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Abril 2004 • 2004ko Apirila 35

Actividades para el aula con Derive dirigidoa 4º de la ESO o a 1º de Bachillerato

ACTIVIDADES PARA EL AULA CON DERIVEDIRIGIDO A 4º DE ESO O 1º DE BACHILLERATO

Alberto Bagazgoitia (*)

INTRODUCCIÓN

Para enmarcar el tema comenzaremos haciendo una breve reflexión sobre el uso de los orde-nadores en el aula. Desde nuestro punto de vista, la introducción de las Nuevas Tecnologíasen las clases para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas ha iniciadoun camino irreversible. Bien es cierto que, hoy por hoy, su uso real en nuestras aulas es escasoy que el camino no está exento de dificultades: desde las meramente operativas –escasez deordenadores, falta de horas disponibles del aula de informática–, pasando por las de organi-zación y control del aula –cómo organizar y controlar el aula y el proceso de aprendizaje indi-vidual de cada alumno–, hasta razones más de fondo que ponen en duda la aportación realque pueden realizar estos programas informáticos a la mejora de la adquisición de capacida-des matemáticas.

Antes de seguir adelante hay que decir que estamos hablando únicamente de los llamadosAsistentes Matemáticos: programas que permiten al usuario hacer cálculos de todo tipo, no sólocálculo numérico sino también simbólico, permitiendo el trabajo con expresiones algebraicas,operando, simplificando, derivando, integrando..., haciendo representaciones gráficas en 2 y 3dimensiones, cálculos en estadística ... Los más conocidos son Derive y Mathematica en elámbito del cálculo y representaciones gráficas y Cabri en el de la geometría dinámica.

LOS ASISTENTES MATEMÁTICOS

¿Cómo no plantearnos su integración en el mundo de la educación, cuando intervienen tan delleno en los contenidos que habitualmente trabajamos en nuestras clases? ¿Cómo no pregun-tarnos sobre su utilidad y conveniencia, cuando a la vista está que realizan automáticamentemuchas tareas en las que invertimos horas y horas para que nuestros estudiantes las compren-dan y las dominen? ¿Nos facilitarán nuestra tarea y la de nuestro alumnado?

Las preguntas surgen de una manera natural. Las respuestas, que dependerán de lo que cadacuál considere qué es lo fundamental en el aprendizaje de las matemáticas, deberían ser elresultado de reflexiones y debates en los Seminarios de Matemáticas de los Centros, reflexionesy debates a los que queremos contribuir con las breves ideas que se exponen a continuación.

Lo primero que hay que tener en cuenta es que estos programas informáticos no han sido dise-ñados para la educación, sino para realizar cálculos y operaciones de una forma automática yeficaz, de manera que permitan al usuario dedicar su tiempo a analizar y pensar sobre aque-llo que sea realmente sustancial en el problema, sin tener que desviar su atención y esfuerzosen tareas rutinarias de cálculo. Por tanto, la pregunta básica de ¿para qué usarlos? en el mundode la educación, en el que el cálculo ha sido y es uno de los pilares fundamentales no es banal,más bien al contrario, completamente necesaria para, en primer lugar, aclarar los objetivos quequeremos lograr y posteriormente precisar cómo los podremos conseguir.

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Gasteiz

1. ¿Para qué usar los Asistentes matemáticos?

Para la Resolución de Problemas

La respuesta inmediata es clara: para no perder tiempo en cálculos a la hora de abordar unproblema determinado. Lo importante es el problema, los cálculos una necesidad en el pro-ceso de resolución. Así pues la aportación de estos programas sería fundamental para aplicaro usar las matemáticas en la resolución de problemas. En este nivel sería necesario conocertanto los conceptos matemáticos necesarios como la herramienta informática a utilizar.

Ahora bien, desde el punto de vista de la enseñanza, el usar o aplicar las matemáticas con-lleva una serie de aprendizajes previos. Es necesario distinguir el uso de las matemáticas (porejemplo, en la resolución de problemas) del aprendizaje de conceptos y procedimientos quelógicamente será anterior a ese uso. Y no son lo mismo los aprendizajes necesarios para com-prender o saber reconocer en un contexto concreto la aparición o utilidad de un determinadoconcepto, que los necesarios para saber elegir y utilizar de forma eficaz un procedimiento decálculo.

Para el aprendizaje de conceptos

Para poder aplicar un concepto es necesario comprenderlo, en el sentido más amplio de lapalabra, que abarca desde conocer su significado hasta saber reconocer en qué situacionesaparece y qué ventajas puede aportar su uso. Y esto no se consigue la primera vez que elalumno se acerca al concepto, sino que su significado se va enriqueciendo a medida que loreconocemos en diferentes situaciones y, por ello, los profesores debemos invertir tiempo eneste tipo de actividades. Todos tenemos la experiencia de aprendizajes puramente memorísti-cos, sin verdadera comprensión, que derivan en aplicaciones mecánicas que no tienen granvalor.

¿Qué pueden aportar estos asistentes matemáticos para la mejor comprensión de los concep-tos? ¿Qué pueden aportar para facilitar su aprendizaje o su uso?

Como ya hemos indicado anteriormente el objetivo fundamental de estos programas no va enesta línea, por lo que el mero uso de ellos no nos permitirá avanzar en esta dirección. Será nece-sario que el profesor valore las posibilidades que ofrecen y que elabore propuestas guiadas deintervención en el aula, especialmente diseñadas para conseguir sus objetivos. (En Internetpodemos encontrar algunos de estos programas que, utilizando la capacidad interactiva delordenador y las posibilidades gráficas, facilitan la comprensión de determinados conceptos).

Aprendizaje de procedimientos de cálculo

En el caso de los procedimientos de cálculo además de dominar el proceso a seguir es nece-sario conocer en qué situaciones se puede aplicar y saber interpretar sus resultados. Lo quelos programas de ordenador, a primera vista, nos ofrecen es la facilidad y rapidez de cálculoy ante este hecho es inevitable plantearnos la pregunta de hasta dónde tenemos que emplearnosotros el tiempo trabajando esas técnicas de cálculo y hasta dónde podemos dejarlas enmanos de la máquina.

Pero la pregunta básica sería: ¿Qué debemos enseñar en lo que respecta a los procedimien-tos habituales de cálculo? Está claro que para reconocer cuándo hay que aplicarlo y para saberinterpretar los resultados no contamos con la ayuda del ordenador. Por lo tanto estos aspectosdeberemos continuar trabajándolos igual o más que antes y es en el proceso del cálculo mecá-nico donde interviene el ordenador. ¿Qué perseguimos cuando enseñamos un procedimientode cálculo y pedimos a los alumnos que logren una automatización importante? Esta es lareflexión que deberíamos hacer.

SIGMA Nº 24 • zk. 24 SIGMA 36

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La introducción de estos asistentes matemáticos en el aula nos hará reflexionar sobre los pro-pios objetivos del aprendizaje del cálculo y de los algoritmos. No va a suponer una ayuda ensu proceso de enseñanza-aprendizaje, sino que nos hará repensar el para qué y el dóndedebemos colocar los mínimos necesarios.

Estas preguntas son las mismas que hace ya unos cuantos años nos plantearon la aparición delas calculadoras. La discusión de entonces relativa a las operaciones numéricas se traslada hoyal campo de las operaciones algebraicas. Y las respuestas de hoy son del mismo tipo que lasobtenidas entonces. Éstas son algunas de las razones justificativas dadas para trabajar los dife-rentes algoritmos de cálculo (cada uno podrá priorizar las que considere más importantesdependiendo del algoritmo concreto):

• Es el único o el mejor y más eficaz método que nos permite encontrar la solución.

• Es elemental y básico, porque en él se basan otros métodos posteriores.

• Desarrolla la fluidez, dominio y soltura en el cálculo, lo que permitirá a los alumnos usarcon confianza no sólo éste sino también otros métodos similares.

• El propio proceso seguido, más allá de los cálculos, es útil para aplicarlo también en otrassituaciones, o para facilitar la comprensión de algún concepto asociado.

• ......

A la vista de estas razones, es evidente la necesidad de un replanteamiento: y es que la pri-mera de ellas, si en un momento determinado fue válida, está claro que hoy en día no lo es yrespecto a las otras tres, teniendo en cuenta que se basan en la contribución del procedi-miento a otros logros más globales, deberíamos valorar en su justa medida la importancia deesa aportación. En definitiva, que la enseñanza de los algoritmos en el momento actual exigerevisar las razones por las que los hemos enseñado y los seguimos enseñando: determinar lanecesidad del algoritmo y el grado o nivel de dominio que consideramos imprescindible: cuáles el mínimo conveniente y exigible y a partir de que nivel se puede dejar a las calculadoraso programas informáticos.

2. Razones a favor y peligros o desventajas de introducirlos asistentes matemáticosen la enseñanza

A favor:

Las razones más comunes que se aducen para impulsar el uso de estos programas son las

siguientes:

1. Realizan los cálculos rutinarios, liberando tiempo para poder plantear situaciones rea-

les y dedicarlo a otras actividades de nivel superior: análisis de la situación, interpre-

tación de resultados,...

2. Permiten experimentar, variar parámetros y observar resultados.

3. La visualización gráfica permite una mejor comprensión de algunos conceptos.

4. Los alumnos con dificultades en los procesos de cálculo pueden avanzar en el apren-

dizaje, sin que estas dificultades supongan una barrera infranqueable.

5. Permiten un trabajo más autónomo, tanto individual como en equipo.



Peligros:

1. Pérdida de destrezas básicas de cálculo, y dependencia de la máquina.

2. Percepción de la matemática como algo mágico, caja negra sobre la que no tenemoscontrol.

3. Confianza total en la máquina que nos lleva a la pérdida del sentido crítico.

4. Todos los programas necesitan un aprendizaje y el tiempo que hay que dedicar a eseaprendizaje no compensa los posibles beneficios que se podrían obtener.

5. Aunque sea una razón externa y coyuntural, las condiciones en las que se realiza elexamen de Selectividad sirven para reforzar la idea de que no son útiles ni necesariostales programas.

Hagamos un breve comentario sobre alguno de estos puntos.

El primer punto a favor, el más evidente, es muy sugerente, pues nos permite sustituir el tiempodedicado a los cálculos rutinarios por otras actividades. (Es además la aplicación natural deestos programas, porque están diseñados para eso). Y la mayoría de los profesores reconoce-mos que la comprensión y el reconocer en situaciones diferentes los conceptos básicos delcálculo dejan mucho que desear. ¿Se puede recortar el tiempo dedicado a adquirir destrezaen los cálculos algebraicos o, como opinan algunos profesores, ya hemos llegado al mínimo?Está claro que la clave está en la medida: dónde colocamos el mínimo necesario. En este sen-tido, en el de clarificar y justificar los ejercicios planteados deben avanzar nuestras reflexio-nes. ¿Cuál es el sentido de los ejercicios que hacemos trabajar a nuestros alumnos? Los cál-culos que realizan “a mano” son fundamentales para adquirir las mínimas destrezas necesa-rias, o ¿se pueden sustituir por la máquina? ¿Realizamos actividades de aplicación, en las quela actividad fundamental que debe desarrollar el alumno no es la de calcular, sino en lasque el cálculo es el instrumento que nos facilita el análisis y comprensión de la situación?

Por otra parte, lo mismo que hemos dicho para el cálculo algebraico es válido para las repre-sentaciones gráficas donde las ventajas que nos ofrece el ordenador son innegables. La posi-bilidad de que los estudiantes, haciendo variar parámetros en las gráficas, observen los efec-tos producidos les convierte en investigadores que pueden obtener sus propias conclusionesfomentándose de esta forma un aprendizaje más autónomo.

Por último, deberíamos preguntarnos si los alumnos que tienen más dificultades en el cálculono deberían ser precisamente los primeros y mayores usuarios de este tipo de programas queles pueden permitir pasar a trabajar actividades más creativas –plantear, diseñar, analizar ointerpretar–, al saber que disponen de un medio que les resuelve las dificultades técnicas. Siuna persona no domina una determinada técnica (léase cálculo algebraico) difícilmente alabordar un problema lo planteará en términos algebraicos, pues sabe que por esa vía no lle-gará a ningún sitio, sin embargo si dispone de un programa informático que le solucione eseaspecto, podrá hacerlo, y si es capaz de hacer un planteamiento adecuado y una interpreta-ción correcta de los resultados será capaz de resolver el problema.

Hasta aquí los aspectos positivos, que como ya he dicho, nos exigen una reflexión sobre nues-tra enseñanza.

