ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ESTADO TRANSITORIO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

ELÉCTRICO EN LA ESPECIALIZACION DE POTENCIA

MILTON ABDON TOAPANTA OVOS

1

QUITO - NOVIEMBRE - 1977

Certifico que el presente.trabajo fue

realizado por el Sr. Mitón, Toapanta

Oyos bajo mi dirección.

g. Mentor Poveda

00.1 V .o

A MIS PADRES, MI EXESPUSAS

HERMANOS

1 - AGRADECIMIENTO

Al Sr. Ing. Mentor Poveda, Director de Tesis, quien con su

guía hizo.posible que este trabajo salga adelante y a to -

das las personas que conforman el Departamento de Potenciai

y Centro de Computación. • . " ' .

.J

' ÍNDICE GENERAL'

CAPITULO I ' . ' ' ' ' PAGINA

LA MAQUINA DE INDUCCIÓN . .

Introducción ¡ ....:. 1

1.1. Principio de funcionamiento 4

1.2. Descripción Matemática de la máquina de inducción.. 5

•*• " 1'. 2.1. Ecuaciones de la máquina de inducción . 6

f| " 1.2.1.a/ Ecuaciones de la máquina de inducción referidas al

estator -. . 10

1.2.2. Transformación de variables a un sistema de ejes ar_

bitrario's .'de referencia 13

1.2.2.a. Ecuaciones de las concatenaciones de flujo en varia_

. bles... , - 17

. . ^ 1,2.2.b. Ecuaciones de voltaje en las variables q-d 19

• - 1.2,2.c. Ecuación del torque en el sistema de referencia ar-

bitrario ; , 27I .. .' ; -f . 1.3. .El estado estacionario como caso particular 28

^ x 1.3,1. Análisis del circuito equivalente.......t .s,.....,B 34.

1.3,2. Característica torque-deslizamiento, 36

CAPITULO TI •

'PRUEBAS D E LABORATORIO - . 4 1¡

" 2,1. Determinación de parámetros , 45

- - 2.2, Cortocircuito simétrico en la alimentación 47

2,3. Transitorio de .arranque , 51

-£• CAPITULO III

J. • M3DELO DIGITAL j . ' '": •

3,1, Consideraciones básicas,., 57

i • , . PAGINA

] • '3.2. Ecuaciones diferenciales del motor de inducción.. 57

3.2.1. Ecuaciones del modelo en sistema p.u 64

3.3. . M§todo :de solución 70

3.3.1. Aplicación del método de eliminación de gauss en

el cálculo de las corrientes iniciales 71

3.3.2. Aplicación- del método de Runge-Kutta (R-K) en -

• las ecuaciones diferenciales de concatenación de

flujo.;; — 72

3.3.3. Descripción del méltodo de solución ..." 74

3.4. Programa digital y diagramas de flujo _ -77

3.4.1. Programa principal, bloques y subrutinas 77

3.4.2, Diagramas de f luj o , 82

3.5.. Ejemplos de aplicación y resultados.....,,,,,,., 99

3.5.1. Ejemplos de aplicación ,..,.' * 99

3.5.2. Resultados ., e •. 101

CAPITULO*IV ; ' • . :

ANÁLISIS DE RESULTADOS ' ' "

4,1. Comparación de resultados -,. • 107

. 4.2. Restricciones.,.,..,., ,"• ' 116

4,3. Conclusiones y recomendaciones .....,.,,., 116

"4.3,1. Conclusiones..,.,.,,.,,-,.,. 116

4.3,2. Recomendaciones...... 117'

ANEXO 1 Características del equipo utilizado 119

ANEXO 2 Listados del programa ;' 124.

ANEXO 3 Manual del programa , , . '•" 131 '

BIBLIOGRAFÍA i ,, t , ; .... 1421

1 -

- C A P I T U L O I . - - .

: LA MAQUINA DE INDUCCIÓN

INTRODUCCIÓN ' ' . ' :

En muchas aplicaciones, el comportamiento dinámico de la máquina

de inducción tiene un efecto importante en el funcionamiento del siste_

ma del que forma parte. Un ejemplo de esto podría ser la respuesta de

estabilidad transitoria de, un sistema eléctrico de potencia al arran -

car una máquina; de inducción de una-potencia considerable. Aunque las

máquinas operan' en condiciones balanceadas, varias ' condiciones desba -

• lanceadas o asimétricas pueden ocurrir; por ejemplo, los voltajes de

las fases del estator pueden ser temporalmente desbalanceados debido a

; disturbios en el sistema, o puede ser .abierta y recerrada o intensio -

• nalmente invertida; además resistencias externas desiguales conectadas

^ al rotor, pueden ocurrir debido a un mal funcionamiento temporal en el

r ' _ - circuito externo del rotor y en otros casos pueden ocurrir desconexio-" ' " * - '

nes en las fases del rotor. . - ' • . -

». • Para analizar estos problemas y muchos ra"s, ha sido práctica co -"> ;"

mun el utilizar,las ecuaciones linéalizadas .derivadas para cada caso

- particular, con'la ayuda del método operacional de Heaviside.

/' Estas particularidades hace suponer en la necesidad de desarro -

llar un modelo matemático que pueda fácilmente ser arreglado para simu_

lar muchos de estos modos de operación.

,/S. Este trabajo precisamente está, orientado a conseguir este modeloi

J* matemático, mediante la transformación del sistema de ecuaciones de fa_

se a otro sistema de ecuaciones referidos a un sistema de ejes arbi-

trarios de referencia. Esta transformación constituye un cambio de -

variables a un 'sistema de referencia rotatorio, a una velocidad arbi-j

traria. Una característica fundamental de-esta transformación es que

constituye una "transformación generalizada1,', ya que cualquier trans-

fqrmción real puede ser derivada de.e"sta_5implemente _es.pe,c;Lfj.cando. -

la velocidad de rotación del sistema de_ referencia arbitrario: esto

hace que puede ser aplicado para, analizar cualquier máquina eléctrica:

y en particular los problemas relativos a la máquina de inducción

planteados conjanterioridad." . i

Aunque, como se ha indicado, que este método es aplicable al es-

tudio de cualquier máquina eléctrica; .V el-desarrollo del'presente

trabajo de tesis se' ocupara. •. particularmente de analizar el compor

tamiento de la^máquina de inducción bifásica,, ya que ésta constituye,

la maquina polifásica más simple y el modelo matemático que se obten-

ga para esta máquina, con ligeras modificaciones podrá ser utilizado¡*. ;

en "el análisis ¡de una maquina -trifásica. debido a que la transforma -

ción de ejes dé que se ha hablado reduce, en escencia, una máquina po

lifásica cualquiera a una bifásica.

Este trabajo, está desarrollado principalmente en base a la refe_

rencia [5), En esta referencia, el modelo matemático es aplicado a

un computador analógico y así mismo se muestra varias aplicaciones ,pe_

ro no hace ninguna referencia en cuanto a comparación de resultados

medidos v calculados. Aquí, en cambio se' aplicará el modelo a un com

putador digital y se analizarán dos casos- en particular; los transito

7 3 -

ríos que se producen debido a un cortocircuito simétrico y al arranque' i • . •

de la máquina de .inducción; 'y los resultados que se obtengan del com-

putador digital, serán comparados con los resultados de pruebas experó

mentales. Un resumen del contenido de esta tesis es:

El primer.!capítulo está dedicado al desarrollo teórico de la má -

quina de inducción bifásica, que es de interés para los análisis que

siguen. ; . . .

. El segundó capítulo cont-iene todo lo relativo a las pruebas expe-

rimentales realizadas en el laboratorio para los casos planteados.

En el capítulo tercero se describe el modelo matemático utilizadoi

para la simulación en el computador digital y el método usado para re-

solver el sistema de ecuaciones que describen el comportamiento transí

torio. , " - •

Finalmente en el capítulo cuarto se realiza la comparación de re

•sultados y las conclusiones y recomendaciones para trabajos futuros.

-• 4 -

1, 1. PRINCIPI.Ó DE FUNCIONAMIENTO

En los motores de inducción el devanado' del estator está conecta-

do directamente, a la fuente y este a su vez induce corrientes en el ro_

tor, de forma similar a lo que ocurre en un transformador. Cuando se

excita con una -corriente polifásica equilibrada, se creará en el entre_

hierro un campo magnético rotatorio, que gira a la velocidad sincróni-

ca, determinada por el número de polos y la frecuencia aplicada al es-

tator. ! . . .

El devanado del rotor puede estar cortocircuítado o cerrado a tra

vés de resitencias externas; entonces supongamos que el rotor está gi-

rando a una velocidad constante, en la misma dirección que el campo ro¡

tativo del estator. En estas condiciones el rotor se mueve retrasando¡

se respecto al:campo del estator; es decir que tiene un cierto deslizai

miento. Se denomina deslizamiento a la diferencia de velocidad del

campo magnético rotatorio y la del rotor con relación a la primera ve-

locidad, i ' . • " • ' •*. , . . . . •

Este movimiento relativo del flujo, y de.-los conductores del- rotori -^

. origina.tensiones de frecuencia diferente a la aplicada al estator.

Las corrientes inducidas en el rotor crean un campo magnético que

gira a una velocidad relativa al rotor que sumada a la velocidad del

rotor da la misma velocidad, que la onda del campo del estator relati-

va al estator,: esto eslías ondas de fuerzas magnetomotrices (fmm) del

rotor y del estator son estacionarias entre sí a cualquier velocidad .

del rotor, creándose por lo tanto un torque constante que mantendrá el

movimiento del motor. De esto se puede concluir que a cualquier velo-

cidad mecánica del rotor, que no-sea- la de sincronismo, existirá un,-

- 5 -

torque, denominado asincrónico.

Ref,.1,3. | • ' ' - " .

1. 2. IESCRIPÍCION MATEMÁTICA DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN

i . " ' • • •

La maquinal de inducción se construye generalmente con un entre -

hierro uniformé, es decir, que las estructuras_del estator y del rotor

carecen de salíencia. La máquina bifásica tiene dos devanados distri-

buidos en la periferia del estator y dos devanados distribuidos sobre

la superficie del rotor.

Es ahora comunmente aceptado como práctica en el análisis de má -

quinas eléctricas rotatorias, tratarlas de una forma ideal,, es decir,

en donde no se [considera la saturación, ni _el__contenido de armónicas

en la onda fmm; efectos que pueden "ser introducidos una vez construido

lili modelo. Considerada la máquina idealmente, a-ésta'se la puede estu_

diar como' un conjunto de circuitos acoplados, en la que los voltajes

son proporcionales a las corrientes que la producen, es decir, que no

existe saturación o cualquier otro fenómeno de falta de linealidad.

" Sin embargo en; la práctica muchas técnicas se han desarrollado con el

fin de tomar eii cuenta los efectos.de la saturación, como por ejemplo

el método desarrollado por de Mello y Walsh para la máquina de induc-

ción. Ref. 6. .Pero estos métodos en su teoría no introducen la pro -

piedad de la no linealidad sino que tratan principalmente de la deter_

minación de constantes aplicables a casos concretos, estando por otra

parte "estas constantes definidas.a partir de una teoría lineal.

Aceptada ía linealidad se puede utilizar el principio de superpo

- 6 -

sición. Según 'este principio," los distintos voltajes inducidos en u_\

na bobina pueden sumarse entre sí con el fin de obtener el voltaje -

resultante. El conjunto de ecuaciones de voltaje, junto con la ecua

ción del torque¡, constituye lo que se denomina ecuaciones generales

de la máquina, |que determinan completamente.su funcionamiento.

El despreciar los armónicos, aunque es conveniente para dar una¡ '

explicación más sencilla, resulta en realidad excesivo,-pues el efec_

to de muchos de; ellos puede ser .tomando en cuenta modificando los yai '

lores de las iriductancias; otro efecto de los armónicos,- es la pro -

ducción de ruido ? etc; por lo que resulta muy importante el reducir-

los al mínimo, consiguiéndose esto mediante un buen diseño. Ref.4-,5.

1,2,1, ECUACIONES DE LA MAQUINA. DE 'INDUCCIÓN . ' 'I _ •

De acuerdo con las consideraciones anteriores, una máquina de -

inducción simétrica está definida como una máquina polifásica con -i

las siguientes |características ideales: .. -

'a. Un entrehierro uniforme, • • ' ' .

b. Se asumen devanados balanceados en el estator y en el rotor y¡

distribuidos de tal forma que produzcan una.onda de f.m.m-senoi-

dal, !

c. Si el entrehierro es uniforme; sé asume que las inductancias prp_

pias de cualquier'devanado (estator ó rotor) son t independientes

de la posición del rotor.

d. La inductancia mutua entre cualquier devanado del estator y del

rotor varía! con el coseno del ángulo eléctrico entre los ejes de

los dos devanados, .'

e. Los efectos de la saturación, histeresis y corrientes de eddy -

son despreciables. " • .

f. No se consideran cambios en el valor de la resistencia debido al

efecto de la temperatura y a cambios de frecuencia.

iEn base a-esta introducción, se puede establecer las ecuaciones

que describen el comportamiento de la máquina de inducción. .Por fa-

cilidad se toma' una máquina elemental de dos polos bifásica como el -

de la Fig. 1.1.! En este se puede ver claramente los dos elementos

del estator qué están apartados 90° E el uno con respecto- al otro;con

un bobinado de N vueltas cada uno y.resistencia r . De una manera• o

.similar el devanado del rotor, con N _vueltas y resistencia r .

ee-as

F I G . 1..1rotor

Con una nomenclatura apropiada, en la que todas las variables -

con subíndice "s", presentan cantidades que se refieren al estator y

todas las variables con subíndice "r" representan cantidades que se¡

refieren al rotpr; y con la ayuda de la figura 1.1, la siguiente e -

cuación de voltaje es aplicable a'cada uno de los 4 devanados.

v = r i + p X. 0)i

En donde X son las concatenaciones de flujo totales, r es la re

sistencia total de cada uño de los devanados y p es el operador d/dt.

La ecuación (1) escrita en forma matricial para todos los devanados

tanto para el estator como para el rotor, son:

[vabs

[vabr

i—.

P

iabs

iabr

+ P-

+ • p.

Xabs

Xabr

. (2)

"(3)

En la que :cada una de las matrices tiene la siguiente forma:

Yás

vbs

v-brT =vbr

; Uabr

. •as

Xbs

rs o

o rc

Xar

Abr

-abs

iabr =

rr

- 9 -

Las concatenaciones de flujo pueden ser expresadas como

FC"abs

-abrj(4)

En la que |~Lc; j y |LR son las submatrices de las inductan -

icias propias del estator y del rotor de la máquina, que en forma desa_

Trollada son:L[S

O

O

Hr + V O

O

(5)

C6)

• Siendo Li ' la inductancia de dispersión y I ns la inductancia de .

. magnetización de los devanados del estator. La suma de ambas repre -

senta la inductancia propia de las fases.del estator y se la represen

;£a por Ls. ¡ • -.

'¿Asimismo L[r es la inductancia de dispersión'y L la inductancia de-

---íanagnetización de los devanados del rotor, siendo su suma la inductan-<

,x:ia propia, representada por Lr. Sus valores son constantes, debido

•a la geometría ¡del rotor y al entrehierro que se considera uniforme.

La submatriz Lsr contiene las inductancias mutuas entre los devana-

-dos del estator y del rotor, indicándose en la siguiente expresión :

Cos 9r - Sen 0r

LSR sr

Sen Gr Cos- 0r

(7]

- 10 -

Lsr, representa la magnitud del acoplamiento entre una bobina -

del estator 7 una del rotor; su valor no es 'constante 7 ademas depen_

de de la posición del rotor. Como se puede ver en la ecuación (7)3!

las inductancia's mutuas varían con el coseno del ángulo eléctrico Qr

T ~|Tentre los ejes-magnéticos de los devanados. Finalmente Lgpl , re-

1 * r~ —rpresenta la submatriz transpuesta de Lg . .

