7-geometria (1 - 16)

CORPORACIN EDUCATIVA

Form

ando

ldere

s, con

una a

utn

tica e

duca

cin i

nteg

ral Primero de SecundariaSchools

Geometra

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de uno de los

mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando una enseanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formacin

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a travs de Guas Didcticas que permitirn un mejor nivel acadmico y lograr

alcanzar la prctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

DidcticoPresentacinPresentacin Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de

uno de los mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando

una enseanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir pblicamente la calidad

asocindola a las distintas dimensiones de la formacin de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institucin Mentor Schools propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formacin personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2014 se da

tambin con el esfuerzo de los docentes a travs de Guas Didcticas que

permitirn un mejor nivel acadmico y lograr alcanzar la prctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

Captulo 1. Nociones Generales de Geometra Clsica Euclidiana ........ 9

Captulo 2. Posiciones Relativas entre dos rectas ...................................... 16

Captulo 3. Segmento de Recta .................................................................... 24

Captulo 4. Operaciones con Segmentos .................................................... 31

Captulo 5. ngulos ....................................................................................... 37

Captulo 6. ngulos segn su medida ........................................................ 43

Captulo 7. La Bisectriz ................................................................................. 49

Captulo 8. ngulos segn su posicin y segn la suma .......................... 56

Captulo 9. Operaciones con ngulos ......................................................... 63

Captulo 10. ngulos formados por dos Rectas ........................................... 71

Captulo 11. Propiedad de los ngulos situados entre paralelas ............... 78

Captulo 12. Tringulo y sus propiedades .................................................... 84

Captulo 13. Clasificacin de los tringulos .................................................. 91

Captulo 14. Tringulos rectngulos notables .............................................. 97

Captulo 15. Lneas y puntos notables I ........................................................ 104

Captulo 16. Congruencia de Tringulos ..................................................... 111

9Geometra - 1ro Sec.

Formando lderes con una autntica educacin integral

Captulo

1Nociones Generalesde Geometra Clsica Euclidiana

Geo : TierraMetra : Medida

Etimolgicamente hablando, Geometra proviene de dos palabras griegas:

Por consiguiente, la medida de la tierra fue el humilde origen de la Geometra. S, de acuerdo con la mayora de versiones, la Geometra tuvo sus inicios en Egipto, debido a la constante necesidad del hombre de medir sus tierras regularmente, ya que el ro Nilo, al desbordarse, barra con las seales que indicaban los lmites de los terrenos de cada persona.

Sin embargo, el hombre, desde tiempos remotos, no slo se preocup por medir las tierras. Su afn de erigir edificaciones descomunales tambin contribuy al rpido desarrollo de la Geometra, pues tuvo que disear figuras adecuadas para que su trabajo no fuese en vano.

Si bien es cierto que el origen emprico de la Geometra ocurri en Egipto, debe considerarse a Grecia como su ver-dadera patria pues aqu se erige la Geometra como ciencia.

Es en Grecia donde se reemplaza la observacin y la experiencia cotidianas por las deducciones racionales a partir de axiomas y postulados que se concibieron por un agudo proceso lgico.

Veamos a continuacin una breve resea histrica de uno de los principales sabios griegos de la antigedad quien, con su valioso aporte, contribuy a elevar a la Geometra al grado de ciencia.

Pitgoras fue el discpulo ms sobresaliente de la Escuela Jnica, quien luego fund la Escuela Pitagrica, cuyo lema era: Los nmeros rigen al mundo.

Esta escuela se caracteriz por dividir el saber cientfico en cuatro ramas: Aritmtica, Geometra, Msica y Astronoma. En cuanto a Pitgoras debemos decir que su figura ha llegado a nosotros llena de mitos y leyendas. Sin embargo, nadie cuestiona que su ms grande aporte a la ciencia geomtrica es el teorema que lleva su nombre.

Teorema de Pitgoras

En todo tringulo rec-tngulo, se cumple:

a2 + b2 = c2

c

b

a

10 Formando lderes con una autntica educacin integral

Geometra - 1ro Sec.

Divisin Fundamental de la Geo-metra

Llamada tambin Planimetra. Se encarga del estudio de todas las figuras planas, como por ejemplo: el trin-gulo, el rectngulo, la circunferencia, etc.

1. GEOMETRA PLANA

Para un mejor estudio, tal como lo hizo Euclides en la an-tigedad, dividiremos a la Geometra en:

Geometra PlanaGeometra del Espacio

R

Llamada tambin Estereometra. Se encarga del estu-dio de los slidos geomtricos, como por ejemplo: la pirmide, el cubo, la esfera, etc.

2. GEOMETRA DEL ESPACIO

R

APLICACIONES DE LA GEOMETRA Tan importante es el conocimiento geomtrico que hoy su estudio se hace necesario para las diversas profesiones y disciplinas existentes, como por ejemplo: Arquitectura, Ingeniera, Fsica, Qumica, Bellas Artes, Diseo Grfico, Diseo Industrial, Astronoma, Telecomunicaciones, etc.

Por consiguiente, la Geometra es una pieza bsica para comprender la realidad. De all que algunos consideran que la Geometra es el lazarillo de todas las dems ciencias.

OTRAS GEOMETRAS MS COMPLEJAS

Geometra Analtica Geometra Fractal

Geometra Algortmica Geometra Elptica

Geometra Diferencial Geometra Hiperblica

Geometra Descriptiva Geometra Riemanniana

La Geometra que estudiaremos en secundaria

es la Geometra Euclidiana y, slo si la analizamos a

cabalidad, veremos claramente el armonioso desarrollo

lgico que presenta. Ms importante an, habremos

puesto bases slidas para el estudio de otras geometras

mucho ms complejas, pero a la vez, mucho ms im-

portantes que, entre otras cosas, buscan ansiosamente

una respuesta matemtica, es decir, una respuesta

perfecta a las cuestiones relacionadas con la forma y

origen del universo.

Importante

Ningn edificio grande podra sostenerse sin un

fundamento, verdad?

De manera similar, no podemos pretender alcanzar

grandes conocimientos matem-ticos sin haber estu-

diado la Geometra Euclidiana.

11

Geometra - 1ro Sec.


Para ReforzarPara Reforzar

Resolviendo en claseResolviendo en clase

1) Calcula (a+5).

5

a2

5

L1L2

L3

3

15

a

3) Halla a.

16

L1L2L3

10b

8

2n

L1L2L3

93

8

2x+2

L1L2L3

24

12

6) Halla x si L1 // L2 // L3.

5) Si L1 // L2 // L3, halla n.

4) Calcula b si L1 // L2 // L3.

x

5

3

4

2) Halla x.

1) Aplicando el teorema de Pitgoras, halla el valor de x.

x

17

15

2) Aplicando el teorema de Pitgoras, halla el valor de x.

Observacin: n2 = n

x2

7

12

L1L2L3

42

3y

4) Calcula a + 2 si L1 // L2 // L3.

6) Halla a si L1 // L2 // L3.

9

L1L2L3

a4

a

5) Calcula n + 3 si L1 // L2 // L3.

10

L1L2L3

63

n1

30

L1L2L3

31

5a

3) Calcula y si L1 // L2 // L3.

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

PROBLEMAS PARA CLASE N 1


Geometra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Halla x.

a) 3 b) 2 c) 5d) 6 e) 8

4

3x+2

Aplicando el teorema de Pitgoras, halla el valor de x.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

x23

7

8

5a6

Halla a.

a) 1 b) 2 c) 4d) 8 e) 6

2a+4

10

6

Halla a.

a) 6 b) 10 c) 3d) 4 e) 2

Resolucin: Resolucin:


13

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

3

5

2a

Halla a.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4

5 2n+1

Halla n.

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 6

2

1x

Halla a2.

a) 35 b) 32 c) 30d) 24 e) 40

a

2015

Halla x.

a) 3 b) 3 c) 5d) 5 e) 2




Geometra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3L1L2

L3n 6

2 4

m

a

L1L2L3

b3

5

Halla a + b si a - b = 16 m.

a) 32 m b) 42 m c) 48 m d) 72 m e) 64 m

Halla n + m si L1 // L2 // L3.

a) 20 b) 18 c) 21 d) 12 e) 24

Halla (a + 3) si L1 // L2 // L3.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 9

2a

L1L2L3

8a

9

Halla x + y si L1 // L2 // L3.

a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

3

L1L2

L3

x 8

6 y

16



15

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

A D

B E

C F

x 3

x+2 9

L1

L2

L3

Aplicando el teorema de Tales , indica el valor de x si

L1 // L2 // L3.

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

x

8

6

Aplicando el teorema de Pitgoras, halle el valor de x.

a) 8 b) 6 c) 12 d) 10 e) 15

x 13

12

Aplicando el teorema de Pitgoras, halla el valor de x.

a) 13 b) 12 c) 5 d) 10 e) 8

A

B

C F

E

D L1L2

L3

Aplicando el teorema de Tales, indique la medida del segmento AB si BC = 10, EF = 15, DE = 3 y adems L1 // L2 // L3.

a) 3 b) 5 c) 10 d) 2 e) 6




Geometra - 1ro Sec.

Captulo

2Posiciones RelativasEntre Dos Rectas

L1 // L2

L1 L2 =

Son aquellas rectas que no tienen punto en comn y son coplanares.

