Dosier módulo I

Dosier módulo II

Módulo II

Introducción

1. Unidad I: Ángulos y Triángulos. Generalidades 61.1. Segmentos de recta y Ángulos

1.1.1. Problemas1.2. Ángulos formados por dos rectas secantes

1.2.1. Problemas1.3. Triángulos. Generalidades1.4. Construcciones con regla y compás1.5. Problemas

2. Unidad II: Congruencia de Triángulos. Cuadriláteros 262.1. Triángulos: Criterios de congruencia2.2. Teorema de la base media2.3. Problemas2.4. Cuadriláteros: Clasificación y propiedades2.5. Trapecios2.6. Problemas

3. Unidad III: La circunferencia y sus elementos 413.1. Generalidades. Ángulos en la Circunferencia3.2. Cuadriláteros cíclicos3.3. Rectas y circunferencias tangentes a una circunferencia3.4. Problemas

4. Unidad IV: Semejanza de Triángulos. Puntos y rectas notables del triángulo 604.1. Proporciones4.2. Paralelismo y proporcionalidad. Teorema de Thales4.3. Triángulos semejantes4.4. Problemas4.5. Puntos y Rectas Notables del Triángulo

4.5.1. Medianas4.5.2. Mediatrices4.5.3. Alturas4.5.4. Bisectrices

4.6. Problemas

5. Referencias documentales 89

El significado e mológico de la palabra geometría, “medida de la erra”, nos indica su origen de poprác co,relacionado con las ac vidades de reconstrucción de los límites de las parcelas de terreno que tenían quehacer los egipcios, tras las inundaciones del Nilo. Pero la Geometría dejó hace ya hace mucho empo deocuparse de la medida de la erra. Con los griegos la geometría se interesó por el mundo de las formas,la iden ficación de sus componentes más elementales y de las relaciones y combinaciones entre dichoscomponentes. La geometría se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras como,punto, recta, plano, triángulo, polígono, poliedro, etc. Tales términos y expresiones designan “figuras geométricas”,las cuales son consideradas como abstracciones o representaciones generales de una categoría de objetos.Cuandohablamos de “figuras o formas geométricas” nonos referimos a ninguna clase deobjetos percep bles,aunque ciertamente los dibujos, imágenes y materializaciones concretas son, al menos en los primerosniveles del aprendizaje, la razón de ser del lenguaje geométrico y el apoyo intui vo para la Formulaciónde conjeturas sobre las relaciones entre las en dades y propiedades geométricas.El “lenguaje” geométrico ene su origen en nuestra necesidad de describir el mundo de las formas de loscuerpos percep bles que nos rodean, su tamaño y posición en el espacio. Pero superada la primera fasede clasificación de las formas, de iden ficación de las propiedades de las clases de objetos y la creación deun lenguaje que permita su descripción de manera precisa, la ac vidad geométrica se ocupa de estructurarel mundo de en dades geométricas creadas y de deducir las consecuencias lógicas que se derivan de losconvenios establecidos.La Geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos. En la vida co diana encontramosmodelos y ejemplificaciones sicas de esos objetos ideales de los que se ocupa la Geometría, El entornoar s co y arquitectónico ha sido un importante factor de desarrollo de laGeometría. Así desde la construcciónde viviendas o monumentos funerarios (pirámides de Egipto), hasta templos de los más diversos es loshan impulsado constantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geométricas. Muchasprofesiones, además de los matemá cos, arquitectos e ingenieros necesitan y usan la Geometría: albañiles,ceramistas, artesanos, decoradores, coreógrafos, diseñadores de muebles, etc. Todos ellos de una formamás omenos consciente, u lizan el espacio y las formas geométricas. El mundo de los deportes está repletode figuras geométricas: fútbol (el rectángulo del campo, las áreas, el balón, las porterías, etc.), baloncesto(canastas, zonas, campo, etc.), tenis, béisbol, etc. Seguramente el lector puede completar estas listas desituaciones y ámbitos dondepodemos encontrar objetos geométricos, y cuyomanejo facilita el conocimientode tales ámbitos.En este módulo asumiremos que la primera fase de observación y clasificación de las formas geométricas,de iden ficación de las propiedades de las dis ntas clases de objetos y la creación de un lenguaje quepermita su descripción demanera precisa ha sido superada y, por lo tanto, nos centraremos en consolidar laspropiedades y relaciones de los objetos básicos de la geometría euclidiana (ángulos, triángulos, cuadriláteros,circunferencia, semejanza de triángulos y rectas notables ) a través del uso gradual y pausadode la demostraciónmatemá ca y la metodología de resolución de problemas.El obje vo general que se persigue es “Desarrollar la habilidad de las y los docentes de usar el métododeduc vo para jus ficar las propiedades y relaciones de los conceptos fundamentales de la geometríaeuclidiana. Y Aplicar la metodología de resolución de problemas”.

Ángulos y triángulos.

Generalidades

1.1. Segmentos de recta y Ángulos

Segmentos de recta

Dada una recta r y dos puntos A yB de ella, se llama segmento de recta al conjunto de puntos de la recta rcomprendidos entre los dos puntos A y B. Los puntos A y B se dice que son los extremos del segmento derecta. Este segmento de recta se denota por AB. La figura 1 representa el segmento AB.

Figura 1

La distancia entre los puntosA yB se dice que es la longitud del segmento de recta. Dos segmentos de rectaAB y CD se dice que son congruentes si enen la misma longitud.

Ángulos

Definimos como ángulo a la figura geométrica formada por dos rayos (o semirrectas) que enen el mismoextremo. Ese extremo común se llama ”vér ce del ángulo”. La figura 2 representa el ángulo formado por losrayos AB y AC; se suele designar como ángulo \BAC o \CAB o, cuando no hay riesgo de confusión, por\A, el vér ce del ángulo. También suelen usarse letras griegas (�; �; �; : : :) para referirse a un ángulo.

Figura 2

Un ángulo cuyos lados no están sobre la misma recta separa al plano en dos partes, el interior y el exteriordel ángulo. El subconjunto de puntos del plano formados por todos los segmentos que unen puntos situadossobre los lados AB y AC forman el interior del ángulo, y su complementario respecto del plano será elexterior. El tamaño de un ángulo se mide por la can dad de rotación requerida para girar uno de los ladosdel ángulo, tomando como centro de giro el vér ce, para que coincida con el otro lado. Como unidad demedida habitual se usa el grado, la 360 ava parte de la abertura de la circunferencia. Lamedida de un ángulo

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\A la indicaremos porm(\A).

Dos ángulos AOB y BOC son adyacentes si y solo si enen un lado común OB y los lados no comunesOA y OC están en semiplanos dis ntos determinados por el lado común. La Bisectriz de un ángulo es lasemirrecta que lo divide en dos ángulos adyacentes iguales. Dado \ABC, la bisectriz se construye de lasiguiente manera:

(a) \ABC (b) Bisectriz BP

Figura 3

1. Haciendo centro en B y con una abertura conveniente del compás se traza el arco DE.

2. Con la misma abertura del compás y haciendo centro en D y E se trazan dos arcos que se cortan en P.

3. Se traza la semirrecta BP y se ob ene que \ABP = \PBC.

Recordemos:

1. Dos ángulos son congruentes si enen igual medida

2. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180o

3. Dos ángulos son complementarios si su suma es 90o

4. Un ángulo que mide 90o se llama ángulo recto.

5. Un ángulo que mide 180o se llama ángulo plano o llano.

6. Un ángulo que mide 360o se llama ángulo completo.

7. Un ángulo que mide menos de 90o se llama ángulo agudo.

8. Un ángulo que mide mas de 90o se llama ángulo obtuso.

Dos rectas AB y CD que se cortan (secantes) son perpendiculares si uno de los ángulos que forman es de90o . Se denota AB ? CD.

Dos rectas AB y CD son paralelas si están en un mismo plano y su intersección es vacía. Se denota AB k

CD.

Proposición 1.1. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares (Ejercicio).

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1.1.1. Problemas

1. Use el transportador para es mar la medida de los ángulos\B,\D,\G,\KJI y\NMO mostradoen la figura 4. Después complete la tabla adjunta.

Figura 4

\B \D \G \KJI \NMOMedidaTipo de ánguloComplementarioSuplementario

1.2. Ángulos formados por dos rectas secantes

Sean r y s dos rectas que se cortan en un punto P . Se llaman ángulos adyacentes suplementarios a losángulos que enen un lado común. Y se llaman ángulos opuestos por el vér ce a los ángulos que no enenun lado común. En la figura 5 se ene que los pares de ángulos\A y\B y\C y\D son ángulos adyacentessuplementarios. Mientras que las parejas de ángulos \A y \C y \B y \D son ángulos opuestos por elvér ce.

Figura 5

Proposición 1.2. Los ángulos opuestos por el vér ce son iguales (Ejercicio).

Ángulos formados por dos rectas cortadas por una secante

Consideremos dos rectas r y s que son cortadas por una tercera recta t , llamada tranversal o secante.

Se definen los siguientes pos de ángulos:

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Figura 6

Ángulos internos: Son los ángulos situados en la banda entre las rectas r y s . Ejemplos: \C, \D, \Fy \E son internos.

Ángulos externos: Son los ángulos situados fuera de la banda entre las rectas r y s . Ejemplos: \A,\B, \G y \H son externos.

Ángulos alternos: Son dos ángulos situados en dis ntos semiplanos de la secante, no son adyacentesy ambos son o internos o externos. Los internos se llaman alternos internos, y los externos alternosexternos. Ejemplos:

• \A y \G son alternos externos. También \B y \H son alternos externos.

• \D y \F son alternos internos. También \C y \E son alternos internos.

Ángulo correspondientes: Son dos ángulos situados en el mismo semiplano respecto de la secante,no adyacentes, uno es interno y el otro es externo. Ejemplos: \A y \E son correspondientes. \D y\H, \B y \F , \C y \G también lo son.

Ángulos conjugados: Son dos ángulos situados en el mismo semiplano respecto de la secante y ambosson internos o externos. Ejemplos: \A y \H son correspondientes. \D y \E, \B y \G, \C y \Ftambién lo son.

¿Qué se puede decir de éstos ángulos si las rectas r y s son paralelas?

Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante

Si r y s son dos rectas paralelas cortadas por la recta secante o transversal t, tenemos:

Proposición 1.3. Los angulos correspondientes son congruentes. Ejemplos: \A = \E; \D = \H; \B =

\F ; \C = \G.

Proposición 1.4. Los angulos alternos, internos o externos, son congruentes. Ejemplos: \A = \G; \B =

\H; \D = \F ; \C = \E.

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Figura 7

Proposición 1.5. Los angulos conjugados, internos o externos, son suplementarios. Ejemplos: \A+ \H =

180o ; \B + \G = 180o ; \D + \E = 180o ; \C + \F = 180o .

De otra manera:

Figura 8: Ángulos entre las rectas paralelas L1 y L2.

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1.2.1. Problemas

1. Considerando la figura 9, calcule los siguientes ángulos.

Figura 9

2. Considerando la figura 10, calcule los siguientes ángulos.

Figura 10

3. Con ayuda de la figura 11, demuestre que si L1 k L2 entonces = �+ �.

Figura 11

4. Calcule el \OPQ en la figura 12, si OP es bisectriz del ángulo O, L1 k L2 y PQ ? L1.

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Figura 12

Figura 13

5. En la figura 13, L1 k L2 y L3 k L4. Calcular �.

6. En la figura 14, L1 k L2 y L3 k L4. Calcular x .

7. En la figura 15 calcule el ángulo x , si L1 k L2.

8. Del gráfico 16, calcule la medida del ángulo � si las rectas L1 y L2 son paralelas.

9. En la figura 17, AB k FG. Hallar el ángulo x si el \AMF = 90o y el \MAB = 110o .

10. En la figura 18, l k m. Hallar el valor del ángulo �.

11. SiAB y FG son rectas paralelas, el\ABC = \CDE = �, el\DEF = �2y el\GFH = 150. Calcule

�. Figura 19

12. En la figura 20, hallar el \x si el \AOB = 100 y L1 k L2.

13

Figura 14

Figura 15

Figura 16

1.3. Triángulos. Generalidades

Definición de Triángulo. Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la reunión se lossegmentos AB, BC y AC se llama triángulo ABC y se denota por4ABC. Los puntos A, B y C se llamanvér ces y los segmentos AB, BC y AC se llaman lados. Simbólicamente: 4ABC = AB [ BC [ AC.Todo triángulo ABC determina tres ángulos: \ABC, \ACB y BAC que llamaremos ángulos interiores(o simplemente ángulos) del4ABC, y se llamará ángulo exterior, al ángulo determinado por un lado y la

14

Figura 17

Figura 18

Figura 19

prolongación del lado adyacente; así en la figura 21 se ene que �, � y � son ángulos exteriores.

El perímetro del4ABC es: AB + BC + CA = 2p donde p es el semiperímetro.

Proposición 1.6. En todo triángulo la suma de las medidas de sus tres ángulos interiores es igual a 180o .

Demostración. Ver figura 22.

Proposición 1.7. En todo triángulo la suma de las medidas de sus tres ángulos exteriores es igual a 360o .

Proposición 1.8. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas dedos ángulos del triángulo no adyacentes a él.