Ref. 675. ' •

1.2,1. a. ECUACIONES DE LA MAQUINA. DE INDUCCIÓN REFERIDAS AL ESTA-i

TOR

Generalmente los parámetros de la máquina son medidos con res -

pecto a los devanados del estator. Por lo tanto, es conveniente re-

ferir todas las, cantidades del rotor al estator. Esta transforma -

cion se realiza simplemente multiplicando las ecuaciones que repre -

sentan al rotoij por una relación de espiras. Las siguientes ecuaclo_

nes definen las' variables del rotor referidas al estator.

p-abrlL-- . —J . . (8)

Ns

= Ns [vabr] ./ . (9)Nr

Nr

La ecuación de concatenaciones de flujo (4) puede ser escritai ^

entonces como :

- 1 1 -

L

T (11)

donde:

Ns L

Nr

Ns

Nr

JSR

2 "

(12)

(13)

Denominado por M a Lms, la submatriz inductancia del estator

será : ¡Hs + M

O -

y la del rotorJ

Ns

Nr ;

Lir

Si,

Lmr

Ns

Nr

Nr

Ns

Lsr

sr

Combinando (20) y (21)

ms

O

(14)

. O

L. + LÍT mr

05)

(16)

(17).

(18)

- 12 -

pero, I = M ,

por lo tanto: ' 2M I = / Ns

Nr ).(19)

Entonces l'a submatriz (15) quedará de la siguiente forma:

Lfcr+M ' .0

L1 R.o • L + M

' [20]

Las ecuaciones de voltaje expresadas en términos de las .varia-¡

bles de la máquina referidas al estator son:

M&*]

r i r T r "I's> P|\]: P[>_

I

I— 1

R

xabs

xábr

donde

= / Ns

Nr

r

La ecuación del torque será:

Te = 1abs 'abr

•ws

T1 T '

R

R-absL

(22)

que desarrollando se llega a la siguiente expresión,

Te = -Lms

(23)

(ias 0r +

-13 -

Este desarrollo puede ser extendido para máquinas que tengan -•

cualquier número de polos, simplemente reemplazando el valor 9r en -

las expresiones de la submatriz de las inductancias mutuas entre es-

tator .y rotor,!por la siguiente ecuación:

Ge = Hp) 0r

donde: 9e es el desplazamiento angular eléctrico del rotor expresadoi

en grados o'radianes eléctricos,

0r es el desplazamiento angular del rotor expresado en grados o ra -

.jdianes mecánicos.

-Para evaluar el torque solo es necesario multiplicar Ta expre -i

sión del torque derivada anteriormente por (—*-—").n : 2

Ref. 1,5,13. :

• 1,2,2, 'TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES A UN SISTEMA DE EJES .ARBITRARIOS

DE REFERENCIA •

.Las .ecuaciones de la máquina de inducción dadas anteriormente -i

resultan complicadas debido a que aparecen coeficientes que varían .-

en el tiempo (inductancias mutuas entre las fases del estator y del

:?srotor).. Este inconveniente puede ser eliminado por una transforma -

de variables.

::La transfbrmacian a usarse es la de Krause y Thomas (Ref .5) ,que

consiste en referir todas las variables =actuales o reales a un siste

- 14 -

ma de referencia rotatorio, el'cual gira a una velocidad arbitraria,

Las ecuaciones de transformación son expresiones que formulan un

cambio de variables y pueden ser escritas sin ninguna interpretación

física. Es provechoso, sin embargo, correlacionar el cambio de varia

bles (ecuaciones de transformación) a relacipnes-trigonométricas, los

cuales existen ¡entre los conjuntos de ejes. Es preciso aclarar que -

la transformación es real y por tanto esta representación trigonomé -

trica no debe ser confundida con fasores. • -j. .._. - _- - - ..

Para ilustrar esta facilidad un tercer conjunto de ejes será introdu-!

cido. La figura 1,2, indica la relación angular de los ej es del esta_

tor.y del rotor de una máquina bifásica con el tercer conjunto de e-

jes el cual es un conjunto ortogonal (ejes qd) . _ .

-eje-hr eje-bs

eje-q

rotando a una velocidad angular eléctrica arbitraria to, luego tene-

mos el conjunto de ejes del estator as - bs que están .fijos en el y

finalmente el conjunto ar - br que están fijos en el rotor y por con

- 15 -

siguiente giran a una velocidad angular eléctrica ÍÜT.

De acuerdo con lo expuesto anteriormente y cpn la ayuda del gráfico -

1,2, se pueden :obtener las ecuaciones que sirven para transformar las

variables del estator al sistema de referencia arbitrario,

fqs = fas Cos 9 + f s Sen'

fds = fas Sen 9 - fbs Cos

(24)

[25)

•que escrito en¡forma matricial es,

fr Cos 9

Sen 9

Sen 9

- Cos 9

fas

fbs(26)

donde la variable f puede representar voltaje, corriente o concatena

ciones. de flujo; y 9 el ángulo de desplazamiento del sistema de refe_i - • ft •

.rencia arbitrario, definido por la expresión 9 = \t + 9 (o) .¡ • * o

•-•Por simplicidad vamos a denominar a la matriz que contiene los

-términos trigonométricos por, - .

Cos 9 ;Sen 9

Ts

Sen 9 Cos .9

Siguiendo un proceso similar se obtienen las ecuaciones para

.el rotor, : ' . :

Jiqr = -far Cos e + f^T Sen 3.

-ídr = far Sen Cos 6

.(27)

(28)

Adonde - 9r (29)

- 16 -

wrdt + 0r(o)

•Escribiendo en forma matricial (30) J" (31)

4r¡ tfdr

Tr =

Cos 3 Sen 3

Sen 3 - Cos 3

Cos 3 Sen 3

Sen 3 - Cos 3

.

tfar

if*br

.-

(31,)

(32

Agrupando1 las matrices I Ts y I Tr I como' submatrices de una ma

triz general que la denominamos por JJT J se tiene que,

(33)

Cos 0

Sen 0

0

0

Sen

- Cos

ie0

0

o !

0-

0

Cos 3

Sen3

0

. o-Sen3

-Cos 3

A esta matriz de aquí en adelante se la conocerá con el nombre

de matriz de transformación. Esta matriz también 'se la puede repre-

sentar en forma simbólica

•T! HL J-

0 Tr .

matriz inversa de | T1 resulta ser igual a la transpuesta- i —

W " !O

- 1 7 -

donde Ts es la transpuesta de [Ts] y [irj es la transpuesta de

w-Por lo tanto esta transformación puede aplicarse a las ecuaciones de

la máquina de inducción definidas anteriormente. Ref. 5.

1.2.2. a, ECUACIONES DE LAS CONCATENACIONES DE FLUJO EN VARIABLES

qd . Las ecuaciones de las concatenaciones de flujo en las nuevas va_

riables para el estator y el rotor resultan ser:

es decir,

estator \ Xas Cos 9 + X s Sen 0

i (35)ds = Xas Sen 0 - Abs Cos 0

rotor

Xqr = Xar Cos 3 + xbr Sen $*

= Xar Sen 3 - ^br Cos 3

Por lo tanto si aplicamos la matriz de transformación I TJa la

ecuación general de concatenaciones de flujo:

[O- N

Se obtiene:

= [Lqd]

- 1¡

Donde :

T

[iqd C36)

Por lo tanto si se aplica la matriz de transformación [T Jen'su

forma definida janteriormente, la ecuación (36) se transforma en :

[iqd] -

j^qdsj

O ! Tr

[Aabs].

[o] CLSI

LR

T:1-1

Tr

TSTr T

Ls,;qd

[v] -

! L'R

[

Ts| M T r l |L ' | | TrK

qd

qd

Ts

Tr

rí

- 19 -

Que luego de realizar operaciones se llega al siguiente resulta -

do.

'»ds

»¿

Ls ' 0 J Lnis .0

S ' " -^TTlg

T r* 1 T 1 /^Mns 0 , Lr 01 ! t

0 1 5 j 0 Lr

idsI

1o.rT

idr

(37)

Que en forma de submatrices queda:

J

- -T

_ qdr

(38)

Las submatrices de las inductancias L5 y L'R de la ecuación

38,_no han sufrido ninguna transformación, es decir que se mantienen

sus valores originales. Sin- embargo la submatriz de las inductan -

"cias mutuas entre el estator y el rotor, se han transformado, convir_

tiéndose ésta en una expresión simple y ademas en una submatriz dia-

"gonal. En este; caso los valores no dependen de la posición del ro -

tor (ángulo 9r];, y por tanto es invariante con el tiempo. Además su

valor Lms, no ha sufrido ninguna alteración debido a la transforma .-

cion. . . .

Réf. 5,12. - - • '

1.2,2. b. ECUACIONES DE VOLTAJE EN LAS VARIABLES qd

Transcribiendo la ecuación (1) de-voltaje planteada anteriormen

-"'20-

(39)

donde

dt

la misma que está dado en las. variables a , b } a , y b .

Si a esta ecuación se multiplica por la matriz de transforma -

ción,

(40,

y recordando que:

w ri -

[V]Reemplazando estos valores en la ecuación (40) se tiene

t-1'r-

donde :

M W -

vqs

vds

yvdr.

La submatriz de resistencia del estator y del rotor, son inva-

riantes a. la transformación [T J , .obteniéndose que: I T J IR I [Tj = I R J

por lo tanto la ecuación (41) se transforma en:

• [V] • f'JM* ' [V] * [T]ÍP (42)

donde :

~rT1

'

0

-pe0

0

' - p e0

0

0

0

0

0

- pe

0

0

pe0

matriz que nos ,da los coeficientes rotacionales

= ! Lqd Pr n[iqdj

Por lo tanto si se desarrolla la ecuación (42) se obtiene la -*- - ^

siguiente matriz que da las ecuaciones de voltaje- de la máquina de

inducción en el sistema de referencia arbitrario y en variables qd,

vds

vvdr

Ts + Lsp . Lsp9 .| M P " Mp 0i

~LspG rs + Lsp' J - Mp 9 Mp

1 ' t ',M p M p e ' r + L L- ^ v t : r rp r¡p 3i -^

-M ' M ' - L" ' r' + L1

iqs

ids

1

xqr

tdr

[43]

.Desarrollando (43)

- 2.2 -

vqs = rs \s + P- CLs \s + M V + (Ls + M

vds = rs ids + P CLS ias + M i¿r) - CLS iqs + M

Vqr = rr V + P <Lr V + M V + . Íds. +^ ±d

vdr = rr .4: + P ^Lr ^r + M ^). - CM iqs ^ i¿

Las ecuaciones de voltaje pueden ser escritas en términos de

las concatenaciones de flujo totales, o sea :

. '\s=~ LS.-V+ M V

Xds = Ls ds + Midr \ .C45)

- ' = Lr V + M Ms ' - 't, t

U - L' i, + M ij ' - ". dr r dr . ds

que reemplazando en [44] •

vqs = rs \s + P Xqs * Xds P0 - -

vds= ^s/ds + p Xds" - ^qsP0 . ' (46)

• . v q r = 4\r + P X q r + Xdr p6

. . t . ' ' • !Vj = r ij + p A-, - X pBdr r dr ^ dr qr

- iLas inductancias propias Ls y Lr del estator y del rotor respec_

tivamente, pueden ser separadas en sus dos componentes; la inductan-

cia de dispersión y la inductancia mutua,

Ls = L, + M 'L-3 J-".

- 23 -

Reemplazando estos valores en la ecuación (45)

Xqs = Lls \j

ds

M

(47)

qr

?Jdr jr dr

M Cife + iq,)

M

Las ecuaciones (46) (47) sugieren los siguientes circuitos equ:L

valentes, que se indica en la figura 1.3.

eje-q

eje-d

F I G. 1.3.

En las ecuaciones p9 = oj, es la velocidad angular eléctrica -

del sistema de referencia rotatorio arbitrario; p3 = u- u , es una

velocidad relativa que resulta de la diferencia entre las velocida-

des del sistema de referencia arbitrario y la velocidad del rotor.

Estas ecuaciones constituyen las relaciones básicas del voltaje y -

toncatenaciones de flujo que describen el comportamiento de la má -V

- 2'4-

quina de inducción, la resolución de estas ecuaciones diferenciales -

está sujeta a las condiciones específicas de.l problema. Cuando la- ve_

locidad de la máquina u es constante, las- ecuaciones diferenciales

son lineales y de coeficientes constantes. En las ecuaciones (46) los

términos X-j-pQ,, A_p0, ALp3 y A- P3 son voltajes de velocidad y los -es • ; q s Q.T • q r • ~ ~ ~ • - -

términos pX . pXrqc, px'.l y pXj. son voltajes de transformación,qs os qr . or '" . • ~ "

Anteriormente quedó establecido que las variables de fase de la

maquina de inducción se transforman a un sistema de referencia arbitrai

rio; por lo tanto conviene ahora fijar los sistemas más comunes que se

utilizan para el análisis de las máquinas de inducción. Esto son deri_

vados de las ecuaciones generales (46), las cuales con ligeros cambios

pueden referirse al sistema deseado.

Los sistemas de referencia más comunes son: o>_ u/

1). ' 'Sistema de referencia fijo en el estator, to = 0. "¿ * " ce = o • ¿ : g\,

Para este caso las ecuaciones de voltaje se obtienen haciendo pe=

£v

.3 - - (• *

O en las* ecuaciones (46) . Es conveniente también usar un superíndice

dado por la letra "sn para indicar que todas "las variables están refe-

ridas a un sistema de referencia estacionario o fijo en el estator,

~ v s ~qs

svds

v'sqr

1 qj-vdr

r + L 0 ! Mp ' os . sp - 1 ^i

i (i

0 rc + LSü ! 0 Mp5 . 1

! , . i "Mp -M p 0r r + L -L «^ ^ ¡ r - rp rpGr

i• { ! ' t í 1

A/fr^Ov A/fr\ T* -1- Tivnjt3i t 1VÍU . -lj_«-j'\, L — ~ -J-J „j rptrr r rp "

i 5"qs

ids

Ps

1 c:• o

dr:

(48)

- 2-5 -

Como se puede ver en esta ecuación matricial los voltajes de velo

cidad en el estator son cero.

Las ecuaciones de voltaje en el sistema de referencia estaciona -

rio en función de los valores reales están dados por las siguientes e-

criaciones:

= vas

vdl

Se considera para este caso 7 los siguientes que la máquina tiene

i . i • •una sola excitación, eso es que v = v. = O-y por lo tanto que

V = vdr

2) , Sistema de referencia fijo en rotor / to = oi .

Las ecuaciones de voltaje en el sistema de referencia fijo en el

rotor se obtienen al reemplazar u por u , con lo. cual se.obtiene que*• r .

p.fi = O siendo por tanto la ecuación (46) . - •

Vqs

víds

v'rqr

'rVdr

=

rs + LSP Ls P01" '' P )0r11 '

-Lsp0r VLsp ! -Mper ^ii i t

Mp " 0 i r + L 0r i r rp

ii

0 Mp i 0 r + L. • _ ^ r r p

ís

ids

\T

Xdr— _

(50)

El índice superior'r'es usado para indicar que las variables,es-

tán referidas al sistema de referencia fijo en el rotor. También;se

- 26-

notará que los voltajes de velocidad en el. rotor son cero y las ecua -

clones de voltaje serán :

vvas Cos9r

V r _ds

vSen9

= vas Sen0r + vbs Cos0(51)

r

3), -Sistema de referencia rotando a velocidad sincrónica, tu = oi^V i£Y"í>.(0 - tS*'

En forma análoga a los casos anteriores las ecuaciones de voltaje

se obtienen al reemplazar 0 por 0 en las ecuaciones (46), 'obteniendo-c

se - .

v eqs

vdse

v'e

Lsp

s0e

pee

LsP

Mp

Mp

i e

e(52)

qr

v'edr

El índice superior 'e'es usado para indicar"que las variables es-

tán referidas a un sistema que gira a velocidad sincrónica. En este

sistema de referencia los voltajes de velocidad no son cero. Para es_

te' caso los voltajes son_magnitudes constantes es decir que no depen-

.De lo expuesto anteriormente se puede concluir que:

a) . Las ecuaciones de voltaje que describen el comportamiento de la

- 27-

máquina de inducción' simétrica en .el sistema de referencia arbitrario

no contiene elementos que varían.en el tiempo, permitiendo por lo tan_

to seleccionar el sistema más adecuado a fin de llegar a un análisis

más directo, con las debidas restricciones.

b). Para operación desbalanceada o asimétrica que pueden ocurrir en

cualesquiera de las fases del estator y del rotor de la máquina, es -

más conveniente para propósitos de análisis fijar el sistema de refe-

rencia donde existe esta situación anormal o no convencional.

Podrían citarse varios ejemplos de la utilización de los siste -

mas de referencia en particular así : para el caso en que Iqsjvolta -

jes que se aplican aL estators no son simultáneos se debe utilizar el

sistema de referencia estacionario ( p9 = u = 0) -. •

Si se conectan resistencias externas_.¿esbalanceadas al circuito

deljratpr_[maquirias de rotor devanado), es conveniente analizar su com

portamiento en el sistema de referencia fijo en el rotor esto es cuan_

do p0 = fu,. El sistema de referencia girando a velocidad sincrónicar

es conveniente para análisis en e_stado transitorio y estado estacional

rio y para casos de operación con frecuencia variable.

