GEOMETRIA PLANA

POLÍGONOS

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS•POLÍGONO INSCRITO O CIRCUNSCRITOUN POLÍGONO SE DICE INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA SI TODOS SUS

VÉRTICES SON PUNTOS DE LA CIRCUNFERENCIA. RECÍPROCAMENTE, LA

CIRCUNFERENCIA SE DICE CIRCUNSCRITA AL POLÍGONO. UN POLÍGONO SE DICE

CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA SI SUS LADOS SON SEGMENTOS

TANGENTES A LA CIRCUNFERENCIA. RECÍPROCAMENTE, LA CIRCUNFERENCIA SE

DICE INSCRITA EN EL POLÍGONO.

• UNA PROPIEDAD IMPORTANTE DE LOS POLÍGONOS REGULARES ES QUE

SIEMPRE PUEDEN INSCRIBIRSE EN UNA CIRCUNFERENCIA.

• TAL COMO SE PUEDE OBSERVAR, EN LA FIGURA (A), (B) Y (C), L(n) Y r

REPRESENTAN LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DE LOS POLÍGONOS Y LA

LONGITUD DEL RADIO DE LAS CIRCUNFERENCIAS CIRCUNSCRITAS,

RESPECTIVAMENTE.

• LA APOTEMA a(n ) EN UN POLÍGONO REGULAR DE N LADOS ES UN SEGMENTO

CUYA LONGITUD ES IGUAL A LA DISTANCIA PERPENDICULAR DESDE EL CENTRO

DEL CÍRCULO CIRCUNSCRITO HASTA UN LADO DEL POLÍGONO. EN LAS

FIGURAS (A), (B) Y (C), AN = OP; Y, ES POSIBLE DEMOSTRAR QUE:

• SIENDO R, EN CADA UNO DE LOS CASOS, LA LONGITUD DEL RADIO DE LA

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA.

• DE MANERA ANÁLOGA, LOS POLÍGONOS REGULARES PUEDEN SIEMPRE CIRCUNSCRIBIRSE A UNA CIRCUNFERENCIA.

FIGURAS CIRCULARES• SECTOR CIRCULAR: ES LA REGIÓN DEL CÍRCULO COMPRENDIDA ENTRE DOS RADIOS Y EL ARCO QUE

SUBTIENDEN.

• SEGMENTO CIRCULAR: ES LA PORCIÓN DEL CÍRCULO COMPRENDIDA ENTRE UNA CUERDA Y EL ARCO CORRESPONDIENTE.

• CORONA O ANILLO CIRCULAR: ES LA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS CÍRCULOS CONCÉNTRICOS (QUE

TIENEN EL MISMO CENTRO).

PERIMETRO Y AREA DE UN CIRCULO

PERÍMETRO DEL CÍRCULO

ÁREA DEL CIRCULO

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR

ÁREA CORONA CIRCULAR

AREA DE POLIGONOS

• SI CONSIDERAMOS UN POLÍGONO REGULAR P DE N LADOS, DE PERÍMETRO

PER Y APOTEMA A, PODEMOS DESCOMPONERLO EN N TRIÁNGULOS

CONGRUENTES CON BASE L Y ALTURA A, DE TAL FORMA QUE:

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• EL RADIO DEL CÍRCULO

Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo

SOLUCIÓNDado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del círculo, la respuesta es 8 cm.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• EL LADO DEL ROMBO

En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rómbica, según la figura.

¿Cuánto mide el lado del rombo?

SOLUCIÓNBasta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo.         Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES¿Cuántos grados mide el ángulo

que forman las dos diagonales de las caras del cubo?

SOLUCIÓN60°. Basta observar de que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• CIRCUNFERENCIAS SECANTES

Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN?

SOLUCIÓNMN = 6 centímetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y

NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• EL ÁNGULO EXTERIOR

En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50

¿Cuál es la medida del ángulo x?

.

SOLUCIÓNPuesto que es isósceles: B = C =

(180°-A)/2 = 130°/2 = 65°. Por lo tanto: x= 180°-C = 180°- 65°

= 115°.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

•SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS

A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse

cuadrados como muestra la figura adjunta.

Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de

superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor?

.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• NUEVE ÁNGULOS

Calcula el valor de todos los ángulos de la figura sabiendo que

el ángulo 1 vale 70.

.