15

Figura 20

Figura 21: Elementos del Triángulo

(a) Prueba 1 (b) Prueba 2 (c) Prueba 3

Figura 22

Figura 23: Elementos del Triángulo

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Demostración. Ver figura 23.

Proposición 1.9. En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendido entre la suma y ladiferencia de los otros dos.

Demostración. Se sabe que la menor distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une.Entonces, de acuerdo a la figura124a, b < a + c . Tambien a < b + c . Por tanto, a � c < b < a + c .

(a) (b)

Figura 24

Proposición 1.10. En todo triángulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

Demostración. Sobre el ladoAC, ubicamos el punto P tal que4BPC es isósceles (24b). Entonces\PBC =

\C y \B > \PBC, por tanto, \B > \C.

Clasificación de triángulos

1. Con relación a sus lados, un triángulo se llama:

a) Equilátero, si sus tres lados son congruentes

b) Isósceles, si por lo menos dos de sus lados son congruentes

c) Escaleno, si sus tres lados no son congruentes

2. Con relación a sus ángulos, un triángulo se llama:

a) Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos

b) Rectángulo, si uno de sus ángulos es recto

c) Obtusángulo, si uno de sus ángulos es obtuso

Líneas notables en un triángulo

1. Altura: Se llama altura de un triángulo al segmento que parte de uno de sus vér ces y llega enforma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. Todo triángulo ene tres alturas las cualesconcurren en un punto llamado ortocentro.

2. Mediana: Se llama mediana al segmento que une un vér ce con el punto medio del lado opuesto.Todo triángulo ene tres medianas las cuales concurren en un punto llamado baricentro o centroide.

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3. Mediatriz: Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado en supunto medio. Las mediatrices rela vas a los tres lados de un triángulo son concurrentes en un puntollamado circuncentro.

4. Una Bisectriz: Se llama bisectriz de un triángulo al segmento localizado sobre la bisectriz de un ánguloy limitado por el lado opuesto o su prolongación. La bisectriz construida en un ángulo interior deltriángulo se llama bisectriz interior. Y la bisectriz construida en un ángulo exterior, se llama bisectrizexterior. El punto donde concurren las bisectrices interiores se llama incentro.

Distancia de un punto a una recta

Figura 25

Sea P un punto exterior a una recta L, la longitud de la perpendicular PM a la recta L1 es la distancia delpuntoP a dicha recta. Esta perpendicular ene la propiedad de ser única y su longitud es la distanciamínimadel punto a la recta. Los segmentos PA y PB no son perpendiculares a L y se llaman oblicuas.

El Teorema de Pitágoras

Abordamos el estudio de las Relaciones Métricas, del cual solo realizaremos el análisis del famoso Teoremade Pitágoras, cuyo enunciado es el siguiente:En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Una demostración de este teorema es debida a Thabit ibn Qurra (836-901), la cual consiste en diseccionar lafigura que se forma al construir dos cuadrados de lados respec vamente iguales a los catetos de un triángulorectángulo, como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 26

1El puntoM esta sobre la recta L

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Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados, el triángulo es rectángulo2.

1.4. Construcciones con regla y compás

En las siguientes ac vidades se construyen algunas figuras geométricas usando sólo regla y compás. Unaregla es cualquier instrumento que junto con un lápiz nos permite hacer segmentos de línea recta. Y uncompás es cualquier instrumento que nos permite, dados dos puntos A y B, dibujar la circunferencia decentro A que pasa por B.

1. Dada una recta AB y un punto exterior P a AB, trazar una perpendicular a AB que pasa por P usandoregla y compás.Solución. Se traza la circunferencia de centro P que pasa por A tal como se muestra en la figura27. Sea Q el punto de intersección de esta circunferencia y la recta AB. Con centro en A y Q setrazan circunferencias de igual radio. El punto P’ que resulta de la intersección de éstas dos úl mascircunferencias cumple que que PP’ es perpendicular al segmento AB.

Figura 27

2. Dada una recta AB y un punto P de AB, trazar una perpendicular a AB que pasa por P usando regla ycompás.Solución. Se C1 la circunferencia de centro P que pasa por A tal como se muestra en la figura 28.Sea Q el punto de intersección de esta circunferencia y la recta AB. Con centro en A y Q pasandopor P se trazan las circunferencias C2 y C3. Sean E y F los puntos de intersección de C2 y C3 con C1,respec vamente. Con centro en E y F se trazan circunferencias que se cortan en el punto G. Resultaque la recta GP es perpendicular a AB.

3. Dada una rectaAB y un punto exterior P aAB, trazar una paralela aAB que pasa por P usando reglay compás.

4. Dada una recta AB y tres puntos P ,Q, R, trazar las distancias de éstos a la recta AB.

5. Dado el segmento AB, trazar la mediatriz.

6. Trazar la bisectriz de un ángulo dado.

2Ver demostración en la sección de congruencia de triángulos

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Figura 28

7. Dado el segmento AB, construir un cuadrado de lado AB.

8. Dados los segmentos AB y CD, construir un rectángulo de lados AB y CD.

9. Construir un cuadrado dada su diagonal.

10. Dado un círculo y su centro, inscriba usando un compás un hexágono regular.

11. Dado un círculo y su centro, inscriba usando regla y compás un pentágono regular.

12. Dado un círculo, marque los vér ces de un triángulo equilátero.

13. Construya un triángulo dados los segmentos a, b y c . ¿Se puede hacer esto siempre? ¿Qué condiciónenen que verificar 3 segmentos para que puedan formar un triángulo?

14. Construya un triángulo dados a, b y \C (opuesto al lado c).

15. Construya un triángulo dados a, \B y \C.

16. Construya un triángulo rectángulo dado la hipotenusa y un ángulo cualquiera.

17. Construya un triángulo dados los tres ángulos A, B y C.

18. Construya un triángulo dados los segmentos a, b y b + c .

19. Construya un triángulo dados los segmentos a + b, b � c y c .

20. Dado un triángulo, sólo con regla y compás, construir un triángulo congruente con él.

21. Trazar las alturas de un triángulo. Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

22. Trazar las medianas de un triángulo. ¿Puede quedar el baricentro sobre un lado del triángulo o en suinterior?

23. Trazar las mediatrices de un triángulo y la circunferencia circunscrita (cuyo centro es el punto deintersección de las tres mediatrices, llamado circuncentro). ¿Cuándo el circuncentro está sobre unlado del triángulo? ¿Cuándo está dentro? ¿Cuándo está fuera?

24. Trazar las bisectrices deun triángulo y la circunferencia inscrita (cuyo centro es el puntode intersecciónde las tres bisectrices, llamado incentro)

20

25. En un cuadrilátero convexo se pueden trazar cuatro mediatrices. ¿Cuándo se cortarán en un puntoque equidista de los vér ces?

26. Demuestre que la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es 180o(n � 2).

27. Demuestre que la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es 180o .

28. Sabiendo que el área de un rectángulo de lados a y b es A = ab, demuestre las fórmulas para el áreade las siguientes figuras, mediante descomposición en figuras equivalentes:

Paralelogramo de lados b y h: A = b � h (ver figura 29).

Figura 29

Triángulo de base b y altura h: A =b � h

2(ver figura 30).

(a) (b)

Figura 30

Rombo cuyas diagonales sonD y d :A =D � d

2(ver figura 31).

Figura 31

21

Trapecio de bases B, b y altura h: A =B + b

2� h (ver figura 32).

(a) (b)

Figura 32

Polígono regular de n lados cuyo perímetro i y apotema a son conocidos: A =i � a

2

1.5. Problemas

1. En la figura 33 ambos triángulos son equiláteros. Encuentre el valor de '.

Figura 33

2. En la figura 34, el \ABC = \ACE,DC = EC, ¿Qué línea notable es AD del4ABC?

Figura 34

22

3. Se ene un triángulo isósceles ABC, AB = BC en el cual se traza al altura AF tal que BF = 6 yFC = 2. Hallar AC.

4. La hipotenusa BC de un triángulo rectángulo ABC se divide en 4 segmentos congruentes por lospuntosG,E yH. SiBC = 20, encuentra la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentosAG, AE y AH. Figura 35.

Figura 35

5. Hallar la suma de los ángulos �+ �+ � + � en la figura 36.

Figura 36

6. En la figura 37 determine el valor de la suma \A+ \B + \I + \H + \F + \G.

7. En la figura 38, ABDE es un cuadrado y BCD es un triángulo isósceles con BD = DC. Si \ABC =

160, determinar la medida de \AEC.

8. En la figura 39, ABCD es un rectángulo tal que AB = 2BC. M es el punto medio de AB y lostriángulos AME y MBF son equiláteros. Si P es la intersección de las rectas DE y CF , encuentrelos ángulos del4CDP .

9. Sea ABC un triángulo rectángulo con \CAB = 90. D es un punto sobre la prolongación de BC talque BD = BA. E es un punto en el mismo semiplano que A respecto de BC, tal que CE ? BC yademás CE = CA. Mostrar que A;D y E están alineados (Ver figura 40).

23

Figura 37

Figura 38

Figura 39

10. Dado un cuadrado ABCD, se construyen los triángulos equiláteros ABP (exteriormente) y ADQ(interiormente). Probar que C, P yQ están alineados (41).

11. El cuadrilátero ABCD mostrado en la figura 42 cumple que AB k CD y BC k DA.3 Sobre lasprolongaciones deAB yAD se construyenpuntosE yF tales queBC = BE yDC = DF . Demuestreque C, E y F están alinedos.

3El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

24

Figura 40

Figura 41

Figura 42

12. En la figura 43, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GA. Calcule la medida del \DAE.

13. En la figura 44, AB = AC, AM = AN y \CAM = 30, encuentre el valor del \BMN.

Figura 44

Figura 43

25

1. Aprendizaje inicial de la Lengua es

Congruencia de Triángulos.

Cuadriláteros

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2.1. Triángulos: Criterios de congruencia

Definición de Congruencia de triángulos. El 4ABC es congruente al4A0B 0C 0 si:AB = A0B 0 ,AC = A0C0 ,BC = B0

C0 ,\ABC = \A0B0

C0 ,\ACB = \A0

C0B

0

y\BAC = \B0A0

C0 . Simbólicamente:4ABC =

4A0B0C0 .

La definición anterior establece que dos triángulos son congruentes si tanto los lados como los ángulos se

Figura 45

presentan en pares congruentes.

El primero de los tres criterios de congruencia de triángulos que establece condiciones mínimas para lacongruencia de dos triángulos se denomina criterio de LADO-ÁNGULO-LADO, en símbolos: L-A-L.

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Criterio L-A-L. Si los triángulos ABC y A0B0C0 presentan las congruencias: AB = A0B0, AC = A0C0 y\BAC = \B0A0C0, entonces4ABC = 4A0B0C0.Según el criterio L-A-L, dos triángulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el ángulo

Figura 46

comprendido (entre dichos lados), respec vamente congruentes a dos lados y el ángulo comprendido (entredichos lados), en el otro triángulo.Criterio A-L-A. Sean ABC y A0B0C0 dos triángulos tales que: AC = A0C0, \BCA = \B0C0A0 y \BAC =

\B0A0C0, entonces4ABC = 4A0B0C0.Criterio L-L-L. Si un triángulo ene sus tres lados respec vamente congruentes a los tres lados de otro

Figura 47

triángulo, entonces estos dos triángulos son congruentes.

Figura 48

Ahora demostraremos el Recíproco del Teorema de Pitágoras.Demostración: SeaABC un triángulo talqueBC2 = AB2+AC2, por construcción sea el4A0B0C0 rectánguloen A0 tal que A0B0 = AB y A0C0 = AC, entonces por el teorema de Pitágoras B0C02 = A0B02 + A0C02, así

28

queB0C02 = BC2, de dondeB0C0 = BC y por el criterio LLL, se deduce que el4A0B0C0 = 4ABC, por lotanto el \BAC = \B0A0C0 = 90.

2.2. Teorema de la base media

Proposición 2.1. En todo triángulo, el segmento que une los puntosmedios de dos lados es paralelo al tercerlado e igual a su mitad.

Figura 49

En la figura 49, MN es el segmento que une los puntos medios de los lados AB y BC del 4ABC, a este

segmento se le llama BASE MEDIA DEL TRIÁNGULO. Se verifica queMN =AC

2y queMN k AC.

Demostración. 1. Prolongar el segmentoMN hasta el punto P tal queMN = NP .

2. Los triángulosMNB y PNC son congruentes, ya queBN = NC,MN = NP y el\NCP = \MBN,por consiguiente, el \NCP = \MBN, por lo tanto, CP k MB (Por ángulos alternos internosiguales). Además, PC = MB = MA; con lo cual se ene que:MA = PC.

3. Uniendo el punto A con el punto P se forman los triángulos congruentes AMP y ACP (por L A L) yaqueMA = PC, AP = AP , \MAP = \APC (por ángulos alternos internos entre las paralelasMA

y PC). Luego, MP = AC, entonces NP = 1

2MP = 1

2AC. Además, \PAC = \MPA, de donde

MP k AC o queMN k AC.

Proposición 2.2. En todo triángulo rectángulo, la mediana rela va a la hipotenusa es lamitad de la longitudde la hipotenusa y es la menor de las tres medianas del triángulo.

