3_regim transitori

3. Evolució temporal: règim transitori

Abans d’iniciar aquest capítol cal introduir dos nous elements passius, anomentats condensador i bobina, que són bàsics en la teoria de circuits.

3.1. Condensador És un element que emmagatzema (temporalment) càrregues elèctriques. En la seva forma més senzilla consisteix en dues plaques metàl·liques paral·leles i separades, però molt properes. Si carreguem una d’elles amb càrregues positives (traient-li electrons) això atrau càrregues negatives (electrons) a l’altra placa, de manera que queda:

+++++

- - - - -

càrrega +Q càrrega -Q

Aquestes càrregues produeixen un camp elèctric, i per tant una diferència de potencial:

+++++

- - - - -

+Q -Q

E

V + -

Electricitat i Electrònica 3-1

Els valors de |Q| i V són proporcionals. La constant de proporcionalitat es diu capacitat del condensador:

VQC ≡

C només depèn de la geometria del condensador i del tipus de material aïllador que hi ha entre les plaques (aire, ceràmica, ...). De la definició resulta que la càrrega que emmagatzema un qualsevol dels dos elèctrodes del condensador quan se li aplica una diferència de potencial V, ve donada per

Q = C · V (positiva a un elèctrode i negativa a l’altre, però igual en magnitud als dos). Per tant, per a la mateixa V, aquesta càrrega serà més gran si la capacitat és més gran. Unitat de capacitat:

)(FFaradiVolt

Coulomb≡

(el nom ve de Michael Faraday, Anglaterra, 1791-1867). Cal tenir en compte que el Faradi és una unitat molt gran. Si considerem un condensador amb plaques esfèriques, separades entre elles 1 mm, haurà de tenir un radi de 3000 m (!!) per a tenir una capacitat de 1 F. Per tant, els condensadors que es fan servir normalment tenen valors de capacitat molt més petits que 1 F. Per exemple: 10-6 F = μF (microFaradi) 10-9 F = nF (nanoFaradi) 10-12 F = pF (picoFaradi) Relacions corrent – potencial: Recordem que el valor de la intensitat del corrent es defineix com:

dtdqi =


i com que q = C · v, obtenim: dq = C · dv i llavors:

dtdvCi =

Per tant, a un condensador només hi ha corrent si hi ha una variació de potencial amb el temps. Símbol: C Associació de condensadors A- Associació en sèrie C1 C2

+Q +Q -Q -Q

V1 V2

V

En aquest cas la càrrega que hi ha a cada elèctrode és la mateixa. Tenim: V = V1 + V2 Per a cada condensador:

1

1 CQV =

22 C

QV =

Llavors:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

2121

11CC

QCQ

CQV


Si definim el condensador equivalent Ceq al conjunt de condensadors en sèrie com aquell que ens dóna la mateixa Q quan apliquem la mateixa V: Ceq

+Q -Q V

eqCQV =

i per tant:

21

111CCCeq

+= o sigui:

21

111

CC

Ceq+

=

B- Associació en paral·lel C1

C2

+Q1 -Q1

+Q2 -Q2

V

En aquest cas la diferència de potencial és la mateixa. Tenim:

Q = Q1 + Q2

La càrrega que tindrà cada condensador serà: Q1 = C1 · V Q2 = C2 · V


i llavors: Q = C1 · V + C2 · V = (C1 + C2) V Si definim el condensador equivalent com en el cas anterior, Q = Ceq V, obtenim: Ceq = C1 + C2

3.2. Bobina Els corrents elèctrics i els camps magnètics (els responsables de la força dels imants) estan interrelacionats: - Una càrrega elèctrica en moviment (i per tant també un corrent elèctric) produeix un camp magnètic. - Una variació en el temps d’un camp magnètic indueix una diferència de potencial (és a dir, un camp elèctric) en un conductor situat en el camp. Aquest fenomen s’anomena inducció electromagnètica. Una bobina és un element format per un fil conductor que forma un conjunt d’espires (circumferències) juntes:

i

- Quan passa un corrent “i” per la bobina es produeix un camp magnètic B

r

(que té intensitat màxima a l’interior de la bobina). - Si aquest corrent varia, varia també el camp magnètic. - Si varia el camp magnètic, s’indueix una diferència de potencial a la pròpia bobina, perquè és un conductor situat dins del camp magnètic. Aquest fenomen s’anomena autoinducció). Relació entre la variació del corrent i la diferència de potencial induïda:

i


dtdiLv =

El potencial induït s’oposa a la variació del corrent “i” que el produeix. La constant de proporcionalitat “L” es diu inductància de la bobina. La unitat d’inductància és el Henry (H), i la seva equivalència es dedueix de la fórmula anterior:

Ampère

segonVoltHenry

⋅=

(el nom ve de Joseph Henry, Estats Units, 1797-1878). El símbol elèctric d’una bobina és el representat abans:

v

L Una autoinducció (bobina) emmagatzema energia en el camp magnètic que genera. Associació de bobines: A- Associació en sèrie:

i

v1 v2

v En aquest cas la intensitat és la mateixa a les dues bobines. Tenim: v = v1 + v2 Per a cada bobina:


dtdiLv 11 =

dtdiLv 22 =

i llavors:

dtdiLL

dtdiL

dtdiLv )( 2121 +=+=

Si definim la bobina equivalent Leq al conjunt de bobines en sèrie com una bobina que dóna el mateix corrent quan té aplicat el mateix potencial:

dtdiLv eq=

Leq i

v i per tant: Leq = L1 + L2 B- Associació en paral·lel

i i1

i2v

En aquest cas el potencial és el mateix per a les dues bobines. Tenim: i = i1 + i2

si ho derivem respecte al temps: dtdi

dtdi

dtdi 21 +=

Per a cada bobina:


1

1Lv

dtdi

= 2

2Lv

dtdi

=

i per tant:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

2121

11LL

vLv

Lv

dtdi

si definim, com abans, una bobina equivalent, serà: eqLv

dtdi

=

i per tant:

21

111LLLeq

+= , o sigui:

21

111

LL

Leq+

=

3.3. Circuits amb capacitats i inductàncies Al capítol 2 hem vist només circuits amb resistències. Ara considerarem circuits que tinguin també capacitats o inductàncies. Des del punt de vista de l’anàlisi dels circuits, el que diferencia els condensadors i bobines de les resistències és que les seves equacions que relacionen “I” i “V” inclouen derivades:

dtvd

Ci CC = ;

dtid

Lv LL =

Això és degut a que emmagatzemen energia (al camp elèctric en un condensador i al camp magnètic en una bobina), cosa que no fan les resistències. L’efecte de les derivades és que el que està determinat en cada moment és la variació de tensió “v” o corrent “i”, i no els seus valors precisos, que dependran doncs d’aquesta variació i també del valor que tenien abans de variar.


Matemàticament, el fet de que ens apareguin les derivades té com a conseqüència que, al aplicar les lleis de Kirchhoff a un circuit que tingui C i/o L s’obtenen equacions diferencials (equacions en les que apareixen, a més de les incògnites a determinar, les derivades de les incògnites) en lloc d’equacions algebraiques. Independentment d’aquesta particularitat matemàtica, tots els mètodes de resolució de circuits discutits al capítol 2 (lleis de Kirchhoff, principi de superposició, teoremes de Thévenin i Norton) són aplicables a circuits que contenen capacitats i inductàncies.

3.4. Mètode de resolució Segons el que hem dit a l’apartat anterior, el mètode general de resolució d’un circuit que tingui resistències, condensadors i bobines és el següent:

1. Aplicar les lleis de Kirchhoff i les equacions i-v dels elements del circuit. Això ens donarà l’equació que relaciona la sortida amb l’entrada, que serà una equació diferencial.

2. Resoldre aquesta equació. Això ens donarà (com veurem després) unes constants arbitràries.

3. Obtenir els valors d’aquestes constants a partir de les condicions inicials del circuit (valors de “i” ó “v” ó les seves derivades a l’inici del funcionament del circuit).

