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9. Números y

figuras

Matemáticas 3º ESO

320

1. Generalización 2. Secuencias y sucesiones 3. Sumas de sucesiones

Cercos

Escaleras

Escuadras 4. Resolución de problemas 5. Fórmulas

Números y figuras

321

1. Generalización CUADRADOS Y RECTÁNGULOS Material: gran número de cuadrados de cuatro colores para cada estudiante. Construye con estas piezas cuatro figuras, cada una de un color y que tengan forma de cuadrado o de rectángulo, con la condición de que con las cuatro figuras podamos, a su vez, construir una figura única de cuatro colores que tenga forma de cuadrado o rectángulo. ¿Qué condiciones tienen que cumplir los lados de las figuras que has construido para que podamos construir un cuadrado con las cuatro?.

Si construyes con las piezas cuatro cuadrados iguales, cada uno de un color, resultaría siempre posible construir con los cuatro cuadrados un cuadrado de cuatro colores y de lado doble, o un rectángulo.

La forma de la figura resultante no depende solamente de la forma de las cuatro figuras.

Si dos figuras de las cuatro son dos cuadrados con un vértice en común, siempre podemos construir un cuadrado que tenga de lado la suma de los lados de los dos cuadrados añadiendo dos rectángulos iguales.

Las cuatro figuras tienen un vértice en común.

Si construimos dos cuadrados y los situamos con un lado común, obtenemos un cuadrado añadiendo dos rectángulos.


322

Si ponemos la condición de que las cuatro figuras tengan un vértice común, la solución más interesante puede que sea considerar el problema resuelto. En este caso, si partimos de un cuadrado o de un rectángulo, podemos descomponer de varias formas los lados de la figura en una suma de dos sumandos y quedará así la figura descompuesta en cuatro figuras:

d

ad

bd

c

ac

bc

a b

Con esta actividad puedes obtener una demostración geométrica de la propiedad distributiva del producto de números naturales:

bd+bc+ad+acd+cb+a

y también el cuadrado de una suma:

22 b+2abab+a 2

El cuadrado de una suma no es igual a la suma de los cuadrados.

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero mas el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

DILATACIONES

1) Imagina que dilatas un cuadrado de lado desconocido a, hasta que aumentas su lado en b.

¿Qué relación hay entre los rectángulos dibujados (incluidos el cuadrado antiguo y el nuevo)?.

Números y figuras

323

2) Imagina que dilatas un cubo de lado desconocido a, hasta que aumentas su lado en b.

¿Qué relación hay entre los paralelepípedos obtenidos (incluidos el cubo antiguo y el nuevo)?.

ÁREA Y VOLUMEN Calcula el volumen de los siguientes sólidos. Calcula también la suma de las áreas de todas sus caras.

ÁREA Y VOLUMEN DEL CUBO 1) Calcula el volumen de los dos cubos de la siguiente figura. Calcula también la suma de las áreas

de todas sus caras.

2) ¿Cuántas veces es mayor el volumen del cubo grande que el del cubo pequeño?. ¿Y el área?. 3) Al doblar el tamaño de la arista de un cubo, ¿qué aumenta más, el área o el volumen?.


324

NÚMEROS IMPARES Imagina los impares consecutivos. Elévalos al cuadrado. Réstalos. ¿Qué sale?. ¿Hay alguna ley general?. Parecen los múltiplos de 8. ¿Por qué?. ¿Es válido para toda pareja de impares consecutivos?; por ejemplo, -7 y –5.

Recuerda que 22 b+abab+a 22 (cuadrado de una suma) y que 22 b+abab-a 22

(cuadrado de una diferencia). Recuerda también la expresión de dos números impares

consecutivos: 1-2n y 1+2n .

ÁNGULOS INTERIORES ¿Cuál es el valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono de 3, 4, 5, ..., n lados?.

ÁNGULOS RECTOS 1) ¿Cuál es el máximo número de ángulos rectos que se pueden formar con 2, 3, 4, 5, .., n palillos?. 2) ¿Cuál es el máximo número de ángulos rectos que puede tener un polígono?.

Números y figuras

325

DIAGONALES ¿Cuál es el número de diagonales de un polígono de n lados?.

PUNTOS Y RECTAS Dados dos puntos, hay una recta que pasa por ellos; con 3 puntos no alineados se determinan 3 rectas, como puedes observar en la siguiente figura:

a) Haciendo los dibujos correspondientes, completa la siguiente tabla, de forma que nunca tres

puntos estén alineados:

Número de puntos 2 3 4 5 6

Número de rectas que determinan 1 3

b) ¿Puedes dar una expresión que relacione el número de puntos y el de rectas que determina?.


326

CÍRCULOS Material: Gran número de círculos de colores variados para cada alumno. Construye figuras semejantes a la del dibujo siguiente, más grandes, y expresa las relaciones y regularidades que observes en dichas figuras, contando el número de círculos que las forman.

a) ¿Hay figuras simétricas?. b) Cada línea tiene un número distinto de círculos. Hay dos líneas que tienen más círculos que

todas las demás. ¿Qué líneas?. c) ¿Qué forma tienen todas las figuras?.