Demostración. En la figura 50,BM es la mediana rela va a la hipotenusa AC del4ABC, probaremos queBM = AC

2; (con lo cual se tendrá que BM = AM = MC). Si porM se traza una paralela al lado AB, que

corte al lado BC en N, entonces N es el punto medio de BC y el \MNC = 90, los triángulos BNM yCNM son congruentes por el criterio L-A-L, luegoMB = MC = AM.Probar que BM es la menor mediana (ejercicio).

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Figura 50

2.3. Problemas

1. Dado un triángulo equilátero ABC, se construye un triángulo equilátero DEF cuyos vér ces estánsobre los lados del4ABC, tal comomuestra la figura 51. Demuestre que los triángulos ADF ,BED,CFE son todos congruentes entre si.

Figura 51

2. ABCD es un cuadrado, E, F , G yH son puntos sobre los lados AB,BC, CD,DA, respec vamente,tal que EFGH también es cuadrado. Demuestre que los triángulos AEH, BFE, CGF , DHG sontodos congruentes entre si (Ver figura 52).

Figura 52

30

3. Dos cuadrados ABCD y EHGF , ambos de lado l , están colocados en manera tal que un vér ce deuno está en el centro del otro (véase la figura 53). Demuestre que el área del cuadrilátero EJBK esl2

4y por ende no depende de la posición de J (oK).

Figura 53

4. ABCDE y FGHIJ son pentágonos regulares (Vease figura 54). Demuestre que los triángulos AFJ,BGF , CHG,DIH, EJI son todos congruentes entre si.

Figura 54

5. Demuestre que dos triángulos desplazados son congruentes.

6. Demuestre que dos triángulos rotados son congruentes.

7. Demuestre que dos triángulos reflejados con respecto a un punto 4 son congruentes.

8. Demuestre que dos triángulos reflejados con respecto a una recta son congruentes.

Conclusión: Las traslaciones, rotaciones y reflexiones no cambian el tamañoni la formadeun triángulo.

9. En la siguiente 55, ABC, CDE yEFA son triángulos isósceles, con el\ABC = \CDE = \EFA =

120. Probar que el4BDF es equilátero.4La reflexión con respecto a un punto es equivalente a una rotación de 180o

31

Figura 55

10. En un4ABC el \B = 2\C, la mediatriz del lado AC corta en F al lado BC. Hallar AB, si BF = 3

y FC = 9.

11. En la figura 56, ABC es un triángulo equilátero y CDEF es un cuadrado. Se construye un punto Gtal que CF = CG y además \CFG = 15. Probar que \AGC = \BDC.

Figura 56

12. En la figura 57, ABCD un cuadrado y EF ? GH. Demuestre que que EF = GH.

Figura 57

13. Sea ABCD un cuadrado. Se construyen triángulos equiláteros ADP y ABQ como se muestra en la

32

figura 58. SeaM la intersección de CQ con AD y N la intersección de CP con AB. Demuestre queCMN es un triángulo equilátero.

Figura 58

14. En la figura 594ABC es un triángulo isósceles con\ABC = \ACB = 80.D es un punto en AC talque \ABD = 10. Demuestre que AD = BC.

Figura 59

2.4. Cuadriláteros: Clasificación y propiedades

Sean A, B, C y D cuatro puntos tales que cualquiera terna de puntos ene la propiedad de no ser colineales,entonces a la reunión de los segmentos AB, BC, CD y DA se denomina cuadrilátero ABCD. Los puntos A, B, Cy D se llaman vér ces y los segmentos AB, BC, CD y DA se llaman lados. Obsérvese que estos lados solo seintersectan en sus extremos. En todo cuadrilátero se pueden trazar dos diagonales (ver figura 60).Los cuadriláteros pueden clasificarse de acuerdo a sus diagonales de la siguiente forma:

Cuadrilátero convexo: Es un cuadrilátero con las dos diagonales en su interior.

Cuadrilátero no convexo: Es un cuadrilátero con una diagonal en el interior y otra en el exterior.

Proposición 2.3. La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360o (ver figura 60).

También hay otra clasificación de cuadriláteros de acuerdo a sus lados y ángulos.

33

Figura 60

Cuadrilátero Equiángulo:Un cuadrilátero (convexo) es equiángulo si todos sus ángulos internos son iguales;dado el teorema anterior, los ángulos son iguales a 90o , por ello este cuadrilátero es llamado rectángulo.

Cuadrilátero Equilátero: Un cuadrilátero (convexo) es equilátero si todos sus lados son iguales. A estecuadirátero también se le conoce como rombo.

Cuadrado: Es un cuadrilátero que es equiángulo y equilátero.

Paralelogramo: Es un cuadrilátero con los lados opuestos paralelos.

Trapecio: Es un cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos.5

Paralelogramos

Dado el paralogramos ABCD, por propiedades de ángulos entre paralelas se ob ene (ver figura 61a):

Proposición 2.4. Los ángulos opuestos son iguales y los ángulos consecu vos son suplementarios, es decir,\ABC = \CDA = � y \BCD = \DAB = 180� �.

Por otra parte, por criterio ALA,4ABC � 4CDA; esto implica que AB = CD y BC = DA.

Proposición 2.5. Los lados opuestos de un paralogramos son iguales.

(a) Paralelogramo (b) Rectángulo (c) Rombo

Figura 61

5Note que un paralelogramo es también un trapecio.

34

A par r de esto, si M es la intersección de AC con BD, por criterio ALA, 4ABM � 4CDM, por lo queAM = CM y BM = DM.

Proposición 2.6. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

Además, se cumple un resultado sofis cado y muy importante:

Proposición 2.7. Ley del Paralelogramo. Si ABCD es un paralelogramo entonces el doble de la suma delos cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales, es decir,

2(AB2 + BC2

)= AC2 + BD2

Figura 62

Demostración. Considerando la figura 62, se ene:

AC2 = (AD +DP )2 + CP 2 = AD2 + 2AD �DP +DP 2 + CP 2

= AD2 + 2AQ �DP + 2QD �DP +DP 2 + CP 2

BD2 = BQ2 +QD2

AC2 + BD2 = AD2 + (QD +DP )2 + 2(DP 2 + CP 2)

= 2(AD2 +DC2)

= 2(AB2 + BC2)

Rectángulos

En primer lugar, es importante notar que todo rectángulo es paralelogramo (por ángulos entre paralelas),por lo que todos los resultados probados anteriormente sonheredados a todo rectángulo; pero los rectángulosenen propiedades adicionales.

Observe que por criterio LAL,4ABC � 4ABD, por lo que AC = BD (ver figura 61b), entonces

Proposición 2.8. Las diagonales de un rectángulo son iguales; además, el punto de intersección equidistade los cuatro vér ces y por tanto es el centro de una circunferencia que pasa por todos los vér ces.

Por otra parte, observe que si se aplica la ley del paralelogramo a un rectángulo se ob ene el Teorema dePitágoras.

35

Rombos

Dado un romboABCD (ver figura 61c), por criterio LLL,4ABC � 4CDA, y por lo tanto\BAC = \DCA

y \BCA = \DAC, lo cual implica BC k AD y AB k CD, i.e., todo rombo ABCD es un paralelogramo.Además, por las mismas congruencias se ene:

Proposición 2.9. Las diagonales de un rombo cumplen ser una mediatriz de la otra.

Proposición 2.10. Las diagonales de un rombo bisecan a los ángulos interiores del rombo; esto implica que elpunto de corte de las diagonales equidista de los cuatro lados del rombo y es el centro de una circunferenciatangente a estos.

2.5. Trapecios

Figura 63

Dadoel trapecioABCD (conAB k CD), se construyen los puntosmedios deBC yDA,M yN, respec vamente.Si el cuadriláteroMNAB se rota con centro enM y ángulo180 se genera un cuadriláteroMN 0A0C (ver figura63); observe que ND = N 0A0 y ND k N 0A0, por lo queDNN 0A0 es un paralelogramo y

NN 0 = DA0

2MN = DC + CA0

2MN = DC + AB

) MN =AB + CD

2

El segmentoMN es llamado base media del trapecio. Así se ha demostrado que:

Proposición 2.11. La base media de un trapecio es igual a la semisuma de las bases.

(a) Recta 1 (b) Recta 2 (c) Recta 3

Figura 64

36

Por otra parte, hay ciertos trapecios que reciben nombres par culares; el trapecio rectángulo es aquel quelas bases son perpendiculares a alguno de los otros lados; y por otra parte, el trapecio isósceles es aquel quelos lados (dis ntos de las bases) enen igual longitud.6

2.6. Problemas

1. Dado el trapecio ABCD con AB k CD, demuestre que la bisectriz interior del \A es paralela a labisectriz exterior del \D.

2. Demuestre que las bisectrices interiores de un paralelogramo forman un rectángulo (¿qué sucede siel paralelogramo es además rombo?).

3. Demuestre que las bisectrices exteriores de un paralelogramo forman un rectángulo.

4. Sea ABCD un paralelogramo. Se construyen triángulos equiláteros exteriores 4CDP y 4ADQ.Demuestre que el4BPQ es equilátero (ver figura 65).

Figura 65

5. SeaABCD un cuadrado (ver figura 66). Se construyen los triángulos equiláterosBDA0,ACB0,BDC0

y ACD0. Demuestre que el A0B0C0D0 es también un cuadrado.

6. Sea ABCD un paralelogramo. La bisectriz interna del \CDA corta a BA enM, y la bisectriz internadel \BAD corta a CD en N. Demuestre que ADNM es un rombo.

7. Demuestre que si por el puntode intersecciónde las diagonales deun rombo se trazanperpendicularesa los lados del rombo, entonces los puntos de intersección de dichas perpendiculares con los ladosdel rombo forman un rectángulo.

8. Demuestre que las bisectrices de los ángulos definidos por las diagonales de un rombo, cortan a loslados del rombo en cuatro puntos que forman un cuadrado.

6Los trapecios isósceles son muy importantes cuando se estudian los ángulos en la circunferencia; resulta que un trapecio esisósceles si y sólo si los cuatro vér ces se ubican sobre una misma circunferencia.

37

Figura 66

9. En un 4ABC sea G la intersección de las medianas BB0 y CC0. Sean B00, C00 las reflexiones de Grespec vas a los puntos B0 y C0.

a) Demuestre que AGCB00 y AGBC00 son paralelogramos.

b) A par r de lo anterior, demuestre que BCB00C00 también es paralelogramo.

c) Demuestre que A0 pertenece a la recta AG, y concluya que las tres medianas de un triánguloconcurren en el punto G, llamado el centroide del4ABC.

d) Demuestre que CG = 2GC0; relaciones similares se cumplen para las otras dos medianas.

10. En la figura 67, ABCD y AECF son paralelogramos. Demuestre que BEDF es paralelogramo.

Figura 67

11. Teorema de Varignon: Dado un cuadriláteroABCD convexo (ver figura 68), se construyen los puntosmedios L,M, N,O, P ,Q, de los segmentos de recta AB, BC, CD,DA, BD, AC, respec vamente.

a) Demuestre que LMNO, LPNQ,OPMQ, son paralelogramos.

b) Demuestre queLN,OM,PQ concurren enunpunto, llamadoel centroidedel cuadriláteroABCD.

38

Figura 68

c) Demuestre que el perímetro de LMNO es igual aAC+BD; resultados similares se cumplen paralos otros paralelogramos.

12. ABCD es un cuadrilátero conexo yO es un punto en su interior. Sean P ,Q,R, S, los puntos mediosde los lados AB, BC, CD, DA, respec vamente. Por P se traza una paralela a OR, por Q se trazauna paralela aOS, por R se traza una paralela aOP , y por S se traza una paralela aOQ. Demuestreque estas cuatro rectas concurren.

13. Sea ABCD un paralelogramo tal que existe un punto E sobre el lado AB que cumple \CED = 90.SeanM y N los pies de las perpendiculares trazadas desde A y B hacia DE y CE, respec vamente.Demuestre que AC, BD yMN concurren.

14. Un trapecio isósceles ene diagonales perpendiculares y su área es 2010, determine su altura.

15. SeaABCDEF un hexágono regular cuyo centro esO. Se construyen los cuadrados FSOP yORCQ.Demuestre que APQB y SEDR son rectángulos.

16. Sobre los lados del4ABC se trazan exteriormente los cuadrados ABPQ, CARS yBCTU. Luego setrazan los paralelogramos AQA0R, CSC0T y BUB0P (ver figura 69).

a) SeanA00,B00,C00 los centros de los cuadradosBCTU,CARS,ABPQ, respec vamente. Demuestreque estos centros están sobre los lados del4A0B0C0.

b) Demuestre que AA00, BB00, CC00 concurren.

17. De lo anterior, observe que AA00 es mediatriz de B0C0, por lo que AA00, BB00, CC00 concurren en elcircuncentro del4A0B0C0.

18. Se dibujan cuadrados exteriores a los lados de un paralelogramo (ver figura 70), demuestre que:

a) El cuadrilátero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.

b) Las diagonales de ese cuadrado son concurrentes con las del paralelogramo.

39

Figura 69

Figura 70

19. Dado un4ABC, se construyen exteriormente los triángulos rectángulo isósceles4ACP y4BCQ,con AC y BC como hipotenusas. SiM es el punto medio de AB, demuestre que el4MPQ tambiénes un triángulo rectángulo isósceles (ver figura 71).

.

40

2. Aprendizaje de la lectura inicial

La circunferencia y sus elementos

41

Figura 71

Si A y B son dos puntos de una circunferencia, el segmento de rectaAB define una cuerda; en par cular,si el centro de la circunferencia pertenece a la cuerda, ésta es llamada diámetro. Es importante mencionarque para cada punto de la circunferencia existe exactamente un punto diametralmente opuesto.

En la figura 72, se ene una circunferencia de centro O y radio r = OA = OB = OA 0; AB y AA0 soncuerdas, pero AA0 es también diámetro, i.e, A0 es diametralmente opuesto aA y viceversa. Observe quepor la desigualdad triangular aplicada al triángulo isósceles4AOB

Figura 72

AB < AO+ BO

= r + r

= AA0

Si A es un punto fijo, esta desigualdad es válida para cualquier punto B sobre la circunferencia (exceptocuando B = A0 lo cual implica AB = AA0). Esto quiere decir que el diámetro es la mayor de todas lascuerdas.

estos puntos quedan ”al interior” o sobre la circunferencia.;círculoPor otra parte, todos los puntos que están a una distancia del centromenor o igual al radio forman el

radiode la circunferencia; la distancia de cada punto de la circunferencia al centro es elcentroes el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto dado, llamado elcircunferenciaUna

3.1. Generalidades. Ángulos en la Circunferencia

42

Los puntos extremos de una cuerda determinan dos porciones de la circunferencia que se excluyen; se lesllama arcos de circunferencia o arcos correspondientes a la cuerda o arcos subtendidos por la cuerda. Parareferirnos a ellos sin posibilidad de ambiguedad, situaremos puntos auxiliares; así, diremos, por ejemplo,arco APB y arco AQB.También, si un ángulo ene vér ce sobre el centro de la circunferencia y está formado por dos radios, serállamado ángulo central; de nuevo, \AOB hace referencia a dos ángulos, cuya suma es 360, y sub endenrespec vamente a uno de los arcos AB. Finalmente, si un ángulo ene el vér ce sobre la circunferenciay está formado por dos cuerdas, será llamado ángulo inscrito; en la figura anterior, \AA0B es un ánguloinscrito que sub ende al arco AB.

Ac vidad

1. Recortar varias circunferencias y haciendoplieguesmostrar los siguientes elementos de la circunferenciasy algunas relaciones entre ellos:

a) Cuerdas, diamétros, radio.

b) Determinacióndel centro: Construir una cuerda y su puntomedio. Luego, construir la perpendiculara la cuerda por el punto medio.

c) Comprobar que si las cuerdas son iguales entonces son iguales los y las distancias del centro alas cuerdas.

2. Recortar y superponer un ángulo central y uno periférico que sub enden elmismo arco. ¿Qué relaciónhay entre ellos?

Proposición 3.1. El ángulo central es el doble del ángulo inscrito que sub ende el mismo arco.

Demostración. Considere la figura 73, se demostrará que \AOB = 2\APB en los tres casos mostrados.En la circunferencia de la izquierda, sea P 0 el punto diametralmente opuesto a P ; observe que 4APO y4BPO son triángulos isósceles, y por el teorema del ángulo externo se ene

\AOB = \AOP 0 + \BOP 0

= (\APO + \OAP ) + (\BPO + \OBP )

= 2\APO + 2\BPO

= 2 (\APO + \BPO)

= 2\APB

El caso de la circunferencia del medio se ene que \AOB = \OPB + \PBO = 2\OPB = 2\APB.Para la circunferencia de la derecha, el trabajo es análogo y sólo cambia en un pequeño arreglo algebraico

\AOB = \BOP 0 � \AOP 0

= (\BPO + \OBP )� (\APO + \OAP )

= 2\BPO � 2\APO

= 2 (\BPO � \APO)

= 2\APB

Se deja de ejercicio hacer la demostración para un ángulo periférico obtuso y un ángulo periférico tangencial.

43

Figura 73

Proposición 3.2. Todos los ángulos inscritos que sub enden el mismo arco son iguales. En par cular, losángulos internos son iguales a 90 si sub enden a una semicircunferencia.

Figura 74

Demostración. Todos los ángulos mostrados en la figura 74 son iguales a la mitad del \AOB y, por tanto,son iguales entre sí. En par cular, si AB fuera un diámetro, \AOB = 180 y por tanto \APB = 90.7

Hay un par de ángulos más que son importantes: Si un punto P es interno a la circunferencia, el ángulode vér ce P formado por dos cuerdas que pasan por P se llama ángulo interior. De forma similar, si P esexterior y dos cuerdas de la circunferencia (al prolongarse) pasan por P , el ángulo con vér ce P es llamadoángulo exterior.

Teorema 3.1 (Teorema de Pitágoras). La suma de los cuadrados de dos cuerdas que enen uno de susextremos en los de un diámetro, y el otrosen un mismo punto de la circunferencia, es igual al cuadradodel diámetro (ver figura 75).

Ac vidad

1. Medida del ángulo interior:

7Observe que en cualquier triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vér ces.

44

Figura 75

a) Recortar los ángulos centrales correspondientes a DQB y AQC:BOD y AOC.

b) Construir el ángulos suma y bisecarlo.

c) Superponer el ángulo interior y este ángulo semisuma.

2. Medida del ángulo exterior:

a) Recortar los ángulos centrales correspondientes a los arcos AC y DB: AOC y BOD.

b) Construir el ángulos diferencia y bisecarlo.

c) Superponer el ángulo exterior y este ángulo semidiferencia.

Proposición 3.3. Los ángulos interior y exterior mostrados en la figura 76 cumplen las fórmulas siguientes:

\AQC =\BOD + \AOC

2

\APC =\BOD � \AOC

2

(a) Ángulo interior \AQC (b) Ángulo exterior \APC

Figura 76

Demostración. En la figura 76 se ene:

\AQC = \DQB = \QCB + \QBC = \DCB + \ABC =\BOD + \AOC

2

\DAB = \APC + \ABC ) \APC = \DAB � \ABC =\BOD � \AOC

2

45

3.2. Cuadriláteros cíclicos

Ahora suponga que sobre una circunferencia se ubican cuatro puntos A, B, C, D, como muestra la figura77. Al cuadrilátero ABCD se le llama cuadrilátero cíclico o concíclico. Observe que

\ABC + \CDA =�

2+�

2= 180o :

Figura 77

Y análogamente \DAB + \BCD = 180. Esto significa que si ABCD es un cuadrilátero cíclico y convexo,entonces los ángulos opuestos son suplementarios. También, es posible demostrar por contradicción elrecíproco de este resultado: si suponemos que ABCD es tal que \B + \D = 180 pero no es cíclico,se define el punto D0 como la otra intersección de AD con el circuncírculo del4ABC, y como ABCD0 escíclico (por construcción) entonces \B + \D0 = 180, luego, \D = \D0, lo cual implica la contradicciónCD k CD0 (rectas paralelas que se cortan en C). Así, se ha demostrado el siguiente teorema:

Teorema 3.2. El cuadrilátero convexo ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si

\A+ \C = 180 = \B + \D

También, otro criterio muy ú l es el siguiente:

Teorema 3.3. El cuadrilátero convexo ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si se cumple alguna de lassiguientes igualdades

\ABD = \ACD

\BCA = \BDA

\CAB = \CDB

\DAC = \DBC

o

\DCA = \DBA

\ACB = \ADB

\BAC = \BDC

\CBD = \CAD

46

Figura 78

Demostración. Si el cuadrilátero es cíclico, la conclusión siguedel hechodeque ángulos inscritos que sub endenel mismo arco son iguales. Para el recíproco, observemos lo siguinete:

\ABD + \DBC + \BCA+ \CAB = 180o

\ADB + \BDC + \ACD + \CAD = 180oy

\DCA+ \ACB + \CBD + \BDC = 180o

\DAC + \BAC + \ABD + \BDA = 180o

Es importante recalcar que NO todo cuadrilátero puede ser inscrito en una circunferencia; por ejemplo, unparalelogramo no será cíclico a menos que sea rectángulo.

3.3. Rectas y circunferencias tangentes a una circunferencia

Dada una circunferencia, una recta puede ser tangente o secante a la circunferencia, dependiendo si lacorta en uno o dos puntos, respec vamente; en cualquier otro caso, se dice que la recta no corta a lacircunferencia.

Sea l una recta secante a la circunferencia que corta a la circunferencia en A y B (A 6= B); como el4AOBes isósceles, \OAB < 90. Recíprocamente, si por A se traza una recta l tal que uno de los ángulos queforma con OA es menor que 90, se puede construir un punto B sobre l tal que \OAB = \ABO < 90 yA 6= B (basta proyectarO sobre l y luego reflejar A con respecto a este punto, el resultante es el puntoB);entonces el4AOB es isósceles, por lo queOA = r = OB, i.e.,B pertenece a la circunferencia y por tantol corta a la circunferencia en dos puntos dis ntos. Así

Proposición 3.4. Una recta l corta a una circunferencia de centro O en dos puntos dis ntos A y B si y sólosi un ángulo entre l y OA es agudo.

Proposición 3.5. Si l es una recta tangente en A a una circunferencia de centro O, ninguno de los ángulosentre l yOA puede ser agudo, y por tanto l ? OA.

A par r de este resultado se prueban otros resultados muy conocidos y ú les, que dejamos de ejerciciospara el lector.

Proposición 3.6. Dado un punto P externo a una circunferencia de centro O, si PA y PB son segmentostangentes a la circunferencia enA yB, respec vamente, entonces el cuadriláteroPAOB es cíclico y bisósceles.

47

Proposición 3.7. Dado un punto P externo a una circunferencia de centroO, la circunferencia de diámetroPO corta a la circunferencia dada en dos puntos A y B tales que PA y PB son rectas tangentes.

Definición: El ángulo semi-inscrito en una circunferencia es aquel que se forma con una cuerda y la rectatangente en alguno de los extremos de la cuerda.

Proposición 3.8. La medida del ángulo semi-inscrito definido por la cuerda AB es igual a la medida de unángulo inscrito que sub ende al arco AB.

Demostración. Considere la figura 79. Como APBO es cíclico, entonces \PAB = \POB; además, comoPO es la media z de AB, \POB = \POA, por lo que

\PAB =\AOB

2= \AQB

Figura 79

Por otra parte, dada una circunferencia, otra circunferencia puede ser secante o tangente a la primera,dependiendo si la corta en uno o dos puntos, respec vamente; en cualquier otro caso se dice que lascircunferencias no se cortan.8

Además, dos circunferencias pueden posicionarse una dentro de la otra, y claramente, la circunferenciade radio mayor es la externa mientras que la otra es la interna; par cularmente, si las circunferenciasenen el mismo centro se llaman concéntricas. Finalmente, combinando estas definiciones se enen las

circunferencias tangentes exteriormente y las tangentes interiormente.

Proposición 3.9. Dadas dos circunferencias de centrosO1 yO2 que se cortan en dos puntos dis ntos A yB,se cumple que O1O2 ? AB.

Proposición 3.10. Si dos circunferencias de centrosO1 yO2 son tangentes en A, se cumple queO1, A yO2

están alineados.

Proposición 3.11. a) Dos circunferencias, una dentro de la otra, no enen rectas tangentes en común.

8También acá puede considerarse a las circunferencias tangentes como un caso especial de circunferencias secantes en el cuallos puntos de corte coinciden.

48

b) Dos circunferencias tangentes interiormente enen una recta tangente común.

c) Dos circunferencias secantes (en dos puntos dis ntos) enen dos rectas tangentes en común.

d) Dos circunferencias tangentes exteriormente enen tres rectas tangentes en común.

e) Dos circunferencias no secantes y tal que ninguna con ene a la otra, enen cuatro rectas tangentes encomún.

3.4. Problemas

1. Si el \MPQ = 20, determine el valor del \QON en la figura 80.

Figura 80

2. Dado un ángulo inscrito BAC, y su ángulo central BOC, se sabe que \BAC + \BOC = 180o .Calcular el \OBC.

3. En la figura 81,BCDO es un rombo. Determine el valor del ángulo � y la medida de las diagonales deBCDO si el radio de la circunferencia mide 6.

Figura 81

4. Un cuadrilátero cíclico ABCD sa sface \ABC = 2\CDA = �. Calcule �.

5. En la figura 82, PR es una tangente común. Calcule el valor del \PQR.

6. En la figura 83, el \AFE = 100 y el \BCD = 150. Calcule el \AGB.

49

Figura 82

Figura 83

7. Dado un ángulo \AOB, se trazan dos rectas l ? OA ym ? OB. Si P es el punto de corte de l ym,demuestre que A, B,O, P se ubican sobre una misma circunferencia.

8. Las bisectrices BP y CQ del4ABC se cortan en I. Demuestre que si \BAC = 60 entonces4PQIes isósceles.

9. En la figura 84 se ha tomado un punto C sobre la circunferencia; AC y BC cortan a la segundacircunferencia enD y E respec vamente. Probar queOC ? DE.

Figura 84

50

10. Dada la figura 85, demuestre que AB k A0B0.

Figura 85

11. En la figura 86, CR es una recta tangente en C, demuestre que AB k CR.

Figura 86

12. Dos circunferencias �1 y �2 son tangentes (interior o exteriormente) en P (ver figura 87). Dos rectasque pasan por P cortan a �1 y �2 en A y C, y en B yD, respec vamente. Demuestre que AB k CD.

