PROBLEMA 2

Resolver los siguientes ejercicios del libro “Dynamics of Structures” del libro de

Anil K. Chopra: 2.1, 2.7 y 2.11.

A) EJERCICIO 2.1: Una masa pesada se apoya sobre patas de acero

planas. Su periodo natural de vibración es de 0.5 segundos. Cuando

se sujeta una placa de 50 lb a su superficie, el periodo natural de

vibración se alarga a 0.75 segundos. ¿Cuáles son el peso y la rigidez

del sistema?

Mesa sin placa:

M sistema=m

T n=2πωn

⟹ωn=2πTn

=2 π0.5

=4 π rad /seg

ωn=√ km⟹ k=ωn2×m=(4 π )2×m=16 π2×m

Mesa con placa de 50 lb:

M sistema=m+50

T n=2πωn

⟹ωn=2πTn

= 2π0.75

=83π rad /seg

ωn=√ km+50

⟹k=ωn2×(m+50)=( 83 π )

2

×(m+50)=649π2×m+ 3200

9

Ambos sistemas presentan la misma rigidez:

16 π2×m=649π2×m+ 3200

9

m=40 lb

Hallando la rigidez

K=ωn2×m

K=¿

B) EJERCICIO 2.7: Imagine un clavadista que pesa 200 libras al final de

un trampolín con un voladizo de 3 pies. El clavadista oscila a una

frecuencia de 2 Hz. ¿Cuál es la rigidez a flexión EI del trampolín?

Frecuencia Natural de Vibración: f n=2Hz

Periodo Natural de Vibración: T n=1f n

=12=0.5 seg

Frecuencia Circular Natural: ωn=2πTn

=2 π0.5

=4π rad /seg

Rigidez del sistema: k=ωn2×m=(4 π)2× 200

32.7=965.83 lb / ft

k=3 EIL3

⟹ EI= kL3

3=

(965.83 ) (33)3

=8692.47 lb / ft2

C) EJERCICIO 2.11: ¿Cuál es la relación entre amplitudes de vibración

sucesivas si se sabe que la fracción de amortiguamiento viscoso es

(a) =0.01, (b) =0.05 y (c) =0.25?

(a) =0.01

ln [ u(t)u(t+TD) ]= 2πξ

√1−ξ2

ln [ u(t)u(t+T D) ]= 2 π (0.01)

√1−(0.01)2

ln [ u(t)u(t+TD) ]=0.063u (t)

u(t+T D)¿e0.063

u (t)u(t+T D)

¿1.065

(b) =0.05

ln [ u(t)u(t+TD) ]= 2πξ

√1−ξ2

ln [ u(t)u(t+T D) ]= 2 π (0.05)

√1−(0.05)2

ln [ u(t)u(t+TD) ]=0.315u (t)

u(t+T D)¿e0.315

u (t)u(t+T D)

¿1.370

(c) =0.25

ln [ u(t)u(t+TD) ]= 2πξ

√1−ξ2

ln [ u(t)u(t+T D) ]= 2 π (0.25)

√1−(0.25)2

ln [ u(t)u(t+TD) ]=1.622u (t)

u(t+T D)¿e1.622

u (t)u(t+T D)

¿5.063

PROBLEMA 3

Se realiza un ensayo en vibración libre de una estructura de 1 g.d.l. Se conoce

que la masa es de 750 kg. Se desplaza la masa 35 mm de su posición de equilbrio

y se suelta súbitamente. Se observa que luego de 18 segundos, la masa ha

oscilado 20 ciclos y su amplitud es de 2.5 mm. Calcular la rigidez y la razón de

amortiguamiento del sistema.

m=0.75Ton

uo=35mm

t=18 seg⟶20ciclos

A=2.5mm

Frecuencia Natural de Vibración: f D=f n=20osc18 seg

=1.11Hz

Periodo Natural de Vibración: T n=1f n

= 11.11

=0.9 seg

Frecuencia Circular Natural: ωn=2πTn

=2 π0.9

=6.98 rad / seg

Rigidez del sistema: k=ωn2×m=6.982×0.75=36.54 KN /m

Razón de Amortiguamiento: ξ= 12πN

ln( uouN )= 12 π×20

ln( 352.5 )=0.02=2%

PROBLEMA 4

Calcular el periodo y la frecuencia natural de vibración y (las propiedades

amortiguadas) considerando h=3.70m y L=5.00m. Las columnas son 300mm x

450mm y el arriostre lateral de 25mm x 25mm. Además m=500 kg, E=210GPa y

ξ=3%.

Solución:

θ=tan−1(3.705.00 )=36.5 °

L(arriostre )=√3.702+5.002=6.22m

k=24 EIh3

+ EA cos2θL(arriostre)

I=(0.30 ) (0.453 )

12=2.28×10−3m4

A=0.025×0.025=6.25×10−5 m2

k=24 EIh3

+ EA cos2θL(arriostre)

Rigidez del sistema

k=24(210×109)(2.28×10−3)

3.703+(210×109) (6.25×10−5 )cos236.5 °

6.22=240309.7KN /m

b) Propiedades naturales:

Frecuencia natural:

W n=√ Km=√ 240309.7500=693.27 rad / s

Periodo natural:

T n=2πW n

= 2π693.27

=0.009 seg .