SOLUCIÓN El ángulo 2 mide 20°. Por tratarse de un triángulo isósceles (dos lados son radios) los ángulos 4 y 5 son iguales. La suma de los ángulos 2, 3 y 4 es 90°, pues el ángulo total abarca el diámetro. De estas dos condiciones se obtiene que la suma de los ángulos 2 y 4 es igual al ángulo 7. Y el ángulo 7 es igual a dos veces el ángulo 4. De donde el ángulo 2 es la mitad del ángulo 7. Por tanto el ángulo 7 mide 40°, los ángulos 4 y 5 miden 20° cada uno, el ángulo 6 mide 140°, el ángulo 7 mide 50° y los ángulos 8 y 9 son rectos

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• DE UN SOLO TRAZO, ¿POSIBLE O IMPOSIBLE?

Un vértice es impar si de el parten un número impar de caminos. Un vértice es par si de el parten un

número par de caminos. El problema es imposible si en la

red hay más de dos vértices impares.

Es posible: a) Cuando todos los vértices son pares, y entonces el

punto de partida puede ser cualquiera. b) Cuando no hay más

de dos vértices impares, y entonces el recorrido comienza por uno de

ellos y termina en el otro.

.

SOLUCIÓN Se pueden dibujar de un solo trazo los de la fila superior. Es imposible para los de la fila inferior.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• ÁREA

Las áreas rayadas de la luna y el triángulo, ¿son iguales?

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

• SUPERFICIE

La zona sombreada representa un lago. ¿Cuál es la superficie del lago? Los terrenos que lo limitan son cuadrados.

SOLUCIÓN

•El lago es un triángulo rectángulo. Para hallar su área, basta saber la longitud de los catetos: Área = 5x12/2 = 30 m².

GEOMETRIA DEL ESPACIO

Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la figura, sabiendo que las caras del techo forman 120º con las paredes. Determinar las dimensiones de las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.

A

B C

E

F

G H

16 m

D

?

Es la parte de la Geometría que estudia los sólidos o figuras espaciales, es decir aquellas figuras cuyos puntos no pertenecen todos al plano sino al espacio tridimensional.

En la generación de las figuras espaciales surgen nuevos elementos como las superficies espaciales y los planos que estudiaremos a continuación.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

Un plano queda determinado de las siguientes formas:

a) Tres puntos no colineales determinan un plano.

b) Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.

A

B

C

C

B

A

c) Dos rectas secantes determinan un plano.

d) Dos rectas paralelas determinan un plano.

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS DE DOS PLANOS:

Planos Paralelos: Si no tienen ningún punto en común.

P // Q

Planos Secantes: Si se intersecan. La intersección de dos planos secantes es una recta.

P Q = AB

DE UNA RECTA Y UN PLANO:

Recta y Plano paralelos: Si no tienen ningún punto en común.

L1 // P

Recta y plano secantes: Si tienen un punto en común llamado “pie de la recta en el plano”.

L1 P = A

OBSERVACIÓN:Si la recta L es secante al plano P y perpendicular por lo menos a dos rectas contenidas en el plano P entonces:

L P

Recta contenida en el plano: Cuando la recta pasa por dos puntos del plano.

L1 P

TEOREMA DE THALES

Tres o más planos paralelos, determinan en dos rectas secantes a ellos y secantes entre sí, segmentos proporcionales.

A

B

C C’

B’

A’

L1L2 Si P // Q // R

AB

A’B’=

BC

B’C’

AC

A’C’=

Rectas Paralelas : Son aquellas que son coplanares y no tienen ningún punto común.

L1 // L2

Rectas Secantes : Son aquellas que tienen un punto en común.

L1 L2 = A

DE DOS RECTAS:

L1 L2

L1

L2

A

Rectas Cruzadas o Alabeadas: Son aquellas que no se cortan y no están contenidas en un mismo plano.

PROYECCIONES

Proyección de un punto sobre un plano: Es el pie de la perpendicular al plano trazada desde dicho punto

Proyección de una recta sobre un plano: Es el conjunto de las proyecciones de todos los puntos de la recta sobre dicho plano

A

A’

L1B

A

B’A’

ÁNGULOS

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO : Es el ángulo que forma la recta con su proyección sobre ese plano. es el ángulo que

forma L con el plano P

NOTA: es el menor ángulo que forma L con cualquier recta de P que pasa por O.

L

O

es el ángulo con que se cruzan L1 y L2. Por O se

trazó L3 // L2 y

luego se midió .

ÁNGULO ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN

El ángulo entre dos rectas que se cruzan es aquel formado por una de ellas y una paralela a la otra trazada por un punto cualquiera de la primera.

L1

L3

L2O

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

Si por el pie de una perpendicular a un plano trazamos otra perpendicular a una recta contenida en el plano, todo segmento que una el punto de intersección de estas dos últimas con un punto cualquiera de la perpendicular al plano, será perpendicular a la recta contenida en el plano.

L1

L2

O

H

90º

L1 POH L2

HR L2

R

ÁNGULO ENTRE PLANOS: ÁNGULO DIEDRO

Es aquel que está formado por dos semiplanos que tienen una arista común.

A

B

NOTACIÓN: Un diedro se denota indicando sus caras y arista. Ejm:

Diedro P- AB - Qo simplemente:

Diedro AB

caras

aris

ta

MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDROLa medida de un ángulo diedro está dada por la medida de su ángulo rectilíneo.El ángulo rectilíneo de un ángulo diedro está formado por dos rayos perpendiculares a la arista en un punto cualquiera, contenidos en una y otra cara del diedro.

Medida del diedro AB =

A

B

O

M

N

LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTELa línea de máxima pendiente en el Plano P es aquella perpendicular a una recta horizontal contenida en dicho plano.

A

B

AB = línea de máxima pendienteP

Plano Horizontal

Recta Horizontal

SÓLIDOS GEOMETRICO

S

POLIEDROS REGULARES*POLIEDROS O SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

*UN POLIEDRO ES REGULAR CUANDO SUS CARAS SON POLÍGONOS REGULARES DE IGUAL NÚMERO DE LADOS,

*SÓLO EXISTEN CINCO POLIEDROS REGULARES:

- TETRAEDRO REGULAR, HEXAEDRO REGULAR O CUBO, OCTAEDRO REGULAR, DODECAEDRO REGULAR E ICOSAEDRO REGULAR.

TETRAEDRO REGULAR• FORMADO POR TRES TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS. ES EL

QUE TIENE

• MENOR VOLUMEN DE LOS CINCO EN COMPARACIÓN CON SU

• SUPERFICIE. ESTÁ FORMADO POR 4 CARAS, 6 ARISTAS Y 4 VÉRTICES.

OCTAEDRO REGULAR

• FORMADO POR OCHO TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS. GIRA LIBREMENTE CUANDO SE SUJETA POR VÉRTICES OPUESTOS. ESTÁ FORMADO POR 8 CARAS, 12 ARISTAS Y 6 VÉRTICES.

ICOSAEDRO REGULAR•FORMADO POR VEINTE TRIÁNGULOS

EQUILÁTEROS. ES EL TIENE MAYOR VOLUMEN EN RELACIÓN CON SU SUPERFICIE . TIENE 20 CARAS, 30 ARISTAS Y 12 VÉRTICES.

HEXAEDRO REGULAR O CUBO

•FORMADO POR SEIS CUADRADOS. PERMANECE ESTABLE SOBRE SU BASE. ESTÁ FORMADO POR 6 CARAS, 12 ARISTAS Y 8 VÉRTICES.

DODECAEDRO REGULAR

• FORMADO POR DOCE PENTÁGONOS REGULARES. TIENE 12 CARAS, 30 ARISTAS Y 20 VÉRTICES.

POLIEDROS EN LA VIDA COTIDIANA

• LOS BALONES DE FÚTBOL HAN ESTADO HECHOS SIEMPRE CON 12 PENTÁGONOS Y 20 HEXÁGONOS (ICOSAEDRO TRUNCADO), AUNQUE HOY DÍA SE HAN CAMBIADO POR OTRA FORMA POLIÉDRICA MÁS REDONDEADA (EL PEQUEÑO RÓMBICOSIDODECAEDRO) QUE TIENE 20 TRIÁNGULOS, 30 CUADRADOS Y 12 PENTÁGONOS

“En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos”

*EN 1.996 SE CONCEDIÓ EL PREMIO NOBEL DE QUÍMICA A TRES INVESTIGADORES POR EL DESCUBRIMIENTO DEL FULLERENO( C60 ) CUYA FORMA ES UN ICOSAEDRO TRUNCADO.