Figura 87

51

13. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en un punto P ; poreste punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en A y B, respec vamente.Demuestre que AO1 k BO2.

14. Dos circunferencias son tangentes externamente en el punto A. Una tangente exterior común toca auna circunferencia en B y a la otra en C. Demostrar que \BAC = 90.

15. En la figura 88, DE es tangente en D, y C es el punto medio del arco AD. Encuentre el valor delángulo seminscrito ADE.

Figura 88

16. Determine el valor del \DCF , sabiendo BE es tangente en el puntoD a la circunferencia de centroO. Ver Figura 89.

Figura 89

17. Si el \AEB = 30, \ADE = 20 y \ACE = 35, calcule el \AFB. Véase figura 90.

18. Dada una circunferencia de diámetro BC, se toma un punto P en la prolongación de BC, y se trazala tangente AP . Si AP = AB y O es el centro de la circunferencia, demuestre que el 4AOC esequilátero.

52

Figura 90

19. Dadas dos circunferencias una fuera de la otra, demuestre que las tangentes comunes externas formansegmentos iguales; análogamente, las tangentes comunes internas forman segmentos iguales.

20. Teorema de Pithot. Demuestre que en todo cuadrilátero inscribible, la suma de lados opuestos esigual.9

21. Teoremade Steiner. En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudesde lados opuestos es igual.

22. Demuestre que el cuadrilátero convexo ABCD es inscribible si y sólo si los incírculos respec vos de4ABC y4CDA son tangentes.

23. Demuestre que las bisectrices internas de un cuadrilátero son concurrentes si y sólo si es inscribible.

24. Demuestre que todo rombo es inscribible.

25. En la figura 91, AB es una cuerda y por D se traza una recta tangente a la circunferencia paralela aAB. Demuestre que CD es bisectriz del \ACB.

Figura 91

26. Determine las medidas de \ACB y \ACO en la figura 92

27. En la figura 93, ABCD es un trapecio isósceles con AB k CD y DA = BC = 2; tomando DA yBC como diámetros, se construyen dos circunferencias tangentes. SiDC = 3AB, calcule el área deltrapecio.

9El recíproco de este teorema y del siguiente son también es ciertos.

53

Figura 92

Figura 93

28. La figura 94 está formada por un paralelogramo y dos circunferencia tangentes entre sí y tangentesa tres lados del paralelogramo. Sabiendo que el radio de las mismas mide la cuarta parte del ladomenor del paralelogramo, calcule la razón entre el lado mayor del paralelogramo y el radio de lascircunferencias.

Figura 94

29. En la figura 95, ABCDEF es un hexágono regular y las circunferencias de centro en los vér ces sontangentes dos a dos. Si las circunferencias sobre los vér ces B, D, F son iguales, demuestre que lascircunferencias restantes son iguales.

30. Alrededor de una circunferencia se construyen diez circunferencias tangentes a la original y tangentesentre sí (ver figura 96). Demuestre que la suma de las áreas de las diez circunferencias es el doble delárea de la circunferencia mayor.

31. Teorema de Miquel: Dado un 4ABC, sean X, Y , Z puntos sobre AB, BC, CA, respec vamente.Demuestre que los circuncírculos de4AXZ,4BY X,4CZY enen un punto en comúnM.

54

Figura 95

Figura 96

32. Sea ABC un triángulo, y sean L yN las intersecciones de la bisectriz del ángulo A con el ladoBC y elcircuncírculo de ABC respec vamente. Construimos la intersecciónM del circuncírculo de ABL conel segmento AC. Prueba que los triángulos BMN y BMC enen la misma área.

33. SeaAB el diámetro deuna semicircunferencia. Se colocan los puntosM yK sobre la semicircunferenciay sobreAB, respec vamente (ver figura 97).10 Sea P el centro de la circunferencia que pasa porA,KyM; seaQ el centro de la circunferencia que pasa porB,K yM. Demuestre queMPKQ es concíclico.

34. Las circunferencias �1 y �2 se cortan en los puntosA yB (ver 98). Por el puntoA se traza una recta quecorta nuevamente a las circunferencias �1 y �2 en los puntos C yD, respec vamente. Por los puntosC y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se cortan en el punto M. Demuestra que

10M yK son dis ntos de A y B.

55

Figura 97

MCBD es cíclico.

Figura 98

35. El4ABC cumple que \B = 90 y AB = BC. Se toma un punto E del segmento AB, se construyeinteriormente un triángulo equilátero AEF . EF corta AC en I, y se construye exteriormente untriángulo equilátero BIJ. Encuentre \EJB (ver figura 99).

36. En la figura 100, se sabe que \AO1B � \AO2B = 70� y además la tangente EB forma el triánguloisósceles ABE, con AB = AE. Encuentre \EBC.

37. Dos circunferencias�1 y�2 se cortan enA yB. Una recta porA corta a�1 y�2 enC yD, respec vamente,y la paralela a CD porB corta �1 y �2 enE y F , respec vamente. Demuestre que4CDB � 4EAF(ver figura 101).

38. La Recta de Simson-Wallace. Sean X, Y y Z los pies de las alturas trazadas desde un punto P enel circuncírculo del 4ABC hacia AB, BC y CA, respec vamente. Demuestre que X, Y y Z estánalineados (ver 102).11

11El recíproco también es cierto, si X, Y y Z están alineados, entonces P debe estar sobre el circuncírculo del 4ABC; en

56

Figura 99

Figura 100

39. Sea P un punto exterior al cuadrado ABCD tal que\APC = 90�,Q es la intersección de AB y PC,yR el pie de la perpendicular porQ a CA (ver figura 103). Demuestre que P ,R yD están alineados.

40. En un triángulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, conD sobre AC. Sean E y F puntossobre la rectaBD tales que (AE k CF ) ? BD, y seaM el punto sobre el ladoBC tal queDM ? BC

(ver figura 104). Demuestre que \EMD = \DMF .

41. Sea S una circunferencia y AB un diámetro de ella. Sea t la recta tangente a S en B y considere dospuntos C y D en t tales que B este entre C y D. Sean E y F las intersecciones de S con AC y AD ysean G y H las intersecciones de S con CF yDE (ver figura 105). Demuestre que AH = AG.

42. Sea ABC un triángulo yD el pie de la altura con respecto a A (ver figura 106). Sean E y F puntos enuna recta que pasa por D (dis ntos de D) tales que AE ? CE y AF ? BF . SeanM y N los puntos

cualquier otro caso, el4XY Z se llama el triángulo pedal con respecto al punto P .

57

Figura 101

Figura 102

Figura 103

medios de BC y EF , respec vamente. Demuestre que AN ? NM.

43. Considere un cuadrado ABCD y un punto E sobre el lado AB. La diagonal AC corta al segmento

58

Figura 104

Figura 105

DE en el punto P . La perpendicular por P a DE corta al lado BC en F (ver figura 107). Probar queEF = AE + CF .

:

59

4.

Semejanza de Triángulos.

Puntos y rectas notables del triángulo

60

Figura 106 Figura 107

a y d se les llama extremos y los términos b y c se les llama medios, al término d se le llama cuartaproporcional entre a, b y c en este orden.

Propiedades de las proporciones:

1.a

b=

c

dsi y sólo si a� c = b� d .

2.a

b=

c

dsi y sólo si

b

a=

d

coa

c=

b

d.

3.a

b=

c

dsi y sólo si

a � b

b=

c � d

d.

4.a

b=

c

dsi y sólo si

a + b

a � b=

c + d

c � d.

4.2. Paralelismo y proporcionalidad. Teorema de Thales

Definición 4.2.

”.des accomobes aaque se lee ”dc::b

:

aEn algunos textos de geometría se u liza la notación de proporción así12

a los términos12,dc=

ba2. Proporción: Se llama proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo

.ba

1. Razón: Se llama razón, al cociente de dos can dades, expresadas en la misma magnitud, por ejemplo

Definición 4.1.

4.1. Proporciones

61

Figura 108

1. Un punto P 2 AB divide al segmento AB en una razón dada r , si PAPB

= r .

2. Sean AB y CD dos segmentos, y sean P 2 AB yQ 2 CD, decimos que P yQ dividen a AB y CD ensegementos proporcionales si PA

PB= QC

QD.

Figura 109

Teorema 4.1 (Teorema de Thales). Si tres paralelas cortan a dos secantes entonces los segmentos quedeterminan en ellas son proporcionales. 13

Antes de demostrar el Teorema de Thales, se enunciará un teorema que a pesar de su aparente sencillez esde mucha u lidad en problemas que involucran áreas y proporcionalidad.

Lema 1. Sea AB k CD. Demuestre que: (ABC) = (ABD)14

Lema 2. Sea P un punto sobre el lado AB (o su prolongación) del4ABC. Pruebe que:

AP

PB=

(APC)

(PBC)

.A con nuación se enuncian los pasos a seguir en la demostración del teorema de Thales.

Demostración. Sean AA0,BB0 y CC0 rectas paralelas que cortan a dos secantes en los puntos A, A0,B,B0,C, C0 respec vamente (ver figura 110).De acuerdo a los lemas anteriores, se ene:

1.AB

BC=

(ABB0)

(BCB0)

2.A0B0

B0C0=

(A0B0B)

(B0C0B).

3. (ABB0) = (A0B0B) y (BCB0) = (B0C0B).

13El teorema de Thales puede enunciarse de manera general como sigue: Si tres o más paralelas cortan a dos o más secantesentonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

14El área de cualquier figura se denota con el nombre de la figura encerrado entre paréntesis. Así,(ABC) denota el área del4ABC, (PQRS) denota el área del cuadrilátero PQRS, y así sucesivamente.

62

Figura 110: Teorema de Thales

Con ayuda de las igualdades demostradas concluya que:

AB

BC=

A0B0

B0C0:

Observación Importante:U lice las propiedades de las proporciones para demostrar las equivalencias siguientes(interprételas geométricamente):

AB

BC=

A0B0

B0C0,

AC

AB=

A0C0

A0B0,

AC

BC=

A0C0

B0C0

Proposición 4.1 (Teorema de Thales en el triángulo). . Toda recta paralela a un lado de un triángulo y quecorte a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales.

Teorema4.2 (Recíprocodel Teoremade Thales). Si tres rectas cortan ados secantes en segmentos proporcionalesy dos de estas rectas son paralelas entonces las tres rectas son paralelas.

Demostración. Sean AA0, BB0 y CC0 rectas que cortan a dos secantes en los puntos A, A0, B, B0, C, C0

respec vamente, tales que AA0 k CC0 yAB

BC=

A0B0

B0C0. Por el punto B tracemos una recta paralela a AA0,

la cual interseca a A0C0 en el punto D (ver figura 111). Entonces, por el Teorema de Thales se ene que:AB

BC=

A0D

DC0. De donde,

A0B0

B0C0=

A0D

DC0, así por las propiedades de las proporciones

A0C0

B0C0=

A0C0

DC0, por

lo que B0C0 = B0D + DC0 = DC0 y por tanto B0D = 0, o equivalentemente B0 = D y por lo tanto,BB0 k AA0.

Proposición 4.2 (Recíproco del Teorema de Thales en el triángulo). Si una recta intercepta dos lados de untriángulo en segmentos proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado del triángulo.

4.3. Triángulos semejantes

Decimos que el4ABC es semejante al4A0B0C0 (ver figura 112), lo cual denotamos así ABC � A0B0C0,si:

AB

A0B0=

AC

A0C0=

BC

B0C0

y\BAC = \B0A0C0;\ABC = \A0B0C0;\ACB = \A0C0B0:

63

Figura 111: Recíproco del Teorema de Thales

Figura 112

En los tres teoremas siguientes (los cuales sonuna consecuencia directa del TeoremadeThales) se establecenlas condiciones mínimas para demostrar que dos triángulos son semejantes, a los cuales denominaremos:Criterios de Semejanza de Triángulos.

Teorema4.3 (Primer criterio de semejanza de triángulos: Angulo-Angulo A-A). Si dos ángulos de un triánguloson congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

Demostración. Supongamos que en el 4ABC y 4A0B0C0 se ene que \ABC = \A0B0C0 y \ACB =

\A0C0B0, entonces \BAC = \B0A0C0 (Por la suma de ángulos internos en un triángulo).Sea D 2 AB y E 2 AC tales que AD = A0B0 y AE = A0C0, dado que \DAE = \BAC = \B0A0C0,se sigue por L-A-L que 4ADE = 4A0B0C0, por consiguiente \ADE = \A0B0C0 = \ABC, de dondeDE k BC (por ser iguales los ángulos correspondientes) y por el teorema de Thales

AB

AD=

AC

AEy por consiguiente

AB

A0B0=

AC

A0C0(1)

Sea F 2 BC tal que DF k AC, entonces FC = DE = B0C0 (porque DECF es paralelogramo y por ser4ADE = 4A0B0C0) y por el teorema de Thales

BA

DA=

BC

FCo lo que es lo mismo

AB

A0B0=

BC

B0C0(2)

Luego, de (1) y (2) se ene que:AB

A0B0=

AC

A0C0=

BC

B0C0:

64

Así, se hademostradoque los tres pares de ángulos son congruentes y los tres pares de lados sonproporcionales,por lo tanto,4ABC � 4A0B0C0.