Al resoldre els circuits amb R, C, L (nosaltres només considerarem un sol condensador ó bobina) ens trobarem equacions del tipus:

ττkty

dtdy

=+ )(1 (1)

En aquesta equació: • “k” és constant, i és l’entrada (v ó i) que apliquem al circuit. • “τ” és una constant que depèn dels elements del circuit. Es diu constant

de temps, i dóna idea del temps que triga el circuit en arribar a l’estat estacionari. Té unitats de temps.


La solució general d’aquesta equació és de la forma: y(t) = A + B e-t/τ

on A i B són constants que depenen del senyal d’entrada que s’aplica i de les condicions inicials. Per a trobar els valors de A i B, substituïm en primer lloc la solució a l’equació, tenint en compte que:

ττ

teB

dttdy −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

1)(

Obtenim:

τττ

ττ keBAeB tt=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

−− 1

o sigui: A = k. Tenim, doncs: y(t) = k + B e-t/τ

El valor de B l’obtenim de la condició inicial, és a dir, el valor de la solució per a t=0, y(0), que suposem conegut: y(0) = k + B e0 = k + B d’on: B = y(0) - k La solució completa és doncs: y(t) = k + [y(0) – k] e-t/τ (2)


Que podem representar com: y(t)

t 0

k

y(0) y(0) < k

y(t)

t 0

k

y(0) y(0) > k

3.4.1. Circuit RC És el circuit que té un condensador en sèrie amb una resistència:

V

+

vR(t)

R

CiC

iR vC(t)


- El condensador està descarregat a t=0 (és a dir, vC(0) = 0). - S’aplica un potencial “V” constant a partir de t=0. - Cal trobar com varien amb el temps els potencials al condensador i a la resistència, i el corrent. En aquest circuit tenim: iR = iC Els corrents són:

R

tvti RR

)()( = dt

tvdCti C

C)(

)( =

i per tant:

dt

tvdC

Rtv CR )()(=

De la llei de les malles obtenim la relació entre vR i vC: vR(t) = V – vC(t) que, substituïda a l’equació anterior ens dóna:

dt

tvdC

RtvV CC )()(=

−

que podem posar com:

RCVtv

RCdttvd

CC =+ )(1)(

Aquesta és l’equació que ens dóna l’evolució del circuit amb el temps. Veiem que té la mateixa forma de l’equació general (1), si fem: y(t) = vC(t)

k = V

τ = RC Per tant la solució d’aquesta equació serà la que ja hem vist a l’equació (2):


vC(t) = V + [vC(0) – V] e-t/(RC)

En el nostre cas tenim que vC(0) = 0, perquè el condensador està inicialment descarregat. Per tant queda: vC(t) = V [1 – e-t/(RC)] que es pot representar com:

vC(t)

t 0

V

V (1-1/e)

τ = RC

τ = R C és la constant de temps del circuit. Quan t = τ queda: vC(τ) = V (1 – e-1) = 0,63 V i per tant el temps τ correspon al temps necessari perquè el condensador es carregui al 63 % del màxim. Veiem com varia el potencial a la resistència: vR(t) = V – vC(t) Substituint vC(t), queda: vR(t) = V - [V – V e-t/(RC)] = V e-t/(RC)


que es pot representar com:

vR(t)

t 0

V

El corrent variarà de manera similar al potencial a la resistència, perquè:

RCtR e

RV

Rtv

ti−

==)(

)(

Veiem que, al

moment de connectar la font de tensió, ha començat a passar un corrent controlat per la resistència, i al condensador no hi havia diferència de potencial. Després el condensador s’ha anat carregant (i augmentant la diferència de potencial vC entre els seus terminals). A mida que vC augmenta, disminueix en la mateixa quantitat vR, perquè el total és fix i igual a “V”. Finalment, quan el condensador s’ha carregat fins a tenir el potencial a prop de “V”, quasi tot el potencial és al condensador, no hi ha pràcticament potencial a la resistència, i per tant no hi ha pràcticament corrent.

i(t)

t 0

V/R

Per a temps grans, doncs: i(t ∞) = 0.


Això ens permet deduir la següent propietat, que és general:

Per a circuits amb entrada constant, en estat estacionari (permanent) les capacitats són equivalents a circuits oberts.