Ref. 5,1. ¡p . . . ' .

1.2.2. c. 'ECUACIÓN DEL TORQUE EN EL SISTEMA DE REFERENCIA ARBITRARIO

La ecuación del torque electromagnético en las curvas variables

o sea en el sistema de referencia arbitrario puede ser obtenido, si -

se reemplaza la transformación inversa de corrientes dada por :

en la ecuación (23). Que después de realizar operaciones se llega a:

T = p i ?AA _i__ M f-r -í • - -i -i -í i rc7~\ M ^i i, i, i j ^ j

. La ecuación (53) puede también ser escrita en función de las

concatenaciones, de flujo. '• • -

. - .A i-, - X, i ) (54)qr dr . dr m qr J > ^

La ecuación que describe el comportamiento electromecánico del

sistema está dado por la siguiente relación,

- T& = (JP + °) ü)r + Tm ' (5.5). C "

Donde : " '

Te : ; Torque electromagnético

J : momento de inercia de la máquina

D ; coeficiente angular de fricción viscosa^

Jpwr ; Torque de aceleración

Düjr : Torque de amortiguamiento mecánico •

Tm : Torque mecánico

Ref, 5.13.

1, 3. "EL ESTADÜ ESTACIONARIO COMO CASO PARTICULAR

. "^

Se explicó anteriormente (apartado 1.1) que al aplicar tensión pp_

lifásica balanceada a los terminales del estator; sus corrientes'produ

cen un campo magnético rotatorio ' en el entrehiérro que gira a veloci -

- 2.9 -

dad sincrónica w y que debido a que la velocidad del rotor es diferen_

te de la velocidad sincrónica,_se inducen corrientes en el rotor, las

cuales producen un campo magnético rotatorio, que gira a una velocidad

de oí •- ai con respecto al .rotor o a la velocidad sincrónica wrt con -e . r r • . . e

respecto al estator. Estos criterios nos servirán para analizar la má_

quina de inducción en estado estacionario.

En operación de estado estacionario todas las variables del esta-

tor varían con una frecuencia de w ; mientras que las variables del rp_

"tor varían con una frecuencia de w - oj .

Al transformar las variables del estator al sistema de referencia

arbitrario, el cual gira a velocidad angular eléctrica u" con respectó'

al estator; ellas varían con una frecuencia correspondiente de w - outí .!.

De una manera análoga al transformar las variables del-rotor al siste-

ma de referencia arbitrario el cual gira a una velocidad de u - u con0 . r

respecto al rotor, las variables .del rotor tienen una frecuencia de

.£íü - w_$ - (oí - o) ) o w - w en el sistema de referencia arbitrario.e r r e

De esto se puede concluir que durante operación en estado estacip_

nario balanceado tanto las variables del rotor como del estator apare-

cen como cantidades sinusoidales con una frecuencia correspondiente a

w_ ^ w en todos los sistemas de referencia'excepto en el que gira a vec —

locidad sincrónica, donde las variables en estado estacionario son mag_

nitudes constantes,

Cuando se analiza la respuesta en estado estacionario de circui -

tos lineales__a yoltajes_y corrientes sinusoidales, es común represen -

tar estas cantidades como fasores antes que por sus valores instantá -

neos, J

-30 -

Las variables en estado estacionario del estator y del rotor pue-

den expresarse en forma general por:

; fas = Re f FasL ~

' • fbs = Re { Fbs

. fár = «e1. ~

i f ' lf0e - Orí. . . fbr = >Re ' " ^ "

donde el símbolo "f" puede representar voltaje, corriente o concatena

. ciones de flujo y el símbolo 5 representa un fasor;

Cada una de las variables del estator y del rotor forman un sistema o

togonal durante la operación en estado estacionario, por lo que si se

toma en cuenta' como referencia las variables que corresponden a la fa

se "a"; la fase "b" indistintamente puede adelantar o atrasar en 90 °

con respecto a la fase "a". Para este caso -se considera que la fase

"b" atrasa a la fase "a" en 90 ° con lo que se tiene,

fbs = Reí - -j Fas

; . if¿r - Be'i-i^L e - (57)

o también,

Fbs = -';/ Fas(58]

Si se expresa las ecuaciones de transformación (24), (25), (27 y

(28) en forma compleja se tiene:

% =

- 31 -

£dsi

fqr

fdr

fas Re < e

f ar Re J e

J(9"- 1T/2)^ .c, n- fbs Re e

= fer

Sustituyendo las ecuaciones (56) (57) enO"(59) y realizando opera_'j

ciones se tiene que :

fqs

fds

,'fqr

urJifdr

Re Fas e

T. feRe JFar eI -

n r 'Re JjFar e .- 9)J

Se había indicado que las variables del estator y del rotor en

estado estacionario en todos los sistemas de referencia excepto en eli

que gira a velocidad sincrónica, aparecían como cantidades sinusoida-

les con una frecuencia angular de u - to; por^o que las ecuaciones da

das en (60) pufeden ser escritas como:

fqs = Re í Fqs e

fds \ Re { Fds ei- ".

i ! ( \ Re J Fqr e

= Re I Fdr-e

- 9)}

" 9)

J(9e - 9)^ •'• (61)

fdr

Que comparando las ecuaciones (60) y (61) se ve que los fasoresi ,

están simplemente relacionados por;

Fqs i = Fas

Fds = - Fbs (62)

Fqr = Far

Fdr = dFar = - Fbr

- 3:2-

Para obtener las ecuaciones de voltaje en estado estacionario

simplemente se consideran las que se refieren al eje q\n (44))

en la que se hará los siguientes reemplazos: '

1. Substituir los valores equivalentes dados por (62)

2. El operador p. será reemplazado por j (to - tu)

3. Se sustituirán : p 9 porou y p 3 por to - tor! I

4. Se considera y = vdr = O

5." Se sustituye: Ls por L.y.s + Mi ' i

6. Se sustituye: Lr por L|r + M

Así:

Vas = I r + jLs (we -w) las + jLsw las + ^M(w -ü))Iar + jM ojiar

r ' ! - - T I . • /O = r + ijL' (w -w) lar + 1M (u. -u) las + lM(üJ-tuJ las +L - t - i i c ^ j ^ t í - r ^

i •fui - tor) larv ! ' r^i

desarrollando :¡

Vas = [|(3 las + jM tue lar

O Iar

y reemplazando el producto' de oí y. 1a inductancia por un valor apropia-do de reactancia se obtiene las siguientes ecuapiones :

Vas. - (rs + JXLS) las + 3 (las + lar)~ "

0 = Iar (Ias(63)

donde : s_ é - r ; deslizamientoí 'tom

1/0; "

Si : es la reactancia de dispersión del estator

es la reactancia de dispersión del rotor

es la reactancia mutua.

Las ecuaciones dadas por (63} sugieren el siguiente circuito e

quivalente,

F I G 1.4

Mediante un arreglo en las ecuaciones el circuito.de la figura

1.4 puede ser representado por el de la figura 1.5.

F I G. 1,5.

es válido para todos los siste_

mas de referencia, exceptp j)ara el que gira a velocidad sincrónica.

No es de inters como parte de este 'trabajo el desarrollar para todos

los casos; sirio que simplemente interesa, -mostrar uno de los meto -

• dos para la obtención del circuito equivalente de la máquina de in -

, dücción.. !

Los circuitos equivalentes presentados en las figuras 1,4 y 1.5

representan una!-fase de la maquina y son de gran utilidad para evaluar

el funcionamiento en estado estable balanceado; como por ejemplo las¡ . -

variaciones de corriente, velocidad, pérdidas, torque de arranque y -i

torque máximo. ! • . ' .

Ref. 2,4,6.

1.3.1. ANÁLISIS DEL CIRCUITO EQUIVALENTE " .

í

Del circuito equivalente (fig. 1*4), se puede determinar la poten

cia transferida a través del entrehierro del estator es;

?2Pg = lar r' ( por fase) (64)

Utilizando este mismo circuito, se puede llegar al dado en la -

fig, 1.5 mediante una.separación de la resistencia r /s en dos partes,

estando dada la primera por .el término r y el segundo por r (1-s)/s.¡

•El primer término de esta separación representa_las pérdidas en el co-

bre del rotor y el segundo término indica" la potencia eléctrica trans-

formada en potencia mecánica; estando ambas dadas por las siguientes

relaciones,

2 '" (por fase)eur

P =

j-ar xr U^i

i '2 rT r- s (por fase)

(65)

(66)

Reemplazando (64). y (66), tenemos que:i

Pm = (1 - s) Pg. (67)

- 35 -

De esto se!puede concluir que de la potencia total desarrollada -

por el rotor la' fracción 1 - S es convertidad en potencia mecánica y

la fracción "s" es disipada como pérdidas en el cobre- del rotor. Tam-

bién se puede decir que si la máquina opera_a deslizamientos altos és-

te resulta un dispositivo ineficiente. ' ..

Otra característica importante que se puede derivar a. partir de -

este proceso, es el torque, que por definición es la relación entre la

potencia mecánica desarrollada por el rotor para la velocidad del ro -

tor,.

Te = ' 'Prn (68)

reemplazando (6J6)

Te = lar

S (tí.-

= (1 - S]

Te = lar(por-fase) (69)

A partir del circuito equivalente se puede evaluar las corrien-

tes, luego potencia y torque; quedando por determinarse la velocidad,

pero ésto no es posible a partir de este circuito, sino que se selec-

ciona; es decir, que se seleccionan una serie de valores de "s", con

lo cual se obtiene varios resultados, los mismos que indican diferen_i

tes características dé operación en estado estacionario del motor.

Ref. 1, 3, i '

- 36 -

1.3.2'. CARACTERÍSTICA TOROUE - DESLIZAMIENTO

Previo a la obtención de esta característica es necesario evaluari

la ecuación del] torque (69) en-función de todos los parámetros del cir_

cuito equivalente; para ello se considera las ecuaciones (63) y se ha-

ce un arreglo de tal manera que estas tengan la siguiente forma:

Vas = (|r + jx ) las + j x I ar '111

O = (• JL +3 *rJ lar +j' xm'las

(70)

JC 4

•s •

I [

Resolviendo estas ecuaciones para lar,

Vas izar _,_r s +

,x + r x )s s TJ

cuyo vaÜ^>r absoluto es:

lar =Vas xm

r rm . s

2 . , r+ ( _£_ x + r xr)'s s

Que sustituyendo en la ecuación (69) .2.2 , /

Te =Vas (73)

r' r ^ f 2r s -f- (x m_ s

En esta ecuación Vas, w *rs>£,," x^^ xs y x r son constantes co_

nocidas. Mediante esta ecuación se.puede obtener la característica

- 3 7 -

torque - deslizamiento, dado por la Fig. 1.6.

s- Ó ~ ' s ~ - 1 D e s l i z a m i e n t o

F I G . 1.6.

Del gráfiéo de esta característica la siguiente información se

puede obtener:

1. A velocidad sincrónica (la cual no se alcanza con motores, prác_* j .

ticos), es decir s = 0. La sustitución de s = O, en la ecuación .(73}

conduce a que el valor del torque sea igual a cero. Ver gráfico.!

I

2. Cuando el rotor está en reposo, o sea s = 1. La sustitución de

este valor de 's1 en la ecuación 76 produce.

. iTei' = í

7 >Vas ¿ r 3r

S— i 7 .r r + (pe - x_£ )s r v m ^r'

2m

i 2 t+/r x( T'S

t - , 2rs xr^

(74)

Este se conoce como el torque promedio de arranque de un motor

de inducción, j En la ecuación (74) se puede ver que el torque prome

dio de .arranquje aumenta, conforme se aumenta r resto es posible -

- 3!8 -

en el caso de .motores de rotor devanado; agregando una resistencia ex-" i " " """ "~ " " . " .

terna en serie ton cada fase del bobinado del rotor.

3. El valor de[L deslizamentopara torque máximo se obtiene diferen-

ciando la ecuación (73) con respecto al deslizamiento .y haciendo que

este resultado'jsea igual a cero. Esto es dTe/ds = 0.- La expresión

que se obtiene como resultado es; . .

T(75)

o en- forma simplificada

máx T (76)

donde:

G H

. En la expresión (75) o (76) se ve que existen dos valores de des_

"lizamiento par . torque promedio maxijno. El uno corresponde (positivo)

para el caso del motor y el segundo (negativo) para el caso de ge-ner

dor. Sustituyendo este valor en la ecuación (73) se obtiene la expre_

sión para torqu'e máximo:

Tmax

Vas 2 2x m G

(77)

Hay que notar además que G no es una función de r , por lo que

- -39 -

el deslizamiento de máximo torque es directamente proporcional a r

(expresión 76). ¡ Consecuentemente, si todos los otros parámetros de la

máquina permanecen constantes, la jvelocidad aj cual ocurre el torque

máximo, en estadb permanente puede variar por insertar resistencias ex-

ternas al_circuito del rotor; mientras la magnitud del torque máximo

permanece constante3. ya que éste no depende de r . Este aspecto se u-

'tiliza para arrancar grandes motores de inducción que tiene el rotori

devanado; se utiliza también dentro de este tipo de-motores para regu-ií • 'lar la velocidad. La figura 1.7 indica el efecto de cambiar r en la¡

característica torque deslizamiento.

Torque T

4. Para 1 < S

la resistencia

P I G. 1.7.

< 2, se ve en la figura 1.5 que la potencia disipada eni

variable rr (1-s)/s es negativa. _Esto signif ica___que _la

energía mecánica se convierte en energía eléctrica, 'pero esta energía

eléctrica se disipa en el rotor. Esto se verifica por el hecho de que!

r / es todavía positivo (Graf. 1.4). Esta región de operación de, la

máquina se conoce como la región de frenado.

- 40 -

5. Si el rotorj gira_acciong.dq por un "priniotor externo a velocidadesi - - -

(ÜT > tus el deslizamiento, es negativo. En estas condiciones la resis-

tencia total rr/ es negativa y la maquina actúa como un generador., -*• / 5 "" ~ —"~ " • ~

Jtef. 1,2,3.

C A P I T U L O II

PRUEBAS DE LABORATORIO

- " " . Este capítulo .está dedicado a describir y analizar las diferentesi

pruebas experiméntales, que se han realizado con la máquina seleccion_a

da para este estudio. .

Los experimentos comienzan por: .

y1). Se determinan las características de corriente, voltaje y poten-

i . - •!

cia. de las pruejbas en circuito abierto y a rotor bloqueado, para eva -

luar los parámetros de la maquina, que luego serán utilizados en los -

cálculos de los; transitorios, mediante el modelo matemático, simulado

en el computador digital; y •

2). Se registrarán los oscilogramas de corrientes transitorias produ**• • ' '

cidas por un cortocircuito simétrico y al momento del arranque de la

«, máquina.

*•Para cumplir con el propósito de 'comparar las deducciones t.eóri-

» cas con los resultados experimentales, se usó la máquina generalizadaA. . • !

'Westinghouse" ¡del Laboratorio de Máquinas E tricas de la Escuela Po_

litécnica Nacional cuyos datos se indican en el Anexo 1. Sinembargo,

conviene el presentar una diagrama esquemático de la disposición físi_

ca de los diversos componentes de la máquina utilizada, la cual se in_

dica en la figura 2.1. . •1 ~ . .

Para el funcionamiento' de esta máquina se requiere de una fuente

de tensión bifásica, que se consigue mediante la conexión Scott de

* transíormadores. Pero esta conexión, es fuente de armónicas, las cua

. f)

RO

TOR

R

OTO

RT

AC

HO

ME

TE

R

OR

IVE

MO

TOR

TO

RO

UE

ME

TE

RG

EN

ER

AU

ZE

D

MA

CH

INE

BR

US

H C

AR

RIA

GE

B

RU

SH

OR

IVE

MO

TOR

C

AR

RIA

GE

TA

CH

OM

ET

ER

FIG

, 2

.1 .

- 43 -

les producen efectos' en las formas de onda de corriente en estado esta_

ble sin carga, tal como se puede verificar en los dos oscilogramas pre_i • •

sentados en las| fotos 1 y 2, que fueron registrados para diferentes va_

lores-de voltaje y también con escalas de tiempo del osciloscopio dife_

rente. Esta particularidad debe ser tomada muy en cuenta al analizar

los oscilogramas que se obtengan de la producción de un cortocircuito

simétrico.

