3cer taller de anailsis numerico

7/23/2019 3cer Taller de Anailsis Numerico

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1. Dada la función f ( x )= x+2

x .

• Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadrático P2( x) con nodos x0=1 ,

x1=2 y x2=2.5

para aproximar f (1.2) y f (1.5) .

SOLUCI!" #l o$%eti&o de este e%ercicio es 'allar un polinomio de grado ( )ue se cumplacon las siguientes condiciones de a continuación"

P2 ( x0 )= P2 (1 )=3=f (1 )=f ( x0 )

P2 ( x1 )= P2 (2 )=3=f (2 )=f ( x1 )

P2 ( x2 )= P

2(2.5 )=3.3=f (2.5 )=f ( x2 )

*'ora aplicamos el teorema de polinomios coe+cientes de Lagrange, sa$indose )uen=2 entonces tenemos )ue"

P2 ( x )=∑k =0

2

Lk ( x )∗f ( xk )= L0 ( x )∗f ( xo )+ L1 ( x )∗f ( x1 )+ L2 ( x )∗f ( x2 )

Donde L0 , L1 y L2 son los siguientes resultados"

L0 ( x )=∏i=0

i ≠0

2

( x− xi

x0− xi)=( x− x1

x0− x1)∗( x− x2

xo− x2)=( x−2

1−2 )∗( x−2.5

1−2.5 ) L0 ( x )=0.666667 x

2−3 x+3.333333

L1 ( x )=∏i=0

i ≠1

2

( x− xi

x1− xi)=( x− x0

x1− x0)∗( x− x2

x1− x2)=( x−1

2−1 )∗( x−2.5

2−2.5 )

L1 ( x )=−2 x2

+7 x−5

L2 ( x )=∏i=0

i ≠2

2

( x− xi

x1− xi)=( x− x0

x2− x0)∗( x− x1

x2− x1)=( x−1

2.5−1 )∗( x−2

2.5−2 ) L2 ( x )=1.333333 x

2−4 x+2.66667



*'ora terminando el e%ercicio se tiene lo siguiente"

P2 ( x )=¿ L0 ( x )∗f ( xo )+ L1 ( x )∗f ( x1 )+ L2 ( x )∗f ( x2 )

P2 ( x )=(0.666667 x2−3 x+3.333333 )∗(3 )+(−2 x

2+7 x−5 )∗(3 )

+(1.333333 x2−4 x+2.66667 )∗(3.3)

P2 ( x )=0.3999999 x2−1.2 x+3.80001

* continuación &amos a aproximar la función anterior para f (1.2) de la siguiente

manera"

f (1.2 ) ≈ P2 (1.2 )→ (1.2 )+ 1

(1.2)≈0.3999999(1.2)2−1.2 (1.2 )+3.80001

¿2.03333333≈2.936009856

- a su &e e&aluarlo en f (1.5) , as/"

f (1.5 ) ≈ P2 (1.5 ) →(1.5 )+ 1

(1.5)≈0.3999999(1.5)2−1.2 (1.5 )+3.80001

¿2.166666667 ≈2.900009775

• Use el polinomio interpolador de Lagrange c0$ico P3( x) con nodos x0=0.5 ,

x1=1,

x2=2 y

x3=2.5 para aproximar f (1.2) y f (1.5) .

SOLUCI!" #l proceso para la ela$oración de este e%ercicio es similar al anterior, sólo)ue se diferencia al )ue el polinomio es de grado a'ora y se cumplen estascondiciones"

P3 ( x0 )= P3 (0.5 )=4.5=f (0.5 )=f ( x0 )

P3 ( x1 )= P3 (1 )=3=f (1 )=f ( x1 )

P3 ( x2 )= P3 (2 )=3=f (2 )=f ( x2 )

P3 ( x3 )= P

3(2.5 )=3.3=f (2.5 )=f ( x3 )

*plicando el teorema dic'o anteriormente, sólo )ue a'ora n=3 se tiene a'ora )ue"



P3 ( x )=∑k =0

3


+ L3 ( x )∗f ( x3 )

*ntes de empear, encontremos L0 ( x ) , L1 ( x ) , L2 ( x ) y L3 ( x ) "

L0 ( x )=∏i=0

i ≠0

3

( x− x i

x0− x i)=( x− x1

x0− x1)∗( x− x2

x0− x2)∗( x− x3

x0− x3)

L0 ( x )=( x−1

0.5−1 )∗( x−2

0.5−2 )∗( x−2.5

0.5−2.5 ) L0 ( x )=−0.6666666667 x

3+3.6666666667 x2−6.3333333333 x

+3.333333333

L1 ( x )=∏i=0

i ≠1

3

( x− xi

x1− x i)=( x− x0

x1− x0)∗( x− x2

x1− x2)∗( x− x3

x1− x3)

L1 ( x )=( x−0.5

1−0.5 )∗( x−2

1−2 )∗( x−2.5

1−2.5 ) L1 ( x )=1.33333333 x

3−6.66666667 x2+9.66666667 x

−3.33333333

L2 ( x )=∏i=0

i ≠2

3

( x− xi

x2− xi)=( x− x0

x2− x0)∗( x− x1

x2− x1)∗( x− x3

x2− x3)

L2 ( x )=( x−0.5

2−0.5 )∗( x−1

2−1 )∗( x−2.5

2−2.5 ) L2 ( x )=−1.3333333333 x

3+5.3333333333 x2−5.6666666667 x

+1.6666666667

L3( x )=∏

i=0

i ≠3

3

( x− xi

x3− x i)=( x− x0

x3− x0)∗( x− x1

x3− x1)∗( x− x2

x3− x2)



L3 ( x )=( x−0.5

2.5−0.5 )∗( x−1

2.5−1 )∗( x−2

2.5−2 ) L3 ( x )=0.6666666667 x

3−2.3333333333 x2+2.3333333333 x

−0.6666666667

Una &e conocido estos polinomios parciales se puede reemplaar en la parte +nal de lafórmula con todos los &alores conocidos, as/"

P3 ( x )=¿ L0 ( x )∗f ( xo )+ L1 ( x )∗f ( x1 )+ L2 ( x )∗f ( x2 )+ L3 ( x )∗f ( x3 )

−0.6666666667 x3+3.6666666667 x

2−6.3333333333 x

P3 ( x )=¿

1.33333333 x3−6.66666667 x

2+9.66666667 x

+3.333333333¿∗(4.5 )+¿−1.3333333333 x

3+5.3333333333 x2

−3.33333333 ¿∗(3 )+¿

0.6666666667 x3

−5.6666666667 x+1.6666666667 ¿∗(3 )+¿

−2.3333333333 x2+2.3333333333 x−0.6666666667¿ (3.3)

P3 ( x )=−0.8000000099 x3+4.8000000102 x

2−8.7999999901 x

+7.8000000085

*'ora al aproximarlo con las funciones e&aluadas f (1.2 ) y f (1.5 ) se tiene )ue"

f (1.2 ) ≈ P2 (1.2 )→ (1.2 )+ 1

(1.2)≈−0.8000000099(1.2)3

+4.8000000102 (1.2 )2−8.7999999901 (1.2 )+7.8000000085

¿2.03333333≈2.769600017

f (1.5 ) ≈ P2 (1.5 ) →(1.5 )+ 1

(1.5)≈−0.8000000099(1.5)3

+4.8000000102 (1.5 )2−8.7999999901 (1.5 )+7.8000000085

¿2.166666667 ≈2.700000012



2ra+)ue en un mismo plano cartesiano f ( x ) x+2

x , P2 ( x ) y P3 ( x ) .