En efecte, al nostre cas per a un temps infinit ens queda:

V

+

R

i = 0 vC = V

Podem veure també que al connectar la font de tensió, inicialment el potencial al condensador vC(t) no ha variat. Per tant: La diferencia de potencial en un condensador és una funció continua del temps. No pot canviar instantàniament. O dit d’una altra manera, en un condensador no hi pot haver salts de tensió. Això és degut a que el corrent en el condensador és:

dt

tvdCti C

C)(

)( =

si hi ha una variació de potencial dvC que es fa en un temps zero (dt = 0), s’obté una derivada infinita:

∞→dtvd C

i això voldria dir un corrent infinit, cosa que evidentment no és possible.


3.4.2. Circuit RL És el circuit que té una bobina en sèrie amb una resistència:

V

+

vR(t)

R

Li(t)

vL(t)

- S’aplica un potencial “V” constant a partir de t=0. - Inicialment (t=0) no hi ha corrent (és a dir, i(0) = 0). - Cal trobar com varien amb el temps el corrent i els potencials a la bobina i a la resistència. Aplicant la llei de les malles, tenim: V = vR(t) + vL(t) Els potencials a la resistència i a la bobina seran:

vR(t) = R i(t) dt

tidLtvL)()( =

i substituint-ho, obtenim:

dt

tidLtiRV )()( +=

és a dir:

LVti

LR

dttid

=+ )()(


Aquesta és l’equació que ens dóna l’evolució del circuit amb el temps. Veiem que té la mateixa forma de l’equació general (1), si fem: y(t) = i(t)

k = V/R

τ = L/R Per tant la solució d’aquesta equació serà la que ja hem vist a l’equació (2):

t

LR

eRVi

RVti

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= )0()(

Si a t=0 no passa corrent, tenim que i(0) = 0, i queda:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

− tLR

eRVti 1)(

Aquest corrent es pot representar com: i(t)

t 0

V/R

V(1-1/e)/R

τ = L/R


Les tensions a la resistència i a la bobina les obtenim a partir del corrent: vR(t) = R i(t) = V (1 – e – Rt/L) vL(t) = V – vR(t) = V - (V – V e – Rt/L) = V e – Rt/L

que es poden representar com: v(t)

t 0

V vR(t)

vL(t)

Veiem que, al moment de connectar la font, no hi ha corrent i tot el potencial s’utilitza a la bobina. Després el corrent va creixent, i per tant també ho fa la diferència de potencial a la resistència. Com que el potencial total és constant, al mateix temps baixa el potencial a la bobina. Al cap d’un temps llarg, tot el potencial s’utilitza a la resistència, i no n’hi ha a la bobina. El corrent final el determina la resistència. Per a temps grans, doncs: vL(t ∞) = 0, i i(t ∞) = V/R. Això ens permet deduir la següent propietat, que és general:

Per a circuits amb entrada constant, en estat estacionari (permanent) les inductàncies són equivalents a curtcircuits.


En efecte, al nostre cas per a un temps infinit ens queda:

V

+

R

i = V/R vL = 0

Podem veure també que al connectar la font de tensió, inicialment el corrent a la bobina i(t) no ha variat. Per tant: El corrent en una bobina és una funció continua del temps. No pot canviar instantàniament. O dit d’una altra manera, en una bobina no hi pot haver salts de corrent. Això és degut a que el potencial en la bobina és:

dt

tidLtvL)()( =

si hi ha una variació de corrent di que es fa en un temps zero (dt = 0), s’obté una derivada infinita:

∞→dt

id

i això voldria dir un potencial infinit, cosa que evidentment no és possible. Nota: Hem vist que no hi pot haver salt de potencial a un condensador ni salts de corrent a una bobina. Les demés possibilitats no estan prohibides. És a dir, sí que hi pot haver: • Salts de corrent i de tensió a una resistència • Salts de corrent a una capacitat • Salts de tensió a una inductància.


3.5. Evolució transitòria entre estats estacionaris Suposem que a un circuit se li han estat aplicant durant molt de temps unes fonts de tensió i/o de corrent constants. Aquest circuit haurà arribat a l’estat estacionari (o permanent) que hem vist en els circuits anteriors. Llavors les tensions i corrents al circuit tindran valors constants (estacionaris). Aquests valors seran els valors finals que s’obtinguin de calcular l’evolució transitòria del circuit. Si ara es fa una variació al circuit (com ara variar el valor d’una font, ó obrir o tancar un interruptor) s’iniciarà una nova evolució transitòria que tindrà com a valors inicials els valors estacionaris que tenia el circuit. Un cop acabada l’evolució transitòria el circuit arribarà a un nou estat estacionari. Veurem aquí com es poden trobar directament els estats estacionaris dels circuits, i com s’han de fer servir per a calcular les evolucions transitòries entre un estat estacionari i el següent.

I0, V0 I1, V1

I2, V2 Cond. inicials

Transitori

Transitori

Estat final (estacionari)

Cond. inicials Estat final (estacionari)

3.5.1. Determinació de l’estat estacionari d’un circuit Ens interessa ara determinar quin serà l’estat final (estacionari) d’un circuit després de fer una evolució transitòria del tipus que hem vist pels circuits RC i RL. Quan s’arriba a l’estat estacionari, els corrents “i” i les tensions “v” són constants, és a dir, no varien amb el temps. Llavors tindrem que, a una bobina:

0==dtdiLvL


i per tant a una bobina en estat estacionari no hi ha diferència de potencial, o sigui, es comporta com un curtcircuit. Això ja ho hem vist al estudiar el circuit RL. De la mateixa manera, a un condensador:

0==dtdvCiC

i per tant a un condensador en estat estacionari no hi ha corrent, o sigui, es comporta com un circuit obert. Això ja ho hem vist al estudiar el circuit RC. El mètode de trobar l’estat final (estacionari) d’un circuit és doncs el següent:

a) substituir les inductàncies per curtcircuits

b) substituir les capacitats per circuits oberts

c) resoldre el circuit resistiu que queda aplicant els mètodes generals del capítol 2

Exemple: Trobar els valors estacionaris dels corrents i els potencials indicats al següent circuit, si la font de tensió “E” es connecta a t=0, i inicialment són tots zero:


E

+

R2

L2 v2v3

v1

R1 Ci2

i1

L1 i3

L’estat estacionari el trobem substituint les bobines per curtcircuits i els condensadors per circuits oberts:

E

+

R2

v2∞ v3∞

v1∞

R1 i2∞ i1∞

i3∞

D’on obtenim directament:

21

31 RREii+

== ∞∞ ; i2∞ = 0

ERR

Rv

21

22 +

=∞ (ja que és un divisor de tensió)

ERR

RvEv

21

121 +

=−= ∞∞ ; v3∞ = 0


3.5.2. Determinació dels valors inicials d’un règim transitori Hem vist a l’apartat anterior com calcular l’estat final d’un circuit després d’un període transitori. Ara volem veure com calcular l’estat del circuit abans del període transitori, és a dir, l’estat inicial. Determinar l’estat inicial del circuit serà trobar tots els valors dels corrents i els potencials al circuit, abans de començar un període transitori. Per a fer això cal considerar dos casos diferents: a) El circuit ha estat “desconnectat” fins que s’inicia el període transitori. En aquest cas: • Els condensadors estan descarregats. Llavors sabem que la diferència de potencial entre els seus terminals és zero. És a dir,

vC = 0 i per tant, pel que fa al potencial, el condensador és com un curtcircuit. • Les bobines no tenen corrent, és a dir:

iL = 0 i per tant, pel que fa al corrent, la bobina és com un circuit obert. Aquestes dues condicions es poden fer servir per a calcular les condicions inicials (corrents i voltatges) a qualsevol punt del circuit.


Exemple: Quines són les condicions inicials per al següent circuit, si ha estat desconnectat fins el moment en que es posa en marxa la font “E” ?

E

+ R L vR(0)

C

Per a trobar les condicions inicials, posem els condensadors com a curtcircuits i les bobines com a circuits oberts:

E

+ R vR(0) = E

per tant, comi es veu a l’esquema, la condició inicial pel voltatge a la

sistència (i a la bobina) és igual a “E”. re


b) El circuit ha estat funcionant abans d’iniciar el periode transitori. En

Els condensadors estan carregats, i per tant tenen un cert potencial. Les bobines tenen corrent.

a determinació de les condicions inicials al circuit es fa en aquest cas de següent manera:

rregada per una capacitat del mateix valor escarregada més una font de tensió en sèrie, de valor el del potencial que

esprés es calculen les condicions inicials i l’evolució del transitori com al as (a), perquè ara el condensador està descarregat.

aquest cas: •• Lla • Es substitueix una capacitat cadtingui el condensador carregat:

iC(t)

dc

v0

+ vC(t) vC(0)=v0

C

iC(t)

vC(t)

C

vC(0)= 0



• Es substitueix una inductància amb corrent per una inductància del mateix valor sense corrent més una font de corrent en paral·lel, de valor el del corrent que tingui la inductància amb corrent:

després es calculen les condicions inicials i l’evolució del transitori com al cas (a), perquè ara la bobina no té corrent.

i0vL(t)

iL(0)=i0

L

iL(t)

vL(t) L

iL(0)= 0

iL(t)

Valors inicials: v(0) i(0)

Règim permanent (Estat estacionari): v(∞) i(∞)ττ

ktvdt

tdv=+ )(1)(

v(t) = k + [v(0)-k] e-t/τ

[ó i(t)]

Transitori

C : iC = 0 circuit obert L: vL = 0 curtcircuit

C descarregat : vC = 0 curtcircuit L sense corrent: iL = 0 circuit obert

C carregat : font V + C descarregat (serie)

L amb corrent: font I + L sense corrent (paral.)


RESUM

Exemple 1: Suposem el següent circuit:

1 Ω

2V

+ 1 Ω vo(t) C = 1 F

• L’interruptor es tanca a t = 0 • Inicialment C està descarregat. • Cal trobar com varia el potencial de sortida amb el temps: vo(t) a) Calculem els valors inicials (t = 0): Com que el condensador està descarregat, el podem substituir per un curtcircuit, i el circuit queda:

2V

+ 1 Ω vo(0)

1 Ω t = 0


o el que és el mateix (perquè el paral·lel d’una resistència i una resistència zero és una resistència zero):

2V

+ 1 Ω vo(0) = 2V

t = 0 b) Calculem els valors en l’estat estacionari (permanent) (t = ∞): En aquest cas pel condensador ja no passarà corrent, i es comportarà com un circuit obert:

2V

+ 1 Ω vo(∞)

1 Ω t = ∞

v0(∞) es pot calcular tenint en compte que el circuit és un divisor de tensió:

VVvo 1211

1)( =+

=∞


c) Tenim ja doncs el valor de vo al inici (2 V) i al final (1 V). Ens cal ara calcular com evoluciona amb el temps entre aquests dos valors. Els corrents al circuit seran:

E

+ 1 Ω vo(t) C = 1 F

1 Ω

vC(t)

i1(t)

iC(t)

i(t)

Al nus marcat, tindrem: i(t) = i1(t) + iC(t) Substituïm ara cada corrent pel seu valor:

dt

dvC

tvtv CCo +Ω

=Ω 1

)(1

)(

i com que vC(t) = E – vo(t), podem posar:

[ ]

dttdvCtvE

dttvEdCtvEtv o

oo

oo)()()()()( −−=

−+−=

o sigui: dt

tdvCtvE oo

)()(2 +=

que, substituint E i C pels seus valors, queda:

2)(2)(

=+ tvdt

tdvo

o


Aquesta equació és de la forma (2) (p. 3-7) amb τ = ½. Té, per tant, una solució del tipus: vo(t) = k + [vo(0)-k] e-2t

d) Ens queda calcular la constant k. Ho farem a partir de la condició final. Recordem que inicialment (t = 0) tenim: vo(0) = 2 (condició inicial) Al final (t = ∞) tenim: vo(∞) = k = 1 (condició final) La solució completa és doncs: vo(t) = 1 + e-2t

Podem representar ara vo(t) i també vC(t) = E – vo(t) = 2 – (1 + e-2t) = = 1 – e-2t . v(t)

t 0

2V vo(t)

vC(t)

1V


3_regim transitori

Documents