algebra 6|° primria

ALGEBRA

ALGEBRA

HistoriaLa creacin del lenguaje simblico que llamamos lgebra es un hecho que suele atribuirse a los rabes, y los primeros textos escritos que han llegado hasta nosotros son del siglo IX. Los matemticos islmicos no fueron, en realidad, los inventores del lgebra, aunque s tienen el mrito de haber recogido y enriquecido una herencia milenaria de varias culturas (China, Babilonia, Egipto y, sobre todo, India y Grecia). El mundo musulmn de la Edad Media asimila, como en el tema de la numeracin y los algoritmos decimales, los conocimientos algebraicos de los indios, desarrollados por stos en textos de relativa importancia en los siglos VI a X de nuestra era. Por otra parte traduce y ampla las ideas algebraicas de los griegos. Los procedimientos de resolucin de ecuaciones y sistemas de ecuaciones ocuparon durante muchos aos y en diferentes pocas de la historia de las Matemticas a numerosos matemticos. Entre stos deben destacarse a los algebristas italianos del Renacimiento: Cardano (1501-1576), del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1500-1557), Ferrari (1522-1565) y Bombelli (1526-1573).

Igualdades Paradjicas

Partimos de

:

Luego

:

Extraemos el factor comn

:

Dividimos a ambos entre ( 1 1 ):

Finalmente obtenemos

:

Grado de una ecuacin

La siguiente ecuacin tiene una incgnita x y son de primer grado ya que el mayor exponente de la incgnita es uno.

3x + 9 = 15

01) Resuelve las siguientes ecuaciones.

X + 23= 15

2x =1280

x 270 =120

x + ( x + 100 ) = 150

x + ( x 20 ) = 380

2x + 45 = 65

3x 78= 18

2x = x + 7

3x + 5 = 2

2x + 4x = 72

( 3x 10 ) - 2x = 15 ( 4x + 16 ) /4 = 6402) Halla el valor de x.

X + 9,78= 87,5

2x =47,28

x 87,5 =78,2

x + ( x + 5,42 ) = 45,78

x + ( x 3 ) = 99,6

2.2x + 3.3 = 87,9

3x 87,9 = 0,3

8x = 2x + 54,12

3x + 7,8 = 9,6

3x + 6x = 81.9

( 2x 14,7 )- x = 145,64

5x 5,5 = 10,3503) Resuelve las siguientes ecuaciones.( En tu cuaderno ). 25 X / 5+ 20 = 30

54x /27 =140

6x / 12 50 =70

2x / 3 + ( x / 3 + 1,8 ) = 12,03

5x / 6+ (4 x / 5 9,9 ) = 8.7

6x + 30 ,6= 60,6

6,3x 4,5 = 4,5

Sistema de ecuaciones de primer gradoVamos a estudiar sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas, normalmente la x e y, se dice de primer grado porque el mayor exponente de la incgnita es uno.

Resolver un sistema es hallar los valores de las incgnitas que transforman las ecuaciones en igualdades.

ECUACIONSOLUCIONIGUALDADES

Mtodos de resolucin

Para resolver ecuaciones se pueden utilizar los siguientes mtodos.

Por igualacin

Para resolver un sistema de ecuaciones por el mtodo de igualacin se realiza el siguiente procedimiento:Primero: se despeja de las dos ecuaciones la misma incgnita.

Segundo: se igualan ambas ecuaciones en una nueva.Tercero: se resuelve la ecuacin resultante.

Cuarto: se sustituye la incgnita hallada en una de las ecuaciones, para hallar la otra ecuacin.Ejm.

01) Resolver por el mtodo de igualacin.

Por reduccin

Para resolver un sistema de ecuaciones por el mtodo de reduccin se realiza el siguiente procedimiento.Primero: se multiplica cada ecuacin por un nmero conveniente, de modo que una de las incgnitas

tenga coeficientes opuestos en las dos ecuaciones.

Segundo: sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones obtenidas.

Tercero: se resuelve la ecuacin resultante.

Cuarto: se sustituye la incgnita hallada en cualquiera de las ecuaciones iniciales para as hallar la otra.

Ejm :

01) Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo de reduccin.

Por Sustitucin

Para resolver un sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin se realiza el siguiente procedimiento.Primero: se despeja una incgnita de una ecuacin.

Segundo: se sustituye en la otra ecuacin.

Tercero: se resuelve la ecuacin resultante.

Cuarto: se sustituye la incgnita hallada en cualquiera de las ecuaciones para as hallar la otra incgnita.

Ejm :

1. Resuelve los siguientes sistemas por el mtodo de sustitucin.

Problemas de Planteo

Actualmente en nuestro entorno se encuentran situaciones de la vida real que llevan al planteamiento y la resolucin de ecuaciones.Debemos de reflexionar los siguientes puntos:Primero: Debers leer cada ejercicio las veces necesarias hasta que tengas claro que es lo que se pide hallar y que datos tienes para encontrar la solucin. En caso que sea muy costoso relaciona con ejemplos de situaciones parecidas ms sencillas y claras.

Segundo: Designa con una letra x, y, z, a cada variable que encuentras en el ejercicio.Tercero: De cada dato se halla una ecuacin (normalmente hay tantas pistas como (incgnitas).

Quinto: Resuelve las ecuaciones.

Sexto: Interpreta los resultados y comprueba que sean ciertos.

Problemas de Planteo de Primer Grado

Llamamos problemas de primer grado a aquellos que se resuelven mediante ecuaciones de primer grado.

Ejm :

Cules son los dos nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 41?

Elegimos la incgnita: nmero menor:

x

Entonces el otro nmero como es consecutivo ser:

x + 1

Como la suma de los dos nmeros ha de dar 41 tenemos la ecuacin: x + (x + 1) = 41

La solucin de la ecuacin es:

x = 20

La interpretacin del resultado ser: nmero menor x = 20 y el nmero mayor x + 1 = 20 + 1 = 21

Comprobacin: 20 + 21 = 41

Los dos nmeros son: 20 y 21

Cul es mi edad sabiendo que el doble de la edad que yo tena hace 8 aos es la edad que tendr dentro de 12 aos?

Elegimos la incgnita, edad

: xEdad que tena hace 8 aos

: x - 8

Doble de la edad que tena hace 8 aos : 2 (x - 8)Edad que tendr dentro de 12 aos

: x + 12

Segn dice el problema

: 2 (x - 8) = x + 12

La solucin de la ecuacin es

: x = 28

Comprobacin: edad 28 aos; hace 8 aos tena 20 aos; dentro 12 aos tendr 40 aos; efectivamente el doble de 20 es 40.

La base de un rectngulo mide 20 cm y la altura 10 cm. Cuntos centmetros se debe aumentar a la base del rectngulo para que el rea sea 100 cm2 ms que el primer rectngulo.En problemas geomtricos es til hacer un dibujo.

Elegimos la incgnita

: centmetros que aumentar la base = x

rea del rectngulo inicial

: 20 10

rea del nuevo rectngulo

: (20 + x) 10

Si el rea aumenta 100 cm2 tendremos la ecuacin : (20 + x) 10 = 20 10 + 100

La solucin de la ecuacin es

: x = 10

Comprobacin: base inicial 20 cm; base final 30 cm; rea del rectngulo final 300 cm2; 200 + 100 = 300

La base debe aumentar en 10 cm.

A continuacin, trataremos la resolucin de problemas mediante sistemas de ecuaciones de primer grado.

Por pagar al contado dos facturas que sumaban 17 500 nuevos soles, un comerciante consigue un descuento del 10 % para una y del 5 % para la otra factura. De este modo debe pagar 16 350 nuevos soles. Cul es el importe de cada factura?

Solucin:

El importe de una factura

: xEl importe de la otra factura.

: Y

Las dos facturas sumaban 17.500 nuevos soles: x + y = 17 500

El descuento obtenido es 1 150 nuevos soles

: (10 x) / 100 + (5 y) / 100 = 1 150

La solucin del sistema es

: x = 12 000 y = 5 500

Se comprueba con facilidad que los resultados son correctos.

El importe de una factura es 12.000 nuevos soles y de la otra 5 500 nuevos soles.

Se han de repartir 36 libros entre un grupo de chicos. Sabemos que si fueran 3 chicos menos les tocaran 2 libros ms a cada uno. Cuntos chicos hay? Cuntos libros tocan a cada uno?

Nmero de chicos es

: xNmero de libros que le tocan a cada uno de ellos

: yEl nmero total de libros es 36 luego

: x y = 36

Si hubiera 3 chicos menos y les tocaran 2 libros ms luego: (x - 3) (y + 2) = 36

La solucin correcta del sistema es x = 9 y = 4

Comprobacin: 9 4 = 36 y (9 - 3) (4 + 2) = 6 6 = 36

Hay 9 chicos y a cada uno le corresponden 4 libros.