A. RECTAS PARALELAS

L1

L2

Notacin

Son aquellas rectas que slo tienen un punto en comn y son coplanares.

B. RECTAS SECANTES

A

L3

L4

Notacin

L3 L4 = A

Las rectas secantes pueden ser perpendiculares o no.

L2

M

L1

Lnea Recta Vertical

Lnea Recta Horizontal

Av. La Marina

Carlitos

Danielito

Carlit

os

DanielitoA

Veamos la siguiente narracin sobre el comportamiento de dos rectas en el plano.

Danielito y Carlitos deciden caminar exactamente por dos veredas opuestas de una gran avenida recta y del mismo ancho. Llegarn a encontrarse en algn mo-mento si los nios continan caminando tal como lo decidieron?

Evidentemente que no, comprobando que ambos nios han caminado sobre rectas paralelas, stas son rectas que no se encuentran o nunca se intersecan.

En cambio, qu sucedera si los nios caminan sobre

lneas tal como indica la figura?

Vemos pues que ambos se encuentran en algn mo-mento, ello quiere decir que las lneas rectas se cortan o intersecan. A estas lneas rectas se les llama rectas secantes.

Matemtica tenemos lo siguiente:

17

Geometra - 1ro Sec.


Si un recta L1 es paralela a una recta L2 y sta a su vez es paralela a otra recta L3, entonces la primera recta L1 ser paralela a la ltima L3.

2. TRANSITIVA

Si L1 // L2

y L2 // L3

L1 // L3

L3

L1

L2

L1L2

L3

3. Si dos rectas son paralelas, entonces los ngulos que forman con una secante sern iguales en medida.

L1 L2

L3

Si L1 // L2 =

Si L1 L3

y L2 L3

L1 // L2

L3

Q

Lnea Oblicua hacia la derecha

L4

Propiedades

Si una recta L1 es paralela a otra recta L2, entonces la recta L2 es paralela a la recta L1.

1. REFLEXIVA

Si L1 // L2

L1 // L2

Euclides

Uno de los postulados ms famosos de la Geometra Euclidia-na es:Por un punto exterior a una rec-ta, se puede trazar una y slo una recta paralela a la primera.



Geometra - 1ro Sec.

2) En el rectngulo ABCD, seale verdadero (V) o falso (F) lo que a continuacin se menciona.

I. BC es paralelo a AD. ( )II. AB es paralelo a CD. ( )III. AB es secante a BC. ( )IV. CD es paralelo a BC. ( )

B

A

C

D

1) Completa los siguientes enunciados:

a) Dos rectas que se intersecan se llaman

.......................... .

b) Dos rectas que no se cortan se llaman rectas

................ .

c) Segn el postulado de Euclides, por un punto

exterior a una recta se puede trazar una y slo

una ................................. .

6) Segn la Geometra no Euclidiana, cuntas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada?

a) 1 b) 2 c) 3d) Infinitos e) Ninguno

3) Cuntas lneas rectas son necesarias para formar un tringulo?

4) Relaciona correctamente los datos de ambas columnas.

a) ( ) Rectas perpendiculares

b) ( ) Rectas paralelasP

5) En un plano, si dos rectas son perpendiculares a una tercera, entonces estas dos rectas son:

a) Igualesb) Perpendicularesc) Secantesd) Paralelase) No se sabe

Rpta.: _______

19

Geometra - 1ro Sec.



2) De acuerdo a la figura, relaciona correctamente las afirmaciones de ambas columnas.

I. AB y CD ( ) Rectas secantesII. BC y CD ( ) Rectas paralelasIII. AB CD ( ) NIV. BC AN ( )

B

A

C

D

N

1) Defina cada uno de los enunciados:

a) Lnea Recta ________________________________ ________________________________

b) Rectas Perpendiculares ________________________________ ________________________________

c) Rectas Paralelas ________________________________ ________________________________

d) Rectas Secantes ________________________________ ________________________________

e) Rectas Coplanares ________________________________ ________________________________

6) Calcula cuntas rectas paralelas se pueden trazar por un punto exterior a una recta dada.

a) 1 b) 2 c) 3d) Infinitos e) Ninguno

3) Cuntas lneas rectas son necesarias para formar un cuadrado?

5) Las huellas dejadas por las ruedas de un auto que viaja en lnea recta, nos dan la idea de:

a) Rectas oblicuasb) Rectas cruzadasc) Rectas paralelasd) Rectas secantese) Rectas coplanares

4) Relaciona correctamente los datos de ambas columnas.

a) ( ) Rectas secantes

b) ( ) P es el pie de las perpendiculares

P

A

Rpta.: _______



Geometra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Indica la relacin correcta.

a) Si = L1 L2b) Si L1 // L2c) Si = L1 // L2

L1 L2

Del problema anterior si

L1 // L2, entonces:

a) < b) = c) = 2

Indica la relacin correcta.

a) Si L1 // L2

b) Si L1 // L2 >

c) Si L1 // L2 + = 180

L1 L2

Del problema anterior si

L1 // L2, entonces:

a) = 2b) < c) = 2



21

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

De las siguientes notaciones, indique las correctas.

I. AB : segmento AB

II. L1 // L2 : L1 es paralelo a L2III. L1 L2 : L1 es perpendicular a L2

a) I y II d) Todasb) I y III e) Ninguna c) I, II y III

Representa con smbolos lo que se menciona a continuacin. a) La recta L1 es perpendicular a la recta L2.b) La recta L3 es paralela a la recta L4.c) El punto B es la interseccin de las rectas

L5 y L6.

De las siguientes notaciones, indique las correctas.

II. OA : rayo OA

IV. L1 L2 : L1 es perpendicular a L2V. Si L1 // L2 y L2 // L3 L1 // L3 a) I y II d) Todasb) I y III e) Ninguna c) I, II y III

Representa con smbolos lo que se menciona a continuacin. a) La recta L1 es perpendicular a la recta L2.b) La recta L3 es paralela a la recta L4.c) El punto B es la interseccin de las rectas L5

y L6.




Geometra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

De la figura: L1 // L2 ; L2 // L3 L3 // L4 Cuntos pares de rectas paralelas y cuntos pares

de rectas secantes hay?

a) 6 y 4 b) 6 y 3 c) 6 y 2 d) 3 y 3 e) 3 y 2

L1L2L3L4

De la figura: L1 // L2 // L3 Cuntos pares de rectas paralelas y cuntos pares

de rectas secantes hay?

a) 6 y 4 b) 6 y 3 c) 6 y 2 d) 3 y 3 e) 3 y 2

L1L2L3

Escribe el s ignif icado de las s iguientes representaciones: a) L3 L4

______________________

b) L1 L2 =

______________________

Escr ibe e l s igni f icado de las s iguientes representaciones: a) L2 // L3

______________________

b) L1 L2 = A

______________________



23

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Si L1 // L2, entonces indica lo falso.

a) = b) = c) = d) = e) + = 180

L1

L2

En la figura, . Indique verdadero (V) o falso (F) sobre lo que a continuacin se menciona.

L1 y L2 son paralelas. L2 y L3 son paralelas.L2 y L3 son no paralelas.

a) VVV b) VFF c) VFF d) FVV e) FFF

L1 L2 L3

L4

En la figura, = . Indique verdadero (V) o falso (F) sobre lo que a continuacin se menciona.

L1, L2 y L3 son paralelas. L2 y L3 son paralelas.L2 y L3 son no paralelas.

a) VVV b) VFF c) VFF d) FVV e) FFF

L1 L2 L3

L4

Si L1 // L2, entonces indica lo verdadero.

a) = b) + = 180c) + = 180d) = e) + = 180

L1

L2




Geometra - 1ro Sec.

Captulo

3

En el captulo II estudiamos a las lneas rectas y vimos que el segmento es una de estas lneas. Recordemos que el segmento es una porcin de recta limitada por dos puntos llamados extremos.

P QL

M N

3m

A B

En la figura anterior, tomamos P y Q de la recta L. A esta porcin de recta limitada por los puntos en mencin se le llama segmento PQ o segmento QP.

Notacin de un Segmento

A todo segmento suele representarse escribiendo los dos puntos asignados a sus extremos con una pequea rayita sobre ellos, as:

MN : segmento MN o

NM : segmento NM

Longitud de un Segmento

La longitud de un segmento es un nmero positivo que rep-resenta a su medida y suele representarse de dos maneras. Para esto pongamos el siguiente ejemplo:

Si el segmento AB tiene una longitud de 3 m, entonces:

I. mAB = 3 m

II. AB = 3 m

Debemos recalcar que todas las mediciones lineales que se dan en nuestra vida cotidiana no son ms que una oper-acin de medir segmentos. As por ejemplo, si queremos medir el borde de una pizarra rectangular, la altura de una casa o el ancho de una puerta, como se muestra:

A B

D C

4m P Q1m

M

N

1,8m

Decimos entonces:

mAB = mDC = 4m o AB = DC = 4m

PQ = 1m o mPQ = 1m

mMN = 1,8m o MN = 8m

Segmento de Recta

Punto Medio de un Segmento

Es el punto que divide al segmento en dos segmentos par-ciales de igual longitud o medida. Veamos la figura:

A BM

M es el punto medio del segmento AB si:

mAM = mMB o AM = MB

Se dice tambin que el punto M biseca al segmento AB.