Foto 1. Corriente en estado estable

Escalas : Vertical : 1 am/div.

Horizontal: 20 m seg/div.

Voltaje : 104 volt, ur = 3120 r.pm.

- 44

Foto 2. Córlente en estado estable

Escalas : Vertical : 2 amp/div.

Horizontal : 5 m seg/div.

Voltaje : 102 Volt, tú = 3250 ripun.s

- 45 -

2. Í. DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS - .

El comportamiento dinámico de una máquina de inducción, está des -

crito por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden. Las

variables dependientes son las corrientes que circulan por los devana -

dos y la velocidad deJ. rotor. Los coeficientes de estas ecuaciones cons_

tituyen los parámetros de la máquina. Estos son las resistencias y las

inductancias propias de los devanados, las inductancias mutuas entre de-

vanados y el momento de inercia del rotor. Idealmente los parámetros

son independientes de las variables y pueden ser determinadas conocien-

do las dimensiones físicas de la maquina y las propiedades de los, mate-

riales que están formando parte de los elementos de la máquina. Por e-

jemplo la resistencia de los devanados depende de la longitud y de la

sección transversal del conductor, la resistividad del material y la tem

peratura de operación. No forma parte .de este trabajo el analizar las

variaciones de los parámetros con las características anotadas anterior-

mente y otras como posición del rotor, -saturación; sin, embargo para nues_

tro proposito es necesario evaluar estos parámetros y esto lo conseguire_

roos mediante la -ayuda de las pruebas clásicas que son: la prueba en va -

cío y la prueba a rotor bloqueado. . .

. .a). Prueba en vacio. Esta prueba se realiza a voltaje y frecuencia no-

minales y con la máquina funcionando en vacío. Los voltajes aplicados a

los terminales del estator deben ser balanceados. Para el desarrollo

del experimento, la máquina bajo prueba debe estar acoplada a una máqui-

. na motriz, la misma: que nos sirva para llevar a la máquina de inducción

a la velocidad sincrónica, es decir, oí ='w. , En estas condiciones el -. ___ „ . _. _.__ i. C

- 46 -

deslizamiento es aproximadamente igual a ceror con lo que el valor de

r / es infinito; siendo entonces el circuito del rotor un circuito a-r/s * :

bierto.

Por consiguiente las lecturas que se obtienen de los instrumentos

de medida son: voltaje de entrada, corriente de línea y la potencia de

entrada, ya que no existe potencia de salida. Esta potencia de entra-

da es- consumida por las pérdidas internas del motor. Estos datos son:

VQ = 103 volt.

I = 0.525 amp. • .o ±- - . •t~*}

PQ = 14 watt. - ?*» *- { "Uc£e'

(o = 3600 r.p.m.

b). 'Prueba de rotor bloqueado. La prueba de rotor bloqueado se reali-

za con el rotor mecánicamente parado. En este caso s = 1, siendo por

lo tanto la resistencia aparente del rotor referido al primario aproxi-

madamente nula; simulando con esto un cortocircuito en el rotor. * Esta

prueba se realiza a corriente nominal, consiguiéndose ésta mediante la

aplicación dé un voltaje reducido a los terminales del estator. Los -

datos que se obtuvieron de esta prueba son:

Vcc = 46 volt.

Ice = 3,6 ampt

. Pee = -105 watt. - ^Cü /0<of-

Una tercera prueba consiste en medir la resistencia del devanado

del estator; esto se realizó mediante el método del puente de Wheastone,

- 47 -

dando el siguiente resultado,

. rs = 2'.675 ñ -•• ¡c** .

•Utilizando las-ecuaciones de las páginas 405 - 407, de la referen-

cia 3, se calcularon los parámetros de la maquina de inducción; siendo

estos los siguientes ~:

x, = 4.94 nAS

x .1; . = 4.94 ü

x = 184,56 n. . m

. TS 2.675 n

nr = 5.72 n

Estos parámetros serán utilizados como datos en el capítulo 3 pa-

ra la simulación digital.

Ref. 3 y'7., • '

2. 2. -CORTOCIRCUITO SIMÉTRICO EN LA ALIMENTACIÓN

La maquina de prueba se conectó tal como se indica en la Fig. V-B-1

de la pag, # 26 de la referencia . 7; la excitación proviene de una fuente

bifásica a cuatro hilos,-producto de'la transformación de un sistema de

voltajes trifásicos. Esta tensión requerida se consiguió mediante la co_

nexión Scott de dos transformadores especiales de características esta -

blecidas anteriormente. La señal de corriente transitoria se obtuvo de

una resitencia de 1 Ú conectada en serie con el devanado del estator. No

- 48 -

A

fue posible obtener la señal de voltaje existente en los terminales an-

tes del cortocircuito, a fin de obtener el ángulo de cortocircuito pre-

ferencia 1 0) y puesto que la forma y magnitud de esta corriente depende

El diagrama de conexión del equipo para los experimentos se índica

en la fig. 2.2.. En la figura 2.2.a. se indica el diagrama de conexio-

nes para el circuito de control y en la figura 2.2.b. se indica el dia-

grama de conexiones del circuito de fuerza.

' b . le,

220

Circuito \de Control (a)U £[ ^R

V-c-

u'

' CV'

-*—

^ícortocircuitado

Circuito de fuerza (b)

F I -G. 2 .2 .

- 49 -

Se registraron dos oscilogramas los mismos que se indican en las-

fo tos 3 y 4. En-éstos se puede observar la 'diferencia que existe en -

tre los dos oscilogramas, haciéndose notar la evidencia de' que la mag-

nitud-y forma de la onda" de corriente depende del ángulo de cortocir -

cuito. Lo que- si podemos apreciar en los oscilogramas es la corriente

en estado estable y el instante en el que se produce la falla.

Foto 3. Corriente transitoria de cortocircuito

Simétrico.

•Escalas : , Vertical, 5 amp./div.

'Horizontal, 5 m seg/div.

Voltaje = 102 Volt, ojro = 3250 r.p.m.

- 50 -

Foto 4. Corriente transitoria de cortocircuito

Simétrico.

v Escalas : Vertical , 2 amp./div.

Horizontal, 5 m seg/div.

' - Voltaje, 102 Volt,' UTQ = 3250 r.p.m.

También se puede observar que la corriente de cortocircuito tie V

ne un rápido amortiguamiento „ esto es debido a que la máquina de in- ,

ducción no tiene una fuente de excitación permanente y además de _que

al instante de producirle la falla, la fuente de alimentación es _sepa_'

rada por dos • razones, la primera por protección del equipo utilizado

en el experimento y la segunda para que no se asocien los fenómenos

del equipo de conexión como los transformadores utilizados en la co-

- -51 -

nexión Scott y la red de alimentación al fenómeno que se .desea obtener.

•Una característica que no ha sido comentada y a la que se debe

llamar la atención es la forma de la onda; la. misma que es deformada,

conteniendo muchos "picos". La evidencia es inmediata ya que como se

presentó antes (Fotos 1,2), la forma de" la onda de corriente en estado

estable es también deformada con un gran contenido de armónicas. Esto

se debe a que la conexión Scott de transformadores es fuente de terce-

ros armónicos que_j disponiendo de un Camino "en el secundario, circulan

deformando las corrientes secundarias . (Ref . 14).

2.3. TRANSITORIO DE ARRANQUE

• Utilizando el mismo circuito indicado en las figuras 2.2.a y 2.2.

b, se registraron oscilogramas referentes a los transitorios que se

producen durante el arranque. En este caso de considera inicialmente

la maquina en vacío y parada y a la que súbitamente se aplica tensión

a sus terminales, produciéndose una corriente instantánea de gran mag

nitud, seguida por el desarrollo de un torque mecánico y aceleración

•del rotor.

-Los -transitorios de arranque que se registraron son:

1 a) • 'Corriente de arranque

. . . La señal de la corriente transitoria de arranque se obtuvo de u-

na resitencia de 1 Q, ademas se obtuvo la señal de voltaje existente

en los terminales al conectar la máquina a la fuente. para determinar

el ángulo de conexión, puesto que la magnitud y forma de onda de esta

- 52 -

corriente depende de. este ángulo de conexión; tal como se podrá apre-

ciar en los oscilogramas que se presentarán más adelante.

Se obtuvieron varios oscilogramas para diferentes ángulos de co-

nexión,, de los cuales aquí presentaremos dos, para :Df = 90° = 1.J57Q8ra_

dianes y BI= 289° = 5.0440 radianes. Estos oscilogramas se presen -

tan en las fotos 5 y 6 respectivamente. La prueba se realizó con un

voltaje de 103 voltios.

Foto 5. Corriente de arranquetS

Escalas: Vertical, 5 a: /div

- Horizontal, 5 m seg/div.

Voltaje « 103 Volt,

NOTA : Sentido de las ondas de voltaje invertido (Fotos,5,6)

- 53 -

Foto 6. Corriente de arranque

Escalas : Vertical, 5 amp/div

Horizontal, 5 mség/div

Voltaje = 103 Volt.

Como se'podrá observar en los oscilogramas anteriores, han sido

registrados con escala de tiempo adecuada para- poder observar la for_

ma de la onda y sus resultados poder comparar" con el modelo matera"ti-

co que se desarrollará más adelante; sin embargo resulta .interesante

saber como-va variando la onda hasta alcanzar su estado estable. Va-

riando la escala de tiempo se obtuvo un nuevo oscilograma (Foto 7) de

la corriente de arranque; como -se podrá observar hay un ligero amorti_

guamiento de la onda de corriente y hasta cuando se ha utilizado toda

la escala de la pantalla del osciloscopio no se ha llegado_ al estado

estabJLe., lo. que quiere decir que._se reguiere de una escala mayor de

tiempo. Ampliando ésta se llego a determinar que la corriente alcan-

zaba su valor estacionario en un tiempo de' 8 Seg.

- 54. -

Foto 7. Corriente de arranque

Escalas' : Vertical, 5 amp/div.*•

Horizontal, 50 mseg/div

Voltaje = 104 Volt.

En la foto 7 y principalmente en los gráficos de la referencia

5 se observa que la corriente de arranque, va amortiguándose lentamen_

te; particularmente en el caso de la máquina utilizada bajo prueba

que tiene un proceso de aceleración lenta. La condición de arranque

se parte desde deslizamiento S = 1 y a medida que la máquina se va ci

celerando este valor de deslizamiento va disminuyendo confio que la im_ •

pedancia equivalent.e_d_ej_j33±o_r referida al estator va aumentando (Fig_

1.4 o ecuación) y por consiguiente produce la'limitación de la corrien

- 55 -

te de arranque. En -los gráficos de la referencia 5 se puede ver cla-

ramente que corriente y velocidad alcanzan sus valores de estado est_a

ble a un mismo tiempo. Este tiempo que tarda en llegar a sus valores

nominales de régimen se le denomina tiempo de aceleración y depende -~ tr

de los siguientes factores: a), ' de la carga conectada al ej e de la - x —

máquina ;'b). de la inercia 'de las masas giratorias, ye), de la ca-

racterística torqu-deslizamiento.

Ref. 1,2.

b). Velocidad transitoria

Otro de los oscilogramas que fue registrado utilizando el mismo

circuito es la velocidad transitoria de arranque. La señal'.se obtuvo

de un tacómetro electromagnético acoplado a_la máquina bajo prueba, cu

yo valor nominal es de 20 Volt, por cada 1000 R.P.M.

En la foto 8 queda registrado el oscilograma de velocidad; en es-*. • • '

te se puede visualizar que durante el arranque la velocidad aumenta ra_

pidamente al principio, pero cuando S se aproxima a cero, la velocidad

aumenta asintóticamente hasta alcanzar su valor de. régimen.

56 -

Foto 8 . • Velocidad de arranque

. Escalas : Vertical, 452.17 r.pm./div.*•

Horizontal, 2 Seg/div.

Para afirmar más lo indicado anteriormente de que corriente y_ve_

locidad llegan a sus valores nominales en un mismo tiempo; en este

oscilograma podemos constatar que la velocidad llega a su valor de re_

gimen en 8 Seg. y, anteriormente se indicó que la corriente llegaba a

su valor nominal también en 8 Seg. Igual que en el caso anterior la

duración de la aceleración está limitada por las características ya

establecidas, 4£-

Ref, 1,5. . . '

; - s? - - '

C A P I T U L O I I I

MODELO DIGITAL

. Este capítulo está dedicado al análisis de algunas de las conside_

raciones prácticas en el uso del modelo matemático de la máquina de in-

ducción en estudios transitorios. Seguidamente se procederá a desarro-

llar las ecuaciones diferenciales para construir el modelo matemático -

para la- simulación en el computador digital y finalmente se describiráI .

el proceso de solución y en forma general la operación del programa de-

sarrolkdo. . •

3. 1. CONSIDERACIONES BÁSICAS.

En el apartado 1.2 del Capítulo I se dejó establecido- ciertas consi_

deraciones básicas que nos sirvieron para plantear las ecuaciones dife-

renciales. Estas mismas consideraciones serán tomadas en cuenta para el

desarrollo del modelo matemático. Estas suposiciones simplifican consi-

derablemente el análisis del motor de inducción por que las ecuaciones -

se transforman en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coe_

ficientes constantes, que para ciertas condiciones de operación dan re -

sultados aceptables (Ref. §,9], • .

El seguir tomando en cuenta las consideraciones ya establecidas ha-

.ce suponer que las ecuaciones diferenciales serán lineales pero hay otro-

factor .importante que hace que éstas no sean lineales, ésta es la veloci_

dad d'e la máquina, es decir que en este análisis no se considera a la velo

— • .- 5 8 - ' • ' .

cidad como una magnitud constante y desde este punto de vista se ten-

drá un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales.

Otra de las consideraciones básicas es la determinación de las

condiciones iniciales, que son rmportantes para el estudio transito -

rio. Dentro de estas se tiene las corriente que están circulando por

los devanados del estator y del rotor antes de producirse la perturba

ción, o sea cuando la máquina está funcionando en estado estable. Es_

tas corrientes son determinadas con la ayuda del circuito equivalente

desarrollado en el capítulo y cuyas ecuaciones complejas son las da-

das por el numeral. (63). Para la solución de estas ecuaciones se re-

quieren los siguientes datos ; voltaje.de la fuente,, deslizamiento,re_

sistencias y reactancias de los devanados y reactancia mutua.

3 , 2 . . ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

.Se "Cranscriben las ecuaciones diferenciales dadas por (46) del ca_

pítulo I,

Yqs = rs \s + P Xqs. + X¿s P

•vds = rs + I' t ' 1 ' \ = r i + p X + X- j p

qr r qr . ^ qr -dr ^t i i t i

Vj = r ij + p X , - X pdr r dr ^ dr qr -^

donde :

= LiS ids * M

- 59 -

i l

X = L, i + M fi + i )Aqr ••Ir qr ^ qs qrj

ír V+M ds^dP=- L

Si las ecuaciones de las concatenaciones de flujo se multiplican

por la frecuencia angular w , que corresponde al valor nominal, las et-

cuaciones se transforman en:

T

Í + X fi + ÍY — X> 1 + X (1qs ' ibs qs m ^ qs

ds = xls Xds + xm xds

V1 ; • ' 1 T

»J = xi ÍJ + X fijdr ar dr m ^ ds

donde :

X ^ ,• etc .e qs*

x = ue LLs >XIS

En las ecuaciones dadas por (3) se introducen los siguientes reem

plazos;

i) j = X fÍJf, + iymd m ^ ds

entonces quedan, -

i = x» ' i ' + éqs bs qs. rmq

j = X, i, + i/j , ' . ^ ds ls ds rmd

'- 60 - '

qr --r qr . mq*

i ? i, = X, Í,. + Til jdr Ir dr rmd

De estas ecuaciones se obtienen los valores de las corrientes,

i = rqs - Ymqqs - - -

ís

i, = .dsos

. t ti) - iij-' ' = yqr rmqqr ^~

1

%

,

Reemplazando los valores de (6) en la ecuación (4) y realizan-

do operaciones se llega a los siguientes resultados,

= X'.mq

x.ts Xlr

I

llí j = X j Xi X,rmd md Is Ir -

en los que x y x , son iguales y definidos como,n mq J md & y '

^ -V" — - • I / / - -*• • •+. ' I \~~ A. J I / / T T

^ xls xlr

- 61 -

Reemplazando las ecuaciones. (7) eri (6) tenemos,

,„ - JÜSi.Tqs ' Tqr

'Ls "Sis xls x-fcr

= x' xI -"-i A- I -^-1 _L-s /bs -Is Irx X '

- , mq- ^ + /• 1 _ mq

"qr " Xbs xir .. .Ir xl¡r

d

!s xlr

• Si a los dos miembros de la ecuación fl) se multiplica..- por <D

y haciendo que p9 sea igual a w y que p3 a tb - u ; esta ecuación

se transforma en, '

u e v ds = ue rs ^s + p *ds + u V' .

ue V = de rr V + p V_+ ^-^ *dr . .

1 ' . í 'ü) Vj = w r i, + p liij Cu-üLj ^e dr e r dr . r rdr ^ rj rqr

Reemplazando los valores de las ecuaciones dadas por (9) en las

ecuaciones dadas por (10) y resolviendo las ecuaciones de voltaje quet t . .

resultan para, p i|> ,. P ds> P *qr 7 P %r> s^ obtienen los siguientes. t . •

resultados :

,3)

- 62 -

qr e |_'qrKE

'1) *qs

dr

qué escrito en forma matricial,

* •rqs

^yds

Vrqr

*]*dr

_ •"Me

Vvds

I

v •qr

vidr

•f

A(1,1) A(1 ,2D A(1,3D 0

A(231) A(2,2) . 0 A[254)

A(3,l) 0 A(3,3) 'AC3,4)

0 A(4,2) . A(4,3) A(4,4]i

*yqs

*jvds

*'yqr

^ydr

Donde

r xs mq

- x,

S

xlr

A(2,4) = A(1,3) Ídem

r mq

Ls xír

'mq =. xmd

63 -

A(3,3) = rr Xmq rr•2 '

' *l.r ' Xtr

A(3,4) = - " " "r

A(4,2) = A [3,1) porque

A(4,3) = - A(3,4)

A(4,4) = A(3,3) Ídem

Hasta aquí se ha arreglado las ecuaciones de voltaje quedando

nos únicamente por adaptar al modelo la ecuación del torque. Así

mismo se reescribe esta ecuación y se multiplica sus dos miembros

p o r u . ' • " • • •

, p \ ' 1 1u T =( )üi (X i-, - X, i )e e V 9 y e ^ qr dr dr qr

por un oceso similar al anterior esta ecuación queda,

Para completar el cuadro de ecuaciones 'que describen el comporta^

miento dinámico de la máquina de inducción, faltaría la ecuación del

torque electromecánico dada por. (55) en e^ capítulo I, entonces

transcribéndola, - •

Te = (Jp + D) üJr + Tm • (13)

Las ecuaciones (11), (12) y (13) son:.las ecuaciones de voltaje -

corriente y de movimiento respectivamente, -generalizadas, es decir de

- 64 -

sarrolladas para un sistema de referencia arbitrario; que describen el

.comportamiento de la máquina bajo cualquier condición de funcionamien-

to (Ref. 5) . Por ejemplo para simular una condición asine trica en las

fases del estator, tales como conexión o desconexión de los voltajes -

de fase, es conveniente seleccionar el sistema de referencia fijo en -

el estator o sea u = 0. De manera similar para /simularx desbalanceo

en las resistencias conectadas al rotor, es conveniente seleccionar el

sistema de referencia fijo en el rotor ( to - u ) . Todo esto es aprove_

chable debido a que la maquina de inducción es simétrica y puede ser

representada por todos los sistemas de referencia. Por lo tanto cuan-

do ocurren condiciones asimétricas sea en el estator o en el rotor es

ventajoso seleccionar el sistema de referencia en donde existe la asi-

metría. También puede ser utilizado, para simulaciones de sistemas com

piejos en donde existen muchas máquinas, mediante una combinación aprp_

piada de los siiemas de referencia.

Las variables de estado del modelo que se ha planteado son las

^concatenaciones de flujo y no las corrientes, debido a que en las ecua_

ciones planteadas de esta forma es muy fácil introducir la saturación

. con menos esfuerzo de computacign (Ref. 15).

Ref, 5,15.

3,-2. 1. ECUACIONES DEL MODELO EN SISTEMA P.U. . . .

Aunque las ecuaciones obtenidas anteriormente para la simulación,

han sido derivadas en sus unidades convencionales, no es mucho el traba_

jo que resulta de transformarlas a estas a un sistema normalizado de u-

nidades que se conoce con el nombre de sistema "por - unidad". Los vol_

- 65 -

'tajes, corrientes, concatenaciones de flujo y otras magnitudes se ex-

presan como fracción de los .valores nominales, los cuales se toman cp_

mo unidad. . . .

La condición de simetría de la máquina de inducción, la facilidad

de referir los parámetros del circuito del rotor al estator hace que

se simplifique la selección de los valores base que servirán para trans-

formar las variables y parámetros de la máquina al sistema' p.u., por -

consiguiente para, el caso que nos ocupa bastará con seleccionar los va_

lores de potencia,voltaje y frecuencia base del estator.

Las ecuaciones originales del estator y del rotor derivadas en el

numeral anterior están en términos de magnitudes por fase y como valo

res instantáneos, siendo estas sinusoidales de frecuencia fundamental

(excepto en el caso del sistema de referencia girando a velocidad sin-

crónica) , definidas por lo tanto en términos de sus valores máximos.

Con todas estas consideraciones se procede a desarrollar el meto

do a seguirse para transformar nuestras ecuaciones en p.u. Las magni_

tudes de voltaje, potencia y frecuencia del estator seleccionados co-

mo valores base son:

VSB ¥ Voltaje máximo base.de fase a neutro (Volt)

Sg = Potencia.aparenta base(Volt-amperios)para fase

£3 - frecuencia base (Hz)

Donde el subíndice "S" es cantidad referida al estator y el subín_

dice "BM representa base.

Habiendo seleccionado estas cantidades, de éstas se pueden obte-

ner otras cantidades base, '

(amp.)VSB '•

- 66 -

I/ohmios)

ISB

z _

SB • - (ohmios]

ISB

-'2 ir £ (rad./seg)

QTÍ """' r ^015 . . IHenriosJ

w B ' .

La ecuación de las concatenaciones de flujo será:

= LSB ISB

multiplicando esta ecuación por oír, tenemos,

XSB = WB LSB

resultando :

ÜD ^ T) = X -n I -n ' fl 51B sB sB sB . ^ J

Siguiendo el desarrollo de estas ecuaciones se llega a demostrar

que,

V TI ~ ^ TI == ÍÜT) ^ TI C 1 O )S-D SU "JJ SlJ

El valor por unidad se define como relación entre el valor real

y el valor seleccionado como'base, así por ejemplo apliquemos a la e-

cuación de voltaje, . .

Vu - -JL ' - ' • . 07)

- 67 -

Para demostrar como se realiza el proceso de transformación vamos

a tomar por simplicidad una de- las ecuaciones dadas por (11) y veamos

que resultados se obtiene, ' •

Consideremos:

P * = u« v + , $ - + , i|í,^ rqs e [_ qs *- ' J Yqs ^ '. rds

' 'Aplicando la ecuación (17) tenemos,

-nsB = ü) v 4> -n + A(1 .1) ti lp T, + A(1 ,2) ti, tie qsu YsB ^ * J rqsu ysB ^ J J rdsu y

Haciendo simplificaciones en esta ecuación, resulta :

ti = ' üí |v + A ( 1 , 1 ) ^ + ACI ,2 ) i | ; , + A C I , 3 ) ' ' - " ! ^9^y/ien e qsu qsu ^ ' J Y^^^ ^ ' J

Si observamos los parámetros dados por'el arreglo "A", se puede

ver con 4 oda claridad que sus valores no alteran si se reemplazan por

sus valores originales o por sus equivalentes en por-unidad. . Además

. de la ecuación (19) podemos ver que las nuevas variables con respecto/ •

a las originales dadas en (11) no sufren mayor alteración a excepción

de las ya indicadas; por lo tanto estas .ecuaciones pueden ser escri-

tas suprimiendo el subíndice "u", quedando todos los valores en por-u_

nidad, quedando :

[V +n . * n > A C 2 , 2 ) + , e + A C 2 ; 4 D + ' l C P . u D C 2 0 )

- 68 -

donde :

[vqr

[vdr

,,l'-s

A(1,2) = -

Ts xmq

1 5

A(3,4)

dr]

A(2,4)

r1 xr mq1

X, X.15- Irr1 xr mq

12x r --Ir

Tir

tx- - •

Ir

A(4,3) =

AC4,4) = A(3,3)

(p.u.) (21)

La expresión para el torque electromagnético en p.u. puede ser

obtenido por dividir la ecuación (12) para el torque base,

•- 69 -

Te

T

r 1 w p ^_ W A 2 )

1fiíj il^ qr dr

TAB

i t*j i Vrdr qrJ

-sfi.N.!>£> ~-- J'""' .

donde y j

T = SB SB (23)f 2 \ ^

TT, = torque baseiS • •

Resultando 3

- Para transformar la ecuación del movimiento '(13) al sistema p.u/

conviene el introducir lo que denomina constante de inercia (H) para _

reemplazar el momento de inercia de la máquina;

r ¿10 -y- T "X" ín "X" 10~H = . ^

n • .

donde: -

2J = momento de inercia de la máquina (Kg - m )

w = velocidad sincrónica de la máquina(R.P.M)

KVA^ Potencia aparente nominal de la máquina (KVA)

La constante de inercia se calcula generalmente en unidades

convencionales a partir' del momento de inercia y de la velocidad y

t.iene la dimensión de un tiempo, por consiguiente su valor se dará

en segundos. En el sistema p.u la--unidad de energía viene dada en

70 -

unidades de tiempo y por lo tanto H es numéricamente igual a la energía

almacenada expresada en p.u.• Si aceleramos uniformemente, la máquina

desde el estado de reposo hasta la velocidad nominal u en un segundo,c

el torque, deducido de la ecuación [13), valdrá. Ju . La energía almace« • c

nada es la producida por la potencia correspondiente a este torque' a u-

na velocidad media de w /«, por consiguiente atendiendo a la definición

anterior de unidad de torque3 será igual a 1 Jw . De aquí que:' ' 2"

. H = -L- JüJe (26)

o también 2HJ = - ÜJ_

por lo tanto la' ecuación (13) se convertirá en:

• Te =(—P + D u r + T* - (27)' • ' ü)e

V

y resolviendo para pw tenemos:

ptur = — (Te - DOJ - Tm) p.u (28)•' ' 2H e r.

'Ref. 1,4.

3, 3. MÉTODO DE SOLUCIÓN

Las ecuaciones de la máquina de inducción derivadas en los numera-

les anteriores para el análisis transitorio/ son de dos tipos: 1) las

ecuaciones algébricas [ecuaciones (63),- capítulo I); que describen el

funcionamiento de la máquina en estado estable. Estas ecuaciones sir-

- 71 -

ven para calcular las corrientes iniciales.y su solución se realizará

utilizando el método de eliminación de Gauss, y 2) Las ecuaciones di£e_

renciales que describen el funcionamiento de la maquina como una fun-¿3a/» 2?.

ción del tiempo (ecuaciones (20) y (28)). El método de solución utili_

zado para estas ecuaciones es el- de Runge - Kutta de cuarto orden.

3.3.1. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS EN EL CALCULO DE

LAS CORRIENTES INICIALES

El cálculo de' las corrientes que servirán de base para calcular.

las condiciones iniciales para analizar los transitorios que se produ-

cen durante un cortocircuito simétrico; se realiza utilizando el méto-

do de eliminación de Gauss, que es un método directo (Ref. 16,17). Es_

te método consiste en realizar una serie de operaciones en las filas y

columnas en la matriz que contiene los coeficientes de las incógnitas' •

(corrientes); hasta transformar a esta matriz en una matriz triangular*-

superior. Esta matriz tiene la característica particular, de tener tc_

dos los elementos bajo la diagonal principal como ceros. . Al realizar-

se la triangularización de la matriz .se consigue que la última ecua -

ción ' contenga una sola incógnita in, la misma que puede ser fácilmen-

te calculada. Las (n - 1) ecuaciones que restan, contienen ai e i^ n n

- 1; por lo tanto si sustituímos i en la ecuación i -, también se ren n~ i —

suelve' esta ecuación; y así sucesivamente. •

El método descrito anteriormente, puede ser resumido en las si -'guientes ecuaciones: • .

1 &• i =-rTTCb¡~1 - > p¡:1 i j ) / l =n,n-1 , . . .1 (29)

. ' p . l' H+l L J ' ' .• U -

- 72 -

donde p y b están dados por

k_-¡ k 1,2,..... ,11 1

l-k Plk:1, l,j= k+l, ,n (30)ij 10

-' •' n&

k = b k-1 _ pl-k bk-1 k = 1'2

pkk I = k + 1,...., n

En las ecuaciones (24), (30) y (31), p es el coeficiente de las

incógnitas que está'dado por los parámetros; resistencias y reactan-

cias; i es la incógnita y representa las corrientes de fase; y b, es

un elemento que está dado en este caso por el voltaje de la fuente.

Este método de solución de ecuaciones es válido para cuando la

matriz que contiene.los coeficientes de las incógnitas, es una ma -

triz no singular.

Ref. 16^17. . . •

3.3.2. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE RUNGE - KUTTA (R - K) EN LAS ECUA-

'• CIONES DIFERENCIALES DE CONCATENACIÓN DE FLUJO

Las ecuaciones diferenciales de concatenaciones de flujo (20),

se integran usando el método de R-K de cuarto orden, el mismo que

consiste en evaluar cuatro diferentes incrementos de las variables

en cada paso de integración y obteniéndose de ellas un cierto pro-

medio ponderado como incremento final.' - -

Los puntos de partida para la integración numérica se definen

73 -

de las condiciones de operación, previas a la perturbación, de donde

se obtienen las concatenaciones de flujo iniciales.

El proceso de R - K puede describirse con las siguientes ecuacio_

nes: * ¡ •

donde :

= £j

k_ _

2 J1 (32)

1 A - *-o = £. (ti + -yh, vi, $'' TI*- •• ..... *"'0J2 j ^ 2 * ^y yli? 21? m

K = fJ3 j

*

h k.7 '

k-, '= f. ft. + h. v- , y*.

En estas ecuaciones j .= 1,2,3., ...... n; siendo n el número de e-

cuaciones e i es un contador de las veces que se requiere ejecutar el

método, hasta cuando se ha cumplido el tiempo especificado. Además

Y-, son valores .conocidos dé las -variables 'al instante t.;' ilÑ - -soñJi- • . - i -rj ,1 + 1

los:TLuévo-s valores .eal'euládos para t. + j = t. + , ; siendo h el paso

. -.d.e%_, .-integración,

.VRef, -17,

3.3.3. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN

El proceso seguido para, solución de las ecuaciones diferenciales

es.el.siguiente: . • . •

1. Suministrar la información necesaria sobre los parámetros de la má-

quina y calcular' los diferentes coeficientes que contienen las ecua

ciones derivadas.

2. Suministrar los valores de los ángulos, para transitorios de arran-

- . • que y para transitorios de cortocircuitos.

3. En el caso de transitorios de cortocircuito, hay que suministrar la

información necesaria para resolver las ecuaciones complejas del

cortocircuito equivalente.

4.. Calcular las corrientes del estator y del rotor antes de producir-

se la perturbación en variables de fase,.

• • 5. Determinar las corrientes del estator y del. rotor en variables qd,

usando las ecuaciones que a continuación -se derivan. Se considera

el caso en el que el sistema de referencia está fijo en el estator,

--o sea 9 = 0.

Definiendo las variables de- las corrientes instantáneas de fase

para el estator y el rotor para un sistema balanceado por las siguien-

tes ecuaciones, se tiene: o (1 ,

i = las Cos fui . + 6 + ó.,")as • et yV

i-u = las Sen. fu , + 6 + <Oos ^ et . T-J;(33)

- 75 -

I ti, = I Sen (tu . + 6 t 6-br ar ^ et Ti¿

Donde:

las y I ' = son las magnitudes máximas de las corrientes de la

.fase 'a' del estator y del' rotor respectivamente.

6 ~ es el ángulo de cortocircuito

<j>.p<j>o ~ ángulos, de fase de las corrientes del estator y

del rotor respectivamente.