(. Dada la funciónf ( x )=

sen(2( x+ π

4 ))2

3con el ángulo medido en radianes4.

• 5alle el polinomio interpolador de Lagrange P4( x ) con nodos x0=−π

x1=−π

2 , x3=0

, x4=π

2 y x1=π

.

SOLUCI!" De$emos antes de iniciar con el e%ercicio, ela$orar respecti&as e&aluaciones)ue cumplen exigentemente las condiciones como se detallan a)u/"

P4 ( x0 )= P4 (−π )=0.5=f (−π )=f ( x0 )

P4 ( x1 )= P4 (−π

2 )=−0.5=f (−π

2 )=f ( x1 )

P4 ( x2 )= P4 (0 )=0=f (0 )=f ( x2 )

P4 ( x3 )= P4( π

2 )=−0.5=f ( π

2 )=f ( x3)

P4 ( x4 )= P4 (π )=0.5=f ( π )=f ( x4 )



*plicamos el teorema para $uscar el polinomio de Lagrande de grado 6, )uiere decir,

siendo n=4 , modelándolo de la siguiente forma"

P4 ( x )=∑k =0

4


+ L3( x )∗f ( x3 )+ L

4( x )∗f ( x4 )

7ara poder a&anar con la $0s)ueda de este polinomio, de$emos $uscar L

0 , L1 ,

L2 y L3 primero )ue todo, as/"

L0 ( x )=∏i=0

i ≠0

4

( x− x i

x0− x i)=( x− x1

x0− x1)∗( x− x2

x0− x2)∗( x− x3

x0− x3)∗( x− x4

x0− x4)

L0 ( x )=( x−(−π

2 )−π −(−π

2 ) )∗( x−0

−π −0 )∗( x−π

2

−π −π

2)∗( x−π

−π −π )

L0 ( x )= x

4−π x3−

π 2 x

2

4 +

π 3 x

4

3π 4

2

→ L0 ( x )=2 x ( x−π )2( x+π )

3 π 4

L1 ( x )=∏i=0

i ≠1

4

( x− xi

x1− xi)=( x− x0

x1− x0)∗( x− x2

x1− x2)∗( x− x3

x1− x3)∗( x− x4

x1− x4)

L1 ( x )=( x− (−π )−π

2 −(−π ) )∗(

x−0

−π

2 −0 )∗(

x−π

2

−π

2 −

π

2 )∗(

x−π

−π

2 −π )

L1 ( x )= x

4−π x

3

2 −π

2 x

2+π

3 x

2

−3 π 4

8

→ L1 ( x )=−4 x ( x−π ) ( x+π )(2 x−π )

3π 4



L2 ( x )=∏i=0

i ≠2

4

( x− xi

x2− x i)=( x− x0

x2− x0)∗( x− x1

x2− x1)∗( x− x3

x2− x3)∗( x− x4

x2− x4)

L2 ( x )=( x−(−π )0− (−π ) )∗(

x−

(−π

2

)0−(−π

2 ) )∗

( x−

π

2

0−π

2 )∗(

x−π 0−π )

L2 ( x )= x

4−5π

2 x

2

4 +

π

4

π 4

4

→ L2 ( x )=16 x

4−5π 2 x

2+π

4π 4

L3 ( x )=∏i=0

i ≠3

4

( x− xi

x3− x i )=( x− x0

x3− x0 )∗( x− x1

x3− x1 )∗( x− x2

x3− x2 )∗( x− x4

x3− x4 )

L3( x )=( x−(−π

2 )π −(−π

2 ) )∗( x−(−π )

π −(−π ) )∗( x−0

π −0 )∗( x−π

2

π −π

2)

L3 ( x )= x

4+π x3−

π 2 x

2

4−

π 3 x

4

3π 4

2

→ L2 ( x )=2 x ( x−π )( x+π )2

3 π 4

L4 ( x )=∏i=0

i ≠ 4

4

( x− x i

x4− x i)=( x− x0

x4− x0)∗( x− x1

x4− x1)∗( x− x2

x4− x2)∗( x− x3

x4− x3)

L4 ( x )=

(

x−(−π

2 )π

2−(−π

2

) )∗

(

x−(−π )π

2−(−

π )

)∗

(

x−0

π

2−0

)∗

(

x−π

π

2−π

) L4 ( x )=

x4+

π x3

2 −π

2 x

2−π

3 x

2

−3π 4

8

→ L2 ( x )=−4 x ( x−π ) ( x+π )(2 x+π )

3 π 4



Como ya o$tu&imos los &alores necesarios, entonces se procede a +naliar elprocedimiento de la siguiente forma"

P4 ( x )= L

0 ( x )∗f ( xo )+ L1 ( x )∗f ( x1 )+ L

2 ( x )∗f ( x2)+ L3 ( x )∗f ( x3 )

+ L4 ( x )∗f ( x4 )

P4 ( x )=( 2 x ( x−π )2( x+π )

3 π 4 ) (0.5)+(−4 x ( x−π ) ( x+π )(2 x−π )

3 π 4 ) (−0.5 )

+( 16 x4−5π

2 x

2+π

4π 4 ) (0 )+(2 x ( x−π ) ( x+π )2

3π 4 )(−0.5 )

+(−4 x ( x−π ) ( x+π ) (2 x+π )

3π 4 )(0.5)

P4 ( x )=4 π x 4−4 x4−4 π x3−4 π 3 x2+4 π 2 x2+4 π 3 x

3 π 4

#n n0meros decimales la respuesta la siguiente"

¿0.043002045 x4−0.013687976 x

4−0.043002045 x3−0.424413181 x

2…

…+0.135094911 x2+0.424413181 x

¿0.029314069 x4−0.043002045 x

3−0.28931827 x2+0.424413181 x

• 5alle el polinomio interpolador de Lagrange P8( x) con nodos x0=−π ,

x1=−3

4 π , x2=

−π

2 , x3=−π

4 , x

4=0

, x5=π

4 , x6=π

2 , x7=3

4 π y

x8=π .