Observa que cada figura tiene el perfil de un cuadrado. Contando el número de círculos de cada línea, podemos hallar la suma de los números naturales consecutivos.

En general, si consideramos que el cuadrado tiene de lado n+1 círculos, se cumple:

1+ 2 + 3+...+n + (n +1) + n+...+3+ 2 +1= n +12

de donde:

2 1+ 2 + 3+...+n n +1 n +1 1+ 2 + 3+...+n =n +1 n +1

2

2

2 o también

1+ 2 + 3+...+n =

n +1 n +1-1 n n +1 n n

2

2

2 2

.

Si el cuadrado tiene de lado n círculos, se cumple (observa la figura):

1 2 3

... n -1n n

2

2

de donde

1 2 3

... n -1 n =n n

2n =

n n

2

2 2

Números y figuras

327

2. Secuencias y sucesiones

DE DOS COLORES

Material: gran número de cuadrados del mismo tamaño y de dos colores para cada estudiante.

Construye cuadrados más y más grandes, utilizando estas piezas con la condición de que se siga siempre una misma regla.

Analiza los distintos procedimientos que puedes seguir en la construcción de las piezas:

Dejando huecos y sin dejar huecos.

Considerando un cuadrado con una sola pieza.

Eligiendo entre cuadrados de n-1, n y n+1 piezas de lado.

Estableciendo una regla para los cuadrados que tengan de lado un número par de piezas y otra para los de un número impar.

Utiliza distintas estrategias para construir las figuras:

Distinguir entre las opciones “uno si, uno no” y “la mitad”.

Distinguir líneas notables, como las diagonales, filas, columnas.

Distinguir reglas para n par y para n impar.

Trazar distintos tipos de cercos, distintos tipos de escuadras, distintos tipos de escaleras.

SERIES CON DOS COLORES

En cada una de las series de figuras que siguen:

a) Enuncia la regla que se sigue en cada caso.

b) Expresa, en su caso, para cuadrados de lados 1, 2, 3, ... , (n – 1), n, (n + 1), el número de piezas de cada uno de los colores que hay en cada figura.

1) MITADES


328

2) LÍNEAS

3) UNO SÍ, UNO NO

CERCOS

En cada una de las figuras que siguen:


b) Expresa, para cuadrados de lados 1, 2, 3, ..., n, el número de piezas de cada uno de los colores que hay en cada figura.

Números y figuras

329

Observa que se pueden utilizar distintos métodos para contar las piezas de un cerco:

Un cerco es la diferencia de dos cuadrados. Si un cerco tiene n piezas en cada lado, tendrá 44n piezas, ya que las esquinas se habrán contado dos veces. Un cerco es el conjunto de cuatro piezas, dos a dos iguales. Un cerco es la suma de cuatro piezas iguales. Un cerco es la suma de dos piezas iguales. El cerco de la figura anterior tiene 7 piezas por lado. Por lo tanto, tendrá:

12246527247457 22

En general, el número de piezas de un cerco de lado n será:

2-n+n21-n4=4-4n2-n2+2n2-nn 22

Por lo tanto, un cerco con n piezas en cada lado está formado siempre por un número par de piezas. Distinguiremos ahora los cercos con o sin pieza central: 1) Sin pieza central, los cercos de un color serán:

El 1er

cerco tendrá 4 piezas, con 2 piezas de lado. El 2º cerco tendrá 20 piezas, con 6 piezas de lado. ... ... ... ... ...

El n-ésimo cerco tendrá 2n + 2 n n + 42 2

2 8 piezas.

2) Con pieza central, los cercos de un color serán:

El 1er

cerco tendrá 8 piezas, con 3 piezas de lado. El 2º cerco tendrá 24 piezas, con 7 piezas de lado.

El n-ésimo cerco tendrá 8n1-2n1+2n 22 piezas.


330

SECUENCIAS NUMÉRICAS 1) Observa la siguiente colección de figuras, construidas con palillos:

....

y completa la siguiente tabla:

Número de cuadrados 1 2 3 4 ..... n

Número de palillos 4 7 10

2) Observa la siguiente colección de figuras obtenidas a partir de fichas de dominó:

y completa la siguiente tabla:

Lugar que ocupa la ficha 1 2 3 4 ......

Valor de la ficha 1 3 5 0 ......

Las colecciones: 4, 7, 10, 13, ... y 1, 3, 5, 0, ... son secuencias numéricas o sucesiones. En la sucesión 4, 7, 10, 13, ..., se dice que 4 es el primer término de la sucesión, 7 es el segundo término, 10 es el tercer término, etc. Para hallar cualquier término de la sucesión debes conocer la regla de formación de la secuencia. En este caso, la regla de formación es: El primer término es 4. Se repite: cada término se obtiene sumando tres al término anterior.

3) Halla la regla de formación de las siguientes sucesiones y halla para cada una su término décimo:

a) 7’5, 8’5, 9’5, 10’5, ... b) 100, 50, 25, ... c) 5, 8, 11, 14, ... d) 2’5, 2’5, 2’5, ... e) 1’5, 3, 4’5, 6, ... f) 1, 2, 3, 4, ...