01) El valor de x en 3x + 3 = 9 es :

a) 9

b) 2c) 602) El valor de x en 15 -10 = x -15 es :

a) 25

b) 25

c) 20

d) 30

03) Halla x si x + 3 -3x -3 = 2x 8

a) 6

b) 5

c) 2

d) 3

04) Desarrolla y verifica la siguiente identidad.

a) 90

b) 70

c) 80

d) 100

05) Si x = 3. Calcular el valor de :

i. 14

ii. 24

iii. 8

iv. 16

06) Si se sabe que el permetro de la figura es de 60 m. La ecuacin que le corresponde es:

a) 3x +x = 60

b) 2 (3x + x ) = 60

c) 4 (3x + 1) 60

d) 2 ( 3x + 2 ) = 60

07) La suma de dos nmeros pares consecutivos es 886. Cul es el nmero menor?

a) 442

b) 438

c) 444

d) 440

08) La diferencia de dos nmeros es 1012 y su suma es 3432 Cul es el mayor nmero?

a) 2110

b) 1210

c) 1310

d) 2310

09) Teresa compr una chompa y una falda por S/. 225. Cunto pag por cada prenda si la falda era 37 soles ms barata que la chompa?

a) 129;96

b) 131;94

c) 87;98

d) 99;98

10) Cul es el nmero cuyo doble aumentado en 3 es 27?11) Jaime ha comprado 3 gorras. Si antes de comprar las gorras tena S/. 30 y ahora solo tiene S/. 6 Cunto costo cada gorra?

12) Jorge va al tienda donde le deban S/. 1. 2 nuevos soles de vuelto. Pide 2 manzanas y le cobran S/. 0.60 ms que su vuelto Cunto cuesta cada manzana?

13) La suma de 2 nmeros consecutivos es 39. Cules son esos nmeros?

14) Halla 3 nmeros consecutivos cuya suma sea 30.

15) He comprado una radio y un CD -man por S/ 350. Si la radio cuesta S/ 50 ms que el CD - man Cul es el precio de cada uno?

16) La suma de las edades de Rosa y Gloria es 47 aos. Si la edad de Rosa excede en 3 aos a la de Gloria Cul es la edad de cada una?

17) La suma de las edades de Arturo y Gabriela es 36 aos y su diferencia es 4 aos. Qu edad tiene cada uno?

18) Jos desea repartir S /. 2 400 nuevos soles entre sus 2 hijos de tal manera que al mayor le toque

S/. 600 ms que su hermano menor Cunto de dinero recibe cada uno?

19) La suma de las edades de 3 hermanas es 66 aos. Si las edades vienen a ser 3 nmeros pares consecutivos Qu edad tiene cada la hermana menor?

1) En tres canastas hay 105 naranjas. Si la primera contiene 11 ms que la segunda y 8 menos que la tercera Cuntas naranjas contiene la canasta?

2) Juan reparti S/ 1680 entre sus 3 hijos. El del medio ha recibido S/. 60 ms que el menor y S/ 120 menos que el mayor Cunto ha recibido cada hijo?3) La suma de las edades de 3 personas es de 110 aos. La persona menor tiene 5 aos menos que el del medio y 15 aos menos que el mayor Qu edad tiene cada persona?4) El costo de un libro es el triple que el de un cuaderno empastado. Si ambos cuestan S/ 120 Cul es el precio del libro empastado?5) Se ha comprado un lpiz y un lapicero por S/ 40. Si el costo del lapicero es 4 veces el del lpiz. Cul es el precio del lpiz?6) Un hotel de dos pisos tiene 54 habitaciones. Si las del segundo piso vienen a ser la mitad que las del primer piso. Cuntas habitaciones hay en cada piso?7) El mayor de dos nmeros es 5 veces el menor y ambos suman 210. Hallar los nmeros.

8) La edad de Ana es el triple que la de Eva ms 5 aos. Si ambas edades suman 65 aos Qu edad tiene Ana?

9) La edad de Carmen es el triple de la edad de Enrique; y la de este, es la mitad que la edad de Jorge. si las 3 edades suman 60 aos Cul es la edad de cada uno?

10) La suma de las edades de Arturo, Antonio y Anglica es de 93 aos. La edad de Arturo es el triple de la edad de Antonio y 9 aos menos de la edad de Anglica Cul es la edad de Anglica?11) Una varilla de hierro de 60 cm de longitud se ha divido en 2 partes. Si la primera excede en 6 cm. al doble de la segunda. Cunto mide cada parte de la varilla?

Historia

El lgebra, al igual que las dems ramas de la Matemtica , en realidad, que toda ciencia, tiene carcter histrico, en el doble sentido de que a lo largo del tiempo han ido cambiando no slo sus resultados sino, lo que es ms importante, su mtodo y su propio objeto.

En efecto; entre los babilonios, los indios, los egipcios, los propios griegos y en el mundo medieval (primero los musulmanes y luego los cristianos) el lgebra surge como una ampliacin de la Aritmtica que, cada vez ms, va especializndose en la bsqueda de races polinmicas. Por otra parte, se trata de un lgebra retrica o verbal: los problemas, las operaciones y los resultados se expresan en trminos verbales, se refieren a casos concretos y se prueban por tcnicas ms o menos heursticas que, en muchos casos, recurren a representaciones geomtricas.

Los algebristas italianos del renacimiento se dedicaron precisamente al estudio de los polinomios de tercer y cuarto grado. Los principales descubrimientos fueron las obras de Niccolo Fontana, llamado Tartaglia ("El Tartamudo"; nacido en Brescia en 1449, muerto en Venecia en 1557), Gerolamo Cardano (nacido en Pava en 1501, muerto en Roma en 1576), y que tambin fue ilustre en su poca como mdico y como filsofo, Ludovico Ferrari, su discpulo y colaborador (nacido y muerto en Bolonia, 1522-1565), Raffaele Bombelli (nacido cerca de Bolonia en fecha desconocida, muerto en 1572).

Vite (1540-1603) es un matemtico aficionado francs que contribuy excepcionalmente al desarrollo de las matemticas por un camino que hoy parece evidente: el de los smbolos y las notaciones. Con el lgebra deja definitivamente de ser verbal para ser simblica. Curiosamente, hay que sealar que, en su trabajo, haba tenido xito descifrando mensajes secretos.

En el siglo XVII, el lgebra pura parece dormirse en sus laureles. Una buena armazn simblica permite el desarrollo con todas las sutilezas que ello comporta del clculo algebraico y la resolucin de ecuaciones se convierte casi en un juego de nios.

A principios del siglo XIX, las ideas de Lagrange y de Vandermonde sobre las races polinmicas son desarrolladas y profundizadas por tres matemticos geniales: Gauss, Abel y Evariste Galois. De sus trabajos y de los de Cauchy saldra la teora de los grupos de sustitucin, uno de los captulos fundamentales del lgebra moderna.

Expresiones algebraicas

Provienen de frmulas fsicas, geomtricas, de economa, etc.

Expresin algebraica es toda combinacin de nmeros y letras ligados por los signos de las operaciones aritmticas: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin potenciacin y radicacin en un conjunto limitado.

En la escritura de expresiones algebraicas conviene tener presente:

Primero:el signo de la multiplicacin no suele ponerse entre las letras.

12ab = 12 x a x b

Segundo: el signo + o - que precede a una letra es un signo de operacin; ya que en una variable no se puede dIeterminar si este es positivo o negativo; solo se determina en su valor numrico.Ejm :

En 2x a : El signo - es de la operacin.

a ser positivo ( a > 0.

a ser negativo ( a < 0.

Las letras a, b, c, e, v, t..., representan nmeros; cuando operamos con ellas es como si opersemos con los nmeros que representan y cumplen las mismas reglas.

Monomios

Un monomio entero es una expresin algebraica en la que las nicas operaciones con letras que intervienen son la multiplicacin y la potenciacin de exponente natural.

Todo monomio est formado por: una parte numrica llamada coeficiente, una parte literal constituida por letras y sus exponentes.

El grado absoluto de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.El grado relativo de un monomio respecto de una variable es el exponente de esa variable.

El grado del monomio 7x2m3 es 2 + 3 = 5 y adems es de: grado 2 respecto de la variable x y; de grado 3 respecto de la variable m.Trminos semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal o variable.

546a; 14 785a; 5 477a; 13 411a son trminos semejantes de variable a. 21 444ab ; 47 515ab ; 3 789ab ; ab ; 457 785 525ab ; 479ab son terminus semejantes de variable ab.