Y entre las dificultades que conlleva el uso de estos programas comentaré solamente el pro-blema del tiempo de aprendizaje que exigen, antes de poder sacarle ningún provecho. No es


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un problema banal, sino que yo diría que es uno de los fundamentales. El tiempo, la escasezde tiempo dedicada al estudio de las matemáticas en toda la Educación Secundaria es uno delos grandes problemas con el que nos encontramos los profesores. Si a ello, como decía, letenemos que quitar las horas de aprendizaje del uso de la propia herramienta de trabajo, esposible que no se vea tan claro las ventajas que nos puede aportar su uso. Por tanto la facili-dad en el uso de los programas es una característica muy a tener en cuenta y en este sentidohay que decir, que el programa Derive satisface plenamente las exigencias que se puedenhacer en esta línea.

Pero no tenemos que olvidarnos de cuál es la verdadera finalidad: hay que tener en cuentaque el objetivo no es conocer todas las posibilidades que nos ofrecen los programas, puescomo ya ha quedado dicho no están pensados para el mundo de la educación, sino seleccio-nar aquello que nos pueda ser útil para nuestros objetivos educativos.

3. Resumiendo

En nuestra opinión, los beneficios que se pueden obtener con el uso de un asistente matemá-tico superan los peligros y en concreto para la Educación Secundaria vemos muy convenienteel uso del programa Derive. Deberíamos revisar los objetivos de nuestra enseñanza planteán-donos ir más allá de las meras destrezas de cálculo: buscar pautas en el comportamiento deobjetos, realizar conjeturas, comprobarlas o refutarlas (demostraciones y contraejemplos),modelizar situaciones reales, resolución de problemas,... No hay duda de que al modificarnuestros objetivos deberemos replantearnos también nuestro modo de evaluación. Haymuchos ejercicios que perderán su sentido dentro de los nuevos planteamientos.

Al plantear una Propuesta para la introducción del ordenador creo que habría que distinguirdos fases, dependiendo de los objetivos fijados:

1ª Fase: Cuando el objetivo de la enseñanza es la comprensión de los conceptos y eldominio mínimo de las destrezas básicas.

En esta fase se utilizaría el ordenador sólo en lo que puede ayudar para facilitar la com-prensión (capacidades gráficas, interactividad,...), incluyendo la posibilidad de usarlocomo herramienta de cálculo para aquellas operaciones previamente dominadas.

2ª Fase: Cuando el objetivo es la resolución de problemas en los que intervienen los con-ceptos y procedimientos previamente trabajados.

Ésta es la fase de aplicación y uso en la que hay que conocer y trabajar la potencia decálculo del programa.

Pero más allá de las necesarias reflexiones teóricas, a menudo se echa en falta la propuestaconcreta de actividades que desarrollen y lleven a la práctica los deseables objetivos másarriba enunciados. Y como el movimiento se demuestra andando, se presenta a continuaciónla actividad titulada VENTA DE CAMISETAS, cuya idea original está tomada de la revistaMathematics Teachers, en la que se plantea una situación que se resuelve con la ayuda delprograma Derive.

Si los alumnos ya conociesen el programa lo utilizarían como un asistente para analizar yresolver las distintas situaciones y si no, se podría utilizar la actividad como recurso para irintroduciendo las diferentes órdenes y posibilidades que nos ofrece Derive.



VENTA DE CAMISETAS

Los alumnos del Instituto tiene previsto organizar un viaje de fin de curso, para lo cual orga-nizarán diversas actividades con el fin de obtener dinero para financiarlo.

Tú formas parte de la comisión que se encargará de la venta de camisetas conmemorativas.Habéis contactado con la fábrica que os surtirá de camisetas para conocer su lista de preciosy después queréis fijar el precio de venta de cada camiseta de forma que el beneficio logradosea máximo.

La fábrica nos ha enviado la siguiente lista de precios, dependiendo del número de camisetasque se le compren:

Nº de Camisetas Coste total

100 500 €

250 1.200 €

500 2.000 €

750 2.800 €

1.000 3.500 €

1.500 4.900 €

2.000 6.000 €

1. Primeros pasos: un sondeo

Para saber el número de camisetas que podréis vender a un determinado precio decidís hacerun sondeo entre los compañeros del instituto. (Supongamos que los únicos posibles compra-dores de camisetas son los alumnos del instituto, aunque cada uno podría comprar más deuna para otros amigos, hermanos, etc.) Para modelizar cualquier problema real hay que reali-zar hipótesis que simplifiquen y hagan posible su tratamiento matemático: el que las hipóte-sis sean adecuadas es el primer paso y un paso esencial para que los resultados del modelomatemático se ajusten a la realidad.

En el sondeo realizado a 30 compañeros has obtenido los siguientes resultados:

Precio de cada camiseta Nº de camisetas que se venderían

4 € 74

6 € 52

8 € 34

10 € 21

12 € 10

Teniendo en cuenta que en el Instituto hay 600 alumnos y aplicando la proporción corres-pondiente se puede obtener el número total de camisetas que se prevén vender en función delprecio de venta:


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Precio de cadaNº de camisetas

camisetaque se venderían

en el Centro

4 € 1.480

6 € 1.040

8 € 680

10 € 420

12 € 200

A partir de estos datos, utilizando el programa DERIVE, podemos obtener una representacióngráfica de estos puntos y una función que se ajuste a estos datos.

Mediante la instrucción Fit([x,ax+b], L) se obtiene la recta de mejor ajuste a los puntos de lalista L: y = 2036 – 159 x

El problema de ajustar una función a una serie de datos ya no es un problema técnico:mediante el ordenador podemos ajustar, de la misma forma que hemos ajustado una funciónlineal, cualquier otro tipo de función: cuadrática, polinómica de grado superior, exponencial,logarítmica, o trigonométrica. Las claves sobre las que hay que reflexionar pasan de ser loscálculos y algoritmos a una comprensión más profunda del problema: ¿por qué hemos elegidouna función lineal como función de ajuste?, ¿cuáles son las características básicas de la situa-ción que hace que la función elegida sea adecuada o no?

Se podrá hacer ver a los alumnos que la ley de la oferta y demanda se modeliza medianteuna función lineal y deberían ser capaces de interpretar el significado de la ecuación obte-nida: y = 2036 – 159x y ver si es razonable o no.

La ecuación nos dice que por cada euro que aumentemos el precio de las camisetas vendere-mos 159 camisetas menos, lo que puede ser razonable, y que al precio de 0 euros venderíamos2036.

2. Cálculo de los Ingresos en función del Precio

Una vez calculada la función NumVent(x) = 2036 – 159x que nos da el número de camise-tas que esperamos vender en función del precio, el obtener los ingresos previstos es inmediato:bastará multiplicar el precio por el nº de camisetas vendidas:

Ingr(x) = x (2036-159x) = -159x2 + 2036x

Otra forma de calcular la relación entre precio e ingresos sería a partir de la tabla inicial, aña-diendo una tercera columna con los ingresos previstos:

Precio de cadaNº de camisetas

Ingresos previstos:camiseta

que se venderíanPrecio x Nº cam.en el Centro

4 € 1.480 5.920 €

6 € 1.040 6.240 €

8 € 680 5.440 €

10 € 420 4.200 €

12 € 200 2.400 €

Se trataría de ajustar una nueva función a los valores de la primera y tercera columnas, queme diese los ingresos en función del precio. De manera análoga a lo realizado en el caso ante-rior, utilizando el programa DERIVE se puede obtener la función de ajuste. El problema serádeterminar qué tipo de función hay que ajustar en este caso. Representando gráficamente lospuntos se ve que una función lineal no es adecuada, y mediante un pequeño análisis como elrealizado para obtener la ecuación anterior se comprende que una función de segundo gradopuede ser adecuada.


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En la columna de la derecha de la figura, se pueden observar las instrucciones utilizadas enDerive para construir la columna de ingresos sin necesidad de teclearla directamente. La línea#5 (Ingr:= VECTOR (ELEMENT (Prec_numventa,k,1)* ELEMENT (Prec_numventa,k,2), k, DIM(Prec_numventa))`multiplica las dos columnas de la matriz Prec_numventa que contenía losdatos iniciales y su resultado se da en #6.

Después mediante #7 se define la nueva matriz Prec_Ingr a partir de la Prec_numventa en laque se sustituye la 2ª columna por Ingr.

#7: (Prec_Ingr: = REPLACE (#6, Prec_Numventa`, 2)`

Ajustemos por tanto una función de segundo grado a estos puntos:

La función obtenida (con una precisión de 2 decimales) sería:

Ingr2(x):= -83,57 x2 +883,14 x + 3792

Como se ve es una función bastante diferente de la que habíamos calculado inicialmente

Ingr(x) = -159x2 + 2036x

Tenemos dos funciones distintas para modelizar la misma situación. Dan valores cercanospero no iguales ¿Hay alguna razón para preferir una a la otra?



Representando en la misma gráfica las dos funciones:

¿Cuál es el significado del punto de corte con el eje Y? Obviamente representa los ingresosprevistos cuando el precio de venta de las camisetas es de 0 euros. Teniendo en cuenta estedato parece más realista la función Ingr(x) –que pasa por (0,0)– que la función Ingr2(x) quenos daría unos ingresos de 3.792 euros para el precio de 0 euros.

Tomaremos por tanto a partir de ahora como función ingresos la dada por :

Ingr(x) = -159x2 + 2036x

3. ¿Para qué precio se obtendrán los Ingresos Máximos?

Dependiendo de los conocimientos de los alumnos el problema se puede abordar utilizandola opción Traza del programa Derive que nos permite desplazarnos sobre la gráfica de la fun-ción y obtener simultáneamente las coordenadas del punto sobre el que estamos.

Como se puede ver en la figuraadjunta al valor de x = 6,33 le corres-ponderían unos ingresos de 6.517euros. Desplazando el cursor sobre lagráfica se pueden obtener los siguien-tes resultados:

x Ingr(x)

6,22 6.512,59

6,33 6.517

6,37 6.517,60

6,44 6.517,48

2,59 6.516,77


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El estudio de esta tabla nos indicaría que el máximo se alcanzaría entre 6,33 y 6,44.

Con la opción de zoom de la ventana gráfica, o mediante el cálculo de valores entre 6,33 y6,44 se puede aproximar todavía más el resultado. (La orden Table nos permite construir unatabla de valores de la función Ingr(x)).

Como se puede ver la Tabla nos sitúa el máximo para un precio x = 6’4 euros, valor para elcual se obtendrían unos ingresos de 6.517,76 euros.

Caso de que el alumno conociese las técnicas de derivación, el problema no tiene mayor difi-cultad:

Se puede obtener la derivada de la función y resol-ver la ecuación igualada a 0 que nos daría el valorpara el cual se obtiene el máximo:

x = 6,40

4. Obtención de los Beneficios Máximos

(Teniendo en cuenta los precios de coste de las camisetas)

En el apartado anterior hemos obtenido los ingresos máximos según el precio de venta, perolo que de verdad nos interesa es el beneficio máximo que podemos obtener después de des-contar a los ingresos obtenidos los gastos realizados al comprar las camisetas.

Retomando los precios de coste de las camisetas:

Nº de Camisetas Coste total

100 500 €

250 1.200 €

500 2.000 €

750 2.800 €

1.000 3.500 €

1.500 4.900 €

2.000 6.000 €



Trataremos de encontrar una función que se ajuste a estos valores:

Haciendo como en el caso inicial el ajuste lineal de la tabla Precio_Camis obtenemos la recta:Coste(x) = 2,87 x + 486,01 que nos da el coste en función del número de camisetas compra-das y que nos sugiere un coste inicial de 486,01 euros y un incremento en el coste de 2,87euros por cada camiseta producida.

Recordando que el número de camisetas x que se prevé vender era función del precio p de ventasegún la función: x = 2.036 – 159 p, se puede obtener el coste de las camisetas en función delprecio de venta: (Los alumnos verán así una aplicación de la composición de funciones).

Operando con el programa Derive:

Que nos da para la función Coste_Prec (p) (Coste de las camisetas en función del precio p deventa) el valor:

Coste_Prec(p) = 6.326,29 – 456,09 p

Esta función nos indica que por cada euro que se aumente el precio, el costo total disminuiráen 456,09 euros.


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Por último para obtener el Beneficio en función del precio de venta bastará definir la función:

Beneficio(p) := Ingr(p) – Coste_Prec(p)

Después de los cálculo se tiene:

Beneficio(p) = -159 p2 + 2.492,09 p – 6.326,28

Cuyo máximo se puede obtener bien mediante la Opción Traza, bien construyendo una tablade valores o bien mediante el cálculo de la derivada.

Como se ve en la figura anterior el máximo estará próximo a 7,8, y construyendo la tabla paravalores cercanos a éste:

Esta tabla nos sitúa el máximo entre 7,6 y 8. Si queremos mejorar la precisión construimos otratabla entre 7,6 y 8 con un incremento menor, por ej: de 0,05:




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Que sitúa el Máximo en torno a 7,85 euros, valor para el cuál se obtendrían unos beneficiosde 3.438,66 euros.