4) Halla los seis primeros términos de las sucesiones cuya regla de formación es:

a) El primer término es 10. Se repite: cada término se obtiene multiplicando por 10 el anterior. b) El primer término es 1. Se repite: cada término se obtiene multiplicando por 0’1 el anterior.

5) Halla los quince primeros términos de la sucesión que viene expresada por la siguiente tabla:

Lugar 1 2 3 4 .....

Término 6 7 8 9 .....

¿Cuál es el término que ocupa el lugar 1000?

Números y figuras

331

ESCALERAS

Considera las siguientes escaleras:

La primera escalera tiene un perímetro igual a 4. Calcula el perímetro de la 2ª, 3ª, 4ª y 10ª. ¿Cuál es el perímetro de la escalera que ocupa el lugar n?.

TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS

Observa la sucesión de triángulos equiláteros, en los que cada vez el lado es la mitad y el lado del triángulo grande mide 1 metro.

a) Calcula los perímetros de los 4 primeros triángulos.

b) Establece una regla que relacione el perímetro con el orden del triángulo.

c) Calcula el perímetro del triángulo de orden 10. ¿Cuál es el perímetro del triángulo de orden n?.

REGLAS DE FORMACIÓN

1) Para cada una de las siguientes sucesiones, busca la regla de formación:

a) 1, 2, 4, 8, 16, ... b) 10, 13, 16, 19, 21, ... c) 100, 95, 90, 85, ... d) 1, 4, 9, 16, 25, ...

2) Para cada una de las siguientes reglas, expresa los diez primeros términos de la sucesión:

Regla 1: El primer término es 2 y los demás se obtienen sumándole cinco unidades al anterior.

Regla 2: Cada término se consigue multiplicando por cinco el lugar que ocupa y restándole tres unidades.

3) Intenta hallar las reglas de formación de las siguientes sucesiones:

a) 1, 3, 6, 10, ... b) 2, 5, 10, 17, 26, ...


332

CÓDIGOS

1) Busca los diez primeros términos de las sucesiones cuyas reglas de formación están dadas de la siguiente forma:

a) El primer término es 30 y los demás se obtienen restándole al anterior una unidad.

b) A cada término se le suman dos unidades para obtener el siguiente. El primero es 15.

2) Expresa los diez primeros términos de la sucesión cuya regla es:

a) Cada término se consigue elevando al cuadrado el lugar que ocupa y sumándole una unidad.

b) Cada término se obtiene elevando al cuadrado el lugar que ocupa y multiplicándolo por 2.

c) Cualquier término es igual a – 15.

3) Dadas las sucesiones siguientes, busca y explica las reglas de formación:

a) 1, 2, 0, 2, - 1, 2, - 2, 2, - 3, ... b) 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, ...

4) Siendo n la variable que expresa el lugar que ocupa cualquier término de la sucesión, expresa los diez primeros términos de la sucesión cuya regla, en lenguaje algebraico, es:

a) 1-2n b) 53n c) 1n2 d) 21+n

MÁQUINAS

1) El siguiente diagrama corresponde a una máquina que produce la sucesión cuyos primeros tres términos son 8, 10 y 12.

Explica su funcionamiento y determina los quince primeros términos de la sucesión. ¿Cuándo terminaría la máquina de darnos términos?. Expresa la regla de formación de los términos dela sucesión.

2) Dados los diagramas:

Números y figuras

333

a) Calcula los diez primeros términos de las sucesiones que producen cada una de ellas. b) ¿Sería 105 un término de las sucesiones que se van a producir?. Razona la respuesta.

c) Busca dos números que sean términos de las sucesiones que producen las dos primeras

máquinas y otros dos que no lo sean de ninguna de ellas dos.

3) Dibuja el diagrama de la máquina que fabrica las siguientes sucesiones. Busca y explica la regla

de formación de ellas.

a) 10, 9, 8, 7, 6, ... b) 8, 10, 12, 14, ... Determina para cada una tres números que sean términos y otros tres que no lo sean.

4) Inventa máquinas que fabriquen sucesiones. Explica lo que haces y determina las sucesiones

que surjan de dichas máquinas.

5) Expresa la regla de formación y el diagrama de las siguientes sucesiones:

a) 0, 3, 6, 9, 12, ... b) 1, 3, 5, 7, ... c) 3, 5, 7, 9, ... d) 2, 4, 6, 8, ... e) – 10, - 7, - 4, -1, 2, ... f) 2, 2, 2, 2, ... g) 100, 96, 92, 88, ... h) 4, 9, 16, 25, ... i) 1, - 2, 3, - 4, ... j) 7’1, 9’4, 11’7, 14, ... k) 1, 0, - 1, 1, 0, - 1, 1, ...

6) En cada una de las sucesiones anteriores, determina tres números que sean términos de ella (a

partir del décimo) e intenta expresar, en lenguaje algebraico, su regla de formación.

FIGURAS 1) Partimos de la circunferencia C-1 que tiene 2 cm de radio y vamos trazando circunferencias cada

vez mayores como nos indica la siguiente figura. ¿Qué longitud tendría la circunferencia C-20?. ¿Y la circunferencia C-300?.


334

2) Partimos del triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 100 m. Vamos trazando paralelas medias y

consiguiendo así triángulos cada vez más pequeños: T-1, T-2, T-3, ... ¿Qué perímetro tiene el triángulo T-5?. ¿Y el triángulo T-100?.

.

SECUENCIAS

1) Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

a) 3 n b) 2 n – 3 c) – n2 d) (- n)

2+1 e) ( 1)

2 n + 3 f)

1 - n2

1

2) Encuentra una fórmula que exprese las siguientes secuencias:

a) 1, 4, 7, 10, ... b) 2, 1, 0, 1, 2, ... c) 4, 1, 2, 5, ...

d) 2, 12, 36, 80, ... e) ... 4

3

3

2 ,,,

2

1 f) ...

4

5

3

4 ,,,

2

3

SUCESIONES

A continuación tienes un montón de sucesiones de números. Si las estudias con detenimiento, podrás descubrir diferencias y semejanzas entre ellas.

1) Clasifica dichas sucesiones.

2) Busca una fórmula para cada sucesión.

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

c) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...

d) –7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ...

d) 25, 21, 17, 13, 9, 5, ...

e) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

g) 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ...

h) 6’3, 9’9, 13’5, 17’1, ...

i) –1, -5, -9, -13, -17, ...

j) 2, 6, 12, 20, 30, 42, ...

Números y figuras

335

Ayuda: Una buena guía para la clasificación es hallar la diferencia entre cada dos términos, las diferencias entre los términos de la sucesión de diferencias, etc. Por ejemplo:

Sucesión: 1 3 5 7 9 11 13 ...

Diferencias primeras: 2 2 2 2 2 2 ....

Diferencias segundas: 0 0 0 0 0 ...

MÁS SUCESIONES 1) A continuación tienes el comienzo de una sucesión formada por números enteros. ¿Serías capaz

de decir el número que ocupa el lugar 198?.

1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, ...

2) Completa los cuatro números que faltan:

1’6, 0’8, 0’4, ______ , ______ , ______ , ______ .

3) Este es un cuadrado unidad.

Su superficie vale 1. Utilizando el centro como apoyo construimos otro más pequeño dentro.

¿Cuánto vale su superficie?. Utiliza números decimales. Si continuamos haciendo cada vez lo mismo, ¿cuánto valdrán las superficies de los nuevos cuadrados?.


336

4) En la siguientes tiras coloca los números que faltan en las casillas vacías:

1 10 13 16

6 12 14 16

1 4 16 25 49

5) Si escribimos ordenadamente los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... el que ocupa la primera

posición es el 3, el que ocupa la segunda es el 6, el que ocupa la quinta es el 15,... ¿Cuál es el que ocupa la posición n?.

6) Hemos escrito ordenadamente los números pares, de menor a mayor: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ....

El número par que ocupa el lugar n es 2n. ¿Cuál es el número par que ocupa el lugar 5?. ¿Y el lugar 30?. ¿Y el lugar 1000?.

3. Sumas de sucesiones

SUCESIONES ARITMÉTICAS Mozart fue un niño prodigio, pero Wagner no lo fue. Igual ocurre con los matemáticos, unos destacan desde niños y otros no. Uno de los más precoces fue Gauss, uno de los matemáticos más importantes de la historia. Cuando aún era un chaval, un amigo de su padre le propuso que sumara rápidamente los números naturales del 1 al 100. Gauss fue listo y lo hizo de esta manera:

y como hay 50 parejas la suma será 50 101 = 5050. Utiliza este método de Gauss para hacer otras sumas: 1) Suma los números naturales desde el 1 hasta el 800. 2) ¿Qué ocurre si en lugar de haber un número par de sumandos hay un número impar?. Haz la

suma de los números naturales desde el 1 hasta el 725. 3) Observa que el método sirve aunque los números no vayan de 1 en 1 si no, por ejemplo, de 4 en

4. Suma los doscientos primeros términos de la sucesión: 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...

Números y figuras

337

4) Suma los 87 primeros términos de la sucesión: 2, 5, 8, 11, 14, ...

5) Ahora vamos a tomar n términos. Como no nos dicen cuál es el primero, lo llamaremos a1 . Como

no nos dicen cuál es el que ocupa el lugar n, lo llamaremos a n . Si llamamos Sn a la suma de

todos ellos, encuentra la expresión de Sn .

Observa que la suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética de primer

término a1 y término enésimo a n viene dada por la fórmula:

2

naaS n1n

SUMA CERCOS Calcula la suma de las piezas de los dos colores en una figura con n cercos de colores alternados. Es decir, calcula las siguientes sumas: a) ...282420161284 (sin pieza central)

b) ...242016128 (con pieza central)


338

ESCALERAS



b) Expresa, para figuras de lados 1, 2, 3, ..., n, el número de piezas que hay en cada figura.

Las figuras en escaleras que proceden de distintos cuadrados, permiten distinguir en cada cuadrado dos escaleras ligeramente distintas:

Una tiene un peldaño más que la otra. En un cuadrado de lado n, tendremos una escalera de 1+2+3+...+n piezas y otra escalera de 1+2+3+...+(n – 1) piezas.

Suponiendo que cada escalera sea de un color, el cálculo del número de piezas de cada color se puede efectuar de muchos modos:

(1+2 +3+ ... + n) + (1+2 +3+ ... + (n -1)) = n2 de donde

2 1+ 2 + 3+...+ n -1 n = n2 es decir 1 2 3 ... n -1n - n

2

2

o también aplicando esta expresión general, cambiando n – 1 por n:

1 2 32

2

... n =n +1 n +1

(1)

Números y figuras

339

Uniendo dos escaleras iguales, cada una de un color, en lugar de un cuadrado resulta un rectángulo. En este caso, el rectángulo tiene n(n+1) piezas.

El número de piezas de cada escalera será: 2

1)+n(n=n+...+4+3+2+1 (2)

De las expresiones (1) y (2) deducimos que:

2

1)+n(n

2

n

2

n

2

1+n1+n 22

También podemos construir escaleras con peldaños de distintos colores. En este caso tendremos sumas con un número par o impar de peldaños:

...7531 suma de los impares consecutivos

...8642 suma de los pares consecutivos.

Observando la figura, se cumple que:

...8642...+7+5+31+=n...54321


340

Supongamos que construimos escaleras con peldaños que difieren en más de una pieza. Si todos los peldaños tienen el mismo número de piezas, se pueden encajar dos escaleras iguales de las formas que se indican a continuación:

Si n es el número de piezas del último peldaño y p el número de peldaños, n/p será el número de piezas del 1

er peldaño.

Entonces el número de piezas de la escalera será: 2

1)+n(p o bien

2

pp

n+n

, según que

utilices una u otra de las figuras anteriores.

Si las escaleras anteriores tuviesen una pieza en el 1er

peldaño, no podríamos encajarlas utilizando las dos estrategias anteriores.

En este caso, si n es el número de piezas del último peldaño y p el número de peldaños, las expresiones anteriores serían correctas solo si n = p.

ESCUADRAS



b) Expresa, para figuras de lados 2, 3, ..., n, el número de piezas que hay en cada figura.

Números y figuras

341

Escuadras sencillas

1) Una escuadra tiene un número impar de piezas.

Si un cuadrado tiene n piezas de lado, la escuadra del borde tiene 2 n -1 2n -1 1 piezas y

el cuadrado que la completa tiene n -12

piezas.

Si el cuadrado tiene de lado n+1 piezas, la escuadra tendrá 2n+1 piezas.

Por lo tanto, un número impar tiene por expresión general 2n -1 ó 2n +1, según empecemos a contar en 1 o en 0.

2) Un número impar es la diferencia de dos cuadrados consecutivos:

22 n1+n=1+2n 22 1-nn=1-2n


342

3) Un rectángulo de altura 1 y de un número impar de lado, siempre se puede convertir en

una escuadra.

13217

En general, 12

1-m2=1m

4) La suma de impares consecutivos que empiecen por 1, es un cuadrado.

2

2

2

2

n1-2n...7531

47531

3531

231

11

5) Estudiemos el caso en que una escuadra esté formada por un número impar de piezas, y que este número, a su vez, sea un cuadrado.

Por ejemplo, 22 451429 , de donde 222 453 .

En general, si 2a=1+2n , como 222 an1+n=1+2n , se deduce que 222 na1+n .

Es decir, que tenemos una terna pitagórica a n, 1,+n con 2

1a=n

2 .

Números y figuras

343

Podemos obtener otras ternas pitagóricas. Por ejemplo, si a=5, entonces 122

1-25=n y

n+1=13. Por lo tanto, 222 12513 . De donde 5 12, 13, es una terna pitagórica, en la que

hay dos enteros consecutivos.

De esta forma, empezamos con el cuadrado de cualquier número impar (a = 3, 5, 7, 9, 11, ...) y obtenemos los otros dos elementos de la terna procediendo siempre del mismo modo.

Otro ejemplo más: si a = 11, entonces 222 60611602121a , con lo que

61, 60, 11 es una terna pitagórica.

Escuadras de anchura a

1) Una escuadra de anchura a se puede descomponer en un cuadrado de a2 piezas más

dos trozos iguales de ab piezas, con b = n – a piezas.

Una escuadra de amplitud a se puede convertir en un rectángulo de lados (n+b) y (n – b),

con b = n – a y como se observa en el dibujo 22 bnb-nb+n .

Luego, una escuadra de anchura a es la diferencia de dos cuadrados: 22 bn

Calcular el número de piezas de una escuadra de amplitud a nos permite hacer una

demostración geométrica de que 22 bnb-nb+n .

Es decir: “el producto de suma por diferencia es igual a la diferencia de cuadrados”.


344

2) Dado un rectángulo de lados M y N, ¿siempre se puede convertir en una escuadra de amplitud a?.

Observemos el dibujo:

La respuesta es afirmativa, si los lados del rectángulo cumplen unas ciertas condiciones, es decir:

M = n + b = b + a + b = 2 b + a y N = a y además M y N tienen la misma paridad.

Veamos todos los casos posibles:

n a b M N

par par par par

par

impar impar impar impar

par impar par par

impar

impar par impar impar

en ese caso se cumple: b-nb+n=ab+nbn 22

3) Ternas pitagóricas

En las ternas pitagóricas consideradas anteriormente, dos de los números de la terna eran consecutivos. ¿Hay ternas pitagóricas más generales?.

Si un cuadrado formado por c

2 piezas, se puede transformar en un rectángulo con

dimensiones de la misma paridad, entonces se cumple que: 222 bnb-nb+nc y la

terna n b, c, es una terna pitagórica. Veamos como:

Si r es un divisor de c2 y tiene la misma paridad que

r

c 2

entonces podemos construir un

rectángulo de lados r

c 2

y r. Este rectángulo tendrá c2 piezas y lo podemos convertir en una

escuadra.

Números y figuras

345

r

c=r+2b

2

de donde

r

r

c

2

1=b

2

y 222 bb+rc . Por lo tanto, la terna pitagórica

n b, c, es b+r b, c, ; y como

r

r

c

2

1r

r

c

2

1+r=b+r

22

, la terna es finalmente:

r

r

c

2

1 ,r

r

c

2

1 c,

22

(P)

Por ejemplo, 122

= 144. Un divisor de 144 es el 4. Se cumple que 364

144 y 4 tienen la

misma paridad. Entonces los números 1644

144

2

1

y 204

4

144

2

1

, junto con el

12 forman la terna pitagórica 20 16, 12, . Este ejemplo puede dar la sensación de que no se

ha obtenido nada relativamente nuevo, porque como la terna 5 4, 3, ya la teníamos antes y

como la terna 5k 4k, 3k, con k natural será igualmente pitagórica, resulta que 20 16, 12, lo

es. Podemos preguntarnos, pues, de nuevo, si realmente hemos obtenido en la expresión (P) ternas que no tuviésemos ya.

La respuesta es afirmativa. Y para verlo utilizaremos otro ejemplo:

Si 6400c2 y r = 20 (que es un divisor de 6400), entonces:

320r

c2

340=rr

c2

170rr

c

2

1 2

c = 80 300=rr

c2

150rr

c

2

1 2

con lo que tenemos la terna 170 150, 80, , que nos da la terna 17 15, 8, que, como puedes

ver, no contiene dos números consecutivos.


346

CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Material: Gran número de triángulos rectángulos de plástico de distintos colores para cada alumno.

Con este material construye distintos tipos de figuras con o sin huecos, utilizando dos, tres, cuatro, cinco, seis, ... triángulos rectángulos.

En esta actividad las figuras obtenidas son escuadras y puedes utilizar escuadras de distintos colores.

a) Construye triángulos que tengan la misma forma que el triángulo de la pieza original. ¿Puedes construir triángulos que tengan una forma diferente de la pieza original?.

b) ¿Puedes construir figuras con distintos tipos de huecos?.

c) ¿Puedes construir figuras que contengan triángulos y cuadrados?.

d) ¿Puedes construir cuadrados que tengan de lado la hipotenusa del triángulo de la pieza?.

e) ¿Puedes construir molinetes?

Números y figuras

347

f) Construye las siguientes sucesiones de figuras:

1) TRIÁNGULOS SIN HUECOS

Observa que en cada figura hay 1, 4, 9, ..., n piezas. Si llamamos 1 a la longitud de uno de los catetos de la escuadra, ¿cuántas piezas tiene un triángulo de 25 unidades en el cateto?. ¿Qué valores puede tomar n?.

2) TRIÁNGULOS CON HUECOS

¿Cuántas piezas sólidas hay en cada figura?. ¿Cuántos huecos hay en cada figura?. 3) CUADRADOS


348

¿Cuántas piezas hay en cada cuadrado?.

TRIÁNGULOS Y CUADRADOS Construye las siguientes figuras utilizando triángulos de plástico. ¿Puedes demostrar el teorema de Pitágoras con ayuda de este material?.

4. Resolución de problemas

MONEDAS

Imagina que tienes una moneda de euro y quieres rodearla con otras iguales, de forma que todas la toquen y se toquen entre sí, sin superponerse. ¿Cuántas monedas crees que necesitarías?. Compruébalo con monedas reales.

¿Cuántas monedas necesitarías si intentaras rodear este primer cerco de manera análoga, para formar un segundo cerco?.

¿Cuántas necesitarás cuando hayas hecho 3, 4 o más cercos?.

¿Qué pasaría si las monedas fuesen de diez céntimos?.

Números y figuras

349

CUADRADOS

Imagina un cuadrado. ¿Cuántos cuadrados del mismo tamaño necesitas para rodearlo completamente?.

¿Cuántos cuadrados necesitarías para rodear esta primera capa de cuadrados?.

¿Cuántos cuadrados hay en la capa n-ésima?.

TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS Imagina un triángulo equilátero. ¿Cuántos triángulos equiláteros del mismo tamaño necesitas para rodear al anterior?. Seguramente se habrá formado otro triángulo equilátero de mayor tamaño. ¿Cuántos triángulos de su tamaño necesitas para rodearlo completamente?. ¿Y del tamaño inicial?. ¿Cuántos triángulos del tamaño inicial hay en la capa n?.

NÚMEROS TRIANGULARES Y CUADRADOS a) Los números 1, 3, 6, 10, 15, ... se pueden representar gráficamente de la siguiente forma:

.

Los griegos les llamaron números triangulares. Escribe más números triangulares. Averigua si son triangulares los números 33 y 44.


350

b) Los números que corresponden a las siguientes figuras se llaman números cuadrados.

Escribe más números de esta clase. ¿Son el 24 y el 81 números cuadrados?.

EL HOTEL DE LOS LÍOS Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Todas ellas están abiertas. Pero llega alguien y comenzando desde el principio las cierra ordenadamente de 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etcétera. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que decide cambiar la posición de las puertas de 3 en 3; empieza también por el principio y yendo de 3 en 3 la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a dormir. Sin embargo, otro viene después y comenzando también desde el principio, va cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre las cerradas y cierra las abiertas. Y luego otro que hace lo propio, pero de 6 en 6. Y luego otro de 7 en 7. Y así hasta el infinito, porque en el hotel había infinitos bromistas. Tu, que eres el conserje del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos líos. ¿Qué puertas crees que estarán abiertas y qué puertas estarán cerradas cuando te despiertes por la mañana?.

Números y figuras

351

PUNTOS Y POLÍGONOS

El polígono dibujado sobre esta trama 44 tiene 7 lados; pero en esta trama se pueden dibujar otros polígonos que tengan más lados. ¿Cuál es el mayor número de lados que puede tener un polígono

con vértices en puntos de la trama?. Generaliza a otras tramas: 55, 66, nn.

CERILLAS

1 2 3 4

3 cerillas 9 cerillas 18 cerillas 30 cerillas

5 10 15 n

¿cuántas cerillas? ¿cuántas cerillas? ¿cuántas cerillas? ¿cuántas cerillas?

UNA MESA DE BILLAR Se tiene una mesa de billar en la que a y b son números enteros. La mesa tiene agujeros en las esquinas A, B, C, D. Se lanza una bola desde A formando un ángulo de 45 grados como se indica en la figura.

¿A cuántos cuadraditos-unidad habrá cortado la trayectoria de la bola hasta que se meta por el primer agujero que encuentre?. ¿Por qué agujero entrará?.


352

5. Fórmulas

INFLUENCIA DISTINTA

Las fórmulas que siguen contienen dos o más variables, además de números. Tu trabajo consiste en descubrir si la influencia de las variables que entran en juego en cada fórmula es igual o distinta. En este último caso, ¿qué variable tiene más influencia?. Esto significa analizar si aumentos iguales en las variables producen resultados iguales en la fórmula.

1) Paralelogramo:

área = b h

2) Triángulo

área = b

2h

3) Trapecio:

área = a + b

2h

4) Corona circular:

área = R r2 2

5) Paralelepípedo recto:

área = 2ab +2ac +2bc volumen = a b c

6) Cilindro:

área = 2 r r + h

volumen = r h2

LEE Y CALCULA

Di que operaciones hay que realizar para calcular las siguientes expresiones y en qué órden hay que hacerlas.

1) 4 (x + 2) 2) 5 x 3) y – 4 4) 3 + 2 x 5) 5 z – 8

6) 7 (6 – 2 z) 7) 4 (9 x – 2) 8) z

x-y 9)

x+z

y

Calcula el valor de cada una de ellas si x = 3, y = 15, z = 2.

Números y figuras

353

AVERIGUA ¿Qué podrías decirnos sobre la a, u, m y r, si te facilitamos la siguiente información?. 1) a + 5 = 8 2) u = v + 3 3) m = 3 n + 1 v = 1 n = 4 4) r = s + t 5) a + b = 43 6) e + f = 8 r + s + t = 30 a + b + 2 = ? e + f + g = ?

MOGOLLÓN DE FÓRMULAS Calcula el valor de las siguientes expresiones si r = 2, s = 5, t = 7, u = 0, v = 1 y w = 8.

1) r s 2) t u 3) w – v r 4) v + t s

5) 3 r + 3 s 6) 3 s – 2 r 7) w t – 5 s 8) s w + v r

9) 4 v (r + t) 10) 5 t (w + u) 11) r - t

r +w 12)

r-s

v+w

13) v

rut-ws

14)

r+s

tvw+r

15) uwr

vt

s+r

16) v)+u+(t-sr+wr

DE COMPRAS Si en la compra de un artículo tenemos un 10 por 100 de descuento significa esto que tendremos que

pagar por él un valor que se obtiene de la expresión 100

P 10-P donde P representa el precio inicial de

dicho artículo. a) Utiliza la calculadora para hallar lo que tendremos que pagar por 2 artículos cuyos precios

iniciales son de 1200 y 5800 ptas, respectivamente. b) Escribe una expresión parecida a la anterior que sirva para calcular un recargo del 20%. c) Agrupa los términos en P para cada una de las expresiones anteriores. ¿Qué porcentaje del

precio inicial, P, se paga cuando hay un descuento del 10%?. ¿Y si a P se le aplica un recargo del 20%?.

d) Utiliza la calculadora para hallar lo que hay que pagar, incluido el recargo del 20%, por una casa

cuyo valor es de 12750000 ptas. Para ello, toma la expresión reducida que has hallado en el apartado anterior.


