Capítulo 1Capítulo 1

Algebra de BooleAlgebra de Boole

El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda.

Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.

IntroducciónIntroducciónGeorge BooleGeorge Boole

Variable LógicaVariable Lógica

►En general, el termino variable lógica o booleana, hace referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z empleado para representar dispositivos o magnitudes físicas que llenan solamente dos valores o estados, verdadero o falso, que son representados simbólicamente por 1 o 0 respectivamente.

DefiniciónDefinición

► Las dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado” de un contacto eléctrico se designan mediante los símbolos 0 (no corre electricidad) y 1 (hay electricidad) respectivamente.

Variable LógicaVariable Lógica

► Debido a que el contacto esta “abierto”, no pasa corriente eléctrica por el cable.

► Z= 0 quiere decir que tiene un valor lógico de “cero”, no pasa electricidad porque el pulsador esta en reposo (ninguna fuerza esta venciendo el resorte de retención).

Pulsador Normalmente AbiertoPulsador Normalmente Abierto

Variable LógicaVariable Lógica

► Ahora accionamos el pulsador (ya no esta más en reposo).

► La corriente eléctrica recorre el cable, esto implica que Z = 1.

Pulsador Normalmente AbiertoPulsador Normalmente Abierto

Variable LógicaVariable Lógica

► Un contacto NC es el que se usa el las puertas de las heladeras o automóviles, que encienden una luz cuando deja de estar oprimido.

► El estado de reposo de un pulsador NC implica que Z=1.

Pulsador Normalmente CerradoPulsador Normalmente Cerrado

Variable LógicaVariable Lógica

► Al accionar el pulsador, deja de pasar corriente eléctrica por el cable.

► Entonces Z toma el valor lógio “cero”.

Pulsador Normalmente CerradoPulsador Normalmente Cerrado

Función LógicaFunción Lógica

► Una función lógica o booleana es una variable lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión algebraica, constituida por otras variables lógicas relacionadas entre sí por medio de las operaciones suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o negador (-).

► Las tres operaciones mencionadas son las operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y “NEGACIÓN”.

DefiniciónDefinición

Función LógicaFunción Lógica

► El valor de la expresión algebraica depende de los valores lógicos asignados a las variables que la constituyen, y de la realización de las operaciones indicadas.

DefiniciónDefinición

Por ejemplo, una suma lógica sería Z=A+B, donde Z tomará el valor cero o uno según los valores de A y B.

Z tomará el valor cero sólamente cuando tanto A como B tengan el valor cero. Recordemos que:

0 + 0 = 00 + 0 = 01 + 0 = 11 + 0 = 10 + 1 = 10 + 1 = 11 + 1 = 11 + 1 = 1

Función LógicaFunción LógicaDefiniciónDefinición

Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el valor uno. Recordemos que:

0 · 0 = 00 · 0 = 01 · 0 = 01 · 0 = 00 · 1 = 00 · 1 = 01 · 1 = 11 · 1 = 1

Una negación invierte el valor de las variables. Se representa con la variable (en este caso “A”) negada.

Así:0 = 10 = 11 = 01 = 0

AZ =

Tabla de VerdadTabla de Verdad

► La tabla de verdad es una representación del comportamiento de una función lógica, dependiendo del valor particular que puedan tomar cada una de sus variables.

►En ella deben figurar todas las combinaciones posibles entre las variables, y para cada una aparecera el valor de la función.

DefiniciónDefinición

Tabla de VerdadTabla de Verdad

11

00

AA

► Se tienen n variables y las tablas de verdad se construyen respondiendo a la expresión: “El número de filas es igual a 2 elevado a la n”.

► 21(variable) = 2 filas 22(variables) = 4 filas

1 y 2 variables1 y 2 variables

11001111

00110000BBAA

Tabla de VerdadTabla de Verdad223 variables 3 variables = 8 filas= 8 filas

111111001111110011000011111100001100110000000000AABBCC

Compuertas LógicasCompuertas Lógicas

► Cuando se desea cambiar el estado de una variable determinada se podría accionar una llave (compuerta) que realice este proceso.

► “Compuerta” proviene de que este dispositivo puede usarse para permitir o no que el nivel que llega a un cable de entrada se repita en el cable de salida.

► “Lógica” se debe a que una compuerta realiza electrónicamente una operación lógica, de forma tal de que a partir de una combinación de valores lógicos en las entradas, se obtiene un valor lógico (1 ó 0) en su salida.

DefiniciónDefinición

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “AND”Compuerta “AND”

Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).

Responde a la expresión:

Z = A · B

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “AND”Compuerta “AND”

A · B = Z

111111

000011

001100

000000

ZZBBAA

Circuito LógicoCircuito LógicoCompuerta “AND”Compuerta “AND”

Z = A · BLa luminaria se enciende cuando A y B son pulsados al mismo tiempo.

111111000011001100000000ZZBBAA

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “OR”Compuerta “OR”

Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).

Responde a la expresión:

Z = A + B

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “OR”Compuerta “OR”

A + B = Z

0 + 0 = 0

111111

110011

111100

000000

ZZBBAA0 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

Circuito LógicoCircuito LógicoCompuerta “OR”Compuerta “OR”

Z = A + BLa luminaria se enciende cuando A o B son pulsados.

111111110011111100000000ZZBBAA

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “SEGUIDOR”Compuerta “SEGUIDOR”

Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo electrónico que actúa como buffer: mantiene en la salida, el valor que se encuentra a la entrada.

Responde a la expresión:

Z = A

Compuertas LógicasCompuertas Lógicas

11110000ZZAA

Compuerta “SEGUIDOR”Compuerta “SEGUIDOR”

A = Z

1 = 10 = 0

Circuito LógicoCircuito LógicoCompuerta “SEGUIDOR”Compuerta “SEGUIDOR”

Z = A

La luminaria se enciende cuando A es pulsado.

11110000ZZAA

Compuertas LógicasCompuertas Lógicas

AZ =

Compuerta “INVERSOR”Compuerta “INVERSOR”

Una Compuerta INVERSOR es un dispositivo electrónico que enciende el cable que está en su salida, si el cable que está en su entrada se encuentra apagado, y viceversa. Puede decirse que uno es la negación del otro.

Responde a la expresión:

Compuertas LógicasCompuertas Lógicas

ZA =

Compuerta “INVERSOR”Compuerta “INVERSOR”

00111100ZZAA

0 = 1

10

1 = 0

1 0

Circuito LógicoCircuito LógicoCompuerta “INVERSOR”Compuerta “INVERSOR”

Z se activará si A toma el valor 0.

00111100ZZAA

AZ =