01) Identifica las expresiones algebraicas que son trminos semejantes. 3 a ; 4 b : 6 b : 8 b :9 a : 8a : 9 b : 6 b . 2 b . 2ab : 7c : 3 a : 10 ab

3xyz ; 98xy2 ; 23xyz ; 345xy2z ; 76 x2yz; 234 xyz : 21 xy2 : 64 xy2z ; 634 x2yz; 85 xy2z: ; 54 xyz ..

45mn ; 57 m2n; 242m2n2 ; 96mn2 ; 254 m2n2 ;14 m2n ; 369 mn ;147 m2n: 364 m2n2 ; 258 mn ,159 m2n ; 357 m2n ; 247 mn2 ; 369 mn ; 257 mn2

23a2b3 ; 4a 3 b7 ; 23 a 3 b 4 ; 21 ab : 38 a2 b2 ; 12 a 2 b 3, 123 ; 45 a2 b2 ; 34 a 2 b 3; 23 a2 b2 ; 24 a 3 b7; 56 a 2 b 3 ; 123 a2 b2; 678 ; 567 a2b3 ; 345 a 3 b7 ; 456 a 3 b 4 ; 234 ab; 34 ; 56 a2b3 ; 23 a 3 b7 ; 34 a 3 b 4; 23 ab; 34 a 3 b7; 23 a2b3 ; 34 a 3 b 4; 343 a 3 b7

Para que dos monomios se puedan sumar o restar, han de ser semejantes. En ese caso, la suma o resta es otro monomio semejante, cuyo coeficiente final es la suma o resta de los coeficientes de cada termino semejante.

3x2 + 4xy no se pueden sumar porque no son semejantes, es decir, no tienen la misma parte literal.

Ejm :

5xy - 3xy = (5 - 3) xy = 2xy se puede sumar porque son monomios semejantes.

9ab3 - 3ab3 = 9ab3 - 3ab3 = (9 - 3) ab3 = 6ab3

01) Reducir:

X + 2x 8a +9a 6a 4a +3a + 2 a

3 b+ 9 b + 7 b +8 b + 5 b + 9 b

12 b + 56 b

5457xy + 98xy + 98x+ 87y + 48y + 578xy +76 + 45x +154x + 478y

345xy + 34xy + 65xy 345xy

478 x2 y3 z4 +69 x2 y3 z4 +147 x2 y3 z4 +58 x2 y3 z4 +69 x2 y3 z4 - 45 x2 y3 z4 +254 x2 y3 z4 -54 x2 y3 z4 98xa + 96xa+1+ 8 xa-2+ 69 xa-3+-45 xa +698 xa-3+52 xa+1-654 xa-3+987 xa-2+254 xa +698 xa+1-241 xa-2-145 xa+1-54 xa-3+698 xa 589xa-4+69xa-5+698xa-7+258xa-9+369xa-4+147 xa-9 xa-5+257 xa-9+357xa-4+159 xa-5+258 xa-9+654xa-4+365 xa-9+254 xa-7- 57 xa-9+69 xa-7+365 xa-7+-587 xa-7+154 xa-4-25 xa-9

Definicin:

Polinomio, suma o diferencia de monomios, cada uno de los cuales se denomina trmino del polinomio. Tambin los monomios son considerados polinomios de un solo trmino. Los polinomios con dos trminos se llaman binomios, y los de tres, trinomios.

El grado absoluto de un polinomio.- Es el mayor grado absoluto de sus trminos (monomios) que lo conforman.Ejm:

X4 5x2 + 6x -7x el primer trmino es de cuarto grado, el segundo trmino es de segundo grado, el tercer trmino es de tercer grado y el cuarto trmino tambin es de primer trmino.

El grado relativo de un polinomio.- Es el mayor exponente de dicha letra variable en el polinomio.

Ejm: m2 + m3 n4 + m5 n3 + m n2 es de quinto grado con relacin a la letra m .La expresin general de un polinomio es:

P(x) = a0xn + a1x n -1 + a2x n -2 ++ an -1x + anLos polinomios se suelen simbolizar por expresiones del tipo P(x), Q(x), A(x),.Son polinomios:

P(x) = 2x4 + 3x3 - x2 + 5x + 3Q(x) = x3 - 5x2 5R(x) = x5 + 3x3 - 2x2 + 5x

Los polinomios de un trmino, se llaman monomios.