SOLUCI!" #n este e%ercicio re)uiere un procedimiento muy ampliado en general,de$emos e&aluar cada nodo en la función original y sus polinomios Lagrange de lasiguiente manera"

P8 ( x0 )= P8 (−π )=0.5=f (−π )=f ( x0 )

P8 ( x1 )= P8(−3

4 π )=0=f (−3

4 π )=f ( x1 )

P8 ( x2 )= P8(−π

2 )=−0.5=f (−π

2 )=f ( x2 )



P8 ( x3 )= P8(−π

4 )=0=f (−π

4 )=f ( x3 )

P8 ( x4 )= P8 (0 )=0=f (0 )=f ( x4 )

P8 ( x5 )= P8

(π 4 )=

0=f

(π 4 )=

f ( x5 )

P8 ( x6 )= P8( π

2 )=−0.5=f ( π

2 )=f ( x6 )

P8 ( x7 )= P8( 34 π )=0=f ( 34 π )=f ( x7 )

P8 ( x8 )= P8 (π )=0.5=f ( π )=f ( x8 )

*plicamos la fórmula de teorema del polinomio de Lagrange cuando n=8 )uedando

de la siguiente manera"

P8 ( x )=∑k =0

8


+ L3 ( x )∗f ( x3 )+ L4 ( x )∗f ( x4 )+ L5 ( x )∗f ( x5 )+ L6 ( x )∗f ( x6 )+ L7 ( x )∗f ( x7 )

+ L8 ( x )∗f ( x8 )

De$emos 'allar con o$ligatoriedad los &alores polinómicos L

0 , L

1 , L

2 , L

3 , L4 , L5 , L6 , L

7 y L8 , los cálculos son expansi&os para cada uno como

se muestran a continuación"

L0 ( x )=∏i=0

i ≠0

8

( x− xi

x0− xi)=( x− x1

x0− x1)∗( x− x2

x0− x2)∗( x− x3

x0− x3)∗( x− x4

x0− x4)

¿( x− x5

x0− x5)∗( x− x6

x0− x6)∗( x− x7

x0− x7)∗( x− x8

x0− x8)

L0 ( x )=( x−(−3

4 π )

−π −(−3

4 π ) )∗(

x−(−π

2 )−π −(−π

2 ) )∗( x−(−π

4 )−π −(−π

4 ) )∗( x−0

−π −0 )



¿( x−π

4

−π −π

4 )∗( x−

π

2

−π −π

2 )∗( x−

3

4 π

−π −3

4 π )∗( x−π

−π −π )

L0 ( x )= x

8−π x7−7 π 2 x6

8 + 7π 3 x5

8 + 49 π 4 x4

256 −49π 5 x3

256 −9π 6 x2

1024 + 9π 7 x

1024

315 π 8

512

L1 ( x )=∏i=0

i ≠1

8

( x− xi

x1− x i)=( x− x0

x1− x0)∗( x− x2

x1− x2)∗( x− x3

x1− x3)∗( x− x4

x1− x4)

¿

( x− x5

x1− x5

)∗

( x− x6

x1− x6

)∗

( x− x7

x1− x7

)∗

( x− x8

x1− x8

) L1 ( x )=( x− (−π )

−3

4 π −(−π ) )∗( x−(−π

2 )−3

4 π −(−π

2 ) )∗( x−(−π

4 )−3

4 π −(−π

4 ) )∗( x−0

−3

4 π −0 )

¿

(

x−π

4

−3

4 π −

π

4

)∗

(

x−π

2

−3

4 π −

π

2

)∗

(

x−3

4 π

−3

4 π −

3

4 π

)∗

(

x−π

−3

4 π −π

) L1 ( x )=

x8−

3π x7

4 −

21π 2 x

6

16 +

63 π 3 x

5

64 +

21π 4 x

4

64 −

63 π 5 x

3

256 −

π 6 x

2

64 +

3 π 7 x

256

−315π 8

4096

L2( x )=∏

i=0

i ≠2

8

( x− xi

x2− x i)=( x− x0

x2− x0)∗( x− x1

x2− x1)∗( x− x3

x2− x3)∗( x− x4

x2− x4)

¿( x− x5

x2− x5)∗( x− x6

x2− x6)∗( x− x7

x2− x7)∗( x− x8

x2− x8)



L2 ( x )=( x−(−π )−π

2 −(−π ) )∗( x−(−3

4 π )

−π −(−3

4 π ) )∗(

x−(−π

4 )−π

2 −(−π

4 ) )∗( x−0

−π

2 −0 )

¿( x−π

4

−π

2 −

π

4 )∗( x−

π

2

−π

2 −

π

2 )∗( x−

3

4 π

−π

2 −

3

4 π )∗(

x−π

−π

2 −π )

L2 ( x )= x

8−π x

7

2 −

13 π 2 x

6

8 +

13 π 3 x

5

16 +

169 π 4 x

4

256 −

169π 5 x

3

512 −

9 π 6 x

2

256 +

9π 7 x

512

45 π 8

2048

L3 ( x )=∏i=0

i ≠3

8

( x− xi

x3− x i)=( x− x0

x3− x0)∗( x− x1

x3− x1)∗( x− x2

x3− x2)∗( x− x4

x3− x4)

¿( x− x5

x3− x5)∗( x− x

6

x3− x6)∗( x− x

7

x3− x7)∗( x− x

8

x3− x8)

L3 ( x )=

( x−(−π )−π

4 −(−π )

)∗

( x−(−3

4π )

−π

4 −(−3

4 π

) )∗

( x−(−π

2 )−π

4 −(−π

2 ) )∗

( x−0

−π

4 −0

)¿( x−

π

4

−π

4 −

π

4 )∗( x−

π

2

−π

4 −

π

2 )∗( x−

3

4 π

−π

4 −

3

4 π )∗(

x−π

−π

4 −π )

L3 ( x )= x

8−π x

7

4 −

29 π 2 x

6

16 +

29π 3 x

5

64 +

61π 4 x

4

64 −

61π 5 x

3

256 −

9 π 6 x

2

64 +

9π 7 x

256

−45 π 8

4096

L4 ( x )=∏i=0

i ≠ 4

8

( x− x i

x4− x i)=( x− x0

x4− x0)∗( x− x1

x4− x1)∗( x− x2

x4− x2)∗( x− x3

x4− x3)



¿( x− x5

x4− x5)∗( x− x6

x4− x6)∗( x− x7

x4− x7)∗( x− x8

x4− x8)

L4 ( x )=( x−(−π )

0−(−π ) )∗( x−(−3

4 π )

0−(−3

4 π ) )

∗

( x−(−π

2 )0−(−π

2 ) )∗

( x−(−π

4 )0−(−π

4 ) )¿( x−

π

4

0−π

4 )∗( x−

π

2

0−π

2 )∗( x−

3

4 π

0−3

4 π )∗( x−π

0−π )

L4 ( x )=

x8−

15 π 2 x

6

8 +

273 π 4 x

4

256 −

205π 6 x

2

1024 +

9π 8

1024

9 π 8

1024

L5 ( x )=∏i=0

i ≠5

8

( x− xi

x5− xi)=( x− x0

x5− x0)∗( x− x1

x5− x1)∗( x− x2

x5− x2)∗( x− x3

x5− x3)

¿( x− x4

x5− x4)∗( x− x6

x5− x6)∗( x− x7

x5− x7)∗( x− x8

x5− x8)

L5 ( x )=( x−(−π )π

4−(−π ) )∗(

x−(−3

4 π )

π

4−(−3

4 π ) )∗(

x−(−π

2 )π

4−(−π

2 ) )∗( x−(−π

4 )π

4−(−π

4 ) )¿(

x−0

π

4−0 )∗(

x−π

2

π

4−

π

2 )∗( x−

3

4 π

π

4−

3

4 π )∗(

x−π

π

4−π )

L5 ( x )= x

8+ π x7

4 −

29 π 2 x6

16 −

29π 3 x5

64 +

61π 4 x4

64 +

61 π 5 x3

256 −

9π 6 x2

64 −

9π 7 x

256

−45 π 8

4096



L6 ( x )=∏i=0

i ≠6

8

( x− x i

x6− x i)=( x− x0

x6− x0)∗( x− x1

x6− x1)∗( x− x2

x6− x2)∗( x− x3

x6− x3)

¿

(

x− x4

x6− x4

)∗

(

x− x5

x6− x5

)∗

(

x− x7

x6− x7

)∗

(

x− x8

x6− x8

) L6 ( x )=( x−(−π )

π

2−(−π ) )∗( x−(−3

4 π )

π

2−(−3

4 π ) )∗(

x−(−π

2 )π

2−(−π

2 ) )∗( x−(−π

4 )π

2−(−π

4 ) )¿

(

x−0

π

2

−0

)∗

(

x−π

4

π

2

−π

4

)∗

(

x−3

4 π

π

2

−3

4

π

)∗

(

x−π

π

2

−π

) L6 ( x )=

x8+

π x7

2 −

13 π 2 x

6

8 −

13π 3 x

5

16 +

169π 4 x

4

256 +

169 π 5 x

3

512 −

9 π 6 x

2

256 −

9π 7 x

512

45π 8

2048

L7 ( x )=∏i=0

i ≠7

8

( x− xi

x7− xi)=( x− x0

x7− x0)∗( x− x1

x7− x1)∗( x− x2

x7− x2)∗( x− x3

x7− x3)

¿( x− x4

x7− x4)∗( x− x5

x7− x5)∗( x− x6

x7− x6)∗( x− x8

x7− x8)

L7 ( x )=( x−(−π )3

4 π −(−π ) )∗( x−(−3

4 π )

3

4 π −(−3

4 π ) )∗(

x−(−π

2 )3

4 π −(−π

2 ) )∗( x−(−π

4 )3

4 π −(−π

4 ) )¿(

x−0

3

4 π −0 )∗(

x−π 4

3

4 π −

π

4 )∗( x−π 2

3

4 π −

π

2 )∗( x−π

3

4 π −π )



L7 ( x )=

x8+

3 π x7

4−

21π 2 x

6

16−

63 π 3 x

5

64+21 π

4 x

4

64+63 π

5 x

3

256−

π 6 x

2

64−

3 π 7 x

256

−315π 8

4096

L8 ( x )=∏i=0

i ≠8

8

( x− xi

x8− xi)=( x− x0

x8− x0)∗( x− x1

x8− x1)∗( x− x2

x8− x2)∗( x− x3

x8− x3)

¿( x− x4

x8− x4)∗( x− x5

x8− x5)∗( x− x6

x8− x6)∗( x− x7

x8− x7)

L8 ( x )=( x−(−π )

π −(−π ) )∗

( x−(−3

4 π )

π −(−3

4 π

) )∗

( x−(−π

2 )π −(

−π

2 ) )∗

( x−(−π

4 )π −(

−π

4 ) )¿( x−0

π −0 )∗( x−π

4

π −π

4 )∗( x−

π

2

π −π

2 )∗( x−

3

4 π

π −3

4 π )

L8 ( x )=

x8+π x

7−7 π

2 x

6

8−

7π 3 x

5

8+49 π

4 x

4

256+49π

5 x

3

256−

9 π 6 x

2

1024−

9π 7 x

1024

315 π 8

512

Como ya o$tu&imos los &alores no reducidos en cada polinomio parcial, de$emos en lo

posi$le reducir la respuesta sa$indose )ue f ( x1 )=f ( x3 ) 8 f ( x4 )=f ( x5 )=f ( x7 )=0 ,

por lo tanto el polinomio de Lagrange )ueda de la forma más pe)ue9a como sigue"

P8 ( x )= L0 ( x )∗f ( xo )+ L2 ( x )∗f ( x2 )++ L6 ( x )∗f ( x6 )++ L8 ( x )∗f ( x8 )

¿( x

8−π x7−7 π 2 x6

8 +7 π 3 x5

8 + 49 π 4 x4

256 −49π 5 x3

256 − 9π 6 x2

1024 + 9π 7 x

1024

315 π 8

512 )(0.5 )



+( x8−

π x7

2 −

13π 2 x

6

8 +

13π 3 x

5

16 +

169π 4 x

4

256 −

169π 5 x

3

512 −

9 π 6 x

2

256 +

9π 7 x

512

45π 8

2048)(−0.5 )

+( x8+

π x7

2 −

13 π 2 x

6

8 −

13π 3 x

5

16 +

169π 4 x

4

256 +

169 π 5 x

3

512 −

9 π 6 x

2

256 −

9π 7 x

512

45π 8

2048)(−0.5 )

+( x8+π x

7−7 π

2 x

6

8 −

7π 3 x

5

8 +

49 π 4 x

4

256 +

49 π 5 x

3

256 −

9 π 6 x

2

1024 −

9π 7 x

1024

315 π 8

512)(0.5 )

¿14495514624 x

8+3969π 18

x6−23957864448π

2 x

6+9820962816π 4 x

4

330301440 π 8

…

−51380224 π 5 x

3+138785587200 π 6 x

2+2359296π 7 x

330301440 π 8

Si )ueremos expresar la anterior respuesta en n0meros decimales nos resultar/a losiguiente"

P8( x)=0.0046251326 x8+1.049856316 x

6+0.305241872 x4−0.005016905 x

3

+42.5729902 x2+0.0027364204

O:S#;<*CIO!#S I=7O;>*!>#S" #l procedimiento de estos dos e%ercicios anteriores, se

'an 'ec'o alge$raicamente considerando π como una constante numrica? al +nal

de cada polinomio de Lagrange $uscado, se con&ierte a n0meros decimales.

. 5alle el polinomio interpolador de lagrange para aproximar la funciónf ( x )= 1

x2+1

usando los nodos @o8A, @18A.B,@(81 y @81.B use dic'o polinomio para aproximar el

numero1

3 y ∫0

1dx

x2+1 tra$a%e con digitos de precisión.



Solucion.

Como nos dan 6 nodos 'allamos el polinomio de aproximación de lagran%e p

#l p &iene dado por

3 ( x)=∑k =0

3

f ( Xk ) Lk ( X )=f ( X 0 ) L0 ( X )+ f ( X 1 ) L1 ( X )+ f ( X 2 ) L2 ( X ) f ( X 3 ) L3 ( X )¿

p¿

3 ( x)=∑k =0

3

f ( Xk ) Lk ( X )=f (0 ) L0 ( X )+ f (0.5 ) L1 ( X )+ f (1 ) L2 ( X )+ f (1.5 ) L3 ( X )¿

p¿

3 ( x )=

∑k =0

3

f ( Xk ) Lk ( X )=f (1 ) L0 ( X )+ f (0.8 ) L1 ( X )+ f (0.5 ) L2 ( X )+ f

(

4

13

) L3 ( X )

¿ p¿

Donde

L0 ( X )=∏

i=0

i≠ 0

3 x− x i

xk − x i

= ( x− x1)( x− x2)( x− x3)

( x0− x1)( x0− x2)( x0− x3)=( x−0.5)( x−1)( x−1.5)(0−0.5)(0−1)(0−1.5)

= x

3−3 x2+2.75 x−0.75

−0.75=−1.3

L1 ( X )=∏i=0

i≠ 1

3 x− xi

xk − x i

= ( x− x1)( x− x2)( x− x3)( x1− x0)( x1− x2)( x1− x3)

= ( x−0)( x−1)( x−1.5)(0.5−0)(0.5−1)(0.5−1.5)