Teorema4.4 (Segundo criterio de semejanza de triángulos: L-A-L.). Si un ángulo de un triángulo es congruenteconotro ángulo de otro triángulo y los lados que comprendenal ángulo en el primer triángulo son respec vamenteproporcionales a los lados que comprende al ángulo en el segundo triángulo, entonces los dos triángulos sonsemejantes.

Demostración. Suponga que el\BAC = \B0A0C0 y queAB

A0B0=

AC

A0C0. Considere los puntosD yE, como

en la demostración del teorema anterior. Entonces por el criterio L-A-L, 4ADE = 4A0B0C0, de lo cual

se deduce que \ADE = \A0B0C0. Por otra parte tenemos que:AB

AD=

AC

AE, y al aplicar el recíproco del

teorema de Thales, se puede afirmar queDE k BC, de lo cual a su vez se deduce que\ADE = \ABC, porángulos correspondientes entre paralelas. Finalmente por transi vidad se concluye que\ABC = \A0B0C0.Por lo tanto,4ABC � 4A0B0C0 (por el criterio A-A).

Teorema4.5 (Tercer criterio de semejanza de triángulos: L-L-L.). Si los tres lados de un triángulo son respec vamenteproporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

Demostración. Por hipótesis se ene que:AB

A0B0=

AC

A0C0=

BC

B0C0y como antes sean D y E puntos sobre

AB y AC respec vamente tales que AD = A0B0 y AE = A0C0. Entonces por el recíproco del teorema deThales se ene que DE k BC y por consiguiente el \ABC = \ADE y el \ACB = \AED, de donde

4ABC � 4ADE (por el criterio A-A). Por endeAB

AD=

BC

DE, luego por transi vidad

BC

DE=

BC

B0C0, de

donde DE = B0C0. En consecuencia 4ADE = 4A0B0C0 (por el criterio L-L-L), de lo cual se sigue que\A0B0C0 = \ADE y \A0C0B0 = \AED, y por transi vidad \A0B0C0 = \ABC y \A0C0B0 = \ACB =.Por lo tanto,4A0B0C0 � 4ABC (por el criterio A-A).

Teoremas importantes

Teorema 4.6 (El teorema de los senos). Dado un4ABC, se cumple que

sin\A

a=

sin\B

b=

sen\C

c=

1

2R

Demostración. Consideremos el 4ABC y circunscribamos alrededor de él una circunferencia con centroen O y radio a r, como se muestra en la figura 113. Dibujamos el diámetro CJ y la cuerda BJ. En los dos casosexpuestos \CBJ es un ángulo recto, por estar inscrito en una semicircunferencia. Por tanto, en ambasfiguras,

sin J =a

CJ=

a

2R:

En la figura 113a, \J = \A, por ser ángulos inscritos que sub enden el mismo arco. En la figura 113b,\J = 180o �\A, porque el cuadrilátero ABJC es cíclico. Como sin � = sin(180o � �), se sigue que sin J =

sinA. Por tanto, en ambos casos sinA =a

2R, es decir,

sen\A

a= 1=2R:

65

(a) a (b) b

Figura 113

El mismo procedimiento, aplicado a los otros ángulos de4ABC conduce a

sen\B

b= 1=2R y

sen\C

c= 1=2R:

Definición 4.3. El segmento que une un vér ce de un triángulo con cualquier punto dado del lado opuestose llama ceviana. Así, si X, Y, Z son puntos de los lados BC, CA, AB respec vamente del triángulo ABC, lossegmentos AX, BY, CZ son cevianas.

Teorema 4.7 (Teorema de Ceva). Si tres cevianas AX, BY, CZ, cada una de ellas par endo de un triánguloABC, son concurrentes15, entonces

BX

XC

CY

Y A

AZ

ZB= 1

Figura 114

Demostración. Considerando la figura 114 y recordando que las áreas de los triángulos con alturas igualesson proporcionales a las bases de los triángulos, tenemos

BX

XC=

(ABX)

(AXC)=

PBX

PXC=

(ABX)� (PBX)

(AXC)� (PXC)=

(ABP )

(CAP )

15Cuando decimos que tres rectas o segmentos son concurrentes, queremos decir que las tres pasan por un punto P.

66

AnálogamenteCY

Y A=

(BPC)

(ABP )y

AZ

ZB=

(CAPC)

(BCP )

Ahora, si mul plicamos estas igualdades, tendremos

BX

XC

CY

Y A

AZ

ZB=

(ABP )

(CAP )

(BPC)

(ABP )

(CAPC)

(BCP )= 1:

Teorema 4.8 (Recíproco del Teorema de Ceva). Si tres cevianas AX,BY, CZ, sa sfacen

BX

XC

CY

Y A

AZ

ZB= 1;

entonces ellas son concurrentes.

Demostración. Supongamos que las cevianas AX y BY se cortan en P, y que la tercera ceviana que pasa poreste punto P es CZ’. Entonces, por el Teorema de Ceva,

BX

XC

CY

Y A

AZ0

Z0B= 1

Como hemos supuesto que

BX

XC

CY

Y A

AZ

ZB= 1;

entoncesAZ0

Z0B=

AZ

ZB

con lo que Z’ coincide con Z, y hemos probado que AX,BY, CZ, se cortan en un punto.

Proposición 4.3. Si X, Y, Z son los puntos medios de los lados, las tres cevianas se cortan en un punto. Estascevianas se llaman medianas.

Demostración. La conclusión sigue del recíproco del Teorema de Ceva con BX = XC, CY = Y A, AZ =

ZB.

Proposición 4.4. Las cevianas perpendiculares a los lados opuestos se cortan en un punto. Estas cevianas sellaman alturas.

Demostración. La conclusión sigue del recíproco del Teorema de Ceva con BX = c cosB, XC = b cosC,etc.

Otras cevianas importantes son las tres bisectrices interiores.

Proposición 4.5.

1. Las bisectrices de un triángulo dividen el lado opuesto en dos segmentos de longitud proporcional ala longitud de sus lados adyacentes.

2. Las bisectrices interiores de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto.

67

Demostración. La conclusión sigue del recíproco del Teorema de Ceva con BX = c cosB, XC = b cosC,etc.

Teorema 4.9 (Teorema de Menelao). Si una recta intersecta los segmentos BC, CA y AB de un triánguloABC en los puntos L,M y N respec vamente, entonces:

AN

NB�BL

LC�CM

MA= �1

Demostración. Sean AP , BQ y CR las perpendiculares desde A, B y C, respec vamente, a la recta dondese encuentran L,M y N.Es fácil ver que los triángulos rectángulos APN yBQN son semejantes así como los triángulos rectángulos

QBL y RCL. De aquí que:

AN

BN=

AP

BQyBL

CL=

QB

RC

Por otro lado, los triángulos rectángulos APM y CRM también son semejantes. De modo queAN

BN=

AP

BQ.

Por lo tanto

AN

NB�BL

LC�CM

MA= (�

AP

BQ)(�

QB

RC)(�

CR

AP)

= (�AP

BQ)(BQ

RC)(RC

AP)

= �1

Teorema 4.10 (Teorema de la bisectriz interior). En todo triángulo se cumple que los lados que formanel vér ce de donde parte la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados por dichabisectriz sobre el lado opuesto. En la figura BD es bisectriz interior, luego se cumple que:

AB

AD=

BC

DC

68

Demostración. Sea BD la bisectriz interna del \ABC entonces \ABD = \DBC, trazamos una paralelaa BD por el punto C, llamaremos E a la itersección de esta recta con la prolongación de AB.

Tenemos que \DBC = \BCE por ser ángulos alternos internos, y \ABD = \BEC por ser ánguloscorrespondientes, de ahi que \BCE = \BEC, luego el triángulo CBE es isósceles con BC = BE.

U lizando el teorema de Thales tenemos:AB

AD=

BE

DC, o lo que es lo mismo

AB

AD=

BC

DC.

Teorema 4.11 (Teorema de la bisectriz exterior). En todo triángulo se cumple que los lados que formanel vér ce de donde parte la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados por dichabisectriz sobre el lado opuesto. En la figura BE es bisectriz exterior, luego se cumple que:

AB

AE=

BC

CE

Demostración. SeaBE la bisectriz externa del ángulo exterior enB como semuestra en la figura y consideremosFC la recta paralela a BE que pasa por B.

69

Observamosqueel triánguloFBC es isósceles conFB = BC. Por el teoremade thales tenemosAB

AE=

FB

CE

o lo que es lo mismoAB

AE=

BC

CE.

4.4. Problemas

1. Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces:

a) Los dos nuevos triángulos que resultan, son semejantes entre si y semejantes al triángulo original.

b) La altura es media proporcional 16 entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa.

c) Cada cateto esmedia proporcional entre la hipotenusa y la proyeccióndel cateto sobre la hipotenusa.

d) Demuestre el teorema de Pitágoras.

2. Si dos triángulos enen sus lados respec vamente paralelos o respec vamente perpendiculares, entonceslos dos triángulos son semejantes.

3. Las alturas, las bisectrices y las medianas homólogas de dos triángulos semejantes están en la mismarazón que sus lados homólogos.

4. En un triángulo ABC se ene un puntoH de AB. PorH se traza una paralela a AC la cual corta en Ga BC. Si AC = 9, AB = 6 y HG = 18

5. Demostrar que AG es bisectriz del ángulo BAC.

5. Un cuadradoPQRS está inscrito en un triánguloABC, demodo queQ pertenece aAB,R pertenecea BC y PS descansa sobre AC. Si las longitudes de AC y la altura rela va a dicho lado son b y h.Demostrar que la longitud del lado del cuadrado es igual a: bh

b+h.

16Si b es una magnitud tal que a

b= b

c, entonces decimos que b es media proporcional entre a y c ,o de manera equivalente: b

es media proporcional entre a y c si y solo si b2 = a� c .

70

6. En un paralelogramoABCD, al unir el vér ceB con los puntos mediosM yN de los ladosAD y CD,estos segmentos cortan a la diagonal AC en los puntos P yQ respec vamente. Si la longitud deMN

es 18 cm. Calcular la longitud de PQ.

7. En la siguiente figura, calcular R, si se sabe que: AB = 4; BC = 6 y BH = 3.

8. Si dos segmentos se interceptan en un punto que esta en el interior de los dos segmentos y el productode las medidas de los segmentos determinados por el punto de intersección en el primer segmentoes igual al producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto en el segundosegmento,entonces los extremos de los segmentos están sobre una circunferencia.

9. Si desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas secantes que cortan a lacircunferencia en los puntos A, B y C,D respec vamente, entonces PA�PB = PC�PD.

10. Si desde un punto P se trazan dos semirrectas con los puntos A,B sobre una y los puntos C,D sobrela otra, tales que PA�PB = PC�PD, entonces los puntosA,B,C,D están sobre una circunferencia.

11. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas, una tangente y la otrasecante, entonces el segmento entre el punto y el punto de tangencia es media proporcional entrelos segmentos determinados entre el punto exterior y los puntos de intersección de la secante con lacircunferencia. 17

12. Si P es un punto sobre el mismo plano que una circunferencia de centroO y radio r , y d es la distanciadel punto P al centroO de la circunferencia, demuestre que:

a) Si P está en el interior de la circunferencia, entonces la potencia de P es r2 � d2.

b) Si P está en el exterior de la circunferencia, entonces la potencia de P es d2 � r2.

c) Si P está sobre de la circunferencia, entonces la potencia de P es cero.

13. En la figura 115, el4ABC es equilátero, sus lados enen longitud 3 y PA es paralela aBC. Si PQ =

QR = RS, encontrar la longitud de CS.

17Los problemas anteriores nos permite establecer la siguiente definición de Potencia de un punto con respecto a unacircunferencia: La potencia de un punto P con respecto a una circunferencia de centroO y radio r es el producto PA�PB, dondeA y B son los puntos de intersección de la circunferencia con una recta que pasa por P .

71

Figura 115

14. En la figura adjunta, el4ABC es rectángulo en A y el4ADB es rectánguloen D. El punto E es el punto de intersección de los segmentos AD y BC. SiAC = 15, AD = 16 y BD = 12, calcule el área del4ABE.

15. Sea ABCD un trapecio de bases BC y AD, sus diagonales se cortan en E. Si BE = 3, ED = 4 yCE = 2, determine la medida de AE.

16. El4ABC es rectángulo enB. Se dibuja un rectánguloBEDF conD sobre la hipotenusa,E y F sobreBC y AB, respec vamente. Si AB = 1, demuestre que BC

BE= 1

1�DE.

17. Sea ABC un triángulo, D el punto medio de BC, E un punto sobre el segmento AC tal que BE =

2AD yF el punto de intersección deAD conBE. Si\CAD = 60, encuentre lamedida de los ángulosdel4FEA.

18. SeaABCD es un trapecio conAD k BC.M yN son los puntosmedios deCD yBC, respec vamente,y P el punto común de las rectas AM yDN. Si PM

AP= 1

4, demuestre que ABCD es paralelogramo.

19. Considérese los puntosA,B,C yD tales queA yB están sobre el segmentoOC yOD respec vamente,donde O es el centro de la circunferencia de radio r (ver figura 116). Si OA�OC = r2 = OB�OD,

demuestre que el4AOB ' 4DOC y que CD =

(r2

OA�OB

)AB.18

20. Dada una circunferencia � y un punto P , se trazan dos rectas l ym que pasan por P tales que l cortaa � en A y B, mientras quem corta a � en C yD.

a) Demuestre que4PAC ' 4PBD y PA � PB = PC � PD.19

b) Si d es la distancia de P al centro de la circunferencia y r es el radio de la misma, demuestre quePA � PB =

∣∣d2 � r2∣∣.

