geometría analítica la elipse

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AUTOR: PROF. MARIA ISABEL ESPINDOLA ASIGNATURA: MATEMATICA TEMA Nº 1 LA CIRCUNFERENCIA NIVEL: 6to. DE SECUNDARIA GEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA 1. DEFINICION La circunferencia es una línea cerrada, curva y plana cuyos puntos tienen la misma distancia a otro punto llamado centro. 2. CIRCUNFERENCIA A NUESTRO ALREDEDOR 3. ELEMENTOS Centro: Es el punto en el que equidistan los puntos de la circunferencia. Radio: Es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro. ¿Qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?

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Page 1: Geometría analítica la elipse

AUTOR: PROF. MARIA ISABEL ESPINDOLA

ASIGNATURA: MATEMATICA

TEMA Nº 1 LA CIRCUNFERENCIA

NIVEL: 6to. DE SECUNDARIA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

LA CIRCUNFERENCIA

1. DEFINICION

La circunferencia es una línea cerrada, curva y plana cuyos puntos tienen la misma distancia a

otro punto llamado centro.

2. CIRCUNFERENCIA A NUESTRO ALREDEDOR

3. ELEMENTOS

Centro: Es el punto en el que equidistan los puntos de la circunferencia.

Radio: Es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.

¿Qué figuras tienen

la forma de círculo y

circunferencia?

Page 2: Geometría analítica la elipse

Cuerda: Es un segmento que un dos puntos de esta cuerda, el radio es perpendicular a la

cuerda en su punto medio.

Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.

Arco: Es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

4. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Exterior: Una recta es exterior a una circunferencia si no tienen ningún punto en común.

Tangente: Una recta es tangente a una circunferencia si tienen un punto en común.

Page 3: Geometría analítica la elipse

Secante: Una recta es secante a una circunferencia si tienen dos puntos en común.

5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro

Circunferencias Secantes, tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.

Tangentes interiores, la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los

radios.

Page 4: Geometría analítica la elipse

Tangentes exteriores, la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

6. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Ecuación general de la circunferencia

Ecuación reducida de la circunferencia: Si el centro de la circunferencia coincide con el

origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

7. EJERCICIOS RESUELTOS

a) Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

b) Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el

radio.

8. EJERCICIOS PROPUESTOS

a) Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

Page 5: Geometría analítica la elipse

b) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, -3) y es

tangente al eje de abscisas.

c) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en ( -1, 4) y es

tangente al eje de ordenadas.

d) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices:

A (0, 0), B (3, 1), C (5, 7).

Page 6: Geometría analítica la elipse

TEMA Nº 2 LA ELIPSE

NIVEL: 6to. DE SECUNDARIA

LA ELIPSE

1. DEFINICIÓN

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos

puntos fijos, F1 y F2, llamados focos es una constante positiva. Es decir:

Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano oblicuo al eje y forma con este eje un

ángulo mayor que el ángulo formado por la generatriz con el eje, los puntos pertenecientes

igualmente al plano y al cono forman una elipse.

2. ELIPSES A NUESTRO ALREDEDOR

Page 7: Geometría analítica la elipse

3. PROPIEDADES DE LA ELIPSE

Veamos la propiedad fundamental de una elipse.

Para ello, marca dos puntos en un plano, separados por ejemplo 4 centímetros. Los llamaremos los

focos de la elipse. Escoge ahora un número mayor que 4, pongamos 10. La figura que resulta de

marcar todos los puntos cuyas distancias a los focos suman 10 es una Elipse.

4. ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Focos. Son los puntos fijos F1 y F2.

Eje focal. Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario. Es la mediatriz del segmento F1F2.

Centro. Es el punto de intersección de los ejes.

Radios vectores. Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF1 y PF2.

Distancia focal. Es el segmento F1F2 de longitud 2c, c es el valor de la semi distancia focal.

Page 8: Geometría analítica la elipse

Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: V1, V2, B1, B2.

Eje mayor. Es el segmento V1V2 de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

Eje menor. Es el segmento B1B2 de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

Ejes de simetría. Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

Centro de simetría. Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes

de simetría.

5. ECUACIONES DE LA ELIPSE

a) CANÓNICA

b) ORDINARIA

c) GENERAL.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE

Si en la ecuación de la elipse el denominador de x2 es mayor que el denominador de y2, entonces el

eje focal coincide con el eje X. En caso contrario, el eje focal coincide con el eje Y.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE

Page 9: Geometría analítica la elipse

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso similar al realizado para obtener la

ecuación general de la circunferencia, se llega a la ecuación general de la elipse, donde los

coeficientes A y B deben tener el mismo signo.

6. EJERCICIOS PROPUESTOS

a) Halla el centro y los focos de la elipse de ecuación:

b) Reduce la ecuación x2 + 4y2 – 6x + 16y + 21= 0 a la forma ordinaria de una elipse y determina

las coordenadas del centro, vértices, focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la

cuerda focal y la excentricidad.

c) Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos en los puntos (0; -3) y (0; 3) y

eje mayor igual a 10 u.

d) Halla la ecuación de la elipse de excentricidad 2/3 y cuyos focos son los puntos (-2; 6) y (8; 6).

e) Determina la ecuación de la elipse cuyo centro de gravedad está en el origen e coordenadas,

el eje mayor a lo largo del eje X, el lado recto es igual a 6 y el valor de la excentricidad es 1/2.

f) Halla la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado recto) es 5 y sus

vértices los puntos (-10;0) y (10; 0).

g) Las distancias de un punto P de una elipse a sus focos F1 y F2 son 6 y 8 cm. Calcula e, si m <

F1 P F2 = 90º

h) En la elipse 4x2 + 9y2 = 36. El área del triángulo formado por un lado recto y los segmentos

que unen los extremos con el centro de la elipse es:

i) Halla la ecuación de la elipse que tiene por centro el punto (2; 4), la distancia del centro a los

focos es 3, su excentricidad 1/3 y la elipse es de eje vertical.

Page 10: Geometría analítica la elipse

TEMA Nº 3 TRIGONOMETRIA

NIVEL: 5to. DE SECUNDARIA

Trigonometría

Resolución de Triángulos Rectángulos

1. Importancia de la Trigonometría

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las relaciones entre los

lados y los ángulos de un triángulo.

Este estudio da pie a considerar una serie de funciones (seno, coseno, tangente...) que dan lugar a

un campo mucho más amplio que el considerado inicialmente y que se aplica sobre todo a

fenómenos de tipo periódico, como son las ondas electromagnéticas.

En la antigüedad, se usó para los estudios astronómicos. Hoy en día, además, la trigonometría juega

un papel clave en los sistemas de posicionamiento global (GPS).

2. Triángulos rectángulos

Se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-

grados.

3. Elementos de un Triángulos rectángulos

4. Triángulos rectángulos en nuestro alrededor

Page 11: Geometría analítica la elipse

5. Razones Trigonométricas

Seno de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

𝑠𝑒𝑛 ∝=𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Coseno de un ángulo: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

𝑐𝑜𝑠 ∝=𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Tangente de un ángulo: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

𝑡𝑎𝑛 ∝=𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

6. Signo de las Razones Trigonométricas

En los cuatro cuadrantes

7. Razones Trigonométricas de Ángulos Notables

8. Resolución de Triángulos Rectángulos

Resolver un triángulo consiste en hallar los lados, ángulos y área.

Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un

ángulo distinto del recto.

Page 12: Geometría analítica la elipse

Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de

triángulos rectángulos:

Se conocen la hipotenusa y un cateto

Se conocen los dos catetos

Se conocen la hipotenusa y un ángulo

agudo

Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Ejercicio

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m

c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

Problemas

Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un

ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60˚

Page 13: Geometría analítica la elipse

Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km.

El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?

Page 14: Geometría analítica la elipse