25

Geometra - 1ro Sec.


P

Q

A B

E F

Ubicacin del Punto Medio de un segmento mediante la Regla no Graduada y el CompsSi queremos ubicar el punto medio de un segmento medi-ante este mtodo, sigamos los siguientes pasos:

1) Con una regla no graduada se dibuja un segmento de una longitud cualquiera, tal como muestra la figura.

2) Haciendo centro con un comps en el punto E y con cualquier longitud (*) dibujamos una pequea curva sobre y debajo del segmento. Luego se sigue el mismo procedimiento tomando como centro el punto F.

E F

Q

P

(*) La longitud a tomar debe ser algo mayor que la mitad del segmento EF.

3) Se construye el segmento PQ, siendo el punto de inter-seccin de ste con EF el punto medio buscado.

Nota

Se traslada longitudes de segmentos midiendo con el comps el segmento dado, y luego dibujando en el lugar deseado.

Ejemplo:

Ubica el punto medio del segmento AB.

A BI)

II)

III)

Nota

El segmento PQ es perpendicular al segmento AB. Adems, a toda recta que pase por PQ se le llama mediatriz del segmento AB.

P

A B

Q

M

Haciendo uso de una regla graduada o el comps, com-prueba que el punto M es el punto medio del segmento AB.

Arqumedes(287 - 212 a.C.)

Sin discusin, fue el matemti-co griego ms genial que vivi en Siracusa. Su padre fue el astrnomo Fidias. Se atribuyen a Arqumedes numerosos inventos, entre ellos el tornillo sin fin des-tinado a traer agua del subsuelo en Egipto.

Particip en la defensa de Siracusa.

La originalidad de Arqumedes lo convirti, junto a Platn, en la flor innata del genio griego. Des-cubri las propiedades del nmero y las enunci en el libro Medida del crculo.

Se anticip a Newton 2000 aos, pues descubri los conceptos y principios bsicos del Clculo Inte-gral.

Muri asesinado por un soldado romano en la crcel mientras resolva un problema.

31071

31070

< p


Geometra - 1ro Sec.



2) Relaciona correctamente los datos de ambas colum-nas.a) Segmento AB ( ) ABb) Medida del segmento AB ( ) ABc) Recta AB ( ) ABd) Semirrecta AB ( ) AB

1) Completa de manera adecuada las siguientes ora-ciones:a) El segmento es una __________ de recta

limitada por ________ puntos llamados ____________.

b) La longitud de un _________ es un __________ positivo.

c) El ________ medio divide al segmento en ________ iguales

A B

D C

3) Indica el nmero de segmentos que hay en la figura.

A CB

4) Menciona el nmero de segmentos que se pueden formar con los puntos A, B y C.

A

B

C

6) Indica el nmero mximo de segmentos que se pueden formar con los tres puntos de la figura.

5) Si M es el punto medio del segmento AB, entonces las medidas de AB y AM, respectivamente son:

A BM

7

2) De acuerdo a la figura anterior, indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que a continuacin se enuncia.

a) mAB = mCD ( )b) BC es la notacin del segmento BC. ( )c) BC indica la medida del segmento BC. ( )d) La longitud de un segmento es un nmero mayor

que cero. ( )

A C E

B D

3) Indica el nmero de segmentos en la figura.

A CB D

4) Cuntos segmentos se pueden formar con los puntos A, B, C y D?

5) Halla las medidas de MN y NP, de acuerdo a la figura.

M PN

12

18

6) Cuntos segmentos se pueden obtener con tres puntos no colineales?

3) Indicar si AB + BD = AD es verdadero o falso para el siguiente grfico:

A CB D

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______


27

Geometra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Indica el nmero mximo de segmentos que se obtiene al unir los cuatro puntos mostrados.

a) 2b) 4c) 6d) 3e) 7

Completa de manera adecuada lo que a continuacin se menciona.

a) Si M es un punto que biseca al segmento, entonces lo _______ en partes iguales.

b) Con tres puntos colineales se puede obtener _________ segmentos.

c) Dos puntos cualesquiera determinan una ________.

Indica verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

PQ es la notacin del segmento PQ. ( )

mPQ indica la medida del segmento PQ. ( )

El segmento tiene un nmero limitado de puntos. ( )

a) VVV b) VFV c) FFV d) FFF e) FVF

Indica el nmero de segmentos que hay en la figura.

a) 3b) 6c) 9d) 12e) 13D

AB

C




Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Relaciona correctamente.

a) Segmento ABb) Rayo ABc) Medida del segmento ABd) Recta AB

( ) AB

( ) AB

( ) AB

( ) AB

Relaciona correctamente.

a) Rayo PQb) Medida del segmento PQc) Semirrecta PQd) Recta PQ

( ) PQ

( ) PQ

( ) PQ

( ) PQ

De la figura mostrada, indica cuntos segmentos hay.

a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

A B C D

De la figura mostrada, indica cuntos segmentos hay.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

A L C EI



29

Geometra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Indica cuntos segmentos hay en la siguiente palabra.

a) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

Indica cuntos segmentos hay en la siguiente palabra.

a) 15b) 17c) 18d) 20e) 21

Halla la longitud de una lnea si con ella se han formado el cuadrado y el tringulo equiltero mostrado.

a) 20 b) 24 c) 25 d) 27 e) 30

3 52 4

Calcula la longitud de una lnea si con ella se han formado los cuadrados mostrados.

a) 20 b) 22 c) 30 d) 24 e) 36




Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Halla la longitud de una lnea si con ella se pueden formar los polgonos regulares mostrados.

a) 24 b) 28 c) 25 d) 20 e) 30

Halla la longitud de una lnea si con ella se pueden formar los polgonos regulares mostrados.

a) 24 b) 28 c) 17 d) 20 e) 30

Segn la figura indica lo verdadero.

a) PQ = QRb) PQ = 2QRc) QR = 2PQd) PR = 2PQe) PQ + QR = PR

P Q R

Segn la figura indica lo verdadero.

a) AB = BC = CDb) BC = CDc) AD - BC = AB + CDd) AB + BC = ADe) AC - BC = CD

A C DB

2 3 1 2



31

Geometra - 1ro Sec.


Captulo

4Operaciones Con Segmentos

Queridos amigos, operar con segmentos es fcil y sen-cillo, de manera que no tendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema. Dos son las operaciones bsicas que trataremos: la suma de segmentos y la resta de segmentos. stas se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunin y que se menciona de la manera siguiente: El total es igual a la suma de las partes. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo: Carlitos se dirige a la casa de Fabiola distante 5 km, para luego recorrer 3 km ms hacia la casa de Danielito, tal como indica la figura.

5 km 3 km

C F D

Carlitos recorri entonces : 5 km + 3 km = 8 km

Pero notemos que: 5 km es la longitud de CF 3 km es la longitud de FD 8 km es la longitud de CD

Notamos pues que la suma de las partes (CF y FD) es igual al total (CD).De manera similar e intuitiva notamos que si a CD le quitamos o restamos FD, nos quedamos con CF; esto es:

Entonces:

CF + FD = CD

CD - FD = CF

Practiquemos un poco, tomando en cuenta la siguiente figura:

2 km 7 km

A D

3 km

B C

AB + BC = AC = 5 km

AC + CD = .................... = ..................

BC + CD = .................... = ..................

AC BC = AB = 3 km

AD CD = .................... = ..................

BD CD = .................... = ..................

Recuerda

Francois Viete(FontenayleComte, 1540Pars, 1603).

Matemtico francs. Fue miembro del Parlamento de Bretaa (1573 - 1582) y despus consejero privado

de las cortes de Enrique III y de Enrique IV. Conoce-dor de Diofanto y Cardano, estableci las reglas para la extraccin de races y dio a la trigonometra su forma definitiva en Canon mathematicus (1570). Se dedic asimismo al estudio de los fundamentos del lgebra, con la publicacin, en 1591, de In artem analyticam isagoge, en el cual introdujo un sistema de notacin que haca uso de letras en las frmulas algebraicas. Se ocup finalmente de diversas cuestiones geomtricas,

como la trigonometra plana y esfrica.


Geometra - 1ro Sec.



2) Halla mBC, si AB = 10, BD = 24 y C es punto medio de AD.

1) De acuerdo a la figura, calcula BC si AD = 10, AC = 8 y BD = 6.

3) Halla el valor de x si PR = 30.

4) Halla el valor del menor segmento determinado si AD = 21.

5) De la figura, encuentra el valor de QR PQ.

6) Calcula BC si AB = 10, BD = 16 y C es punto medio de AD.

4) De la figura, halla la longitud del menor segmento si AC = 10.

6) De la figura, indica el valor de BC.

A B DC

2) Halla el valor de mBC si AB = 14, BD = 18 y C es punto medio de AD.

A B DC

A B DCA B DC

x+3 x+5x+4

A BM

3) Calcula el valor de en la siguiente figura si AB = 12.

P RQ

x x+10

A B C D

1) Halla el valor de BC si AD = 12, AC = 10 y BD = 9.

5) De acuerdo a la figura, halla el valor de AB BC.

A B Cx50x50+10

P Q Rx x+10

A B Cx x+3

A B DC

12

1015

A B DC

Rpta.: _______Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______


33

Geometra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


De acuerdo a la figura, indica lo verdadero:

a) AQ = PRb) AP = QRc) AP + PQ =AQd) AQ PQ = QRe) AP = 2PQ

Cuntos segmentos existen en la figura?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

Cuntos segmentos existen en la figura?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Segn la figura, indica lo correcto.

a) AB = BCb) BC = CDc) AC = BDd) AB + BC = BDe) BC + CD = BD

A B DC

P Q R

R Q DP

A P RQ

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4 Segn la figura, calcula PQ si AD = 24m y AP = QD = 10m.

a) 3 m b) 2 m c) 8 m d) 6 m e) 4 m

A P DQ

Segn la figura, calcula PD si AD = 48m y AP = QD = 15m.

a) 30 m b) 24 m c) 33 m d) 18 m e) 34 m

A P DQ

De acuerdo a la figura, halla AB si AC = 30m y BC = 18m.

a) 10 m b) 12 m c) 15 m d) 9 m e) 13 m

De acuerdo a la figura, calcula AB si AC = 18m y BC = 10m.

a) 6 m b) 8 m c) 3 m d) 5 m e) 9 m

A B C A B C



35

Geometra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Calcula PM si M es punto medio de QR, PQ = 8m y QR = 24m.

a) 18 m b) 12 m c) 16 m d) 20 m e) 24 m

Halla AM si M es punto medio de BC y AB = 14m, BC = 18m.

a) 18 m b) 20 m c) 23 m d) 25 m e) 28 m

Si AC = 40m y CQ = 12m, halla MQ sabiendo que M es punto medio de AC.

a) 28 m b) 30 m c) 32 m d) 36 m e) 34 m

Si AC = 30m y PC = 12m, halla MP si M es punto medio de AC.

a) 15 m b) 18 m c) 30 m d) 25 m e) 27 m

A B CM P Q RM

A M QCA M PC




Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA

Halla MD si M es punto medio de PQ, PQ = 36m y DQ = 11 m.

a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 5 m e) 7 m

Calcula BM si AM = MC, AC = 28m y BC = 10m.

a) 4 m b) 2 m c) 3 m d) 5 m e) 6 m

Determina BM si AM = MC, AC = 30m y AB = 10m.

a) 1 m b) 3 m c) 4 m d) 5 m e) 2 m

Determina PM siendo M punto medio de AQ, AQ = 32m y AP = 12 m.

a) 3 m b) 2 m c) 4 m d) 6 m e) 5 m

A B CM

A M CB P M QD

A P QM



37

Geometra - 1ro Sec.


Captulo

5ngulos

ngulo es la figura geomtrica formada por dos rayos con el mismo origen llamado vrtice.

* Lados : OA y OB * Vrtice : O* Notacin : AOB, AOB^

O

A

B

DEFINICIN GEOMTRICA DEL NGULO

ELEMENTOS:

NGULOS CONGRUENTES

O

E

F

A

C

Se dice que dos o ms ngulos son congruentes si tienen la misma medida.

Si el ngulo ABC es congruente con el ngulo EOF, entonces escribiremos ABC EOF.

Tambin: mABC = mEOF =

^ ^

^ ^

Recuerda

El antiqusimo, pero an vigente sistema sexagesimal, se concibe dividiendo a la circunferencia en 360 partes iguales, todas con respecto al centro de la circunferencia. A cada una de esas partes se le llama grado sexagesimal (1). El grado sexagesimal (1) es la unidad del sistema. Ahora bien, en pos de una mayor precisin, cada grado sexagesimal fue dividido en sesenta partes ms pequeas, todas iguales entre s, a las que se le dio el nombre de minutos sexagesimales ('). Finalmente, y aunque no lo crean, se requera de mayor precisin an. Por eso, a cada minuto se le dividi en sesenta partecitas, diminutas en extremo, todas iguales entre s, a las que se les llam segundos sexagesimales ('').

1 vuelta < > 360 1 < > 60' 1' < > 60'' 1 < > 3600''

Observa el reloj de la fotografa adjunta. Verdad que las doce divisiones de las horas no han sido colocadas al azar?, puesto que las horas tienen la misma duracin estemos donde estemos, cmo crees que sern los ngulos que forman con respecto al centro el 3 con el 4, el 7 con el 8 el 11 con el 12? ...

Excelente! Estas aberturas son un ejemplo preciso de ngulos congruentes.

1) A partir del grfico, calcula x si m AOB = 66.B

O 2x+6

A

2) En la figura, los ngulos MNP y RST son congruentes. Halla el valor de x.

^ ^

N

M

P7x-5

S

R

T2x+20

3) Del grfico mostrado, calcula x - y si los ngulos AOB, PQR y STU son congruentes.

Q

PR

3y-2

0

O2x-10

A

B

4) La medida de un ngulo es 2x - 10. Calcula x si dicho ngulo es congruente con el doble de la medida de un ngulo de 80.

T

U

S

10 - x


Geometra - 1ro Sec.



Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

5) Indica el valor de x si los ngulos mostrados son congruentes.

O15+x

A

B N3 000'

M

P

6) Indica el valor equivalente de .

O=3068'

B

A

1) El ngulo mostrado mide 45. Halla el valor de .

O+30

A

B

2) Del grfico mostrado, calcula x + y si los ngulos AOB y PQR son congruentes.

Q45-y

P

RO

A

Bx+20

3) Del grfico mostrado, calcula x - y si los ngulos AOB, MNP y QRS son congruentes.

N

MP

80O2x-20

B

AR

x+y

S

Q

4) La medida de un ngulo es 3x - 20. Calcula 2x si dicho ngulo es congruente con otro ngulo cuya medida es la tercera parte de 120.

5) Indica el valor de x si los ngulos mostrados son congruentes.

S36 000''

R

TNx+1

P

M

6) Si la medida de un ngulo es 15120', indica su equivalencia.


39

Geometra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolucin:Resolucin:

Indica el valor de: E =

a) 60 b) 61 c) 31d) 3 e) 120

3 3'3'

Simplifica e indica el valor de: E =

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 6

5 15'45'

Simplifica e indica el valor de:

T =

a) 5 b) 6 c) 8d) 9 e) 10

3' 20''25''

Simplifica e indica el valor de:

R =

a) 70 b) 72 c) 79d) 80 e) 89

2 11' 40''1' 40''


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Del grfico mostrado, calcula x + 2y si los ngulos AOB, MNP y QRS son congruentes.

a) 49 b) 55 c) 69d) 35 e) 52

O2x+5

B

AN

MP

x+5y

R 75

Q

S

Del grfico mostrado, calcula x - 2y si los ngulos PQR, STU y AOB son congruentes.

a) 10 b) 20 c) 30d) 35 e) 5

Q50+x+z

P

R T80+z

S

U Ox+5y+z

A

B

Expresa el equivalente de 11055''.

a) 2 4' 15'' b) 3 4' 15'' c) 4 4' 15'' d) 1 4' 15'' e) 3 3' 15''

Expresa el equivalente de 3945''.

a) 1 15' 45'' b) 1 5' 45'' c) 1 25' 45''d) 1 15' 55'' e) 2 5' 45''

41

Geometra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Cuntos minutos hay en 3?

a) 60 b) 120 c) 180d) 90 e) 3

Cuntos grados hay en 120'?

a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

Indica si es verdadero (V) o falso (F), segn corresponda.

a) 180 < > 179 60' ( )b) 180 < > 179 60'' ( )c) 180 < > 179 59' 60'' ( )d) 180 < > 179 120' ( )

Indica si es verdadero (V) o falso (F), segn corresponda.

a) 90 < > 89 60'' ( )b) 90 < > 5 400' ( )c) 90 < > 89 59' 60'' ( )d) 90 < > 89 58' 120'' ( )


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolucin:

Resolucin:

Indica el valor de x si los ngulos mostrados son congruentes.

a) 40' b) 50' c) 50d) 50'' e) 500''

O 10

A

B Q550'+x

R

P

O

AB

3x-4

D

CE

86

S i l o s n g u l o s A O B y C D E s o n congruentes, calcula x.

a) 10 b) 20 c) 35d) 30 e) 25

De acuerdo a la figura, relaciona correctamente los datos de ambas columnas.

a) OA c) b) O d) AOB ( ) Notacin del ngulo( ) Medida del ngulo( ) Lado del ngulo( ) Vrtice del ngulo

O

A

B

^

Indica verdadero (V) o falso (F), segn corresponda. a) La notacin de un ngulo se hace con letras minsculas. ( )b) Los rayos que forman al ngulo son sus lados. ( )c) El ngulo es la figura formada por dos semirrectas. ( )d) Se dice que dos ngulos son congruentes cuando tienen la misma medida. ( )

43

Geometra - 1ro Sec.


Captulo

6ngulos Segnsu Medida

NGULO NULO

Es aquel ngulo cuyos lados son rayos coincidentes en direccin y sentido. Su medida es 0 y no hay abertura.

A BO

NGULO DE UNA VUELTA

Es aquel ngulo cuyos lados son coincidentes en direccin y sentido, pero luego de haber ocurrido un giro completo (360).

A B

NGULO LLANO O DE MEDIA VUELTA

Es aquel ngulo cuyos lados son rayos opuestos. Su medida es 180. OA y OB : Rayos opuestos.

A BO

NGULO RECTO O DE UN CUARTO DE VUELTA

Es aquel ngulo cuyos lados son rayos perpendiculares. Su medida es 90.

NGULO AGUDO

Es aquel ngulo cuya medida es mayor que 0 y menor que 90.

NGULO OBTUSO

Es aquel ngulo cuya medida es mayor que 90 y menor que 180.


Geometra - 1ro Sec.



Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) D e l g r f i c o

mostrado, calcula

x si m AOB=37 y OB OC. A

xB

C

DO

2) D e l g r f i c o mostrado, calcula m B O C s i l o s ngulos AOB y COD son rectos.

120

D

O

AB

C

C

O

B

A

D

3) S i m A O B = 2 0 , c a l c u l a m AOD, s a b i e n d o q u e

m BOC=4 m AOB.

4) D e l g r f i c o mostrado, calcula x si OA OC y OB OD.

C

50

D

A

B

O

x

5) Calcula x.

2x60x

x

6) Calcula .

49

1) D e l g r f i c o m o s t r a d o s i

m AOB = 25 y OB OC.

Calcula x.

Ax

B

C

D O

2) D e l g r f i c o mostrado, calcula m COD s i l o s ngulos BOC y AOD son rectos.

50

D

O A

BC

3) Calcula: y - 2x.

yx x

x

4) Calcula x + y.

y5y x 57

5) Calcula x.

2x- x+2x

6) Calcula .

36


45

Geometra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolucin:

Resolucin:

Del grfico, calcula x.

a) 100 b) 120 c) 130d) 150 e) 170

8070

x

Calcula x.

a) 120 b) 115 c) 135d) 145 e) 155

65 70x

Calcula x.

a) 46 b) 44 c) 54d) 64 e) 36

46x

Halla x si a - b = 30.

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

a

bx


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:


Halla x e y.

a) 60 y 20 b) 30 y 5 c) 60 y 10d) 30 y 20 e) 30 y 10

2x3x

x3y4y

2y

Calcula x.

a) 68 b) 78 c) 58d) 48 e) 34

46

x

Calcula x.

a) 15 b) 20 c) 30d) 18 e) 36

5xx

Calcula x.

a) 18 b) 36 c) 10d) 15 e) 22

2x3x

47

Geometra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolucin:

Resolucin:

Calcula x.

a) 20 b) 40 c) 60d) 80 e) 70

3040

x

x30

Del grfico, calcula m ROS si adems lam QOB = m BOS.

a) 11 b) 14 c) 21d) 23 e) 19

xx

x

48A

P S

Q B

R

O

Cul es la diferencia de las medidas de los ngulos AOB y COD si m BOD = 120?

a) 40 b) 60 c) 30d) 80 e) 100

A

B

C

D

O y

x

Del grfico, calcula - .

a) 60 b) 70 c) 80d) 90 e) 100

D

C

A B

O79


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Segn el grfico, calcula m BOC si m AOD = 140 y m AOC + m BOD = 250.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 60

A

B C

DOx

x

Calcula x si m AOD = 102.

a) 27 b) 36 c) 34d) 50 e) 64

AB

C

DO

x-

xx+

Halla y .

a) 5 y 30 b) 20 y 15 c) 20 y 30d) 10 y 15 e) 5 y 15

470 2 60

Calcula x.

a) 10 b) 45 c) 60d) 30 e) 15

10

20x x

49

Geometra - 1ro Sec.


Captulo

7La Bisectriz

CONSTRUCCIN DE LA BISECTRIz MEDIANTE LA REGLA y EL COMPS

Verdad que en el transcurso de tu vida vas a conocer a muchsimas personas? Varias de ellas llegarn a ser muy apreciadas por ti, sin embargo, una llegar a ser muy especial: Tu mejor amigo!

Algo as ocurre con el ngulo. Todos los rayos que se pueden trazar desde su vrtice son como los amigos del ngulo. Sin embargo, el amigo especial ser el rayo que lo divida en dos ngulos congruentes. A ese rayo nico se le llama bisectriz.

La bisectriz de un ngulo es el rayo que lo biseca.

O

O

A

M

B

OM : Bisectriz del AOB m AOM = m MOB =

PRIMER MTODO

Dibuja el ngulo que deseas trazar su bisectriz.

* Paso N. 1

Tomando como centro el vrtice del ngulo, utiliza tu comps para hacer un arco de radio arbitrario que intersecte a los lados del ngulo.

* Paso N. 2

Ahora, traza el segmento que une el vrtice del ngulo con los puntos de interseccin de las circunferencias. Dicho trazo ser la bisectriz del ngulo considerado.

* Paso N. 4

Tomando como centros los puntos de interseccin obtenidos, utiliza nuevamente tu comps para hacer dos circunferencias congruentes (mismo radio), con la condicin de que se intersequen.

* Paso N. 3

Ocentro

OBisectriz

Ocentro


Geometra - 1ro Sec.

* Practica este primer mtodo trazando la bisectriz del ngulo mostrado a continuacin.

SEGUNDO MTODO

Dibuja el ngulo al que deseas trazar su bisectriz.* Paso N. 1

O

Tomando como centro el vrtice del ngulo, utiliza tu comps para trazar dos arcos de radios arbitrarios que intersecten a los lados del ngulo.

* Paso N. 2

O

Los puntos de interseccin obtenidos nelos dos a dos en aspa y marca el punto donde se intersecan.

O P

* Paso N. 3

* Paso N. 4 Traza el rayo que une el vrtice del ngulo con este

ltimo punto de interseccin. Dicho trazo ser la bisectriz del ngulo considerado.

BisectrizO

* Practica el segundo mtodo trazando la bisectriz del ngulo mostrado a continuacin.

Alberto Coto Garca (20 de mayo de 1970, Lada, Langreo, Asturias, Espaa) es una reconocida calculadora humana. Con seis aos ya demostraba una gran capacidad para el clculo contando los puntos al final de las partidas de cartas. Con el paso de los aos y gracias a una enorme inquietud por los nmeros, fue desarrollando su capacidad de clculo, llegando a convertirse en la persona ms rpida del mundo, certificado por sus dos rcords Guinness y sus ttulos de Campen del Mundo en Suma y de Multiplicacin. Curs estudios de Ciencias Empresariales y Ciencias del Trabajo. Ha demostrado sus habilidades en varios programas de televisin, y ha aparecido en algunos informativos. En los ltimos aos lleva a cabo demostraciones y conferencias. Es autor del libro La aventura del clculo y ha colaborado en la publicacin de numerosos estudios. Su actual lmite en suma de 100 dgitos simples est en 19,23 segundos; y de multiplicacin de 2 nmeros de 8 dgitos cada uno est en 56,50 segundos. Esto equivale a ejecutar una media sostenida de hasta 6 operaciones mentales por segundo. El 17 de diciembre de 2006 Coto bati el rcord del mundo de clculo mental al multiplicar un nmero de cinco cifras por otro de cinco cifras en 18 segundos.

51

Geometra - 1ro Sec.




Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

O

A

M

B

x+2030

1) En el grfico, OM es la bisectriz del AOB. Calcula x.

O

M

R

N

3x-10

2) En el grfico, OR es la bisectriz del MON si m MON = 70, halla x.

A

B

C DE

FO35

30

3) Del grfico, OB es bisectriz del AOC y OE b i se t r i z de l DOF. Cacula m COD.

A

B

C

E

D

x 3xO

4) D e l g r f i c o , c a l c u l a x , si OC OD. Adems OB es bisectriz del AOC.

140

20

A

B

C

D

O

5) Del grfico, calcula la medida del AOD si el rayo opuesto de OA es bisectriz del BOC.

B C

D

A

70

O

6) Del grfico, OB es bisectriz del AOC. Calcula m COD.

O

M

R

N

+102

1) En el grfico, OR es la bisectriz del MON. Calcula .

A

B C

Dx 70

O

2) En el grfico, OB es la bisectriz del AOC. Calcula x.

3) Del grfico, halla si OD es bisectriz del COE.

A

BC

E30

D

O

A

B

C

F

E

x x+10

D

4x

O

4) Del grfico, calcula x si OB es bisectriz del AOC y OE es bisectriz del DOF.

150

40A

B

CD

O

5) Del grfico mostrado, calcula la m BOD si el rayo opuesto de OC es bisectriz del AOB.

OA C

B 6) Calcula el ngulo formado por las bisectrices de AOB y BOC.^ ^



Geometra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolucin:

Resolucin:

Calcula x.

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

4xx+10x+10

xx

Calcula el valor de .

a) 30 b) 20 c) 25d) 35 e) 40

20

Calcula x.

a) 30 b) 60 c) 15d) 75 e) 45

x xx

Calcula la medida de x.

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

3xxx

53

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:


En el grfico, OM es bisectriz del ngulo BOC. Halla x.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

^

30

20

x

A

B

M

C

O

Halla x si OB es bisectriz del ngulo AOC.

a) 20 b) 10 c) 12d) 14 e) 30

^

A D

B C

4x 20O

Halla x.

a) 120 b) 100 c) 95d) 135 e) 105

A

M B

CN

D

x

Calcula x.

a) 45 b) 90 c) 50d) 15 e) 10

A CO

M

B

x


Geometra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:


Del grfico, calcula la medida del DOE.

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

A EO

B

C D

105

Calcula x.

a) 40 b) 70 c) 100d) 110 e) 150

40

x

Calcula x si m MON = 3(m BOC).

a) 24 b) 20 c) 16d) 12 e) 18

D

N

CBAM

x

O

Sean los ngulo consecutivos AOB y BOC. Si m AOB = 2m BOC = 60, calcula la medida del ngulo formado por las bisectrices de dichos ngulos.

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 40

^ ^

55

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Halla x si OB es bisectriz del ngulo AOC.

a) 14 b) 30 c) 10d) 12 e) 20

A DO

BC

4x 20

^ En el grfico, OM es bisectriz del ngulo BOC. Halla x.

a) 20 b) 25 c) 30d) 35 e) 40

A CO

B

M130x

^

En la figura, halla m MOC si m BOC -m AOC = 40 y OM es bisectriz del ngulo AOB.

a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 36

O

B M

C

A

^En la figura OM es bisectriz del ngulo AOC. Halla la medida del ngulo COD.

a) 90 - 3/2 b) 45 + 3 c) 3d) 6 e) 3/2

^^

A DO

B

CM

3


Geometra - 1ro Sec.

Captulo

8ngulos Segn suPosicin y Segn la Suma

NGULOS ADyACENTESSon dos ngulos que tienen el vrtice y un lado comn, estando uno al costado del otro.

B

A

C

O

Son tres o ms ngulos de vrtice comn y adyacentes de dos en dos.

A

BC

O

D

E

NGULOS CONSECUTIVOS

Consecutivos: AOB, BOC, COD y DOE O : Vrtice comn.

Son dos ngulos que sin ser adyacentes tienen un vrtice comn. Los lados de uno de ellos son rayos opuestos de los lados del otro.

OPUESTOS POR EL VRTICE

B

D

O

A

C

PROPIEDAD:

Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.

Es decir:

m AOB = m COD =

Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es 90.NGULOS COMPLEMENTARIOS

Es lo que le falta a un ngulo para tener 90 como medida.COMPLEMENTO DE UN NGULO (C )

Ejemplos:

a) C(40) = 90 - 40 = 50

b) C(60) = 90 - 60 = 30

Adyacentes: AOB y BOC O : Vrtice comn. OB : Lado comn.

Son dos ngulos cuya suma de sus medidas es 180.

NGULOS SUPLEMENTARIOS

Es lo que le falta a un ngulo para tener 180 como medida.SUPLEMENTO DE UN NGULO (S )

Ejemplos:

a) S(100) = 180 - 100 = 80

S(130) = 180 - 130 = 50

57

Geometra - 1ro Sec.


El Burrito de Tales

No, no queremos decir que Tales no haya sido inteligente. Por el contrario, es considerado uno de los siete grandes sabios de la antigedad.

Tales de Mileto fue comerciante en su juventud. Visit muchos pases haciendo riquezas y aprendiendo de las novedades que vea.

Una de las ancdotas que se cuenta

de su vida nos dice que en una ocasin estuvo encargado de unas mulas cargadas con sacos de sal. En el trayecto las mulitas empezaron a cruzar el ro. Repentinamente una de las mulitas resbal, pero, como la sal se disuelve, la carga que llevaba se aliger. En otras ocasiones Tales observ que la mulita resbalaba cada vez que empezaba a cruzar el ro. Tales decidi darle una leccin a esta mulita maosa y carg los sacos con esponjas. Estamos seguros que la mulita se olvid de sus maas y nunca volvi a resbalarse.

Interesante

Uno de los monumentos ms visitados en Italia es la Torre ubicada en Pisa, bella ciudad de 100 000 habitantes. En el pasado se crea que la inclinacin era parte del proyecto, ahora sabemos que no. La Torre fue diseada para que sea perpendicular al suelo. Sin embargo, como se descubri que ao a ao la Torre se estaba inclinando, de 1 a 2 milmetros, el 7 de enero de 1990 el edifcio se cerr al pblico para ser reparado. La Torre, de 58 metros de altura, estaba inclinada como 5 metros sobre su eje vertical. Despus de 11 aos ha sido enderezada unos 40 centmetros por lo que fue reabierta al pblico el 15 de diciembre del 2001.

Qu ngulo forma la Torre de Pisa con el suelo?

Agudo Recto Obtuso

Desde hace quinientos aos antes de Jesucristo, muchos gemetras han pasado gran parte del tiempo en buscar una manera de combinar rectas y circunferencias para trisecar al ngulo, es decir, dividirlo en tres ngulos congruentes. La verdad, cuesta creer que no se pueda trisecar el ngulo utilizando regla y comps. Y es que si bisecarlo fue muy sencillo, por qu ha de ser imposible trisecarlo? Amiguitos, la verdad a veces es dura y cruel: No hay un mtodo general que permita trisecar a cualquier ngulo con solo regla no graduada y comps. Fue P.L. Wantzel quien en 1837 public por primera vez, en una revista matemtica, la prueba completamente rigurosa de la imposibilidad de trisecar un ngulo.


Geometra - 1ro Sec.



Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Halla x a partir del grfico.

3x+10 2x+40

2) Halla el complemento de la tercera parte de un ngulo llano.

3) En cunto excede el suplemento de 50 al complemento de 40?

4) Se construyen los ngulos adyacentes MON y NOP. Si m MOP = 50 y m NOP = 20, calcula el complemento de la medida del ngulo MON.

^^

^

y3x+5

125

5) Hallar x + y.

6) Del grfico mostrado, OB es bisectriz del AOC. Halla x si OE es bisectriz del FOD.

C

DF E

O

B

A

x140

G

2y+10 y+40x

1) Halla x observando el grfico mostrado.

2) Halla el suplemento de la quinta parte de la medida de una vuelta.

3) En cunto excede el complemento de 10 al suplemento de 160?

4) Se construyen los ngulos adyacentes AOB y BOC. Si m AOB = 20 y m BOC = 40, halla el ngulo formado por sus bisectrices.

^

^

5) Halla x.

x

x

x

ED

20

C

BA

O

6) Si OC es bisectriz del BOD, halla el ngulo formado por la bisectriz del DOE y el lado OC.


59

Geometra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Escribe verdadero (V) o falso (F), donde co-rresponda.

I) 40, 30 y 20 son ngulos complementarios. ( )II) 100, 50 y 30 son ngulos suplementarios. ( )III) El complemento de 27 es 63. ( )

a) FFF b) FFV c) VFFd) VVV e) VFV

Completa adecuadamente.

I) Los ngulos opuestos por el vrtice son ____________.

II) Los ngulos ____________ son dos ngulos que suman 180.

III) El _____________ es la medida que le falta a un ngulo para tener 90 de medida.

Calcula x.

a) 24 b) 36 c) 48d) 72 e) 54

18 2x

x

Calcula x.

a) 46 b) 44 c) 54d) 64 e) 36

46x


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:


Calcula .

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

120

1502

Del grfico, calcula el valor de x.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

110100

x+302xx

Del grfico, halla si - = 12.

a) 6 b) 24 c) 18d) 12 e) 9

2

Del grfico, halla - .

a) 10 b) 20 c) 30d) 35 e) 40

2

2

61

Geometra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Del grfico, calcula la medida de .

a) 40 b) 45 c) 50d) 55 e) 60

15

20

Calcula x.

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

2xx 20

40

Del g r f i co , ha l la e l va lor de x s im AOC = 140 y m BOD = 80.

a) 90 b) 130 c) 120d) 105 e) 110

A

B C

DO

ff

x

Del grfico, calcula la medida de x.

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 10

3040

x100


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA


Resolucin:

Resolucin:

Del grfico, calcula la medida del COD.

a) 60 b) 62 c) 61d) 63 e) 69

x+4082

xA D

B C

O

Del grfico, halla la medida de + 2.

a) 40 b) 30 c) 50d) 60 e) 70

110

Del grfico, calcula el valor de x.

a) 70 b) 50 c) 60d) 40 e) 80

x

120

Del grfico, calcula la medida de .

a) 40 b) 45 c) 46d) 47 e) 42

48

63

Geometra - 1ro Sec.


Captulo

9Operaciones con ngulos

Hoy da aprenderemos a sumar, restar, multiplicar y dividir ngulos con la misma facilidad con la que operamos los nmeros naturales. Para alcanzar este objetivo debemos recordar que:

1 vuelta < > 360 1 < > 60 1 < > 60 1 < > 3600

SUMA y RESTA DE MEDIDAS ANGULARES

Veamos el siguiente ejemplo: Lorenita ha preparado un delicioso pastel para sus amiguitos. Con un cuchillo delgado divide al pastel en tajadas de diferente tamao, todas desde el centro, tal como se muestra en el grfico:

Tajada que an queda

Para SharonPara Silvia

Para Fernandito

Para el profe que es muy goloso

695055

281730 435105

12557

A) Cul es la medida angular de las tajadas de Fernandito y Silvia juntas?

Para obtener la respuesta sumaremos:

43 51 05 + 69 50 55 112 101 60 112 101 + 1 112 102 112 60 42 112 + 1 42 113 42

Respuesta expresada incorrectamente. Sin embargo:

Respuesta expresada correctamente.

Recuerda

Para que una medida angular se considere bien expresada, la cantidad de minutos y/o segundos que muestre debe ser menor que 60.

B) Cul es la medida angular de las tajadas de Silvia y Sharon juntas? (Completa los recuadros)

Para obtener la respuesta sumaremos:

69

28

97

97

97

97

97

97

50

17

67

67

67

60

1

55

30

60

25

25

25

25

+

+

+

+Respuesta expresada incorrectamente. Sin embargo:

Respuesta expresada correctamente.


Geometra - 1ro Sec.

C) Cul es la medida angular de la tajada que ha sobrado del pastel? (Completa los recuadros)

Primero: Sumemos las medidas angulares de las tajadas de los

amiguitos de Lorena.

43

69

28

125

265

265

265

265

265

265

51

50

17

57

175

175

175

176

120

2

05

55

30

90

60

30

30

30

30

+

+

+

Fernandito

Silvia

Sharon

El profe goloso

Respuesta expresada incorrec-tamente. Sin embargo:

Respuesta expresada correcta-mente.

Segundo: Ahora a la medida angular del pastel (360) le restamos la medida angular de lo repartido (2675630).

360 35960

Respuesta: La medida angular de la tajada que no ha sido repartida es 92 03 30.

359 59 60 -267 56 30 92 03 30

Importante

Para restar medidas angulares, el minuendo y el sustraendo deben estar expresados en la misma forma.

Ejemplo 1:

Calcula el complemento de 295237.

90 8960 89 59 60 -29 52 37

Ejemplo 2:

Calcula el suplemento de 1391758.

180 17960 179 59 60 -139 17 58

Todo es Geometra!

Procura observar la formas regulares y perfectas que presentan algunos cuerpos. Las flores, las hojas y muchos animales revelan simetras admirables que deslumbran nuestro espritu. La geometra existe en todas partes. En el disco del Sol, en la hoja del datilero, en la estrella de mar y hasta en un pequeo grano de arena. Hay, en fin, infinita variedad de formas geomtricas presentadas por la naturaleza. Un cuervo al volar lentamente por el cielo describe figuras admirables. La piedra que se tira a las aguas de un ro, dibuja en el aire una curva perfecta llamada parbola. La abeja construye sus celdillas en forma de prismas hexagonales.

Nuevamente: la geometra existe en todas partes. Todo es geometra! Sin embargo, es preciso saber observarla. Hay que tener perspicacia para entenderla y sensibilidad para admirarla. Nunca olvides que Dios es el gran gemetra. Geometriz la tierra y el cielo. Y si todo lo que nos rodea es un legado de parte suya, despreciaremos su generosidad?Por su puesto que no! Cultivando diligentemente los conocimientos cientfico-matemticos mostraremos que no somos insensibles a tanta belleza.

Por consiguiente, a la pregunta que muchos jvenes se hacen para qu estudiar geometra?, slo queda una respuesta categrica: geometra se estudia para tener la perspicacia de ver arte hasta en las cosas ms simples que nos rodean, para que lo bello se vea ms bello an y para que nunca dejemos de elevar una oracin de gracias a Dios, el gran gemetra.

65

Geometra - 1ro Sec.


MULTIPLICACIN y DIVISIN DE MEDIDAS ANGULARES

Las medidas angulares pueden multiplicarse y dividirse por una cantidad escalar (nmero sin unidad).

Ejemplo 3:

Cul es el triple de 225645?

22

66

66

66

66

56

168

168

120

50

45

3 .

155

120

35

50

35

x

+

+ 35

35

Ejemplo 4:

Cul es la quinta parte de 3641125?

(36 41 25) 5

Se comienza por los grados, pasando a los minutos y luego a los segundos.

Grados Minutos Segundos

60 + 41 = 101

101100 1

52060< >

3635 1< >

5 760

60 + 25

8585 0

517

< >

La respuesta est dada por los cocientes:(364125) 5 = 7 20 17

Ejemplo 5:

Cul es el cudruple de 173428?

17

68686868

34

136136

120

28

411260

52

54+

+

x

Ejemplo 6:

Cul es la tercera parte de 293542?

Grados Minutos Segundos

120 + 35

155153 2

351

120< >

2927 2< >

3 9120

120+42

162162 00

354

< >

Luego: (293542) 3 = 9 51 54

Importante

Sera muy til que domines la tabla del 60.

60 x 4 = 24060 x 5 = 30060 x 6 = 360

60 x 1 = 6060 x 2 = 12060 x 3 = 180

60 x 7 = 42060 x 8 = 48060 x 9 = 540

Crees que son demasiados conocimientos los que el colegio te brinda? No te sientes capaz de procesarlos, asimilarlos y retenerlos en forma dinmica? Pues bien, lo cierto es que no deberas sentirte as. Tu cerebro es maravilloso, aunque a lo mejor t creas que estoy exagerando! Por ejemplo, si aprendiramos algo nuevo cada segundo, nos llevara tres millones de aos para agotar la capacidad de nuestro cerebro. En los ltimos aos los cientficos han logrado tremendos adelantos en sus estudios del cerebro. Con todo, lo que han hallado no es nada en comparacin con lo que permanece desconocido. No se sabe con seguridad qu cambios fisiolgicos ocurren en el cerebro cuando aprendemos. Pero la indicacin experimental sugiere que, a medida que aprendemos, especialmente en los primeros aos de la vida, mejores conexiones cerebrales se forman. Ah, y cuando repasamos lo que hemos aprendido recientemente, las sendas que suelen activarse juntas se fortalecen de alguna manera. Por consiguiente, querido(a) alumno(a), tu maravilloso cerebro est en la condicin de asimilar muchsima ms informacin de lo que imaginabas. Es como si pensaras que teniendo un Ferrari, ltimo modelo, slo podras manejarlo a una velocidad mxima de 1km/h.Qu disparate y qu desperdicio!, verdad? Bien dice un refrn: La repeticin es la madre de la retencin. Ahora fortalezcamos nuestras conexiones cerebrales sobre todo lo relacionado con los ngulos. Si las dudas te invaden, no tengas temor. Por favor, pregntale a tu profesor. l te ayudar con muchsimo gusto. Muy bien: Manos y cerebros a la obra!


Geometra - 1ro Sec.



Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Relaciona las columnas convenientemente.

a) 7410065 ( ) 730150b) 739075 ( ) 743115c) 727369 ( ) 731409d) 71120110 ( ) 754105

2) Calcula: 24 55 35 + 39 50 28

3) Calcula el complemento de 29 37 28.

4) Calcula el suplemento de 142 37 29.

5) Cunto mide el ngulo cuyo complemento es igual al triple de su medida?

A

B

CO

x+322x

-16

6) Halla x si OB es bisectriz del AOC

1) Relaciona las columnas convenientemente.

a) 830101 ( ) 8253121b) 831509 ( ) 81119121c) 825501 ( ) 827469d) 810001 ( ) 8058121

2) Calcula: 37 58 59 + 38 56 40

3) Calcula el complemento de 30 38 29.

4) Calcula el suplemento de 99 59 59.

5) Cunto mide el ngulo cuyo suplemento es igual al doble de su medida?

6) Halla z si: mAOB = mBOC

O

A

B

C

2z3z-10


67

Geometra - 1ro Sec.


Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




Segn el grfico, halla .

a) 12b) 15c) 18d) 20e) 25

O

23

Halla x.

a) 12b) 22c) 11d) 13e) 16 3x-20

2x

AB

CO

Segn el grfico, calcula .

a) 20b) 30c) 40d) 60e) 25

23

Segn el grfico, calcula x.

a) 20b) 15c) 18d) 22e) 30

O3xx

100


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4




a) 24b) 16c) 18d) 20e) 15

2+10 3-14

Segn el grfico, halla x.

a) 9b) 11c) 12d) 13e) 14

x+162x+7

C

D O

B

A

Del grfico, calcula: mCOD - mAOB si mBOC = 2mAOB y mCOD = 3mAOB.a) 30b) 60c) 70d) 15e) 45

B

C

D

O A

70

Del grfico, calcula mAOB si: mAOB + mBOC = 100 y mBOC + mCOD = 110

a) 30b) 60c) 70d) 15e) 45

69

Geometra - 1ro Sec.


5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:




a) 15b) 20c) 35d) 45e) 25

45

O


a) 20b) 30c) 40d) 15e) 10

Ox

30

80

A

B

CD


a) 25b) 15c) 30d) 20e) 18 5x

4x

Si OM es bisectriz, calcula x.

a) 20b) 30c) 15d) 10e) 25

O

A

B

M

C

80x 60


Geometra - 1ro Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA



Si mAOD + mAOB = 30. Halla .

a) 45b) 18c) 15d) 30e) 12 O

AB

C

D

Si mAOD + mAOB = 20, halla .

a) 10b) 20c) 5d) 18e) 9

A

B

Q

D

O

Cunto mide el complemento del ngulo cuya medida equivale a la quinta parte de un ngulo recto?

a) 15 b) 30 c) 75d) 45 e) 65

Cunto mide el complemento del ngulo cuya medida equivale a la sexta parte de un ngulo llano?

a) 15 b) 30 c) 75d) 60 e) 65

71

Geometra - 1ro Sec.


Captulo

10ngulos Formados pordos Rectas Paralelasy una Secante

Ahora presta mucha atencin al siguiente relato:

La Gran Expedicin:

Imagina que tus compaeros y t estn en un viaje de expedicin por la selva. Han llegado hasta la ribera de un ro y, para continuar con la aventura, no queda otro camino que cruzarlo para seguir en la ribera opuesta. La adrenalina fluye por las venas de todos. El caudaloso ro parece indomable. Sin embargo, los valientes alumnos del primer ao ya han tomado la decisin: cruzarn el ro!

Campamento de primer ao

Ribera opuesta

Antigua posicin

Nueva posicin del campamento

Despus de minutos cargados de mucha emocin y suspenso se logra el objetivo: el ro ha sido cruzado!, todos gritan jubilosos. Sin embargo, Christian, que ha mojado sus pantalones por el miedo, ahora que ya respira tranquilo, se percata que el bote no cruz el ro de manera frontal. Debido a la corriente impetuosa el bote hizo un recorrido diagonal como el que se muestra a continuacin:

* ngulos internos: ___________

* ngulos externos: ___________

Este pequeo relato nos ilustra muy bien cmo dos rectas paralelas (las riberas del ro) pueden ser cortadas por una recta secante (el recorrido del bote).

Ahora, observa muy bien y fjate en los ocho ngulos que se forman (L1// L2 ).

L1

L2

d^

a^c^b^

e^

h^g^f^

A continuacin vamos a formar parejas de ngulos (uno de arriba con uno de abajo) de la siguiente manera:

Alternos internos: ___________

L1

L2f^

c^

e^

d^


Geometra - 1ro Sec.

L1

L2

a^b^

h^g^

Alternos externos: ___________

L1

L2

dc

ef^ ^

^ ^

Conjugados internos: ________

Conjugados externos: ________

L1

L2

a^b^

h^g^

Importante

Finalmente, jams olvides las siguientes propiedades:Primero:Los ngulos alternos entre paralelas tienen la misma medida.Es decir:

mc = me ; md = mfma = mg ; mb = mh

Segundo:Las medidas de los ngulos conjugados entre paralelas son suplementarios, es decir, suman 180. Por consiguiente:

mc+mf=180 ma+mh=180md+me=180 mb+mg=180

^

^^ ^ ^

^ ^ ^

^^

^ ^ ^

^ ^ ^

Hipatia

Se considera la primera mujer matemtica, segn la historia escrita. Nacida cerca del ao 370 despus de Cristo. Hija de un profesor de matemtica quien quera crear un ser humano perfecto, Hipatia fue el resultado. La adiestr tanto fsica como mentalmente. En la escuela de Atenas se convirti en maestra y se hizo muy popular como matemtica.

Escribi varios documentos, entre ellos, sobre el Canon Astronmico de Diofanto, donde se habla de ecuaciones de primer y segundo grado. Cre el Astrolabio y la Esfera Plana. Invent un aparato para agua destilada, uno para medir el nivel del agua y uno para determinar la gravedad especfica de los lquidos.

A esto se le llam ms tarde un aermetro o hidroscopio. Nunca se cas y Cyril la mand a matar en el ao 425 despus de Cristo, mientras era patriarca de Alejandra, porque crea que iba a ser mejor si sacrificaba a una mujer virgen.

73

Geometra - 1ro Sec.




Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

1) Del grfico, calcula x si L1 // L2.

2x+2

62

L1

L2

L1

L2

138

2) D e l g r f i c o , c a l c u l a s i L1 // L2.

3) Calcula x a partir del grfico mostrado. x+10

10

L1

L220

4) Si a // b, calcula .

4) Si M // N, calcula .

120

a

b

150

M

N

5) Calcula x + y a partir del grfico dado (L1 // L2 ).

L1 L2

x+30 140y

6) Sean A y B una pareja de ngulos alternos internos entre paralelas. Calcula x si:

A = 3x + 5 y B = 2x + 25.

L1

L2

138

1) D e l g r f i c o , c a l c u l a s i L1 // L2.

5

L1

L2

2) Del grfico, calcula si L1 // L2.

3) Del grfico, calcula x (L1 // L2).

45

70x

L1

L2

5) Observando el grfico adjunto, calcula el valor angular de si L1 // L2.

3

4950

L1 L2

6) Traza la recta XY paralela a PQ, ahora traza una recta secante a ambas en los puntos A y B. Si mXAB=x - 30 y la mABQ = 2x - 80, calcula x.



Geometra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




A partir del grfico que a continuacin se muestra, relaciona las columnas de forma conveniente (L1 // L2 ).

a) a y bb) f y dc) b y gd) c y f

( ) ngulos alternos externos.( ) ngulos conjugados internos.( ) ngulos internos.( ) ngulos conjugados externos.

L2

L1

f^ e^h^g^

c^ d^a^b^

^^^ ^

^

^

^^

A partir del grfico adjunto, relaciona las colum-

nas convenientemente (L1 // L2 ).

a) p y s

b) u y r

c) x y p

d) q y u

( ) ngulos conjugados externos.

( ) ngulos internos.

( ) ngulos alternos internos.

( ) ngulos alternos externos.

^^

^ ^

^

^

^

^

L1

L2q^p^s^

r^

x^ t^w^ u^

Calcula x a partir del grfico mostrado (L1 // L2) si la medida del ngulo AOB es el complemento de la mitad de 40.

a) 110b) 90c) 80d) 70e) 115

x+30

BO

A

L1

L2

^Observando el grfico adjunto, calcula y - x si L1 // L2 .

a) 10b) 20c) 15d) 25e) 30

140+xy155

L1

L2

75

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:


Del grfico, calcula si L1 // L2.

a) 130b) 25c) 50d) 26e) 30

L1

50 5

L2

Observa el grfico adjunto y calcula x si L1 // L2.

a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60

x

2x+30

L2

L1

Observando el grfico adjunto, calcula y - x si L1 // L2 // L3.

a) 110b) 120c) 130d) 140e) 100

10

x 110

y

L1

L2

L3

Observando el grfico adjunto, calcula x + y si L1 // L2 // L3.

a) 100b) 110c) 120d) 130e) 140 L1

L3

70

x 140 2yL2


Geometra - 1ro Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Del grfico, calcula la medida de x si L1 // L2.

a) 30b) 150c) 20d) 10e) 40

5x

30

L1 L2

Del grfico, calcula x si L1 // L2.

a) 108b) 100c) 118d) 120e) 121

L1

L2

x

62

En el grfico, calcula x si L1 // L2.

a) 20b) 75c) 15d) 16e) 17

75

xL1

L2


a) 300b) 305c) 308d) 310e) 312

52

xL2

L1

77

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

NOTA




a) 12b) 125c) 14d) 24e) 30

120

5x

L1

L2

Del grfico, calcula si L1 // L2 // L3.

a) 100b) 110c) 105d) 115e) 120

45

60

L2

L3

L1

Si m // n, calcula x.

a) 15b) 20c) 30d) 40e) 50

m

n

2x

x

Si m // n, calcula x.

a) 20b) 25c) 35d) 40e) 30

x-30

20

40

2x

m

n


Geometra - 1ro Sec.

Captulo

11Propiedadesde los ngulosSituados Entre Paralelas

PROPIEDADES

Si

1 2L // L :

=

L1

L2

1)

+ =180

2) L1 L2

x= +

3)

L2

L1

x

x+y=++

4)

5)

L2

L1

++=360

6)

x=++

L2

L1

x

L2

L1x

y

79

Geometra - 1ro Sec.




Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

L2

L1

x

45

45

1) Calcula x si L1//L2.


L2

L1x

30

80


L2

L1

x

150

80

L1

L2

x

160

300


5) Calcula x a partir del grfico mostrado si L1//L2.

85

x165L2

L1

6) Calcula x si L1//L2//L3.

L3

L1

x

20

70

L2

L2

L1

x

30

20


2) Calcula x si L1//L2. L2L1

x+ 50

x-


L2

L1

x

80

30

280

x

160

L2

L1

4) Calcula x a partir del grfico mostrado si L1//L2.

5) Calcula x si L1//L2. L1

L2x

30

80

6) Calcula x si L1//L2//L3.

L3

L1

x

40

70

L2



Geometra - 1ro Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolucin:

Resolucin:

7) Calcular x, si

10x

5030 160

3510

L1

L2

Calcula x a partir del grfico mostrado si L1//L2.

a) 25b) 30c) 20d) 15e) 10

L1

L2

2060

50x

30

Calcula x si L1//L2.

a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

L2

L1

20

20

2x+10

Calcula x si L1//L2.

a) 150b) 310c) 340d) 155e) 160

Observando el grfico mostrado, calcula x si L1//L2.

a) 60b) 61c) 62d) 63e) 65

L1

L2

10

25

5x+10

81

Geometra - 1ro Sec.


Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:


L3

L2

125 x

L1

L4

Observando el grfico mostrado, calcula x si L1 // L2 y L3 L4.

a) 145b) 155c) 135d) 125e) 115

L1 L2

160

15

x

Observando el grfico mostrado, calcula x si L1 // L2.

a) 30b) 25c) 35d) 40e) 20

340

350

x

L1

L2

Calcula x si L1 // L2.

7-geometria (1 - 16)

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