18La medida del segmento CD se denomina Distancia Inversa.19A este producto se le conoce como Potencia de Punto.

72

Figura 116

21. Sobre la circunferencia de centro O, se trazan los diámetros AB y CD tales que AB ? CD. Sea Pun punto sobre el arco CBD y Q el punto de intersección de las cuerdas AP y CD. Si DO = 1,demuestre que AP �AQ = 2.

22. Un segmento de recta AB es divido por los puntos interiores K y L de manera que AL2 = AK�AB.Sea P un punto exterior al segmento AB tal que AP = AL. Pruebe que\KPL = \LPB. Ver figura117.

Figura 117

23. Dado el4ABC se construye un cuadrado PQRS con P en AB,Q en AC,R y S enBC. SeaH el piede la altura desde A hacia BC. Demuestre que:

a)1

PQ=

1

AH+

1

BC

b) (ABC) = 2(PQRS) si y sólo si AH = BC.

24. En la figura 118, AB y AC son tangentes a la circunferencia, y CE ? BD, siendo BD un diámetro.Probar que BE·BO = AB·CE.

25. En la figura 119, el4ABC es rectángulo. Se construyenexteriormente los cuadradosABEF yBCPQ.Demostrar que BM = BN.

26. Demostrar que 1

AX+ 1

BY= 1

AZsi se cumple que AX k BY k CZ. (Ver figura 120)

27. Sea ABCD un rombo, con AC = 6 y BD = 8. Se construyen exteriormente los cuadrados ADEF yCDHG, cuyos centros sonO1 yO2, respec vamente (Veafigura 121). Calcular lamedida del segmentoO1O2.

73

Figura 118

Figura 119: .

Figura 120

28. Sean O, P y R los centros de las tres circunferencias. Si OR = r yQ es la intersección de PO con lacircunferencia de centro R, demuestre queOP �OQ = r2. Ver figura 122.

29. Los ángulos de un triángulo ABC están en progresión aritmé ca (\B � \A = \C � \B = �), D,E, y F son los puntos medios de los lados BC, CA y AB, respec vamente. Llamamos H al pie dela altura trazada desde C (que cae entre B y F ) y G a la intersección entre DH y EF . ¿Cuánto vale\FGH? (ver la figura 123)

30. En la figura 124, BC = CD = DE = EA = x y \AEB = 90. Demuestre que \ABC + \ACD +

\ADE = 90.

74

Figura 121

Figura 122

Figura 123

4.5. Puntos y Rectas Notables del Triángulo.

4.5.1. Medianas

Definición 4.4. En un triángulo, unamediana es el segmento de recta que une un vér ce con el punto mediodel lado opuesto.

75

Figura 124

Teorema 4.12. Las tresmedianas de un triángulo concurren en un punto llamado el Centroide20 del triánguloy usualmente es denotado por G. Además, las medianas de cortan mutuamente en razón 2:1.

Demostración. Dado el4ABC seanA0,B0,C0, los puntosmedios deBC,CA,AB, respec vamente. DefinaG como la intersección de BB0 con CC0. Por el teorema de la base media, B0C0 k BC y 2B0C0 = BC;observe que4BCG ' B0C0G, con razón de semejanza 2, por lo que

GB

GB0=

GC

GC0= 2

Análogamente, si G� = AA0 \ BB0 se cumple

G�B

G�B0=

G�A

G�A0= 2

Así,G yG� dividen al segmentoBB0 en dos segmentos cuya razón es 2:1, por lo queG = G�, lo cual implicaque AA0, BB0, CC0 concurren y

GA

GA0=

GB

GB0=

GC

GC0= 2

4.5.2. Mediatrices

Definición 4.5. Dado un segmento AB, la mediatriz del segmento es el lugar geométrico de puntos queequidistan de A y B, i.e., un punto P está sobre la mediatriz de AB si y sólo si PA = PB.

Teorema 4.13. La mediatriz de AB es una recta l perpendicular a AB y que pasa por su punto medio.

Demostración. Sea M el punto medio de AB, y l pasa por M y l ? AB. En primer lugar se probará quetodos los puntos de l sa sfacen la definición de mediatriz: Por definición de punto medio MA = MB.por lo que claramenteM pertenece a la mediatriz de AB; sea P un punto de l dis nto deM, por criterioLAL, 4PMA � 4PMB por lo que PA = PB. Ahora, cabe preguntarse si existe algún punto fuera de lque también cumpla la definición: suponga P 0 tal que P 0A = P 0B, esto implica que4P 0AB es isósceles, yentonces\P 0AB = \P 0BA; siM 0 es la proyección deP 0 sobreAB, por criterio ALA4P 0AM 0 � 4P 0BM 0,lo cual implica queM 0A = M 0B, es decir queM 0 = M, y esto obliga a que P 0 esté sobre l (ya que P 0M 0 =

l ).

Teorema4.14. Lasmediatrices de un4ABC concurren enunpunto que equidista de los vér ces del triángulo,llamado el Circuncentro del4ABC

76

Usualmente, el circuncentro es denotado por O, y R representa la distancia del circuncentro a los vér ces

R = OA = OB = OC

A esta distancia se le llama Circunradio del4ABC. Así, O es el centro de una circunferencia que pasa porA, B, C, cuyo radio es R, llamada el Circuncírculo del4ABC.21

Demostración. Sea O la intersección de las mediatrices de AB y BC, por el teorema anterior, como O

pertenece a la mediatriz de AB se cumple OA = OB, y como también pertenece a la mediatriz de BC,OB = OC; entoncesOC = OA, y u lizandodenuevo el teoremaanterior,O debepertenecer a lamediatrizde CA. Así, las tres mediatrices concurren en O, y este punto equidista de los vér ces del4ABC.

Corolario: Dado un triángulo, ex iste una circunferencia que pasa por los tres vér ces (el circuncírculo);

Figura 125

además, esta circunferencia es única.

Una observación importante es que la mediatriz del lado de un triángulo NO siempre pasa por el vér ceopuesto; de hecho, esto sólo se da si el triángulo es isósceles.

20También conocido como Geocentro, Centro de Gravedad, Baricentro, o más formalmente Equibaricentro.21En ocasiones, denotaremos a esta circunferencia por �(ABC).

77

4.5.3. Alturas

La altura es un concepto que está intrínsecamente relacionado con la distancia de un punto a una recta;la altura es la recta que debe trazarse para determinar esta distancia, i.e., es una recta que pasa por elpunto y es perpendicular a la recta. A la intersección entre la altura y la recta generalmente se le llamapie de la altura, o también (más formal) proyección del punto sobre la recta. En par cular, para triángulos,definiremos la altura de la siguiente forma:

Definición 4.6. Dado un triángulo, una altura es una recta que pasa por un vér ce y es perpendicular al ladoopuesto.

Es importante observar que el pie de la altura NO siempre pertenece a un lado; de hecho, una altura puedeestar ”al interior” de un triángulo, coincidir con un lado, o estar completamente afuera de un triángulo.

Teorema 4.15. Las alturas de un triángulo concurren en un punto, llamado el Ortocentro del triángulo,usualmente denotado por H.22

Demostración. Dado el4ABC, se construyen los puntos A1, B1, C1, tales que ABA1C, BCB1A, CAC1Bson paralelogramos. Observe que el 4ABC es el triángulo medial del 4A1B1C1, y que las alturas del4ABC son las mediatrices del4A1B1C1; como las mediatrices de un triángulo concurren (en este caso,las del4A1B1C1), las alturas del4ABC concurren.

La altura también puede escribirse en términos de lugar geométrico:

Teorema 4.16. La recta l es perpendicular a AB si y sólo si AL2�LB2 es constante. Es decir, que una rectaperpendicular a AB es el lugar geométrico de los puntos L que sa sfacen la condición anterior.

Demostración. Sea P la intersección de l con AB, y L un punto arbitrario sobre l ; por Pitágoras se eneAL2 � LB2 = AP 2 � PB2, y el término derecho de la igualdad es constante. La otra dirección de laimplicación se prueba por contradicción.

De esa definición también puede fabricarse una demostración del teorema anterior, sin embargo, no seaborda porque la prueba se basa en un resultado sofis cado llamadado Teorema de Steiner.23

4.5.4. Bisectrices

Definición 4.7. La bisectriz de unángulo es una recta que ”divide” al ángulo en dos ángulos de igualmagnitud.

Teorema 4.17. El lugar geométrico de puntos que equidistan de dos rectas dadas, generan un par de rectasperpendiculares llamadas bisectriz interna y bisectriz externa del ángulo formado por las rectas.

Demostración. Suponga que las rectas se cortan en un puntoO; sean a, b las rectas dadas, yP un punto queequidista de ellas; si A y B son las proyecciones de P sobre a y b, respec vamente, entonces PA = PB.Observe que por criterio LLL (u lizando Pitágoras previamente),4OAP � 4OBP , por lo que \POA =

\POB, i.e., P pertenece a la bisectriz del \AOB. Claramente aquí se dan dos casos, recuerde que paradefinir el ángulo entre a y b se u lizan únicamente semi-rectas, por lo que las rectas a y b definen cuatroángulos, que por parejas pueden ser opuestos por el vér ce o suplementarios; de estos se escoge cualquiera

22El triángulo formado por los pies de las alturas de un4ABC es llamado el triángulo ór co del4ABC.23Sean l , m, n, tres rectas perpendiculares a los lados del AB, BC, CA del 4ABC, respec vamente. Sean L, M, N, puntos

arbitrarios sobre l ,m,n, respec vamente. Entonces las rectas l ,m,n concurren si y sólo siAL2+BM2+CN2 = NA2+LB2+MC

2.

78

de ellos como referencia, entonces, si\AOB coincide con éste o con el opuesto por el vér ce, la recta POes llamada bisectriz interna, y en caso contrario, bisectriz externa. Así, el lugar geométrico son dos rectas, ysu perpendicularidad se basa en los pares de ángulos que son suplementarios. Finalmente, si a k b, el lugargeométrico es una recta paralela a a y b que se ubica entre ellas a igual distancia de ambas (este es un casoextraño de bisectriz interna, sin embargo, en ocasiones es ú l tener esta convención en mente; peor aún,la bisectriz externa es una recta ideal llamada recta al infinito).

Teorema 4.18. Las bisectrices internas de un4ABC concurren en un punto, llamado el Incentro del4ABC,usualmente denotado por I. La distancia de I a los tres lados del triángulo es igual a un número r, llamado elInradio del4ABC, y de aquí que la circunferencia de centro I y radio r sea tangente a los lados del triángulo;dicha circunferencia es llamada el Incírculo del4ABC.24

Demostración. Sea I la intersección de las bisectrices internas de \A y \B (obviamente, I está en elinterior del4ABC); como I pertenece a la bisectriz interna del\A, por el teorema anterior dist(I; AB) =dist(I; AC), y análogamente, como I pertenece a la bisectriz interna del\B, dist(I; AB) = dist(I; CB);entonces dist(I; AC) = dist(I; CB), y de nuevo por el teorema anterior y dado que I está al interior deltriángulo, I pertenece a la bisectriz interna del \C. Así, las tres bisectrices internas concurren en un puntoque equidista de los lados del triángulo.

Es importante notar que las intersección de una bisectrices interna con el lado opueto del triángulo NOsiempre coincide con el puntos de tangencia del incírculo;25 de hecho, esto ocurre sólamente si el triánguloes isósceles.

Corolario: Dado un triángulo, existe una circunferencia que es tangente interiormente a los tres lados (elincírculo); además, esta circunferencia es única.26

24En algunas ocasiones denotaremos al incírculo por �(ABC).25En la figura, el4ABC es llamado triángulo tangencial del4DEF .26Existen 3 circunferencias más que son tangentes a los tres lados del triángulo, llamados excírculos; estas circunferencias se

ubican en el exterior del triángulo.

79

4.6. Problemas

1. Las áreas de los seis triángulos AGB0, AGC0,BGA0,BGC0, CGA0, CGB0 son iguales e iguales a un 1

6

del área del triángulo ABC.

2. Un triángulo es isósceles si cumple alguna de las siguientes condiciones:

a) Dos medianas son iguales.

b) Dos alturas son iguales.

c) Dos bisectrices son iguales.27

3. Recta de Euler. El centroide G, el ortocentroH y el circuncentroO de un triángulo están alineados, yademás GH = 2GO.

Solución: Considere la figura 126. Sean AHa y BHb alturas, OA0 y OB0 mediatrices. Observe queHA ? BC y OA0 ? BC, por lo que HA k OA0; análogamente HB k OB0; también, por el teoremade la base media AB k A0B0 y AB = 2A0B0. Esto implica que 4ABH ' A0B0O y la razón desemejanza es 2; en par cular AH = 2A0O. Si definimos G como la intersección de la mediana AA0

con HO, claramente4AHG ' 4A0OG y la razón de semejanza es la misma que la anterior, por loque GA = 2GA0, i.e., G es el centroide del4ABC. Esto implica que el ortocentro, el centroide y elcircuncentro de un triángulo están alineados, y por la semejanza GH = 2GO.