*LOS PANALES DE ABEJAS TIENEN FORMA DE PRISMAS HEXAGONALES

*EL VIRUS DE LA POLIOMELITIS Y DE LA VERRUGA TIENEN FORMA DE ICOSAEDRO

*LAS CÉLULAS DEL TEJIDO EPITELIAL TIENEN FORMA DE CUBOS Y PRISMAS

P R I S M A S • UN PRISMA ES UN POLIEDRO LIMITADO POR DOS CARAS IGUALES Y

PARALELAS (BASES) Y TANTOS PARALELOGRAMOS (CARAS LATERALES) COMO LADOS TIENEN LAS BASES

•UN PRISMA SE LLAMA RECTO CUANDO SUS ARISTAS LATERALES SON PERPENDICULARES A LAS BASES Y OBLICUO EN CASO CONTRARIO.• La altura de un prisma será el segmento perpendicular a las bases comprendido entre estas.

Prisma Recto

Prisma Oblicuo

• SI LA BASE DEL PRISMA ES UN TRIÁNGULO, EL PRISMA SE LLAMARÁ TRIANGULAR; SI ES UN CUADRADO, SE LLAMARÁ CUADRANGULAR, ETC.

•HAY UNOS PRISMAS ESPECIALMENTE INTERESANTES DENTRO DE LOS PRISMAS CUADRANGULARES. ESTOS SON LOS PARALELEPÍPEDOS LLAMADOS ASÍ PORQUE LOS CUADRILÁTEROS DE LAS BASES SON PARALELOGRAMOS.

•Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro.

PIRÁMIDES

• CUANDO CORTAMOS UN ÁNGULO POLIEDRO POR UN PLANO, SE OBTIENE UN CUERPO GEOMÉTRICO LLAMADO PIRÁMIDE. EN LA FIGURA SE INDICAN LOS ELEMENTOS MÁS NOTABLES DE UNA PIRÁMIDE.

• LAS PIRÁMIDES SE PUEDE CLASIFICAR DE FORMA ANÁLOGA A LOS PRISMAS. ASÍ, HAY PIRÁMIDES RECTAS Y OBLICUAS, SEGÚN QUE EL CENTRO DEL POLÍGONO DE LA BASE COINCIDA O NO CON EL PIE DE LA ALTURA DE LA PIRÁMIDE, Y REGULARES E IRREGULARES, SEGÚN QUE EL POLÍGONO DE LA BASE SEA O NO REGULAR.

Base

ASÍ MISMO, SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS DEL POLÍGONO DE LA BASE, LA PIRÁMIDE SERÁ TRIANGULAR, CUADRANGULAR, PENTAGONAL, ETC.

TRONCO DE PIRÁMIDE

•SI CORTAMOS UNA PIRÁMIDE POR UN PLANO, OBTENEMOS UN TRONCO DE PIRÁMIDE, QUE SERÁ RECTO U OBLICUO, SEGÚN QUE EL PLANO SEA O NO PARALELO A LA BASE. FÍJATE EN QUE LAS CARAS LATERALES DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE SON TRAPECIOS Y CUANDO ÉSTE ES REGULAR, ENTONCES LOS TRAPECIOS SON ISÓSCELES IGUALES Y SU ALTURA COINCIDE CON LA APOTEMA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE. POR OTRA PARTE, LAS BASES SON POLÍGONOS SEMEJANTES.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

CILINDRO • EL CILINDRO ES EL CUERPO GEOMÉTRICO GENERADO POR UN

RECTÁNGULO AL GIRAR EN TORNO A UNO DE SUS LADOS.

   

  

ÁREA LATERAL

AL = 2 · p · r · g

ÁREA TOTAL

AT = AL + 2 · Ab

VOLUMEN V = Ab · h

FORMAS CILÍNDRICAS EN LA REALIDAD

CONO

.

     El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

ÁREA LATERAL

AL = p · r · g

ÁREA TOTAL

AT = AL +  Ab

VOLUMEN

V = Ab · h/ 3

Generatriz (g)

radioBase

Altura (h)

Formas Cónicas en la realidad

ESFERA

La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

Para calcular su área:

Para calcular su volumen:

 

24 R

3

4

3R

Radio

FORMAS ESFÉRICAS EN LA REALIDAD