Los polinomios de dos trminos, se llaman binomios.

Los polinomios de tres trminos, se llaman trinomios.

01) Nombrar el polinomio segn el nmero de trminos.

a b (x2):. 3mn (2n) + m:.. 0,3m (x2y) + x y: .... a + b + c + d: . ab + c + 1.e (4a) + h:02) Reconocer los coeficientes de los trminos del polinomio.

3m + 7m - 6 - 10m: 7,5 y3 + 2,5ay2 - ay: . 5x2 - 7x + 2x3 - 3 : m - m + 1: ...

Hallar el grado absoluto de cada polinomio.01) P(x) = 2xa xy

02) P(x,y) = 3x4 - 7x + 2xy - 8y2 + 1

03) P(x,y) = x2+xy 04) P(z) = 3mz8 + 7mz6 - 10m + 6

05) F(x) = 5cx6 + 3cdx2 - 3cd - 5c

06) P(x) = 6xy - 3x2y + 5x3y - 8x4y

07) P(x,y) = 0,2ax7y + 5x3y - 8x4y

08) H(x) = x4 - 3x2 + 2x3

09) P(x) = 7,1x8 - 3x7 + 0,9x - x4 + 6

01) Hallar el grado relativo de los siguientes monomios.

M(x,y) = 6a2x7y3

P(x,y) = m4x4y2n-3 M(x,y,z) = 0,67x3y3a

P(x,y) = 5a2x2y + 0,3xyb + b2x5y

P(a,b,c) = 5a3b - b4 + 6ac3 P(x,y) = 2x5y - y4 - 5x3m + 3x4 y

P(x) = x3 - 5x - 6 - x2 P(y,z) = 2y2 - 3t3 P(x) = 0,25 t z3 F(x,y) = 3 x2 y5

M(x,y) = 6 a7b7x7 P(x,y,t) = 3x2y - 5 y2 t - t2 G(y) = y25 - 3y4 + y - 8

P(x) = 3x10 + 2 - x5 - y11 + x

P(x) = 3 a2 - b4

Definicin El valor numrico de una expresin algebraica es el resultado que se obtiene efectuando las operaciones indicadas en ella, despus de sustituir cada letra por el valor que se le atribuye.Ejemplo:

P(x) = 2x2 - x + 1

Si: x = 1

P(x) = 2(1)2 - 1 + 1 P(x) = 2

01) Hallar el valor numrico si: a = 1 ; b = 2; x = 1; y =1 / 2 P(a) = 3a3 + 2a2 + a + 1

P(a,b) = a2 - b + a + b2 F(x) = 5cx6 + 3x 1 M(x) = 7,5x - y2 + 2y

P(x,y) = 0,5ax7y + 1,5axy + x

I = 4d2 - x2 + bz202) Si: a = 1; b = 2; c = 3; d = 1/2; x = 3; y =0; z = 1

M = a + b + c

F = 2d + x2 + y3

B = 3x - 5y + 8z

M = 7x4 - 2y3 + x3 E = 8a7 d

D = abc2 + x3Adicin y sustraccin de monomiosEfectuar la adicin de:

01) 3x ; 4x ; - 8x ; 2x

02) 8x2 ; 10x2 ; 2x2 ; + x2

03) 6 xy ; 5xy ; - 4xy

04) 0,6x2y3 ; 0,7x2y ; 01,yx2; 2,1 x2 y3Efectuar la sustraccin de:

01) 5m ; 10m

02) 0,42m ; 0,73m

03) xm4 ; xm404) xb3 ; xb305) 5m10 ; 6m10Hallar el V.N. de los polinomios

01) Si: P(x) = 2x2 - x + z. Hallar: P(2)

02) Si: E(c) = 7x3 - 2x2 - 7. Hallar: E(3)

03) Si: F(x) = (x2 - 1)(x4 + x + 1). Hallar: F(1)

04) Si: P(x,y) = 7x2 + 3xy+7y2. Hallar: P(2;3)

05) Si: E(x,y) = 3x2 + 5xy +2y2Calcular: E (4,5)

06) Hallar: P (1/2). Si: P(x) = 3x4 +x2+x

07) Hallar: E (1,2)

Si: E(x,y) = (2x2 +y3) (2x3 +y2)

08) Si: F(x,y) = (x3 + y2) (x2 + y4)

Hallar: F(3,1)

Exponente cero

Toda cantidad elevado al exponente cero equivale a 1.