4. Circunferencia de los 9 puntos:28 Dado un4ABC de ortocentroH, se cumple que los puntos mediosde los lados, los pies de las alturas, y los puntos medios de HA,HB,HC, se ubican sobre una mismacircunferencia. Además, el centro de esta circunferencia es el punto medio de HO y su radio es R

2,

donde O y R son el circuncentro y el circunradio del triángulo.Para demostrar este resultado se sugiere seguir los siguientes pasos:

a) Si Ha es el pie de la altura trazada desde A, demuestre que la reflexión de H con respecto a Hapertenece a circuncírculo del4ABC. Resultados similares se cumplen para Hb y Hc .

b) Si A0 es el punto medio de BC, demuestre que la reflexión de H con respecto a A0 pertenece alcircuncírculo del4ABC.

27Este caso es aparentemente tan sencillo como los anteriores, pero realmente es un resultado muy complicado y recibe elnombre de Teorema de Steiner-Lehmus.

28También conocida como Circunferencia de Feuerbach.

80

Figura 126

c) De los resultados anteriores, observe que hay 9 puntos sobre el circuncírculo del 4ABC: losvér ces, las reflexiones de H con respecto a los pies de las alturas, y las reflexiones de H conrespecto a los puntos medios de los lados; a par r de esto, concluya que los puntos medios de lossegmentos que vandeH a estos9puntos, tambiéndebenpertenecer enunamisma circunferencia.

d) Concluya además que el centro de esta nueva circunferencia es el punto medio de HO.

Otro camino de solución es el siguiente:

a) Sea 4A0B0C0 el triángulo medial del 4ABC. Pruebe que \A0B0C0 = \BHaC0 y concluya que

HaA0B0C0 es un cuadrilátero cíclico; los mismo debe cumplirse para Hb y Hc .

b) SeaX el puntomedio deHA. Demuestre que\B0A0C0+\B0XC0 = 180 y concluya queXC0B0A0

es un cuadrilátero cíclico; lo mismo debe cumplirse para los puntos medios de HB y HC.

c) De lo anterior, concluya que los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que vandesde H hasta los vér ces del4ABC, se ubican sobre el circuncírculo del4A0B0C0.

d) SiN es el circuncentro del4A0B0C0, demuestre queN,O,G forman la recta de Euler del4A0B0C0

y u lice sus propiedades para probar que N es el punto medio de HO.

5. Sea ABCD un paralelogramo.Q es el punto medio de AD; F el pie de la perpendicular por B sobreQC. Probar que AF = AB.Solución: Sea E el punto medio de BC y G la intersección de AE con BF . Como AE k CQ, se eneque AG ? BF . Pero también, como AE k CQ, entonces EG k CF por lo que en el4BCF , EG esbase media. Entonces BG = GF de donde se sigue que4ABF es isósceles porque BG es altura ymediana.

6. Sea ABCD un cuadrilátero tal que AB = CD. Las mediatrices de AC y BD se cortan en P . Probarque \PAC = \PCA = \PBD = \PDB.

Solución: Como P está sobre las mediatrices de AC y BD, PA = PC y PB = PD, y por hipótesis,AB = CD, entonces por criterio LLL, 4ABP � 4CDP . De aquí, \APB = \CPD, entonces\BPD = \APD + \APB = \APD + \CDP = \APC; por lo tanto, 4BPD ' 4CPA,dada la igualdad anterior y el hecho que son triángulos isósceles. De esta semejanza se ob ene\PAC = \PCA = \PBD = \PDB.

81

7. ABC es un triángulo y P un punto en su interior. SeanA0,B0 yC0 las reflexiones de P sobreBC,CA yAB, respec vamente.D, E y F son los pies de las perpendiculares respec vos desde A, B y C haciaB0C0, C0A0 y A0B0 (ver figura 127). Probar que AD, BE y CF son concurrentes.

Figura 127

8. ABC es un triángulo y P un punto en su interior. Sean A0, B0 y C0 las reflexiones de P sobre BC,CA y AB, respec vamente.D, E y F son los pies de las perpendiculares respec vos desde A, B y Chacia B0C0, C0A0 y A0B0. Probar que AD, BE y CF son concurrentes.

Solución: Por propiedades de reflexión axial AC0 = AP = AB0, por lo que el4AB0C0 es isósceles,y entonces AD es mediatriz de B0C0. Análogamente, BE es mediatriz de C0A0, mientras que CF esmediatriz de A0B0. Por lo tanto, las rectas AD, BE, CF concurren en el circuncentro del4A0B0C0.

9. En la figura, ABGH, BCFG y CDEF son cuadrados. Si I es el centro de ABGH y J = DH \ BG,

82

demuestre que I, J y F están alineados.

Solución: Como G es punto medio de HF , BG es una mediana del4BFH. Además, BDFH es unparalelogramo, luego sus diagonalesBF yDH se cortan en su puntomedio, digamosK. Se sigue queHK es también unamediana del4BFH, y en consecuencia el punto de corte de J = KH\BG es elcentroide del4BFH. Pero I es el punto medio deBH, así que F I es la tercera mediana del4BFH,por lo tanto J está sobre el segmento F I.

10. Sea ABC un triángulo equilátero. M y N son los puntos medios de AB y BC, respec vamente.Exteriormente al4ABC se construye un triángulo rectángulo isósceles4APC, con \APC = 90�.Si I es la intersección de AN yMP , demuestre que CI es la bisectriz de \ACM.

Solución: Observe que AN es bisectriz del \BAC. Como \APC = \BMC = 90, el cuadriláteroAPCM es cíclico, por lo que\PMC = \PAC = \PCA = \PMA = 45, entoncesMP es bisectrizdel \AMC. De aquí se concluye que I = MP \ AN es el incentro del 4ACM, por lo que CI esbisectriz del \ACM.

11. Dado el paralelogramo ABCD, sea M el punto medio de AB, y N la intersección de CD con labisectriz interna del \ABC. Demuestre queMC ? BN si y sólo si AN es bisectriz del \DAB.

Solución:()) Si suponemos queMC ? BN entonces BN es mediatriz deMC, y como BM k CN entonces\CBN = \MBN = \CNB = \MNB, esto implica que BC k MN, y por tanto N es punto mediode CD; así, AMND es un rombo y AN es bisectriz del \DAM.(() Si suponemos que AN es bisectriz del \DAB, es propiedad conocida que AN ? BN, por lo

83

queM es el circuncentro del4ABN y por la relación entre ángulo central y ángulo inscrito se ene\AMN = 2\ABN = \ABC, por lo tantoMN k BC y BCNM es un rombo, de donde se ob eneMC ? BN.

12. En el 4ABC, se sabe que los vér ces B, C, el circuncentro O y el ortocentro H del 4ABC estántodos sobre una misma circunferencia.

a) Calcule el valor de \A.

b) Demuestre que el incentro también pertenece al circuncírculo de BCOH.

Solución:

a) Sea \BAC = �. Como O es el circuncentro del 4ABC, tenemos que \BOC = 2�. Por otraparte, sabemos que al ser H ortocentro, se cumple que \BHC = 180� � �. Ahora bien, lacondición de que B, C, H y O son concíclicos implica que \BOC = \BHC, de donde 2� =

180� � �, y por tanto � = 60�.

b) Este problema se basa en el siguiente resultado: si I es el incentro del4ABC entonces \BIC =

90 + \A2. Como en este caso \A = 60, entonces \BIC = 120 = \BOC = \BHC, por lo que

B, C,O, H, I, se ubican sobre una misma circunferencia.

84

13. Sea ABC un triángulo tal que las medianas respec vas a B y C son perpendiculares. Demuestre quese cumple la relación

5BC2 = CA2 + AB2:

Solución: Sean BB0 y CC0 las medianas que son perpendiculares, y sea G el centroide. Observe queel cuadrilátero BCB0C0 ene diagonales perpendiculares; por el teorema de Pitágoras se cumple

BC2 + B0C02 = C0B2 + B0C2

BC2 +

(BC

2

)2

=

(AB

2

)2

+

(AC

2

)2

5BC2 = AB2 + AC2

14. Sea ABC un triángulo de ortocentro H. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desde H a lasbisectrices interior y exterior de A, respec vamente. SiM es el punto medio de BC, mostrar que P ,Q yM están alineados.

Solución: Sean E y F los pies de las alturas trazadas desde a B y C, respec vamente. Se sabe queAP ? AQ, por lo que APHQ es un rectángulo. Como \APH = \AQH = \AEH = \AFH = 90,los puntosP ,Q,E,F , pertenecen auna circunferencia dediámetroAH. Además, en esta circunferencia,comoAP yAQ son bisectrices (interior y exterior, respec vamente) del\EAF , P yQ son los puntosmedios del arcosEF , por lo que PQ es la mediatriz deEF . Por otra parte, como\BEC = \BFC =

90, el cuadrilátero BCEF es cíclico, y el circuncentro esM, por lo queME = MF ; entonesM estáen la mediatriz de EF , la cual es PQ.

15. En un triángulo ABC, seaM el punto medio deBC. Si se cumple que AB 6= AC y además\MAC+

\ABC = 90�, hallar \BAC.

Solución: Sin pérdida de generalidad, suponga que AB > AC. Sea N la intersección de AB conla mediatriz de BC. Se forma el 4BCN que es isósceles, entonces \CNM = 90 � \MCN =

90�\MBN = \CAN, lo cual implica que el cuadrilátero ACMN es cíclico. Por lo tanto, \BAC =

\BMN = 90.

16. Sea ABC un triángulo y U un punto de su circuncírculo tal que AU es bisectriz. Las mediatrices enAB yAC cortan aAU enX y Y . SeaT la intersección deBX conCY . Demostrar queAU = TB+TC.

85

Solución:29 Como X y Y pertenecen a las mediatrices de AB y AC, respec vamente, y a la bisectrizAU, entonces4ABX y4ACY cumplen ser isósceles y semejantes entre si, porque\XBA = \XAB =

\Y AC = \Y CA = �. Esto implica \TXY = \XBA + \XAB = 2� = \Y AC + \Y CA =

\TY X, es decir, el 4TXY es isósceles con TX = TY . Por otra parte, como ABUC es cíclico,\UBC = \UAC = \UAB = \UCB = �. De aquí se concluye que 4UBC es isósceles, conUB = UC. Además, \XUB = \ACB = \Y CU y \XBU = \ABC = Y UC; por criterio ALA,4UXB � 4CY U, por lo que BX = Y U. Finalmente, TB + TC = (BX � TX) + (CY + TY ) =

Y U + AY = AU.

17. Sea ABCD un rectángulo de centroO con AB 6= BC. La perpendicular enO aBD corta a las líneasAB yBC en los puntosE y F , respec vamente. SeanM yN los puntos medios de los segmentosCDyDA, respec vamente. Probar que las líneas rectas FM ? EN.

Solución: Considere la siguiente figura, sin pérdida de generalidad, se ha supuesto AB < BC.30

Sea L el punto medio de AB, y H es la intersección de EF con AD. Se ene que LN k BD, y comoBD ? EF entonces LN ? EF ; además, como ABCD es un rectángulo,DA ? AB, por lo tanto, Hes el ortocentro del4ELN, y así, LH ? EN. Por otra parte, las reflexiones de L y H con respecto aO son respec vamenteM y F , por lo que LH k MF , lo cual implica que FM ? EN.

29El caso cuando AB = AC es trivial, porqueX, Y y T colapsan en el circuncentro del4ABC.30El otro caso es completamente análogo.

86

18. Sea ABC un triángulo rectángulo, con A = 90�. Sea D un punto en su interior tal que \DAC =

\DCA = \DBC = �, y AC = BD. Determine el valor de �.

Solución: SeanP yQ los pies de las perpendiculares trazadas desdeD haciaCA yAB, respec vamente,R es un punto sobre BC tal queDB ? DR, y E es la intersección de CD con AB. Como el4ACDes isósceles, P es punto medio de AC, entonces AC = 2PA = 2DQ = BD, por lo que el4BDQes un triángulo notable y \DBQ = 30. Por otra parte, por criterio ALA,4ACE � 4DBR, por loque CE = BR; como PD k AE, D es punto medio de CE; así, si M es el punto medio de BR (ycircuncentro del4BDR) se cumple que DC = RM = DM, por lo que el4CDM es isósceles. Porla relación entre el ángulo inscrito y el ángulo central\DMR = 2\DBR, por lo tanto\DCR = 2�.Sumando los ángulos internos del4ABC se ene \A+ \B + \C = 90 + 30 + �+ 3� = 180, locual implica � = 15.

19. Sea ABC un triángulo yM un punto tal que \MAB = 10, \MBA = 20, \MAC = 40 y \MCA =

30. Probar que el4ABC es isósceles.

Solución: SeaD la reflexión del puntoA con respecto a la rectaBM. Entonces el4AMD es isósceles

87

con\AMD = 2 (\MAB + \ABM) = 60 y por lo tanto es equilátero. También\DBA = 2\MBA =

40 y como \BAC = 50, implica que DB ? AC. Sea E la intersección de BD con CM, se cumpleque \CED = 90 � \ACE = 60 = \MAD, por lo que el cuadrilátero AMED es cíclico. De aquí,\DEA = \DMA = 60. Como \DEC = \DEA y ED ? AC, se ene que ED es bisectriz y alturaen el4AEC, por lo tanto ED es mediatriz de AC, lo cual implica que BA = BC.

88

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