Reemplazando el valor de 9 = O en las ecuaciones de transforma-

ción (24), (25), (27) y (28) del capítulo I; estas se reducen a:

(34)

qs asr I < f

- - "Saa U¿A y^ J O

i = i Cos(-0r) + iv Sen (-0r)qr . ar ^ J br ^ ^

( (Sen(-Gr) - i, Cos (-Gr)ar

Sustituyendo las ecuaciones ( 33 ) y definiendo 0r = w t en las

ecuaciones (3 ) , obteniéndose los siguientes resultados finales :

iqs = las Cos(o)et + 6 + ) . _

ids =-Ias Sen(o)e:t + 5 + (35)

t iV = Tar

- 76 -

Una vez obtenido las corrientes en las variables q-d con la ayuda

de estas ecuaciones; estos valores son usados para calcular las conca-

tenaciones de flujo (ecuaciones 3); luego se determina el torque elec-

tromagnético (ecuación 2-U ) 7 finalmente los valores de los voltajes,

que para el caso de cortocircuito simétrico-son cero; es decir,

v = V-, - v = VT - Ovqs ds qr dr

<$ Todos estos valores, representan las condiciones iniciales, y

sirven para resolver las ecuaciones diferenciales para los transito -

rios de cortocircuito.

6. Cuando los transitorios que se requieren son de arranque, se puede

' pasar directamente del numeral (2) al presente (6). En '.este • caso

todos los valores iniciales (corrientes, torque y velocidad), son

cero; con excepción del voltaje que se pueden calcular usando las

siguientes ecuaciones, (Ref. 5). -

- VM Cos

vds ="VM Sen

(36)

donde : .

V,, ; es el voltaje máximo de la. fuente de ali-M

mentación .

Ü4 : es el ángulo de ' conexión

7, Se determinan los Avalores de las derivadas de las ecuaciones di-

ferenciales y se inicia el proceso de integración de las ecuacio

- 77 -

nes. . - •

8. Se imprimen los resultados obtenidos y se verifica si el tiempo es-

pecificado se ha cumplido.

El proceso que se acaba de describir, se muestra en forma de dia-

gramas de flujo en la fig. 3,1. y más adelante se desarrollará una des-

cripción gráfica más detallada.

En lo que respecta al método utilizado para calcular las corrien-

tes iniciales ya ha sido descrito anteriormente y también en lo que se

refiere al método seguido para la solución de las ecuaciones diferen -

ciales, .

3. 4. PROGRAMA DIGITAL Y DIAGRAMAS DE FLUJO

El programa digital desarrollado para resolver el sistema de e-

cuaciones obtenidas del modelo matemático propuesto en los numerales an_

teriores^fue diseñado para el computador IBM 370 /125 existente en la

Escuela Politécnica Nacional y fue escrito en lenguaje Fortran IV, en -

doble"precisión.

A continuación se presentará una descripción más detallada del con_

tenido de este programa digital.

5.4.1, - PROGRAMA PRINCIPAL, BLOQUES Y 5UBRUTINA5

El programa digital consta de un programa principal, de 6 bloques

y de dos subrutinas que serán descritas'a continuación:

Programa principal, . . •

-.78 -

LECTURA DE DATOS

ES

NECESARIO

CALCULAR LAS

CORRIENTES?e

CORRIENTES INICIALES

CALCULO DE LAS

CIONES INICIALES(VOL

TAJES, CORRIENTES, -

ETC.) PARA CORTO CIR

CUITO SIMÉTRICO.

CALCULO DE LAS. CQNDI_

CIONES INICIALES CVOL_

TAJES, CORRIENTES, -

ETC.)PARA ARRANQUE.

CALCULO DE OTROS VA-

LORES, MEDIANTE LA

AYUDA DE LA SUBRUTI-

NA RUNGE.

SE

TERMINO EL

TIEMPO

ESPECIFICADO?

I <£? J -D 2-

. 3--Í

79 -

Este contiene formatos de entrada de datos tales como: parámetros

de la máquina (resistencias, reactancias¿ etc.), indicadores; datos :

'del ángulo de cortocircuito simétrico y del ángulo de conexión de la

fuente a la máquina. En el caso de cortocircuito simétrico, datos de

la matriz compleja, para calcular las condiciones iniciales. Además -

realiza algunas operaciones para determinar varios coeficientes que se

utilizan durante el proceso. Contiene además formatos de salida de re_

sultados y de almacenamiento de datos. En general se puede decir que

. coordina la operación de los diferentes bloques y subintinas.

2. Bloque A.

Este bloque se encarga de resolver un sistema deudos ecuaciones -

complejas por el método de eliminación de Gauss. Los resultados que se

obtienen son las corrientes en componentes de fase y los ángulos de és-

t a s c o n .respecto a l voltaje aplicado. ' . . ' . . -

Estas características son de gran importancia por -cuanto sirven para el

cálculo de 'las condiciones iniciales; previo a producirse la perturba -

cióii. Además imprime los resultados obtenidos.

3, Bloque C. 6*0 fu¿* e. X í?\/, r, -r) ^ro

Este bloque se encarga de calcular las condiciones iniciales de

concatenaciones de flujo, corrientes, voltajes, torque, etc; que sir -

ven para determinar nuevos valores de estas variables como función del

tiempo, durante el período transitorio : de arranque. . •'

4; Bloque D. -

En este bloque se realizan las correcciones de las magnitudes ano_

tadas en el numeral "3"; después de haber calculado tres de las cuatro

- 80 -

constantes que exige el me todo -de Runge - Kutta de cuarto orden. Elí ivfcf'

proceso es el siguiente : se evalúa la constante KI y luego se corrigen

estos valores ya mencionados ; se continúa con K9 y así mismo se vuelve— — ¿f — - - „ — ._. —

a corregir estos valores; etc.

5. Bloque E. ¿¿/« & ¡^freme^-1^ ¿O v .>/• ,¿l&^*'» i a-

Después de haber calculado los valores iniciales 'sea para transi-

torios de cortocircuito simétrico o sea para transitorios de arranque;

en este bloque se realizan lo's cálculos de los incrementos de las

catenaciones de flujo (ecuaciones establecidas con anterioridad] , y -

llama a la subrutina RJNGE. • " .

6, Bloque F. Cñ$^,> JV^r,!^

En este bloque se realizan los cálculos finales de corrientes,

etc; después de haber obtenido el valor de aquel • promedio ponderado de

que se habló al describir el método R-K, de las concatenaciones de flu_

jo para un tiempo determinado t.

7. Subrutina RLJNGEA

Esta subrutina es llamada para resolver el sistema de ecuaciones

diferenciales no lineales derivadas del 'modelo matemático propuesto;

para un paso de integración h y para un tiempo t,-. El método utiliza_

do para resolver estas ecuaciones diferenciales es el de Runge - K u -

tta de cuarto orden (Ref. 17}.

8. Subrutina PLOT £\Y¿$S\^ . • • • .. .

La función de esta subrutina que se encuentra incluida dentro -

- 81

del programa principal, es el de gfafizar los resultados-relativos a -

corrientes, voltajes y torque que se obtienen del bloque "F". Esta sub_

rutina está diseñada para grafizar. datos almacenados en un arreglo de

dos dimensiones y está basada en.el uso de-valores igualmente espacia-

dos de la variable independiente. Una descripción general de .esta sub_

rutina es la siguiente : • .

a); -Puede grafizar de 1 a 5 variables simultáneamente. Cada una dé -

las variables de 1 a 100 puntos.

b) . Todos los datos almacenados en el arreglo de dos dimensiones al

ser grafizados son representados por letras así : los datos de la pri-

mera variable son identificados por la Letra A; los de la 2da, 3ra, 4ta

y 5ta variables son identificados por las letras B, C, D y E respecti-

vamente.

oc]. La escala de las ordenadas está diseñada para valores entre cero

y 100, Para el caso en que -los datos almacenados sean superiores al -

especificado, basta el dividir estos resultados por una constante con-

veniente de tal manera que estos queden adecuados para ser utilizados

" en la subrutina PLOT. El caso contrario cuando estos valores son muy

pequeños, estos hay que multiplicarlos por una constante para obtener

resultados que permitan ser grafizados por la subrutina. Este segundo

'caso está enmarcado con los resultados; por cuanto todo el proceso ope_

racional está desarrollado en el sistema p.u. También esta escala pue_

de ser ajustada para proveer cualquier rango deseado de 100 unidades.

Por ejemplo puede ser utilizada para grafizar datos de-100 a O, o de

-50 a 50, o cualquier otro rango conveniente de 100 unidades.

- 82 -

d). La escala de las abscisas del grafizador está diseñada de cero a

• 50 valores que pueden ser almacenados en el arreglo de dos dimensiones

para cada una de las variables que se desean grafizar. Los valores de

esta escala son escritos' en pasos de 10 unidades.

•e). Si por. cualquier razón -los datos almacenados en el arreglo de dos

dimensiones para ser grafizados, exceden de los límites superior o in- .

ferior de la escala'de las ordenadas seleccionadas, aparecerá un símbp_

lo T$!, el cual será impreso en el límite superior o inferior del grá-

fico; indicando que el dato particular-no está dentro del rango especi

ficado,

f].. Todos los valores de las variables" que están dentro de 0,5 unida-

cles de un valor entero; son redondeados. Por ejemplo un valor de 86.6

puede ser impreso como 87, o también un valor de 8.7.499.

En el anexo 2 se encuentra un listado completo del programa digi-

tal expuesto anteriormente. En lo que ¿respecta a los formatos de en-

ritrada y salida de datos, estos se dan en el:-anexo 3, en el cual-además

se-.encuentra un listado completo de la .nomenclatura utilizada.

'3.4.2. DIAGRAMAS DE FLUJO. ' • .

En las siguientes figuras se representan esquemáticamente los dia-

-•--gramas de flujo del programa principal, de los bloques y las subrutinas.

- 83 -

P R O G R A M/A P R I N C I P A L

LEC, DATOS GENERALES DE

LA MAQUINA DE INDUCCIÓN

'LEC. DE_LA LISTA DEJ^N-

DICADORES .DEL PROGRAMA

IMPRIMIR TÍTULOS Y

DATOS GENERALES

/LECTURA DEL PASO DE IN-

TEGRACIÓN Y DEL TIEMPO

FINAL

CALCULO DE LOS COEFICIEN

TES (REACTANCIAS) DE LAS

ECUACIONES DE CONCATENA-

CIONES DE FLUJO. X

CALCULO DE LAS REACTAN-

CIAS XMQ y XMD .

CALCULO DE LOS COEFICIEN

TES A(i, j) DE LAS ECUA- -

CIONES DIFERENCIALES. &)

CALCULO DE LOS COEFICIEN

TES'DE LAS ECUACIONES DE

-LAC CORRIENTES . (• & }

NO

TRANSITORIOS-

DE CORTO CIRCUITG?-

SI

rTT

LEC. DE PARÁMETROS DEL

CIRCUITO EQUIVALENTE EN

ESTADO ESTABLE, p/ /* j/

I ~T L = 0.

-ÁNGULO DE CONEXIÓN.

PARA TRANSITORIOS

"DE ARRANQUE

LEC. DEL ÁNGULO DE COR-

TO CIRCUITO. t>ELTA.

CALCULO DE VOLTAJES

INICIALES

£T* r/

LEC. DEL ÁNGULO DE CO-

NEXIÓN

CALCULO DE VOLTAJES

INICIALES.

& K\tou<et>c^~^ CALCULAR LAS

NO' *= O """""""CORRIENTES INICIALES?

1

©

o l e r

U-

CALCULO DE LAS CORRIEN-

TES INICIALES PARA ESTA

DO ESTABLE Y TRANSITORIO

DE CORTOCIRCUITO.

y$ 6

oBLOQUE B__.

1 CALCULO DE LAS CONDICIO-

NES INICIALES PARA CORTO

CIRCUITO Y PARA ESTADO

' ESTABLE,

I '

, BLOQUE C

CALCULO DE LAS CONDICIO-

| NES INICIALES PARA ARRAN |

I QUE. II L.I1

1 CAMBIO DE VARIABLES

¡ . -1 ' ¡1 I K •= n1I KL = O

I

BLOQUE D'"1

CORRECCIÓN DE LAS VARIA- . .

BLES ORIGINALES PARA CA-

DA PASO DE INTEGRACIÓN

I

BLOQUE E • . -I - | • ¡

I ' CALCULO DE LAS DERIVADAS

j INICIALES DE LAS ECUACIO_

| NES DIFERENCIALES

1

I _

'¡ 5UBRUTINA RUNGE

I "INTEGRACIÓN DE LAS E C U A - | i¡ CIONES DIFERENCIALES

L

BLOQUE F

r*- CALCULO DE LOS VOLTAJES,

| ' CORRIENTES, TORQUE, VELO

CIDAD PARA CADA INTERVA-

l LO DE TIEMPO TI

1

0

IMPRIMIR RESULTADOS, TI,

AIQS2, AIDS2, AIQR2,

AIDR2, WRIO, TEI,

VBC2) .

KL + KL + 1

GUARDAR INFORMACIÓN EN

LOS SIGUIENTES ARREGLOS:

CCS,100): CORRIENTES

G(5,100^: VOLTAJES

: TORQUE

GUARDAR INFORMACIÓN EN

LOS SIGUIENTES ARREGLOS:

CC5,100): CORRIENTES

GC5,lpO): VOLTAJES

TORCS.IOO): TORQUE

GRAFICAR

CORRIENTES

VOLTAJES

TORQUE

- 85 -

L O Q U E . A

CHEQUEAR SI EL ELEMENTO

DE LA DIAGONAL ES CERO

CAMBIAR LAS FILAS-CALCULAR LOS COEFICIENTES

DADOS POR

Q = P(I - l~,I - 1)

1 1 = 1 - 1

|P(L.kjJ? _^^"

' i - -

MC = MC + 1

'

S DO 25 ' \

\K1 - K, M .X

V

TEMP = P C L , Kl)

P ' fL , Kl") ~ P C K , Kll

PCI, K13 = TEMP

DO 19

K2 = II, M

CALCULO DE LOS NUEVOS

COEFICIENTES DE.LAS

ECUACIONES

P(j,K2)=PCJ,KZ)-Q*PCI-l,k2)

---(19)

DO 27

J " I, N

K = N - I + 2

CALCULAR LOS COEFICIENTES

DADOS POR:K, MI 'Q =

P(X K)

DO 27

J = '1, N

M2 = N - J + 1

CALCULAR NUEVOS COEFICIENTES

DE LAS ECUACIONES

P (M2 , M) »P (M2 ,M) -Q*P (M2 , JC) .

CALCULO DE LAS CORRIENTES

Y DEL ÁNGULO DE FASE

XX » P (I^O/PU.I) -

PHI » 57.2953 '* THETA

ESCRIBIR RESULTADOS DE

CORRIENTES Y ÁNGULOS

-—(26 ESCRIBIR: LA MATRIZ

!P! ES SINGULAR

. 1 •

- 87 -B L O U E

CALCULAR LAS CONDICIO-

NES INICIALES PARA ES-

TADO ESTABLE Y TRANSI-

TORIOS DE CORTOCIRCUITO

_ICALCULO DE LOS ÁNGULOS

DE FASE DE LAS CORRIEN

TES. EN RADIANES-

FI1 = PHI(l)/57.2958

FI2 = PHI(2)/S7.2958

CALCULO DE LAS CORRIEN

TES EN VARIABLES q-d

AII (l)=Ias*Cos (u^t+FIl+6)

t+FIl+6)

= -Iar*-Cos(ii)

DO .33

I = 1 , HH

PSI (I) = 0.

DO 33

J -•1, NH

PSICID=PSI (I)+XCI,J)*AII

(33-T'

TE=PSI(3)+AIDR-PSI(4)*ÁIQR

-VOLTAJESINICIALES PARA"ESTADO ESTABLE:

•

< DOi = i,

.

SI

510 _X\

NH S

•

CALCULAR VOLTAJES ._ '

INICIALES:

VB(I) = V(I)

. <í< DÓ

I ' - 1,

i

~o) - 'y12'2 \

NH /i/

VOLTAJES INICÍALES. PARA

CORTOCIRCUITO:

VB (I) = 0.

. '^ESCRIBIR TI

-5\S

*«* —

-*-Vi

SCRJBIR

TÍTULOS PARA RE

SULTADOS GRÁFICOS?

1

NO•

ESCRIBIR TÍTULOS Y . .

DATOS INICIALES— — _

- 89 -

B L O Q U E C

CALCULAR LAS CONDICIO-

NES INICIALES PARA TRAN

SITORIOS DE ARRANQUE

T I = - 0.

