2.5 algebra booleana, teoremas, leyes y postulados

Electrónica Digital

Instituto Tecnológico de ChetumalDepartamento de Ingeniería Eléctrica

Función Booleana

Encuentra los errores



2.5 Álgebra booleana y teoremas de DeMorgan2.6 Leyes y postulados



Leyes y Teoremas del álgebra Booleana

0



Leyes y teoremas del álgebra Booleana




A




0



a) 1*1= 1

Evaluar las siguiente Operación



b) 0*0 = 0




c) 1*0*0 = 0




c) 1*A*0 = 0




c) 1*A*1 = A





A




1




A




1



Evaluar las siguiente operación

a) 1+1= 1En Algebra Boolena



a) 1+0 = 1




a)0+0+0 = 0





A



And y Nand

1



A

And y Nand



1

And y Nand



Or y Nor

A



0

Or y Nor



A

Or y Nor



0

Or y Nor



Identidad AND NAND OR NOR

A 0 0 1 A A´

A 1 A A´ 1 0

A A A A´ A A´

A A´ 0 1 1 0

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



Resuelva las siguientes proposiciones

1.- A 0 =

2.- A 1 =

3.- A A =

4.- A A =

5.- A 0 =

6.- A 1 =

7.- A A =

8.- A A =



Propiedades

•Conmutativa

•Asociativa

•Distributiva

•Conmutativa

•Asociativa

•Distributiva



Conmutativa

AND



Conmutativa

Or

A+B = B+A



Conmutativa

Exor

AB = BA



Conmutativa



Asociativa

And A(B C) = (A B) C = A B C



Asociativa

(A B) C = A B C



Asociativa

Or A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C

Exor A(BC) = (AB)C = ABC

And A(B C) = (A B) C = A B C



Asociativa

Or A+B+C+D



Asociativa

Or (A+B)+C+D = (A+B)+(C+D)

Or A+B+C+D



Asociativa

Nand [A(B C)’]’ ≠ [(A B)’ C]’ ≠ (A B C)’

Nor [A+(B+C)’]’ ≠ [(A+B)’+C]’≠ (A+B+C)’

Enxor [A(BC)’]’ ≠ [(A B)’C]’≠ (ABC)’



Asociativa



Distributiva



A + AC + AB + BC

Distributiva

AA + AC + AB + BC=A

A + AC + AB + BC

A (1+C+B)+ BC=1A*1+ BC

A+ BC = A+ BC



Distributiva



Identidades

AND OR

A A=A A+ A=A

A 0 =0 A +0 =A

A 1 =A A +1 =1

A A’ =0 A +A’ =1

NAND NOR

A A=A’ A+A=A’

A 0 =1 A+0 =A’

A 1 =A’ A+1 =0

A A’ =1 A+A’ =0



Propiedadesa).- Propiedad Conmutativa

AND AB=BA NAND AB=BA

OR A+B=B+A NOR A+B=B+A

EXOR AB=BA EXNOR AB=BA

b).- Propiedad Asociativa

A(BC)=B(AC)=C(AB)=ABC

c).- Propiedad Distributiva

X(Y+Z) = XY+XZX+YZ = (X+Y) (X+Z)



Propiedad Distributiva

Or A+(B+C) = (A+C)+B = (A+B)+C = A+B+C

Exor A(BC)=(AC)B =(AB)C =ABC

And A(B C) = (A C) B = (A B) C = A B C



Propiedad Distributiva

X (Y+Z) = XY+XZ

X+YZ = (X+Y) (X+Z)



Teorema de D´Morgan

No hay viento favorable para el que no sabe donde vaLucio Anneo Séneca



•Profesor de matemáticas en el Colegio Universitario de Londres entre 1828

y 1866•Primer presidente de la Sociedad de Matemáticas de Londres. •De Morgan se interesó especialmente por el álgebra.

•Fue tutor de Ada Lovelace. Quien fue la primera programadora, desde

que escribió la manipulación de los símbolos, de acuerdo a las normas

para una máquina de Charles Babbage que aún no había sido construida.

Augustus de Morgan ? -1871

Teorema de D’Morgan



Escribió varias obras de lógica en las que se encuentra la idea de

aplicar en esta esfera los métodos matemáticos, así como los

primeros resultados de tal aplicación.

En la moderna lógica matemática, llevan el nombre de De Morgan

las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica:

«la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las

negaciones»;

«la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las

negaciones».

Augustus de Morgan ? -1871




Por medio de este teorema se obtiene el

EquivalenteDe una función Booleana

?




0

0

0

1




X’ Y Z’ W X + Y’ + Z + W’



Actividad



Obtenga el circuito equivalente aplicando el teorema de D’Morgan y compare el resultado usando la tabla de verdad



F(A,B,C,D) = ( A + B)’ + (C’ + D)’ + (A’ +B +C)’



F(A,B,C,D) = [ ( A + B)’’ + (C’ + D)’’ + (A’ +B +C)’’ ]’

F(A,B,C,D) = [( A + B) (C’ + D) (A’ +B +C)]’



F(A,B,C,D) = [( A + B) (C’ + D) (A’ +B +C)]’



m A B C D

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1



m A B C D

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1



m A B C D

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1



m A B C D

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1 0



m A B C D

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1 0

1



m A B C D

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1 0

1

0



m A B C D

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1 0

1

0

0



m A B C D

0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1

2 0 0 1 0 1 1

3 0 0 1 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1 0

1

0

0



m A B C D

0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1

2 0 0 1 0 1 1

3 0 0 1 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1 1

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 1 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1 1

15 1 1 1 1 0

1

00



m A B C D

0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1

2 0 0 1 0 1 1

3 0 0 1 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 1 1

7 0 1 1 1 0

8 1 0 0 0 1 1

9 1 0 0 1 1 1

10 1 0 1 0 1 1

11 1 0 1 1 0

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 1 1

15 1 1 1 1 0

1

0

0



m A B C D

0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 1

2 0 0 1 0 1 1

3 0 0 1 1 1 1

4 0 1 0 0 0 0

5 0 1 0 1 0 0

6 0 1 1 0 1 1

7 0 1 1 1 0 0

8 1 0 0 0 1 1

9 1 0 0 1 1 1

10 1 0 1 0 1 1

11 1 0 1 1 0 0

12 1 1 0 0 0 0

13 1 1 0 1 0 0

14 1 1 1 0 1 1

15 1 1 1 1 0 0

1

0

0



FE (R,A,V) = (R+A+V’) (R+A’+V) (R’+A+V)FE (R,A,V) = (R+A+V’) (R+A’+V) (R’+A+V)




F (A,B,C) = A’ + BC’




F (x,y,z) = (X’+Y)’ Z’




F (A,B,C) = [(A+ B’) C]’



Obtenga el circuito equivalente y la ecuación aplicando el teorema de D’Morgan y compare el resultado usando la tabla de verdad

F1 (A,B,C) = [(A+ B’) C]’

F2 (A,B,C) = [( A’ + B + C’)´( A + B + C)´]´

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