= x

3−2.5 x2+1.5 x

0.25 =−4 x

3−

L2 ( X )=∏i=0

i≠ 2

3 x− x i

xk − x i

= ( x− x0)( x− x1)( x− x3)( x

2− x

0)( x

2− x

1)( x

2− x

3)= ( x−0)( x−1)( x−1.5)(1−0)(1−0.5)(1−1.5)

= x

3−2 x2+1.5 x

0.25 =−4 x

3+8 x2−

L3 ( X )=∏i=0

i≠ 3

3 x− x i

xk − x i=

( x− x0)( x− x1)( x− x3)

( x3− x0)( x3− x1)( x3− x2)= ( x−0)( x−0.5)( x−1)(1.5−0)(1.5−0.5)(1.5−1)=

x3−1.5 x

2+0.5 x

0.75 =−1.333

7or tanto



3 ( x )=¿ (1 )(−1.333333 x3+4 x

2−3.666666 x+1)+ (0.8 ) (−4 x3−4 x

2+6 x )+(0.5 ) (−4 x3+8 x

2−3 x)+ f ( 413 ) p¿

3 ( x)=¿−1.333333 x3+4 x

2−3.666666 x+1+(−3.2 x3−8 x

2+4.8 x )+(−2 x3+4 x

2−1.5 x )+(−0.410256 x3

p¿

#s decir

3 ( x )=¿0.276923 x3−0.615384 x

2−0.161538 x+1 p¿

Se puede &eri+car )ue cumple con la siguientes condiciones

3 ( x0 )=¿ p3 (0 )=1=f (0 )=f ( x0)

p¿

3 ( x1)=¿ p3 (0.5 )=0.8=f ( 0.5)=f ( x1)

p¿

3 ( x2)=¿ p3 (1)=0.5=f (1 )=f ( x2 )

p¿

3 ( x3 )=¿ p3 (1.5 )=0.307692=f (1.5 )=f ( x3)

p¿

Comof ( x )=

1

x2+1

͌

p3 ( x3 )en [0,1.5 ] entoncesaproximamos usando

1

3 p

3 ( x3 )

¿ 1

(1

3 )2

+1

͌ 0.276923( 13 )3

−0.615384( 13 )2

−0.161538( 13 )+1

0.9≈0.888034

Sa$emos )ue



∫0

1dx

x2+1

≈∫0

1

(0.276923 x3−0.615384 x

2−0.161538 x+1)dx

0.785398≈0.783333

6. Considere la función f ( x )= xsen ( πx )(con el angulo medido e n radianes) y los cinco nodos

X k =−1+k

2 con k =0,1,2,3,4. 5alle el polinomio interpolador de !eton )ue aproxime

a la función en los nodos dados. >ra$a%e con oc'o d/gitos de precisión.

Solucion

Como nos dan B nodos 'allaremEos el polinomio interpolador de neton p6

p4 ( x )=a0+a1 ( x− x0 ) a2 ( x− x0 ) ( x− x1 )+a3 ( x− x0 )( x− x1 ) ( x− x2 )+a4 ( x− x0 ) ( x− x1 ) (− x2 ) ( x− x3 ) ( x− x4 )

p4 ( x )=a0+a1 ( x−(−1))+a2 ( x−(−1))( x−(−1

2 ))+a3 ( x−(−1))( x−(−1

2 )) ( x−0 )+a4 ( x−(−1))( x−(−1

2 ))

Donde

a0=f [ x

0]

a1=f [ x0 , x1]

a2=f [ x0 , x1 , x2]

a3=f [ x0 , x1 , x2 , x3]

a4=f [ x0 , x1, x2, x3, x4]

>a$la diferencias di&ididas

xk f [ ] f [ , ] f [ , , ] f [ , , , ] f [ , , , , ]



x0=−1 A

x1=−0.5 A.B 1

x2=0 A F1 F(

x3=0.5 A.B 1 ( (.

x4=1 A F1 F( F(. F(.

7or lo tanto

a0=0

a1=1

a2=−2

a3=2.66666666

a4=−2.66666666

Con lo )ue el polinomio interpolador de !eton nos )uedar/a

p4 ( x )=( x+1 )−2 ( x+1 ) ( x+0.5 )+2.66666666 ( x+1 ) ( x+0.5 ) x−2.66666666 ( x+1 ) ( x+0.5 ) x ( x−0.5 )

p4 ( x )=( x+1 )−2( x2+1.5 x+0.5)+2.66666666 ( x3+1.5 x2+0.5 x )−2.66666666 ( x4+ x

3−0.25 x2−0.25 x )

p4 ( x )=−2.66666666 x4+2.66666665 x

2−0.00000001 x

Se puede &eri+car )ue el polinomio p4 cumple con las siguientes condiciones de

interpolación &eamos?

p4 ( x0 )= p

4(1 )=0=f (−1 )=f ( x

0)

p4 ( x1 )= p4 (0.5 )=0.5=f (0.5 )=f ( x1)

p4 ( x2 )= p4 (0 )=0=f (0 )=f ( x2)



p4 ( x3 )= p

4 (0.5 )=0.5=f (0.5 )=f ( x3)

p4 ( x4 )= p4 (1 )=0=f (1 )=f ( x4)

*'ora usaremos p4 para aproximar f ( x )= xsen ( πx ) dandole un &alor)ue este en el

inter&aloGF1,1H lo aproximaremos en f 3A.B4

Como

f ( x )= xsen ( πx )≈ p4 ( x )=−2.66666666 x4+2.66666665 x

2−0.00000001 x

#ntonces

f (0.75 ) ≈ p4 (0,75 )

0.53033008≈0.65624998

. Considere la función f ( x )=1

2cos (2 πx) 3con el ángulo medido en radianes4 y los nodos

x0=−1 , x1=

−1

2 , x2=0 , x3=

1

2 y x4=1 . 5alle el polinomio de

interpolador de !eton )ue aproxime a la función en los nodos dados.

SOLUCI!" *)u/ de$emos cumplir con unas condiciones de &ital correspondencia para)ue la respuesta de este e%ercicio coincida perfectamente con la función de la siguientemanera"

P4 ( x0 )= P4 (−1 )=0.5=f (−1 )=f ( x0 )

P4 ( x1 )= P4 (−1

2 )=−0.5=f (−1

2 )=f ( x1 )

P4

( x2

)= P4 (0 )=0.5=f (0 )=f

( x2

) P4 ( x3 )= P4( 12 )=−0.5=f ( 12 )=f ( x3 )

P4 ( x4 )= P4 (1 )=0.5=f (1 )=f ( x4 )

5acemos las primeras parcelas di&ididas de la siguiente manera"



f [ x0 ]=f ( x0 )=f (−1 )=0.5→ a1

f [ x1 ]=f ( x1 )=f (−1

2 )=−0.5

f [ x2 ]=f ( x2 )=f (0 )=0.5

f [ x3 ]=f ( x3 )=f (12 )=−0.5

f [ x4 ]=f ( x4 )=f (1 )=0.5

*'ora &amos a 'acer las segundas parcelas di&ididas de la siguiente manera"

f

[ x

0

, x1

]=

f [ x1 ]−f [ x0 ] x1− x0

=(−0.5 )−(0.5 )

(−1

2 )−(−1 )=−2→ a

2

f [ x1, x2 ]=f [ x2 ]−f [ x1 ]

x2− x

1

=(0.5 )−(−0.5)

0−(−1

2 ) =2

f [ x2 , x3 ]=f [ x3 ]−f [ x2 ]

x3− x2

=(−0.5 )−(0.5 )