Por otra parte, si utilizásemos la derivada para obtener el máximo:

que nos da el máximo en p = 7,84 euros y unos beneficios máximos de 3.438,69 euros.

Hasta aquí el tratamiento teórico del problema: Recopilando lo realizado, tenemos:

Función Valor en x = 7,85

Precio fijado x 7,85 €

Nº camisetas que se venderían Numvent(x) 787,85 camisetas

Ingresos que se obtendrían Ingr(x) 6.184,62 €

Coste de las camisetas Coste_Prec(x) 2.745,96 €

Beneficios Beneficio(x) 3.438,66 €

5. Vuelta a la situación real

Una vez obtenidos los resultados que nuestro modelo matemático de la situación nos ha dadodebemos volver a contrastarlos con la situación real.

Supongamos ahora que la empresa a la que le compramos las camisetas sólo vende las canti-dades exactas que nos ofertó en su lista de precios, y por tanto no podemos comprar 787,85camisetas. Debemos comprar 750 o 1000.

Si compramos 750 camisetas el gasto era de 2.800 euros y mientras que si compramos 1.000camisetas el gasto era de 3.500 euros.A la vista del resultado obtenido parece más lógico inclinarse por comprar 750 camisetas y talvez aumentar un poco el precio pero ¿podemos precisar más?

Definimos ahora una nueva función Costereal(n), según la tabla de valores de la página 1, queme daba el coste de las camisetas en función del número de camisetas compradas.

Nº de Camisetas Coste total Costereal(n)

100 500 500 1 ≤ n ≤ 100

250 1.200 1.200 101 ≤ n ≤ 250

500 2.000 2.000 251 ≤ n ≤ 500

750 2.800 Costereal(n): 2.800 501 ≤ n ≤ 750

1.000 3.500 3.500 751 ≤ n ≤ 1.000

1.500 4.900 4.900 1.001 ≤ n ≤ 1.500

2.000 6.000 6.000 1.501 ≤ n ≤ 2.000

Esta función es una función a trozos que se puede definir en Derive mediante la función CHI.En Derive, la función CHI(1,n,100,1,1) da el valor 1 si 1≤n≤100 y 0 en caso contrario, así lafunción Costereal(n) puede escribirse:

Costereal(n) = 500.chi(1,n,100,1,1) + 1200.chi(101,n,250,1,1) + 2000.chi(251,n,500,1,1)+ 2800.chi(501,n,750,1,1) + 3500.chi(751,n,1000,1,1) + 4900.chi(1001,n,1500,1,1)+ 6000.chi(1501,n,2000,1,1).

Siguiendo los mismos pasos que en el apartado 4, podemos obtener:

Costereal_prec(p):= Costereal(Numvent(p)) que da el coste en función del precio establecido,y por último:

Benefreal1(p):= Ingr(p) – Costereal_Prec(p)

Nos daría los beneficios previstos.



Hay que hacer notar que esta gráfica sólo tiene sentido para valores de p entre 0,23 y 12,79que son los límites para los que Numvent(p) está en el dominio de Costereal.

Como se ve en la gráfica esta función alcanza el máximo aproximadamente en 8,10. (Se nosofrece una buena oportunidad para hablar de máximos y mínimos cuando el dominio escerrado y acotado, donde hay que tener siempre bien presentes los extremos).

Obteniendo algunos valores próximos a éste :

Benefreal1 (8.10) = 3.259,61

Benefreal1 (8.09) = 3.364,99

Benefreal1 (8.08) = 2.570,34 , valor para el cual se observa en la gráfica, que ya hemos pasadoa la rama anterior.

Por tanto el máximo para los beneficios se logrará en torno a 8.09 euros.

Y el resumen de la información obtenida :

Función Valor en x = 8,09

Precio fijado x 8,09 €

Nº camisetas que se venderían Numvent(x) 749,69 camisetas

Ingresos que se obtendrían Ingr(x) 6.064,99 €

Coste de las camisetas Coste_Prec(x) 2.800 €

Beneficios Beneficio(x) 3.264,99 €

Es decir debemos comprar 750 camisetas y venderlas a un precio de 8,10 euros.

BIBLIOGRAFÍA

García A. y otros. “Nuevas Tecnologías y Enseñanza de las Matemáticas”. EditorialSINTESIS.

“MATHEMATICS TEACHER”.


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