DO 80

NH

CALCULAR LAS CONCATENA-

CIONES DE FLUJO,CORRIEN

TES, TORQUE, VOLTAJES

INICIALES. - -

ESCRIBIR-

TÍTULOS PARA Rlf

SULTADOS EN FOR,

DE TABLA?

SI

HIL

ESCRIBIR TÍTULOS Y

DATOS INICIALES

CAMBIAR DE VARIABLES

LOS DATOS INICIALES DE:

TCIO = TE

IÍRCO = WRI

HH = ST

INICIALIZAR'

K = O

KL = O

CORRECCIÓN DE VARIABLES

EN CADA PASO DE INTEGRA "

CION

AIQS1=BC1)*PSIC1)-B(2)*PSI(3)

AIDS1=BC1)*PSIC2)-BC2)*PSI(4) .

AIQR1--B (2) *PS-I (1) *B (3) *PSI (3)

AIDR1=-BC2)*PSI(2)+B(3)*PSIC4)

TE1=AIDR1*PSI(3)-AIQR1*PSI(4)

WRP1+WRIO+HX*(TEl-TCIO

INCREMENTAR

ÁNGULO DE CONEXIOr

ARRANQUE

'NO

1

ETA = 'S + WE * TIrm"H —y.ETA = D + WE * TI

INCREMENTAR

VOLTAJES PARA A-

RRANQUE, CON TI?-

SI

VBC1) = .VM * COS CETA)

V B C 2 ) -' -VM * SEN CETA)

- 91 -

MANTENER

VOLTAJES EN CERO \O

RA CORTOCIRCUITO?

DO 110

I = 1, NH

VBflJ = 0.

¿sitio- &?*•'*

VBC1) = VM*COS CETA)

VB(2) = VM*SEN CETA)

'

CALCULAR NUEVOS VALORES DE:

A C 6 ) = -u + u RP1

A ( 7 ) = u - u ' RP1

-

-9Z-

B L O- Q U E E

INICIAR EL PROCESO DE IN

TEGRAGION.• CALCULO DE -

"LAS DERIVADAS DE LAS CON

CATENACIONES DE FLUJO I-

NICÍALES

)<

SUBRUTINA RUNGE

' INTEGRAR LAS ECUACIONES

DE LAS CONCATENACIONES

DE FLUJO

.

GOTO (400, 5 2 O', 530) ,1

Fl.

-95-B L O Q U E

SUBRÜTINA

E

RUNGE

SUBRÜTINA - RUNGE

I N I C I A L I Z A R

K = K + 1

GO TO

(4, 5, 6, 7, 8) , K

\J\ —

)- •

\O 2

1 = 2

PASO 3

1 = 2

PASO 4

1 = 2

PASO 5

1 = 3

-— *.

— »••

RETURN

(

RETURN

RETURN

RETURN

P A S O 2

BO 10

J = 1, N

= DSI(J)

= PSI(J)

PSI(J) = Y(J)+-^

TI » TI +

I =• 2

HH

4HH*H

( 2 5 ^

P' A -S 0 ' 3

. "DO '15

. J ' - 1, N

Z(J) =PSÍ(J) = YCJ) +

H4HH4H

I =' 2

R E T U R N'

R E T U R N

98.

C O N T I N U A C I Ó N

LINE (1) = JZ

•

LINE (JA) = JL(I)

NO X*" ES MÚLTIPLO

DE 10?

ESCRIBA N, LINE

XC1, I] .

ESCRIBA LINE Y(1,N)

DO 130

1 = 1 , 1 0 1

LINE (I) = JBLANK

N = N

,_

Uí_

_O

H

TJ

W M *— ' II K

< !

C-( + " * t) en 1-1 , —

k

«-(

M , — ,

tH II N CH 1 —

•

•f 10 * a w M 1 —

>t^

"

/ c^ •

}->

'

zz \e

P:

KE)

B L O Q U E F

CALCULO DE LAS CORRIENTES,

TORQUE y VELOCIDAD DESPUÉS

DE HABER INTEGRADO PARA UN

TIEMPO TI, LAS ECUACIONES

DE CONCATENACIONES DE FLUJO

;525)

ETA =- D + WE * TI

INCREMENTA!

VOLTAJES PARA

~ARRANQUE, CON TI?

VBCl) = VM * COS CETA)

VBC2") = -VM * SEN, CETA)

INCREMENTAR

EL .ÁNGULO .DE

CONEXIÓN PARA ARRAN

QUE CON TI?

ETA = 6 + . W E . * TI

•

NO ~

MANTENER

VOLTAJES EN CERO

-PARA CORTOCIRCUITO-

*\s

>

>

H g

--J

O*

n

Mv_, ^

0

IIII

II

II

"^

=3

M

tí

i +

N

I ;d

S;

h3•'

tí

í-^

NJ

JO

M•

no

O

i>

<r"

•<*

^

^H

bd

tdi — i

i — \o

M

II II

1 1

c/3 n

w

o2;

oo

'M

'HH

't»

"j>V

'

«^

J

tt

td

tí o

S U B R O . U T I N E P L O T

SUBROUTINE PLOT

DO 99

1 = 1 , 1 0 1

LINECI) = JBLANK

INICIALIZAR

N = O

ESCRIBIR ESCALA DE LAS

ORDENADAS

L(I) = 1-0*1 - 110-.+ NS

CONSTRUCCIÓN DE LAS LINEAS

DE LAS ORDENADAS

INICIALIZAR

ND = O

DO 120

J = 1, 9

ND = ND + 1

1LINE (ND) = JN

-NO—;

DO 130

I = ~.l, 101, "10

LINE

CAMBIAR LOS NÚMEROS POR

LETRAS

DO 100

I - 1, M

KNS .= NS

JA = Y(I,N)+101.49999-XNS

LINE C101) = JF

- 99 -

3. 5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN Y RESULTADOS

~ t

3.5.1. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

El programa de computación desarrollado se aplico al estudio de -

la maquina de inducción utilizada para los experimentos descritos- en -

los capítulos I y II, con el objeto de poder comparar los resultados

•obtenidos de las pruebas con los que se arroje el proceso matemático.

Los parámetros de la máquina derivados anteriormente están en sus

valores originales, por lo que para ser utilizados en este programa de

computación, se requieren que éstos sean transformados al sistema por-

unidad, mediante una selección adecuada de los valores'base'. Estos -

valores base seleccionados son los datos de placa

= 1,656'lCVA . . *

= 230 V - . ' '

= 3.6A

= 60 Hz

= 377 rad/seg.

"B

LB

LB

. Aplicando las ecuaciones (14) y (25), se obtuvieron los siguien

tes valores de los parámetros de la máquina en p.u.

1s = 0.0773

x,r = 0.0773

= 2

= 0.0575

- 100 - •

" r1 = 0.0895r •

H . > 1.0134 seg

D = O

A parte de los datos expuestos anteriormente se requieren, datos

adicionales que los tomaremos de los oscilogramas presentados en el ca

pítulo anterior. Se consideran dos casos:

1. Cortocircuito simétrico : datos de la foto. 4i •

Vas ' = 0.4435

• u = 0.9028 ;

r , = 0.9209. . r/s _ .

6 = 298° - (5.2Qin rad. •

2. " Arranque : datos "de la foto 5

<_ -Vas = 0.4478 p.u. . '

ü)r = 0. -•

DI = 90° = 0.5208 rad,

datos de la-foto 6

Vas = 0.4478 p.u.

ü)r = O :. .

.Di = 28(9° = 5.04-40 rad. • c '

• "- 101 i- "

3.5.2. RESULTADOS . .

Los resultados impresos por el' programa para ambos casos de tran-

sitorios son: .

1) .. Para transitorios de cortocircuito simétrico

- Parámetros de la máquina

- Corrientes iniciales en-componentes de fase con sus respectivos ángu

los de fase en grados.

- Los resultados finales del proceso matemático pueden ser dados en -

dos formas : - . '

1). Resultados numéricos agrupados en 9 columnas; la primera contiene

la escala de tiempo, la segunda, tercera, cuarta y quinta las corrientes

del estator y del rotor en los ejes 'q' y !d' respectivamente; la sexta

contiene la velocidad del rotor; la séptima el torque electromagnático

y la octava y novena contienen los voltajes instantáneos que se aplican«b-

a los ejes 'q1 y 'd!; y ' , :

2). Resultados gráficos dados en tres partes, la primera'contiene los

gráficos referentes a las corrientes del estator y del_rotor en los e -

jes de referencia 'q1 y 'd!; la segunda los voltajes aplicados y la ter_

•cera contiene el gráfico relativo al torque. En cada uno de estos grá-

ficos en la parte superior se imprimen los resultados numéricos de la

primera variable usando el formato 'D1. Todos estps resultados están -

en p.u, con excepción del tiempo que está en mseg. (milésimas de según -

do) , Se han considerado dos tipos de resultados, el primero para resul_

£ados de transitorios que se producen con voltaje reducido (rango de -

- 102 -

0.0 a 0.5 p.u) y que para ser grafizados utilizando nuestra subrutina

PLOT, han sido amplificados; por ejemplo los valores de corriente se-

han multiplicado por 20, los valores de voltaje por 100 y los valores

de torque por 80. El segundo se refiere a los resultados que se obtie_

nen con voltaje de 1.0 p.u. que para ser grafizados, los resultados de

corriente han sido multiplicados por 5, los de voltaje por 50 y los de

torque por 20.

Los resultados numéricos están en p.u. y no tienen ninguna altera_

ción.

- En el algoritmo desarrollado para calcular las corrientes en estado

estable se incluye un mensaje el cual es impreso, cuando la matriz dé-

los coeficientes de las incógnitas es singular,

2). Para transitorios de arranque

- Parámetros de la máquina*

- Resultados finales dados en la misma forma que se ha descrita para

los transitorios de cortocircuito.

En las páginas siguientes se encuentran tabulados los resultados

para uno de los ejemplos propuestos. Estos están dados en las formas

expuestas.

o— <j-otr<rc7ia'Gtnc*r;Tun — oír- — — o(-uíin<~oojcca)tr"e-<ro-c-o-«onr->o c*_r- o — r- c* <o — — r-o

: • • Sm°!í!ííí2lr!Í£"SSÍo!£íu-tt;í£n£t£íflri? *~Q ri

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• • C A P I ' T U L O i v

ANÁLISIS DE RESULTADOS

4/1. COMPARACIÓN DE RESULTADOS

En los capítulos II y III se han presentado los resultados que -

se han obtenido de las pruebas experimentales y de los calculados me -

diante el proceso matemático.. Corresponde ahora el analizar estos re-ii . •

sultados. ' - • -

1]. Resultados de cortocircuito simétrico

Al presentar el oscilograma de la corriente de cortocircuito se -

comentó sobre la forma de la onda, por lo que, para comparar los resul_

tados'medidos con los calculados; consideramos las mismas restriccio -

nes expuestas. En la figura 4.1", se indica el valor medido (foto 6) -

de la corriente que corresponde al eje " 3 en la máquina generalizada;

y el vafbr calculado que corresponde a IDS en la tabla de re-

sultados, para 6 = 5.20T.T rad.

A pesar de la irregularidad que presenta, la curva medida, se pue-

de comparar con la calculada por lo menos en algunos puntos (por ejem-

plo los máximos y mínimos), observándose que estos resultados "son a -

ceptables y así mismo, en cuanto a la. forma misma de la onda, que como

se puede observar tiene una similitud con la obtenida con los datos -

calculados. .

La curva medida con eliminación de las armónicas y con ligeras va

xiaciones en la lectura del ángulo 6, llegarían .prácticamente a coinci

•(I

- 109 -

dir.

Otros resultados que se obtienen con el computador digital son -

por ejemplo el torque electromagnático, • pero este en cambio no fue po_

sible*comparar con resultados medidos debido a la carencia de un ins-

trumento que nos permita medir esta característica. Sin embargo/co-

mo ya se indico anteriormente que los resultados medidos y calculados

son aceptables; se asume .también que los'valores obtenidos para el -

torque en el programa de computación son aceptables.

El programa digital fue procesado para diferentes ángulos de cor_

tocircuito y para dos valores de voltaje de alájnentación que son:

0.4435 p.u. y 1.0 p.u. demostrándose con-esto una de las facilidades

que. presenta la simulación para estudiar el comportamiento de la má -

quina con diferentes condiciones arbitrarias, pero que pueden presen-

tarse en la realidad y que son más fáciles de analizar por este medio

que, experimentalmente. Estos resultados sé encuentran tabulados en-

las tablas 1 y 2 y representan los valores máximos de corriente y de

torque que se han'obtenido con estas condiciones de operación. Estos

..resultados están en p.u. - • - .

' ' T A B L A - 1

V = 0.4435 p.u.

VARIABLES

CORRIENTE (IQS)

TORQUE

0°

-1.3507

-0.542

30 °

1.3099

-0,5943

ÁNGULOS

60 °

1.8500

-0.5943-

EN GRADOS

90 °

1.3507

-0.5942

180°

-1.3507

-0.5942

270°

1.3507

-0..5942

- 110 -

T A B L A - 2

V = 1.Qp. -u.

VARIABLES

CORRIENTE (IQS)

TORQUE

ÁNGULOS EN GRADOS

0 °

-3.0400

-3.0143

30 °

2.9202

-3.0142

60 °

4.1508

-3.0142

• 90 °

3.0400

-3.0143

180°

-3.0400

-3.0143

270°

3.0400

-3.0143

Observando los resultados presentados en las tablas 1 y 2 se pue-

de decir que la corriente transitoria sí depende del ángulo de corto -

circuito, mientras que el torque no depende de este ángulo. También -

se puede observar que-con voltajes reducidos (valores menores que .1.0

p.u.), la corriente alcanza valores de hasta 1.85 veces la corriente -

nominal, ademas el torque en estas condiciones no na llegado ni siquie_

ra al valor nominal. Cuando la máquina opera con tensiones de 1.0 p.u.

que es lo nominal, se puede'decir que la corriente alcanza valores de

4.1508 veces la nominal y el torque llega a valores de -3.0142 veces -*• • . -

el nominal. . ' , "

Del análisis de estos resultados se puede concluir que:

a. La forma de onda (con las debidas restricciones) y la magnitud de

la corriente depende del ángulo de cortocircuito, mientras que el tor-

que es independiente y de una magnitud negativa.

b. Las amplitudes de corriente y de torque son varias veces el valor

nominal, como se puede observar en las tablas presentadas.

- 1 1 1 -2. Resultados del arranque

En la 4.2, se indica el valor medido (foto 6) de la corriente que

corresponde al eje '' en la máquina generalizada,, y el valor calcula-

do qué corresponde a IQS en la tabla presentada, para D-|=1C5:708, radien

forma análoga en la fig. 4,3 se indica los valores de la fotografía (7)

y los calculados para D-p 5.0440 rad. . .

En la fig. 4,2 se observa que el resultado del proceso calculado

con el medido es muy aceptable, puesto que con ligeras variaciones,las

curvas prácticamente coinciden; esas variaciones se -deben a los erro -

res de medición cometidos, a variaciones en la lectura del ángulo r ,

etc. "

Las mismas consideraciones pueden hacerse para la figura 4.2,con

excepción de que aquí la diferencia entre la lectura del ángulo D con

el real es mayor; pero igualmente el resultado es aceptable.

Memas, en estas figuras se puede observar que existen pequeñasv

diferencias entre el valor real y el valor calculado, ello se debe a

la falta de precisión en la determinación de los parámetros de la ma-

.quina y por otro lado, el despreciar ciertas características que po -

drían ser importantes como por ejemplo la no linealidad del circuito

magnético,-

. . En forma similar a la expuesta anteriormente, no se registró un

oscilograma del torque de arranque; pero probada la bondad de los re_

sultados calculados, se puede decir que los valores obtenidos de es-

te proceso matemático son también razonables.

En- las tablas 3 y 4 se presentan resultados de valores máximos

- 114 -

de corriente y de torque para diferentes ángulos de conexión y para

dos valores de voltaje, semejante a lo expuesto para corto cuircuito.

T A B L A - 3 - ' '

V = 0.4478 p. u.

VARIABLES

CORRIENTE (IQS)

TORQUE

ÁNGULOS EN GRADOS-

0 °

2.1248 .

0.9235

30 °

2.2290

0.9255

60 °

-2/2795

0.9235

90 °

-2.3376

0.9235

180°

-2.1248

0.9235

270° •

2.3376

0.9235

T A B L A - 4

. V = 1.0 p. u. -

VARIABLES

.CORRIENTE (IQS)

TORQUE ^ . . . -

,

- 0 -o .

4.7726.

. .4.5832

. . . . ^

' '30 "

-4.9617

. 4.5832

\NGULOS Eí

' ' 60 °

-5.0820

. 4.5832

í GRADOS

90 °

-5.2186

4.5832

' 180°

-4.7726

4.5832

270°

5.2186

4.5832

decir que la corriente de 'arranque depende del ángulo de conexión, j

mientras.que el torque es independiente. Además, para voltajes redu_

cidos la corriente alcanza valores de hasta 2.3376 veces el nominal,

no sucediendo así, en cambio con el torque que no llega al valor nomi_

na, Para el voltaje 1,0 p.u., tanto la corriente como el torque al-

canzan valores de varias veces el nominal; como -se piuede apreciar en

la tabla - 4. " • .

- 115 -

Del comentario de estos resultados se puede concluir que:

a). Lajforma de onda jy_ la magnitud de la corriente depende del ángu-

lo deconexión. Mientras que el torque es independiente de este ángu

lo.

b)'. Al reducir el voltaje de la fuente, la.corriente, de arranque se

reduce en el mismo porcentaje, que el seleccionado para el voltaje. \,

c). La'reducción de voltaje, también produce una reducción considera "

ble en el torque electromagnético,i

Resumiendo la comparación de estos resultados presentados en las

tablas y en los gráficos, se puede decir que:

.1), Los valores de la corriente y del torque de arranque son mayores J

que los valores de cortocircuito. . J

2). Los transitorios de arranque tienen mayor tiempo de duración,

mientras que los de cortocircuito decaen muy rápidamente.

3) . El sentido del torque de. arranque.es positiva, mientras que la -

del cortocircuito es negativa.

4). Estas corrientes excesivas de arranque, pueden ocasionar averias

en el aislamiento • de los devanados de la máquina.' Así mismo el tor-

que de arranque puede ocasionar averías en los elementos conectados a

la máquina, como por e j emplo el e j e del rotor.' Por lo tanto se reco-

mienda tomar muy en cuenta estas magnitudes en el diseño de proteccio_

nes; en el diseño de las máquinas de" inducción.

' . - 116 -

4. 2. .RESTRICCIONES "

El programa digital desarrollado para determinar las característ;L

cas transitorias del motor de inducción tiene las siguientes restriccic

nes: • . ' .

1. Está diseñado para estudiar el comportamiento transitorio de una/

máquina de inducción bifásica.

2. También está diseñado para operar cuando el sistema de referencia

está fijo en el estator, es decir w = O.

3. En lo referente .a la salida de los resultados; particularmente en-

' ' lo que se refiere a la forma gráfica, la escala de las abscisas

(tiempo) está limitada para 50 puntos y la escala de las ordenadas•

para 100 puntos. Esta restricción no existe para los resultados -

que salen en forma de tabla, limitándose únicamente al tiempo en -

el que se requiere el estudio.

* . •

4. 3. ' CONCLUSIONES' Y RECOMENDACIONES

4,3.1. CONCLUSIONES

Al finalizar este trabajo se puede concluir que:

1. Se puede calcular los transitorios de arranque como de cortocircui-

• • to simétrico, utilizando el mismo modelo matemático, con sólo cam -

biar las condiciones iniciales.

2. Los resultados obtenidos del programa de computación digital son sji

tisfactorios tal como se demuestra al comparar éstos con los obteni

- 117 - . •

dos de las pruebas experimentales.

3. La comparación de los resultados medidos y calculados demuestran

que es posible determinar las características transitorias de la\a de .inducción usando los parámetros obtenidos a partir dei

las pruebas clásicas; en vacío y rotor bloqueado. J

4, También de la comparación de los resultados medidos y calculados

se demuestra que la teoría ideal de la máquina, salvo_pequeñas

restricciones- se ajusta bien a la realidad.

4,3,2. RECCMENDAGIONES

Con el fin de optimizar los resultados calculados y que el mode-

lo matemático desarrollado sea utilizado en otras aplicaciones, se -

puede recomendar l a siguiente: - . • • ' .

1. Utilizando el mismo modelo ? construir un programa digital en el

que se incluya la curva de saturación de la máquina.

2. Utilizar este modelo en el análisis de otras condiciones de fun -

cionamiento, como: desequilibrio en la fuente de alimentación; in_

sercion desequilibrada de resistencias al circuito del rotor deva

nado; aplicación discontinua de los voltajes de la fuente; conexión

de la máquina a una fuente defrecuencia variable y al estudio del

comportamiento de la máquina con doble excitación.

3. Utilizar este modelo en el estudio del comportamiento de una má -1 'V-1 ^ i

quina de inducción trifásica, ' . . ^

4. Adaptar este modelo matemático desarrollado al análisis de una ma_

quina sincrónica.

- 118 -"

5. Utilizar el modelo para simular la máquina de inducción en estudios

de estabilidad transitoria de sistemas eléctricos de potencia.

' • • _ . ' - 1 1 9 -

A N E X O 1

Características del equipo utilizado en los experimentos. En -

este anexo, se indicará las características del equipo utilizado -en

los experimentos :

Maquina generalizada "Westinghouse" usada como máquina de in -

ducción, para realizar las pruebas de cortocircuito simétrico y de

arranque.

POTENCIA APARENTE : 1.656 - KVA

FRECUENCIA ; 60 hz

NUMERO DE POLOS : 2 '

MOMENTO DE INERCIA : 0,26 lb-pie2

El estator tiene dos devanados por cada fase, indentificados -

con la letra a para los devanados en eje directo y con la letra {3 pa_

ra los devanados en eje en "cuadratura. Estos pueden conectarse en -*•

serie o en paralelo, para operar con una tensión continua o alterna

de 230 Volt y corriente de 3,6 amp., o con tensión continua o alter-

na de 115 Volt y corriente de 7.2 amp, respectivamente.

El rotor tiene un devanado por fase, identificados con las mis-

mas letras usadas para el estator. Puede operar con tensión contí -

ríua o alterna de 230 Volt y corriente de 8-amp. En todos los experi_

mentos, se conectó en serie los devanados del estator, con valores -

de tensión diferentes a los nominales; y con el rotor cortocircuito.

Los parámetros de esta máquina, se evaluaron de las pruebas de

circuito abierto y rotor bloqueado y los valores quedaron determina-

. - 120 - •

dos en el apartado 2.1 del capítulo II.

Equipo asociado a esta .máquina que fue utilizado

Maquina de corriente continua' acoplada a la máquina generaliza

da, usada como motor Shunt autoexcitada para llevar a la velocidad

sincrónica a la máquina inducción en la prueba en vacío. De las si

guientes características :

MARCA . : WESTINGHOJSE . •

POTENCIA ; 3 HP

ARMADURA : 240 Volt, 10.8 amp. c.c.

.' - CAMPO : 240 Volt, 0.562 amp.. c.c.

• ' VELOCIDAD MÁXIMA ABSOLUTA :- 4000 r.p.m.

NUMERO DE POLOS : 2

MMENTO DE INERCIA : 0.30 Ib- pie2

Tacóme tro de corriente continua para medir la velocidad del ro-

tor. La constante de este tacómetro es de 20 Volt, por cada 1.000

*•r.p.m. t ' t '•

. ' " MARCA : TOSTINGHOUSE

Dos transformadores usados en la conexión Scott, para transfor_

mar los voltajes trifásicos de la red en un sistema de voltajes bi-

fásicos a cuatro hilos, que se utiliza como fuente para el funciona

miento de la máquina generalizada:

MARCA :.. " CETET (Bruselas)

. TIPO : S611 •

VOLTAJE; 220/110 Volt.

- 121 -

-CORRIENTE : 8.3/13.6 Amp,

FRECUENCIA : 60 Hz

POTENCIA APARENTE : 1.5 KVA

* Puente de Weatstone usado para determinar los valores de resis-

tencia :

MARCA : YEW (Japón)

TIPO : L - 3

NUMERO ; 'N 2020031

ALCANCE : 0.001 n hasta 10!000000 de n

. Voltímetro usado para medir valores eficaces de voltaje :

MARCA : NORMA (Austria)

ESCALAS : 65 - 130 - 260 Volt

TIPO ; hierro móvil, corriente continua y

alterna

CLASE ; 0,5v

Amperímetro usado para medir valores eficaces de corriente:

MARCA : GOSSEN

ESCALAS : 1.2 - 6 amp,

TIPO : hierro móvil, corriente continua yalterna

CLASE : 0,5

Vatímetro de bajo factor de potencia usado para medir poten-

cia activa:

- 122 -

MARGA : SINGER (U.S.A)

MDDELO : DW *

FACTOR DE POTENCIA : menos de 0.5

RANGO : 150-600 Watt

T10 - 220 Volt.

NUMERO :'.N951650 • "

TIPO : Corriente continua y alterna

CLASE : 0.25

Estroboscopio usado para medir la velocidad del rotor:

'MARCA : GENERAL RADIO CCMPANY (USA)

'ESCALAS : 110-25000 r.p.m.

TIPO : 1531

Reóstatos para obtener las señales de corriente:

RANGO : O - 3.3 Q*

CORRIENTE; 9 amp,

NUMERO : L 78006

* - * . • " 'Contactores, usados en el diseño del circuito de control, para

poder producir los transitorios de la maquina.

MARCA : AEG (Alemania)

SERIE : LS 32/ L 40 '

TENSICN NOMINAL DE • ' .

ACCIONAMIENTO : 220 Volt, 60 Hz

• - 123 -•

Pulsantes, provistos.de contactos de acción instantánea que vuel_

ven a su posición inicial cuando la presión manual, cesa :

. MARGA : KLOCKNER - MOELLER

TIPO :' A C11 - 220/3SO/500 Volt-10/8/5 Amp.

• VOLTAJE DE AISLAMIEN :

TO 600 Volt

CORRIENTE NOMINAL "

TÉRMICA : 10 Amp.

Osciloscopio usado enla observación de las formas de onda con

almacenaje en la pantalla: . . -

MARCA : TEKTRONIX '

TIPO : '564 B

MDDELO : 121 N

TIEMPO BASE : 2 B67

v " ALCANCE : 1 v'Seg - 5 Seg.' por división

Cámara fotográfica tipo polar.oid, usada para el registro de los

experimentos :'

MARCA : TEKTRONIX

TIPO : C 12

SERIE : 125-- f 1.9 - 1: 0,85 MAG

Todas las fotos -se tomaron con el obturador puesto en la posi-

ción de 1/25 seg, y con abertura del diagrama de 2.8.

Fotografía empleada

MARCA : POLAROID

TIPO : 107

- 124 -

• A N E X O ' 2

LISTADOS DEL PROGRAMA

Los listados del programa principal con los diferentes bloques

y subrutinas se presentan en la siguientes páginas.

- 125 -

00010002

0003000*

' 0005

0007O O O P

om n001 1001200 13o n i A.001 5001 60017om R0 0 1 900?0

• 0 0 2 1O O P P0023

0 0? i0025

002600270028002900300031

- 00320033003*0035003600370038003900*O00^10042G0*300**00*500*6

- 00-5-700*800*9O050

0 0 5 100520053005"

0055005f>0057 "

' 005«• 0059

006000610062

00630064006500660067 •00650069

T \ -* AAM—rn— &_Ta -*— P M ñ T w o r r M P"TF 1 0 /"I i -"77 Tj-pp • ie .17. -36

C CALCULO DE LAS COPOf^NTFS, VELOCTnAD Y TOROUE TRANSITORIOS. QUE SEc oponureN DURANTE l>¡ CORTOCIRCUITO S IMÉTRICO Y - Q U P A M T F EL ARRANQUE(- per i tf-i f.inTnn nr= 7 MDI irr.T.riM , oe?c;i-ji .vT.Ft.Mnr) ' ttj S T ^ T ^ w A . . pf= ^ i j A y o Q p^TiAria- 'C NES O1FFRFNCI ALF.S "pp FL MÉTODO DE PUNGE- KUTTA .

T M P L T T J T RFAL^P ( A-H,Q-7 )

COMPLEXA 16 P( *, 5) . TFMP, 0, X X . SUM. D A T A X» A, n/ 16*0 .,7*0. .3*0. /

l_N=SO •> . • '

KT~1 - . * .

RFAIMl, P )X1. S, X 1 R , X M . P S . R R , V M . H t W R , W,FB -2 FORMATf 10F,Q,-4}

REAOÍ 1 , 5 ) N , I M D , I N I C - . ITT , MAT , KLM, J JJ ,LCN-,NH.MIL . JTM•> F R R M A T Í 1 1 T3 } ' . - • - • - . . .

00 266 J,X=l ,3 •

666' Fn^w A T ( ? 0 * A ) ' - - ' T ' . ' • ' - * .P6^> V / t ? T T F f ^ - 1 66 ) ( K'HMf T 1 , T=1 .-P01 - . '*í-~ „' ~~ • •>• ,,¿' ~ '-••-166 F O P W A T C 2 0 X , 2 0 A * / Í "•*-11"^-, t — i /~i ,-. '

W R I T E C 3 , 6 ) -- - • - GT?JgÍ(B Cí?P6 F O P V A T ( 3 8 X ' P A P A V F T P O S DF LA *lAOUtrNA\peli TÍi&iUX'ZS ON/ /O>

W R t _ T E ( 3 . 7..J.X1S.. X1P,XM. .RS,RR, VM.HVWR.\vp - <J (¿^ 7 FOPMAT.Í ^ X , ' X I S ^ ' - F T - ñ - S X , ' X 1 J?««í^ FV. 5 ,3X . 'XM=' , F7 . 5%G>Y- '03=' . F7 . 5 , 3*X, *PR= ' » F 7 . 5 , 3 X , » V M = » .F7,5,3-xJ 'xFf=' , F7.5 ,3X. 'WP=' ,F7.S,3X, ' W= ' ,F7.5*) TÍ«f

350 FORMATÍ 2F1 0 - 6 ) ' /' .-> .„. , . . - ^ Y^ " ;" ••C CALCULO. DE PARÁMETROS '' r ,' -. • . " -^^ í-

WE= 6.28318S3 + FB jitMtnu.* ^y . " - . . , . ' : " - t ' - V^X '.x [ ^ ^ l ) ^ : X l S + x ^ f . r\ — , - • . - v *• i • ^ — \, ?)-Xl S+XM 3 . . /Jg, / ^ - , . " • . . r-¿ ''

X ( 3 , T J - X 1 R + X M £ ) . . - ' *— ' .

X^D~1 ./( í 1 . /XW>^-f t ./XUS-KK 1 ./X1R) } ? - , " ' f • /^XMO=XMD ' ' W¿¡ ^ - • _ • ' ! . •-.. - : ; • U J .-,'-'

A ( 3 1 = f R S * X M O ) ^"í X I S * X 1 R ) f^»A}v8~"~>l->lr~'" '** • . ^ ^' '

A ( 5 ) = ( (RR*XMO)y ( X1R**2)— RR/X1R) . • ' . . . *

B ( 1 ) = ( X 1 S— Xf'O ) / ( X 1 S^*? ) í50^1 ^ ^ ' . ••-, --.-: i- '

3 Í 3 > = ( X 1 R - X V - Q ) / C X IR* *2 )

9 DO 1 0 1 = 1, N T ' " * " \" '' ••• ;—.-•'• '\C LECTURA HE LOS HATOS OE LA f- ATRI 7. COMPLEJA 'P' / • ' '

10 P E A D C 1 , 1 1 ) í Pí I . Jl . J=1,LJ) - . - - , . .11 F O R M A T Í 6 F 3 . 4 ) x r , T / i í * C . C Í

R T T = 0-° ° x V E t ( 4 :««;,»:;C LECTURA DFL ÁNGULO DE CORTOCIRCUITO

13 REAQC 1 » ! 5)OELTA15 FORMATÍ FIO. *)

TA=WE*TIV( 1 } = VM*DCOS( T A 4 - D E L T A ) P . . .V ( 2 ) = - V M * D S I N C T A + Ó F L T A ) GG*-ac, 3 C* A<^'| V C-V ( 3 ) = 0. . .

GO TO 900C LECTUPA OFL ÁNGULO OE CONEXIÓN PARA TRANSITORIOS OE ARRANQUE

14 R E A D Í 1 , 16)DEL16 F O R M 4 T Í F 1 0 . * ) '

TS=WF*T T •. V A : i i=vv.*ncosrTR+DFD * vyt

V A ( 2 ) = - V M * D S I N Í TB-f-OF.L) f?V .

V A ( a ) = 0 ,

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22 CONTINUÉ

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122 CONTINUF

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