Ejm :

Producto de potencias de bases igualesPara poder multiplicar dos o ms potencias de bases iguales; se suman los exponentes de estos conservado su misma base.

Ejm :

Divisin de potencias de bases igualesPara dividir dos potencias de la misma base; Se resta el exponente del dividendo con el exponente del divisor y se escribe la misma base.

Ejm :

Potencia de potenciaLa potencia de una potencia, es otra potencia de base igual y el exponente resulta del producto de los exponentes.

Ejm:

01) Escribe el nmero que corresponde.

02) Escribe el nmero que falta en el triangulo.

03) Simplifica y calcula el resultado.

Historia

En junio de 1948, la antigua URSS decide aislar por tierra a la ciudad libre de Berln, enclavada en el centro de la Alemania comunista. Slo entraba la comunicacin y transporte de alimentos por va area, y se deba de atender a las necesidades materiales de toda una ciudad. Los Estados Unidos respondieron organizando un gigantesco puente areo; cada minuto aterrizaba o despegaba un avin con abastecimientos para la ciudad. En la planificacin de los suministros se utiliz la programacin lineal.

Con anterioridad, se haba aplicado la programacin lineal para determinar las cantidades de diferentes cantidades de comida que se deban proporcionar a un animal, asegurndole la nutricin necesaria a un costo mnimo. Esta aplicacin de la programacin lineal se conoce con el nombre genrico de problema de la dieta.

Planteamientos similares se realizaron posteriormente en relacin a la dieta humana. En concreto, en pases en vas de desarrollo se han realizado estudios para planificar la produccin de alimentos, con el fin de proporcionar a la poblacin los requerimientos mnimos necesarios en caloras, protenas, hierro, calcio, etc. teniendo en cuenta las disponibilidades de tierra cultivable, el clima, las posibilidades de inversin, el poder adquisitivo, etc. Naturalmente, las variables de este problema son mltiples y complejas, y rebasan excesivamente nuestros objetivos, pero es un ejemplo ms que suficiente para justificar el estudio de la programacin lineal.

Desigualdades

En todos los mbitos encontramos expresiones numricas o algebraicas que hacen referencia a la desigualdad (). En su estudio aparecen los signos asociados a la desigualdad: , que nos servirn para relacionar nmeros o expresiones cuando no son iguales.

Llamaremos desigualdad a toda relacin numrica o algebraica unida por uno de los cuatro signos anteriores.

Intervalos:Intervalos Abiertos.- Los nmeros comprendidos entre 4 y 5 (observa que no entran el 4 ni el 5) determinan un conjunto de puntos que se llama segmento o intervalo abierto y se puede designar de varias maneras:

( 2 , 4 ) = < 2 , 4 > = { x N/ 2 < x < 4 },

{ x N / 2 < x < 4 } se lee "todos los x, tal que sean mayores que cuatro y menores que cinco".

En la representacin grfica se ponen crculos sobre el 4 y el 5.

En general un intervalo abierto es de la forma:

Intervalo Cerrado.- Los nmeros comprendidos entre 2 y 4, ms el 2 y el 4, determinan un conjunto de puntos que se llama segmento o intervalo cerrado y se designa:

[2, 4] = { x / 2 x 4}

{ x N / 2 x 4} se lee "todos las x, tal que sean mayores o iguales que cuatro y menores o iguales que cinco".

En este intervalo estn los nmeros citados en el caso anterior y adems el 4 y el 5.

En la representacin grfica se ponen puntos sobre el 4 y el 5 .

En general un intervalo cerrado es de la forma:

Intervalo Semi abierto o Semi cerrado.- Son aquellos intervalos abiertos por un extremo y cerrados por el otro a la vez.Ejm :

[ 2 , 4 > = { x N / 2 x = { x N / x > 2 }

{ x / x > 2} se lee "todos los x tal que sean mayores que dos".Representacin grfica

En forma general:

En general una semirrecta cerrada es de una de las formas:

En [ 2, + ) estn los nmeros mayores o iguales que 2 por ejemplo: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,.; y adems est el 2.

Qu es una inecuacin?

Soluciones de la Inecuacin: Son los valores numricos que verifican una inecuacin, es decir, los que al ser sustituidos en las incgnitas convierten a la inecuacin en una desigualdad verdadera.