Frecuencia natural:

Fn=1Tn

= 10.009

=110.34 hz

b) Propiedades amortiguadas (ξ=0.03)

Razón de amortiguamiento:

∁=ξ× ∁cr

Amortiguamiento crítico:

∁ cr=2 (m ) (W n )=2 (500 ) (693.27 )=693270kgf . s /m

Amortiguamiento del sistema:

∁=ξ× ∁cr=(0.03 ) (693270 )=20798.1kgf . s /m

Como ∁<∁ cr : si hay oscilaciones (subcrítico)

Frecuencia circular amortiguada:

W D=W n√1−ξ2=693.27√1−0.032=692.96 rad /s

Periodo amortiguado:

T D=2 πW D

= 2π692.96

=0.009 seg .

Frecuencia amortiguada:

FD=1T D

= 10.009

=110.34H z

Respuesta de desplazamiento:

u (t )=e−¿¿

Condiciones iniciales:

A=u0=0

u0=0

B=u0+ξ(W ¿¿D)u0

W D

=0¿

Respuesta de desplazamiento final:

u (t )=e−20.79 t

PROBLEMA 5

Se realiza un ensayo en vibración libre de una estructura de 1 g.d.l. Se conoce

que la masa es de 700 kg. Se desplaza la masa 35 mm de su posición de equilbrio

y se suelta súbitamente. Se observa que luego de 15 segundos, la masa ha

oscilado 22 ciclos y su amplitud es de 2.8 mm. Calcular la rigidez y la razón de

amortiguamiento del sistema.

m=0.70Ton

uo=35mm

t=15 seg⟶22ciclos

A=2.8mm

Frecuencia Natural de Vibración: f D=f n=22osc15 seg

=1.47Hz

Periodo Natural de Vibración: T n=1f n

= 11.47

=0.68 seg

Frecuencia Circular Natural: ωn=2πTn

= 2 π0.68

=9.24 rad /seg

Rigidez del sistema: k=ωn2×m=9.242×0.70=59.76KN /m

Razón de Amortiguamiento: ξ= 12πN

ln( uouN )= 12 π×22

ln( 352.8 )=0.018=1.8%PROBLEMA 7

Se tiene un pórtico de concreto armado (E=2,2x106 Tonf/m2). Las columnas son

de: C1 (30cm x 50cm) y la C2 (30cm x 60cm). La amplitud de las oscilaciones

después de 25 ciclos decrece a 1/30 de la amplitud inicial.

Calcular todas sus propiedades en vibración libre. Grafique sus respuestas de

desplazamiento, velocidad y aceleración cuando el pórtico es sometido a un

desplazamiento inicial de 10 cm. Considerar H1=5m y H2=3.50m.

SOLUCION:

Rigidez de la Columna 1 (C1):

k 1=3 EI(H 1)

3=3×0.3×0.53×2.2×106

53×12=20625

53=165Tnf /m

Rigidez de la Columna 2 (C2):

k 2=12 EI(H 2)

3=12×0.3×0.63×2.2×106

3.53×12=142560

3.53=3325.02Tnf /m

Rigidez Total del Sistema: k T=k1+k2=3490.015Tnf /m

Frecuencia Circular Natural:

ωn=√ km=√ 3490.029=19.69rad /seg

Periodo Natural de Vibración:

T n=2πωn

= 2π19.69

=0.32 seg

Frecuencia Natural:

f n=1Tn

= 10.32

3.13Hz

Coeficiente de amortiguamiento crítico:

C cr=2m×ωn=2(9)×19.692=354.46Tnf . s/m

Razón de amortiguamiento:

ξ= 12πN

ln( uouN )= 12 π×20

ln( 1130 )=0.0217=2.17%Amortiguamiento del Sistema:

C=ξ Ccr=(0.0217 ) (354.46 )=7.69Tnf . s /m

Frecuencia Circular Amortiguada:

ωD=ωn√1−ξ2=19.69×√1−0.02172=19.69 rad / s

Respuesta de Desplazamiento:

u (t )=e−ξ ωn t[u0 cosωD t+( u0+ξ ωnu0ωD

)sinωD t ]u (t )=e−(0.0217)(19.69)t [0.1cos19.69 t+(0+(0.0217)(19.69)(0.1)

19.69 )sin 19.69 t ]u (t )=e−0.427 t [0.1cos19.69 t+0.002sin 19.69 t ]

Respuesta de Velocidad:

u (t )=e−0.427 t [−0.004cos19.69 t−1.971sin 19.69 t ]

Respuesta de Aceleración:

u (t )=e−0.427 t [−38.804cos19.69 t+0.914sin 19.69 t ]

Respuesta de Desplazamiento:

Respuesta de Velocidad:

Respuesta de Aceleración: