) x2 + 5x + 5 e) N.A.c) x2 - 5x + 5
33