Para resolver una inecuacin se realizan las operaciones necesarias y se hallan los valores de las incgnitas que hacen verdadera la desigualdad.

Ejm :

Para la inecuacin x + 21 >41.El valor x = 30 es verdadero, ya que30 + 21 = 51, por lo tanto es mayor que 41.El valor x =3 es falso, ya que 3 + 21 = 24, por lo que es menor que 41.

01) Dada la siguiente notacin del intervalo representa grficamente en la recta numrica y determina su conjunto solucin.

[4;9>

18

x + 10 > 15

y - 9 < 12

w/3 - 4 < 1

16< x + 5 < 23

15 < x + 10 < 25

25 3y - 5 < 34

x - 6 + 3x < 30

5y + 12 + y > 84

Es una desigualdad en la que hay una incgnita en uno de sus miembros o en los dos miembros de esta.

( a , + ) = < a, + > = {x N / a < x}

8

7

6

8

7

6

5

4

3

2

1

0

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Problemas de planteo de sistemas

10 cm.

X

20 cm.

(20 + X) cm.

Desafiando nuestras habilidades

EMBED Equation.3


lgebra

La miel y el queroseno

Un tarro de miel pesa 500 g. Este mismo tarro lleno de queroseno pesa 350 g. El queroseno es dos veces ms ligero que la miel. Cunto pesa el tarro?

El vaso de guisantes

Usted habr visto ms de una vez guisantes y habr tenido en sus manos vasos con mucha frecuencia. Por lo tanto, conocer bien las dimensiones de unos y otros. Pues, figrese un vaso lleno hasta arriba de guisantes secos y que estos guisantes se ensartan como cuentas en un hilo. Si este hilo, con los guisantes, se extiende, qu longitud tendr?

El agua y el vino

En una botella hay un litro de vino, y en otra, un litro de agua. De la primera a la segunda se transvasa una cucharada de vino y, despus, de la segunda a la primera se transvasa una cucharada de la mezcla obtenida. Qu hay ahora ms, agua en la primera botella o vino en la segunda?

Los dos obreros

Dos obreros pueden hacer un trabajo en siete das, si el segundo empieza a trabajar dos das despus que el primero. Si este mismo trabajo lo hiciera separadamente cada obrero, el primero tardara cuatro das ms que el segundo. En cuntos das podra hacer todo el trabajo cada uno de los obreros por separado? Este problema puede resolverse por procedimientos puramente aritmticos, incluso sin recurrir a operaciones con quebrados.


< a , b ] = { x N / a < x b}

[ a , b > = { x N / a x < b}

8

5

[ a , b ] = { x N / a x b}

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3





Operaciones con monomios


EMBED Equation.3


Valor numrico de expresiones algebraicas

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Sistemas de ecuaciones

Debes recordar: EMBED Equation.3

Teora de exponentes

Inecuaciones

Esta paradoja tiene una falacia, puedes ayudarme a encontrarla.


Polinomios - II

EMBED CorelDRAW.Graphic.10

Aplico lo aprendido

T puedes resolver estos ejercicios.

Polinomios

Aplico lo aprendido

EMBED Equation.3

EMBED CorelDRAW.Graphic.10

Ecuaciones


Curiosidades

x

3x

< a , b > = { x N / a < x < b}

4

3

2

1

0

7

6

5

4

3

2

1

0

[ a , + > = [ a , + ) = { x N / a x }

8

7

6

5

4

3

2

1

0


NIVEL 0NIVEL 0

_1139022241.unknown

_1139062358.unknown

_1139148346.unknown

_1139148520.unknown

_1139203040.unknown

_1139731093.unknown

_1139202631.unknown

_1139148499.unknown

_1139062394.unknown

_1139062415.unknown

_1139147517.unknown

_1139062377.unknown

_1139022362.unknown

_1139062343.unknown

_1139022261.unknown

_1139021334.unknown

_1139022115.unknown

_1139022156.unknown

_1139022179.unknown

_1139022127.unknown

_1139022053.unknown

_1139022089.unknown

_1139022024.unknown

_1136862762.unknown

_1139016576.unknown

_1139021326.unknown

_1139015003.unknown

_1139015802.unknown

_1139014954.unknown

_1139014840.unknown

_1136683656.unknown

_1136683674.unknown

_1136683344.unknown

algebra 6|° primria

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