1

2−0

=−2

f [ x3 , x4 ]=f [ x4 ]−f [ x3 ]

x 4− x3

=(0.5 )−(−0.5 )

1−1

2

=2

>oda&/a falta 'acemos las terceras parcelas di&ididas de la siguiente manera"

f [ x0 , x1 , x2 ]=f [ x1, x2 ]−f [ x0 , x1 ]

x2− x

0

=(2 )−(−2)0−(−1 )

=4→ a2

f [ x1, x2 , x3

]=f [ x2, x3 ]−f [ x1 , x2 ]

x3− x1 =

(−2 )−(2)

1

2−(−1

2 )=−4

f [ x2 , x3 , x4 ]=f [ x3 , x4 ]−f [ x2 , x3 ]

x4− x2

=(2 )−(−2)

1−0 =4

7rocedemos con las cuartas parcelas di&ididas )ue se calculan as/"



f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]=f [ x1 , x2 , x3 ]−f [ x0 , x1 , x2 ]

x3− x0

=(−4 )−(4)1

2− (−1 )

=−5.3333→ a3

f [ x1, x2 , x3 , x4 ]= f [ x2 , x3 , x4

]−f [ x1 , x2 , x3

] x4− x1

= (4 )−(−4)1−(−1

2 ) =5.3333

- +nalmente las )uintas y 0ltimas parcelas di&ididas )ue se 'allaron de la siguientemanera"

f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]=f [ x1, x2, x3, x4 ]−f [ x0, x1, x2, x3 ]

T 4−T 0=

(5.3333 )−(−5.3333)1−(−1)

¿5.3333→ a4

!uestra ta$la de diferencias di&ididas generalmente )ueda as/"

T k f [ ] f [ , ] f [ , , ] f [ , , , ] f [ , , , , ]

T 0 0.5

T 1 FA.B -2

T 2 A.B ( 4

T 3 FA.B F( F6 -5.3333

T 4 A.B ( 6 B. 5.3333

*plicando la fórmula directamente se tiene el siguiente polinomio interpoladorresultante"

P4 ( x )=0.5−2 ( x+1 )+4 ( x+1 )( x+ 1

2 )−5.3333 ( x+1 )( x+ 1

2 ) ( x )

+5.3333 ( x+1 )( x+

1

2

) ( x )(

x−

1

2

) P4 ( x )=5.3333 x

4−5.333275 x2−0.000025 x+0.5

.

7or la ta$la de diferencia di&ididas sa$emos )ue



a4=

f [ x1, x2. x3, x4 ]−f [ x0, x1, x2, x3]

x4− x

0 #ntonces

a4 8

f [ x2. x3, x4 ]−f [ x1, x2, x3]

x4− x −

f [ x1, x2. x3,]−f [ x1, x2, x3]

x3− x0

x4− x0

a4 8 [ f [ x3, x4 ]−f [ x2, x3]

x4− x2

−f [ x2. x3, ]−f [ x1, x2,]

x3− x .

x4− x1]−[ f [ x2. x3, ]−f [ x1, x2,]

x4− x −

f [ x1, x2.]−f [ x0 x1]

x3− x0

x3− x0]

x4− x0

a4 8

x0

¿¿ x3− x0

f [ x3, ]−f [ x1, ]

x2− x

1

−f [ x1, ]−f [¿¿ x1− x0¿]

x3− x

0

¿

[ f [ x2 ]−f [ x

2,]

x3− x2

−f [ x2.]−f [ x

1,]

x2− x1

x3− x

1 ]−¿

¿

[ [ f [ x4, x3 ]−f [ x2, x3]

x4− x

3

−f [ x3,]−f [ x2,]

x3− x

2

x4− x

2]−[ f [ x3, ]−f [ x2,]

x3− x

2

−f [ x2. ]−f [ x1]

x2− x

1

x3− x

1]

x4− x1

]−¿Como

f [ x0 ]=f ( x 0 )

f [ x1 ]=f ( x1 )



f [ x2 ]=f ( x2 )

f [ x3 ]=f ( x3 )

f [ x 4 ]= f ( x 4 )

#ntonces

a4 8

x0

¿¿ x1− x0

f [ x1 ]−f [ x1]

x2− x1

−f [ x1 ]−f [¿¿ x2− x0¿]

x3− x0

¿

[ f [ x

3

]−f [ x2,] x3− x2

− f [ x2.

]−f [ x1,] x2− x1

x3− x1 ]−¿

¿

[ [ f [ x4, ]−f [ x3]

x4− x3

−f [ x3, ]−f [ x2,]

x3− x2

x4− x2]−[ f [ x3,]−f [ x2, ]

x3− x2

−f [ x2. ]−f [ x1]

x2− x1

x3− x1]

x4− x1

]−¿.

• ∫0

π

2

sen (√ x) dx

• ∫0

2

ln ( x2

+1) dx

SOLUCI!" Las respuestas para la integral ∫0

π

2

sen (√ x ) dx mediante las formulas

cerradas de !eton Cotes son las siguientes"



;egla de trapecio" Su fórmula es ∫a

b

f ( x ) dx=h

2[ f ( a )+ f (b)] donde h=

b−a

n donde

n=1 teniendo la altura como h=π

2 . *plicando entonces la fórmula se tiene )ue"

∫0

π

2

sen (√ x) dx ≈

π

2

2[0+0.021873 ] ≈0.017179

;egla de los simpsons" Su fórmula para tres nodos tal )ue n=2 ser/a la siguiente"

∫a

b

f ( x ) dx=h

3[ f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ] donde f ( x0 )=f ( a ) , f ( x1 )= x0+h → f ( x1 )=

π

4 y

f ( x2 )=f ( b ) y h=b−a

n →h=

π

4 )uedando de la siguiente manera, as/"

∫0

π

2

sen (√ x) dx ≈

π

4

3 [ 0+4 (0.015467 )+0.021873 ] ≈0.021923

;egla de JK de Simpson" La fórmula t/pica se tra$a%a com0nmente con 6 nodos de &alor

n=3 en la cual es ∫a

b

f ( x ) dx=3h

8 [ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+f ( x3 ) ] donde

f ( x0 )=f ( a )=0 y f ( x3 )=f ( b )=0.021873

y as/ 'allando x1 y x2 con respecto a

la altura h=

π

2

3 →

π

6 )ue )uedar/a as/"

∫0

π

2

sen (√ x) dx=

3( π

6 )8 [0+3 (0.012629 )+3 (0.017859 )+0.021873 ] ≈0.022254

;egla de :oole" La fórmula general dise9ado por 2eorge :oole tiene la forma

∫a

b

f ( x ) dx=2h

45 [7 f ( x0 )+32 f ( x1 )+12 f ( x2 )+32 f ( x3 )+7 f ( x4 ) ] tra$a%ando con n=4 y la



altura h=

π

2

4 →

π

8 diciendo )ue x0=0

y x4=π

2 ocasionando la siguiente

respuesta"

7 (0 )+32 (0.010937 )+12 (0.015446 )+32 (0.018942 )

sen (√ x ) dx=

2( π

8 )45

¿

∫0

π

2

¿

+7 (0.021873 ) ¿≈0.022595

=ientras )ue la otra integral ∫0

2

ln ( x2+1 ) dx los resultados &ar/an demasiado ya )ue

dan las siguientes respuestas"