354

PRESIÓN SANGUÍNEA

La presión sanguínea normal en una persona sana se puede estimar mediante la expresión 20

E11 ,

donde E representa la edad en años. Utiliza esa expresión para estimar la presión sanguínea de una persona de 20 años, una de 40 años y una de 60 años.

VELOCIDAD CONSTANTE

Un automóvil recorre un trayecto entre dos puntos de una autopista a velocidad constante. La

distancia que separa dichos puntos viene dada por la fórmula d = v t, donde v es la velocidad y t el tiempo empleado en recorrerla. Calcula la distancia d si:

a) La velocidad ha sido de 100 km/h y el tiempo empleado 1

2hora.

b) La velocidad 80 km/h y el tiempo 1 hora.

PULGADAS

La siguiente fórmula convierte pulgadas a centímetros: l = 2’54 p donde l es una longitud en centímetros y p la misma longitud medida en pulgadas. Halla en centímetros la longitud de: a) 100 pulgadas. b) 40 pulgadas.

CILINDRO

El volumen de un cilindro viene dado por la fórmula: hr=V 2 donde r es el radio de la base

y h la altura del cilindro. Halla el volumen de un cilindro cuyo radio mide 2 centímetros y cuya altura mide 6 cm.

Números y figuras

355

PÉNDULO

El tiempo, medido en segundos, que tarda un péndulo en ir y volver está dado por la fórmula

10

l2π=T , donde l representa la longitud del péndulo. A T se le llama periodo del péndulo. Halla

el período de un gran péndulo de 40 metros.

TEMPERATURAS

Las temperaturas se miden en grados Celsius o en grados Fahrenheit (esta última escala es de uso corriente en los países anglosajones). La fórmula para pasar de la escala Celsius a la escala Fahrenheit es la siguiente:

5

160+C9=F

donde C representa los grados Celsius y F los grados Fahrenheit. Halla una fórmula que permita pasar de grados Fahrenheit a grados Celsius.

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética de tres números a, b y c es 3

c+b+a=M .

a) Halla la media aritmética de los números 10, 14 y 7.

b) Despeja b en términos de a, c y M.

c) Si la media es 5 y dos de los números son 7 y 9, ¿cuál es el tercer número?.


356

DESPEJA LETRAS

En cada una de las siguientes fórmulas despeja la letra (variable) indicada:

a) V

L=P despeja V b) h r 2=S despeja h

c) taV=V o despeja a d) 10

CN+F=D

despeja C

VIAJE DE ESTUDIOS

Al contratar un viaje de estudios, la agencia exige en depósito una cantidad A que no podrá retirarse aunque la excursión no se realice; además, se debe depositar una décima parte del coste total del viaje. Si a la suma de las dos cantidades anteriores le llamamos D, ésta se puede expresar mediante la fórmula:

10

Cn+A=D

donde n representa el número de viajeros y C el coste del viaje para cada uno de ellos.

1) Si la cantidad A fuese de 50000 ptas, y el coste por alumno de 40000 ptas, ¿qué depósito habría que hacer para contratar un viaje de 50 alumnos?.

2) Si suponemos que el depósito D pagado por un colegio ha sido de 230000 ptas, ¿cuántos alumnos pueden viajar?.

DESPEJA

Despeja las letras indicadas en cada una de las expresiones siguientes:

a) taV=V o , despeja Vo y t b) m2+z=d , despeja m.

c) baπ=A , despeja b d) R

V=I , despeja V y R.

e) t r 2π=S , despeja r y t . f) c+b+a=A , despeja a y b.

g) 2a+hp=T , despeja h y a. h) ba+A2

1=S , despeja a y b.

i) at+1r=R , despeja r y a. j) b

1

a

1=h , despeja a y b.

Números y figuras

357

EXPRESIONES

1) Calcula las siguientes expresiones:

b+a4

c+8b+a

b5a+7

3-a3+a

b5b5

7y+x

2) Realiza una comprobación gráfica de la expresión: ca+bac+ba

FIGURAS

1) Las dos figuras ilustran una demostración gráfica de una igualdad. ¿De qué igualdad se trata?.

2) Podemos formar figuras rectangulares con un número par de círculos. Continua.

Recordemos la definición de Euclides: “Un número es par cuando se puede dividir en dos mitades”. De cada uno de los dos rectángulos anteriores podemos obtener por descomposición dos triángulos. ¿Qué resultados obtienes?


358

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