;egla de trapecio" La fórmula general de la regla de trapecio es la siguiente

∫a

b

f ( x ) dx=h

2[ f ( a)+ f (b)] donde a=0 y b=2 )ue a su &e estos están

e&aluados en la función por cada una de constantes, y su altura es

h=2−0

1

→ h=2

,

por lo tanto la respuesta sencillamente ser/a"

∫0

2

ln ( x2+1) dx ≈ 2

2[0+1.609438 ] ≈1.609438

;egla de los Simpsons" Su fórmula dada es ∫a

b

f ( x ) dx=h

3[ f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ] cuando

se tra$a%an con nodos nodos como máximo sa$indose )uef

( x

1 )=0.060625

y las

demás están e&aluadas f ( x1 ) y f ( x3 ) con constantes a y b

respecti&amente, y h=1 . ;eemplaando estos &alores se tiene )ue"



∫0

2

ln ( x2+1) dx ≈ 1

3[0+4 (0.693147)+1.609438 ] ≈1.460675

;egla de JK de Simpson" La fórmula de la regla de JK de Simpsons es

∫a

b

f ( x ) dx=3h8 [ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+f ( x3 ) ] sa$indose )ue se utilian 6 nodos de las

cuales f ( x0 )=f ( a )=0 , f ( x1 )=f ( x0+h)=0.367724

, f ( x2 )=f ( x1+h)=1.021651 y

f ( x3 )=f ( b )=1.609438 y h=2

3 , al reemplaar todos estos &alores, el resultado +nal

es"

∫0

π

2

sen (√ x) dx=

3( 23 )8 [0+3 (0.367724 )+3 (1.021651 )+1.609438 ] ≈1.444391

;egla de :oole" La fórmula general de :oole posee la forma

∫a

b

f ( x ) dx=2h

45 [7 f ( x0 )+32 f ( x1 )+12 f ( x2 )+32 f ( x3 )+7 f ( x4 ) ] utiliando de este modo B

nodos y la altura h=2

4→

1

2 diciendo )ue x0=0 y x4=2 y as/ encontrar las

demás respuestas y reemplaarlas, o$tenemos lo siguiente"

7 (0 )+32 (0.223143 )+12 (0.693147 )+32 (1.178655 )

sen (√ x) dx=

2( 12 )45

¿

∫0

π

2

¿

+7 (1.609438 )¿≈1.432030

K. *pli)ue la regla compuesta del trapecio con n=8 para aproximar las integrales del

e%ercicio K.



• SOLUCI!" De$emos a empear a resol&er la integral ∫0

π

2

sen (√ x) dx por el regla de

compuesta del trapecio usando K nodos, en la cual su fórmula general ser/a cuando soncon K"

f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x3 )+2 f ( x4 )+2 f ( x5 )+2 f ( x6 )

f ( x ) dx=h

2¿

∫a

b

¿

+f ( x7 )¿

Donde h=b−a

n →h=

π

2−0

8 →h=

π

16 sa$indose )ue a=0 y b=π

2 . - a su &e

los &alores f ( x0 )=f ( a )=0 y f ( x7 )=f ( b )=0.021873

y )ue los &alores siguientes

son"

x1= x0+h→ x1=0+ π

16→ x1=

π

16 → f ( x1 )=0.007734

x2= x1+h→ x2= π

16+

π

16→ x2=

π

8 → f ( x2 )=0.010937

x3= x2+h→ x3=π

8+

π

16→ x3=

3 π

16 → f ( x3 )=0.013395

x4= x3+h → x 4=3π

16 +

π

16 → x4=

π

4 → f ( x4 )=0.015467

x5= x4+h → x5=π

4+

π

16 → x5=

5π

16 → f ( x5 )=0.017292

x6= x5+h → x6=5π

16 +

π

16→ x6=

3π

8 → f ( x6 )=0.018943

*l reemplaar todos estos &alores dados se tiene la siguiente respuesta, paso por paso"



0+2 (0.007734 )+2 (0.010937 )+2 (0.013395 )

sen (√ x ) dx ≈

π

16

2 ¿

∫0

π

2

¿

+2 (0.015467 )+2 (0.017292)+2 (0.018943 )+0.021873¿

∫0

π

2

sen (√ x) d x ≈ π

32[0.19]→0.018653

De igual modo, se aplica la fórmula anterior del mismo estilo y estructura pero en este

caso con otra integral diferente )ue es ∫0

2

ln ( x2

+1 ) dx y tales &alores como

h=b−a

8 →h=

2−0

8 →h=

1

4 . La fórmula reducida de la regla compuesta de trapecio

es"

f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2 )+2 f ( x3 )+2 f ( x4 )+2 f ( x5 )+2 f ( x6 )

f ( x ) dx=h

2¿

∫a

b

¿

+f ( x7 )¿

Donde f ( x0 )=f ( a )=f (0 )=0 y f ( x7 )=f ( b)=f (2 )=1.609438

. - los demás &alores

$uscados desde x1 a x7 son los siguientes"

x1= x0+h→ x1=0+1

4 → x1=

1

4→ f ( x1 )=0.060625

x2= x1+h→ x2=1

4+1

4 → x2=

1

2→ f ( x2 )=0.223143

x3= x2+h→ x3=1

2+1

4 → x3=

3

4→ f ( x3 )=0.446287



x4= x3+h → x 4=3

4+1

4 → x4=1→ f ( x4 )=0.693115

x5= x4+h → x5=1+1

4→ x5=

5

4 → f ( x5)=0.940983

x6= x5+h → x6=5

4+ 1

4→ x6=

3

2→ f ( x6 )=1.178655

- a la 'ora de reemplaar los &alores, tenemos como respuesta lo siguiente"

0+2 (0.060625 )+2 (0.223143 )+2 (0.446287 )

∫0

2

ln ( x2+1 ) dx ≈

1

4

2 ¿

+2 (0.693115 )+2 (0.940983 )+2 (1.178655 )+1.609438 H

∫0

2

ln ( x2+1 ) dx ≈ 1

8[8.695054 ]→1.086882

. *pli)ue la regla compuesta de Simpson con nodos para aproximar las integrales dele%ercicio K.

SOLUCI!" *)u/ empeamos con la integral ∫0

π

2

sen (√ x) dx aplicando la regla

compuesta de los Simpson, para poder efectuar la fórmula ta$ulati&a, se de$e primeroaplicar esta fórmula )ue es la siguiente"

n= −1

2 → n=

9−1

2 →n=4

Ocasionando como respuesta )ue x0=a=0 y x2n= x2(4)= x8=

π

2 . 7or lo tanto como

n=4 y encontrando h=b−a

2n →h=

π

2−0

2 (4 ) →h=

π

16y nuestra fórmula ser/a la

siguiente"



f ( x0 )+4 f ( x1 )+2 f ( x2 )+4 f ( x3 )+2 f ( x4 )+4 f ( x5 )+2 f ( x6 )

f ( x ) dx=h

3 ¿

∫a

b

¿

+4 f ( x7 )+f ( x8 )¿

- los &alores x0, x2, x3 , … , x8 se $uscan de la siguiente manera"

x0=0→ f ( x1 )=0

x1= x0+h→ x1=0+ π

16→ x1=

π

16 → f ( x1 )=0.007734

x2= x1+h→ x2= π 16

+ π 16

→ x2=π 8

→ f ( x2 )=0.010937

x3= x2+h→ x3=π

8+

π

16→ x3=

3 π

16 → f ( x3 )=0.013395

x4= x3+h → x 4=3π

16 +

π

16 → x4=

π

4 → f ( x4 )=0.015467

x5= x4+h → x5=π

4+

π

16 → x5=

5π

16 → f ( x5 )=0.017292

x6= x5+h → x6=5π

16 + π

16→ x6=

3π

8 → f ( x6 )=0.018943

x7= x5+h → x6=3π

8 +

π

16→ x6=

7π

16 → f ( x6 )=0.020460

x8=π

2 → f ( x8 )=0.021873

0+4 (0.007734 )+2 (0.010937 )+4 (0.013395 )

sen (√ x ) dx ≈

π

16

3 ¿

∫0

π

2

¿

+2 (0.015467 )+4 (0.017292 )+2 (0.018943 )+4 (0.020460 )+0.021873 ¿



sen (√ x ) dx ≈ π

48[¿0.348091]→0.022836

∫0

π

2

¿

De este modo, 'acemos esta otra integral ∫0

2

ln ( x2+1) dx aplicando la misma cantidad

de nodos )ue en este caso nos dio n=4 , pero ocurren cam$ios como x0=a=0 y

x2n= x2(4)= x8=2 y el &alor de

h=b−a

2n →h=

2−0

2 (4 ) →h=

1

4

x1= x0+h→ x1=0+ 14

→ x1=14

→ f ( x1 )=0.060625

x2= x1+h→ x2=1

4+1

4 → x2=

1

2→ f ( x2 )=0.223143

x3= x2+h→ x3=1

2+1

4 → x3=

3

4→ f ( x3 )=0.446287

x4= x3+h → x 4=3

4+1

4 → x4=1→ f ( x4 )=0.693115

x5= x4+h → x5=1+ 14

→ x5=54

→ f ( x5)=0.940983

x6= x5+h → x6=5

4+1

4→ x6=

3

2→ f ( x6 )=1.178655

x7= x6+h → x7=3

2+1

4 → x7=

7

4 → f ( x7 )=1.401799

0+4 (0.060625 )+2 (0.223143 )+4 (0.446287 )

∫0

2

ln ( x2+1 ) dx ≈

14

2 ¿

+2 (0.693115 )+4 (0.940983 )+2 (1.178655 )+4 (1.401799 )+1.609438 H



∫0

2

ln ( x2+1 ) dx ≈ 1

8[17.19804 ]→2.149755

1A. *pli)ue la regla compuesta de los JK de Simpsons con 1A nodos para aproximar lasintegrales del e%ercicio 1A.

SOLUCI!" *)u/ para aplicar la regla compuesta de los JK de Simpsons en la integral

∫0

π

2

sen (√ x) dx , primero )ue todo se de$e 'allar el &alor de n correspondiente en la

cual se $usca de esta alternati&a"

n= −1

3 → n=

10−1

3 → n=3

#n la cual identi+camos inmediatamente )ue x0=a=0 y x3n= x3(3)= x9=π 2 . #l

&alor h se 'alla como h=b−a

3n →h=

π

2

9 → h=

π

18 La fórmula general ya aplicada

es la siguiente"

f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+2 f ( x3 )+3 f ( x4 )+3 f ( x5 )+2 f ( x6 )

f ( x ) dx=3h

8

¿

∫a

b

¿

+3 f ( x7 )+3 f ( x8 )+ f ( x9 )¿

Cuyos &alores de xk donde k =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. #n las cuales cada &alor de ellos

se 'allan de la siguiente manera"

x0=0→ f ( x1 )=0

x1= x0+h→ x1=0+ π

18→ x1=

π

18 → f ( x1 )=0.007291

x2= x1+h→ x2= π

18+

π

18→ x2=

π

9 → f ( x2 )=0.010311



x3= x2+h→ x3=π

9+

π

18→ x3=

3 π

18 → f ( x3 )=0.012629

x4= x3+h → x 4=3π

18 +

π

18 → x4=

2π

9 → f ( x4 )=0.014582

x5= x4+h → x5=2π 9 + π

18→ x5=

5 π 18

→ f ( x5 )=0.016304

x6= x5+h → x6=5π

18 +

π

18→ x6=

π

3 → f ( x6 )=0.017859

x7= x

6+h → x7=

π

3+

π

18→ x

7=7π

18 → f ( x6 )=0.019290

x8= x7+h → x7=7 π

18 +

π

18→ x7=

4 π

9 → f ( x7 )=0.020622

x9=π 2

→ f ( x9)=0.021873

0+3 (0.007291 )+3 (0.010311)+2 (0.012629 )

sen (√ x )dx ≈

3 ( π

18 )8 ¿

∫0

π

2

¿

+3 (0.014582 )+3 (0.016304 )+2 (0.017859 )+3 (0.019290 )+3 (0.020622 )

+0.021873 ¿

∫0

π

2

sen (√ x) dx ≈ π

48[0.35 ]→0.022907

Del mismo modo, operamos con la otra integral en la cual es la siguiente

∫0

2

ln ( x2+1) dx y encontramos &alores importantes como stos"

−1

3 → n=

10−1

3 →n=3



#n la cual &emos anteriormente )ue de$emos tra$a%ar con n=3 y )ue x

0=a=0

y

x3n= x3(3)= x9=2 , y el &alor h=

b−a

3n →h=

2

9 La fórmula general de la regla de

JK de Simpsons es la siguiente"

f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+2 f ( x3 )+3 f ( x4 )+3 f ( x5 )+2 f ( x6 )

f ( x ) dx=3h

8 ¿

∫a

b

¿

+3 f ( x7 )+3 f ( x8 )+ f ( x9 )¿

-a sa$emos )ue los &alores de x0=0 y x9=2 , )uiere decir, tam$in

x

f (¿¿ 0)=0¿

y

x

f (¿¿ 9)=1.609438

¿ . Los &alores restantes se 'allan de la siguiente manera"

x1= x0+h→ x1=0+2

9→ x1=

2

9→ f ( x1 )=0.048202

x2= x1+h→ x2=2

9

+2

9

→ x2=4

9

→ f ( x2 )=0.180262

x3= x2+h→ x3=4

9+2

9→ x3=

2

3→ f ( x3 )=0.367725

x4= x3+h → x 4=2

3+2

9 → x4=

8

9→ f ( x4 )=0.582285

x5= x4+h → x5=8

9+2

9→ x5=

10

9 → f ( x5 )=0.804048

x6= x5+h → x6=10

9

+2

9

→ x6=4

3

→ f ( x6 )=1.021651

x7= x6+h → x7=4

3+2

9 → x7=

14

9 → f ( x7 )=1.229568



x8= x7+h → x8=14

9 +

2

9→ x8=

16

9 → f ( x8 )=1.425634

0+3 (0.048202 )+3 (0.180262 )+2 (0.367725 )

∫0

2

ln ( x2+1 ) dx ≈3

(2

9 )8 ¿

+3 (0.582285 )+3 (0.804048 )+2 (1.021651 )+2 (1.229568 )+2 (1.425634 )

+(1.609438 ) ¿

∫0

2

ln ( x2+1) dx ≈ 1

12[14.542985 ]→1.211915

3cer taller de anailsis numerico

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